初中数学湘教版九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（(= b^2 - 4ac)），并能运用判别式判断方程的根的情况。
教材通过引入判别式，让学生体会数学的逻辑推理和几何直观，培养学生的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念，对解一元二次方程有一定的了解。
但在求解方程的根的过程中，对判别式的理解和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，探究判别式的含义和运用方法。
三. 教学目标1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握判别式的计算方法。
2.能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
3.培养学生的数学逻辑思维和几何直观能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程根的判别式的概念和计算方法。
2.难点：如何引导学生从已有知识出发，理解和掌握判别式的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念。
2.运用几何直观，帮助学生理解判别式的意义。
3.通过例题和练习，巩固判别式的计算和运用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备判别式的几何直观教具。
3.准备一些练习题，用于课堂巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何判断一元二次方程的根的情况。
例如，提问：“已知一元二次方程(x^2 - 5x + 6 = 0)，求该方程的根的情况。
”2.呈现（10分钟）通过PPT展示判别式的定义和计算方法，同时结合几何直观教具，帮助学生理解判别式的意义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用判别式判断一些一元二次方程的根的情况。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些判断题，检验学生对判别式的理解和掌握程度。
教师及时批改，给予反馈。
统编湘教版九年级数学上册优质课件 2.3 一元二次方程根的判别式 (2)
5那.若么一n元二的次值方为程x2 A.m-4 B.4
mx n 0有两个相等的实数根， ( C)
C. 1/4 D.- 1/4
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
课后作业
• 1.从课后习题中选取； • 2.完成练习册本课时的习题。
主要应用: 1.不解方程判断一元二次方程根的情况 2.已知方程根的情况确定字母的取值范围
例1.不解方程,判别方程 5 x2 1 x 0
的根的情况______________
方程要先化
解:5x2 x 5 0
为一般形式
Δ
1
2
4
5
5
再求判别式 101 0
原方程有两个不相等的实数根
例2.在一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)中
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论 m 为何值,这个方程总有两
个不相等的实数根
例4.已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
ax2 2 b2 c2 x 2(b c) 2a 有 两 个 等 根 ，
试判断△ABC的形状.
解：利用Δ ＝0，得出a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
,
此时，原方程有两个相等的实数根。
（3）当b2
4ac＜0时，b2
4ac 4a2
＜0，
由于负数在实数范围内没有平方根，
所以原方程没有实数根。
一元二次方程根的判别式: Δ b2 4ac
当Δ 0时 方程有两个不相等的实数根 当Δ 0时 方程有两个相等的实数根 当Δ 0时 方程没有实数根
若a与c异号,则方程 ( A )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法
湘教版数学九年级上册《2.3一元二次方程根的判别式》说课稿3
湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》说课稿3一. 教材分析湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》是本节课的主要内容。
一元二次方程是中学数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。
而一元二次方程的根的判别式是解决一元二次方程关键所在。
本节内容主要让学生了解和掌握一元二次方程根的判别式的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够熟练运用判别式解决一元二次方程的求解问题，为后续学习更高阶的数学知识打下坚实的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对代数知识有了一定的了解和掌握。
但是，对于一元二次方程的根的判别式的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将以引导为主，让学生通过自主学习、合作探讨的方式，理解和掌握一元二次方程根的判别式的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解一元二次方程根的判别式的定义和性质，能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作探讨的方式，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学知识的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的定义和性质。
2.教学难点：运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作探讨的教学方法，利用多媒体课件辅助教学，通过生动的实例和动画，让学生直观地理解和掌握一元二次方程根的判别式的知识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考一元二次方程的根的情况，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生自主学习教材，理解一元二次方程根的判别式的定义和性质。
3.合作探讨：学生分组讨论，运用判别式判断一元二次方程的根的情况，分享讨论成果。
4.讲解与演示：教师对学生的讨论成果进行点评和讲解，利用多媒体课件进行演示，让学生直观地理解判别式的运用。
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案
3. 情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严
谨的治学态度。
重点
用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。
难点
在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动 设计意图
①当△
时，方程有两个不等的实根：
②当△
时，方程有两个相等实根：
=－ 结 合 导 入 的 思考和老师
讲授新课 +
例题讲解
③当△
时，所以原方程无实根.
