江苏省江都中学、华罗庚中学等13校2019届高三上学期12月联考数学试卷含解析
2019-2020学年江苏省扬州市高三(上)12月调研数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）12月调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝________．【答案】(0, +∞)【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}；∴A∪B＝(0, +∞)．2. 已知i为虚数单位，若复数(1+ai)(1+i)纯虚数，则实数a＝________．【答案】1【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】∵(1+ai)(1+i)＝(1−a)+(1+a)i是纯虚数，∴{1−a=0，得a＝1．1+a≠03. 已知p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】[2, +∞)【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由p:x≥a，q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，能求出实数a的取值范围．【解答】∵p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，即q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，∴a≥2．∴实数a的取值范围是[2, +∞)．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________．【答案】5050【考点】伪代码（算法语句）【解析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值．【解答】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值，所以S＝1+2+3+...+100＝5050．5. 圆柱形容器内部盛有高度为4cm的水，若放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，则球的半径是6cm．【答案】6【考点】球的体积和表面积【解析】直接利用体积相关的等量关系式的应用求出球的半径．【解答】设球的底面半径为R，放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，所以π⋅R2⋅4+43⋅πR3=π⋅R2⋅2R，解得R＝6．6. 角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=________．【答案】4【考点】任意角的三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．【解答】∵角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=sinα=√9+16=45，7. 设直线l:3x+4y+a＝0，与圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，则a的值是________．【答案】10或−30【考点】直线和圆的方程的应用【解析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可．【解答】根据题意，圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25，其圆心C(2, 1)，半径为r＝5，又由|AB|＝6，则d=√r2−(|AB|2)2=√25−9=4，即圆心到直线的距离为4；则有d=√9+16=4，解可得a＝10或−30；8. 平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为________ 【答案】1【考点】等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质即可得出．【解答】设该数列的首项为x，由题意可得：1010=2019+x2，解得x＝1．9. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x2 a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．【答案】abπ【考点】类比推理【解析】根据拨给原理的条件，先用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，可得出所截得线段的比都为ba，再根据所给的原理可知，椭圆x 2a2+y2b2=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．从而结合圆x2+y2＝a2的面积公式即可得出椭圆x2a2+y2b2=1的面积．【解答】图③中的曲线分别是x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，如果用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，所截得线段的比都为ba，根据所给的原理可知，椭圆x 2a +y2b=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．又圆x2+y2＝a2的面积为a2π，∴椭圆x2a2+y2b2=1的面积是a2π×ba=abπ．10. 若曲线f(x)＝(ax−1)e x在点A（0, f(0)）处的切线与y轴垂直，则a＝________．【答案】1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由题意可得f′(0)＝0，则答案可求．【解答】由f(x)＝(ax−1)e x，得f′(x)＝ae x+(ax−1)e x，∴f′(0)＝a−1，由题意可得：a−1＝0，则a＝1．11. 已知函数f(x)＝sin x+12x2+ln x，f(1−a)<f(2a)，则实数a的取值范围________．【答案】(1,1)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先对f(x)求导，判断f(x)的单调性，然后由f(1−a)<f(2a)，得到关于a的不等式，进一步得到a的范围．【解答】由f(x)＝sin x+12x2+ln x，得f′(x)=cos x+x+1x(x>0)，∵当x>0时，x+1x>√2，cos x∈[−1, 1]，∴当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴由f(1−a)<f(2a)，得{1−a >02a >01−a <2a ，∴ 13<a <1，∴ a 的取值范围为(13,1)．12. 在△ABC 中，AB ＝2BC ，DB →=AD →,CE →=12EA →，则BE →与CD →的夹角为________． 【答案】 π2【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】可设AB ＝2BC ＝2，根据DB →=AD →,CE →=12EA →及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出CD →=12BA →−BC →,BE →=23BC →+13BA →，然后进行数量积的运算即可求出BE →⋅CD →=0，从而可得出BE →,CD →的夹角． 【解答】如图，设AB ＝2BC ＝2， ∵ DB →=DA →,CE →=12EA →，∴ CD →=BD →−BC →=12BA →−BC →，BE →=BC →+CE →=BC →+13CA →=BC →+13(BA →−BC →)=23BC →+13BA →， ∴ BE →⋅CD →=(23BC →+13BA →)⋅(12BA →−BC →)=−23BC →2+16BA →2=−23×1+16×4=0，∴ BE →⊥CD →， ∴ <BE →,CD →>=π2．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，若直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________43 ．【答案】4 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 直线与圆的位置关系 【解析】由于圆C 的方程为(x −4)2+y 2＝1，由题意可知，只需(x −4)2+y 2＝1与直线y ＝kx −2有公共点即可． 【解答】∵ 圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，整理得：(x −4)2+y 2＝1，即圆C 是以(4, 0)为圆心，1为半径的圆；又直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴ 只需圆C′：(x −4)2+y 2＝4与直线y ＝kx −2有公共点即可． 设圆心C(4, 0)到直线y ＝kx −2的距离为d ， 则d =2≤2，即3k 2−4k ≤0，∴ 0≤k ≤43． ∴ k 的最大值是43．14. 若对任意的x ≥0，都有e x ≥ax 2+x +1恒成立，则a 的取值范围为________(−∞,12] ． 【答案】(−∞,12]【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，分a ≤12及a >12讨论即可． 【解答】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，则g′(x)＝e x −2ax −1，g ′′(x)＝e x −2a ， 当a ≤12时，g ′′(x)≥0在[0, +∞)上恒成立，即函数g′(x)在[0, +∞)上单调递增， 故g′(x)≥g′(0)＝0，∴ 函数g(x)在[0, +∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，即e x ≥ax 2+x +1恒成立，满足题意；当a >12时，令g ′′(x)＝0，解得x ＝ln (2a)，易知当x ∈[0, ln 2a)时，函数g ′′(x)<0，g′(x)单调递减；当x ∈(ln (2a)，+∞)时，函数g ′′(x)>0，g′(x)单调递增，又g′(0)＝0，故当x ∈[0, ln 2a)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，则g(x)≤g(0)＝0，这与题设矛盾．综上，实数a 的取值范围为(−∞,12]．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知向量a →=(sin θ, −2)与b →=(1, cos θ)互相垂直，其中θ∈(0, π2)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）若5cos (θ−φ)＝3√5cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．【答案】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15，∴ sin 2θ=45⋯又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴ cos 2φ＝sin 2φ＝1−cos 2φ， 即cos 2φ=12⋯ 又 0<φ<π2，∴ cos φ=√22⋯ 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）由a →⊥b →得到sin θ＝2cos θ，再结合sin 2θ+cos 2θ＝1求出sin θ和cos θ的值； （2）5cos (θ−ϕ)=3√5cos ϕ，对等式左边用余弦的差角公式展开，得到cos φ＝sin φ再有sin 2φ+cos 2φ＝1，及0<φ<π2求得cos φ的值【解答】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15， ∴ sin 2θ=45⋯ 又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1−cos2φ，⋯即cos2φ=12，又0<φ<π2∴cosφ=√2⋯2如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1 // 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【考点】棱柱的结构特征直线与平面平行【解析】（1）推导出DE // AB，AB // A1B1，从而DE // A1B1，由此能证明A1B1 // 平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．某公园为监控“旋转木马”游乐项目，要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头，使整个木马始终在摄像头的监控范围内．如图为木马和护栏的水平示意图，分别记作圆C和直线l，入口为A，AC与l垂直，A，B，C高度一致．已知木马轮盘的半径为5米，AC的距离为6米，B处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l．（注：摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角）．（1）若AB的长为8米，求最小摄像视角的正切值；（2）若摄像视角最大为60∘，求B距离A至少有多远？【答案】..…当AB的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339B距离A至少16√3米..…3【考点】解三角形【解析】（1）利用圆的性质作出圆的切线，解直角三角形即可；（2）建立直角坐标系，利用点到直线距离公式求解．【解答】过B作圆C的切线BE，切点为E，连接CE，BC，则CE⊥BE，在Rt△ABC中，由AC＝6，AB＝8，，．…得BC＝10，tan∠CBA=34在Rt△BCE中，由BC＝10，CE＝5，得BE＝5√3，tan∠CBE=√3，．…3∴ tan ∠ABE ＝tan (∠ABC +∠CBE)=34+√331−34⋅√33=48+25√339，．… 答：当AB 的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339..… 以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设BA ＝a ，则C(a, 6)， 当∠ABE 的最大值为60∘时，若直线BE 与圆C 相切，则BA 的值最小，．… ∴ 直线BE 的方程为y =√3x ， ∴ CE =|√3a−6|2=5，．…得a =16√33（负值舍去）..…答：B 距离A 至少16√33米..…设椭圆E:x 2a+y 2b =1(a >b >0)过M(√6, 1)，N(2, √2)两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 上有两点A ，B 且OA →⊥OB →，证明1OA 2+1OB 2是定值，并求出|AB|的最小值． 【答案】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a2+2b 2=1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA +1OB =18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ，同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2， 所以1OA2+1OB2=3+3k 28+8k 2=38，综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立．因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)， 所以AB 2=83(2+OB 2OA2+OA 2OB2)≥83(2+2√OB 2OA2⋅OA 2OB 2)=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63． 【考点】椭圆的离心率 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由椭圆过两点求出a ，b 的值进而求出椭圆的方程；（2）分OA ，OB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，再由OA →⊥OB →，与椭圆联立求出OA ，OB 的长，进而证明1OA2+1OB 2是定值，|AB|2＝OA 2+OB 2，由均值不等式求出它的最小值． 【解答】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a+2b =1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA 2+1OB 2=18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ， 同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2，所以1OA 2+1OB 2=3+3k 28+8k 2=38， 综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立． 因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)，所以AB 2=83(2+OB 2OA +OA 2OB )≥83(2+2√OB 2OA ⋅OA 2OB )=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63．已知数列{a n }的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有(a 1+a 2+...+a n )2＝a 13+a 23+...a n 3．（1）若数列{a n }共三项，且为等比数列，求数列{a n }的公比．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n }，使得a 2020＝−2019？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 【答案】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020．【考点】 数列递推式 【解析】本题第（1）题根据题意取n ＝1，n ＝2，n ＝3分别计算出a 1，a 2，a 3的值，然后根据数列{a n }为等比数列确定一组正确的a 1，a 2，a 3的值，由此可得数列{a n }的公比；第（2）题先令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，然后添加a n+1，则有(S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．通过化简整理，可得2S n ＝a n+12−a n+1．再利用公式a n ＝S n −S n−1，进行计算，最终可得数列{a n }的一个通项公式． 【解答】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020 ．若函数f(x)满足f(x 0)＝x 0成立，则称函数f(x)有不动点x 0． （1）判断函数f(x)=1+x x在区间(0, 1)内是否有不动点，说明理由；（2）证明：函数g(x)＝a x +a −x +x −2x (a >0且a ≠1)在区间(0, 1)内有不动点；（3）若函数ℎ(x)＝ax 2−ln x 有两个不动点，求实数m 的取值范围． 【答案】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x =0在(0, 1)上有解， 即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x ，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x−1x 2=−(1x−1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=a e 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）利用定义直接判断即可；（2）根据定义即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，利用零点存在性定理易得证；（3）先判断a ∈(0, 1)，再验证即可． 【解答】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x=0在(0, 1)上有解，即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x 2，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x −1x 2=−(1x −1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=ae 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)．已知可逆矩阵A =[a273]的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，求A −1的特征值．