极坐标练习题

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极坐标方程大题练习题

极坐标方程大题练习题一、基本概念与性质1. 将直角坐标系下的点 (3, 4) 转换为极坐标系下的坐标。

2. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ，求对应的直角坐标方程。

3. 判断下列极坐标方程是否表示圆：(1) ρ = 6cosθ(2) ρ = 3 + 2sinθ4. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求极点与极轴之间的夹角。

二、极坐标方程的求解5. 求极坐标方程ρ = 4cosθ 与ρ = 2sinθ 的交点坐标。

6. 已知极坐标方程ρ = 3sinθ，求当θ =π/3 时的点坐标。

7. 解极坐标方程ρ = 5 3cosθ，求出所有可能的ρ 值。

8. 已知极坐标方程ρ = 4 2sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标。

三、极坐标方程的应用9. 在极坐标系中，求直线ρcosθ = 3 与圆ρ = 4sinθ 的交点坐标。

10. 已知点 A 在极坐标方程ρ = 6sinθ 上，点 B 在极坐标方程ρ = 4cosθ 上，求线段 AB 的长度。

11. 在极坐标系中，求曲线ρ = 2 + 3sinθ 与极轴围成的面积。

12. 已知极坐标方程ρ = 5cosθ，求该曲线所围成的图形的面积。

四、综合题13. 在极坐标系中，求曲线ρ = 4sinθ 与直线θ = π/4 所围成的图形的面积。

14. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求该曲线关于极轴的对称曲线方程。

15. 在极坐标系中，求曲线ρ = 3 + 2sinθ 与极轴之间的夹角。

16. 已知极坐标方程ρ = 4cosθ，求该曲线关于原点的对称曲线方程。

17. 在极坐标系中，求曲线ρ = 6sinθ 与直线ρcosθ = 3的交点坐标，并判断这些交点是否在第一象限。

18. 已知极坐标方程ρ = 5 4sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标，并计算这些交点与极点之间的距离。

五、极坐标方程的变换与简化19. 将极坐标方程ρ = 8cosθ 转换为直角坐标系下的方程，并简化。

极坐标系的应用练习题

极坐标系的应用练习题极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由点到极点的距离和点与极轴的夹角两个参数确定。

在实际应用中，极坐标系有着广泛的应用。

本文将通过一些练习题来演示极坐标系的应用。

1. 题目一：求点的极坐标表示已知平面上一点P的直角坐标表示为(3, 4)，求该点的极坐标表示。

解答：根据直角坐标到极坐标的转换公式，可以得到点到原点的距离r和点与x轴的夹角θ。

首先，通过勾股定理可以计算出点到原点的距离r：r = √(x^2 + y^2)代入已知坐标得：r = √(3^2 + 4^2) = 5接下来，使用反正切函数可以计算出点与x轴的夹角θ：θ = arctan(y / x)代入已知坐标得：θ = arctan(4 / 3)因此，该点的极坐标表示为(5, arctan(4 / 3))。

2. 题目二：求直线的极坐标方程已知平面上一直线L的直角坐标表示为2x + 3y = 6，求该直线的极坐标方程。

解答：直线的极坐标方程可以通过将直线方程转换为极坐标的形式得到。

首先，将直线方程转换为极坐标形式时，需要将直线方程写成标准形式，即y = f(x)的形式。

将2x + 3y = 6转换得：y = (6 - 2x) / 3接下来，可以通过直角坐标到极坐标的转换公式，将直线方程转换为极坐标的形式。

以点P(x, y)为例，将(x, y)代入上式得：r sin(θ) = (6 - 2r cos(θ)) / 3化简得：r = (6 sin(θ) - 2r cos(θ)) / 3sin(θ)移项得：r + 2r cos(θ) = 6 sin(θ) / 3sin(θ)化简得：r(1 + 2 cos(θ)) = 2因此，直线的极坐标方程为r = 2 / (1 + 2 cos(θ))。

