苏教版二项式定理(2)
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理》2
二 项 式 定 理一、教学目标：知识与技能：能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神二、教学重点、难点重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即一知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程一温故知新⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二 探究新知二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a b -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++三应用巩固例1．展开41(1)x+． 解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =- 61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，（2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r rr r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C x x --=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数 解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =． （四）课堂练习：1求()623a b +的展开式的第3项2求()632b a +的展开式的第3项 n 33)x21x (-1项 4求()732x x +的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数5用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5(2- 6化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x3x 2(----+ 7．()5lg x x x +展开式中的第3项为610，求x ． 8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项 答案：1 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+== 32311(2rn r r n r r r r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 4展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5 （1）552(510105a a a a a b =++；（2）515328x =+- 6 （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x --+--=+7 ()5lg x x x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C x x ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8 nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n n n C - 五、小结1二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、作业1课堂检测七、课后记教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
苏教版二项式定理(2)
赋值法
例.若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199
的值.
知识对接测查3
1.C C
1 10 2 10 1 11 3 11 5 11
C
10 10
2 1 1023 _____;
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
1 1
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
赋值法
0 (C C ) (C C ) n 2 0 2 1 3 n 1 Cn Cn Cn Cn 2 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
n1
作业： P36 12,13
r 1 n ;当r
r n 1 时, Cn 2
C
r 1 n ;
先增后减,在中间取得最大值.
(4)C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(5)奇数项二项式系数之和等于偶数项系数之和.
C C C C C C 2
10
9 11 11 11
C C C C C C 2 _____ . 1024
7 11
10
n 1 C n 2 2 7 7 6 3.若(1 2x) a7 x a6 x a1x a0 , 求 （ 1 ）a1 a2 a7 ;
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 0 1 (a b) C 1 C1 1 1
苏教版选修2《二项式定理》说课稿
苏教版选修2《二项式定理》说课稿一、引言首先，让我们来了解什么是二项式定理。
在高中数学中，二项式定理是一个非常重要且实用的定理，它用于展开任意次数的二项式的幂。
本节课我们将讨论二项式定理的基本概念、公式和应用。
通过本节课的学习，同学们将能够灵活使用二项式定理解决实际问题。
二、二项式定理的基本概念1.二项式的定义：二项式是由两个代数式相加（或相减）而得的代数式。
2.二项式系数：二项式展开式中，每个项前面的系数称为二项式系数。
例如在展开式(a+b)^n中，二项式系数是(a+b)的系数。
三、二项式定理的公式表达二项式定理的公式表达如下： (a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + … + C(n, r) * a^(n-r) * b^r + … + C(n, n) * a^0 * b^n在上述公式中，C(n, r)表示从n个不同元素中取r个元素的组合数。
四、二项式定理的证明二项式定理的证明过程较为复杂，在这里我们只进行简略的叙述。
1.使用数学归纳法证明二项式定理对于n=1的情况成立。
2.假设当n=k时，二项式定理成立，即(a+b)^k = C(k,0) * a^k * b^0 + C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + … + C(k,r) * a^(k-r) * b^r + … + C(k, k) * a^0 * b^k。
3.在上述假设成立的情况下，使用数学归纳法证明当n=k+1时，二项式定理也成立。
4.综上所述，根据数学归纳法原理，二项式定理对于所有自然数n都成立。
五、二项式定理的应用二项式定理在实际问题中有广泛的应用，我们将介绍以下两个常见的应用场景。
1. 组合数的应用二项式定理中的组合数C(n, r)可以表示从n个元素中取r个元素的组合数，因此可以用于解决组合问题。
