高三数学第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案文

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教案)

课内练习与训练
1、给出下列三个命题
①若 ,则
②若正整数m和n满足 ,则
③设为圆上任一点，圆O2以为圆心且半径为1.当时,圆O1与圆O2相切
其中假命题的个数为.
2、已知命题p：集合只有3个真子集，：集合{y|y＝ }与集合{ }相等．则下列新命题：①p或；②p且；③非p；④非 .其中真命题序号为________．
【示例】►已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
【试一试】设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．
课题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
学情分析
学生刚学过这块内容，对其掌握还不是很牢固，需要及时加强巩固。
教学目标与
考点分析
1、理清相关相似概念间的异同点；
2、准确把握逻辑联结词的含义和用法；
3、熟练掌握对含有量词命题的否定的方法。
教学重点
对含有量词命题的否定是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
【例1】►已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬ p1)∨p2和q4：p1∧(¬ p2)中，真命题是()．
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0．给出下列结论，其中正确的是()．

高考数学总复习教案：简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

第一章集合与常用逻辑用语第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (对应学生用书(文)、(理)5～6页)1. (选修11P20第4(1)题改编)命题“若a 、b 、c 成等比数列，则ac ＝b2”的逆否命题是________________________________________________________________________．答案：若ac≠b 2，则a 、b 、c 不成等比数列2. (选修11P20第6题改编)若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________．答案：互为逆命题3. (选修11P20第7题改编)已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，则s 是p 的__________条件．答案：必要不充分4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．答案：逆命题：若x＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题．否命题：若x ＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题．逆否命题：若x≠3或y≠2，则x ＋y≠5.是假命题． 5. 下列命题中的真命题有________．(填序号) ① x ∈R ，x ＋1x ＝2； ② x ∈R ，sinx ＝－1； ③ x ∈R ，x2>0； ④x ∈R ，2x>0.答案：①②④解读：对于①，x ＝1时，x ＋1x ＝2，正确；对于②，当x ＝3π2时，sinx ＝－1，正确；对于③，x ＝0时，x2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．6. 命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：____________________________．答案：所有的三角形都不是等边三角形1. 四种命题及其关系(1) 四种命题(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p q，且q p，那么称p是q的充要条件，记作p q.(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x ”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可用符号简记为x ∈M ，p(x)，读作“存在一个x 属于M ，使p(x)成立”． 5. 含有一个量词的命题的否定x ∈M ，p(x) x ∈M ，p(x)； x ∈M ，p(x)x ∈M ，p(x).[备课札记]题型1 否命题与命题否定例1 (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为____________________________； (2) 命题：“若x2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)命题； (3) 命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则p 是____________________．答案：(1) 若a≤b ，则2a ≤2b －1 (2) 真 (3) 所有三角形都不是等腰三角形解读：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m ＝0时显然方程有根，其实不然，由x2＋x －m ＝0没实根可推得m<－14，而{m|m<－14}是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m ≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x2＋x －m ＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．(3) p 为“对任意x ∈A ，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反．变式训练把下列命题改写成“若p 则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题． (1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形． (2) 原命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b 且c ＝d.否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c≠b ＋d. 逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等．题型2 充分必要条件例2 已知p ：x2－8x －20≤0，q ：x2－2x ＋1－m2≤0(m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x2－8x －20＞0，得x ＜－2或x ＞10，设A ＝{x|x ＜－2或x ＞10}，q ：x2－2x ＋1－m2＞0，得x ＜1－m ，或x ＞1＋m ，设B ＝{x|x ＜1－m 或x ＞1＋m}． ∵ p 是q 的必要非充分条件，∴ B 真包含于A ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－21＋m≥10m ≥9.∴ 实数m 的取值范围为m≥9.备选变式（教师专享）下列四个结论正确的是________．(填序号) ① “x ≠0”是“x ＋|x|>0”的必要不充分条件；② 已知a 、b ∈R ，则“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；③ “a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx ＋c≥0的解集是R”的充要条件； ④ “x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．答案：①③解读：① 因为由x≠0推不出x ＋|x|>0，如x ＝－1，x ＋|x|＝0，而x ＋|x|>0x ≠0，故①正确；因为a ＝0时，也有|a ＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x ＝－1时，有x2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x 2≠1”的必要不充分条件．题型3 全称命题与存在性命题的否定例3 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是_______________________________．答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数备选变式（教师专享）若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为_____________________________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数题型4 求参数范围例4 已知命题p ：方程a2x2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x2＋2ax ＋2a≤0，若命题“p 或q”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由a2x2＋ax －2＝0，得 (ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a≠0，∴ x ＝－2a 或x ＝1a .∵ x ∈[－1，1]，故⎪⎪⎪⎪2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴ |a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x 满足x2＋2ax ＋2a≤0”，即抛物线y ＝x2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴ Δ＝4a2－8a ＝0，∴ a ＝0或a ＝2，∴ 当命题“p 或q”为真命题时|a|≥1或a ＝0. ∵ 命题“p 或q”为假命题，∴ a 的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．备选变式（教师专享）已知命题p ：函数y ＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵ 命题p ：函数y ＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1. 又命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴ a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即－2<a≤2.∵ p ∨q 是真命题，∴ a 的取值范围是－2<a≤2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________ ________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数2. 设α、β为两个不同的平面，直线l α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的________条件．答案：充分不必要解读：根据定理知由l ⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l 垂直于α、β的交线时才成立． 3. “若a ＋b 为偶数，则a 、b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为__________________________．答案：若a 、b 不同为奇数且不同为偶数，则a ＋b 不是偶数4．已知命题p1：函数y ＝ln(x ＋1＋x2)，是奇函数，p2：函数y ＝x 12为偶函数，则下列四个命题：① p1∨p2；② p 1∧p2；③ (p1)∨p2；④ p 1∧(p2)．其中，真命题是________．(填序号) 答案：①④解读：由函数的奇偶性可得命题p1为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．1. 若a 、b 为实数，则 “0<ab<1”是“b<1a ”的________条件．答案：既不充分也不必要解读：0<ab<1，a 、b 都是负数时，不能推出b<1a ；同理b<1a 也不能推出0<ab<1.2. 在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l1：a1x ＋b1y ＋c1＝0，l2：a2x ＋b2y ＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________．答案：2解读：若两条直线l1：a1x ＋b1y ＋c1＝0与l2：a2x ＋b2y ＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.3. 设命题p ：关于x 的不等式2|x －2|<a 的解集为；命题q ：函数y ＝lg(ax2－x ＋a)的值域是R.如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a 的取值范围．解：由不等式2|x －2|<a 的解集为得a≤1.由函数y ＝lg(ax2－x ＋a)的值域是R 知ax2－x ＋a 要取到所有正数，故⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝1－4a2≥00<a ≤12 或a ＝0即0≤a≤12. 由命题p 和q 有且仅有一个正确得a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，1.4. 设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn ＝an －an ＋2，cn ＝an ＋2an ＋1＋3an ＋2(n ＝1，2，3，…)，求证：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn ≤bn ＋1(n ＝1，2，3，…)．证明：必要性：设{an}是公差为d1的等差数列，则bn ＋1－bn ＝(an ＋1－an ＋3) － (an －an ＋2)＝ (an ＋1－an) － (an ＋3－an ＋2)＝ d1－ d1＝0，所以bn ≤bn ＋1(n ＝1，2，3，…)成立．又cn ＋1－cn ＝(an ＋1－an)＋2(an ＋2－an ＋1)＋3(an ＋3－an ＋2)＝ d1＋2d1 ＋3d1 ＝6d1(常数)(n ＝1，2，3，…)，所以数列{cn}为等差数列．充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn ≤bn ＋1(n ＝1，2，3，…)． ∵ cn ＝an ＋2an ＋1＋3an ＋2， ①∴ cn ＋2＝an ＋2＋2an ＋3＋3an ＋4， ②①－②，得cn －cn ＋2＝(an －an ＋2)＋2 (an ＋1－an ＋3)＋3 (an ＋2－an ＋4)＝bn ＋2bn ＋1＋3bn ＋2.∵ cn －cn ＋2＝(cn －cn ＋1)＋(cn ＋1－cn ＋2)＝－2d2， ∴ bn ＋2bn ＋1＋3bn ＋2＝－2d2， ③从而有bn ＋1＋2bn ＋2＋3bn ＋3＝－2d2， ④④－③，得(bn ＋1－bn)＋2 (bn ＋2－bn ＋1)＋3 (bn ＋3－bn ＋2)＝0.⑤ ∵ bn ＋1－bn ≥0，bn ＋2－bn ＋1≥0，bn ＋3－bn ＋2≥0， ∴ 由⑤得bn ＋1－bn ＝0(n ＝1，2，3，…)．由此不妨设bn ＝d3 (n ＝1，2，3，…)，则an －an ＋2＝d3(常数)．由此cn ＝an ＋2an ＋1＋3an ＋2cn ＝4an ＋2an ＋1－3d3，从而cn ＋1＝4an ＋1＋2an ＋2－5d3，两式相减得cn ＋1－cn ＝2(an ＋1－an) －2d3，因此an ＋1－an ＝12(cn ＋1－cn)＋d3＝12d2＋d3(常数) (n ＝1，2，3，…)， ∴ 数列{an}为等差数列．1. 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．2. 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真全真； (2) p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即一假即假； (3) p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。

