(完整word版)高等代数2学期06-07B[1]

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高等代数II06-07下期末试卷A

红河学院2006－2007学年下学期期末《高等代数II》课程考试试卷A卷考试院系：数学系考试日期：题号一二三四总分得分一、判断题（每题1分，合计8分）1、奇数次实多项式一定有实根。

（）2、本原多项式的乘积是本原多项式。

（）3、负定二次型的顺序主子式全小于零。

（）4、正定矩阵的行列式大于零。

（）5、可逆线性变换将线性无关向量组变为线性无关向量组。

（）6、阶实对称矩阵一定可以对角化。

（）n7、任意两个正交基下之间的过渡矩阵是正交矩阵。

（）8、正交向量组线性无关。

（）二、填空题（每题3分，合计30分）1、设都是首一多项式且)(),(xgxf)()(xgxf，则))(),((xgxf。

2、的标准分解式为311146)(2345−−−−+=xxxxxxf。

3、的标准形是()42233121432142,,,xxxxxxxxxxf++−=。

得分阅卷人得分阅卷人4、n 阶实二次型AX X T半正定的充分必要条件是A 与合同。

5、设)4,3,2(),1,2,1(),1,0,1(),1,0,1(),1,1,1(21321===−==ββααα， )3,4,3(3=β是线性空间3R 的两组基,则由基123,,ααα到基123,,βββ过渡矩阵为。

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=02221121122211211x x x x x x x x W ，则W 的一个基为 6、设。

7、设线性变换σ在)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321=ε=ε=ε下的矩阵为，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−111110111=)1,1,1(σ 。

8、在3P 中定义()(c a b c b a ,,,,)=σ，σ在)1,1,1(1−=α，)0,1,1(2−=α，)0,0,1(3−=α下的矩阵为。

9、设A 为阶矩阵且n A A =2，则A 的特征根为。

10、设n εε,,1"是欧氏空间V 的标准正交基，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11),,(,11),,(11#"#"n n εεβεεα=),(βα 。

《高等代数2》教学大纲

高等代数2Advanced Algebra一、课程基本情况课程类别：学科基础课课程学分：5学分课程总学时：80学时，其中讲课：80学时课程性质：必修开课学期：第二学期先修课程：初等代数，初等几何，解析几何，高等代数（1）适用专业：数学与应用数学，信息与计算科学，统计学，应用统计学教材：高等代数，高等教育出版社，北京大学数学系，2013年，第四版。

开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务《高等代数》是数学类各专业的一门重要基础课之一，通过这门课的学习，使学生获得：二次型化为标准形的配方法与合同变换法，矩阵正定、半正定、不定的定义与判别方法，对称矩阵与对角矩阵合同的计算方法；线性空间的定义与基本性质，子空间的交与和、直和，维数公式的及其证明与应用；线性变换的定义与基本性质，矩阵特征值特征向量的定义与计算方法，两矩阵相似的充分条件，矩阵相似对角化方法；4■矩阵，不变因子，行列式因子，初等因子；欧氏空间的定义，欧氏空间的对称变换及其性质，正交矩阵，实对称矩阵与对角矩阵相似计算法。

同时，使学生受到严格的代数方法训练，为学习后继课程打下基础。

本大纲为第二学期讲授内容，涉及教材第五至第九章。

三、教学内容和要求第5章多项式二次型（12学时数）5.1二次型及其矩阵表示（2学时）（1）了解矩阵合同的概念以及矩阵合同满足反身性、对称性、传递性的关系；（2）理解线性替换、非线性替换以及二次型矩阵的概念；（3）掌握二次型与对称矩阵之间的关系与互化；重点：二次型与二次型矩阵；难点：非线性替换把二次型化为二次型。

5.2标准形（4学时）（1）了解对称矩阵合同于对角矩阵的证明；（2）理解标准形概念，理解把二次型化为标准形配方法的证明；（3）掌握把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；重点：把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；难点：对称矩阵合同于对角矩阵的证明。

1.3唯一性（2学时）（1）了解复规范形及其把二次型化为复规范形的证明；（2）理解惯性定理的证明；（3）掌握复对称矩阵以及实对称矩阵合同于对角阵的性质与方法，掌握正惯性指数、负惯性指数、符号差的概念。