例如，当n个元素中只能选取r个元素时，求解C(n, r)可以得到解决方案的总数。
高中数学15二项式定理教案2苏教版选修231
1.5 二项式定理第二1.5 二式定理解决二张开式相关的知与技术：一步掌握二式定理和二张开式的通公式程与方法：能解决二张开式相关的讲课目感情、度与价：讲课程中，要学生充分体到推理不可以猜想到一般性的果，并且可以启我一般性的解决方法。
讲课要点二式定理和二张开式的通公式。
讲课点解决二张开式相关的。
教具准：与教材内容相关的料。
讲课想：讲课程中，要学生充分体到推理不可以猜想到一般性的果，并且可以启我一般性的解决方法。
讲课程：学生研究程：一．复： (a+b) n =（ n N）, 个公式表示的定理叫做二式定理，公式右的多式叫做(a+b)n 的，此中C n r （ r=0,1,2,⋯⋯ ,n ）叫做，叫做二张开式的通，通是指张开式的第，张开式共有个 .二．例例 1（1）(x a) 6的张开式中，第五是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）a2xA .15B.6x 2C.20D. 15x a3x x（ 2）(3a1)15的张开式中，不含 a 的是第⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）aA . 7B. 8C. 9D. 6（ 3）（ x-2 ）9的张开式中，第 6 的二式系数是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A . 4032B. -4032C. 126D. -126（ 4）若(x1) n的张开式中的第三系数等于6， n 等于⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）11A . 4B.4或-3C. 12D. 3（ 5）多式 (1-2x)5(2+x) 含 x3的系数是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）B. -120C. 100D. -100例 2. 求 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1) 5 的张开式中x2的系数 .例 3. 求二式(331 ) 7的张开式中的有理.2例 4. 二式(x x1n 的张开式中第三系数比第二系数大44，求第 4 的系数 . x 4)牢固：1. (3x 2) n张开式中第9 是常数，n 的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）22.(537 5)24的张开式中的整数是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A. 第12B.第 13C.第 14D.第 153. 在 (x2+3x+2) 5的张开式中， x 的系数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）B. 240C. 360D. 8004.(1-x)5(1+x+x 2) 4的张开式中，含x7的系数是.5. (| x |12) 3张开式的常数是.| x |外作：第36 4 ，5，6讲课反思：二式定理是指 (a b)n a n C1n a n 1 b C n2 a n 2b 2 C n r a n r b rC n n b n一个张开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，( a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3⋯等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章的系忧如不太多，而在高等数学中它是多重要公式的共同基，依据二式定理的张开，才求得 y=x n的数公式 y′=nx n－1，同lim (11)n=e≈⋯也正是由二式定理的张开律所确立，而 e 在高等数学中n n的地位更是足重，概率中的正分布，复函数中的欧拉公式e iθ=cosθ+i sinθ，微分方程中二系数方程及高常系数方程的解由 e 的指数形式来表达.且直接由 e的定建立的 y=ln x 的数公式 y=1与分公式1=d x ln x+c是剖析学顶用的最多的公x xn的各数基建立的泰勒公式； f ( x)= f ( x0)+f (x0 )2式之一 . 而由y=x1!( x－x0) +⋯f n (x0 )n f (n 1) [ x0(x x0 )]x0 )n 1( θ∈ (0 ，1)) 以及由此建立的n!( x－x0) +(n(x1)!级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.如何使二项式定理的讲课生动风趣正由于二项式定理在初等数学中与其余内容联系较少，因此教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个 ( a+b) 4用组合知识来求张开式的系数的例子 . 此后推行到一般形式，再用数学归纳法证明，由于证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，因此课必然上得负担，学生必然感觉被动 . 那么多的算式学生看都不及细看，记也感觉费劲，又怎能发挥主体作用？如何才能使得在这节课上学生获得主动？采纳课前预习；自学指导；还是学生议论，或读，议、讲，练，或目标讲课，还是设置发现情境？看来这些方法遇到真切困难时都会力所不及，由于这些方法都没法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.而 MM教育方式即数学方法论的教育方式却能依据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再重申“认识来由于主各体之间的相互作用”［1］只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式获得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真切的理解.MM教育方式依据“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研相互促进的规律”［2］在讲课中追求简单，重视直观，并奇妙地在应用抽象使问题变得十分风趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.。
高考数学江苏版 §20_2 二项式定理
10.(2016天津理,10,5分)
x2
1 x
8
的展开式中x7的系数为
答案 -56
.(用数字作答)
解析 Tr+1= C8r x16-2r(-x)-r=(-1)-r C8r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3C 83 =-56. 易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意. 评析 本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.
五年高考
统一命题、省(区、市)卷题组
考点 二项式定理
1.(2018课标全国Ⅲ理改编,5,5分)
x2
2 x
5
的展开式中x4的系数为
.
答案 40
解析 本题考查二项式定理.
x2
2 x
5
的展开式的通项Tr+1= C5r
(x2)5-r·(2x-1)r=2rC 5r
·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22× C52=40.