【答案】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]， ∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．【考点】特征值与特征向量的计算 【解析】由A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，求出a ＝5，b ＝3，从而A −1=[3−2−75]，进而f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，能求出A −1的特征值． 【解答】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin (θ+π3)=3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2． 【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，即可把圆C 的参数方程化为直角坐标方程．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，联立即可解得．设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1−ρ2|即可得出． 【解答】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠BAC =90∘，F 为棱AA 1上的动点，A 1A =4，AB =AC =2．(1)当F 为A 1A 的中点，求直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值；(2)当AFFA 1的值为多少时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【答案】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0，取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n |=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 与二面角有关的立体几何综合题 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC 1的一个法向量，利用向量法能求出当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘． 【解答】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)，设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n →|=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．某空间中存在2n 个基本粒子，每个基本粒子在每个时间均等可能的处于A ，B 两种状态之一，若处于A 状态的粒子数和处于B 状态的粒子数相等，则称该空间处于基态． （1）n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）记该空间处于处于基态的概率为P(n)，研究P(n)的单调性，并证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【答案】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14，P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ，则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}，分别求出相应的概率，由此能求出该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n(12)2n ⋅(−12n+2)<0，从而P(n)单调递减．再利用数学归纳法能证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【解答】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14， P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．。
【2019高三江苏名校联考】江苏省江都中学、华罗庚中学等13校2019届高三上学期12月联合调研测试 数学
2019届高三12月联合调研测试数学 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C A B = ▲ ．2．复数2i1i +-(i 为虚数单位)的模为 ▲ ．3．在平面直角坐标系x O y 中，已知y 是双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为▲．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．5．如图程序运行的结果是 ▲ ．6．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为▲．7．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是▲．8．已知直线l 、m 与平面α、β，,l m αβ⊂⊂，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）．①若//l m ，则//αβ②若l m ⊥，则αβ⊥③若l β⊥，则αβ⊥④若αβ⊥，则m α⊥9．已知cos()4πθ+=，(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则CE AB ⋅= ▲ ．11．已知22(1)(4)4M x y -+-= ：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足PA BA =，则a 的取值范围为 ▲ ．12．如图,在三棱锥P ABC -中,PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =,且18a x y +≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ▲ ．13．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[)0,+∞上的2级2类周期函数，且当[)0,2x ∈时，()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，又函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是▲．。
2019届江苏省13校高三上学期12月联合调研测试数学含答案
2019届高三12月联合调研测试数学 试题全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C AB =．2．复数2i 1i+-(i 为虚数单位)的模为 ． 3．在平面直角坐标系x O y中，已知y =是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ．5．如图程序运行的结果是 ．6．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ．7．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ． 8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ．（填写正确命题对应的序号）． ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 9．已知，，则 ．10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB = , 若12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ．11．已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足PA BA =，则a 的取值范围为 ． 12．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =,且18a x y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ．13．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是 ．14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说．．．．．．．．明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，l m αβ,l m αβ⊂⊂//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α⊥cos()4πθ+=(0,)2πθ∈sin(2)3πθ-=()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m=-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞()()210g x f x -≤m且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值;（Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x=+，()g x bx=-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为． （1）若数列通项为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答．．．．．．．．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵1010⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.{}n a n n S ()*1n n a S n N +≤∈{}n a M {}n a 12n na ={}n a M ∈{}n a {}n a n M +∈512a a -{}n a {}n a M ∈4n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n aB ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y aa=⎧⎨=+⎩（a 为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4pq =，试求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，求111111a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品． （1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++，其中i N∈，n N +∈.（1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0n i i n i a C ==∑12n n a -⋅； （2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x=+=+++∑，20n n i i b a ==∑，记11[(1)]ni i n i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C AB =▲ ．{}1,2,4,52．复数2i 1i+-(i 为虚数单位)的模为 ▲．3．在平面直角坐标系xOy中，已知y =是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 24．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．565．如图程序运行的结果是 ▲ ． 146．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．647．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ▲ ．2 8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）．③①若，则 ②若，则③若，则 ④若，则l m αβ,l m αβ⊂⊂//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α⊥9．已知，，则 ▲ ．10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB = , 若12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ▲ ．43-11．已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足P A B A =，则a 的取值范围为▲．1⎡-+⎣12．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =,且18a x y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ▲ ． 113．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是 ▲ ．．14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是________．【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，，可得：当0≤x≤1时，f （x ）=1-x 2，有最大值f （0）=1，最小值f （1）=0，cos()410πθ+=-(0,)2πθ∈sin(2)3πθ-=410+()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m=-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞()()210g x f x -≤m 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2-x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f （x ）＜1，又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2； 则在x ∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x-6），则有0≤f （x ）≤4， 则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0； 对于函数，有，得在（0，1）上，g′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数， 在（1，+∞）上，g′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数， 则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）-f （x 1）≤0成立，必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即 解可得，即m 的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说．．．．．．．．明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值;（Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x值.解：（Ⅰ） 设(,0)D t （01t ≤≤），又()22C -所以(22OC OD t +=-+所以 22211||122OC OD t t +=++=+……………3分21()(01)22t t =-+≤≤所以当2t =||OC OD +最小值为2………………6分 （Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--1)4x π=-+ ……………9分因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤……………10分所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1所以8x π=时，1)4m n x π⋅=-+取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=…………………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．解：（1） 正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C =∴⊥AD 平面11B BC C ，………………………………………………………3分 又 正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点． (6)分（2） 连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG 矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点， 又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分 又 点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点， ∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，……12分 又⊄EF 平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC ∴//EF 平面1ADC ．………14分 17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？ 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =， 所以由正弦定理可知1πsin sin sin 33AD ODθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得πsin 3sin AD OD θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，且π2π(,)33θ∈，………………………4分故πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈ (7)分（2） 令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'=，令0y '=得1cos 3θ=记01cos 3θ=，0π2π(,)θ∈，列表得可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为22，当AD =时，此时总路程S有最小值50km ． ……………………13分答：当集合点D 离出发点A 时，总路程最短，其最短总路程为50km ． (14)分18．（本小题满分16分）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．解：(I) 由F 1(-1，0)得1c =,∴A 点坐标为()2,0a ；……2分 ∵122AF AF = ∴ 2F 是1AF 的中点 ∴223,2a b == ∴椭圆方程为22132x y += ……4分(II)当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积142S M N P Q ==；…………5分 当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设PQ ：()()10y k x k =+≠，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-= 设()()1122,,,P x y Q x y 则22121222636,2323k k x x x x k k --+==++ ………8分 ∴)2122123k PQ x k +=-=+，同理2211123k MN k⎫+⎪⎝⎭=+ ∴四边形PMQN 面积2221242112613k kS M N P Q k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ………12分令221u k k =+，则()24242,4613613u u S u u +≥==-++，易知S 是以u 为变量的增函数所以当1,2k u =±=时，min 9625S =，∴96425S ≤< 综上可知，96425S ≤≤，∴四边形PMQN 面积的取值范围为96,425⎡⎤⎢⎥⎣⎦………16分 19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x=+，()g x bx=-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.解：(1)因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+,由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3.又因为()f x 在x =处取得极值，所以0f '=，所以a =-2,b =1 . …………………………………2分所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………………4分（2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。