《高等代数2》教学大纲

《高等代数Ⅱ》教学大纲
一、课程基本信息
二、课程教学目标
通过本课程的学习，使学生较系统地掌握多项式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等数学科
学的基础理论知识和基本计算技巧，学会严密的逻辑推理方法，大力加强学生的归纳、演绎、类比、抽象等能力，为学生学习后继有关课程如近世代数、离散数学、数论等奠定坚实的基础。

三、理论教学内容与要求
四、考核方式
本课程为考试课。

采用期末考试、平时考核相结合的考核方式。

总成绩为100分，其中期末考试成绩占总成绩的70%，平时成绩（包括作业、出勤、课堂表现等）占总成绩的30%。

高等代数二知识点总结串联

高等代数二知识点总结串联高等代数二是大学数学课程中的一门重要课程，它是一门深入研究代数学理论和应用的课程。

高等代数二主要包括群论、环论、域论、线性代数等内容。

在这篇文章中，我们将对高等代数二的知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这门课程。

一、群论1. 群和子群群是一种代数结构，它包括一个集合和一个运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元。

子群是原群的一个子集，它也是一个群，并且包含原群的单位元和逆元。

2. 同态和同构同态是群之间的一个映射，它保持群的结构。

同态定理是群理论的一个重要定理，它告诉我们同态映射的性质。

同构是两个群之间的一个双射同态，它保持群的结构，并且两个群是同构的当且仅当它们的结构完全相同。

3. 群的作用群的作用是群和集合之间的一个映射，它描述了群对集合的运算规律。

作用定理是群理论的一个重要定理，它告诉我们群的作用有很多有趣的性质。

4. 群的分类群的分类定理告诉我们任意有限交换群都可以分解为循环群的直积。

这个定理在群的研究中有着重要的意义。

二、环论1. 环和子环环是一个包含加法和乘法的集合，满足一些性质，如封闭性、结合律、分配律等。

子环是原环的一个子集，它也是一个环，并且包含原环的加法单位元和乘法单位元。

2. 理想和商环理想是环的一个子集，满足一些性质，如对加法封闭、对乘法吸收等。

商环是环相对理想的一个商集，它也是一个环，并且包含了原环对理想的余集。

3. 同态和同构环的同态和同构与群类似，它们描述了环之间的映射和结构保持性质。

4. 域和域的扩张域是一个包含加法和乘法的集合，满足一些性质，如分配律、单位元、有逆元等。

域的扩张是一个域包含在另一个域中的过程，它也包含了域的同态和同构。

三、域论1. 有限域和无限域有限域是包含有限元素的域，它具有一些特殊的性质，如平方域和素域等。

无限域是包含无限元素的域，它也有一些特殊的性质，如分式域和代数闭域等。

2. 代数扩张和超越扩张代数扩张是一个域包含在另一个代数闭域中的过程，它包含一些代数方程。

(完整word版)高等代数2学期06-07A[1].答案doc

北京交通大学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。

3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。

《高等代数2》课程教学大纲

《高等代数2》课程教学大纲课程名称高等代数2课程编码131500005 课程类型学科基础课程库适用范围院级课程学分数 4 先修课程高等代数1学时数64 其中实验学时其中实践学时考核方式考试制定单位数学与信息科学学院执笔者审核者一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务高等代数是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一，本课程《高等代数II》是它的第二部分。

它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。

该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时64学时，开设时间为第二学期。

通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。

本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。

（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。

为今后的学习打下扎实的基础。

１．熟练掌握：矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵。

２．掌握：矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，３．理解：分块矩阵的方法，矩阵乘积的秩，向量空间的定义，矩阵的相似的意义，特征多项式的性质，可对角化的矩阵的判定及其意义，内积的作用，正交、对称变换的意义。

高等代数《高等代数Ⅱ》考试大纲

《高等代数Ⅱ》考试大纲一、考试要求与目的高等代数Ⅱ课程主要学习二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等基本理论与基础知识。

根据教学大纲，要求学生掌握二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间的基本理论、基本思想与方法，逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，使学生获得较熟练的演算技能与初步的应用能力，为后续专业课程的学习打下基础。