(1+x)6= (1
x2 )(1 x2
x)6
,所以 1
1 x2
(1+x)6展开式中x2的系数等于(1+x2)(1+x)6
展开式中x4的系数,而(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数为 C64
+ C62 =30,故
1
1 x2
(1+x)6展开式中x2的
.(用数字作答)
答案 70
解析
8r
苏教版高中数学选修二项式定理教案(2)
教学难点
二项式定理和二项展开式的通项公式.
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学过程：
学生探究过程：问题情境
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.
课题
1.5二项式定理
二项式定理和二项展开式
第一课时
教学目标
知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
(a+b)1=,
(a+b)2=,
(a+b)3=,
a+b）3展开式中的每一项都是从（a+b）（a+b）（a+b）的每个括号里各取一个字母的乘积。
一般地，由
(a+b)ｎ=（a+b）（a+b）（a+b）……（a+b）可知，其展开式是从每个括号里各取一个字母的一切可能乘积的和。可见，（a+b）3的展开式中项都具有an-rbr（r=0，1，2……n）的形式，其系数就是在
(a+b)ｎ=
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)ｎ的，其中 （r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
二项式定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2
12
+ +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r
1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案：1.5 二项式定理2
1.5二项式定理
课题
1.5二项式定理
二项式定理和二项展开式
第一课时
教学目标
知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
（a+b）（a+b）……（a+b）的n个括号中选r个取b的方法种数。
具体地，
………………………………
构建数学
(a+b)ｎ=
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)ｎ的，其中 （r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.
数学应用
例1用二项式定理展开：
(a+b)ｎ=
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)ｎ的，其中 （r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点
教学难点
二项式定理和二项展开式的通项公式.
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力.
教具准备：与教材内容相关的资料。
1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案
1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案一、教学目标1.掌握二项式定理的定义和公式2.能熟练运用二项式定理解决实际问题3.培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力二、教学重难点1.二项式定理的定义和公式2.应用二项式定理解决实际问题三、教学内容和方法（一）教学内容1.二项式定理的定义和公式2.二项式系数的基本性质3.应用二项式定理解决实际问题（二）教学方法1.导入新知识，激发学生的学习兴趣。
2.讲究启发式教学，培养学生自学的能力。
3.把握适当的课堂氛围，使学生生动、活泼、轻松学习。
4.多结合实例讲解，使学生感受到知识的实用性。
（三）教学流程1.导入本节课的内容是二项式定理。
请同学们思考一道数学题：（1）(x+y)2=x2+2xy+y2，其中y是多少？2.讲解提示同学们用二项式定理计算题目中的多项式。
3.巩固（1）求(a+b)2; （2）求(a−b)2。
4.练习(1)用二项式定理展开(x+y)3(2)计算(2+3)4−(2−3)45.总结二项式定理是我们在中学数学中常见的一个定理。
这个定理不仅在数学中很重要，在实际生活中也非常有用，可以解决很多生活问题。
四、教学评估1.教师观察学生在课堂上的表现、回答问题的能力和继续发展的兴趣。
2.学生提交的练习和作业。
五、教学反思1.教学方法灵活多变，要充分体现学生的听课积极性。
2.多布置练习和作业，提高学生的学习热情。
3.评估学生的学习情况，及时调整授课内容。
苏教2-3计数原理1.3二项式定理二项式定理(2).1
8. 新疆
王新敞 奎屯
(
x 2 )n
的展开式中，第五项与第三项的二项式系
x2
数之比为14：3，求展开式的常数项
Tr1 C1r0 (
x
)10r
(
2 x2
)
r
105r
(2)r C1r0 x 2
自主练习
1. (2x 2 1)n展开式的各项系数和为___1___；
2. (x 7 y)n 展开式的二项式系数之和为128、那么展
5.(x2 x 1)7 (2x 1)4展开式中x3项系数为 ，
。
T5
C4 10
x
4
(
y
)6
210x4 y6
T7
C6 10
x
6
(
y
)4
210x6 y4
5.在 (1 a)m 的二项式展开式中，第5项的系数等于第9项
的系数，那么m的值是__1_2___；
6.求展开式中的x2系数：(x 2 3x 4)4
7. (1＋2x－3x2）20 的展开式一共有多少项？
Cr n
C
n，r 即与首末两端“等距离”的两
n
个二项式系数相等；
2.增减性与最大值：
n
当n为偶数时，展开式中间的一项
C
2 n
取得最大；当
n1 n1
n为奇数时，展开式中间的两项 Cn 2、Cn 2相等，且同
时取得最大。
3. 各二项式系数的和：
C0 n
C1 n
C2 n
Cn n
2n
这里要注意赋值法的应用。 4.杨辉三角
最新--苏教版选修(2-3)1.5《二项式定理》课件2 精品推荐
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C44
C50
C51
C
2 5
C53 C54 C55
C
0 6C 61源自C2 6C63
C64
C65
C
6 6
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）首先发现的， 他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨 辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自 豪的.
