力学1质点运动学
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大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
第1章-质点运动学
为了描述速 度随时间
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
1 质点运动学
en
2.切向加速度
法向加速度
v dv
d
；t+dt时刻：B点 t时刻：A点 v v dv dt时间内经过弧长ds ds对应圆心角角度d
B
R
A
v
ˆ dr dset
ˆ dv d v ( t )e t a dt dt
例1．路灯距地面高H ，行人高h ，若人以速率 u从路 灯正下方背向路灯运动时，求人头顶影子的运动方程 （以路灯的正下方为原点）。
解：
x ut
H x h x x H H x x ut H h H h
§1.2 位移 速度 加速度
位移（displacement）： 位置矢量的变化量 r(t)
ˆ ˆ d( xi yˆ zk ) j ˆ ˆ v vx i v y ˆ vz k j dt
速度的大小：
v v v v
2 2 x y
2 z
速度的方向：为轨迹切线的方向，指向时间 t 值增 大的一方。
注意：
s r , d s d r
r r , d r d r
r | r |
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
路程（path）： 位置矢量末端运动轨迹 s 的长度
位移与路程的区别： （A）位移是矢量，路程是标量。 （B）一般情况，位移大小不等于路程。
r s
（C）两点间的路程是不唯一的，而位移是唯一的。
r ？s
什么情况下
1. 不改变方向的直线运动;
大小： 方向：
r
4 2 ( 4) 2 5.65m
4 arctg 4 4
大学物理第1章质点运动学的描述
t 4s
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
第一章 质点运动学
z
r rA rB
B
y
平均速度的方向与t时间内位移的方向一致。
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
A
2. 瞬时速度(速度) 能精细地描述 z 质点在某时刻的运动情况。 r dr v lim O t d t t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在
处的切线方向。
r rA rB
B
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
v
r
2 z
y
A
B
v vx i v y j vz k
速度的大小： v v
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
速度(speed)----描述质点运动的快慢和方向。
定义：单位时间内质点所发生的位移。 1. 平均速度(mean speed) 设质点：
A
t 时刻： A, rA t t 时刻: B, rB O 位移: r x r 平均速度： v 单位：ms-1 t
大小： r
单位矢量：i , j , k
2 2
r
x y z
2
x y z 方向： cos cos cos r r r
cos cos cos 1
2 2 2
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
2. 运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时 间变化的规律。 z
ax 0 (2) x : vx 5 y : v y 15 10t a y 10 g
大学物理之质点运动学
矢量性：注意矢量和标量的区别。 相对性：对不同参照系有不同的描述。
3．运动学方程是运动学的核心，包含了运动的全部信息。
运动学的两类问题 运动方程是运动学问题的核心 1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度
r r t
dr v dt
2 dv d r a 2 dt dt
第一章 质点运动学 §1-1 质点、参考系 、坐标系
一、质点
1. 引入 质点的概念是考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想 化的力学模型，使研究的问题得到简化。 2. 概念
质点是一个理想化的力学模型，当物体的大小和形状忽略不 计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点。 3.说明 一个物体能否当做质点，并不取决于它的实际大小，而是 取决于研究问题的性质。
大小：
方向：
2）相对性： 例如：坐在运动汽车中的人，选车厢为参考系，人位 移为零，但如选择地面为参考系位移不为零。 3）单位：米(m) 2.位移与路程的区别 位移是矢量：是指位置矢量的变化； 路程是标量：是指运动轨迹的长度。
思考：位移的大小什么时候与路程相等？
3. 区分：
三、速度（描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量 ）
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
dv d s a e 2 e h dt dt
2
讨论
de dt
O
Δ
e t t
e e (t t ) - e (t )
当： t 0 , 0 有
e e
s
求：1、任意时刻 t 速度
2、切向加速度的大小
1-2-6 圆周运动及其角量描述
平面极坐标系
1.质点运动学
圆周运动是曲线运动的一个重要特例，在一般的圆周运动 中，质点速度的大小和方向都在改变着，即存在着加速度； 如果质点作匀速率圆周运动，那就意味着速度只改变方向而 不改变大小。 匀速率圆周运动的特点：
vA vB
vA vB
设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作匀速率圆周 运动，质点在t到t+△t时间内由A点运动到B点，则弦长AB 就是这段时间内质点经过的位移，弧长AB就是这段时间内 质点经过的路程。质点在两点的速度分别为vA和vB，如图所 示。
a lim v lim v AB t0 t R t0 t
v lim S v2 R t0 t R
a的方向可以这样确定：
在等腰三角形OAB中，A B 1 ，
2
当t趋于零时，也趋于零，所以有：A B ，
2 即v的极限位置与vA相垂直，而a的方向就是v在t趋 于零时的方向，可见a的方向沿着圆周的半径指向圆心，
有一共同的起点O。考虑到在匀速率圆周运动中速度 增量的特点，将这里的v分解为两个分量vn和v， 并使线段OC OA :
v vn v 显然，式中的vn相当于匀速率圆周运动中的v。
加速度可以写成：
v a lim
t0 t
lim vn t0 t
lim v t0 t
an a
当t趋于零时，vB的方向趋于vA的方向，因为v的方
故又称为向心加速度或法向加速度。
➢法向加速度只是反映速度方向变化的快慢。
2.变速率圆周运动的切向加速度和法向加速度
质点的速率在不断变化的圆周运动称为变速率圆周运动.