考试的目的是检查学生对基本知识、基本思想与方法、运算技能的掌握情况及对所学知识的运用能力。

二、考试内容第五章二次型1.掌握二次型的概念与二次型的矩阵表示，理解二次型的非退换线性替换的几何意义，掌握矩阵的合同关系与性质；2.掌握用非退化线性替换化二次型为标准形和规范形的配方法与合同变换法；3.掌握复二次型的规范形与实二次型的惯性定理，掌握复对称矩阵与实对称矩阵的合同标准形；4.掌握判断二次型为正定二次型与半正定二次形的方法，理解从对称矩阵的合同关系来等价分类的思想。

第六章线性空间1.理解线性空间的定义，会判断给定的集合关于指定的两种运算是否构成线性空间；2.掌握从定义出发判断和证明向量组的线性相关性，掌握基的定义与等价条件；掌握一些重要的线性空间（特别 n 维向量空间）的基与维数；3.掌握基变换的过渡矩阵概念与求法，掌握同一个向量在两组不同基下的坐标变换公式；4.掌握子空间的判别条件及几个重要子空间的例子与生成子空间的概念与相关结论；5.掌握子空间的交与和两种运算及运算律，熟练维数公式；6.掌握直和的等价条件；7.理解同构的思想，等价分类的思想，直和分解的思想。

第七章线性变换1.理解和掌握线性线性变换的概念与简单性质，掌握一些典型线性空间的例子；2.掌握线性变换的加法、数量乘法、乘法的运算规则与运算律，理解可逆线性变换的概念与性质，掌握线性变换的多项式的概念与运算性质，理解解线性变换之间的关系可通过运算表示；3.理解线性变换由基的像唯一确定，掌握线性变换在一组基下的矩阵概念与求法，掌握线性变换与矩阵的同构对应定理，掌握线性空间的全体线性变换在定义了加法、数乘（和乘法）运算后构成线性空间（代数），掌握相似矩阵的概念、性质与几何意义.4.掌握线性变换与矩阵的特征值与特征向量的概念与求法，掌握线性变换特征多项式的系数与线性变换特征值、行列式的关系，掌握矩阵在相似关系下的不变量，理解Hamilton-Caylay 定理；5.掌握线性变换与矩阵可对角化的等价条件；6.理解线性变换的核与值域的概念，掌握线性变换的秩与零度公式，熟练掌握用核空间和像空间刻画单满线性变换；7.理解不变子空间的概念、常见例子与结论，理解线性变换在不变子空间上的限制变换，理解线性空间分解成不变子空间的直和与矩阵根据成准对角阵是等价的；8. 了解矩阵的Jordan 标准形；9. 掌握最小多项式的概念、性质与求法，掌握线性变换的特征多项式与最小多项式的关系；理解线性变换可对角化与线性变换的最小多项式的关系；10.学会在同构意义下线性变换的命题和矩阵的命题之间的相互转化。

(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档

一、填空题（共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。

5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。

9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。

10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题（共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。

（） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。

（） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。

（） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。

高等代数_精品文档

乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集
多项
对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。
式
高根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：等数环和数域。
代
一、数环
数
定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对 a,b S ，总有 a b, a b, a b S
右边 g xh x 中r次项的系数是： bjck jk r
高等代
右边
f
xg xhx 的t次项的系数是：
ai bjck
ai b j ck
数
i r t
j k r
i jkt
左、右两边同次项的系数相等，
乘法满足结合律。
三、多项式的次数定理
1
定理2.1.1：设 f x 0, g x 0
等
证：若f=0或g=0，则必有fg=0。
代反之，若数
f x 0, g x 0
f xgx f xgx 0
f x g x 0 ，矛盾。
乘法消去律成立。
1
推论2：若 f x g x f xhx 且 f x 0
多则gx hx
项
证： f x g x h x 0
式
由于 f x 0 故 g x hx 0
乘法交换律：f x g x g x f x
乘法结合律： f x g x h x f x g xhx
1 乘法对加法的分配律：
f x g x hx f x g x f xhx 多项式
高下面证明多项式乘法满足结合律。
等代
n
m
l
证：设 f x ai xi , g x bj x3, h x ck xk