高考数学一轮复习第1篇第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件文新人教版

即时突破 2 下列命题中的假命题是(
(A)∀ x∈R,2 >0 (B)∀ x∈N ,(x-1) >0 (C)∃ x∈R,lg x<1 (D)∃ x∈R,tan x=2 解析:对于选项 A,正确;对于选项 B,当 x=1
x-1 * 2
)
时,(x-1) =0,错误;对于选项 C,当 x∈(0,1) 时,lg x<0<1,正确;对于选项 D,∃ x∈R,tan x=2,正确.故选 B.
4.(2013 中山市期末)若命题“存在实数 x,使 2 x +ax+1<0”的否定是假命题,则实数 a 的取值范围为 . 2 解析:因为命题“存在实数 x,使 x +ax+1<0”的否 2 定是假命题,所以命题 “存在实数 x,使 x +ax+1<0” 2 是真命题,所以 a -4>0,解得 a<-2 或 a>2. 答案:a<-2 或 a>2
3.(2013 年高考四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:∀ x∈A,2x∈B,则( C ) (A) p:∃ x∈A,2x∈B (B) p:∃ x A,2x∈B (C) p:∃ x∈A,2x B (D) p:∀ x A,2x B 解析:将 “∀ ” 否定为 “∃ ” , “2x∈B” 否定为 “2x B” . 得 p:∃ x∈A,2x B,故选 C.
2
m 2 4 m 3
是幂函数,且在
解析:对于选项 A,β=0 时,命题成立,故选项 A 为真命题; 对于选项 B,当
π = 时,f(x)=cos 2x 是偶函数, 2
≨选项 B 为假命题; 对于选项 C,若 f(x)为幂函数,则 m-1=1, ≨m=2,此时 f(x)=x 在(0,+≦)上单调递减,故选项 C 为真命题;

高考数学一轮复习第一章集合与简易逻辑第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词教案理(含解析

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识整合1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，綈p(x)1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．1．(2019·某某模拟)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0，x 0x 0－1≤0C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0，xx －1≤0答案 B解析易知命题的否定是∃x 0>0，x 0x 0－1≤0，故选B.2．(2018·某某某某月考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝ (a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.3．(2017·某某高考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 20恒成立，∴p 为真命题，綈p 为假命题．∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈q 为真命题．根据真值表可知p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.4．(2019·某某七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若|x |＝5，则x ＝5”的否命题为“若|x |＝5，则x ≠5”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R,3x 20＋2x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R,3x 2＋2x －1<0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题答案 D解析 A 中，命题“若|x |＝5，则x ＝5”的否命题为“若|x |≠5，则x ≠5”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x 0∈R,3x 20＋2x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R,3x2＋2x －1≤0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选D.5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5答案 C解析命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．(2019·某某某某三校联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0,4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∧q答案 D解析命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4，综上，可得实数a ∈[0,4)，因此p 是假命题，则綈p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(綈p )∧q 是真命题．故选D.核心考向突破考向一含有逻辑联结词命题真假的判断例1 (1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p 是“甲试驾成功”，q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；命题q ：∃x 0∈N *,2x 0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x＝22，得22x0－22·2x 0＋2＝，解得2x＝2，即x 0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫或2x 0＋21－x 0≥22x 0·21－x 0＝22，当且仅当2x 0＝21－x 0，即x 0＝12时等号成立，命题q 为假命题．所以只有p ∧(綈q )为真命题．故选C.触类旁通判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)判断复合命题的结构．2判断构成这个命题的每个简单命题的真假.3依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可.p ：“若x 2－x >0，则x >1”；命题q ：“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则xy ＝0”．下列命题为真命题的是( )A ．p ∨(綈q )B ．p ∨qC ．p ∧qD ．(綈p )∧(綈q )答案 B解析若x 2－x >0，则x >1或x <0，故p 是假命题；若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，xy ＝0，故q 是真命题，则p ∨q 是真命题，故选B.2．已知命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ，命题q ：∃x ∈R ，使得tan x ＝1－3x，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q答案 D解析对于命题p ：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ＝0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：当x＝0时，tan x＝1－3x＝0，所以命题q是真命题．由于綈p是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，故选D.考向二全称命题、特称命题角度1 全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2019·某某联考)已知命题p：∀x >0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( ) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1的否定为∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1，故选B.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．触类旁通一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定.即时训练 3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )A．所有奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方不是奇数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数答案 C解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D解析先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.角度2 全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2答案 B解析选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.触类旁通全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．即时训练 5.下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题答案 B解析命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以A 错误；ab ≠0等价于a ≠0且b ≠0，所以“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件，B 正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，D 错误．故选B.考向三利用复合命题的真假求参数X 围例4 (1)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(0,4] B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 答案 D解析因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.(2)(2019·某某联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值X 围是________．答案 (1,2]∪[3，＋∞)解析 p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2.q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得1<m ≤2.综上，实数m 的取值X 围是(1,2]∪[3，＋∞)．触类旁通根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况)．2然后再求出每个命题是真命题时参数的取值X 围. (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值X 围．p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1；由函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．。