1.5.2 二项式系数的 性质和应用
知识回顾
1.二项式定理
一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
Cnnbn
其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项，记作Tr+1
2.注意区别二项式系数与项的系数的概念
令:
定义域
f r
(r{0)，1，C，nrn}
14
当n= 6时, f (r) C6r
其图象是7个孤立点
6
O 36
函数思想
代数意义：C
m n
2018版高二数学苏教版选修2-3教案：1.5 二项式定理2
例2求（1+2x）7的展开式中第4项的二项式系数和系数
例3求（x- 的二项展开式中的常数项。
巩固练习：
1.求（2a+3b）6的展开式的第3项. 2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
3.写出的Leabharlann 开式的第r+1项.4.用二项式定理展开：
课外作业：第36页习题1.5 1，2，3
教学反思：
(a+b)1=,
(a+b)2=,
(a+b)3=,
(a+b)4=.
猜想(a+b)ｎ＝？
学生活动
（a+b）3展开式中的每一项都是从（a+b）（a+b）（a+b）的每个括号里各取一个字母的乘积。
一般地，由
(a+b)ｎ=（a+b）（a+b）（a+b）……（a+b）可知，其展开式是从每个括号里各取一个字母的一切可能乘积的和。可见，（a+b）3的展开式中项都具有an-rbr（r=0，1，2……n）的形式，其系数就是在
（a+b）（a+b）……（a+b）的n个括号中选r个取b的方法种数。
具体地，
………………………………
构建数学
(a+b)ｎ=
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)ｎ的，其中 （r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.
数学应用
例1用二项式定理展开：
1.5二项式定理
课题
1.5二项式定理
二项式定理和二项展开式
第一课时
教学目标
高中数学7-4-1二项式定理苏教版选择性必修第二册
情境问题
情境：由多项式的乘法法则可以知道： (a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2 (a＋b)3＝a 3＋3a 2b＋3ab2＋b3 (a＋b) 4＝a 4＋4a 3b＋6a 2b 2＋4ab3＋b 4 问题 1：你能写出 (a＋b)n （n∈N*）的展开式吗？
情境问题
探究 1 分小组对 (a＋b)3 进行讨论，试回答下列问题： ① (a＋b)3 的展开式在合并同类项之前，展开式有多少项？ ② (a＋b)3 的展开式中有哪些不同的项? ③ (a＋b)3 的展开式中各项的系数为多少? ④从上述 3 个问题中，能否得出 (a＋b)3 的展开式? 探究 2 仿照上述过程，请你推导(a＋b)4 的展开式． 探究 3 仿照上述过程，请你推导(a＋b)n 的展开式．
思考：
（1）二项展开式有哪些特点？
（2）各二项式系数之和是多少？
数学应用
例 1 利用二项式定理展开（1＋１）4 ． x
解：方法一：
(1＋
1 x
)
4＝1＋C14
(
1 x
)1＋C24
(
1 x
)2＋C34
(
1 x
)3＋(
1 x
)
4＝1＋
4 x
＋
6 x2
＋4＋1 x3 x4
；
方法二：
(1＋
1 x
)
4＝(
1 x
)4
(
x＋1)
4＝(
1 x
)4[
x
4＋C14
x3＋C24
x
2＋C34
x＋1]＝1＋
4 x
＋
6 x2
＋4＋1 x3 x4
．
思考: 展开式的第3项的系数是多少? 展开式的第3项的二项式系数是多 少? 你能否直接求出展开式的第3项?