2006级《高等代数(2)》试卷A参考答案及评分标准

重庆大学《高等代数（2）》课程试题（A 卷）参考答案2006~2007学年第 2 学期考试时间：2007-7-111. 解：显然所给集合对于定义的加法和数乘运算封闭。

对于加法运算，易证：（1） 11222211(,)(,)(,)(,)a b a b a b a b ⊕=⊕；………………………….（1分）（2） 112233112233[(,)(,)](,)(,)[(,)(,)]a b a b a b a b a b a b ⊕⊕=⊕⊕；...（2分）（3）(,)(0,0)(,)a b a b ⊕=；………………….………………………….（3分）（4）2(,)(,)0a b a a b ⊕--=；………………….……………………….（4分）对于数乘运算，（5）21(11)1(,)(1,1)(,)2a b a b a a b -=+=；…….…………..………….（5分）（6） 2(1)[(,)](,)()(,)2kl kl k l a b kla klb a kl a b -=+=；………….（6分）（7）2[(,)][(,)]()(1)((),())2()(,);k a b l a b k l k l k l a k l b a k l a b ⊕++-=+++=+.…………..………..…….（8分）（8）11222121212121122[(,)][(,)](1)((),()())2[(,)(,)].k a b k a b k k k a a k a a b b a a k a b a b ⊕-=+++++=⊕……..…….（10分）故构成实数域上的一个线性空间。

2. 解：取中间基1(1,0,0,0)e =，2(0,1,0,0)e =，3(0,0,1,0)e =，4(0,0,0,1)e =。

则12341234(,,,)(,,,)e e e e A εεεε=，12341234(,,,)(,,,)e e e e B ηηηη=，其中1111212111100111A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，2021111302111222B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，从而， 112341234(,,,)(,,,)A B ηηηηεεεε-=，..…………………..….（5分）其中13265513412341133278A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，1101110101110010A B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这就是由基1234(,,,)εεεε到基1234(,,,)ηηηη的过渡矩阵。

高代

《高等代数(2) 》总复习资料第六章向量空间(§6.3--§6.7）一、基本概念线性组合、线性表示(表出)、线性相关、线性无关；向量组的等价、极大无关组、向量组的秩； 12(,,...,)r L ααα、生成元、向量空间的基与维数dim V 、余子空间、直和；向量空间的同构； (与之相关的概念有:两个子空间的和空间与交空间等；第七章线性变换的不变子空间及其证明方法) 向量ξ关天基{}12,,...,n ααα的坐标、过渡矩阵；矩阵的秩、齐次线性方程组的解空间、基础解系、非齐次线性方程组的特解。

注1 两个重要的坐标计算公式(P239):1212(,,...,)(,,...,),n n T V βββαααξ=∈关于基12{,,...,}n ααα与12{,,...,}n βββ的坐标分别是12(,,...,)n x x x 和12(,,...,)n y y y ,则1122n n x y x y T x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 设(),L V σ∈关于基12{,,...,}n ααα的矩阵为A .若,()ξσξ关于基12{,,...,}n ααα的坐标分别是12(,,...,)n x x x 和12(,,...,)n y y y ,则1122n n y x y xA y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) 二、重要结论1．整体无关，则部分无关；部分相关，则整体相关。

2．设向量组{}12,,...,r ααα线性无关，但向量组{}12,,...,,r αααβ线性相关，则β必可由{}12,,...,r ααα线性表示。

3．向量组{}12,,...,r ααα线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。

4．替换定理（P224）。

5．两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。

6．一个向量组的任意两个极大线性无关组含有相同个数的向量。

(完整word版)高等代数第二学期试题

第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。

2、A 为正定矩阵，则A _______。

3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。

4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。

5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。

6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。

7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。

8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。

9、在欧几里德空间中，α=_______。

><βα,=_______。

10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。

11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。

二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（）。

２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（）。

3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（）。

4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（）。

5、度量矩阵是正定矩阵（）。

三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。

《高等代数Ⅱ》课程教学大纲

《高等代数Ⅱ》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程的教学目的是使学生获得二次型，线性空间，线性变换，欧几里得空间等方面的系统知识,为进一步学习数值计算方法等后续课程打下坚实的基础。