(通用版)高考数学一轮复习 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案理-人教版高三全册数学

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第三节简单的逻辑联结词、1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含全称量词与存在量词义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.突破点一简单的逻辑联结词[基本知识]命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q p q p与p真假相反”．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )答案：(1)×(2)√(3)√二、填空题1．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“綈p”是________________．答案：3∈(∁U A)∩(∁U B)2．“p∨q”为真是“p∧q”为真的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)．答案：必要不充分3．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为____________．解析：因为“p ∧q ”为假，“綈q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2}[全析考法]考法一含逻辑联结词复合命题的真假判断[例1] (2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；命题q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则( )A ．(綈p )∨q 为真命题B ．p ∧(綈q )为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题[解析] 由题意可知命题p 是真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 是假命题，所以p ∨q 为真命题，故选D.[答案] D [方法技巧]判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤(1)定结构：确定复合命题的构成形式． (2)辨真假：判断其中简单命题的真假性． (3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假．考法二根据复合命题的真假求参数[例2] (2019·山西五校联考)已知p ：关于x 的不等式a x>1(a >0且a ≠1)的解集是{x |x >0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 若关于x 的不等式a x>1(a >0且a ≠1)的解集为{x |x >0}，则a >1；若函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a >12，即12<a ≤1. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 [方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．[集训冲关]1.[考法一]已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧(綈q )是真命题，故选D.2.[考法二]已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p ∧(綈q )为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 对于命题p ，令f (0)·f (1)<0，则－1·(2a －2)<0，解得a >1；对于命题q ，令2－a <0，则a >2，故綈q 对应的a 的取值范围是(－∞，2]．因为p ∧(綈q )为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.3.[考法二]已知p ：若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋m ，则数列{a n }是等差数列，当綈p 是假命题时，则实数m 的值为________．解析：由于綈p 是假命题，所以p 是真命题．由S n ＝n 2＋m ，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ，n ＝1，2n －1，n >1，所以1＋m ＝2×1－1，解得m ＝0. 答案：0突破点二全称量词与存在量词[基本知识]1．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃名称形式全称命题特称命题结构对M 中的任意一个x ，有p (x )成立存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立简记 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，p (x 0) 否定∃x 0∈M ，綈p (x 0)∀x ∈M ，綈p (x )[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．( ) (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．( ) (3)“三角形内角和是180°”是全称命题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．(2019·东北育才检测)已知命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0，则綈p 是______________．答案：∃x 0∈R ，e x0－x 0－1≤02．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p ：________________________.答案：特称命题假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥03．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于sin x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为22，所以m ≥22，即m 的最小值为22. 答案：22[全析考法]考法一全(特)称命题的否定[例1] (1)(2019·陕西部分学校摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1(2)(2019·丹东期末)命题“∃x >0，使得ln x >0”的否定为( ) A ．∀x >0，均有ln x ≤0 B ．∀x ≤0，均有ln x ≤0 C ．∀x >0，均有ln x <0 D ．∃x >0，均有ln x ≤0 [解析] (1)∵xx －1>0，∴x <0或x >1，∴xx －1>0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”．故选B.(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x >0，使得ln x >0”的否定为：∀x >0，均有ln x ≤0.故选A.[答案] (1)B (2)A [方法技巧]全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考法二全(特)称命题的真假判断[例2] (2019·西安质检)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03＝13B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋1[解析] ∀x ∈R ，均有sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝1，故A 是假命题；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，sin x ≤cos x ，故B 是假命题；∵方程x 2＋x ＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0， ∴x 2＋x ＋2＝0无解，所以∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2是假命题，故C 是假命题；令f (x )＝e x－x －1，则f ′(x )＝e x－1，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )为增函数，故f (x )>f (0)＝0，即∀x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋1.故选D. [答案] D[方法技巧] 全(特)称命题真假的判断方法全称命题(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝特称命题x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题考法三根据全(特)称命题的真假求参数[例3] (2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)[解析] 当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.[答案] C[方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[集训冲关]1.[考法一]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是( )A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2解析：选C 根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”．故选C.2.[考法二]下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0解析：选D 当x0＝1时，lg x0＝0，当x0＝0时，tan x0＝0，因此∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.3.[考法一、二]已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故应选B.4.[考法三]已知命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析：选D 因为命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.[课时跟踪检测] 1．(2019·河南教学质量监测)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8x B ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8x C ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0 D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16<8x 0解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0.故选C.2．(2019·太原一模)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a 1b.则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：选B 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以p 为真命题，则綈p 为假命题；当a＝－2，b ＝1时，1a <1b，所以q 为假命题，则綈q 为真命题．故p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.3．(2019·惠州调研)已知命题p ，q ，则“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 充分性：若綈p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题．必要性：p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则綈p 为假命题．所以“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的必要不充分条件．故选B.4．如果命题“(綈q )∨p ”与“(綈p )∨q ”都是真命题，则下列结论中一定不成立的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∨q ”是假命题C ．命题“(綈p )∧q ”是假命题D ．命题“(綈p )∧q ”是真命题解析：选D 若命题“(綈q )∨p ”与“(綈p )∨q ”都是真命题，则p ，q 全为真命题或全为假命题，所以命题“(綈p )∧q ”一定为假命题，故选D.5．(2018·渭南尚德中学一模)如果命题“p 且q ”的否定为假命题，则( ) A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 中至少有一个为真命题C ．p ，q 均为假命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题解析：选A 若“p 且q ”的否定是假命题，则“p 且q ”是真命题，故p ，q 均是真命题．故选A.6．(2018·益阳市、湘潭高三调考)已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i 1＋2i 的虚部为－15i ，则下面为真命题的是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q解析：选C 由已知可得，复数z 满足(z －i)(－i)＝5，所以z ＝5－i＋i ＝6i ，所以命题p 为真命题；复数1＋i 1＋2i ＝1＋i1－2i 1＋2i 1－2i ＝3－i 5，其虚部为－15，故命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.7．(2018·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．(－∞，1]D ．[e,4]解析：选D 命题p 等价于ln a ≥x 对x ∈[0,1]恒成立，所以ln a ≥1，解得a ≥e；命题q 等价于关于x 的方程x 2＋4x ＋a ＝0有实根，则Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.因为命题“p ∧q ”是真命题，所以命题p 真，命题q 真，所以实数a 的取值范围是[e,4]，故选D.8．(2019·武汉部分学校调研)给出下列四个说法：①命题“∀x ∈(0,2)，3x>x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，3x 0≤x 30”； ②“若θ＝π3，则cos θ＝12”的否命题是“若θ≠π3，则cos θ≠12”；③p ∨q 是真命题，则命题p ，q 一真一假；④“函数y ＝2x＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 对于①，根据全称命题的否定，可知①正确；对于②，原命题的否命题为“若θ≠π3，则cos θ≠12”，所以②正确；对于③，若p ∨q 是真命题，则命题p ，q 至少有一个是真命题，故③错误；对于④，由函数y ＝2x＋m －1有零点，得1－m ＝2x>0，解得m <1，若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，则0<m <1，所以④错误．综上，正确说法的个数为2，故选B.9．(2019·宜昌葛洲坝中学月考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A “至少有一位学员没有降落在指定范围”表示学员甲、乙两人中有人没有降落在指定范围，所以应该是(綈p )∨(綈q )．故选A.10．(2018·汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x －a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：选C 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2；∀x >0,2x －a >0等价于a <2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因为“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又“p∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C.11．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋112．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“綈q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3<x <－1，由题意，得x ＝－2.答案：－213．若命题p ：存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题p ：存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则綈p ：任意x ∈R ，ax2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即(2＋a )x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，当a ＝－2时不成立，舍去，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a >0，16－42＋a a －1≤0，解得a ≥2.答案：[2，＋∞)14．(2019·济南模拟)给定命题p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，若p ∧q 为真，则a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，对任意实数x 都有ax2＋ax ＋1>0成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0， ∴0≤a <4.当q 为真命题时，关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.p ∧q 为真时，0≤a ≤14. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 15．已知p ：－1<log 2x <2，q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋a >1，綈q 是綈p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由－1<log 2x <2，得12<x <4，所以綈p ：x ≤12或x ≥4，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥4；由⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋a >1，得x ＋a <0，解得x <－a ，所以綈q ：x ≥－a ，设集合B ＝{x |x ≥－a }．又綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以B A ，所以－a ≥4，解得a ≤－4，所以实数a 的取值范围是(－∞，－4]．。