设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作变速率圆周
运动，质点在t到t+△t时间内由A点运动到B点，质点在两
点的速度分别为vA和vB，如图所示。将vA和vB平移，使二者
vA vB
vA vB
设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作匀速率圆周 运动，质点在t到t+△t时间内由A点运动到B点，则弦长AB 就是这段时间内质点经过的位移，弧长AB就是这段时间内 质点经过的路程。质点在两点的速度分别为vA和vB，如图所 示。
a lim v lim v AB t0 t R t0 t
v lim S v2 R t0 t R
a的方向可以这样确定：
在等腰三角形OAB中，A B 1 ，
2
当t趋于零时，也趋于零，所以有：A B ，
2 即v的极限位置与vA相垂直，而a的方向就是v在t趋 于零时的方向，可见a的方向沿着圆周的半径指向圆心，
有一共同的起点O。考虑到在匀速率圆周运动中速度 增量的特点，将这里的v分解为两个分量vn和v， 并使线段OC OA :
v vn v 显然，式中的vn相当于匀速率圆周运动中的v。
加速度可以写成：
v a lim
t0 t
lim vn t0 t
lim v t0 t
an a
当t趋于零时，vB的方向趋于vA的方向，因为v的方
故又称为向心加速度或法向加速度。
➢法向加速度只是反映速度方向变化的快慢。
2.变速率圆周运动的切向加速度和法向加速度
质点的速率在不断变化的圆周运动称为变速率圆周运动.
设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作变速率圆周
运动，质点在t到t+△t时间内由A点运动到B点，质点在两
点的速度分别为vA和vB，如图所示。将vA和vB平移，使二者
大学工程物理 第一章质点力学
例 题
质点作直线运动，运动方程为（ ）： 质点作直线运动，运动方程为（SI）：
x = 12t − 6t
2
时质点的位置、 求 （1）t=4s时质点的位置、速度和加速度； ） 时质点的位置 速度和加速度； （2）质点通过原点时的速度和加速度； ）质点通过原点时的速度和加速度； （3）质点速度为零时所在的位置。 ）质点速度为零时所在的位置。 解：（1）由运动方程可得速度及加速度表达式为： ）由运动方程可得速度及加速度表达式为： dx υ = = 12 − 12t dt dυ a= = −12 dt 时质点的位置、 在t=4s时质点的位置、速度和加速度分别为： 时质点的位置 速度和加速度分别为： -48m、-36m/s和-12m/s2。 、 和
dr = 2i − 2t j 解： v = dt
t = 0 v0 = 2i
t = 2 v2 = 2i − 4 j
−4 = −63 26′ 2
大小： v2 = 22 + 42 = 4.47m / s 大小： 方向： θ = arctan 方向：
v θ为 2与x轴的夹角
轴作直线运动，其位置坐标 坐标与时间的 例 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 题 关系为 x=10+8t-4t2,求： x=10+8t质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 =0、 秒时的速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（） 时刻 1 t
= ∆xi + ∆yj + ∆zk
注 意 a) b)
位移是矢量， 位移是矢量，有大小和方向
Δr r1 o z A r2
∆ r 与∆r 的区别
为标量， ∆r为标量，∆r 为矢量
第1章质点运动学
2
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
1-质点运动学
z0 1 2 r v 0 ti gt j 2
0 y0
0y
x0
0
y y
v0
v 0v
0
x x
x
注意：不同的坐标系对同一运动的描述不同。 1 2 取Y轴向上为正向： r v 0 ti gt j 2
取 ( x0 , y0 ) 为抛点：
1 2 r x 0 v 0 t i y 0 gt j 2
xi y j z k
速度的大小表示为
x y z
2 2
2
速度的方向由下式决定
cos
vx
v
vy cos v
vz cos v
性质： 1、瞬时性 2、矢量性 3、可加性 4、相对性
ⅲ、平均速率
Δs v Δt
x( t ) 0
r( t )
·
y( t )
P( t )
y
（x,y,z) 确定。
②自然法
x
o
s
p
+
在已知的运动轨迹上任选一故定点o,为自然坐标的 原点，运动轨迹的长度 s ,为p点的自然坐标。
③位置矢量 在直角坐标系中，用来确定质点所在位置的矢 z 量，叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标 原点指向质点所在位置的有向线段。
8
2.4 10 1
4
地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺 寸的影响，作为质点处理。
研究地球自转
v R
地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的 大小和形状不能忽略，这时不能作质点处理。
例2：研究汽车在平直道路上运动
除车轮在转动外，汽车各部分运动情况（速度、 加速度）完全相同，车轮的运动是次要的，此时 可把汽车作为质点处理。
0 y0
0y
x0
0
y y
v0
v 0v
0
x x
x
注意：不同的坐标系对同一运动的描述不同。 1 2 取Y轴向上为正向： r v 0 ti gt j 2
取 ( x0 , y0 ) 为抛点：
1 2 r x 0 v 0 t i y 0 gt j 2