江苏省最新六校联合体2019届高三上学期12月联考试题及答案数学Word版含答案
1．已知集合{}3,2,1,0=M ，集合{}101,,N -=，则M N = ▲ ．2．双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ．3．复数z 满足i iz31-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 4. 若一组样本数据3，4，8，9，a 的平均数为6，则该组数据的方差s 2＝ ▲ ．5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ． 7．若圆锥底面半径为1，侧面积为π5,则该圆锥的体积 是____▲____．8．设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率 的最小值是 ▲ ．9．已知,)tan(714-=-πα⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是 ▲ ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，x x x f -=2)(．若f (a )＜4＋f (－a )，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+，则CD BE ⋅的值为 ▲ ．12．已知圆22:(2)2C x y +-=，直线:20l kx y --=与y 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA =，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．已知n ∈N*,n n a 2=，21n b n =-， 1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若0≥+n n T a λ对任意的n ∈N*恒成立，则实数λ的最大值是 ▲ ．14．已知函数2()221f x x ax a =-+-.若对任意的(0,3)a ∈，存在0[0,4]x ∈，使得0|()|t f x ≤成立，则实数t 的取值范围是 ▲ _. 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．第6题图16．(本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ， PC ⊥底面ABCD ， 点E 为侧棱PB 的中点． 求证：(1) PD ∥平面ACE ；(2) 平面P AC ⊥平面PBD ．17. (本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x上一点与两焦点构成的三角形的周长为离心（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.18．(本小题满分16分）如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为5百米，圆心角为2π3的扇形人工湖OAB ，OM 、ON 是分别由OA 、OB 延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与AB ⌒相切点F ，且与OM 、ON 分别相交于C 、D ，另两条是分别和湖岸OA 、OB 垂直的FG 、FH (垂足均不与O 重合)． (1) 求新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值；(2) 在观光道ON 段上距离O 为15百米的E 处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不题16图ABCDPOE影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD 的延长线不能进入以E 为圆心，2.5百米为半径的圆形E 的区域内．则点D 应选择在O 与E 之间的什么位置？请说明理由．19．(本小题满分16分）已知数列{a n }各项均不相同，a 1＝1，定义k n k n n a a k b +-+=)1()（，其中n ，k ∈N*． （1）若n b n =）1（，求5a ； （2）若b n ＋1(k )＝2b n (k )对2,1=k 均成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．20．(本小题满分16分）已知函数ln (),()x x x f x g x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学参考答案及评分标准 2018.12说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.) 1． {}10, 2． x y 35±= 3．23 4．526 5． 61 6． 20 7． π328． 4 9．10433+ 10． ()2-，∞ 11． 4- 12． k ≤或k ≥13．9814 ．3≤t 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=sin sin cos B A A B =． ………………2分 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．cos B B =． ………………………………………………………4分 法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos B B B ==所以6B π=． ……………………………………………………6分cos 0B B -=即2sin()06B π-=， …………………………4分所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=． …………………………………6分（2）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin C A =，所以c = ，① …………………………………9分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即229a c +=， ② …………………………………12分 把①代入②得3a =，c =…………………………………14分 16．【解析】证明：(1) 连接OE ．因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以O 为BD 中点． ……………………2分因为E 为PB 的中点，所以PD ∥OE ． …………4分 又因为OE ⊂面ACE ，PB /⊂平面ACE ， 所以PD ∥平面ACE ． …………………………6分 (2) 在四棱锥P －ABCD 中，．．．．．．． 因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以BD ⊥PC ． …………………………………8分 因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以BD ⊥AC ． ………………………………………………10分 又PC 、AC ⊂平面PAC ，PC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC ． …………………………………12分 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ． ………………………………14分 17. 【解析】（1）由题设得e =2,a c ==,∴1b =.…2分 故椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分（2）设直线l 方程为：12y x m =+代入椭圆22:14x C y +=并整理得：222220x mx m ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12212222x x mx x m +=-⎧⎨=-⎩. …………………………………6分 题16图A BC D P OE||PQ =21|x x =-== ……8分B 到直线PQ 的距离为5121-=m d ，A 到直线PQ 的距离为5121+=m d ， ………………………………10分又因为P 在第一象限, 所以11<<-m ，所以5451251221=++-=+)m ()m (d d ， 所以74821221=-=⋅+=m PQ )d d (S APBQ ， ……………………………12分解得21±=m ，所以直线方程为2121±=x y ． …………………………………………14分18．解： (1) 连结OF ，OF ⊥CD 于点F ，则OF ＝5．设∠FOD ＝θ，则∠FOC ＝2π3－θ (π6＜θ＜π2)，故FH ＝5sin θ，FG ＝5sin(2π3－θ)，……………………2分则FG ＋FH ＝5sin(2π3－θ)＋5sin θ＝5(32cos θ＋12sin θ＋sin θ)＝5(32sin θ＋32cos θ)＝53sin(θ＋π6) ……………………4分 因为π6＜θ＜π2，所以π3＜θ＋π6＜2π3，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，(FG ＋FH )max ＝53． ………………………………………………6分 (2) 以O 为坐标原点，以ON 所在的直线为x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ．由题意，可知直线CD 是以O 为圆心，5为半径的圆O 的切线，直线CD 与圆E 相离，且点O 在直线CD 下方，点E 在直线CD 上方．由OF ＝5，圆E 的半径为2.5，因为圆O 的方程为x 2＋y 2＝25，圆E 的方程为(x －15)2＋y 2＝6.25，………………………………………………8分设直线CD 的方程为y ＝kx ＋t (－3＜k ＜0，t ＞0)， 即kx －y ＋t ＝0，设点D (x D ，0)则⎩⎪⎨⎪⎧tk 2＋1＝5 ………①，－15k －tk 2＋1>2.5 ……②． ……………………10分由①得t ＝5k 2＋1， …………………………12分代入②得－15k －5k 2＋1k 2＋1>2.5，解得k 2>13． ………………………13分又由－3＜k ＜0，得0＜k 2＜3，故13＜k 2＜3，即13＜1k 2＜3．在y ＝kx ＋t 中，令y ＝0，解得x D ＝t－k ＝5k 2＋1－k＝51＋1k 2，所以1033＜x D ＜10． ………………………15分答：(1) 新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值是53百米；(2) 点D 应选择在O 与E 之间，且到点O 的距离在区间(1033，10)(单位：百米)内的任何一点处． ………………………16分 19.解：（1）因为n a a b n n n =-=+1)1（，所以10432151=+++=-a a ，所以95-=a . ………………………4分 （2）（i ）因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，得 ）（k n k n k n k n a a a a ++++-+=-+)1(2)1(11， 令k ＝1, ）（1212-+++-=n n n n a a a a ，……………① k ＝2，）（2312++++=+n n n n a a a a ，……………② …………………6分 由①得）（21322-++++-=n n n n a a a a ，……………③ ②+③得）（n n n n a a a a +=++++1122，……………④ ……………………8分 ①+④得n n a a 21=+，又011≠=a ，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12-=n n a ． ……………………10分 （ii ）由（i ）可知S n ＝2n －1． 因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k ， ………………………12分 所以2t ＝(2k )2－3⋅2k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3⋅2k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t ＝8，得t ＝3． ………………………14分当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3⋅2k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3⋅2k －2＝0，即2k ＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3． ………………………16分 20．（1）1()xxf x e -'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分 当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分 （2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分 当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-， 记ln 1()a n a a +=-，则2ln ()(0)a n a a a'=>，令()0n a '=，得1a = 当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分 （3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分 故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性： ① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>， 此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k =符合题意． ……………………………16分南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学Ⅱ(附加题)注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】本题A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-b a A ，其中R b a ∈,，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到的点)4,1(1P （1）求实数b a ,的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵.B ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是21y t x t =+⎧⎨=⎩（t 是参数），若以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4ρπθ=+．求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）将4名大学生随机安排到A,B,C,D 四个公司实习． （1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X 表示分到B 公司的学生的人数，求X 的分布列和数学期望E (X )．23.（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）当4=n 时，求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C = 中最小元素与最大元素之和，求32018132018CmC i i∑=的值．南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学附加题参考答案21．【选做题】本题A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-411111b a ， ……………………2分所以⎩⎨⎧=+=-4111b a 所以⎩⎨⎧==32b a ． ……………………4分（2）51312)det(=-=A ， ……………………6分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-52535151525351511A ． ……………………10分 B ．解：消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， ……………………2分)4(22π+θ=sin ρ即)(2θ+θ=cos sin ρ，两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+， 所以22(1)(1)2x x -+-=， ……………………4分圆心C 到直线l 的距离55212|112|22=++-=d ， ……………………6分 所以弦长为5302)552(222=-=AB ． ……………………10分 C ．解：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．……………2分 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， …………………6分 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4． ……………………10分22．解：（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法．记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A ，事件A 共包含4424A =个基本事件， 所以()24325632P A ==， 所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率332．………………………… 3分 （2）方法1：X 的可能取值为0，1，2，3，4，()4438104256P X ===，()134********C P X ⨯===，()224432724128C P X ⨯===， ()344333464C P X ⨯===，()444144256C P X ===．8分所以X 的数学期望为：()812727310123412566412864256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………… 10分 方法2：每个同学分到B 公司的概率为1()P B =，13()1P B =-=．…… 5分 根据题意X ～()14B ，，所以()()()441344k kk P X k C -==，0123k =，，，，4，8分所以X 的数学期望为()1414E X =⨯=． ……………………………… 10分 23．（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含4,3,2的子集也各有23C 个，于是所求元素之和为30)4321(23=⨯+++C ； ……………………………… 3分 （2）集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．……… 5分31nC i i m =∴∑312n C m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)n n C ==+ ， ……………………………… 8分3131n C i i n m n C =∴=+∑． 20191201832018132018=+=∴∑=C m C i i ． ……………………… 10分。
江苏省江都中学、华罗庚中学等13校2019届高三上学期12月联合调研测试 数学 Word版含答案