高三数学(文)一轮教学案：第一章第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词 Word版含解析

第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词考纲展示命题探究考点一逻辑联结词简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真注意点否命题与命题的否定的区别否命题命题的否定区别否命题是既否定其条件，又否定其结论命题的否定只是否定命题的结论否命题与原命题的真假无必然联系命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假1．思维辨析(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)命题“5>6或5>2”是假命题．()(3)若命题p∧q为真，则p为真或q为真．()(4)命题p和綈p不可能都是真命题．()(5)若p∨q为真命题，则p真q也真．()(6)若p∨q为假命题，则p、q至少有一假．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧(綈q)B．(綈p)∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∧q答案A解析由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q答案A解析綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.4．若p：2是偶数，q：3不是素数，则命题p∨q是________命题，p∧q是________命题．(填“真”“假”)答案真假解析由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故命题p ∨q是真命题，命题p∧q为假命题．[考法综述]逻辑联结词的应用主要体现在各种命题的表述，题目中条件的表达等，对于纯粹考查逻辑联结词的题目则较少见．含有逻辑联结词的命题的真假判断是较为重要的题型，要注意掌握“且”“或”“非”的真假规律．命题法含有逻辑联结词的命题的真假判断典例(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④(2)若命题“p∧q”为假命题，且“綈p”为假命题，则()A．“p或q”为假B．q假C．q真D．p假[解析](1)由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题，故选C.(2)∵“綈p”为假命题，∴p为真命题，又∵“p∧q”为假命题，∴q为假命题．[答案](1)C(2)B【解题法】含逻辑联结词的命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．1.设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是() A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)答案A解析由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.2．已知命题p：函数y＝2－a x＋1(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,2)；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案B解析对于函数y＝2－a x＋1，当x＝1时，y＝2－a2≠2，所以函数图象不过点(1,2)，因而命题p为假命题；函数f(x－1)为偶函数，则其图象关于y轴对称，又将f(x－1)的图象向左平移1个单位得函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故命题q为假命题．综上可知，綈p与綈q均为真命题，所以(綈p)∧(綈q)为真命题．考点二全称量词与存在量词1全称量词与存在量词的概念(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．2含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．其结构如下表所示：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)(1)“綈p”的否定是“p”．(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”．(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．4常用的否定词正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)一定是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不一定是正面词语都是任意的所有的任意两个否定词语不都是某个某些某两个正面词语至多有一个至少有一个至多有n个—否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个—有些命题中的量词不明显，应该注意根据命题含义挖掘其隐含的量词.1．思维辨析(1)命题“∀x∈R，都有e x≥x＋1的否定是“∀x∈R，存在e x<x＋1”．()(2)已知命题p：∃n0∈N,2n0>1000，则綈p：∃n∈N,2n0≤1000.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．()(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．()(6)命题“∃x0∈R,2x0≤0”是假命题．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1>0B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1<0D．∀x∈R，x2＋1≤0答案B解析全称命题的否定是特称命题，因此“∀x∈R，x2＋1>0”的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”，故选B.3．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________．答案“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”解析全称命题的否定是特称命题，因此命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”．[考法综述]全称命题与特称命题是高考的常考内容，主要有以下命题角度：(1)判断全称命题、特称命题的真假；(2)全称命题、特称命题的否定；(3)已知命题真假求参数取值范围．题型多为选择题、填空题，难度较小，属于容易题．命题法1全称命题、特称命题的否定典例1(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∃x∈A,2x∈B B．綈p：∃x∉A,2x∈BC．綈p：∃x∈A,2x∉B D．綈p：∀x∉A,2x∉B(2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0[解析] (1)全称命题的否定是特称命题，将“∀”改为“∃”，“2x ∈B ”否定为“2x ∉B ”，即綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .(2)全称命题的否定是特称命题．“对任意x ∈R ，故有x 2≥0”的否定为“存在x 0∈R ，使得x 20<0”，故选D.[答案] (1)C (2)D【解题法】对含有一个量词的命题进行否定的方法 (1)全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．命题法2 全称命题、特称命题的真假判断典例2 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3[解析] (1)取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确；取φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知选B.(2)解法一：由待定系数得x ＋2y ＝43(x ＋y )－13(x －2y )，因为x ＋y ≥1，所以43(x ＋y )≥43.又x －2y ≤4，所以－13(x －2y )≥－43.由不等式性质得x ＋2y ≥0，故p 1，p 2正确，p 3，p 4不正确，故选B.解法二：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选B.[答案] (1)B (2)B【解题法】全称命题和特称命题真假的判断方法 (1)判定全称命题真假的方法①定义法：对给定的集合中的每一个元素x ，p (x )都为真，则全称命题为真．②特值法：在给定的集合内找到一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．(2)判定特称命题真假的方法特值法：在给定的集合中找到一个x 0，使p (x 0)为真，则特称命题为真，否则命题为假．1.设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n 答案 C解析命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C. 2．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．3．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.故选B.4．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根，命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4)∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[12，＋∞)[错解][错因分析] 当p 或q 为真命题，p 且q 为假命题时，p ，q 之间的真假关系判断错误．[正解] 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，解得a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，解得a ≥－12.因为p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则命题p 和q 一真一假．当p 真q 假时，a <－12；当p 假q 真时，－4<a <4.故选C.[答案] C[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·衡水二中期末]已知命题p ：函数y ＝e |x －1|的图象关于直线x ＝1对称，q ：函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则下列命题中的真命题为( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∨(綈q )答案 A 解析由函数y ＝e |x －1|的图象可知图象关于直线x ＝1对称，所以命题p 正确；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝0，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以命题q 正确，p ∧q 为真命题．故选A. 2．[·武邑中学猜题]已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程是y ＝－12，命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )的图象关于x ＝1对称，则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 D 解析抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－18；当函数f (x ＋1)为偶函数时，函数f (x ＋1)的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称(注：将函数f (x )的图象向左平移一个单位长度可得到函数f (x ＋1)的图象)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )都是假命题，p ∨q 是真命题．故选D.3．[·冀州中学仿真]设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列的判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，命题p 为假．函数y ＝cos x 的图象关于x ＝k π(k ∈Z )对称，命题q 为假，故选C.4．[·武邑中学预测]给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3 答案 D 解析对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由α＝2k π＋β(k ∈Z )可得cos α＝cos β，但由cos α＝cos β不能得α＝2k π＋β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.5．[·衡水二中模拟]下列结论正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ”的充分不必要条件． A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p 是q 的必要条件”知，q 可推知綈p ，则p 可推知綈q (注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p 是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M >N不能得到⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ，因此③是错误的．故选C. 6．[·枣强中学期末]已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ，命题q ：∀x ∈(0,1)，log 2x <0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )答案 C 解析由指数函数的图象与性质可知，命题p 是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q 是真命题，则命题“p ∧q ”为假命题，命题“p ∨(綈q )”为假命题，命题“(綈p )∧q ”为真命题，命题“p ∧(綈q )”为假命题，故选C.7．[·衡水二中仿真]若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6，－2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)答案 A解析由题意知，“∀x ∈R 使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，所以2≤m ≤6，故选A.8．[·枣强中学期中]已知命题p ：∀x 2>x 1,2x 2>2x 1，则綈p 是( )A ．∀x 2>x 1,2 x 2≤2 x 1B ．∃x 2>x 1,2 x 2≤2 x 1C ．∀x 2>x 1,2 x 2<2 x 1D ．∃x 2>x 1,2 x 2<2 x 1 答案 B解析全称命题的否定为特称命题，因此∀x 2>x 1,2x 2>2x 1的否定为∃x 2>x 1,2 x 2≤2 x 1.9．[·衡水二中热身]给出下列结论：①命题“若綈p ，则q ”的逆否命题是“若p ，则綈q ”；②命题“∃n ∈N *，n 2＋3n 能被10整除”的否定是“∀n ∈N *，n 2＋3n 都不能被10整除”；③命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3<0”．其中结论正确的是________．答案 ②解析由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；虽然全称命题的否定是特称命题，但对结论的否定错误，故③不正确．所以只有②正确，故填②.10．[·武邑中学期末]已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}．下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的是________．(填所有正确命题的序号)答案 ①②③④解析命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1正确，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}也正确，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．11. [·衡水二中预测]已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 解析由绝对值不等式得|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当－1≤x ≤1时等号成立，即|x －1|＋|x ＋1|的最小值为2.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，则3a ≤2，即a ≤23.若函数y ＝(2a －1)x为减函数，则0<2a －1<1，即12<a <1，由“p 且q ”为真命题知命题p 、q 均为真命题，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23，12<a <1，即12<a ≤23，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23. 12．[·枣强中学月考]已知命题p ：存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 0<a <1解析若命题p 是假命题，则不存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立，即对于任意的实数x ，不等式x 2＋2ax ＋a >0恒成立，从而Δ＝4a 2－4a <0，得0<a <1.能力组13.[·衡水二中猜题]下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件答案 C解析由am 2<bm 2可知m 2>0，故可推出a 3能推出x >2，但是x >2不能推出x >3，故选项D 正确；p ∨q 是真命题⇔p ，q 中存在真命题，故选项C 错误．故选C.14．[·衡水二中一轮检测]下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数答案 A解析由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数”为真命题，故选A.15．[·冀州中学周测]已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________．答案m≤－2或m>－1解析先求p∧q是真命题时m的取值范围，再求其补集．命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1，故p∧q为假命题，则m的取值范围是m≤－2或m>－1.16. [·冀州中学热身]已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)为真命题”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．答案②解析命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(綈p)∧(綈q)为真命题，故②正确；a>5⇒a>2，但a>2⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．。