通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。

应达到的具体能力目标：具有独立思维能力和解决实际问题能力；具有较强的抽象思维和逻辑推理能力；熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力三、教学学时分配《高等代数Ⅱ》课程理论教学学时分配表四、教学内容和教学要求第五章二次型（14学时）（一）教学要求1. 了解二次型与二次型的矩阵的概念；2. 理解二次型的标准形、正定二次型的概念；3. 掌握用正交变换、拉格朗日配方法、合同线性变换法化二次型为标准形，掌握正定二次型的判定方法。

（二）教学重点与难点教学重点：二次型的矩阵表示，化二次型为标准形的方法教学难点：正定二次型的判定与证明（三）教学内容第一节二次型及其矩阵表示1．二次型的定义2．二次型的矩阵表示3. 矩阵的合同关系第二节标准形1．二次型的标准形；2．化二次型为标准形的方法；3. 例题讲解第三节唯一性1．复数域上二次型的规范型2. 实数域上二次型的规范型第四节正定二次型1．正定二次型的定义2. 正定二次型的判定3. 半正定二次型的定义及判定本章习题要点：1．化二次型为标准形的方法；2. 正定二次型的判定方法与证明。

第六章线性空间（22学时）（一）教学要求1.了解集合与映射的概念及性质；2. 理解线性空间的概念与性质，线性空间同构的概念、性质及意义；3. 掌握基和维数的概念、求法及维数定理，过渡阵概念、性质及求法，子空间的概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念。

（二）教学重点与难点教学重点：线性空间的基与维数，子空间的和教学难点：子空间的直和（三）教学内容第一节集合.映射1．集合与映射的概念2. 集合与映射的性质；第二节线性空间的定义与性质1．线性空间的定义；2．线性空间的简单性质。