2019届高三12月联合调研测试2018.12数学 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C AB = ▲ ．{}1,2,4,52．复数2i1i +-(i 为虚数单位)的模为 ▲．3．在平面直角坐标系xOy中，已知y 是双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 24．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．565．如图程序运行的结果是 ▲ ． 146．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．647．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ▲ ．28．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）． ③①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则l m αβ,l m αβ⊂⊂//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α⊥9．已知，，则 ▲ ．10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ▲ ．43-11．已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足PA BA =，则a 的取值范围为 ▲．1⎡-+⎣12．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===．设M是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =,且18a x y +≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ▲ ． 113．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是▲ ．．14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是________．【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，，cos()410πθ+=(0,)2πθ∈sin(2)3πθ-=410+()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m =-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞()()210g x f x -≤m13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦可得：当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f（x）＜1，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在x∈[6，8）上，f（x）=23•f（x-6），则有0≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即解可得，即m的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤．．．．15．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A和点(1,0)B-，||1OC =，且AOC x∠=，其中O为坐标原点.（Ⅰ）若34xπ=，设点D为线段OA上的动点，求||OC OD+的最小值;（Ⅱ）若[0,]2xπ∈，向量m BC=，(1cos,sin2cos)n x x x=--，求m n ⋅的最小值及对应的x值.解：（Ⅰ）设(,0)D t（01t≤≤），又(C所以(OC OD t +=-所以22211||122OC OD t t+=++=+……………3分21((01)2t t =+≤≤所以当t =时，||OC OD +最小值为………………6分（Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--1)4x π=-+ ……………9分 因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤……………10分所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1所以8x π=时，1)4m n x π⋅=-+取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=…………………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．解：（1） 正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC，又⊂AD平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C =∴⊥AD 平面11B BCC ，………………………………………………………3分又 正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点．………6分（2） 连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分又 点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点，∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，……12分又⊄EF平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC∴//EF 平面1ADC ．………14分17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？ 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =，所以由正弦定理可知1ππsin sin sin 33AD ODθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得πsin 3sin AD OD θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，且π2π(,)33θ∈， ………………………4分故πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈……7分（2） 令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'= ，令0y '=得1cos 3θ=记01cos 3θ=，0π2π(,)33θ∈，列表得可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为22，当AD =时，此时总路程S有最小值50km ． ……………………13分答：当集合点D 离出发点A 的距离为km 时，总路程最短，其最短总路程为50km ．……………………14分18．（本小题满分16分）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b +=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．解：(I) 由F 1(-1，0)得1c =,∴A 点坐标为()2,0a ；……2分∵122AF AF = ∴ 2F 是1AF 的中点 ∴223,2a b == ∴ 椭圆方程为22132x y +=……4分(II)当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积142S MN PQ ==； (5)分当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设PQ ：()()10y k x k =+≠，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=设()()1122,,,P x y Q x y 则22121222636,2323k k x x x x k k --+==++ ………8分∴)2122123k PQ x k +=-=+，同理2211123k MN k ⎫+⎪⎝⎭=+ ∴四边形PMQN面积22221242112613k kS M N P Qk k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ………12分令221u k k =+，则()24242,4613613u u S u u +≥==-++，易知S 是以u 为变量的增函数所以当1,2k u =±=时，min 9625S =，∴96425S ≤<综上可知，96425S ≤≤，∴四边形PMQN 面积的取值范围为96,425⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (16)分19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x=+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.解：(1)因为1()f x ax x '=+，所以(1)1f a '=+,由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3.又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=+=，所以a = -2,b =1 . …………………………………2分所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x -++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………………4分（2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x =+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。
2019届江苏省13校高三12月联合调研测试数学含答案
2019届高三12月联合调研测试数学 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C AB =．2．复数2i 1i+-(i 为虚数单位)的模为 ． 3．在平面直角坐标系x O y中，已知y =是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ．5．如图程序运行的结果是 ．6．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ．7．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ． 8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ．（填写正确命题对应的序号）． ①若，则 ②若，则③若，则 ④若，则 9．已知，，则 ．10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB = , 若l m αβ,l m αβ⊂⊂//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α⊥cos()410πθ+=-(0,)2πθ∈sin(2)3πθ-=12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ．11．已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足PA BA =，则a 的取值范围为 ． 12．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =,且18a x y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ．13．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是 ．14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说．．．．．．．．明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值;（Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m =-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞()()210g x f x -≤m16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？ 18．（本小题满分16分）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x=+，()g x bx=-，设()()()h x f x g x =-. （1）若()f x在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.20．（本小题满分16分）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为． （1）若数列通项为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．{}n a n n S ()*1n n a S n N +≤∈{}n a M {}n a 12n na ={}n a M ∈{}n a {}n a n M +∈512a a -{}n a {}n a M ∈4n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答．．．．．．．．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y aa=⎧⎨=+⎩（a 为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4pq =，试求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，求111111a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品． （1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++，其中i N ∈，n N +∈.（1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0ni i n i a C ==∑12n n a -⋅；（2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x=+=+++∑，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni i n i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C AB = ▲ ．{}1,2,4,52．复数2i 1i+-(i 为虚数单位)的模为 ▲．3．在平面直角坐标系xOy中，已知y =是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 24．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．565．如图程序运行的结果是 ▲ ． 146．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．647．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ▲ ．2 8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）．③①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 9．已知，，则 ▲．10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB = , 若12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ▲ ．43-11．已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足P A B A =，则a 的取值范围为▲ ．1⎡-+⎣l m αβ,l m αβ⊂⊂//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α⊥cos()4πθ+=(0,)2πθ∈sin(2)3πθ-=12．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =,且18a x y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ▲ ． 113．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是 ▲ ．．14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是________．【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，，可得：当0≤x≤1时，f （x ）=1-x 2，有最大值f （0）=1，最小值f （1）=0，当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2-x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f （x ）＜1，又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2； 则在x ∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x-6），则有0≤f （x ）≤4， 则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有 ，得在（0，1）上，g′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数， 在（1，+∞）上，g′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数，()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m=-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞()()210g x f x -≤m 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）-f （x 1）≤0成立，必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即 解可得，即m 的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说．．．．．．．．明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值;（Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x值.解：（Ⅰ） 设(,0)D t （01t ≤≤），又(22C -所以(OC OD t +=-所以22211||122OC OD t t +=++=+……………3分21((01)22t t =-+≤≤所以当2t =||OC OD +最小值为2………………6分 （Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--1)4x π=+ ……………9分因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤……………10分所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1所以8x π=时，1)4m n x π⋅=+取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=…………………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．解：（1） 正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C = ∴⊥AD 平面11B B C C ，………………………………………………………3分又 正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点．………6分（2） 连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG 矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点， 又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分 又 点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点，∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，……12分 又⊄EF 平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC ∴//EF 平面1ADC ．………14分 17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？ 