(通用版)高考数学一轮复习 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义文-人教版高三全册数学

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识批注——理解深一点1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x) 特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)4．全称命题与特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)二、常用结论汇总——规律多一点含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )(4)若命题綈(p ∧q)是假命题，则命题p ，q 中至多有一个是真命题．( ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×(二)选一选1．命题∀x ∈R ，x 2＋x ≥0的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0<0 C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x <0解析：选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B 正确．2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y，则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选C 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q)为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故真命题为②③.3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：选D 选项A 中，14<x 0<34，与x 0∈Z 矛盾，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．(三)填一填4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．答案：存在两个全等三角形的面积不相等5．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－ba ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x 0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q[解析] (1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.[答案] (1)B (2)A[解题技法] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∨qC．p∧q D．(綈p)∧(綈q)解析：选B 若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例] (1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是( )A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是( )A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案] (1)D (2)C[解题技法]1．全称命题与特称命题真假的判断方法2.(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解析：选C 当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例] 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，则mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则Δ＝m 2－4<0，－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得{ m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.所以m 的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]．答案：[0,2] [解题技法]根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． [课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴xx －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”． 2．下列命题中，假命题的是( ) A ．∀x ∈R,21－x>0B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a的图象经过第四象限 D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q)C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(綈q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R,2x>0，则綈p ：∃x 0∈R,2x0<0C ．命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x>0的否定是綈p ：∃x 0∈R,2x0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(綈p )∨q 为真命题B ．p ∧(綈q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0” B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)解析：选C 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4. 8．下列命题为假命题的是( ) A ．存在x >y >0，使得ln x ＋ln y <0B ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C ．∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立D ．已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，则α∥β解析：选C 对于A 选项，令x ＝1，y ＝1e ，则ln x ＋ln y ＝－1<0成立，故排除A.对于B 选项，“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C 选项，根据幂函数y ＝x α，当α<0时，函数单调递减，故不存在x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立，故C 错误．对于D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，可过n 作一个平面与平面α相交于直线n ′.由线面平行的性质定理可得n ′∥n ，再由线面平行的判定定理可得n ′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D ，选C.9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q”与“綈q”同时为假命题，则 x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“綈q”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q”为假，所以p 为假，故－3＜x ＜－1，由题意，得x ＝－2. 答案：－211．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则綈p 是綈q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得綈p ：a ≥0，綈q ：a 2≤a ，即0≤a ≤1.因为{a |0≤a ≤1}{a |a ≥0}，所以綈p 是綈q 的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q)；④(綈p )∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题，綈p 为假命题． ∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， ∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，綈q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q)为假命题，(綈p )∨q 为假命题．答案：②③④13．设t ∈R ，已知命题p ：函数f (x )＝x 2－2tx ＋1有零点；命题q ：∀x ∈[1，＋∞)， 1x －x ≤4t 2－1.(1)当t ＝1时，判断命题q 的真假；(2)若p ∨q 为假命题，求t 的取值范围．解：(1)当t ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x max ＝0，1x－x ≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q 为真命题． (2)若p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题．当p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1；当q 为真命题时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x max ≤4t 2－1，即4t 2－1≥0，解得t ≤－12或t ≥12， ∴当q 为假命题时，－12<t <12， ∴t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.。

高三数学一轮复习第1篇简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案理

第三课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课前预习案考纲要求1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的含义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定．基础知识梳理1.命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．2.用来判断复合命题的真假的真值表3.全称量词与存在量词（1）常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等；（2）常见的存在量词有：“存在一个”、“有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等；（3）全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“∃”表示．4.全称命题与特称命题（1）全称命题就是形如“对M中的所有x，)(xp”的命题，用符号简记为：．（2）特称命题就是形如“存在集合M中的元素x，)(xq”的命题，用符号简记为：．5. 特称命题p：)(,xpAx∈∃,它的否定是：_______________________ ;全称命题q：)(,xqAx∈∀,它的否定是：___________________________.6.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是至多有一个至少有一个任意的一定否定词语1.若p 是真命题，q 是假命题，则（） A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是假命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题2.（2011年辽宁）已知命题p ：n N ∃∈，21000n>，则p ⌝为（） A ．n N ∀∈，21000n≤ B ．n N ∀∈，21000n> C ．n N ∃∈，21000n ≤D ．n N ∃∈，21000n> 课堂探究案考点1 判断含有逻辑联结词的命题的真假【典例1】已知命题p ：若1a >，则log xa a x >恒成立；命题q ：在等差数列{}n a 中（其中公差0d ≠），m n p q +=+是n m p q a a a a +=+的充分不必要条件（,,,*m n p q N ∈）．则下面选项中真命题是（） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ⌝∨ D ．p q ∧【变式1】（1）已知命题1p ：函数22xxy -=-在R 上为增函数；2p ：函数22xxy -=+在R 上为减函数．则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：12()p p ⌝∨和4q ：12()p p ∧⌝中，真命题是（） A ．13,q qB ．23,q qC ．14,q qD ．24,q q考点2 含有一个量词的命题的否定【典例2】（2012年辽宁理）已知命题p ：12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --≥，则p ⌝是（）A ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x x x --≤B ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x --≤ C ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x x x --< D ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x --<【变式2】（1）（2012年湖北）命题“0R x C Q ∃∈，30x Q ∈”的否定是（） A ．0R x C Q ∃∉，30x Q ∈ B ．0R x C Q ∃∈，30x Q ∉ C ．0R x C Q ∀∉，30x Q ∈D ．0R x C Q ∀∈，30x Q ∉（2）若命题p ：x R ∀∈，2210x +>，则（） A ．p ⌝：x R ∃∈，2210x +≤B ．p ⌝：x R ∀∈，2210x +≤C ．p ⌝：x R ∃∈，2210x +<D ．p ⌝：x R ∀∈，2210x +<考点3 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数【典例3】设p ：关于x 的不等式1xa >的解集是{}|0x x <；q ：函数y =的定义域为R ．若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则实数a 的取值范围是．【变式3】已知0a >，设命题p ：函数xy a =在R 上单调递增；命题q ：不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．1．如果命题“()p q ⌝∨”为假命题，则（）A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题 2．若p 是真命题，q 是假命题，则（）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是假命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题 3．下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<” D ．命题“若x y =，则cos cos x y =” 的逆否命题为真命题课后拓展案组全员必做题1．已知命题p ：x R ∃∈，使tan 1x =，命题q ：x R ∀∈，20x >．下面结论正确的是（） A ．命题“p q ∧”是真命题B ．命题“p q ∧⌝”是假命题C ．命题“p q ⌝∨”是真命题D ．命题“p q ⌝∧⌝”是假命题2．下列选项叙述错误的是A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B.若命题p ：2,10x R x x ∀∈++≠，则p ⌝：2,10x R x x ∃∈++=C.若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件3．（2013青岛模拟）关于命题p ：A φφ=I Φ=Φ⋂A ，命题q ：A A =Φ⋂，下列说法正确的是（）A ．()p q ⌝∨为假B ．()()p q ⌝∧⌝为真C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真 4．下列命题中的真命题是（） A ．x R ∃∈，使得3sin cos 2x x +=B ．()0,x ∀∈+∞，1xe x >+C ．(),0x ∃∈-∞，23xx<D ．()0,x π∀∈，sin cos x x >5．（2012年福建理）下列命题中，真命题是（） A ．0,00≤∈∃x eR xB ．22,x R x x >∈∀ C ．0a b +=的充要条件是1ab=-D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件B 组提高选做题1．命题“存在实数x ，使x > 1”的否定是（） A ．对任意实数x , 都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x , 都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤12．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 3．已知命题p ：“[]1,2x ∀∈，21ln 02x x a --≥”与命题q ：“0x R ∃∈， 2002860x ax a +--=”都是真命题，则实数a 的取值范围是．参考答案预习自测1.D2.A典型例题【典例1】B【变式1】C 【典例2】C 【变式2】（1）D （2）A 【典例3】[)1(0,)1,2+∞U【变式3】解：由题意知：:1p a >．由210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，且0a > ∴240a a ∆=-<，解得04a <<． ∴:04q a <<．∵p 且q 为假，p 或q 为真， ∴p 、q 一真一假． ①p 假q 真时，01a <≤； ②p 真q 假时，4a ≥．由①②知，a 的取值范围为(][)0,14,+∞U ．1.C2.D3.D组全员必做题1.D2.C3.C4.B5.D组提高选做题1.C2.B3. (]1,42,2⎡⎤-∞--⎢⎥⎣⎦U。

全称量词存在量词逻辑联结词复习教案

全称量词、存在量词、逻辑联结词复习教案第一章：全称量词的概念与用法1.1 引入全称量词的概念，解释“每一个”、“全部”等含义。

1.2 举例说明全称量词在句子中的用法，如“每个学生都要参加考试”。

（1）有些学生喜欢打篮球。

（2）这本书有些内容很有趣。

第二章：存在量词的概念与用法2.1 引入存在量词的概念，解释“至少有一个”、“存在”等含义。

2.2 举例说明存在量词在句子中的用法，如“这本书里至少有一个故事是关于冒险的”。

（1）没有人喜欢吃苦瓜。

（2）所有学生都参加了考试。

第三章：逻辑联结词的概念与用法3.1 引入逻辑联结词的概念，解释“而且”、“或者”、“而且不是”等含义。

3.2 举例说明逻辑联结词在句子中的用法，如“他既是学生又是运动员”。

（1）她是医生，而且很聪明。

（2）他不是学生，或者不是运动员。

第四章：全称量词、存在量词、逻辑联结词的综合运用4.1 举例说明全称量词、存在量词、逻辑联结词在句子中的综合运用，如“每个学生都参加了考试，而且至少有一个学生得了满分”。