苏教版选修2-3第一章计数原理二项式定理
计数原理在二项式展开式中应用
二项式展开式的通项公式
二项式的展开式中，每一项都可以表示为$T_{k+1} = C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$的形式，其中$C_n^k$表示二项式系数，$a$和$b$表示二项式的 两个变量。通过计数原理可以推导出这一通项公式。
二项式展开式的性质
二项式展开式具有一些重要的性质，如对称性、增减性等。这些性质可以通过 计数原理进行推导和证明。
计数原理在二项式定理证明中应用
数学归纳法证明
数学归纳法是一种常用的证明方法，可以用于证明二项式定 理的正确性。通过数学归纳法，可以逐步推导出二项式定理 的各项系数和展开式的形式。
组合数学证明
组合数学是研究计数问题的数学分支，可以用于证明二项式 定理的正确性。通过组合数学的方法，可以推导出二项式系 数的性质和递推关系，从而证明二项式定理的正确性。
至少有1名女生入选；
排列组合问题典型例题分析
• 例题3：用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
排列组合问题典型例题分析
比21034大的偶数； 左起第1、2位数字之积为10。
二项式定理问题典型例题分析
例题1：求(x + 2)^6的展开式中 二项式系数最大的项；
排列数公式及性质
• 排列数公式：$A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中$n,m \in \mathbf{N}^*$，且$m \leq n$。
排列数公式及性质
02
01
03
排列数的性质 $A_n^m = nA_{n-1}^{m-1}$ $A_n^m = frac{n!}{(n-m)!}$
苏教版高中数学选修连云港灌云县四队教案二项式定理(2)
四队中学教案纸 备课时间教学 课题 教时 计划 1 教学 课时 1 教学目标知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
重点难点 二项式定理和二项展开式的通项公式。
解决二项展开式有关的简单问题。
教学过程学生探究过程：一．复习：(a+b) n = （n N ∈）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项.二．例题例1选择题（1）62)x a a x(-的展开式中，第五项是………………………………………（ ）A .x 15-B .32ax 6- C .x 20 D .x 15 （2）153)a 1a (-的展开式中，不含a 的项是第……………………………（ ）项A .7B .8C .9D .6（3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ）A .4032B .-4032C .126D .-126（4）若n )111x (-的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（ ）A .4B .4或-3C .12D .3（5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（ ）A .120B .-120C .100D .-100。
苏教版高中数学选修2-3二项式定理2
二项式定理知识网络二项式定理结构简图画龙点晴 定理二项式定理：（a+b ）n=Cn0an+Cn1an-1b1+…….+Cnran -rbr+……+Cnnbn (n ∈N*).这个公式表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b ）n 的二项展开式。
（a+b ）n 展开式形式上的特点： (1)项数为n+1；(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 和b 的指数的和为n ；(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减少1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增加1直到n ；(4)二项式的系数从Cn0,Cn1一直到Cnn-1,Cnn 。
二项式定理的特殊表示形式：(1)在二项式定理中如果用-b 代b ，则公式（a-b ）n=Cn0an-Cn1an-1b1+…….+(-1)rCnran-rbr+……+(-1)nCnnbn , 这时通项是Tr+1=(-1)rCnran-rbr 。
(2)在二项定理中，如果设a=1，则得公式（1+b ）n=1+Cn1b1+Cn2b2+…….+ Cnrbr+……+Cnnbn , 这时通项是Tr+1= Cnrbr 。
二项式定理的应用： 求展开式. [活用实例][例1]求 (2x+1)5的展开式.[题解] 由二项式定理得(2x+1)5=05545235325415505)2()2()2()2()2()2(x C x C x C x C x C x C +++++=32x5+80x4+80x3+40x2+10x+1.∴(2x+1)5的展开式为32x5+80x4+80x3+40x2+10x+1. 近似计算. [活用实例][例2] 根据下列的精确度, 求1.025的近似值.(1)精确到0.01 ;(2)精确到0.001.[题解] 1.025=（1+0.02）5＝１＋55544533522511502.002.002.002.002.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯C C C C C ,10802.0,004.002.05335225-⨯=⨯=⨯C C当精确到0.01时，只要求展开式前三项的和，1+0.10+0.004= 1.104, 近似值为1.10 ; 当精确到0.001时，只要求展开式前四项的和，1+0.10+0.004+0.00008= 1.10408, 近似值为1.104.证明有关的整除问题. [活用实例][例3] (1)求证：32n+2-8n-9(n ∈N*)能被64整除; (2)求证：4⨯6n+5n+1-9能够被20整除（n ∈N*）。
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这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n 图象的对称轴： r 2
知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 8 则n=__________
③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(a b)n的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
同时由于C 1，上式还可以写成：
0 n
C C C C 2 1 这 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
你观察到哪些规律？
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
n1
作业： P36 12,13
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
1 1
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
赋值法
0 (C C ) (C C ) n 2 0 2 1 3 n 1 Cn Cn Cn Cn 2 2
r 1 n ;当r
r n 1 时, Cn 2
C
r 1 n ;
先增后减,在中间取得最大值.