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =， 所以由正弦定理可知1ππsin sin sin 33AD ODθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得πsin 3sin AD OD θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，且π2π(,)33θ∈， ………………………4分故πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈ (7)分（2） 令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'= ，令0y '=得1cos 3θ=记01cos 3θ=，0π2π(,)θ∈，列表得可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为22，当AD =时，此时总路程S有最小值50km ． ……………………13分答：当集合点D 离出发点A 时，总路程最短，其最短总路程为50km ． (14)分18．（本小题满分16分）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围． 解：(I) 由F 1(-1，0)得1c =,∴A 点坐标为()2,0a ；……2分 ∵122AF AF = ∴ 2F 是1AF 的中点 ∴223,2a b == ∴椭圆方程为22132x y += ……4分(II)当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积142S M N P Q ==；…………5分 当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设PQ ：()()10y k x k =+≠，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-= 设()()1122,,,P x y Q x y 则22121222636,2323k k x x x x k k--+==++ ………8分 ∴)2122123k PQ x k +=-=+，同理2211123k MN k⎫+⎪⎝⎭=+ ∴四边形PMQN 面积22221242112613k kS M N P Q k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ………12分 令221u k k =+，则()24242,4613613u u S u u +≥==-++，易知S 是以u 为变量的增函数所以当1,2k u =±=时，min 9625S =，∴96425S ≤< 综上可知，96425S ≤≤，∴四边形PMQN 面积的取值范围为96,425⎡⎤⎢⎥⎣⎦………16分 19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x=+，()g x bx=-，设()()()h x f x g x=-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.解：(1)因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+,由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3.又因为()f x 在x =处取得极值，所以0f '==，所以a =-2,b =1 . …………………………………2分所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………………4分（2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。
2019届江苏省江都中学、华罗庚中学等13校高三上学期12月联合调研测试数学(文科)
2019届江苏省江都中学、华罗庚中学等13校高三上学期12月联合调研测试2018.12数学文试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C A B = ▲ ．2．复数2i 1i+-(i 为虚数单位)的模为 ▲ ．3．在平面直角坐标系x O y中，已知y =是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ． 5．如图程序运行的结果是 ▲ ．6．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．7．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ▲ ．8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）．①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 9．已知，，则 ▲ ． 10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB = , 若12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ▲ ． 11．已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，l m αβ,l m αβ⊂⊂//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α⊥cos()410πθ+=-(0,)2πθ∈sin(2)3πθ-=且满足PA BA =，则a 的取值范围为 ▲ ． 12．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =,且18a x y +≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ▲ ．13．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值; （Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．17．（本小题满分14分） 某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）．()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m =-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞()()210g x f x -≤m（1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？ 18．（本小题满分16分）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间； （2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.20．（本小题满分16分）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．（1）若数列通项为，求证：； （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．{}n a n n S ()*1n n a S n N +≤∈{}n a M {}n a 12n n a ={}n a M ∈{}n a {}n a n M +∈512a a -{}n a {}n a M ∈4n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a2019届高三12月联合调研测试 2018.12数学 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．全集，集合，，则 ▲ ．2．复数(为虚数单位)的模为 ▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 24．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．5．如图程序运行的结果是 ▲ ． 146．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．647．设等比数列的前项积为，若，则的值是▲ ．28．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）．③ ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 9．已知，则 ▲ ． 10．在等腰三角形中,底边, , , 若, 则 ▲ ． 11．已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于两点，{}1,2,3,4,5U ={}1,3,4A ={}3,5B =()U C A B ={}1,2,4,52i 1i+-i y =22221x y a b-=56{}n a n n P 12732P P =10a l m αβ,l m αβ⊂⊂//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α⊥cos()4πθ+=(0,)2πθ∈sin(2)3πθ-=ABC 2BC =AD DC =12AE EB =12BD AC ⋅=-CE AB ⋅=43-22(1)(4)4M x y -+-=：x (0)P a ，M ,A B且满足，则的取值范围为 ▲ ．12．如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为 ▲ ． 113．已知的三边长成等差数列，且则实数的取值范围是 ▲ ．．14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是________．【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，，可得：当0≤x≤1时，f （x ）=1-x 2，有最大值f （0）=1，最小值f （1）=0， 当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2-x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f （x ）＜1， 又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在x ∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x-6），则有0≤f （x ）≤4， 则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有 ，得在（0，1）上，g′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数， 在（1，+∞）上，g′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数， 则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）-f （x 1）≤0成立， 必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即解可得，即m 的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中为坐PA BA =a 1⎡-+⎣P ABC -PA PB PC 3,2,1PA PB PC ===M ABC ()(,,)f M m n p =m n p M PAB -M PBC -M PCA -1()(,,)2f M x y =18ax y+≥a ABC ∆,,a b c 22263,a b c ++=b ()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m =-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞()()210g x f x -≤m 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(1,0)A (1,0)B -||1OC =AOC x ∠=O标原点.（Ⅰ）若，设点为线段上的动点，求的最小值; （Ⅱ）若，向量，，求的最小值及对应的值.解：（Ⅰ） 设（），又 所以 所以 ……………3分所以当………………6分 （Ⅱ）由题意得,则……………9分 因为,所以……………10分所以当，即时，取得最大值所以时，取得最小值所以的最小值为…………………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点． （1）求证：为的中点； （2）求证：平面．34x π=D OA ||OC OD +[0,]2x π∈m BC =(1cos ,sin 2cos )n x x x =--m n ⋅x (,0)D t 01t ≤≤(C (,22OC OD t +=-+22211||122OC OD t t +=-++=+21()(01)22t t =-+≤≤t =||OC OD +(cos ,sin )C x x (cos 1,sin )m BC x x ==+221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--1)4x π=+[0,]2x π∈52444x πππ≤+≤242x ππ+=8x π=sin(2)4x π+18x π=1)4m n x π⋅=+1-m n ⋅18x π=111C B A ABC -D BC D C AD 1⊥E F 1BB 11B A D BC //EF 1ADC解：（1）正三棱柱，平面，又平面，，又， 平面，………………………………………………………3分 又正三棱柱，平面平面，，为的中点．………6分（2） 连接，连接交于点，连接矩形，为的中点， 又由(1)得为的中点，△中，…………………9分 又点，分别是，的中点，△中，，，……12分 又平面，平面 平面．………14分17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设，写出S 关于的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？ 解（1）因为在△OAD 中，，，所以由正弦定理可知， 解得 ，且， ………………………4分故，……7分 （2） 令，则有 ，令得 记，，列表得111C B A ABC -∴⊥C C 1ABC ⊂AD ABC ∴AD C C ⊥1D C AD 1⊥111C C C D C = ∴⊥AD 11B BCC 111C B A ABC -∴ABC ⊥11B BCC ∴⊥AD BC D BC B A 1C A 11AC G DG 11ACC A ∴G C A 1D BC ∴BC A 1B A DG 1// E F 1BB 11B A ∴B B A 11B A EF 1//∴DG EF //⊄EF 1ADC ⊂DG 1ADC ∴//EF 1ADC 1km 1km ADO θ∠=θθ=∠ADO 1OA =1ππsin sin sin 33AD ODθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 3sin AD OD θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π2π(,)33θ∈πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50sin θθ-=+π2π(,)33θ∈3cos sin y θθ-=23cos 1sin y θθ-+'=0y '=1cos 3θ=01cos 3θ=0π2π(,)33θ∈可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为，当时，此时总路程有最小值． ……………………13分 答：当集合点D 离出发点A 的距离为km 时，总路程最短，其最短总路程为．……………………14分 18．（本小题满分16分）如图，F 1、F 2分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围． 解：(I) 由F 1(-1，0)得,∴A 点坐标为；……2分∵ ∴ 是的中点 ∴∴ 椭圆方程为 ……4分 (II)当直线MN 与PQ 之一与轴垂直时，四边形PMQN 面积；…………5分 当直线PQ ，MN 均与轴不垂直时，不妨设PQ ：，联立代入消去得设 则 ………8分1cos 3θ=y 228AD =S 50km 50km +222210x y (a b )a b+=>>()11,0F -122AF AF =1c =()2,0a 122AF AF =2F 1AF 223,2a b ==22132x y +=x 142S MN PQ ==x ()()10y k x k =+≠22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()()2222236360k x k x k +++-=()()1122,,,P x y Q x y 22121222636,2323k k x x x x k k --+==++∴ ，同理 ∴四边形PMQN 面积 ………12分令，则，易知S 是以为变量的增函数所以当时，，∴ 综上可知，，∴四边形PMQN 面积的取值范围为 ………16分 19.（本小题满分16分）已知函数，，设.（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间； （2）若时函数有两个不同的零点.①求的取值范围；②求证：. 解：(1)因为，所以, 由可得a =b-3. 又因为在处取得极值， 所以， 所以a = -2,b =1 . …………………………………2分 所以，其定义域为（0，+）令得，当（0,1）时，，当（1,+），所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. …………………………………4分 （2）当时，，其定义域为（0，+）.)2122123k PQ x k +=-=+2211123k MN k⎫+⎪⎝⎭=+22221242112613k k S MN PQ k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭221u k k=+()24242,4613613u u S u u +≥==-++u 1,2k u =±=min 9625S =96425S ≤<96425S ≤≤96,425⎡⎤⎢⎥⎣⎦21()ln 2f x ax x =+()g x bx =-()()()h x f x g x =-()fx x (1)(1)2f g '=--()h x 0a =()h x 12,x x b 1221x x e >1()f x ax x'=+(1)1f a '=+(1)(1)2f g '=--()fx x0f '=2()ln h x x x x =-++∞2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=()0h x '=121,12x x =-=x ∈()>0h x 'x ∈∞()<0h x '∞0a =()ln h x x bx =+∞①,当,则，在上单调递增，不合题意。
江苏省扬州中学2019届高三上学期12月月考数学试卷+参考答案
1秘密★启用前江苏省扬州中学2019届高三上学期12月质量检测数学试题2018.12一.填空题：1．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 2．设2(2)(z i i =-为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．3．若角α的终边经过点()3,2-A ,则αtan 值为 ▲ ．4．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ ． 6. 若函数()11x m f x a =+-是奇函数，则m 为 ▲ ．7. 已知35(0,),(,),sin(),cos 22513ππαβπαββ∈∈+=-=- ，则sin α的值等于 ▲ ．8. 在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9．抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ ．2 10．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 ▲ ． 11.若函数()f x 在定义域D 内某区间H 上是增函数，且()f x x 在H 上是减函数，则称()y f x =的在H 上是“弱增函数”．已知函数()()24g x x m x m =+-+的(]0,2上是“弱增函数”，则实数m 的值为 ▲ ．12.已知实数0a b >≥,满足111a b a b+=+-，则32a b +的最小值为 ▲ ．13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点M 恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为▲ ．14.已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二.解答题：15.(本小题满分14分)已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，0βαπ<<<.（1）若a b ⊥，求||b a -的值；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求α，β的值.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面A B C D ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于。