（1）有些学生喜欢打篮球，但是没有人喜欢踢足球。

（2）这本书里有些内容很有趣，而且至少有一个故事是关于冒险的。

第五章：复习与测试5.1 复习全称量词、存在量词、逻辑联结词的概念与用法。

（1）每个学生都参加了考试，而且有些学生得了满分。

（2）这本书里有些内容很有趣，但是不是所有故事都是关于冒险的。

（3）他既是学生，也是运动员，或者两者都是。

第六章：特殊全称量词的用法6.1 引入特殊全称量词的概念，如“任何”、“每一个”等。

6.2 举例说明特殊全称量词在句子中的用法，如“任何一个人都有权利发表自己的意见”。

（1）每个学生都要遵守学校的规章制度。

（2）有些动物是非常聪明的。

第七章：存在量词的扩展用法7.1 介绍存在量词的扩展用法，如“存在至少一个”、“存在唯一一个”等。

7.2 举例说明存在量词扩展用法在句子中的表达，如“存在至少一个解决方案可以解决这个问题”。

2022年教学教材《2021高中一轮数学学案简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》优秀教案

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【课程要求】1．了解逻辑联结词“或〞“且〞“非〞的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否认．【根底检测】错误!1．判断以下结论是否正确请在括号中打“√〞或“×〞1假设命题∈R，4－2＋1＋m＝是假命题，那么实数m的取值范围是____________．[解析] 假设＝0有实数解，由于m＝－4－2·2＝－2－12＋1≤1，∴m≤1[答案] －∞，1]【知识要点】1．逻辑联结词命题中的__“或〞“且〞“非〞__叫逻辑联结词．2．命题＋n＝＝a，n，＋n＝＝a＋a n＝a＋n＝0＞1，使得m0>e成立〞的否认为A．对任意∈R，都存在m0>1，使得m0≤e成立B．对任意∈R，不存在m0>1，使得m0>e成立C．存在0∈R，对任意m>1，都有m0≤e0D．存在0∈R，对任意m>1，都有m0>e0[解析] ∵全称命题的否认是特称命题，∴命题“对任意∈R，都存在m0>1，使得m0>e成立〞的否认是：“存在0∈R，对任意m>1，都有m0≤e0成立〞．[答案] C2以下四个命题：，假设对∀1∈[0，3]，∃2∈[1，2]，使得f1≥g2，那么实数m的取值范围是____________．[解析] 当∈[0，3]时，f min＝f0＝0，当∈[1，2]时，g min＝g2＝错误!－m，由f min≥g min，得0≥错误!－m，所以m≥错误![答案] 错误!2a>0，且a≠1，命题成立，那么实数m的取值范围是________________；2假设∀1∈[2，＋∞，∃2∈[2, ＋∞，使得f1＝g2，那么实数a的取值范围是____________________．[解析] 1因为f＝错误!＝＋错误!＝－1＋错误!＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝2时等号成立，所以假设∃0∈[2，＋∞，使f0＝m成立，那么实数m的取值范围是[3，＋∞．2因为当≥2时，f≥3，g≥a2，假设∀1∈[2，＋∞，∃2∈[2，＋∞，使得f1＝g2，那么错误!解得a∈1，错误!]．[答案] 1[3，＋∞；21，错误!]2021·全国卷Ⅲ文记不等式组错误!：∃，∈D，2＋≥9；命题q：∀，∈D，2＋≤12下面给出了四个命题①，n为直线，α为平面，假设m∥n，n⊂α，那么m∥α；命题q：假设a>b，那么ac>bc那么以下命题为假命题的是A．，n为直线，α为平面，假设m∥n，n⊂α，那么m∥α也为假命题，因此只有“in＝4，当∈[2，3]时，g min ＝22＋a＝4＋a，依题意知f min≥g min，即4≥a＋4，∴a≤0[答案] －∞，0]4．2＋1，q：函数f＝4＋2＋1＋m－1存在零点，假设“的取值范围是______________．[解析] 由2错误!，又∈错误!时，错误!错误!＝错误!，故当>错误!；函数f＝4＋2＋1＋m－1＝2＋12＋m－2，令f＝0，得2＝错误!－1，假设f存在零点，那么错误!－1>0，解得m<1，故当q为真时，m<1假设“的取值范围是错误![答案] 错误!。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题.( ×)(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √)(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题.( √)(4)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( ×)(5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.( √)(6)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反.( √)1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A.p 为真 B.綈q 为假 C.p 且q 为假 D.p 或q 为真答案 C解析函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p 且q 为假.故选C.2.命题p ：任意x ∈R ，sin x <1；命题q ：存在x ∈R ，cos x ≤－1，则下列结论是真命题的是( ) A.p 且q B.綈p 且q C.p 或綈q D.綈p 且綈q答案 B解析 ∵p 是假命题，q 是真命题， ∴綈p 且q 是真命题.3.(2015·浙江)命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A.任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )＞n B.任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )＞n C.存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)＞n 0 D.存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)＞n 0 答案 D解析写全称命题的否定时，要把量词，任意改为存在，并且否定结论，注意把“且”改为“或”.故选D.4.(2015·山东)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.5.(教材改编)给出下列命题： ①任意x ∈N ，x 3>x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③存在x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直.则以上命题的否定中，真命题的序号为________. 答案 ①②③题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p 1：y ＝ln[(1－x )·(1＋x )]为偶函数；命题p 2：y ＝ln 1－x1＋x 为奇函数，则下列命题是假命题的是( ) A.p 1且p 2 B.p 1或(綈p 2) C.p 1或p 2D.p 1且(綈p 2)(2)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p 且q ；②p 或q ；③p 且(綈q )；④(綈p )或q 中，真命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③D.②④答案 (1)D (2)C解析 (1)对于命题p 1：令f (x )＝y ＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )>0得－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴命题p 1为真命题；对于命题p 2：令g (x )＝y ＝ln 1－x 1＋x ，易知g (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，g (－x )＝ln 1＋x1－x＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，命题p 2为真命题，故p 1或(綈p 2)为假命题.(2)当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题. 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题.由真值表知：①p 且q 为假命题；②p 或q 为真命题；③p 且(綈q )为真命题；④(綈p )或q 为假命题.故选C.思维升华 “p 或q ”“p 且q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”等形式命题的真假.(1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.(綈p )且(綈q ) C.(綈p )且qD.p 且(綈q )(2)若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－b a}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________. 答案 (1)D (2)綈p 、綈q解析 (1)p 为真命题，q 为假命题，故綈p 为假命题，綈q 为真命题.从而p 且q 为假，(綈p )且(綈q )为假，(綈p )且q 为假，p 且(綈q )为真，故选D.(2)依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假，“ 綈p ”为真、“綈q ”为真.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)下列命题中，为真命题的是( ) A.任意x ∈R ，x 2>0 B.任意x ∈R ，－1<sin x <1 C.存在x 0∈R,2x 0<0 D.存在x 0∈R ，tan x 0＝2(2)下列四个命题p 1：存在x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；p 2：存在x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：任意x ∈(0，＋∞)，121()log 2xx >；p 4：任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，131()log 2xx >.其中真命题是( ) A.p 1，p 3 B.p 1，p 4 C.p 2，p 3 D.p 2，p 4答案 (1)D (2)D解析 (1)任意x ∈R ，x 2≥0，故A 错；任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；任意x ∈R,2x>0，故C 错，故选D.(2)根据幂函数的性质，对任意x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，故命题p 1是假命题；由于1123log log x x -＝lg x－lg 2－lg x －lg 3＝lg x －lg 2lg 3，故对任意x ∈(0,1)，1123log log x x >，所以存在x 0∈(0,1)，101023log log x x >，命题p 2是真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，12log 1x >，故121()log 2x x >不成立，命题p 3是假命题；任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，13log 1x >，故131()log 2x x >，命题p 4是真命题.故p 2，p 4为真命题.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( ) A.对任意实数x ，都有x >1 B.不存在实数x ，使x ≤1 C.对任意实数x ，都有x ≤1 D.存在实数x ，使x ≤1(2)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为：______. 答案 (1)C (2)存在x 0∈A,2x 0∉B解析 (1)利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”.故选C.(2)命题p ：任意x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题. ∴綈p ：存在x 0∈A,2x 0∉B .思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词. ②对原命题的结论进行否定.(1)下列命题中的真命题是( )A.存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B.任意x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋1 C.存在x ∈(－∞，0)，2x <3xD.任意x ∈(0，π)，sin x >cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p ：存在n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为( ) A.任意n ∈N ，n 2>2nB.存在n ∈N ，n 2≤2nC.任意n ∈N ，n 2≤2nD.存在n ∈N ，n 2＝2n答案 (1)B (2)C解析 (1)因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2<32，故A 错误；当x <0时，y ＝2x 的图像在y ＝3x的图像上方，故C 错误；因为x ∈(0，π4)时有sin x <cos x ，故D 错误.所以选B.(2)将命题p 的量词“存在”改为“任意”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”.题型三由命题的真假求参数的取值范围例4 已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2答案 A解析依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2. 因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.引申探究1.本例条件不变，若p 且q 为真，则实数m 的取值范围为________. 答案 (－2,0)解析依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.2.本例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为________________. 答案 (－∞，－2]∪[0,2)解析若p 且q 为假，p 或q 为真，则p 、q 一真一假.当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2， ∴m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，∴0≤m <2.∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2).3.本例中的条件q 变为：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1<0，其他不变，则实数m 的取值范围为________. 答案 [0,2]解析依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2得0≤m ≤2，∴m 的取值范围是[0,2].思维升华根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.(1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |a ≤－2或a ＝1} B.{a |a ≥1}C.{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D.{a |－2≤a ≤1}(2)已知命题“存在x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－1,3)C.(－3，＋∞)D.(－3,1)答案 (1)A (2)B解析 (1)∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题， ∴p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1.(2)依题意可知“任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3.故选B.1.常用逻辑用语及其应用一、命题的真假判断典例已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么( ) A.“綈p ”是假命题 B.q 是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，所以命题q为假命题.综上可知：綈p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.答案 C温馨提醒判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断.二、求参数的取值范围典例已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]温馨提醒含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.三、利用逻辑推理解决实际问题典例(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.答案(1)A(2)一温馨提醒在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.[失误与防范]1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真.2.两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.A组专项基础训练(时间：30分钟)1.已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A.綈p或qB.p且qC.綈p且綈qD.綈p或綈q答案 D解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p或綈q为真命题.2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由“綈p为真”可得p为假，故p且q为假；反之不成立.3.下列命题中的假命题是( )A.存在x∈R，sin x＝52B.存在x∈R，log2x＝1C.任意x ∈R ，(12)x>0D.任意x ∈R ，x 2≥0答案 A解析因为任意x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，存在x ＝2，log 2x ＝1；对于C ，根据指数函数图像可知，任意x ∈R ，(12)x >0；对于D ，根据二次函数图像可知，任意x ∈R ，x 2≥0.4.下列命题中的假命题是( ) A.任意x ∈R,2x －1>0B.任意x ∈N ＋，(x －1)2>0 C.存在x 0∈R ，lg x 0<1 D.存在x 0∈R ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5 答案 B解析 A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；B 项，∵x ∈N ＋，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；C 项，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；D 项，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴存在x 0∈R ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5.5.已知命题p ：若a >1，则a x>log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N ＋).则下面选项中真命题是( ) A.(綈p )且(綈q ) B.(綈p )或(綈q ) C.p 或(綈q ) D.p 且q答案 B解析当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x<log a x ，故p 为假命题. 命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题. 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p 且q 为假命题，p 或(綈q )为假命题，(綈p )且(綈q )为假命题，(綈p )或(綈q )为真命题. 6.已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,3)B.(2,3)C.[－1,3)D.(－1,3]答案 A解析原命题的否定为任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.7.命题p ：存在x 0>0，x 0＋1x 0＝2，则綈p 为( )A.任意x >0，x ＋1x ＝2B.任意x >0，x ＋1x ≠2C.任意x >0，x ＋1x≥2 D.存在x >0，x ＋1x≠2答案 B解析 “存在”的否定为“任意”，“＝”的否定为“≠”.故选B.8.已知命题p ：存在m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若“p 且q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2,2] 答案 A解析若“p 且q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个是假命题，若命题p 为真命题，则m ≤－1，若q 为真命题，则Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2，若命题p 和命题q 都是真命题，则－2<m ≤－1，∴若“p 且q ”为假命题，则m ≤－2或m >－1，故选A.9.命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________. 答案任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0解析否定为全称命题：“任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0”.10.若命题“存在x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为命题“存在x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.11.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是________.答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3，所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 12.下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p 且(綈q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.其中正确结论的序号为________. 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确，所以正确结论的序号为①③.B 组专项能力提升 (时间：15分钟)13.已知命题p ：存在x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：任意x ∈R ，x 2>0，则( ) A.p 或q 是假命题 B.p 且q 是真命题 C.p 且(綈q )是真命题 D.p 或(綈q )是假命题答案 C解析 ∵x ＝10时，x －2＝8，lg 10＝1，x －2>lg x 成立，∴命题p 为真命题，又x 2≥0，命题q 为假命题， ∴p 且(綈q )是真命题.14.四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x ∈Q ，x 2＝2；③存在x ∈R ，x 2＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4答案 A解析 ∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题.当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题.对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题. 4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 15.下列结论正确的是( )A.若p ：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0 B.若p 或q 为真命题，则p 且q 也为真命题C.“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的充分不必要条件D.命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题为真命题答案 D解析 ∵x 2＋x ＋1<0的否定是x 2＋x ＋1≥0，∴A 错；若p 或q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，∴B 错；f (x )为奇函数，但f (0)不一定有意义，∴C 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的否命题为“若x 2－3x －2≠0，则x ≠1”，是真命题，D 对. 16.已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________. 答案 (－∞，1]解析若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.17.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围是________________________. 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，所以命题p 为真时，m <－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，得－2<m <3，所以命题q 为真时，－2<m <3.由p 或q 为真，p 且q 为假，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m <3，所以所求实数m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m <3. 18.有下列命题：①在函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y ＝x ＋3x －1的图像关于点(－1,1)对称； ③已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x 0∈R ，使得sin x 0>1； ④在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 等于30°或150°. 其中的真命题是________. 答案 ③解析对于①，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ，相邻两个对称中心的距离为T 2＝π2，①错；对于②，函数y ＝x ＋3x －1的图像关于点(1,1)对称，②错；对于③，根据全称命题的否定，③很明显是对的；对于④，由3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，则A ＋B ＝π6或5π6，而3sinA ＋4cosB ＝6≤4＋3sin A ，故sin A ≥23>12，即A >π6，∴A ＋B ＝5π6，故C ＝π6，④错.。