我们看一个具体的例子：
【例 1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
（3）7y=5（y2+1）．
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确
讲解的时候， 道 本 节 课
∴不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根 自己先思考， 的 学 习 内
【 例 4 】 已 知 ： a 、 b 、 c 是 △ ABC 的 三 边 ， 若 方 程 然 后 再 听 老 容和重点。
ax²+2 △ABC 的形状.
师讲解。 有两个等根，试判断
解：对于原方程Δ ＝0，即
∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，
∴原方程没有实数根.
【例 2】当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-（4k+1）
湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》教学设计4
湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》教学设计4一. 教材分析《2.3 一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册的教学内容。
本节内容是在学生学习了函数、方程、一元二次方程的基础上进行的。
本节主要介绍了一元二次方程根的判别式的概念、公式及其应用。
通过本节的学习，使学生能够掌握一元二次方程根的判别式的计算方法，会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况，为学生进一步学习函数、方程的性质打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了一元二次方程的解法、函数的概念和性质等基础知识。
但学生对一元二次方程根的判别式的概念、公式的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师要注重引导学生通过自主学习、合作交流等方式，理解和掌握一元二次方程根的判别式的概念、公式及其应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程根的判别式的概念、公式，能够运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程根的判别式的概念、公式的理解和运用。
2.难点：一元二次方程根的判别式在不同情况下的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设问题情境，引导学生自主探究、合作交流。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考、解答。
3.案例教学法：通过典型例题，使学生理解和掌握一元二次方程根的判别式的应用。
六. 教学准备1.教师准备：掌握一元二次方程根的判别式的相关知识，熟悉教学内容。
2.学生准备：预习一元二次方程根的判别式的相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设问题情境，引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师给出了一元二次方程根的判别式的概念、公式，并引导学生理解其含义。
湘教版-数学-九年级上册 2.3一元二次方程根的判别式 培优课件
题目解好 了吗？
又k 0
k的取值范围是k 1 且k 0
10
12
你能理解这两个题目的区别所在吗？ 例2：试说明：不论m取何值，关于x的方
( x程 1 )( x 2 ) m2 总有两个不相等的实根.
例3、已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0 有实数根，求k的取值范围。11Fra bibliotek巩固练习
1、不解方程，判别下列关于x方程根的 情况．
(1)a2x2 ax 1 0 (a 0)
(2)(2m2 1)x2 2mx 1 0
(1) 5a2 5a2 0 此方程有两个不等实数根。
(2) 2m2 4 2m2 1 4m2 4
4m2 4 4 此方程无实数根。
12
2.若关于x的方程x2 2k 1 x k 2 0有两个不等实数根，
14
小结
一元二次方程根的判别式 b2 4ac
△＞0 △＝0 △＜0
有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
15
6
应用举例
(2)16 y2 9 24 y
No 解：将原方程化为一般形式 16 y2 24 y 9 0 a 16I,bm a24g,c e9 Δ (24)2 416 9 0 原方程有两个相等的实数根。
7
应用举例
(3) 5(x2 1) 7x 0
No 解：将原方程化为一般形式 5x2 7x 5 0 a I5,mb 7a,cg 5e 72 455 51 0 原方程没有实数根。
8
拓展提高
例2：试说明：不论m取何值，关于x的方程
( x 1 )( x 2 ) m2 总有两个不相等的实根.