3. 题目三：求曲线的极坐标方程已知平面上一曲线C的直角坐标表示为y = x^2，求该曲线的极坐标方程。

解答：曲线的极坐标方程可以通过将曲线方程转换为极坐标的形式得到。

《极坐标系》经典练习题

《极坐标系》经典练习题极坐标系经典练题极坐标系是一种用极径和极角来确定平面上点位置的坐标系。

它在数学和物理学中得到广泛应用。

下面是一些经典的练题，帮助你巩固对极坐标系的理解和运用。

1. 极坐标与直角坐标的转换给定一个点的极坐标形式为 $(r, \theta)$，将其转换为直角坐标形式。

- 练题1：$(5, \pi/4)$- 练题2：$(2, 3\pi/2)$- 练题3：$(3, 7\pi/6)$2. 点的极坐标表示给定一个点的直角坐标形式$(x, y)$，将其转换为极坐标形式。

- 练题1：$(3, 4)$- 练题2：$(0, -2)$- 练题3：$(-1, 1)$3. 极坐标系下的点间距离计算两个点在极坐标系下的距离。

- 练题1：点A的极坐标形式为 $(3, 2\pi/3)$，点B的极坐标形式为 $(7, 7\pi/6)$，计算AB之间的距离。

- 练题2：点C的极坐标形式为 $(2, \pi/4)$，点D的极坐标形式为 $(5, 3\pi/2)$，计算CD之间的距离。

4. 极坐标系下的点旋转将给定点绕坐标原点逆时针旋转一定角度。

- 练题1：点P的极坐标形式为 $(2, \pi/3)$，将点P绕坐标原点逆时针旋转 $-\pi/6$ 弧度，求旋转后点的极坐标形式。

- 练题2：点Q的极坐标形式为 $(4, -2\pi/3)$，将点Q绕坐标原点逆时针旋转 $\pi/4$ 弧度，求旋转后点的极坐标形式。

以上是极坐标系的经典练习题，通过解答这些题目，你可以加深对极坐标系的理解，并提升对极坐标转换、点距离和点旋转的运算能力。

祝你成功！。

极坐标方程基础习题附答案

极坐标方程基础习题附答案Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】1.已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为（） A ．（1，） B ．（1，﹣） C ．（，1） D ．（，﹣1） 2.极坐标系中,B A ,分别是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是 .3.已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤< ），曲线C 在点（2，4π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为 ▲ .4.在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是．5.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________．6.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是______________．7.在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____8.（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为。

试卷答案考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，可求出点的直角坐标．解答：解：x=ρcosθ=2×cos =1， y=ρsinθ=2×sin = ∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．故选A ．点评：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题． 2.略3. 4.1a =-略5.曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线cos 2ρθ=即直线2=x ，故圆心到直线的距离为1。