高考数学一轮复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词教案

课题第三节简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词教学目标：知识与技能：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解全称量词与存在量词的含义，能正确地对一个含有量词的命题进行否定。

过程与方法：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解全称量词与存在量词的意义。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生理解全称量词与存在量词的含义，能正确地对一个含有量词的命题进行否定。

教学重点：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解全称量词与存在量词的含义教学难点：正确地对一个含有量词的命题进行否定教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识回顾：1.命题p,q,p q,p q, p的真假关系2.全称量词和存在量词3.含有一个量词的命题的否定二．例题讲解【典例1】(1)(2014·龙岩模拟)已知命题p:函数y=2-ax+1(a>0且a≠1)恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是( )(A)p∧q (B)﹁p∧﹁q (C)﹁p∧q (D)p∧﹁q(2)已知命题p：方程x2-mx+1=0有实数解，命题q：x2-2x+m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、﹁p真，则实数m的取值范围是________．【思路点拨】(1)首先判断命题p,q的真假,再根据含有逻辑联结词的命题真假判断方法逐项进行判断.(2)根据命题q∨(p∧q)真、 p真可得命题p,q的真假，然后根据方程和不等式的知识得出m的取值范围．【规范解答】(1)选B.当x=1时,y=2-a2≠2,所以命题p为假,故﹁p为真;由函数f(x-1)是偶函数知,函数y=f(x-1)的图象关于y轴对称,由函数图象的平移法则知,y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,所以命题q为假,故﹁q为真.所以﹁p∧﹁q为真.(2)由于 p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2-mx+1=0无实数解，此时m2-4<0，解得-2<m<2；当命题q真时，4-4m<0，解得m>1．所以所求的m的取值范围是1<m<2．答案：(1，2)【互动探究】题(2)中，命题p,q不变，若命题p∨q为真，则m的取值范围是________．【解析】命题p∨q为真时，p,q至少有一个为真．若命题p真q假，则m≤-2或m≥2，且m≤1，此时m≤-2；若命题p假q真，则-2<m<2，且m>1，此时1<m<2；若命题p,q均为真命题，则m≤-2或m≥2，且m>1，此时m≥2．故命题p∨q为真时，m的取值范围是(-∞,-2］∪(1,+∞)．答案：(-∞,-2］∪(1，+∞)【典例2】(1)(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )(A) x0∈R, ≤0(B) x∈R,2x>x2(C)a+b=0的充要条件是 =-1(D)a>1,b>1是ab>1的充分条件(2)下列命题为假命题的是( )(A) x∈R,x2+x+1>0 (B) x∈R,ex+x=1(C) a∈R,f(x)=x3+ax在(-∞,+∞)单调递增(D) a∈R,f(x)=x2+ax+a存在零点【思路点拨】(1)根据函数、不等式等知识逐项分析即可．(2)只要根据不等式、函数、方程的知识进行推证即可，注意全称量词和存在量词的区别．答案 D D【典例3】(1)(2012·辽宁高考)已知命题p: x1,x2∈R，(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0，则 p为( )(A) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0(B) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0(C) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0(D) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0(2)“ a∈R，函数是R上的奇函数”的否定是_________．【思路点拨】(1)已知命题是一个含全称量词的命题，其否定是一个含存在量词的命题．(2)已知命题是一个含存在量词的命题，其否定是含全称量词的命题，注意“奇函数”的否定为“不是奇函数”．答案（1）C（2） a∈R，函数不是R上的奇函数三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