解：原方程可变为 x2 3x 2 m2 0 a 1,b 3, c 2 m2. (3)2 41 (2 m2 ) 9 8 4m2 1 4m2
湘教版九年级上册说课稿：2.3 一元二次方程根的判别式
湘教版九年级上册说课稿：2.3一元二次方程根的判别式一. 教材分析湘教版九年级上册的“2.3 一元二次方程根的判别式”是数学课程中的重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次三项式的因式分解、一元二次方程的解法等知识的基础上进行讲解的。
通过本节课的学习，使学生能够理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握根的判别式的计算方法，以及能够应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
教材中通过引入故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，掌握根的判别式的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次三项式的因式分解、一元二次方程的解法等知识有一定的了解。
但是，对于一元二次方程根的判别式的概念和计算方法还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流的方式，理解和掌握根的判别式的知识。
同时，学生对于故事、图片等丰富的教学资源比较感兴趣，因此在教学过程中，可以充分利用这些资源，激发学生的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握根的判别式的计算方法，能够应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的概念，根的判别式的计算方法。
2.教学难点：根的判别式的应用，判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，将采用自主探究、合作交流的教学方法。
引导学生通过小组合作、讨论的方式，共同探索一元二次方程根的判别式的知识。
同时，利用多媒体教学手段，展示故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过引入故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣，引导学生进入本节课的学习。
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（()），并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
这一节内容是整个一元二次方程部分的核心，对于学生理解和掌握一元二次方程的解法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对代数运算有一定的掌握。
但是，对于一元二次方程的根的判别式的推导和应用，还需要进一步引导和启发。
此外，学生可能对于抽象的数学概念和证明过程感到困惑，需要通过具体的例子和实际操作来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程根的判别式的定义和意义，掌握判别式的计算方法，并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，对数学产生兴趣和自信心，培养合作和交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的定义和意义，判别式的计算方法。
2.教学难点：判别式的推导过程，以及如何应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，主动探索和发现一元二次方程根的判别式的性质和规律。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型等辅助教学手段，生动形象地展示一元二次方程根的判别式的概念和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出一元二次方程根的判别式的概念，激发学生的兴趣和思考。
2.新课导入：介绍一元二次方程根的判别式的定义和意义，引导学生理解判别式的作用。
3.案例分析：通过具体的例子，讲解判别式的计算方法，让学生通过实际操作来加深理解。
4.性质探索：引导学生观察和分析判别式的性质，让学生通过推理和证明来发现规律。
九年级数学上册 2.3 一元二次方程根的判别式课件 (新版)湘教版(2)
（2∴）bx2-24-xa+c=14(-=10),2a-4=×1,b1=×-114,c==0.14 . ∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等
的实数பைடு நூலகம்，则k的取值范围是
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
( B)
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则
b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 (2)2 4k 0 ，
k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
问题3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ 1 =0; (3) x2-x+1=0.
4
解析：根据求根公式我们可以知道当b2-4ac≥0时，方程才 有实数根，而b2-4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不 解方程就能判断一元二次方程根的情况．
的根的情况.
解： 2 2k 2 41 k 2
8k 2 4k 2 4k 2 k2 0 4k 2 0 0
所以方程有两个实数根．
课堂小结
判别式大于0，方程有两个 不相等的实数根
根的判别式： b2-4ac
判别式等于0，方程有两个 相等的实根
2022年湘教版九上《一元二次方程根的判别式》立体课件(公开课版) (2)
很久很久以前,有一个国家的田地都要求是 正方形的,有一天这个国家的公主被妖怪抓到了 森林里,两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出 了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有 一块边长为a米的地, 第一个农夫就对国王说： “您可不可以再给我一块边长为b米的地呢？” 国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是
发散练习,勇于创新
1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
(A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
1、计算：
(1)(a2 1)2 2
(2)x (1) (x1)
(3)(abc)2
2、若 x 1 3 x
实际意义，所以雕像下部高度应设 计为约1.236m。
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x22xm0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b 2 4 a ( c 2 ) 2 4 1 m 4 4 m 0
∴ m1
注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
ax2bxc0 (a 0)
解: 移项，得 a2xbxc
方程两边都除以 a x2 b x c aa
配方，得 x2abx2ba2ac2ba2
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2bxc0 (a 0)
∵ a0,4a2 0 当 b24ac0
即
b
b2 4ac
2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
最新湘教版九年级上册数学2.3 一元二次方程根的判别式1精品教案
2．3 一元二次方程根的判别式1．理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．(重点，难点)一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点：一元二次方程根的判别式 【类型一】不解方程判断一元二次方程的根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据求根公式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 2－x ＋14＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14. ∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×14＝0. ∴方程有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，一元二次方程没有实数根．反之也成立．若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．三、板书设计(1)一元二次方程根的判别式：b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”．(2)利用判别式判断ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．。