高等代数II知识考点整理

高等代数II知识考点整理●线性映射●线性映射●定义V,U是\mathbb{K}上的线性空间，\varphi : V\rightarrow U●\varphi(\alpha +\beta )=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)●\varphi(k\alpha )=k\varphi(\alpha)●双射\varphi : V\rightarrow U,单射且满射●单射\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)\Rightarrow \alpha=\beta●满射/映上的映射任意\beta \in U，存在\alpha \in V,使得\varphi(\alpha)=\beta●逆映射●双射存在逆映射●同构●定义●两个空间存在线性双射，则为同构●映射到自身的双射为自同构●命题●gf=1_A,fg=1_B，则f是双射且g是f的逆射f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow A●线性映射\varphi : V\rightarrow U●\varphi(0)=0●\varphi(k\alpha +l\beta )=k\varphi(\alpha)+l\varphi(\beta)线性映射等价命题●若\varphi同构，逆映射也是同构●线性映射运算●运算●加法●(\varphi+\psi)(\alpha)=\varphi(\alpha)+\psi(\alpha)●数乘●(k\varphi)(\alpha)=k\varphi(\alpha)●线性映射空间●定义●\mathcal{L}(V,U)：V到U的线性映射全体●共轭空间●V\rightarrow \mathbb{K}的线性函数空间●有限维时称为对偶空间●命题●线性映射空间是线性空间●共轭空间是线性空间●代数●定义●是线性空间●乘法封闭并满足●乘法结合律●存在单位元●分配律●数乘相容●命题●\mathcal{L}(V)是\mathbb{K}上的代数●线性映射复合一般不满足交换●线性映射与矩阵●相似●定义n阶方阵A,B●存在n阶非异阵P，B=P^{-1}AP●则A \approx B●命题●相似是一种等价关系●表示矩阵E=(e_1,e_2,\cdots,e_n)是V的基，F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)是U的基●\varphi:V\rightarrow U●\varphi(E)=FA●A为表示矩阵●定理●线性映射\varphi=\psi\Leftrightarrow\psi(e_i)=\varphi(e_i),i=1,2,\cdots,nV\rightarrow U,\{e_i\}为V的一组基●\{B_i\}\subset U,有且仅有一个线性映射,满足\varphi(e_i)=\beta_i,i=1,2,\cdots,n●\mathcal{L}(V,U)到M_{m\times n}(\mathbb{K})存在一个线性同构T●存在交换图●保持乘法：T(\varphi\psi)=T(\varphi)T(\psi)●T的性质●T(I_V)=I_n●\varphi为自同构\Leftrightarrow T(\varphi)可逆●T(\varphi^{-1})=T(\varphi)^{-1}●表示矩阵和过渡矩阵\varphi \in \mathcal{L}(V)，基\{e_i\}到\{f_i\}过渡矩阵为P●B=P^{-1}APA是\varphi在\{e_i\}的表示矩阵，B是在\{f_i\}的表示矩阵●像与核●定义线性映射\varphi:V\rightarrow U●像Im\varphi=\varphi(V)\subset U●映射的秩像的秩●dim\varphi=dim Im\varphi●核Ker\varphi=\{v\in V|\varphi(v)=0\}\subset V●零度核的秩●限制子空间V'\subset V,U'\subset U●\varphi':V'\rightarrow U'映射法则与\varphi相同●命题●像与核都是子空间●线性映射为满射\Leftrightarrowdim\varphi=dimU●线性映射为单射\Leftrightarrow零度为0●线性映射为单射，则限制映射也是单射●dim\varphi=rank(A),dim Ker\varphi=n-rank(A)A为表示矩阵，dimV=n，dimU=m●线性映射维数公式：dim Ker\varphi+dim Im\varphi=dimV●线性映射可逆\Leftrightarrow为单射或是满射●不变子空间●定义●子空间U经变换后的空间仍在U内\varphi(U)\subseteq U●可把映射限制在U上，记为\varphi|_U●命题●像与核是不变子空间●将r维不变子空间的基扩充为n维空间的基，表示矩阵形状如下●\left[\begin{matrix} A_{(r)} & B\\ O& D_{(n-r)} \end{matrix}\right]●逆命题成立表示矩阵形状为分块上三角阵，则左上角的矩阵的基生成不变子空间●子空间的直和表示矩阵为分块对角阵V=V_1\oplus V_2●多项式●次数deg●定理●deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)●无零因子f(x)\neq 0,g(x)\neq 0\Rightarrow f(x)g(x)\neq 0●消去律f(x)\neq 0,f(x)g(x)=f(x)h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)●常数倍不改变次数deg(cf(x))=degf(x),c\in \mathbb{K}/\{0\}●多项式的和的次数小于其中最大的次数deg(f(x)+g(x))\leqmax\{deg f(x),deg g(x)\}●整除●命题●f(x)|g(x)\Rightarrow cf(x)|g(x)●f(x)|f(x)●f(x)|g(x),g(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●f(x)|g(x),f(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x)●f(x)|g(x),g(x)|f(x)\Rightarrow f(x)=cg(x)●定理●f(x)=g(x)q(x)+r(x)确定f(x),g(x)，得到唯一分解deg r(x)<deg g(x)●g(x)|f(x)\Leftrightarrow g(x)除f(x)后余式为0●最大公因式●定义●d(x)=(f(x),g(x))●d(x)|f(x),d(x)|g(x)●任一公因式h(x)|d(x)●最小公倍式●定义●m(x)=[f(x),g(x)]●f(x)|m(x),g(x)|m(x)●任一公倍式m(x)|l(x)●定理●辗转相除法d(x)=(f(x),g(x))，存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)●gck.