xi y j z k
速度的大小表示为
x y z
2 2
2
速度的方向由下式决定
cos
vx
v
vy cos v
vz cos v
性质： 1、瞬时性 2、矢量性 3、可加性 4、相对性
ⅲ、平均速率
Δs v Δt
x( t ) 0
r( t )
·
y( t )
P( t )
y
（x,y,z) 确定。
②自然法
x
o
s
p
+
在已知的运动轨迹上任选一故定点o,为自然坐标的 原点，运动轨迹的长度 s ,为p点的自然坐标。
③位置矢量 在直角坐标系中，用来确定质点所在位置的矢 z 量，叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标 原点指向质点所在位置的有向线段。
8
2.4 10 1
4
地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺 寸的影响，作为质点处理。
研究地球自转
v R
地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的 大小和形状不能忽略，这时不能作质点处理。
例2：研究汽车在平直道路上运动
除车轮在转动外，汽车各部分运动情况（速度、 加速度）完全相同，车轮的运动是次要的，此时 可把汽车作为质点处理。
大学物理第一章 质点运动学
力学(mechanics)
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt
h x x
v0
a
x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量
当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt
h x x
v0
a
x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量
当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。
第一章质点运动学
2 x 2 y 2 z
2
2
2
vy vx vz 速度的方向： cos α = , cos β = , cos γ = v v v
(2)加速度的表示
r = xi + yj + zk v = vx i + v y j + vz k
dr v= dt
a = axi + a y j + azk dv y dv x dv z = i+ j+ k dt dt dt 2 2 2 d x d y d z = 2 i + 2 j+ 2 k dt dt dt
3）自然法：取点为自然坐标原点，逆时针为正，则质点位置：
s=rωt
§1.2 位移
一、位移： 质点运动A 质点运动
速度
y B
B
∆r = rB − rA
= ( xB i + y B j) − ( x Ai + y A j)
yB yA
A
rA
o xA
rB
xB
x
= ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j
力学（ 力学（Mechanics） ）
质点力学： 复习、 ▲ 质点力学： 复习、提高 1.使知识系统化，条理化； 使知识系统化，条理化； 使知识系统化 2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）； 注意定理、 注意定理 定律的条件（不要乱套公式）； 3.提高分析能力（量纲分析，判断结果的合 提高分析能力（量纲分析， 提高分析能力 理性等）； 理性等）； 4.数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。 数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。 数学方法上要有提高 刚体、相对论： ▲ 刚体、相对论： 新内容 要认真体会其思想、观点， 要认真体会其思想、观点，掌握其处理问 题的方法。 题的方法。
2
2
2
vy vx vz 速度的方向： cos α = , cos β = , cos γ = v v v
(2)加速度的表示
r = xi + yj + zk v = vx i + v y j + vz k
dr v= dt
a = axi + a y j + azk dv y dv x dv z = i+ j+ k dt dt dt 2 2 2 d x d y d z = 2 i + 2 j+ 2 k dt dt dt
3）自然法：取点为自然坐标原点，逆时针为正，则质点位置：
s=rωt
§1.2 位移
一、位移： 质点运动A 质点运动
速度
y B
B
∆r = rB − rA
= ( xB i + y B j) − ( x Ai + y A j)
yB yA
A
rA
o xA
rB
xB
x
= ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j
力学（ 力学（Mechanics） ）
质点力学： 复习、 ▲ 质点力学： 复习、提高 1.使知识系统化，条理化； 使知识系统化，条理化； 使知识系统化 2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）； 注意定理、 注意定理 定律的条件（不要乱套公式）； 3.提高分析能力（量纲分析，判断结果的合 提高分析能力（量纲分析， 提高分析能力 理性等）； 理性等）； 4.数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。 数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。 数学方法上要有提高 刚体、相对论： ▲ 刚体、相对论： 新内容 要认真体会其思想、观点， 要认真体会其思想、观点，掌握其处理问 题的方法。 题的方法。