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿2
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》是本册教材中的一个重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次方程的解法以及二次函数的图像的基础上进行讲解的。
通过学习这部分内容，学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法，并能够应用判别式解决实际问题。
本节课的主要内容是让学生学习一元二次方程的根的判别式，并能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握判别式的求法和应用。
二. 学情分析在进入九年级的学生中，大部分学生已经掌握了二次方程的解法以及二次函数的图像。
他们对这些概念和知识点有了一定的理解，但可能在应用上还存在一些困难。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生将理论知识应用到实际问题中，提高他们的解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法，并能够应用判别式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作和讨论，学生能够培养团队合作的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，培养积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法。
2.教学难点：学生能够将判别式应用到实际问题中，解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和实践活动法相结合的方法。
首先，我会通过讲解和举例的方式，向学生解释一元二次方程的根的判别式的概念和方法。
然后，我会学生进行小组合作和讨论，让他们通过实践活动来应用判别式解决实际问题。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和数学软件，来辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次方程的解法以及二次函数的图像，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
初中数学湘教版初中九年级上册2.3一元二次方程根的判别式公开课优质课课件.ppt
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能 直接开？
（x + b ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
2a
b b2 4ac
当 b2– 4ac＞0 时, x1= 2a
b b2 4ac .
, x2= 2a
b 2a
当 b2– 4ac=0 时, x1=x2=
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51
＜0. ∴方程有两个相等的实数根．
当堂练习
1.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0 有两个 实根，则m的取值范围是 m 1 .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
∴ m1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实 根或两个相等实根两种情况.
2.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+1 =0;
4
x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
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第2章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值 范围.（重点、难点）
最新湘教初中数学九年级上册《2.3一元二次方程根的判别式》精品PPT课件 (1)
13．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋ 2cx＋a＋b＝0的根的情况是( A ) A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
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14．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋1＝0的根的判别式的值 为5，则k的值为___－___5_或__1____． 15．关于x的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0有两个不相 等的实数根，则a的取值范围是a_＞__－__5_且__a_≠_－__1______． 16．(2015·山西模拟)定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方 程．已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的 实数根，则mn＝_____－__2__．
2.3 一元二次方程根的判别式
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1．我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 ___根__的__判__别__式_____，记作__Δ__，即__Δ__＝b2－4ac.
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)当Δ__＞__0时，方程有两个不相等的实数根，其根为x1＝ －__b_＋____b_2－ __4_a_c_，x2＝_－__b_－___b_2_－__4_a_c__；
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17．(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0(a≠ 0)有两个相等的实数根，求（a－2）ab22＋b2－4的值．
解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4a＝0，∴b2
＝
4a.∴
（a－2）ab22＋b2－4＝
ab2 a2＋b2－4a
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b b2 4ac x 2a
若△≥0 时,方程 有两个 实数根
1.当 b 4ac 0时,方程有两个不相等的实数根 2.当 b 2 4ac 0 时,方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时,方程没有实数根
例：不解方程，判断下列方程根的情况：
∴ 原方程没有实数根。
1.在一元二次方程ax
2
bx c 0(a 0)中
中若a与c异号，则方程 ( A ) ac ＜ 0 A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
△ b 4ac
2
2
b 4ac 0
2.求证：关于x的方程： x m2 有两个不相等的实根。 证明：∵ △=[-(m+2)]² -4(2m-1) =m² +4m+4-8m+4 =m² -4m+8 =m² -4m+4+4 =(m-2)² +4
(1) a
(2)
练习：不解方程，判别下列方程根的情况。 2 2
x ax 1 0(a 0)
2
x 2 2 x 2t 0 (3) (2m2 1) x 2 2mx 1 0
2
（ 1）
a x ax 1 0(a 0)
2 2
解： ∵△=(-a)² －4×a² ×(-1)=5a² ＞0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根。 （ 2）
x 2 2 x 2t 0
2 2
－4×1×(-2t² )=8+8t² ＞0 解： ∵△=(- 2 2 )² ∴ 原方程有两个不相等的实数根。
（3） (2m
2
1) x 2mx 1 0
2
解： ∵△=(-2m)² －4×(2m² +1)×1=-4m² - 4＜ 0
又∵ 不论m取何值总有 -4m² -4＜0 即△＜0
初中数学湘教版九年级上册 《2.3 一元二次方程根的判别式》 优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
b 4ac
2
学习目标
1. 理解一元二次方程的根的判别式， 并能用判别式判定根的情况. 2. 通过根的判别式的学习,培养自己从具体 到抽象的观察、分析、归纳问题的能力. 3. 通过根的情况的研究过程，要善于体会 转化和分类的数学思想方法.