苏教版2019届高三12月联考数学(理科)试题(答案含答案解析)
数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-?，{B x y ==，则()U A B Çð等于（ ） A. ()0,2 B. ()0,3 C. Æ D. (]0,2 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合A ，进而可得U A ð，求解函数定义域可得集合B ，利用交集求解即可. 【详解】因为集合(){}()300,3U A x x x =-<=ð，(],2B =-?，所以()(]0,2U A B ?ð，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ） A. 13-B. 13C. 3-D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量()()1,3,,1a b m ==，若//a b ，则113m ?，解得13m =. 故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.已知函数()1112xf x e =-+，则()f x 是（ ） A. 奇函数，且在R 上是增函数 B. 偶函数，且在()0,+?上是增函数 C. 奇函数，且在R 上是减函数 D. 偶函数，且在()0,+?上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用()()0f x f x -+=可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R ，关于原点对称，()1112x f x e --=-+ 112x x e e =-+，有()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数， 函数()1112xf x e =-+，显然是减函数. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】还原几何体得四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，11151,?2,222PADPABPCDSPA AD SPA AB S PD CD======. PCB 中有PC BC PB ===222BC PC PB +=，所以90PCB ??.所以132PCBSPC BC ==. 所以面积最大值是PAB D 的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55S a （ ）A. 256B. 255C. 16D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n 项和，从而可得nnS a ，令5n =求解即可.【详解】由1352a a +=，可得21152a a q +=； 由31154a q a q +=. 两式作比可得：可得12q =，12a =，所以212n n a -骣琪=琪桫，2142n n S -骣琪=-琪桫，21n n n S a =-，所以5552131Sa =-=. 故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7.把函数()sin cos f x x x =-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3p，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A. 175,66p p轾--犏犏臌 B. 57,66p p轾-犏犏臌C. 24,33p p轾-犏犏臌 D. 719,66p p轾犏犏臌 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换可得函数()212x g x x p 骣琪-琪桫，再由22212x k p pp -?22k pp ?，k Z Î，可解得单调增区间，即可得解.【详解】函数()sin cos f x x x =-=4x x p骣琪-琪桫的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得24x y x p 骣琪=-琪桫的图象，再向左平移3p，得到函数()1234g x x p p轾骣犏琪+-琪犏桫臌212x x p 骣琪=-琪桫的图象. 由22212x k p pp -?22k p p ?，k Z Î，得574466k xk ppp p -＃+，k Z Î. 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57,66p p轾-犏犏臌， 故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x 的系数提出，属于中档题.8.若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y ì--?ïï+-?íï-?ïî，则1x z y +=的最小值为（ ）A.23 B. 1 C. 2 D. 145【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式的可行域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0-连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0D -连线的斜率的倒数，由图象知AD 的斜率最大，由2703x y y ì+-=ïí=ïî得13x y ì=ïí=ïî，所以()1,3A ，此时11233z +==. 故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z Ax By C =++的几何意义为可行域内的点到直线A 0x By C ++=()()22b z x a y =-+-的几何意义为可行域内的点到点()a,b 的距离的平方。
江苏省五校2019届高三上学期12月联考数学试卷(精校Word版含答案)
精校 Word 文档，欢迎下载使用！2019届高三年级五校联考数学试题（ I ）卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题） . 本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟 . 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．作答试题，必须用0. 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 : 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，把答案填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．上 .．1. 已知集合 A {1,2}, B { a,3} ，若A B {1} ，则A B ▲.2.函数f (x) lg( x2 2x 3) 的定义域为▲.3.已知复数z满足z i 1 i（ i 是虚数单位），则复数 z的模为▲.4.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲.5. 已知函数f ( x) 2x , x 0，则 f ( f ( 2)) log 2 x, x 0▲ .6.若“| x a | 1 ”是“ x 2 ”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为▲.7.已知函数y ln x a 的图象与直线y x 1相切，则实数a的值为▲.8.已知函数y sin(2x )( ) 在 x 时取得最大值，则的值是▲.2 2 69.在平面直角坐标系xOy 中，已知角的终边经过点 A(1,2) , 将角的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合, 则sin( ) 的值为▲.210.已知等差数列{ a n}的前n项和为S n，若1 a1 3,6 S3 15 ，则a2的取值范围a1是▲.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 y 2 1(a b 0) 的左、右顶点分别为 A 、a2 b2第1页共12页精校 Word 文档，欢迎下载使用！B ，右焦点为 F ，上顶点为C ，线段 BC 的中点为 M ，直线 AM 与椭圆的另一个交点为D ，且 DF 垂直于 x 轴，则椭圆离心率 e 的值为 ▲.12.如图，在ABC 中， a 、b 、c 分别是角 A 、B 、 C 所对的边， E, F 是 AB 上的两个三等 分点， G, H 是 AC 上的两个三等分点，(BG CE ) (BH CF )10 ，则 b cosC 的最小▲.9值为13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x 2y 2 1，直线 l : y x a ，过直线 l 上点 P 作圆 O 的切线 PA, PB ，切点分别为 A, B ，若存在点 P 使得 PA PB3PO ，则实数 a 的取值范围是▲. 214.已知函数 f ( x)e x | x a |, x 1x 2 2ax2, x（ e 是自然对数的底数）恰有三个不同的零点，1则实数 a 的取值范围是▲.二、解答题 : 本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. ( 本小题满分 14 分 )已知向量 a ( 2cos ,1) ， b (1,2 sin )且(0, ) （ 1）若 a // b ，求 的值； （ 2）若 a b2，求 | a b | 的值 .516. ( 本小题满分 14 分 )已知函数 f ( x)e x m2x 是定义在 [ 1,1] 的奇函数（其中 e 是自然对数的底数） .e x（ 1）求实数 m 的值；（ 2）若 f ( a 1) f (2a 2 ) 0 ，求实数 a 的取值范围 .17. (本小题满分14 分 )xOy 中，已知椭圆 C :x2 y 2如图，在平面直角坐标系22 1(a b 0)的右准线方程ab第2页共12页精校 Word 文档，欢迎下载使用！l : x 4 ，离心率 e1，左右顶点分别为 A, B ，右焦点为 F ，点 P 在椭圆上，且位于 x2轴上方 .（ 1）设直线PA的斜率为 k 1 ，直线 PB 的斜率为 k 2 ，求 k 1 k 2 的最小值；QF ，直线 QP 交 x（ 2）点 Q 在右准线 l 上，且 PF负半轴于点 M ，若 MF 6，求点 P 坐标 . 18. ( 本小题满分 16 分 )如图， 港珠澳大桥连接珠海（A 点）、澳门（ B 点）、香港（C 点）．线段 AB 长度为 10(km) ， 线段 BC 长度为 40(km) ，且 ABC60 .澳门（ B 点）与香港（ C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛 E 和人工岛 F ，海底隧道是以 O 为圆心，半径 R10 3(km) 的一段圆弧 EF ，从珠海点3A 到人工岛 E 所在的直线 AE 与圆 O 相切，切点为点 E ， 记AEB ,[ , ) .6 2（ 1）用 表示 AE 、EF 及弧长 EF ；（ 2）记路程AE 、弧长EF 及BE 、FC 四段长总和为l ，当取何值时，l 取得最小值？R10 3(km)10(km )3（第 18 题）19. ( 本小题满分 16 分 )f2x x g x e x xa x （ e 是自然对数的底数） .已知函数x ax( )ln , ( ) (2)(22)（ 1）若 a 1 ，求函数 f ( x) 的单调增区间；（ 2）若关于 x 的不等式 f ( x) 0 恒成立，求实数a 的取值范围；第3页共12页（ 3）若函数h( x)f ( x) g(x) 在 x 1 处取得极大值，求实数a 的取值范围.20.( 本小题满分 16 分 )已知数列 { a n } 、 {b n } 、 { c n} ，对于给定的正整数k ，记b n a n a n k，c n anan k（ n N ） .若对任意的正整数n 满足：b n b n 1，且 { c n } 是等差数列，则称数列{ a n } 为“ H (k ) ”数列.（ 1）若数列{ a n}的前n项和为S n n 2，证明：{ a n}为 H (k ) 数列；（ 2）若数列{ a n}为H (1)数列，且 a11, b11, c25 ，求数列{ a n}的通项公式；（ 3）若数列{ a n}为H ( 2)数列，证明：{ a n } 是等差数列.江苏省启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校2019 届高三 12 月月考数学试题数学试题（ II ）卷21． (本小题满分10 分 )已知矩阵 A a 21b 27的逆矩阵 A7，设曲线 F 在矩阵 A 对应的变换作用下得3 a到曲线 y 2x ，求曲线 F 的方程.22． (本小题满分10 分 )第4页共12页x t（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴已知直线 l 的参数方程为y at建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2 2 2 sin( )20( 0) ，直线 l 与圆 C4相交于 A、B两点.若弦长 AB 2 2 ，求实数a的值.23. (本小题满分10 分 )已知点 P 是抛物线y2x上的一点，过点P作两条直线 l1与l2，分别与抛物线相交于A 、B两点 .（ 1）已知点P(0,0)且l1l2，求证：直线AB 恒过定点；（ 2）已知点P(1,1) ，直线AB所在直线方程为 y x b ，且PAB 的垂心 H 在x轴上，求实数 b 的值.24.(本小题满分 10 分 )已知数列 { a n } 满足 a n 1 a n2 na n 1.（ 1）a1 2 ，求 a2 ,a3，并猜想数列 { a n} 通项公式；（ 2）若a1 3，用数学归纳法证明a n n 2a1 a2 a n 2n 2 n 4 .第5页共12页一、填空题 : 数学试卷（ I ）答案1、 {1,2,3} 2 、 ( , 1) (3, ) 3、 24 、55、-2 6 、 a 17、 2893 10 、 [ 2 11412 、1、 6 、5,5]、5313 、[ 2 2,2 2 ]14 、 ( 3 ,2 ) 二、解答题 :2215、解（ 1）因为a //b ，所以 4sincos1，所以 sin 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分5 25( 0,)，所以 2(0,2 )，所以2又因为或，所以或⋯⋯⋯⋯7分661212（漏 1解扣 2分）（ 2）因为a b 2 2 sin 2 sin1 ⋯分10，所以 2 cos，所以 cos⋯⋯⋯⋯555所以| ab |(2 cos 1) 2( 2 sin1)2170⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分145（忘记开根号扣 2 分）16、解（ 1）因为 f ( x) e x当 m=1时， f ( x)e x 11e x （ 2） f( x) e x2 e x 1e x2 ，所以 f (x) e xm2x 是定义在 [ 1,1] 的奇函数，所以 f (0) 0 ，所以 m=1⋯4分 e x2 x ，所以 f ( x) 1 e x 2x f (x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 e x0 ，当且仅当x=0时 f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在 [ 1,1] 单调递增⋯10分1 a 1 11所以 12a 2 1，所以0 a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分 14a 12a22（忘记定义域扣 2 分）x2y21⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分17、解（ 1）34y 0y 0 4 y 0 3设点P ( x 0 , y 0 )，则 k 1k 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x 0 2 x 0 2 x 02 4 y 0因为y 0 (0, 3] ，所以，当 y 03 时 k 1k 2 的最小值为3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（用结论k 1k 2b 2不证明扣 2 分）a 2x 0 1( x3( x 01))⋯⋯⋯⋯⋯9分（2）设点 P(x 0 , y 0 ) ，则 QF ： y1) ，所以点 Q (4,y 0y 0因为点 P 、Q 、 M 三点共线，所以 kPMk QM ，所以 3y 02 ( x 05)(1 x 0 ) ⋯⋯⋯⋯⋯ 分11第6页共12页2 24又因为x 0y 0 1 ，所以 x 04 或( 2,2) ，所以 P (4,3 7) ⋯⋯⋯ 14分，因为 x 04355 518.解（ 1）在ABE 中，由正弦定理可知：AE 10 5 3 sin 60sinAE⋯⋯⋯⋯⋯2分sin在OEF 中， EF 2R sin20 3 sin ⋯⋯⋯⋯⋯4分3EF2 20 3⋯⋯⋯⋯⋯6分R35 320（ 2） l3 sin l '5 3(3cos34020 3sin ,6 ⋯⋯⋯⋯⋯8分324sin 2 4cos sin 2 )5 3(4 cos 34 cos 2 7 cos 4)3sin 23sin 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 10即 l '5 3(2 cos1)( 2 cos 2cos4)⋯⋯⋯⋯⋯ 分123sin 2由 tcos (0,3 ] ，则 2cos 2 cos4 2t 2 t 4 0 ⋯⋯⋯⋯⋯ 分142 当 时， l ' 0 ；当 时， l '6 3 3 2l 在 ( , ) 上单调递减，在 ( , 2 ) 上单调递增6 3 3答：当 时， l 取得最小值 .⋯⋯⋯⋯⋯ 分163 1( 2x 1)(x 1) 19. 解（ 1）当 a 1时， f ( x) x 2ln x x f ' (x) 2x 1 xx因为 x 0 ，所有 0 x 1 时， f ' ( x) 0 ； x 1 时， f '( x) 0则f ( x) 在(1,) 上单调递增。
江苏省华罗庚中学、江都中学和仪征中学2018-2019学年高二上学期12月联考数学试题(含精品解析)
华罗庚中学、江都中学和仪征中学12月联考试卷高二数学分值：160分，时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.命题“[)30,0x xx "???，”的否定是______.【答案】[)30000,.0x x x $??<【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“[)30000,.0x xx $??<”.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.2.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是________. 【答案】250x y ++=或250x y +-= 【解析】 【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可得到直线方程 【详解】设所求直线为20x y b ++=5b =?则所求直线为250x y ++=或250x y +-= 故答案为250x y ++=或250x y +-=，属于基础题。