1质点运动学
圆周运动
y
一、圆周运动的角量描述 1 角坐标 质点相对x 轴转过的角度
(t ) (rad)
••
O
2 角速度
d lim (rad s1 ) t 0 t dt
x
3 角加速度
d d 2 a 2 ( rad s ) dt dt
2
一般规定逆时针方向的角速度和角加速度 为正，顺时针为负 4 速率
x R cos t y R sin t ( z 0)
其中R和为常量。求任一时刻的位矢、速度、 y 加速度 R
O
x
y
r R cos ti R sin tj
v R sin ti R cos tj 2 2 a R cos ti R sin tj
r r0
0
t r (t ) r0 v ( )d
t 0
分量形式
x(t ) x0 vx ( )d
t 0
y(t ) y0 vy ( )d
z (t ) z0 vz ( )d
0
t
2、已知 a (t ) dv a dv adt dt 定积分，应用初始条件 t 0 v v0 t v t dv ' a ( )d v (t ) v0 a ( )d
v r 2 an r r r
2
2
2
[例] 一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其角 位置随时间变化关系为： 2 4t 3 求：t =2s 时质点的法向和切向加速度
一、人以恒定速率 v0 拉着绳子运动，船开始 静止，地面到水面高度h，求船在离岸边 x 距离时的速度、加速度 y
第1章：质点运动学
dr C） dt
dr B） dt
dx dy D） ( ) ( ) dt dt
2 2
1.3
1.3.1
加速度
加速度
v 平均加速度：a t a 与 v 同方向。
瞬时加速度：
y
A
O
vA
B
vB
v dv a lim t 0 t dt 2 d r 2 dt
x
vA
v
解：(1)由运动方程消去 时间 t 得质点轨迹方程：
R
x y R
2 2
2
质点的运动轨迹是一 个半径为 R 的园。
O r2
a r t r1
v
p1 x
r
p2
r xi yj R costi R sin tj dr v R sin ti R cos tj dt
ds 2 v 10t 0.3t dt dv 10 0.6t 切向加速度大小为 a dt
v (10t 0.3t ) 法向加速度大小 an R 300
2
2 2
总加速度矢量为
(10t 0.3t 2 ) 2 a (10 0.6t ) n 300 当t =1.0s 时 a 9.4 0.314 n
s vav t
无限短时间段中的平均速率可以定义为 质点在该时刻 t 的瞬时速率：
s ds v(t ) lim t 0 t dt
r d r 瞬时速度： v (t ) lim t 0 t dt d ( xi yj zk ) v (t ) dt dx dy dz i j k dt dt dt
dv v a a a dt
第1章-质点运动学
1 2 θ = θ 0 + ω0 t + α t 2 2 2 ω = ω0 + 2α (θ − θ 0 )
动力学：
以牛顿运动定律为基础，研究物 体运动状态发生变化时所遵循规律的 学科。
§1-1 质点、参考 系、坐标系
1-1-1 质点
质点（particle） ：具有一定质量的几何点 两种可以把物体看作质点来处理的情况:
• 作平动的物体，可 以被看作质点。 • 两相互作用着的物 体，如果它们之间的 距 离远大于本身的线度， 可以把这两物体看作质 点。
z
v r1 v r2
v v1 v v2
y
o
v v v ∆v = v2 − v1
x
v v1 v v2
平均加速度
v v ∆v −1 a= m ⋅s ∆t
v ∆v
结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致 结论：
当∆t→0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。
v v ∆v dv d 2 r v = = 2 瞬时加速度： a = lim dt dt ∆t → 0 ∆ t
v v v v v = v x i + v y j + vz k
速度的三个坐标分量：
dx dy dz vx = , vy = , vz = dt dt dt
速度的大小：
v 2 2 2 v = v = vx + v y + vz
• 速率
在∆t时间内，质点所经过路程∆s对时间的变化率
平均速率：
∆s −1 v= m ⋅s ∆t
v ∆θ e t (t )
Q ∆θ =
∆s
ρ
O
∆θ
v et (t + ∆t )
动力学：
以牛顿运动定律为基础，研究物 体运动状态发生变化时所遵循规律的 学科。
§1-1 质点、参考 系、坐标系
1-1-1 质点
质点（particle） ：具有一定质量的几何点 两种可以把物体看作质点来处理的情况:
• 作平动的物体，可 以被看作质点。 • 两相互作用着的物 体，如果它们之间的 距 离远大于本身的线度， 可以把这两物体看作质 点。
z
v r1 v r2
v v1 v v2
y
o
v v v ∆v = v2 − v1
x
v v1 v v2
平均加速度
v v ∆v −1 a= m ⋅s ∆t
v ∆v
结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致 结论：
当∆t→0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。
v v ∆v dv d 2 r v = = 2 瞬时加速度： a = lim dt dt ∆t → 0 ∆ t
v v v v v = v x i + v y j + vz k
速度的三个坐标分量：
dx dy dz vx = , vy = , vz = dt dt dt
速度的大小：
v 2 2 2 v = v = vx + v y + vz