运算可交换((f(x),g(x)),h(x))=(f(x),(g(x),h(x)))=(f(x),g(x),h(x))●同乘t(x),公因子也乘t(x)(f(x),g(x))=d(x)\Rightarrow (t(x)f(x),t(x)g(x))=t(x)d(x)●多项式乘积分解为最小公倍式与最大公因式f(x)g(x)=(f(x),g(x))[f(x),g(x)]●互素定理●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow存在u(x),v(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1●除以公因子后两式互素(f(x),g(x))=d(x),f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x)\Rightarrow(f_1(x),g_1(x))=1●与g(x)互质的多项式乘积也与g(x)互质(f_1(x),g(x))=(f_2(x)|g(x))=1\Rightarrow (f_1(x)f_2(x),g(x))=1●互素因子乘积也是因子f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x),(f_1(x),f_2(x))=1\Rightarrow f_1(x)f_2(x)|g(x)●(f(x),g(x))=1,f(x)|g(x)h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●中国剩余定理●设 \left\{f_{i}(x) \mid i=1, \cdots, n\right\} 是两两互素的多项式, a_{1}(x),\cdots, a_{n}(x) 是 n 个多项式, 则存在多项式 g(x), q_{i}(x)(i=1, \cdots,n) , 使得 g(x)=f_{i}(x) q_{i}(x)+a_{i}(x) 对一切 i 成立.●因式分解●可约多项式●定义●可分解为次数更小的两个多项式的乘积●定理●不可约多项式一定是其他多项式的因子或者互素●不可约多项式具有素性p(x)|f(x)g(x)\Rightarrow p(x)|f(x)或p(x)|g(x)●不可约多项式可整除某多项式乘积，必可整除其中一个因子●f(x)一定能分解为数域上有限个不开约多项式之积，且分解因子在相伴意义上唯一●f(x)=c p_{1}(x)^{e_{1}}p_{2}(x)^{e_{2}}\cdot\cdot\cdot p_{m}(x)^{e_{m}}p_i(x)为首一不可约多项式●f(x)没有重因式\Leftrightarrow (f(x),f'(x))=1●f(x)/d(x)没有重因式且不可约因式与f(x)相同（不计重数）d(x)=(f(x),f'(x))●多项式函数●定理●一定存在分解f(x)=(x-b)g(x)+f(b)b\in \mathbb{K},f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x]●不可约多项式次数大于1则没有根●n次多项式最多只有n个根●不超过n次的多项式f(x)和g(x)，若有n+1个点相等，则f(x)=g(x)●复系数多项式●代数基本定理●复数域上次数大于零的多项式至少有一个复数根●推论●复数域上一元n次多项式一定有n个复根（包括重根）●复数域上不可约多项式都是一次多项式●复数域上多项式一定可分解为一次因式乘积●Vieta定理●数域上若有n个根x_i,i=1,2,\cdots,n●\sum_{i=1}^{n} x_{i}=-\frac{a_{1}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j \leq n}^{n} x_{i} x_{j}=\frac{a_{2}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j<k \leq n}^{n} x_{i} x_{j} x_{k}=-\frac{a_{3}}{a_{0}}●\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots●x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{n}}{a_{0}}●实系数多项式●定理●虚部不为0的复根成对出现●推论●实数域上的不可约多项式为一次或二次多项式●实数域上的多项式可分解为有限个一次或不可约二次因式乘积●有理系数多项式●定理●整系数多项式根为\frac{q}{p}的必要条件为q\mid a_0,p\mid a_np,q互素●整系数多项式在有理数域上可约，则可分解为两个次数较低的的整数多项式之积●Eisenstein 判别法●整系数多项式f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}● a_{n} \neq 0, n \geq 1, p 是一个素数.●若 p \mid a_{i}(i=0,1, \cdots, n-1) , 但 p \nmid a_{n} 且 p^{2}\nmid a_{0},●则 f(x) 在有理数域上不可约.●本原多项式●定义●各系数最大公约数为1●Gauss 引理●本原多项式之积仍是本原多项式●多元多项式●字典排列法元下标；元次数●定理●乘积首项为因子首项乘积●无零因子●消去律●非零多项式不恒为零●多元多项式相等等价于作为函数相等●对称多项式●定义●互换任意两个元位置多项式不变●初等对称多项式●\begin{aligned}&\sigma{}_{1}={{x}}_{1}+{{x}}_{2}+\cdots{{x}}_{n}=\sum_{i=1}^{n}{x}_{i},\\&\sigma_{2} =x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots+x_{n-1}x_{n}=\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}, \\& \cdots \: \cdots\\&\sigma_{n}=x_1x_2\cdots x_n. \\&\end{aligned}●定理●对称多项式基本定理对称多项式被以初等对称多项式为元的多元多项式唯一表示●Newton公式●引理●\begin{aligned}f\left(x\right)& =\quad(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=\quad x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_n,\end{aligned}●记 s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k(k\geq1);s_0=n●则 