3.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ．【答案】【解析】试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是,故,故应填考点：抛物线和双曲线的几何性质及运用．视频4.若“0,,tan 4x x m p轾"危犏犏臌”是真命题，则实数m 的最小值为 ．【答案】 【解析】试题分析：，，当时，的最大值是1，故，即实数的最小值是1．考点：全称命题的应用5.设*n N Î，一元二次方程240x x n -+=有正整数根的充要条件是n =________. 【答案】3或4 【解析】 【分析】首先判别式要为非负数，结合n 是正整数，求得n 的所有可能取值，然后求得相应的实数根，从而求得所求n 的值.【详解】由于一元二次方程由实数根，故1640n D=-?，解得14n ＃.当1n =时，方程为2410x x -+=，两根为2±不合题意.当2n =时，方程为2420x x -+=，两根为2±. 当3n =时，方程为2430x x -+=，两根为1,3，合题意.当4n =时，方程为2440x x -+=，根为2，合题意. 故填3或4.【点睛】本小题考查一元二次方程根的分布，考查一元二次方程求根公式以及判别式，属于基础题. 6.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是_________.【答案】140 【解析】 【分析】先计算出22.530~的频率，然后用200乘以这个频率得出所求的人数.【详解】由图象可知，22.530~的频率之和为()2.50.160.080.040.7?+=，故所求人数为2000.7140?人.【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图求频率以及频数，考查阅读和理解能力，属于基础题. 7.执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .【答案】20 【解析】试题分析：输入3n =，在程序执行过程中，,,i S T 的值依次为0,0,0i S T ===；1,1,i S ==1T =；2,3,4i S T ===；3,6,10i S T ===；4,10,20i S T ===，程序结束．输出20T =．考点：程序框图．视频8.已知直线l ：10()x ay a R +-=?是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝_________. 【答案】6 【解析】试题分析：利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值． 解：由圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0得，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 =4， 所以C （2，1）为圆心、半径为2，由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1=0，得a=﹣1，则点A （﹣4，﹣1），即|AC|==，所以切线的长|AB|===6，故答案为：6．考点：直线与圆的位置关系．9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________.【答案】221520x y -=【解析】试题分析：由双曲线的渐近线方程by x a=?可知2b a =；又由题意5c =，那么a =221520x y -=.考点：双曲线的渐近线 10.设,P Q 分别为圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是_________.【答案】【解析】 【分析】求得圆心坐标C 和半径r ，设出椭圆上任意一点的坐标Q ，利用QC r +，表示椭圆上的点到圆上点的最大距离的表达式，再利用三角函数与二次函数结合，求得这个表达式的最大值.【详解】依题意可知圆心()0,6C ，半径是r 设椭圆上任意一点的坐标为),sin Qq q ，此时Q 点到圆上的点的最大距离为Q C r +，即，化简得62，对称轴()122sin 293q -=-=-?时，取得最大值为==【点睛】本小题主要考查圆和椭圆的位置关系，考查圆外一点到圆上的点的最大距离的表示，考查三角换元的思想方法以及化归与转化的数学思想方法.圆的标准方程给定，那么圆心和半径就确定下来.圆外一点和圆上点的距离的最大值和最小值，转化为圆外的点到圆心的距离加上半径和减去半径来表示. 11.若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______. 【答案】(,)e e 【解析】试题分析：因为ln 1y x ¢=+，设切点(,)a b ，则ln 12,,k a a e =+==又ln ,b a a e ==(,).P e e 考点：利用导数求切点视频12.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A B 、两点，左焦点在以AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为________.【答案】1e <【解析】 【分析】求得双曲线的左准线方程和渐近线方程，联立方程求得,A B 两点的坐标，由此求得圆的半径，利用左焦点到圆心的距离小于半径列不等式，化简这个不等式求得双曲线离心率的取值范围.【详解】设双曲线方程为22221x y a b -=，故左准线方程为2a x c=-，渐近线方程为0bx ay ?，将左准线方程代入渐进线方程，求得22,,,a ab a ab A B c c c c 骣骣琪琪---琪琪桫桫，圆心为2,0a c骣琪-琪桫，半径为ab c ，左焦点为(),0c -，由于左焦点在以AB 为直径的圆内，故()2a abc c c 骣琪---<琪桫，化简得b a <，即01ba<<，故离心率(e =.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查了双曲线的准线方程与渐近线方程的交点坐标，考查点和圆的位置关系，考查了双曲线的离心率.属于中档题.本题的突破口在于左焦点在圆内，也即点到圆心的距离小于半径，通过这个列出不等式，将不等式化简成离心率需要的形式，由此求得离心率的取值范围.13.已知定义[]1,4在函数()f x 的导函数()f x ¢，满足 ()2()0xf x f x +>¢，且32()=23f ，则不等式232()0f x x ->的解集为______. 【答案】342纟çúçú棼， 【解析】 【分析】构造函数()()2F x x f x =，利用已知条件，求得函数()F x 的导数在定义域上恒大于零，即为增函数，然后将所求不等式转化为()32F x F 骣琪>琪桫，根据单调性求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()2F x x f x =，依题意()()()()()2220F x xf x x fx x f x xf x ⅱ?轾=+=+>臌，故函数()F x 在区间[]1,4上递增，且233332222F f 骣骣骣琪琪琪=?琪琪琪桫桫桫，原不等式()2320f x x ->可变为()232x f x >，即()32F x F 骣琪>琪桫，根据单调性有342x <?，故原不等式的解集为342纟çúçú棼，. 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查运用函数的导数来求得函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.题目给定一个含有导数的不等关系式，根据这个式子的结构，构造出对应的函数出来，使得这个函数的导数与不等式有关，从而可以利用这个不等式的值，得到函数的导数值，从而得到所构造函数的单调区间.14.已知函数()23236,0,34,0,x x x f x x x x ì-+?ï=í--+<ïî设 ()(){}A 0x Z x f x a =??｜，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为________. 【答案】34 【解析】 【分析】画出函数的图像，将集合A 中的不等式用分段函数表示出来，结合图像以及题目要求的“有且只有4个整数解”，求出a 的所有取值，由此得出整数a 的个数.【详解】画出函数图像如下图所示.对于集合A ，原不等式等价于()0x f x a ì<ïí<ïî或()0x f x a ì³ïí³ïî，即当0x <时，使得函数值小于a 的整数点，与0x ³时，使得函数值大于或等于a 的整数点，两者整数点之和为4.结合图像分析可知，a 的所有可能取值为23,22,21,,10,9-----和0,2,3,4,5,,18,19，共34个.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查一元二次不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设p ：函数3211()(1)132f x x m x x =+-++在R 是增函数；q ：方程22112x y m m -=-+表示焦点在x 轴上的双曲线．(1)若p 为真，求实数m 的取值范围；(2)若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）13m -＃；（2）[1,1]3,+)-去（. 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 求导，根据函数()f x 在R 上递增可知，导函数恒为非负数，结合二次函数判别式列不等式，可求得m 的取值范围.（2）先求得q 真时，m 的范围.“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，也即,p q 一真一假，故分为“p 真q 假”和“p 假q 真”两类，求得实数m 的取值范围.【详解】（1）易知()2110x m x +-+?的解集为R ，则()2140m D=--?，解之得13m -＃。
江苏省江都中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
江苏省江都中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 3． 设集合M={1，2}，N={a 2}，则“a=1”是“N ⊆M ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 5． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣206． 对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D7．函数y =的定义域为（ ）A ．{}|5x x ≠±B ．{}|4x x ≥C ．{}|45x x <<D ．{}|455x x x ≤<>或8． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y= C ．x=，y= D ．x=，y=19． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）A ．2 B．C．D ．1310．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.11．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ） A．124+B．124- C. 34 D ．0 12．设复数z 满足z （1+i ）=2，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ）A1B ﹣1 Ci D ﹣i二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ．14．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．15．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数的取值范围是 ． 16．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.三、解答题（本大共6小题，共70分。
2019届江苏省江都中学、华罗庚中学等13校高三上学期12月联合调研测试英语试题(解析版)
2019届江苏省江都中学、华罗庚中学等13校高三上学期12月联合调研测试英语试题第I卷选择题(共3部分，满分85分)第一部分:听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.音频What is in the study?A. A thief.B. A rat.C. A dog.【答案】C【解析】【详解】此题为听力题，解析略。
2.音频What’s the probable relationship between the man and Mary?A. Father and daughter.B. Friends.C. husband and wife.【答案】C【解析】【详解】此题为听力题，解析略。
3.音频What might the man dress up like for the coming Halloween?A. A ghost.B. A skeleton.C. A witch.【答案】B【解析】【详解】此题为听力题，解析略。
4.音频What does the woman mean?A. The man is not fully recovered yet.B. The man can leave the hospital now.C. She is not certain about the man’s condition.【答案】A【解析】【详解】此题为听力题，解析略。
5.音频What will the woman do later probably?A. Watch TV.B. Go shopping.C. Go to work.【答案】B【解析】【详解】此题为听力题，解析略。
2018-2019学年江苏省华罗庚中学、江都中学、仪征中学高一(上)12月联考数学试卷
2018-2019学年江苏省华罗庚中学、江都中学、仪征中学高一（上）12月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知角α的终边经过点(−4, 3)，则cos α=( ) A.−45 B.35C.−35D.452. 如果f(√x +1)＝x +2√x ，则f(x)的解析式为（ ） A.f(x)＝x 2(x ≥1) B.f(x)＝x 2−1(x ≥0)C.f(x)＝x 2−1(x ≥1)D.f(x)＝x 2(x ≥0)3. 幂函数f(x)的图象过点(2,√2)，则f(12)=( )A.√2B.4C.√22D.144. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a−b ＝（ ） A.1049B.4910C.710D.1075. sin 240∘的值为（ ） A.12B.−12C.√32D.−√326. 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →=(1, −2)，AD →=(2, 1)，则AD →⋅AC →=（ ） A.5 B.4C.3D.27. 若f(x)={f(x +1),x <4,2x ，x ≥4,则f(log 23)=( )8. 函数f(x)=2x +3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(−2, −1) B.(−1, 0) C.(0, 1) D.(1, 2)9. 已知sin (−α)=√53，则cos (π2+α)的值为（ ）A.23B.−23C.√53D.−√5310. f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只要将g(x)＝cos 2x 的图象（ ）A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移π12个单位长度 D.向左平移π6个单位长度11. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM →=45AB →，AN →=23AD →，连接AC 、MN交于P 点，若AP →=λAC →，则λ的值为（ ）A.35 B.37C.411D.41312. f(x)={(12)x −log 3(x +1)−1x ≥0若0≤θ≤π恒有f(cos 2θ−2m sin θ)+f(3m −5)>0，则m 的取值范围是（ ） A.(−∞, 5)B.(−∞,43)C.(5, +∞)D.(43,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）函数f(x)=√−1+ln x 的定义域是________．已知向量a →,b →满足|a →|=2，|b →|=√2，a →与b →的夹角为π4，则|a →+b →|=________．若偶函数f(x)满足f(x +π)＝f(x)，且f(−π3)=12，则f(2017π3)的值为________．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2．设点P ，Q 满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ)AC →，λ∈R ．若BQ →⋅CP →=−32，则λ＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）已知集合A ＝[0, 3)，B ＝[a, a +2)． （1）若a ＝−1，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．已知向量a →=(cos α, sin α)，b →=(−2, 2)． （1）若a →⋅b →=145，求(sin α+cos α)2的值；（2）若a →∥b →，求sin (π−α)⋅sin (π2+α)的值．某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；（2）若将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求当x ∈[−π3, π3]时，函数g(x)的值域；（3）若将y ＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝ℎ(x)的图象，若＝ℎ(x)图象的一个对称中心为(π12,0)，求θ的最小值．已知向量a →=(m, −1)，b →=(12,√32) （1）若m =−√3，求a →与b →的夹角θ；（2）设a →⊥b →．①求实数m 的值；②若存在非零实数k ，t ，使得[a →+(t 2−3)b →]⊥(−ka →+tb →)，求k+t 2t的最小值．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB ̂、CD ̂所在圆的半径分别为f(x)、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=π3，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？已知函数f(x)＝ax2+bx+1(x∈R)，（a，b为实数）．（1）若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0, +∞)，求f(x)的表达式；（2）在（1）的条件下，若关于x方程|f(x+1)−1|＝m|x−1|只有一个实数解，求实数m的取值范围；（3）在（1）的条件下，求函数ℎ(x)＝2f(x+1)+x|x−m|+2m最小值．参考答案与试题解析2018-2019学年江苏省华罗庚中学、江都中学、仪征中学高一（上）12月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】任意角的三角函数【解析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点(−4, 3)，∴x=−4，y=3，r=√x2+y2=5．∴cosα=xr =−45=−45，故选A．2.【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】把已知函数解析式配方，可得f(√x+1)=(√x+1)2−1，从而得到函数解析式．【解答】f(√x+1)＝x+2√x=(√x+1)2−1，令t=√x+1≥1，∴f(t)＝t2−1(t≥1)．则f(x)＝x2−1(x≥1)．3.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由于幂函数f(x)＝xα的图象过点(2, √2)，把此点的坐标代入解得α，从而求出f(12)的值即可．【解答】设幂函数f(x)＝xα，∵图象过点(2, √2)，∴√2=2α，解得α=12故f(x)=√x，f(12)=√22，4.【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由已知得3a＝10，3b＝7，从而3a−b=107．【解答】∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a−b=3a3b=107．5.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】sin240∘＝sin(180∘+60∘)＝−sin60∘=−√32，6.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC→=AB→+AD→=(1,−2)+(2,1)=(3,−1)，所以AD→⋅AC→=2×3+(−1)×5．故选A．7.【答案】【考点】对数的运算性质分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】f(x)为分段函数，要求f(log23)的值，先判断log23的范围，代入x<4时的解析式，得到f(log23+1)，继续进行直到自变量大于4，代入x≥4时的解析式求解．【解答】解：∵1<log23<2，4<log23+3<5，∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=2log23+3=2log2323=3×8=24，故选D.8.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】判断函数的单调性，利用f(−1)与f(0)函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．【解答】解：函数f(x)=2x+3x是增函数，f(−1)=12−3<0，f(0)=1+0=1>0，可得f(−1)f(0)<0．由零点判定定理可知：函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间为(−1, 0)．故选B.9.【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值运用诱导公式化简求值【解析】直接由三角函数的诱导公式化简得答案．【解答】∵sin(−α)=−sinα=√53，∴sinα=−√53．则cos(π2+α)=−sinα=√53．10. A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求φ与ω的值，确定函数f(x)的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果．【解答】函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象，可得A＝1，14T=π3−π12=π4，T＝π，则ω＝2，再根据五点法作图可得2×π12+φ=π2，求得φ=π3，故f(x)＝sin(2x+π3)．