• 速率
在∆t时间内，质点所经过路程∆s对时间的变化率
平均速率：
∆s −1 v= m ⋅s ∆t
v ∆θ e t (t )
Q ∆θ =
∆s
ρ
O
∆θ
v et (t + ∆t )
大学物理 第一章 质点运动学
是否等于瞬时速率？ t 时刻位矢
瞬时速度的大小是否
r
等于瞬时速率？
A
r
r1
B t 时间内位移
x
t +t 时刻位矢
平面直角坐标系中的瞬时速度（简称速度）
v lim r dr
t0 t
dt
r(t) x(t)i y(t) j
v d r
dx
i
d
y
j
y
vy
v
dt dt dt
vx
vxi vy j
力 学
§1-1 参照系 &坐标系 质点 §1-2 位移、速度和加速度 §1-3 圆周运动 §1-5 牛顿运动定律 §1-6 牛顿运动定律的应用举例
1. 运动的绝对性 绝对静止的物体是没有的
地球自转 太阳表面的运动
太阳随银河系运动
为了确定一个物体的位置和描述一个物体的机
械运动，必须另选一个物体或内部无相对运动的物
3. 坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的 运动情况，要在参考系上选择一个固定的坐标系
坐标系选定后，运动物体A 中任一点 P 的位置
就可以用它在此坐标系中的坐标来描述
运动物体
运动参考系
y
A P(x,y,z)
运动物体
O
z 参考系
x
地面参考系
常用坐标系： 平面直角坐标系和自然坐标系
一、质点 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
y
y z koj
r
i
x
*P
x
方向的单位矢量.
z
位矢r 的值为
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
位矢 r 的方向余弦
力学舒幼生第一章质点运动学
P
yj
r(t tx)i
O
x
加速度 a d d v td d2r 2 td dxv i td dyv tjr
15
例 空心入篮
抛射角 12
xvct o2s1 2g2tsin1
yvst in21 2g2tco1s
y0
t 2vsin2 g cos1
第一章 质点运动学
0
1.1 空间和时间
时间和空间的测量
绝对时空观 绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，
始终保持着相似和不变。 绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地
流逝而与任何外在的情况无关。 牛顿——《自然哲学的数学原理》
时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系
参考系
参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。 相对参考物，可以确定其它物体的位置。
9
vv0a0(tt0)1 2b(tt0)2
再求 t 时刻的位置
微分关系式 dxvdt
两边积分 tt0 d x tt0 v dtt0[v t0 a 0 (t t0 ) 1 2 b (t t0 )2 ]d
x x 0 v 0 (t t0 ) 1 2 a 0 (t t0 )2 1 6 b (t t0 )3
a心 d d vtvddtR ddtR 2 a切dd/vt/Rd dt R
与速度垂直，改变速度方向
与速度平行，改变速度大小
18
无限小角位移矢量
ddk
r(tt)
d r(t)
⊙k
初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则
无限小角位移与有限角位移的区别？
19
有限角位移不是矢量
不满足矢量加法的交换律
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0，则称是比 高阶的无穷小，记作 ( ) ⑵若 lim ，则称 是比 低阶的无穷小 lim c 0（c为常数），则称 与 同阶无穷小。 ⑶若
⑴若 lim
运动的描述
•
速度： 位置的移动（位移）/时间间隔 位置x随时间t的变化率
2 1 当x 时， 与 2 均为无穷小， x x
由性质1得结果。
1 lim x sin 0 （2） x 0 1 x
1 | sin | 1 即 sin 有界, x x 由性质2得结果。
∵当x 0 时，x为无穷小,而
sin x 1 （3） lim lim sin x 0， （由性质2） x x x x
1 ln x是 的原函数。 x 1 2 kx 是kx 的原函数。 2
如F ( x)是f ( x)原函数，则对任意常数 C， F ( x) C都是f ( x)原函数。因为 C的导数 0
不定积分
设函数F ( x)是f ( x)的一个原函数， 则f ( x)的全体原函数F ( x) C 称为f ( x)的不定积分，记作 f ( x)dx。
……
t t1 t 2 t3 ... 0.999999 ..... 1
找不到一个数在0.999999…..和1之间
数列的极限
lim a n 0
n
0 a 1
• 当n趋于无穷大时，an的极限趋于0. • limit: 极限 • 不论给定一个正数多么小，总能找到一个n, 使得an更小。
e dx e
x
x
C;
定积分：求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
O
a
b
x
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b
[ xi 1 , xi ] 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为 Ai
无穷大量
定义 : 若 lim f ( x) , 则称f ( x)当x x0 (或x ) 时为无穷大量 , 简称无穷大 .
1 1 例 当x 0时， 是无穷大， lim x 0 x x
1 1 当x 1时， 是无穷大， lim x 1 x-1 x 1
x 0
f ( x x) f ( x) x
f ( x h) f ( x ) . h
或 f ( x) lim
h 0
求导数的方法
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
y f ( x x ) f ( x ) ; x x
(2) 算比值
(3) 求极限
dy y y lim . d x x 0 x
例 求常数函数y=C(C为常数)的导数
, y都等于C 解 (1)求增量: 因为y C, 不论x取什么值时
所以y 0
y 0 (2)算比值 x
dy y lim 0 (3)取极限: y dx x 0 x
x2 x1 x v t2 t1 t
• 加速度：速度的变化/时间间隔 速度v随时间t的变化率
v2 v1 v a t 2 t1 t
如何精确描述变化率？ 导数
• 时间间隔足够小：∆t→0
x x+∆x 割线 切线：割线的极限， 只有1个交点 ∆t→0 x t t+∆t t x (t)
复合函数求导
设 y f (u), u g ( x),
则复合函数 y f [ g ( x)]的导数为 dy dy du . dx du dx
例：求函数 y ln sin x 的导数 .
解
y ln u, u sin x.
cos x dy dy du 1 cos x dx du dx u sin x
(C ) 0 (e x ) e x ( x ) x 1 (ln x) 1 x
(sin x) cos x
(cos x) sin x
运算法则
(1) [u ( x) v( x)] u( x) v( x) (2) [Cu ( x)] Cu( x) (3) [u ( x)v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x) u ( x) u( x)v( x) u ( x)v( x) (4) 2 v ( x ) v ( x)
运动
• 静←→动（依赖于参考系）
• 运动：物体位置不断改变的现象
此刻在此处，彼刻在彼处。 时间：1 维参数 t 空间: 3 维坐标 r (x, y, z) 直线运动 x
芝诺悖论
但芝诺证明了阿喀琉斯永远也追不上乌龟． 证明如下：阿喀琉斯从A点出发，追赶在他前面从A1点出发的乌龟。他 若要追上乌龟，必须先到达乌龟开始跑的位置A1 ．当阿喀琉斯到达乌龟开 始跑的位置A1时，乌龟已经前进了一段距离，到达A2 ．所以阿喀琉斯要追 上乌龟，又必须先到达位置A2，等他跑到了A2，同样的问题又摆在他的面 前……所以阿喀琉斯虽然跑得快，也只能一点一点逼近乌龟，却永远也追 不上乌龟．
函数的极限
1 lim 0 x x 1 lim x 0 x
O x y
lim x
x
lim x 0
x0
lim x
2 x
无穷小量
（或 x 时为无穷小量， ) 定义：若 lim f ( x) 0，则称f ( x)当x x 0 简称无穷小。
1
1
( 1)
(1)
1 x (2) x dx C ( 1); 1 dx (3) ln | x | C ; x (4) cos xdx sin x C;
kdx kx C
(k 是常数);
(5)
( 6)
sin xdx cos x C;
当x 时，ex是无穷大， lim e x
x 0
无穷小与无穷大的关系: 倒数
无穷小的比较
若两个无穷小相除，会是什么结果呢？
例1 当x 0时，x,3x, x2都是无穷小。
x2 3x 3x （） 1 lim 0，（2） lim 2 （3） lim 3 x 0 3 x x 0 x x 0 x 定义：设在 和自变量的同一变化过程中均为无穷小，即 lim 0，lim 0
加速度是位移对时间的2阶导数
2
1 2 dx dv 例：x gt , v gt, a g 2 dt dt dx dv t t x e ,v e ,a et dt dt dx dv x cos(t ), v sin(t ), a 2 cos(t ) dt dt
n
t AA 1 /(v1 v2 )
无穷项的求和得到了有限值！
设阿喀琉斯和乌龟的速度分别为：10和1， AA 1 的距离为9。
t1 AA 1 / v1 0.9
t2 AA 1 (v2 / v1 ) / v1 0.09
2 t3 AA ( v / v ) / v1 0.009 1 2 1
牛顿力学
英国著名诗人Pope写道： 自然界和自然界的规律隐 藏在黑暗中， 上帝说：“让牛顿去！” 于是一切成为光明。
质点运动学
质点——理想模型
1. 物体的大小、形状可忽略时
（在研究地球公转时） 2. 运动过程中，物体各部分运动相同 (物体的平动 ) •物体 质点 “点”－具有该物体相同的质量 •真实物体——无穷多质点的集合
此时乌龟到达A2：
A1 A2 v2t1 AA 1 (v2 / v1 )
阿喀琉斯到A2的时间： t2 此时乌龟到达A3：
A1 A2 / v1 AA 1 (v2 / v1 ) / v1
2 A2 A3 v2t2 AA ( v / v ) 1 2 1
……
追上乌龟的时间：
v v 2 2 t t1 t2 t3 ... AA1 / v1 1 2 ... v1 v1
例 当x 0时，x2 ,sin x, 3 x均为无穷小 1 1 当x 时， , 均为无穷小 x x 1
性质1：有限个无穷小的代数和还是无穷小。
性质2：有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。
性质3：常数与无穷小的乘积还是无穷小。 性质4：有限个无穷小的乘积还是无穷小。
2 1 lim( 例（1）x 2 ) 0 x x
即
(C ) 0
常数函数斜率为0
例 求函数y=x2的导数
解： (1)求增量:
y ( x x)2 x 2 2xx x2
高阶无穷小可忽略
(2)算比值
y 2 xx 2x x x
(3)取极限:
dy y y lim 2x dx x0 x
导数的基本公式
存在？
唯一？
v lim
t 0
x dx t dt
a lim
t 0
v dv t dt
导数 微商
导数
对应着 y f ( x)存在一个函数叫做 dy df ( x) f ( x) 的导函数 .记作 y, f ( x), 或 . dx dx 简称导数 即导数为0
O y
x
π 例：求函数 y sin 2x 的极值. x 0, 2 1 d y 解： x π, y 1 2 cos 2 x 2 cos 2 x 0 4 dx
2阶导数
dv d dx d x a 2 dt dt dt dt
⑴若 lim
运动的描述
•
速度： 位置的移动（位移）/时间间隔 位置x随时间t的变化率
2 1 当x 时， 与 2 均为无穷小， x x
由性质1得结果。
1 lim x sin 0 （2） x 0 1 x
1 | sin | 1 即 sin 有界, x x 由性质2得结果。
∵当x 0 时，x为无穷小,而
sin x 1 （3） lim lim sin x 0， （由性质2） x x x x
1 ln x是 的原函数。 x 1 2 kx 是kx 的原函数。 2
如F ( x)是f ( x)原函数，则对任意常数 C， F ( x) C都是f ( x)原函数。因为 C的导数 0
不定积分
设函数F ( x)是f ( x)的一个原函数， 则f ( x)的全体原函数F ( x) C 称为f ( x)的不定积分，记作 f ( x)dx。
……
t t1 t 2 t3 ... 0.999999 ..... 1
找不到一个数在0.999999…..和1之间
数列的极限
lim a n 0
n
0 a 1
• 当n趋于无穷大时，an的极限趋于0. • limit: 极限 • 不论给定一个正数多么小，总能找到一个n, 使得an更小。
e dx e
x
x
C;
定积分：求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
O
a
b
x
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b
[ xi 1 , xi ] 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为 Ai
无穷大量
定义 : 若 lim f ( x) , 则称f ( x)当x x0 (或x ) 时为无穷大量 , 简称无穷大 .
1 1 例 当x 0时， 是无穷大， lim x 0 x x
1 1 当x 1时， 是无穷大， lim x 1 x-1 x 1
x 0
f ( x x) f ( x) x
f ( x h) f ( x ) . h
或 f ( x) lim
h 0
求导数的方法
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
y f ( x x ) f ( x ) ; x x
(2) 算比值
(3) 求极限
dy y y lim . d x x 0 x
例 求常数函数y=C(C为常数)的导数
, y都等于C 解 (1)求增量: 因为y C, 不论x取什么值时
所以y 0
y 0 (2)算比值 x
dy y lim 0 (3)取极限: y dx x 0 x
x2 x1 x v t2 t1 t
• 加速度：速度的变化/时间间隔 速度v随时间t的变化率
v2 v1 v a t 2 t1 t
如何精确描述变化率？ 导数
• 时间间隔足够小：∆t→0
x x+∆x 割线 切线：割线的极限， 只有1个交点 ∆t→0 x t t+∆t t x (t)
复合函数求导
设 y f (u), u g ( x),
则复合函数 y f [ g ( x)]的导数为 dy dy du . dx du dx
例：求函数 y ln sin x 的导数 .
解
y ln u, u sin x.
cos x dy dy du 1 cos x dx du dx u sin x
(C ) 0 (e x ) e x ( x ) x 1 (ln x) 1 x
(sin x) cos x
(cos x) sin x
运算法则
(1) [u ( x) v( x)] u( x) v( x) (2) [Cu ( x)] Cu( x) (3) [u ( x)v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x) u ( x) u( x)v( x) u ( x)v( x) (4) 2 v ( x ) v ( x)
运动
• 静←→动（依赖于参考系）
• 运动：物体位置不断改变的现象
此刻在此处，彼刻在彼处。 时间：1 维参数 t 空间: 3 维坐标 r (x, y, z) 直线运动 x
芝诺悖论
但芝诺证明了阿喀琉斯永远也追不上乌龟． 证明如下：阿喀琉斯从A点出发，追赶在他前面从A1点出发的乌龟。他 若要追上乌龟，必须先到达乌龟开始跑的位置A1 ．当阿喀琉斯到达乌龟开 始跑的位置A1时，乌龟已经前进了一段距离，到达A2 ．所以阿喀琉斯要追 上乌龟，又必须先到达位置A2，等他跑到了A2，同样的问题又摆在他的面 前……所以阿喀琉斯虽然跑得快，也只能一点一点逼近乌龟，却永远也追 不上乌龟．
函数的极限
1 lim 0 x x 1 lim x 0 x
O x y
lim x
x
lim x 0
x0
lim x
2 x
无穷小量
（或 x 时为无穷小量， ) 定义：若 lim f ( x) 0，则称f ( x)当x x 0 简称无穷小。
1
1
( 1)
(1)
1 x (2) x dx C ( 1); 1 dx (3) ln | x | C ; x (4) cos xdx sin x C;
kdx kx C
(k 是常数);
(5)
( 6)
sin xdx cos x C;
当x 时，ex是无穷大， lim e x
x 0
无穷小与无穷大的关系: 倒数
无穷小的比较
若两个无穷小相除，会是什么结果呢？
例1 当x 0时，x,3x, x2都是无穷小。
x2 3x 3x （） 1 lim 0，（2） lim 2 （3） lim 3 x 0 3 x x 0 x x 0 x 定义：设在 和自变量的同一变化过程中均为无穷小，即 lim 0，lim 0
加速度是位移对时间的2阶导数
2
1 2 dx dv 例：x gt , v gt, a g 2 dt dt dx dv t t x e ,v e ,a et dt dt dx dv x cos(t ), v sin(t ), a 2 cos(t ) dt dt
n
t AA 1 /(v1 v2 )
无穷项的求和得到了有限值！
设阿喀琉斯和乌龟的速度分别为：10和1， AA 1 的距离为9。
t1 AA 1 / v1 0.9
t2 AA 1 (v2 / v1 ) / v1 0.09
2 t3 AA ( v / v ) / v1 0.009 1 2 1
牛顿力学
英国著名诗人Pope写道： 自然界和自然界的规律隐 藏在黑暗中， 上帝说：“让牛顿去！” 于是一切成为光明。
质点运动学
质点——理想模型
1. 物体的大小、形状可忽略时
（在研究地球公转时） 2. 运动过程中，物体各部分运动相同 (物体的平动 ) •物体 质点 “点”－具有该物体相同的质量 •真实物体——无穷多质点的集合
此时乌龟到达A2：
A1 A2 v2t1 AA 1 (v2 / v1 )
阿喀琉斯到A2的时间： t2 此时乌龟到达A3：
A1 A2 / v1 AA 1 (v2 / v1 ) / v1
2 A2 A3 v2t2 AA ( v / v ) 1 2 1
……
追上乌龟的时间：
v v 2 2 t t1 t2 t3 ... AA1 / v1 1 2 ... v1 v1
例 当x 0时，x2 ,sin x, 3 x均为无穷小 1 1 当x 时， , 均为无穷小 x x 1
性质1：有限个无穷小的代数和还是无穷小。
性质2：有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。
性质3：常数与无穷小的乘积还是无穷小。 性质4：有限个无穷小的乘积还是无穷小。
2 1 lim( 例（1）x 2 ) 0 x x
即
(C ) 0
常数函数斜率为0
例 求函数y=x2的导数
解： (1)求增量:
y ( x x)2 x 2 2xx x2
高阶无穷小可忽略
(2)算比值
y 2 xx 2x x x
(3)取极限:
dy y y lim 2x dx x0 x
导数的基本公式
存在？
唯一？
v lim
t 0
x dx t dt
a lim
t 0
v dv t dt
导数 微商
导数
对应着 y f ( x)存在一个函数叫做 dy df ( x) f ( x) 的导函数 .记作 y, f ( x), 或 . dx dx 简称导数 即导数为0
O y
x
π 例：求函数 y sin 2x 的极值. x 0, 2 1 d y 解： x π, y 1 2 cos 2 x 2 cos 2 x 0 4 dx
2阶导数
dv d dx d x a 2 dt dt dt dt