极坐标练习题

一、选择题1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x2.极坐标方程sin θ＝12(ρ∈R ，ρ≥0)表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线 3.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝144.与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝3 B.x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C.y ＝1－x 2D.x 2＋y 2＝9(x ≠0)5.如图1，已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是( ) A.ρ＝1 B.ρ＝cos θC.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ6.圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22 B.2 C.2D.2 27.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 8.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆 9.圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 10.圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( )A.ρ＝2a cos θB.ρ＝－2a cos θC.ρ＝－2a sin θD.ρ＝2a sin θ 11.直线θ＝α和直线ρsin (θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.重合二、填空题12.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________.13.已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________.三、解答题14.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状.15.已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.16.(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程.17.在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程. 一、选择题1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x【解析】由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. ∴变换后的曲线方程为y ＝3sin x . 【答案】 A2.极坐标方程sin θ＝12(ρ∈R ，ρ≥0)表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线【解析】 ∵sin θ＝12，所以θ＝π6(ρ≥0)和θ＝56π(ρ≥0)，故其表示两条射线. 【答案】 B3.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 【解析】由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故选D.【答案】 D4.与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝3 B.x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C.y ＝1－x 2D.x 2＋y 2＝9(x ≠0)【解析】设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1(x ≠－1)，k PB ＝yx －1(x ≠1). 又k P A ＋k PB ＝－1，即y x ＋1＋y x －1＝－1，得 x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)，故选B. 【答案】 B5.如图1，已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρ＝1B.ρ＝cos θC.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ【解析】由题图可知ρcos(π－θ)＝1，即ρ＝－1cos θ，故选C. 【答案】 C6.圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22 B.2 C.2D.2 2【解析】圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2，在Rt △COD 中， ∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4， ∴|CD |＝ 2.即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 【答案】 B7.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 【解析】点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R )，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3.【答案】 A8.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆【解析】方程ρcos θ＝2sin 2θ可化为ρcos θ＝4sin θcos θ，即cos θ＝0或ρ＝4sin θ，方程cos θ＝0即θ＝k π＋π2，表示y 轴，方程ρ＝4sin θ即x 2＋y 2＝4y ，表示圆，故选C.【答案】 C9.圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 【解析】圆ρ＝r 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＝r 2，① 圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ).两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ). ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .【答案】 D10.圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( )A.ρ＝2a cos θB.ρ＝－2a cos θC.ρ＝－2a sin θD.ρ＝2a sin θ 【解析】法一：根据对称规律，把⎩⎪⎨⎪⎧θ′＝－θ，ρ′＝ρ代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程.∴ρ＝2a sin θ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2a sin (－θ)，即ρ＝－2a sin θ. 法二：因为圆ρ＝2a sin θ的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ，该圆关于极轴对称的圆的圆心应为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3π2，半径仍为a ，其方程应为：ρ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2，即ρ＝－2a sin θ. 【答案】 C11.直线θ＝α和直线ρsin (θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.重合【解析】直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin (θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y ＝x tan α＋1cos α.所以两直线平行. 【答案】 B 二、填空题12.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________.【解析】点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 113.已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________.【解析】依题意，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π12，∵cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24，∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，∴y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋2， ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2). 【答案】 (6－2，6＋2) 三、解答题14.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状. 【解】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝14，故曲线C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，半径为12的圆.15.已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.16.(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程. 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)，故圆C 的极坐标为ρ＝2cos(θ－1).(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)，故ρ＝2sin(θ－1)为所求.17.在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程. 【解】 (1)法一：∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. 法二：设A (ρ，θ1)，B (ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0,2π)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝22.∵θ1，θ2∈[0,2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB ＝π2，又|OA |＝|OB |＝2， ∴|AB |＝2 2.(2)法一：∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.法二：设点P (ρ，θ)为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成π4的角，则∠PCO ＝3π4或∠PCO ＝π4，当∠PCO ＝3π4时，在△POC 中，|OP |＝ρ，|OC |＝1，∠POC ＝θ，∠PCO ＝3π4，∠OPC ＝π4－θ，由正弦定理可知：1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝ρsin 34π，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.同理，当∠PCO ＝π4时，极坐标方程也为 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.当P 为点C 时显然满足ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.综上，所求直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.。

极坐标训练题

《极坐标》训练试题1.将极坐标方程cos()4πρθ=-化为直角坐标方程是____________2.在极坐标系中，圆cos ρθ=与直线cos 1ρθ=的位置关系是3.两曲线cos()20124πρθ+=与cos()20134πρθ-=的位置关系是4.在极坐标系中，直线1sin =θρ与圆θρcos 2=的交点的极坐标为5.若曲线的极坐标方程是1cos 4122-=θρ，则它的直角坐标方程是6.点N M ,分别是曲线2sin =θρ和θρcos 2=上的动点，则MN 的最小值是7.在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于,A B 两点，则=AB8.在极坐标系中，直线(sin cos )4ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为9.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 10.自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H(3,2(π)，则直线l 的极坐标方程为 11.极坐标系内，点(2,)2π关于直线cos 1ρθ=的对称点的极坐标为12.在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程为13.在极坐标系中，定点⎪⎭⎫ ⎝⎛π23,2A ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为__________1．(东莞调研文、理)极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为．2．(佛山二模文、理)球坐标(2,,)63ππ对应的点的直角坐标是 ____，对应点的柱坐标是 ____.3．(广州一模文、理)在极坐标系中，过点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．4．(广州调研文、理) 在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为__ __5．(惠州调研三理) 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 ______ .6．(揭阳一模文、理) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为____ ____________.7．(揭阳调研文、理) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则A B ＝；8. (汕头一模理)在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是____ ____9.(深圳调研理)在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 __ ，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是．10．(珠海一模文、理)极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是_____．11. (深圳二模文)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程是π4cos 6ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭。

极坐标练习题

极坐标练习题极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来表示点的位置。

在极坐标系统中，每个点由一个非负的极径和一个以极轴正向为起点的极角唯一确定。

极坐标与直角坐标之间的转换关系可以用以下公式表示：x = r * cosθy = r * sinθ其中，(x, y)为点的直角坐标，r为点到极轴的距离（极径），θ为点与极轴的夹角（极角）。

为了加深对极坐标的理解，下面给出一些极坐标的练习题，供读者练习和思考。

练习题一：给定极坐标(r, θ) = (3, π/6)，请将其转换为直角坐标。

解析：根据转换公式可得，x = 3 * cos(π/6)y = 3 * sin(π/6)计算得出，x ≈ 2.598y ≈ 1.5所以，极坐标(3, π/6) 对应的直角坐标为 (2.598, 1.5)。

练习题二：给定直角坐标 (x, y) = (4, -2)，请将其转换为极坐标。

解析：根据转换公式可得，r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)计算得出，r ≈ √(4^2 + (-2)^2) ≈ √20 ≈ 4.472θ = arctan((-2)/4) ≈ -0.464所以，直角坐标 (4, -2) 对应的极坐标为 (4.472, -0.464)。

练习题三：给定一点在极坐标系下的表示为(5, 3π/4)，请将该点表示在极坐标系中。

解析：该点的极径为 5，极角为3π/4。

在极坐标系中，从极轴正向开始逆时针旋转3π/4 的角度，然后向外延伸 5 的距离，即可标示出该点。

练习题四：给定一点在直角坐标系下的表示为 (-1, -1)，请将该点表示在极坐标系中。

解析：该点的直角坐标为 (-1, -1)。

首先，计算出该点到原点的距离：r = √((-1)^2 + (-1)^2) ≈ √2 ≈ 1.414然后，计算出该点与极轴的夹角：θ = arctan((-1)/(-1)) = arctan(1) ≈ 0.785所以，直角坐标 (-1, -1) 对应的极坐标为 (1.414, 0.785)。

极坐标练习题

日测极坐标1．曲线cos 10ρθ+=的直角坐标方程为（）A ．1x = B. 1x =- C. 1y = D. 1y =- 2．若M 点的极坐标为(2,)6π--，则M 点的直角坐标是（）A ．(B ．(1)-C ．1)-D ． 3．曲线的极坐标方程θρsin 4=化成直角坐标方程为( ) A.4)2(22=++y xB.4)2(22=-+y xC.4)2(22=+-yx D.4)2(22=++yx4．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是（）（A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ （C ）2cos =ρθ （ D ）2cos =-ρθ5．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线 6．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，6π)作曲线C 的切线，则切线长为( ) A ． C ． D ．7．在极坐标系中，圆θρcos 2=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）（A ）2cos R 0=∈=θρρθ）和（（B ）2cos R 2=∈=θρρπθ）和（（C ）1cos R 2=∈=θρρπθ）和（（D ）1cos R 0=∈=θρρθ）和（8．极坐标方程0))(1(=--πθρ)0(≥ρ表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线 9．（极坐标）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点M 的极坐标是)32,4(π，则点M 直角坐标是 A ．)3,2( B ．)3,2(- C ．)2,3( D ．)2,3(- 10．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 11．下列结论中不正确的是（） A ．(2,)6π与(2,)6π-是关于极轴对称 B ．(2,)6π与7(2,)6π是关于极点对称C ．(2,)6π与5(2,)6π-是关于极轴对称 D ．(2,)6π与5(2,)6π--是关于极点对称 12．极坐标系中，以（9，3π）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( ) A. ）（θπρ-3cos 18= B. ）（θπρ-3cos 18-= C. ）（θπρ-3sin 18= D. ）（θπρ-3cos 9=13．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（） A.4(5,)3π--B.(5,)3π-C.(5,)3πD.5(5,)3π- 14．在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为（） A ． B ． C ． D ． 15．极坐标方程cos 2ρθ=0 表示的曲线为（）A 、极点B 、极轴C 、一条直线D 、两条相交直线 16．在极坐标系中，曲线cos sin 2ρθρθ+=（0θ≤﹤2π）与4πθ=的交点的极坐标为（）(A)（1,1） (B)(1,)4π(C))4π (D)()4π17．直线45395x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的位置关系是A ．相离B ．相切Ｃ．过圆心 D ．相交不过圆心 18．已知圆22:4C x y +=，直线:2l x y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.（1）将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；（2）P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2|OQ ||OP ||OR |⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程.19．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD（1）求曲线1C ，2C 的方程；（2）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值20．已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t x ( t为参数，0≤α＜π).(Ⅰ)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (Ⅱ)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.参考答案1．B【解析】考点：极坐标方程【解析】A 。

极坐标练习试题(含详细答案)

1．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换错误!后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( ）A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D。

错误!＋错误!＝12．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为( )A．（x＋错误!)2＋y2＝错误!B．x2＋（y＋错误!）2＝错误!C．x2＋(y－错误!)2＝错误!D．（x－错误!)2＋y2＝错误!答案 D解析由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D。

3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为( ）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆答案 C4．在极坐标系中,圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（）A．（1，错误!）B．(1，－错误!）C．(1,0) D．（1，π）答案 B解析由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化为普通方程x2＋（y＋1）2＝1,其圆心坐标为(0，－1）,所以其极坐标为(1，－错误!），故应选B。

5．设点M的直角坐标为(－1，－错误!，3)，则它的柱坐标为( ）A．（2，错误!,3）B．（2,错误!，3）C．(2，错误!,3) D．（2，错误!，3)答案 C6．(2013·安徽）在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（)A．θ＝0(ρ∈R）和ρcosθ＝2B．θ＝错误!(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R）和ρcosθ＝1D．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1）2＋y2＝1。

所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝错误!（ρ∈R）和ρcosθ＝2,故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0）并且与极轴垂直的直线方程是（)A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1答案 C解析过点（1，0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1,所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C。

极坐标方程基础习题(附答案),DOC

1.已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为（） A ．（1，） B ．（1，﹣） C ．（，1） D ．（，﹣1） 2.极坐标系中,B A ,分别是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是.3.已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤<），曲线C 在点（2，4π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为▲.4.在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是．5.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________．6.在极坐标系中，圆4s i n ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是______________．7.在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____8.（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为。

试卷答案1.A 考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，可求出点的直角坐标．解答：解：x=ρcos θ=2×cos =1， y=ρsin θ=2×sin =∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．故选A ．点评：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题．2.略3. 4.1a =-略5.曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线cos 2ρθ=即直线2=x ，故圆心到直线的距离为1。

6.3略7.2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭两式相除得tan 12sin 244ππθθρ=⇒=⇒==，交点的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.2sin ρθ=略。

极坐标(一)有答案

极坐标（一）班级：姓名：一、填空题：1．极坐标系中，直线sin 24πρθ（＋）＝被圆4ρ＝截得的弦长为。

答案：2．极坐标方程分别为2cos ρθ＝和sin ρθ＝的两个圆的圆心距为。

答案：23．在直角坐标方系中圆C 的参数方程为2cos (22sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为。

答案：4sin ρθ=4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为123x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，则在这一坐标变换下正弦曲线sin y x =的方程变为。

答案：3sin 2y x ''=5．极坐标系中，点(1,0)到直线(cos sin )2ρθθ+=的距离为。

答案：26．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：cos()13πρθ-=，M 、N 分别为曲线x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点P 在平面直角坐标系中的坐标为．答案：37．已知直线的极坐标方程为sin()42πρθ+=，则极点到这条直线的距离是．答案：28．在极坐标系中，圆4ρ=上的点到直线(cos )6ρθθ+=的距离的最大值是．答案：79．在极坐标系中，设圆32ρ=上的点到直线sin sin )θθθ-=的距离为d ，则d 的最大值为。

答案：2二、解答题：10．求极坐标方程cos(4πρθ=-）所表示的曲线。

答案：以44（，）为圆心，12为半径的圆11．已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos()24πρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．答案：（1）222220x y x y +---=；（2）sin()42πρθ+=．12．在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin()42l πρθ-=．（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标。

极坐标参数方程基础50题

其他1. 已知曲线：（为参数），为坐标原点，是曲线上的一点，与轴的正半轴所成的角为，则_____。

2. 已知椭圆的参数方程为（为参数），则该椭圆的长轴长为_____。

3. 已知直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为_____。

4. 化极坐标方程为直角坐标方程为_____ 。

5. 在极坐标系中，点到直线的距离为_____ 。

6. 若直线（为参数）与直线垂直，则常数 _____。

7. 已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程为______ 。

8. 点的极坐标是，则点的直角坐标为_____。

9. 在极坐标系中，极点到直线：的距离是_____。

10. 以原点为极点，以轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的长度单位建立极坐标系。

若圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为。

11. 在极坐标系中，圆心为且过极点的圆的极坐标方程为_____。

12. 已知圆的参数方程为，（为参数），则圆的面积为_____；圆心到直线的距离为_____。

13. 在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为_____。

14. 曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为_____。

15. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是_____。

16. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），若以为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为_____。

17. 已知在极坐标系中，为极点，，，则的面积为_____。

18. 在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段长度为_____。

19. 过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是_____。

20. 已知椭圆的参数方程为（为参数），则该椭圆的离心率为_____。

21. 已知椭圆的参数方程为（为参数，），则此椭圆的焦距为_____。

22. 在极坐标系中，有点，，则，两点间的距离为_____。

23. 参数方程（是参数）对应的普通方程是_____。

24. 在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为。

极坐标习题精练及答案

坐标系一、选择题1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆3．极坐标方程θρcos ＋12＝化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )4．点P 在曲线 ρ cos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ．圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段5．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．06．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆7．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．328．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )． A ．(－1，4π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π) D ．(1，4π5) 9．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )．A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点C ．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆10．方程θθρsin ＋ cos 11＝－表示的曲线是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题11．在极坐标系中，以(a ，2π)为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为． 12．极坐标方程 ρ2cos θ－ρ＝0表示的图形是． 13．过点(2，4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是． 14．曲线 ρ＝8sin θ 和 ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交点的极坐标是． 15．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ cos θ ＝3，ρ＝4cos θ (其中0≤θ＜2π)，则C 1，C 2交点的极坐标为．16．P 是圆 ρ＝2R cos θ上的动点，延长OP 到Q ，使|PQ |＝2|OP |，则Q 点的轨迹方程是．三、解答题17．求以点A (2，0)为圆心，且经过点B (3，3π)的圆的极坐标方程．18．先求出半径为a ，圆心为(ρ0，θ0)的圆的极坐标方程．再求出 (1)极点在圆周上时圆的方程；(2)极点在周上且圆心在极轴上时圆的方程．19．已知直线l 的极坐标方程为)(4π＋ cos 24θρ=，点P 的直角坐标为(3cos θ，sin θ)，求点P 到直线l 距离的最大值及最小值．20．A ，B 为椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)上的两点，O 为原点，且AO ⊥BO ．求证：(1)221＋1OBOA为定值，并求此定值；(2)△AOB 面积的最大值为ab 21，最小值为2222 ＋ b a b a ．参考答案一、选择题 1．A解析：ρ＝4，tan θ＝3＝232－－，θ＝3π2．故选A ． 2．D解析：∵ ρ cos θ＝2sin θ cos θ，∴cos θ＝0或 ρ＝2sin θ，ρ＝0时，曲线是原点；ρ＞0时，cos θ＝0为一条射线，ρ＝2sin θ 时为圆．故选D ．3．B解析：原方程化为2cos =+θρρ，即x －y x2 ＝＋22，即y 2＝4(1－x )．故选B ． 4．D解析：∵x ＋2y ＝3，即x ＋2y －3＝0，又∵ 0≤θ ≤4π，ρ＞0，故选D ． 5． B解析：两曲线化为普通方程为y ＝2和(x ＋1)2＋y 2＝1，作图知选B ． 6．D解析：曲线化为普通方程后为13422=+y x ，变换后为圆． 7．Ｃ解析：直线可化为x ＋y ＝22，圆方程可化为x 2＋y 2＝9．圆心到直线距离d ＝2， ∴弦长＝22223－＝52．故选Ｃ． 8．B解析：圆为：x 2＋y 2－y x 2 ＋ 2＝0，圆心为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222－,，即) ，(4π71，故选B ． 9．B解析：原方程化为ρ＝10cos θ，cos θ＞0．∴0≤θ ＜2π和23π＜θ＜2π，故选B ．10．C解析：∵1＝ρ－ρcos θ＋ρsin θ，∴ρ＝ρcos θ－ρsin θ＋1，∴x 2＋y 2＝(x －y ＋1)2，∴2x －2y －2xy ＋1＝0，即xy －x ＋y ＝21，即(x ＋1)(y －1)＝－21，是双曲线xy ＝－21的平移，故选Ｃ．二、填空题 11．ρ＝2a sin θ．解析：圆的直径为2a ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，则∠AOP ＝2π－θ 或θ－2π， ∵ρ＝2a cos ∠AOP ，即2cos 2 ＝ πθρ－a ＝2a sin θ．12．极点或垂直于极轴的直线．解析：∵ ρ·(ρ cos θ －1)＝0，∴ρ＝0为极点，ρ cos θ －1＝0为垂直于极轴的直线． 13．ρ sin θ ＝1．解析：2＝ sin θρ×1 ＝ 4πsin ．14．(42，4π3)．O (第11题)(第12题)解析：由8sin θ＝－8cos θ 得tan θ＝－1．ρ＞0得⎩⎨⎧θθ cos sin ∴θ＝4π3；又由 ρ＝8sin4π3得 ρ＝42． 15．⎪⎭⎫ ⎝⎛6π32 ，．解析：由 ρ cos θ＝3有 ρ＝θ cos 3，θcos 3＝4cos θ，cos 2θ ＝43，θ ＝6π；消去θ 得 ρ2＝12，ρ＝23． 16．ρ＝6R cos θ．解析：设Q 点的坐标为(ρ，θ)，则P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛θρ ，31，代回到圆方程中得31ρ＝2R cos θ，ρ＝6R cos θ．三、解答题17．解析：在满足互化条件下，先求出圆的普通方程，然后再化成极坐标方程． ∵A (2，0)，由余弦定理得AB 2＝22＋32－2×2×3×cos 3π＝7， ∴圆方程为(x －2)2＋y 2＝7，由⎩⎨⎧θρθρsin＝ cos ＝y x 得圆的极坐标方程为(ρcos θ－2)2＋(ρsin θ)2＝7，即 ρ2－4ρ cos θ －3＝0．18．(1)解析：记极点为O ，圆心为C ，圆周上的动点为P (ρ，θ)，则有CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos ∠COP ，即a 2＝ρ2＋20ρ－2 ρ·ρ0·cos (θ－θ 0)．当极点在圆周上时，ρ0＝a ，方程为 ρ＝2a cos (θ－θ 0)；(2)当极点在圆周上，圆心在极轴上时，ρ0＝a ，θ 0＝0，方程为 ρ＝2a cos θ． 19．解析：直线l 的方程为42＝ρ(22cos θ －22sin θ)，即x －y ＝8． ∴点P (3cos θ ，sin θ )到直线x －y ＝8的距离为28sin cos 3＝－－d θθ＞0，＜0.286π＋ cos 2＝－)(θ，∴最大值为25，最小值为23． 20．解析：(1)将方程化为极坐标方程得θθρ2222222＋＝ sin cos a b b a ，设A (ρ1，θ1)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋ 12θρ ，，则221＋1OBOA22211＋1＝ρρ＋sin ＋cos ＝22122122b a a b θθ221221222π＋sin ＋2π＋cos b a a b ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛θθ 2222＋＝b a b a ，为定值．(2) S △AOB ＝21ρ1ρ2＝12212222＋21θθsin a cos b b a 12212222＋θθcos a sin b b a221222222＋2sin 4121＝b a b －a b a θ)(，当4π ＝ 1θ时，S △AOB 最小值为2222＋ba b a ，当θ 1＝0时，S △AOB 最大值为ab 21．。

极坐标(含答案 )

极坐标x cos sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222x y ρ+= 考点一。

直角坐标化极坐标(1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3k k Z ππ+∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。

解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。

(3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______.解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。

圆的极坐标方程为ρθ。

考点二。

极坐标化直角坐标（1）求普通方程)3R ∈=ρπθ（。

解：y=kx,且k=33tan=π,则直线方程为x 3y =。

（2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化成直角坐标方程。

解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.(3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程．解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0)直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。

(4)将极坐标方程4sin 2θ=3化为普通方程。

解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3. （5）化极坐标方程24sin 52θρ⋅=为普通方程。

解：21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，即25x =，化简22554y x =+.表示抛物线.(6)求点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。

解：)3,2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距离为3。

（7）求点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离．（8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0θρ<≤≥），求曲线1C 与2C 交点极坐标.解:21,C C 分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π。

极坐标与参数方程(经典39题)(整理版)

( Ⅱ ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A ， B ．若点 P 的坐标为 (3 ， 5 ) ，求 PA PB 与
PA PB ．
32．已知 A,B 两点是椭圆 x 2 y 2 1 与坐标轴正半轴的两个交点 . 94
(1) 设 y 2sin , 为参数，求椭圆的参数方程；
(2) 在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB的面积最大，并求此最大值 .
标；
（Ⅱ）点 M （ x0 ，y0 ）在 e O1 上运动，点 P (x, y) 是线段 AM 的中点，求点 P 运
动轨迹的直角坐标方程．
x 3cos
15．已知曲线 C :
，直线 l : (cos
y 2sin
2sin ) 12 ．
（ 1）将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 距离的最小值．
2．在极坐标系中，曲线 L : sin 2 2cos ，过点 A（ 5 ，）（为锐角且
3
tan
）作平行于
4
( Ⅰ ) 以极点为原点，极轴为
( R) 的直线 l ，且 l 与曲线 L 分别交于 B， C两点 . 4
x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直
角坐标系，写出曲线 L 和直线 l 的普通方程；
（ 2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线 C1， C2 ．写
出 C1， C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
同？说明你的理由．
C1 与 C2 公共点的个数是否相
28．已知圆的方程为 y2 6 y sin x2 8x cos 7cos 2 8 0 求圆心轨迹 C 的参数方程 ; 点 P(x, y) 是（ 1）中曲线 C上的动点，求 2x y 的取值