2019届广东省惠州市高三第二次(10月)调研数学(理)试题(word版)

2019届广东省惠州市高三第二次（10月）调研理科数学 2018.10.25全卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求.（1） 已知集合 {}230A x x x =-<， {}B 1x y x ==-，则 A ∩B = （）． A 、 [0,3) B 、 (1,3)C 、 (0,1]D 、 (0,1)（2） 已知向量a = (1, 1)， b = (2, x )，若a / /( a -b ) ， 则实数 x 的值为（）． A 、 －2 B 、 0 C 、 1 D 、 2（3）为了得到函数 y = sin 2x 的图象，只需把函数 sin26y x π=+（）的图象（）．A 、向左平移12π个单位长度 B 、 向右平移12π个单位长度 C 、向左平移6π个单位长度 D 、 向右平移6π个单位长度（4） 在 ∆ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 EB =（）．A 、3144AB AC - B. 1344AB AC - C 、3144AB AC +D.1344AB AC + （5） 函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（）．（6） 设向量 a 与 b 的夹角为120︒， | a | ＝| b | ＝4 ，则| | a +b ｜= （ ）． A 、 43 B 、 4 C 、 23 D 、 2 （7） 下面命题正确的是（）． A 、“a >1” 是“1a<1 ” 的充分必要条件. B 、命题“ 若 x 2 <1，则 x <1” 的否命题是“ 若 x ≥1，则 x 2 ≥1” .C 、设 x ,y ∈R ，则“x ≥ 2 且 y ≥ 2”是“x 2 + y 2 ≥ 4 ” 的必要而不充分条件.D 、“a ≠ 0” 是“ab ≠ 0 ” 的必要不充分条件.（8） 曲线 f （x ) = ln （2x －1 ) －x 在点(1, －1) 处的切线方程是（）．A 、 x + y +2＝0B 、x + y －2＝0C 、x －y + 2＝0D 、x －y －2＝0 （9）已知函数f （x )是定义在 R 上的偶函数，且在(-∞，0)上单调递减， 若 a =f (log 25)， f = f (log 24.1)， c = f ( 20.8)，则 a ，b ，c 的大小关系是 （）． A 、 a <b <c B 、 c <b <a C 、b <a <c D 、c <a <b < <（10）已知()f x 是定义在 R 上的奇函数， 且f （2－x )＝f （x ) ， 若 f (1)＝3 ， 则 f (1) +f (2) +f (3) +…+f (2018) = （）．A 、 -3B 、 0C 、 3D 、 2018（11）函数()log 32a y x =-+ (a ＞0且 a ≠1)过定点 P ，且角α 的终边过点 P ， 则sin 2α +cos2α 的值为（）． A 、75 B 、65C 、 4D 、 5 （12）已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且，若函数 F ( x )＝f ( x ) - m 有 6 个零点，则实数 m 的取值范围是（）．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. (13)dx xx )1(21⎰+＝________．(14）已知α为第一象限角，3cos()25πα-=，则sin2α＝________． (15）函数()sin 3cos f x x x =+在[0, π] 上的单调递减区间为 ． (16） 已知函数()()f x x R ∈的导函数为()f x '， 且 ()()2,73<'=x f f ， 则()21f x x <+的解集为_______．三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、 23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分 12 分）在等差数列{ a n }中， Sn 为其前 n 项和( ) n ∈N * ，且 a 3 = 5 ， S 3 = 9． （1）求数列{ a n }的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{bn } 的前 n 项和Tn ．（18）（本小题满分 12 分） 已知函数（ω > 0 ）的最小正周期为π ．（1）求ω 的值； （2）求函数 f ( x ) 在区间上的取值范围．（19）（本小题满分 12 分）在 ∆ABC 中， ∠ A ，∠ B ，∠ C , 所对边分别为 a ，b ，c 。

已知 (,2)n b c =，(sin ,sin cos )m C B A =， 且 m ⊥n ．（1）求∠A 的值；（2）若 a = 23， c = 2， 求∆ABC 的面积．（20）（本小题满分 12 分）已知函数32()f x x ax bx =++在 x =－2与 x =12处都取得极值． （1）求函数 ()f x 的解析式及单调区间；（2）求函数 ()f x 在区间[-3,2]的最大值与最小值．（21）（本小题满分 12 分） 设函数()(1)()xf x ax e a R -=+∈（1）当 a > 0时，求函数 ()f x 的单调递增区间；（2）对任意 x +∈ [0, +∞)， ()f x ≤x + 1恒成立，求实数 a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、 23题中任选一题作答。