函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，可得y＝sin[2(x+π12)+π3]＝sin(2x+π2)＝cos2x的图象，则只要将g(x)＝cos2x的图象向右平移π12个单位长度可得f(x)11.【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．【解答】∵AM→=45AB→，AN→=23AD→，连∴AP→=λAC→=λ(AB→+AD→)＝λ(54AM→+32AN→)=54λAM→+32λAN→，∵三点M，N，P共线．∴54λ+32λ＝1，∴λ=411，12.【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】首先分析出函数f(x)为R上的奇函数，且单调递增，进而把问题转化为sin2θ+2m sinθ−3m+4>0在0≤θ≤π2上恒成立，换元可得t2+2mt−3m+4>0在[0, 1]上恒成立，再分离参数即可得解．当x ≥0时，−x <0，则f(−x)＝−2−x +log 3(1+x)+1＝−f(x)； 当x <0时，−x >0，则f(−x)=(12)−x−log 3(1−x)−1=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，由y =(12)x 为减函数，y ＝log 3(x+1)为增函数，可知函数f(x)为减函数，∴ f(cos 2θ−2m sin θ)+f(3m −5)>0等价为cos 2θ−2m sin θ<5−3m ，即sin 2θ+2m sin θ−3m +4>0， 令t ＝sin θ∈[0, 1]，则t 2+2mt −3m +4>0在[0, 1]上恒成立， 即m <t 2+43−2t=14(3−2t)2−32(3−2t)+2543−2t=3−2t 4+2543−2t−32，令μ＝3−2t ∈[1, 3]，则m <μ4+254μ−32，令ℎ(μ)=μ4+254μ−32，易知函数ℎ(μ)在[1, 3]上为减函数，故ℎ(μ)min =ℎ(3)=43，故m <43．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 【答案】 [e, +∞) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，求解对数不等式得答案． 【解答】要使原函数有意义，则−1+ln x ≥0，即ln x ≥1，解得x ≥e ． ∴ 函数f(x)=√−1+ln x 的定义域是[e, +∞)． 【答案】√10【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用向量的模以及数量积的运算法则化简求解即可． 【解答】向量a →,b →满足|a →|=2，|b →|=√2，a →与b →的夹角为π4，则|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√4+2+2×2×√2×√22=√10． 【答案】12【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据偶函数f(x)满足f(x +π)＝f(x)，可知函数的周期T ＝π，则f(2017π3)＝f(π3)即可得答案．【解答】由题意，f(x +π)＝f(x)，可知函数的周期T ＝π，则f(2017π3)＝f(π3)∵ f(−π3)=12，f(x)是偶函数．∴ f(π3)=12即f(2017π3)的值为12．【答案】12【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，建立坐标系，据此可得向量AB →、AC →的坐标，由向量的坐标计算公式可得P 、Q 的坐标，进而可得CP →、BQ →的坐标，由向量数量积的坐标计算公式可得若BQ →⋅CP →=−23，则有(2λ−1)×(−1−λ)+(−√3)×(√3−√3λ)=−32，变形解可得λ的值，即可得答案． 【解答】根据题意，如图，建立坐标系：则A(0, 0)，B(2, 0)，C(1, √3)， 则AB →=(2, 0)，AC →=(1, √3)，又由AP →=λAB →，则AP →=(2λ, 0)，则P 的坐标为(2λ, 0)，AQ →=(1−λ)AC →，则AQ →=(1−λ, √3−√3λ)，则Q 的坐标为(1−λ, √3−√3λ) 则CP →=(2λ−1, −√3)，BQ →=(−1−λ, √3−√3λ)，若BQ →⋅CP →=−23，则有(2λ−1)×(−1−λ)+(−√3)×(√3−√3λ)=−32，变形可得：4λ2−4λ+1＝0， 解可得：λ=12；三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 【答案】∵ A ＝[0, 3)，B ＝[a, a +2)＝[−1, 1)， ∴ A ∪B ＝[−1, 3)；∵ A ∩B ＝B ，∴ B ⊆A ，∴ {a ≥0a +2≤3 ，解得：0≤a ≤1． 【考点】集合的包含关系判断及应用（1）吧a 的值代入确定出B ，求出A 与B 的并集即可；（2）由A 与B 的交集为B ，得到B 为A 的子集，确定出a 的范围即可． 【解答】∵ A ＝[0, 3)，B ＝[a, a +2)＝[−1, 1)， ∴ A ∪B ＝[−1, 3)；∵ A ∩B ＝B ，∴ B ⊆A ， ∴ {a ≥0a +2≤3 ，解得：0≤a ≤1． 【答案】∵ 向量a →=(cos α, sin α)，b →=(−2, 2)．a →⋅b →=2sin α−2cos α=145，∴ 解得：sin α−cos α=75，两边平方，可得：1−2sin αcos α=4925，解得：2sin αcos α=−2425，∴ (sin α+cos α)2＝1+2sin αcos α＝1−2425=125．∵ a →∥b →，∴ 2cos α+2sin α＝0，解得：cos α+sin α＝0，∴ 两边平方可得：1+2sin αcos α＝0，解得：sin αcos α=−12， ∴ sin (π−α)⋅sin (π2+α)＝sin α⋅cos α=−12．【考点】三角函数中的恒等变换应用 平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式可求2sin αcos α的值，即可得解．（2）根据平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式可求sin αcos α，进而利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】∵ 向量a →=(cos α, sin α)，b →=(−2, 2)．a →⋅b →=2sin α−2cos α=145，∴ 解得：sin α−cos α=75，两边平方，可得：1−2sin αcos α=4925，解得：2sin αcos α=−2425，∴ (sin α+cos α)2＝1+2sin αcos α＝1−2425=125． ∵ a →∥b →，∴ 2cos α+2sin α＝0，解得：cos α+sin α＝0，∴ 两边平方可得：1+2sin αcos α＝0，解得：sin αcos α=−12， ∴ sin (π−α)⋅sin (π2+α)＝sin α⋅cos α=−12．【答案】根据表中已知数据，解得A ＝3，ω＝2，φ=π6，数据补全如下表：函数表达式为f(x)＝3sin (2x +π6)．将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 得到图象对于的函数解析式为：g(x)＝3sin (x +π6)．由x ∈[−π3, π3]，可得：x +π6∈[−π6, π2]，可得：sin (x +π6)∈[−12, 1]，可得：函数g(x)＝3sin (x +π6)∈[−32, 3]．若将y ＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝ℎ(x)的图象，若ℎ(x)图象的一个对称中心为(π12,0)，由(Ⅰ)知f(x)＝3sin (2x +π6)，得g(x)＝3sin (2x +2θ+π6)． 因为y ＝sin x 的对称中心为(kπ, 0)，k ∈Z ． 令2x +2θ+π6=kπ，解得x =kπ2−π12−θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g(x)的图象关于点(π12, 0)成中心对称，令：kπ2−π12−θ=π12，解得θ=kπ2−π6，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π3．【考点】五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A 、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．（2）根据函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律可求g(x)，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）由（1）及函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律得g(x)，令2x +2θ+π6=kπ，解得x =kπ2−π12−θ，k ∈Z ．令：kπ2−π12−θ=π12，结合θ>0即可解得θ的最小值．根据表中已知数据，解得A ＝3，ω＝2，φ=π6， 数据补全如下表：函数表达式为f(x)＝3sin (2x +π6)．将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 得到图象对于的函数解析式为：g(x)＝3sin (x +π6)．由x ∈[−π3, π3]，可得：x +π6∈[−π6, π2]，可得：sin (x +π6)∈[−12, 1]， 可得：函数g(x)＝3sin (x +π6)∈[−32, 3]．若将y ＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝ℎ(x)的图象，若ℎ(x)图象的一个对称中心为(π12,0)，由(Ⅰ)知f(x)＝3sin (2x +π6)，得g(x)＝3sin (2x +2θ+π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(kπ, 0)，k ∈Z ． 令2x +2θ+π6=kπ，解得x =kπ2−π12−θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g(x)的图象关于点(π12, 0)成中心对称，令：kπ2−π12−θ=π12， 解得θ=kπ2−π6，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π3．【答案】向量a →=(m, −1)，b →=(12,√32)，若m=−√3，a →与b →的夹角θ， 则有cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−√3⋅12−1⋅√322⋅1=−√32，∴θ=5π6．①设a →⊥b →，则a →⋅b →=m 2−√32=0，∴ m =√3．②由①可得，a →=(√3, −1)，a →⋅b →=√32−√32=0，若存在非零实数k ，t ，使得[a →+(t 2−3)b →]⊥(−ka →+tb →)，故有[a →+(t 2−3)b →]•(−ka →+tb →)＝0， ∴ −ka →2+[−k(t 2−3)+t]a →⋅b →+t(t 2−3)b →2=−k ⋅4+0+t(t 2−3)＝0，∴ 4k ＝t(t 2−3)，∴ k+t 2t=t 2−34+t =t 2+4t−34=(t+2)2−74≥−74，当且仅当t ＝−2时，取等号，故k+t 2t的最小值为−74．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）由条件利用两个向量的数量积的定义求得cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|的值，可得θ的值．（2）①利用两个向量垂直的性质，求得m 的值．②根据[a →+(t 2−3)b →]•(−ka →+tb →)＝0，求得4k ＝t(t 2−3)，从而求得 k+t 2t=(t+2)2−74，再利用二次函数的性质求得它的最小值． 【解答】向量a →=(m, −1)，b →=(12,√32)，若m =−√3，a →与b →的夹角θ， 则有cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−√3⋅12−1⋅√322⋅1=−√32，∴ θ=5π6．①设a →⊥b →，则a →⋅b →=m 2−√32=0，∴ m =√3．②由①可得，a →=(√3, −1)，a →⋅b →=√32−√32=0，若存在非零实数k ，t ，使得[a →+(t 2−3)b →]⊥(−ka →+tb →)，故有[a →+(t 2−3)b →]•(−ka →+tb →)＝0， ∴ −ka →2+[−k(t 2−3)+t]a →⋅b →+t(t 2−3)b →2=−k ⋅4+0+t(t 2−3)＝0，∴ 4k ＝t(t 2−3)，∴ k+t 2t=t 2−34+t =t 2+4t−34=(t+2)2−74≥−74，当且仅当t ＝−2时，取等号，故k+t 2t的最小值为−74．【答案】花坛的面积为92π(m 2)；当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大． 【考点】 扇形面积公式 【解析】（1）设花坛的面积为S 平方米.S =12r 22θ−12r 12θ，即可得出结论； （2）记r 2−r 1＝x ，则0<x <10，所以S =12(403−43x)x =−23(x −5)2+503,x ∈(0,10)，即可得出结论．【解答】设花坛的面积为S 平方米.S =12r 22θ−12r 12θ⋯=12×36×π3−12×9×π3=92π(m 2)⋯ 答：花坛的面积为92π(m 2)；AB̂的长为r 1θ米，CD ̂的长为r 2θ米，线段AD 的长为(r 2−r 1)米 由题意知60⋅2(r 2−r 1)+90(r 1θ+r 2θ)＝1200 即4(r 2−r 1)+3(r 2θ+r 1θ)＝40∗S =12r 22θ−12r 12θ=12(r 2θ+r 1θ)(r 2−r 1)⋯由*式知，r 2θ+r 1θ=403−43(r 2−r 1)⋯记r 2−r 1＝x ，则0<x <10 所以S =12(403−43x)x =−23(x −5)2+503,x ∈(0,10)⋯当x ＝5时，S 取得最大值，即r 2−r 1＝5时，花坛的面积最大． 答：当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大．【答案】显然a ≠0∵ f(1)＝0∴ a +b +1＝0−−−−−−−−−−− ∵ x ∈R ，且f(x)的值域为[0, +∞) ∴ △＝b 2−4a ＝0−−−−−−−−−由{a +b +1=0b 2−4a =0 ⇒{a =1b =−2 ∴ f(x)=x 2−2x +1−−−−−−−−−−方程|f(x +1)−1|＝g(x)，即|x 2−1|＝m|x −1|，变形得|x −1|(|x +1|−m)＝0，显然，x ＝1已是该方程的根，欲原方程只有一解，即要求方程|x +1|＝m ，有且仅有一个等于1的解或无解， 解得m <0．①当x ≥m 时，ℎ(x)＝3x 2−mx +2m( I)如果m ≥0，ℎ(x)min =ℎ(m)=2m 2+2m ； ( II)如果m <0，ℎ(x)min =ℎ(m6)=2m −m 212；②当x ≤m 时，f(x)＝x 2+mx +2m ( I)如果m ≥0，ℎ(x)min =ℎ(−m2)=−m 24+2m ；( II)如果m <0，ℎ(x)min =ℎ(m)=2m 2+2m ； 由于2m 2+2m −(−m 24+2m)≥02m −m 212−(2m 2+2m)≤0所以ℎ(x)min ={2m −m 24,m ≥02m −m 212,m <0. ⋯ 【考点】二次函数的性质函数的最值及其几何意义 二次函数的图象 （1）利用f(1)＝0得到a +b +1＝0，f(x)的值域为[0, +∞)，推出△＝b 2−4a ＝0，求出a ，b ，即可得到函数的解析式．（2）方程|f(x +1)−1|＝g(x)，化为|x −1|(|x +1|−m)＝0，原方程只有一解，即方程|x +1|＝m ，有且仅有一个等于1的解或无解，求解即可．（3）①当x ≥m 时，ℎ(x)＝3x 2−mx +2m ，通过m ≥0，m <0，求出最小值，②当x ≤m 时，f(x)＝x 2+mx +2m通过m ≥0，m <0，求出最小值即可． 【解答】显然a ≠0∵ f(1)＝0∴ a +b +1＝0−−−−−−−−−−− ∵ x ∈R ，且f(x)的值域为[0, +∞) ∴ △＝b 2−4a ＝0−−−−−−−−−由{a +b +1=0b 2−4a =0 ⇒{a =1b =−2 ∴ f(x)=x 2−2x +1−−−−−−−−−−方程|f(x +1)−1|＝g(x)，即|x 2−1|＝m|x −1|，变形得|x −1|(|x +1|−m)＝0，显然，x ＝1已是该方程的根，欲原方程只有一解，即要求方程|x +1|＝m ，有且仅有一个等于1的解或无解， 解得m <0．①当x ≥m 时，ℎ(x)＝3x 2−mx +2m( I)如果m ≥0，ℎ(x)min =ℎ(m)=2m 2+2m ； ( II)如果m <0，ℎ(x)min =ℎ(m6)=2m −m 212；②当x ≤m 时，f(x)＝x 2+mx +2m ( I)如果m ≥0，ℎ(x)min =ℎ(−m2)=−m 24+2m ；( II)如果m <0，ℎ(x)min =ℎ(m)=2m 2+2m ； 由于2m 2+2m −(−m 24+2m)≥02m −m 212−(2m 2+2m)≤0所以ℎ(x)min ={2m −m 24,m ≥02m −m 212,m <0.⋯。
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江都中学、华罗庚中学等13校2019届高三12月联考
数学试题
注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；
3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．
． 1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C A B = ▲ ．{}1,2,4,5
2．复数2i 1i +-(i 为虚数单位)的模为 ▲ ．
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知y 是双曲线22221x y a b
-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 2
4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所
取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．56
5．如图程序运行的结果是 ▲ ． 14
6．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．64
7．设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ▲ ．2
8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填
l m αβ,l m αβ⊂⊂
写正确命题对应的序号）． ③ ①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
9．已知，，则 ▲ ． 10．在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB =
, 若12
BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ▲ ．43- 11．已知22(1)(4)4M x y -+-=：，
若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足PA BA =，则a 的取值范围为 ▲
．1⎡-+⎣
12．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且
3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若
1()(,,)2f M x y =,且18a x y
+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ▲ ． 1 13．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22263,a b c ++=则实数b 的取值范围是 ▲ ．
．
14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，
，又函数．若，//l m //αβl m ⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥αβ⊥m α
⊥cos()4πθ+=(0,)2
πθ∈sin(2)3πθ-
=()y f x =a x M ∈T ()()af x f x T =+()y f x =M a T ()y f x =[)0,+∞[)0,2x ∈()()21,012,12
x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩()212ln 2g x x x x m =-+++[]()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞。