2016高考数学二轮复习微专题强化练课件：8平面向量

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高考理科数学二轮专题提分教程全国课件平面向量

内心性质
内心是三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。
外心性质
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。
正弦定理和余弦定理应用
正弦定理
在任意三角形中，各边与其对应角的正弦值的比相等，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC。
余弦定理
在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a² = b² + c² 2bc·cosA。
数乘运算及性质
数乘运算
实数与向量的乘积是一个新的向量，其长度等于原向量的长度与实数的绝对值的乘积，方向与原向量的方向相同（实数大于0）或相反（实数小于0）。
数乘性质
数乘满足交换律、结合律和分配律。即对于任意实数$k$和$l$，以及任意向量 $vec{a}$和$vec{b}$，有$k(lvec{a}) = (kl)vec{a}$，$(k + l)vec{a} = kvec{a} + lvec{a}$，$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量加法与减法运算规则
向量加法
向量加法满足平行四边形法则或三角形法则。设$vec{a}$与$vec{b}$不共线，则 $vec{a} + vec{b}$的结果是一个新的向量，其起点是$vec{a}$的起点，终点是 $vec{b}$的终点。
向量减法
向量减法满足三角形法则。设$vec{a}$与$vec{b}$不共线，则$vec{a} - vec{b}$ 的结果是一个新的向量，其起点是$vec{b}$的终点，终点是$vec{a}$的终点。

高考数学二轮专题复习第08课时平面向量及其综合应用课件文

12
(3)由tanβtanβ=16，得sinαsinβ=16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0，所以a//b.
此题主要考查向量的模、两向量平行和垂直的充要条
件、向量的和、差、数乘、数量积等平面向量的基本概念
和基本运算，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍
角的正弦公式、两角和的正弦与余弦公式，具有较强的综
满足FA+FB+FC=0,则 FA + FB + FC ( )
A．9
B．6
C．4
D．3
14
设A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，C(x3，y3 )，p 2，
则x1
p 2
x2
p 2
x3
p 2
0，所以x1x2x33p， 2
因此
FA FB
FC
3p 2
x1 x2
x3
3 p 6.
答案B
15
1
的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则PF1 PO的取值范围是（）
设P(2cos，sin )，F1( 3，0)， PF1 PO ( 3 2cos， sin ) (2cos， sin ) 2 3cos 4cos2 sin2
3(cos 3 )2，
3
因为cos 1,1，所以PF1 PO [0, 4 2 3]． 21
17
②当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为x
my
1，代入
x2 a2
y2 b2
1，
整理，得(a2 b2m2 ) y2 2b2my b2 a2b2 0，
所以y1
y2
2b2m a2 b2m2
，y 1
y2

高三数学二轮专题复习课件：平面向量

核心整合
知识方法整合 1．向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量，向量可用有向线段来表示． (2)零向量的模为 0，方向是任意的，记作 0.零向量和任一向量平行．
(3)长度等于 1 的向量叫单位向量，与向量 a 共线的单位向量为±|aa|.
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量． (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．
(2)∵m＝(1，sinA)与 n＝(2，sinB)共线，
∴sinB＝2sinA，
∴sin(23π－A)＝2sinA，
∴ 23cosA＋12sinA＝2sinA，
∴cosA＝ 3sinA，即 tanA＝ 33，
又 0<A<23π，∴A＝6π，∴B＝2π.
在直角三角形
ABC
中
c＝3，∴a＝32，b＝3
2．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. 3．平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2.
4．两向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，在平面上任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作 a 与 b 的夹角． 5．向量的坐标表示及运算 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)．
10．(1)当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出现错误，向量M→N＝O→N －O→M(其中 O 为我们所需要的任何一个点)．

高考数学二轮复习第二篇第8练平面向量课件理

12/11/2021
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析答案
6.(2018·南京调研)在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，B→M＝λB→C.
若A→M·B→C＝－137，则实数
λ
1 的值为____3____.
解析 ∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理可得 BC＝ 19，又根据余弦定理可得 cos∠ABC＝ 419，A→M·B→C＝(B→M－B→A)·B→C＝λB→C2－
第二篇重点专题分层练，中高档题得高分
第8练平面向量[小题提速练]
12/11/2021
明晰考情 1 命题角度：平面向量数量积的运算，利用向量判定直线的位置关系、求夹角或距离，另外还可以和函数、数列、几何等交汇考查. 2题目难度：中低档难度.
12/11/2021
栏目索引
12/11/2021
核心考点突破练易错易混专项练高考押题冲刺练
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故 λ＝23. 12/11/2021
解析答案
4.在△ABC 中，点 M 是线段 BC 延长线上一点，且满足 BM＝3CM，若A→M ＝xA→B＋yA→C，则 x－y＝___－__2___. 解析因为A→M＝A→C＋C→M＝A→C＋12B→C，又B→C＝A→C－A→B，所以A→M＝A→C＋12(A→C－A→B)＝32A→C－12A→B，所以 x＝－12，y＝32，则 x－y＝－2.
即3|a|2－|a||b|·cos θ－2|b|2＝0，
∴83|b|2－2 3 2|b|2·cos
θ－2|b|2＝0，∴cos
θ＝
2 2.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 12/11/2021

高考数学二轮复习专题2第8讲平面向量及其应用精品课件大纲人教版

第8讲 │ 要点热点探究
► 探究点二平面向量的数量积
例 2 [2011· 广东卷] 若向量 a，b，c 满足 a∥b 且 a⊥c，
则 c· (a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D． 0
【分析】首先从 a∥b 且 a⊥c 入手，找到 b 与 c 的关系，再进行数量积计算．
第8讲│ 要点热点探究
→ ＋AB → ＋AC → ＝0， C 【解析】取 BC 边中点 M，由 2OA → ＝AB → ＋AC → ＝2AM → ，则点 M 与点 O 重合．又由|OB →| 可得 2AO → |＝|OA → |＝|AB → |＝1，可得△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝|OC 3 ＝ 90° ，∠ ABC ＝ 60° ，故 |AC|＝ |BC|sin60° ＝ 2× ＝ 3 ，则 2 →· → ＝|CA → |· → |cosC＝|CA → |2＝3. CA CB |CB
D 【解析】因为 a∥b 且 a⊥c，所以 b⊥c，所以 c· (a＋2b)＝c· a ＋2b· c＝0.
【点评】本题考查向量的运算及向量平行与垂直的关系，抓住 a∥b 与 a⊥c，得到 b⊥c，这是解决本题的关键．求解向量的问题，有时从性质入手更为有效．
第8讲 │ 要点热点探究
→ ＋AB → ＋AC → ＝0， △ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 2OA → |＝|AB → |，则CA →· → 等于( |OA CB ) 3 A. B. 3 C．3 D．2 3 2
第8讲 │ 要点热点探究
→ → A→ 若四边形 A1A2A3A4 满足：A→ (A→ 1A2＋A3A4＝0， 1A2－A1A4)· 1A3 ＝0，则该四边形一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形

2016高考数学新课标版二轮复习课件：专题1 第2讲平面向量、复数

则实数λ=
.
解析:由于 a,b 不平行,所以可将 a,b 作为一组基底,于是λa+b 与 a+2b
平行等价于 = 1 ,即λ= 1 .
12
2
答案: 1
2
第八页，编辑于星期六：点三十五分。
二轮·数学
6.(2013 新课标全国卷Ⅱ,理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD
的中点,则 AE · BD =
| PA + PB + PC |= cos 62 sin2 = 37 12cos ≤ 37 12 =7,
当且仅当 cos α=-1 时取等号, 此时 B(-1,0),故| PA + PB + PC |的最大值为 7. 故选 B.
第七页，编辑于星期六：点三十五分。
二轮·数学
5.(2015新课标全国卷Ⅱ,理13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,
5
(A) 5
(B) 2
(C) 5
(D) 3
14
14
7
7
解析:(1)如图所示,取 BC 的中点 D,连接 PD,AD,则 PD⊥BC,
AB + AC =2 AD ,
因为 AP =k( AB + AC )(k∈R),所以 AP =2k AD , 所以 A,P,D 三点共线,所以 AB=AC.
所以 cos∠BAC=cos∠DPC= DP = DP = 2 .所以 AP= 5 AD.
(2)对于利用向量的线性运算、共线向量定理和平面向量基本定理解决“参数取值” 问题关键是:①正确运用平面图形的几何性质;②善于利用方程思想.·数学
举一反三 1 1:(1)(2015 杭州市质检)设 P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆圆心), AP =k( AB + AC )(k∈R),若 cos∠BAC= 2 ,则 k 等于( )

(全国通用)2016高考数学二轮复习专题二第3讲平面向量课件理

解析
建立如图所示坐标系，则
1 B t ，0，C(0，t)，
→ 1 → 4AC 1 AB → → → AB＝ t ，0， AC＝(0， t)， AP＝＋＝t t ，0＋ → → |AB| |AC|
1 4 → → －1，－4· (0 ， t ) ＝ (1 ， 4) ， ∴ P (1 ， 4) ， PB · PC ＝ t t 1 (－1，t－4)＝17－ t ＋4t≤17－2
[微题型 3]
平面向量数量积的运算
→ → → 【例 1－3】 (1)(2015· 湖北卷)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3， → → 则OA· OB＝________. (2)(2015· 天津卷)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC， AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60° ，动点 E 和 F 分别在线段 → → → 1 → → → BC 和 DC 上，且BE＝λBC，DF＝9λDC，则AE· AF的最小值为________.
解
因为 m＝( 3sin 2x＋2，cos x)，n＝(1，2cos x)，
函数 f(x)＝m· n，所以 f(x)＝ 3sin 2x＋2＋2cos2x ＝ 3sin 2x＋cos
π 2x＋3＝2sin2x＋6＋3.
2π (1)f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π. π π π 由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋，k∈Z， 2 6 2 π π 得 kπ－3≤x≤kπ＋6，k∈Z. 所以
点，它们的向量表达式具有许多重要的性质.在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，考查平面向量的相关知识点和考生分析问题、解决问题的能力.
[微题型 2]
平面向量与三角函数
【例 2－2】 (2015· 合肥模拟)已知向量 m＝( 3sin 2x＋2， cos x)，n＝(1，2cos x)，设函数 f(x)＝m· n. (1)求 f(x)的最小正周期与单调递增区间； (2)在△ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， 3 若 f(A)＝4，b＝1，△ABC 的面积为 2 ，求 a 的值.

高考数学二轮复习专题08 平面向量讲学案理

专题08 平面向量高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定文向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．平面向量基本定文如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．5．向量的坐标表示及运算(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 6．平面向量共线的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2， y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 与b 共线． 7．平面向量的数量积设θ为a 与b 的夹角． (1)定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)投影：a ·b|b |＝|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影． 8．数量积的性质 (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2；(3)|a ·b |≤|a |·|b |； (4)cos θ＝a ·b|a |·|b |.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a 在b 方向上的投影为a ·b |b |，而不是a ·b|a |. 4．若a 与b 都是非零向量，则λa ＋μb ＝0⇔a 与b 共线，若a 与b 不共线，则λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0.考点一平面向量的概念及线性运算例1．【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】-3【解析】由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【变式探究】已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】－6【解析】基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb【方法技巧】平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb)来判断．【变式探究】(1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 【答案】A【解析】基本法：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.速解法：∵AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →【答案】A【解析】基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD→，故选A.基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 考点二平面向量数量积的计算与应用例2．【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = . 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A【变式探究】(1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C【解析】基本法：因为2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选C.速解法：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1.故选C. 【方法规律】1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a |2＝a 2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．2．求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.【答案】2B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2.1.【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+，即0ab =，则a b ⊥，故选A.2.【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】-3【解析】由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-3.【2017北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．【答案】6 【解析】所以最大值是6.4.【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = . 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.5.【2017天津，文14】在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2.若2BD DC =，AE AC AB λ=-（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 .【答案】3116.【2017课标1，文13】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得()1,3a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以()1230m --+⨯=，解得7m =．7.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为,OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .(第12题)【答案】38.【2017江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时， ()f x 取到最大值3； 5π6x =时， ()f x 取到最小值-.【解析】（1）因为()cos ,sin a x x =， (3,b =，a ∥b ，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =.1.【2016高考新课标2文数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.2.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）3.【2016年高考四川文数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( )（A ）434 （B ）494（C （D【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直4.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【2015高考福建，文9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ． 15C ．19D ．21【答案】Axy BCAP【2015高考湖北，文11】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙= . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙.【2015高考山东，文4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a 【答案】D 【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【2015高考陕西，文7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【2015高考四川，文7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=，选C.【2015高考安徽，文8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B 【答案】D 【解析】如图，【2015高考福建，文9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ． 15C ．19D ．21【答案】Axy BCAP【2015高考天津，文14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BAD C EF1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B【解析】由于平面向量的基本定文可得,不共线的向量都可与作为基底.只有)2,5(),2,1(21-=-=e e 成立.故选B.【考点定位】平面向量的基本定文.2. 【2014高考广东卷文第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（）A.()1,1,0-B.()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1- 【答案】B【考点定位】空间向量数量积与空间向量的坐标运算 3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】1+【考点定位】参数方程、三角函数4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .【答案】22ADCBP【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．【考点定位】向量的线性运算与数量积． 5. 【2014陕西高考文第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a//，则=θtan _______.【答案】12【解析】因为b a//，所以2sin 21cos 0θθ⨯-=，即2sin 2cos θθ=，所以22sin cos cos θθθ=，因为20πθ<<，所以cos 0θ≠，所以2sin cos θθ=，所以sin 1tan cos 2θθθ==，故答案为12【考点定位】共线定文；三角恒等变换.6. 【2014高考安徽卷文第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 【答案】A【考点定位】平面向量的应用、线性规划.7. 【2014高考北京卷文第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .【答案】5【解析】当0=+b a λ，则a b λ-=，于是||||||⋅=λb ，因为)1,2(=b ，所以5||=b ，又因为1||=a ，所以5||=λ. 【考点定位】平面向量的模8. 【2014高考湖北卷文第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3± 【解析】【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积10. 【2014江西高考文第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .【解析】因为22111942329,912318,929118,333a b a b =+-⨯⨯⨯==+-⨯⨯⨯=⋅=+-⨯⨯⨯=所以cosβ==【考点定位】向量数量积及夹角11. 【2014辽宁高考文第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝【答案】A【解析】由题意可知，命题P 是假命题；命题q 是真命题，故p q ∨为真命题. 【考点定位】命题的真假12. 【2014全国1高考文第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则与的夹角为_______．【答案】090．【解析】由1+2AO AB AC =（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此与AC 的夹角为090【考点定位】平面向量基本定文13. 【2014全国2高考文第3题】设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A【解析】因为22||()a b a b +=+=r u r r r 222a b a b ++⋅r r r r =10，22||()a b a b -=-=r u r r r 2226a b a b +-⋅=r r r r ，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r ，故选A.【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 14. 【2014高考安徽卷文第15题】已知两个不相等的非零向量,,两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S .③若,∥则min S .0min >S . ⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则a 与b 的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.15. 【2014四川高考文第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】 D. 【解析】由题意得：25c a c b c a c b m c ac bab⋅⋅⋅⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⋅，选D.法二、由于OA ，OB 关于直线y x =对称，故点C 必在直线y x =上，由此可得2m = 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 16. 【2014浙江高考文第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+【答案】Ｄ【考点定位】向量运算的几何意义.17. 【2014重庆高考文第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（）9.2A - .0B .C 3 D.152【答案】C【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.19. 【2014大纲高考文第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （）A ．2BC ．1D 【答案】B ．【解析】()()()()220,1,,2,1,20,20a b a a b a a b a a b b a a b b a b b ⎧⎧+⋅=⋅=-=-⎪⎪+⊥+⊥=∴∴⎨⎨+⋅=⎪⎪⋅+=⎩⎩①②.把①代入②得22220,2,2,b b b -+=∴=∴=故选B ．【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．20.【2014高考陕西第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上（1）若0=++PC PB PA（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 【答案】（1）；（2）m n y x -=-，1. 【解析】（1）因为0PA PB PC ++= 所以()()()0OA OP OB OP OC OP -+-+-=【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.21.【2014高考上海文科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i =，cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．【考点定位】数量积的定义与几何意义．22.【2014高考上海文科第14题】已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【考点定位】向量的坐标运算．。

2016版高考数学二轮复习配套课件：专题二三角函数与平面向量第1讲

解析：原式＝－－ssiinn
α·sin α·cos
αα＝tan
α.根据三角函数的定义，得
tan
α＝xy＝－34，所以原式＝－34.
栏目导引
第十八页，编辑于星期五：二十三点五十三分。
专题二三角函数与平面向量
考点二三角函数的图象与解析式 [命题角度]
1．由函数的图象特征求三角函数的解析式． 2．三角函数图象的变换及对称． 3．五点法作三角函数的图象．
象如图所示，则 f(x)的解析式是( D )
A．f(x)＝sin3x＋π3 C．f(x)＝sinx＋π3
B．f(x)＝sin2x＋π3 D．f(x)＝sin2x＋π6
栏目导引第二十五页，编辑于星期五：二十三点五十三
分。
专题二三角函数与平面向量
解析：由图象可知T4＝512π－π6＝π4，所以 T＝π，所以 ω＝2Tπ＝2，故排除 A、C，把 x＝π6代入检验知，选项 D 符合题意．
函
数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
对称中心：
对称中心：
对
(kπ，0)(k∈ Z)；对称轴：
π2＋kπ，0
对称中心：
称
性
x＝π2＋
(k∈Z)；对称 k2π，0(k∈Z)
轴：x＝
kπ(k∈ Z)
kπ(k∈ Z)
栏目导引
第七页，编辑于星期五：二十三点五十三分。
专题二三角函数与平面向量
第十四页，编辑于星期五：二十三点五十三分。
专题二三角函数与平面向量
方法归纳应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．