答题时请写清题号并将相 应信息点涂黑。

（22） [选修 4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为：（t 为参数，0 ≤α < π ）， 以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为 ρ = 6sin θ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点 P (1,2) ， 设曲线C 与直线l 交于点 A B , ， 求｜P A ｜+｜PB ｜的最小值．（23） [选修 4-5：不等式选讲] 已知函数()f x =｜x －1｜+｜x －5｜． （1）解不等式 ()f x > 6 ；（2）记 ()f x 的最小值为 m ，已知实数 a ，b ，c , 都是正实数，且111234m a b c ++=求证： 23a b c ++≥ 9 ．2019届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题： （13）3ln 2+2（14）2425 （15）⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，6 （16）()3+∞，三、解答题：17．【解析】（Ⅰ）由已知条件得1125 (232)392a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩分 解得11 (42)a d =⎧⎨=⎩分，所以通项公式为2 1.....................................................................................6n a n =-分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABAABDDBCAD（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12-=n a n ， ∴()()111111...................................8212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭分 数列{}n b 的前n 项和121111111...................................923352121111...............................................................................10221n nS b b b n n n n =+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=分分 (1221)n +分 18．解：（1）1cos 23()sin 222x f x x ωω-=+311sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．...........................4分 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．.........6分 （2）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，...................................8分 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤．..................................................10分 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，......................12分19．【解析】（1）n m ⊥ ， ()()02,cos sin ,sin =⋅∴c b A B C ．....................1分0cos sin 2sin =+∴A B c C b . .......................................2分CcB b sin sin =2cos 0..................................................................3bc cb A ∴+=分 0,0≠≠c b 0cos 21=+∴A , .21cos -=∴A ........................4分π<<A 0 ,.32π=∴A ...........................................6分（2）A bc c b a ABC cos 2222-+=∆中，由余弦定理可知在21244cos120......................................................................................8b b ο∴=+-分 .0822=-+∴b b4() 2..............................................................................10b b ∴=-=舍去或分 .3sin 21==∆∴∆A bc S ABC ABC 的面积 ................................12分20.【解析】（1）因为()32f x x bx cx =++，所以()2'32.................1f x x ax b =++分由()'20941'032f a f b -=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫= ⎪⎪⎪=-⎩⎝⎭⎩，.........................3分 329()34f x x x x ∴=+-..................................4分 ()()()293'33212 (522)f x x x x x =+-=-+分令()1'02f x x >⇒>或2x <-，()1'022f x x <⇒-<<，所以单调增区间是()1,2,,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 减区间是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；...................7分 （2）由（1）可知，x()3,2--2-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x+ 0 - 0 + ()f x递增极大递减极小递增.... .... .... .... ...........8分极小值113216f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值()27,f -=.......9分而()()93,2114f f -==.......10分 可得()()max min 1311,16f x f x ==........................12分21．【解析】：（1）1()(1)()..........................................2x x a f x ae ax e x a ---'=-+-分 由0,0xe a ->>，令()0f x '>得： 1................................................................3a x a-<分， 所以当0a >时，单调递增区间是1,a a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；..................................4分（2）令()()11xh x ax ex -=+--，则()1f x x ≤+成立等价于()0h x ≤，①若0a ≤，当0x ≥，则()11,011xax ef x -+≤<≤⇒≤，而11x +≥，即()1f x x ≤+恒成立；..........................................6分 ②若02a <≤时，则()()11xh x ea ax -'=---，当0x ≥，由()1t x a ax =--是减函数， ()max11t x a ⎡⎤=-≤⎣⎦，又1x e -≤，所以()()0,h x h x '<在[)0,+∞上是减函数，此时当0x ≥， ()()00..........................................................................8h x h ≤=分 ③若2a >时， ()()001?0120h ea a a -'=---=->， ()()1111110h e a a e --=--'-=--<，所以()0h x '=在()0,1有零点.............................................9分 在区间()0,1x ∈，设()()()()()1210xx g x h x g x eax a e a --'=⇒=+-<-<'，所以()h x '在()0,1x ∈上是减函数..........................................10分 即()0h x '=在()0,1有唯一零点()h x 0x ，且在()00,x 上， ()0h x '>， 在()00,x 为增函数，即()h x 在()00,x 上()()00h x h >=，所以()1f x x >+，不合题意，...................................................11分 综上可得，符合题意的a 的取值范围是(],2...................................................................12-∞分 22．【解析】（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=…………1分 化为直角坐标方程为226x y y +=,…………3分即()2239x y +-=.…………4分（2）解法一:将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程, 得()22cos sin 70t t αα+--=,…………5分因为()24cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根,所以()121227t t cos sin t t αα⎧+=--⎨=-⎩，…………7分又直线l 过点1,2P （）,结合t 的几何意义得()2121212124324sin232427PA PB t t t t t t t t α+=+=-=+-=-≥-=所以原式的最小值为27.…………10分解法二：由直线过点P （1,2），且点P 在圆C 内部，…………5分故PA PB AB +=,所以当直线与线段CP 垂直时，弦AB 最短，…………7分 此时P 为AB 的中点，且2CP =,所以原式的最小值为27.…………10分23．【解析】（1）()150f x x x =-+>-1516x x x ⎧⎨-+-<>⎩或61515x x x ≤≤⎧⎨-+>-⎩或5561x x x -+->>⎧⎨⎩...........................3分 解得06x x <>或..............................................................4分 综上所述，不等式()6f x >的解集为 ()(),06,-∞+∞ ............................5分（2）由()151(5)4f x x x x x =-+-≥---=（3x =时取等号）min ()4f x ∴=.即4m =，从而111123abc++=..................................7分11123()(23)23a b c a b c a b c ++=++⋅++......................................8分 23233()()()92332a b a c b cb ac a c b =++++++≥...................................9分=2=3=3a b c 时（当且仅当取等号）..........................................10分。