x^{k+1}f'(x)=(s_0x^k+s_1x^{k-1}+\cdots+s_k)f(x)+g(x)degg(x)<n●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\cdots+(-1)^{k-1}s_1\sigma_{k-1}+(-1)^kk\sigma_k=0k\le n-1●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\dots+(-1)^ns_{k-n}\sigma_n=0k\ge n●结式与判别式●公因式不为1(有公共根)的充要条件d(x)=(f(x),g(x))\neq 1\Leftrightarrow 存在f(x)u(x)=g(x)v(x)且满足deg u(x)<degg(x),deg v(x)<deg f(x)●结式/ Sylvester 行列式●定义●\begin{array}{l}f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}\\g(x)=b_{0}x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m} \end{array}●R(f, g)=\left|\begin{array}{ccccccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots &\cdots & a_{n} & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_{0} & a_{1} & \cdots & \cdots &a_{n-1} & a_{n} & \cdots & 0 \\0 & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots & a_{n-2}& a_{n-1} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots &\cdots & a_{n} \\b_{0} & b_{1} & b_{2} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m}& \cdots & 0 \\0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m-1} &b_{m} & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots& \cdots & b_{m}\end{array}\right|●R(f,g)为f(x),g(x)的结式或称 Sylvester 行列式●定理●复数域上有公根\Leftrightarrow R(f,g)=0●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow R(f,g)=0●R(f(x),g(x)(x-\lambda))=(-1)^nf(\lambda)R(f,g),R(f(x),x-\lambda)=(-1)^nf(\lambda)●R(f,g)=a_0^m b_0^n\prod\limits_{i=1}^m\prod\limits_{i=1}^n(x_i-y_j).结式的根表示，f(x)的根为x_1,x_2,\cdots,x_n,g(x)的根为y_1,y_2,\cdots,y_m●判别式●定义●判别式：\Delta(f)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}a_0^{-1}R(f,f')f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\quad●定理●\Delta(f)=a_0^{2n-2}\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)^2判别式的根表示●重根\Leftrightarrow \Delta(f)=0●特征值与特征向量●定义●映射●\varphi(x)=\lambda x●\lambda是线性变换\varphi的一个特征值●x是\varphi关于特征值\lambda的特征向量●矩阵●A\alpha=\lambda\alpha\Leftrightarrow (\lambda I_n-A)\alpha =0●\lambda是表示矩阵A的一个特征值●x的坐标\alpha是A关于特征值\lambda的特征向量●特征子空间V_\lambda为对应特征值的特征向量形成的不变子空间●特征多项式|\lambda I_n-A|●定理●相似矩阵有相同特征多项式●tr|A|=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n●|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n●任一复方阵相似于一上三角阵●f为多项式,f(A)的特征值为f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)●g为多项式,g(A)=O\Rightarrow任一特征值满足g(\lambda)=0●A^{-1}的特征值为\lambda_1^{-1},\lambda^{-1}_2,\cdots,\lambda^{-1}_n●对角化●定理●n阶A相似于对角阵\Leftrightarrow A有n个线性无关的特征向量●n维线性空间V上的线性变换\varphi●\varphi存在对角阵的表示矩阵(可对角化)\Leftrightarrow \varphi有n个线性无关的特征向量●\varphi的k个不同特征值对应的特征子空间为直和V_1+ V_2+\cdots+ V_k=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●\varphi有n个不同的特征值(特征多项式没有重根)\Rightarrow可对角化●\varphi可对角化\Leftrightarrow V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●度数与重数●一个特征值的度数小于等于重数●可对角化\Leftrightarrow 有完全的特征向量系任一特征值度数等于重数●极小多项式●定义●适合矩阵A的最小次数的非零首一多项式●定理●极小多项式可整除适合A的多项式●极小多项式唯一●相似矩阵极小多项式相同●分块对角阵的极小多项式等于各块极小多项式的最小公倍式●(x-\lambda)可整除极小多项式●极小多项式和特征多项式有相同的根(不计重数)●Cayley-Hamilton 定理●f是n阶矩阵A的特征多项式●f(A)=O●特征值估计●戈式圆盘第一定理●R_i=\sum\limits_{i\neq j}|a_{ij}|复平面上，第i行去对角元的模的和●|z-a_{ii}|\leqslant R_i表示复平面上一个圆盘，每个圆盘内有一个特征值。