2
x 2m 1 0
而对于任意实数m都有 (m-2)²≥0 ∴ (m-2)² +4＞0 即△＞0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根。
本节课的内容你学会了吗？ 一. 一元二次方程根的判别式：△=b -4ac
二. 根的判别情况：
①当△=b -4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
②当△=b -4ac＝0时，方程有两个相等的实数根 ③当△=b -4ac＜0时，方程没有实数根
解：(1)∵△=b
2
2
(2) 2x (x－3) =－3
2
化一般式
-4ac =(-2) －4×1×3=﹣8 ＜0
∴ 原方程没有实数根。 解：(2)原方程化一般式为 2x2－6x＋3=0 ∵ △ =b
2
-4ac =(-6)2－4×2×3=12＞0
∴ 原方程有两个不相等的实数根。
化一般式 (4) (x-2)² +2(x-2)-8=0 2 解：原方程化一般式为： x －6x＋9=0 (3) x ＋9= 6x
∵ △=b
2
-4ac =22－4×1×(-8)=36 ＞0
∴ 关于y的一元二次方程有两个不相等的实数根。
∴ 原方程有两个不相等的实数根。
例2 不解方程，判别方程 的根的情况。 解： ∵△ (2
2
x 2 2kx k 0
2 2
2 2
2k ) 4 1 k 4k
又
∵ 不论k取何实数，总有k² ≥0 ∴ △=4k² ≥0 ∴ 原方程有两个实数根。
2
(b -4ac≥0)
为什么？ 2 b -4ac≥0
2
因为当b -4ac＜0时， 2 b 4ac 无意义。
2
由此可知一元二次方程的根的存在情况 2 要看 b 4ac 的结果的符号。
一元二次方程根的判别式 把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 2 记作“ ”，即 b 4ac 一元二次方程根的判别情况
（ 1）
2 x 3x 4 0
（ 3） 5
x
2
2
1 7x 0
2
2 （ 2） 16 y 9 24 y
方程一定要先化为一般式
解:(1) ∵△=b
-4ac =32－4×2×(-4)=41＞0
∴ 原方程有两个不相等的实数根。 (2)原方程化一般式为：16y2－24y＋9=0
2
2 2 2
2
三. 根的判别步骤：
一化二算三判四结
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是( C ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0 2 4. 证明：关于x的方程 x 2mx 2m 4 0 不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根
（1）平方根的性质是什么？ （2）解下列方程： ①x² -3x+2=0 ； ② x² -2x+1=0 ； ③ x² +3=0 （3）一元二次方程的求根公式是什么？ 应用公式的前提条件是什么？
（4）一元二次方程的根究竟由什么决定？
回 顾:
一元二次方程的求根公式为：
b b 4ac x 2a
∵△ =b22-4ac =(-6)2－4×1×9=0
∴ 原方程有两个相等的实数根。
(4) (x-2)² +2(x-2)-8=0
∵ △ =b
2
化一般式
解： 原方程化一般式为： x2－2x－8=0
-4ac =(-2)2－4×1×(-8)=36＞0
2
∴ 原方程有两个不相等的实数根。
另解：令 y=x-2 则原方程可变为：y +2y－8=0
2
∵△=b -4ac =(-24) －4×16×9 ∴ 原方程有两个相等的实数根。 (3)原方程化一般式为： 5x2－7x＋5=0
2
2
=0
一. 化
二. 算 三. 判
∵△=b -4ac =(-7) －4×5×5=-51 ＜0 四. 结 ∴ 原方程没有实数根。
不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) x －2x＋3=0