2016版高考数学二轮复习配套课件：专题二三角函数与平面向量第2讲

10 A. 10
3 10 B. 10
C.
5 5
D.2 5 5
栏目
导引第二十九页，编辑于星期五：二十三点五十三
分。
专题二三角函数与平面向量
专题二三角函数与平面向量
考点一利用三角恒等变换化简、求值
[命题角度] 1．利用三角恒等变换求值(求角)． 2．利用三角恒等变换化简．
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专题二三角函数与平面向量
(1)若 tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝( A )
1
1
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专题二三角函数与平面向量
2．辨明易错易混点 (1)已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘． (2)利用正弦定理解三角形时，注意解的个数的讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B.
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(2) cos2π3＋α
cosπ－π3－2α
cosπ3－2α
二倍角公式
sinπ6－α
[解析] (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝1t＋ant（anα（＋αβ＋）β－）t·atannαα
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专题二三角函数与平面向量
＝1＋12－12×13 13＝17.
专题二三角函数与平面向量
2．在本例条件下，若 B＝60°，b＝ 2，求 a 的值．
解：因为 b2＝2ac，b＝ 2，所以 ac＝1，又因为 b2＝a2＋c2－2accos B，所以 a2＋c2＝3，

二轮复习专题二微重点8平面向量的最值与范围问题课件(57张)

即|a＋e|的最大值为6.
→ →→ (2)在平行四边形 ABCD 中，A→B ＋2→AD＝λ→AC，λ∈[ 2，2]，则 cos∠BAD
|AB| |AD| |AC| 的取值范围是__－__34_，__－__14___.
因为
→ AB →
＋2→A→D＝λ→A→C，且A→B＋A→D＝A→C，
|AB| |AD| |AC|
所以λt＋μt ＝1，即 λ＋μ＝t∈(0,1]. 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1].
考点二
求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最
大值为
A.4
√
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝ x＋12＋y2＝ 8x－4，当 x＝5 时， 8x－4取得最大值为 6，
12345678
6.(多选)(2022·武汉模拟)正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 的中点，如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上任意一点，A→P＝λA→D＋μA→E(λ，μ∈R)，则 A.λ 的最大值为12
12345678
当且仅当|b|＝ 25时，等号成立，
因为〈a，b〉＝θ，θ∈[0，π]，
所以 sin θ＝ 1－cos2θ≤ 即 sin θ 的最大值为23.
1－59＝23，
12345678
4.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD
＝1，BC＝2，P 是线段 AB 上的动点，则|P→C＋4P→D|的
若向量c＝λa＋μb(λ＋μ＝1，λ，μ∈R)，且a·c＝b·c，则|c|的最大值为

2016届高考数学二轮复习 3.9 三角变换、平面向量与解三角形课件

∴
D
即
关闭
解析
答案
-4能力目标解读热点考题诠释
1 2 3 4
5 6
2.(2014 大纲全国高考,理 4)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b, 则|b|=( ) A.2 B. 2 C.1 D.
2 2
命题定位:本题综合考查平面向量的运算、向量垂直的转化、向量的数量积及模的运算,对函数与方程的思想及运算求解能力有较高要求.
=
3 3 . 14
-10能力目标解读热点考题诠释
1 2 3 4
5 6
(2)在△ABD 中,由正弦定理得
��· sin∠�� BD= sin∠��
=
8× 14
4 3 7
3 3
=3.
在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B=82+52-2×8×5× =49.所以 AC=7.
��命题定位 �� :本题主要考查解直角三角形 92 �� 92 �� 92sin37° ,侧重对各角之间的关系的分析关闭 = ,得 = ,即 = ,解得 BC= ≈60 m . . sin∠�� sin∠�� sin113° sin37° sin67° sin37° sin67°
1 2
-11能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破点四
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练