(4)C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(5)奇数项二项式系数之和等于偶数项系数之和.
C C C C C C 2
C 462
5 11
C 462
6 11
1 4 4.已知 x 的展开式中只有第 10 项系数最大 , 3 x 求第五项 n 解 依题意, n为偶数 且 1 10, n 18. 2
n
T5 T41 C
4 18
x
18 4
1 4 4 3060 x 3 x
0 1 2 2.求证： Cn 2Cn 3Cn n n
n1
（2）a1 a3 a5 a7 ; （3）a0 a2 a4 a6 ; （4） | a0 | | a1 | | a2 | | a7 | .
小 结
1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有四条性质，要理解和掌握; 2.要注意“系数”与“二项式系数”的区 别，不能混淆;只有二项式系数最大的才是 中间项，而系数最大的不一定是中间项; 3.尤其要理解和掌握“赋值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段.
赋值法
例.若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199
的值.
知识对接测查3
1.C C
1 10 2 10 1 11 3 11 5 11
C
10 10
2 1 1023 _____;
0 n 2 n 1 n 3 n
典型例题
求证：
C 2C 3C nC n 2
1 n 2 n 3 n n n
n1
方法(1):倒序相加；
方法(2):运用重要结论：
kC nC
k n
n1
k 1 n 1
n n
变：C 2C 4C 2 C
1 n 2 n 3 n
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 0 1 (a b) C 1 C1 1 1
n
(a b) 3 (a b) (a b) (a b) (a b)
……
5
2
1
1 1 1 1 6 5
2
3 4 10
1
3 6 1 4 10 20 1 5 15 1 6
n
C C C ...C ...C C
n n
杨辉三角 《 九 章 算 术 》
杨 辉
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数最大的项为
8 T9 C20 312 28 x12 y 8
二项式系数的性质
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
r C 从函数角度看， n 可看 成是以r为自变量的函数f (r ) ,其定义域是： 0,1,2,, n
二项式系数的性质
①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
k n
k 1 n
是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值.
二项式系数的性质
②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C 取得最大值；
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C 相等，且同时取得最大值.
n 1 2 n
n 2 n
C
n 1 2 n
知识对接测查2
1 n 2 n 3 n n n n
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明： n 0 n 1 n 1 r nr r n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b 在二项式定理中，令
一.复习回顾 1.(a+b)n的二项展开式是_________.
C a b 2.通项公式是 _______________.
Tr+1 =
（确定某些特定项及其系数）
r n
n-r
r
3.第r+1项的二项式系数是什么？
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
0 n
CCC
0 2
1 2
2 2
0 1 2 3 C3 C3C3 C3
0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4
4
C CC CC C
0 16 1 6 2 6 3 6 4 6
0 5
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
6
15
……
C CC CC CC ……
1 n 2 n r n n1 n
5 6
6 6
(a b)
10
9 11 11 11
C C C C C C 2 _____ . 1024
7 11
10
n 1 C n 2 2 7 7 6 3.若(1 2x) a7 x a6 x a1x a0 , 求 （ 1 ）a1 a2 a7 ;
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
5 10
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C
C
6 11 .
；
2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式 系数最大，并求出其最大的二项式系数
7 8 解: 第8、9项的二项式系数 C15 与C15 最大. 即6435最大.
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项 的系数. 最大的系数呢？
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
二项式系数的性质
②增减性与最大值 n ( n 1 )( n 2 ) ( n k 1 ) n k 1 k k 1 由于： Cn Cn k (k 1)! k
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定 k n k 1 n 1 由： 1 k k 2 n 1 即二项式系数前半部分 可知，当 k 时， 2
4
变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？
例：求二项式 (3x+2y) 20 展开式中系数最大 的项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中 系数最大项的方法或步骤.
例 . 的项.
20 ( 3 x 2 y ) 在 的展开式中，求系数最大
解：设系数最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C20 3 2 C20 3 2
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+