高考数学一轮复习简单逻辑联结词,存在量词与全称量词教案

（3）∃x∈{x∈Z }，log（2）x＞2特称命题
五.当堂达标：
1．如果命题“¬(p∧q)”为真命题，则( D )
A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题
2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1＜0”的否定是( C )
A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋1＞0
自我完成
前提检测
自我达标
一、知识梳理：
1．逻辑联结词:或、且、非；
或——有一个成立就成立；且——同时成立才成立；
非——把结论否定了，也说是命题的否定；（借助集合的交、并、补来理解）。
2．简单命题、复合命题:复合命题的三种形式: 或、且、非
3．复合命题真假判断（真值表）可概括为:
或：同假为假，一真为真；且：同真为真，一假为假；
A． B． C ． D．
3.已知命题，，则（C）
Ａ．，Ｂ．，
Ｃ．，Ｄ．，
4.“非空集合不是的子集”的充要条件是( C )
A． B．
C．又 D．
5.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（D）
所有不能被2整除的数都是偶数；所有能被2整除的整数都不是偶数；
存在一个不能被2整除的数是偶数；存在一个能被2整除的数不是偶数。
所以p、q一个为真命题一个为假命题.
(4)如果 p为真命题q为假命题,那么0<c<1且 c<=1/2,所以0<c<=1/2
如果p为假命题q为真命题,那么c<=0或c>=1且c>1/2,所以c>=1
(5)综上所述，c的取值范围为0<c<=1/2或c>=1

高三数学大一轮复习简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教案理

城东蜊市阳光实验学校§简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2021高考会这样考1.考察逻辑联结词“或者者〞、“且〞、“非〞的含义，判断命题的真假或者者求参数的范围；2.考察全称量词和存在量词的意义，对含一个量词的命题进展否认．复习备考要这样做1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词〞框架内进展，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且〞、“或者者〞、“非〞叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个〞“一切〞“每一个〞“任给〞“所有的〞等．(2)常见的存在量词有“存在一个〞“至少有一个〞“有些〞“有一个〞“某个〞“有的〞等．(3)全称量词用符号“∀〞表示；存在量词用符号“∃〞表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否认(1)全称命题的否认是特称命题；特称命题的否认是全称命题．(2)p或者者q的否认：非p且非q；p且q的否认：非p或者者非q.[难点正本疑点清源]1．逻辑联结词“或者者〞的含义逻辑联结词中的“或者者〞的含义，与并集概念中的“或者者〞的含义一样．如“x∈A或者者x∈B〞，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或者者q真〞是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．2．命题的否认与否命题“否命题〞是对原命题“假设p，那么q〞的条件和结论分别加以否认而得到的命题，它既否认其条件，又否认其结论；“命题的否认〞即“非p〞，只是否认命题p的结论．命题的否认与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联络．3．含一个量词的命题的否认全称命题的否认是特称命题，特称命题的否认是全称命题．1．以下命题中，所有真命题的序号是________．①5>2且7>4；②3>4或者者4>3；③不是无理数．答案①②解析①5>2和7>4都真，故5>2且7>4也真．②3>4假，4>3真，故3>4或者者4>3真．③是无理数，故不是无理数为假命题．点评对含有“或者者〞、“且〞、“非〞的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题．2．命题p：∃x∈R，x2＋≤2，命题q是命题p的否认，那么命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．答案p、p∨q解析x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∨q真，p∧q假．3．假设命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，那么实数m的取值范围是________．答案[－4,0]解析“∃x∈R有x2－mx－m<0”是假命题，那么“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.4．(2021·)命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q〞的否认是() A．∃x0D∈/∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x D∈/QC．∀xD∈/∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3D∈/Q答案D解析“∃〞的否认是“∀〞，x3∈Q的否认是x3D∈/Q.命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q〞的否认是“∀x∈∁RQ，x3D∈/Q〞，故应选D.5．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyp3：∀x∈[0，π]，＝sinxp4：sinx＝cosy⇒x＋y＝其中的假命题是()A．p1，p4B．p2，p4 C．p1，p3D．p2，p3答案A解析p1为假命题；对于p2，令x＝y＝0，显然有sin(x－y)＝sinx－siny，即p2为真命题；对于p3，由sin2x＝，当x∈[0，π]时，sinx≥0，sinx＝.于是可判断p3为真命题；对于p4，当x＝时，有sinx ＝cosy＝－，这说明p4是假命题.题型一含有逻辑联结词的命题的真假例1命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，那么在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4思维启迪：先判断命题p1、p2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假．答案C解析命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．探究进步(1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且〞“或者者〞“非〞含义的理解．(2)解决该类问题的根本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．写出由以下各组命题构成的“p∨q〞、“p∧q〞、“綈p〞形式的复合命题，并判断真假：(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号一样；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．解(1)p∨q：1是素数或者者是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是素数．真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或者者互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号一样或者者绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号一样且绝对值相等．假命题．綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不一样．真命题．题型二含有一个量词的命题的否认例2写出以下命题的否认，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.思维启迪：否认量词，否认结论，写出命题的否认；判断命题的真假．解(1)綈p：∃x0∈R，x－x0＋<0，假命题．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．探究进步全称命题与特称命题的否认与命题的否认有一定的区别，否认全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否认结论．而一般命题的否认只需直接否认结论即可．(1)命题p：∀x∈R，sinx≤1，那么()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1(2)命题p：∃x∈R,2x＋x2≤1的否认綈p为___________________．答案(1)C(2)∀x∈R,2x＋x2>1题型三逻辑联结词与命题真假的应用例3p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.假设“p∨q〞为真命题，“p∧q〞为假命题，务实数m的取值范围．思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p，q的真假，然后判断“p∧q〞，“p∨q〞，“綈p〞的真假．解p为真命题⇔⇒m>2；q为真命题⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0⇒1<m<3.由“p∨q〞为真命题，“p∧q〞为假命题，知p与q一真一假．当p真，q假时，由⇒m≥3；当p假，q真时，由⇒1<m≤2.综上，知实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．探究进步含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的命题(一个或者者两个)的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．假设“p∧q〞为假，“p∨q〞为真，求a的取值范围．解∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a>1.不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，且a>0，∴a2－4a<0，解得0<a<4，∴q：0<a<4.∵“p∧q〞为假，“p∨q〞为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真，q假时，，得a≥4.②当p假，q真时，，得0<a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．借助逻辑联结词求解参数范围问题典例：(12分)c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，假设“p且q〞为假，“p或者者q〞为真，务实数c的取值范围．审题视角(1)p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；(3)根据“p且q〞为假、“p或者者q〞为真，确定p、q的真假．标准解答解方法一∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0<c<1.[2分]即p：0<c<1，∵c>0且c≠1，∴綈p：c>1.[3分]又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.即q：0<c≤，∵c>0且c≠1，∴綈q：c>且c≠1.[5分]又∵“p或者者q〞为真，“p且q〞为假，∴p真q假或者者p假q真．[6分]①当p真，q假时，{c|0<c<1}∩＝.[8分]②当p假，q真时，{c|c>1}∩＝∅.[10分]综上所述，实数c的取值范围是.[12分]方法二∵綈p是綈q的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，[2分]由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[4分]由p：≤2，解得－2≤x≤10，∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．[6分]∵p是q的充分而不必要条件，∴P Q，∴或者者即m≥9或者者m>9.∴m≥9.[12分]答题模板第一步：求命题p、q对应的参数的范围．第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围．第三步：根据条件构造新命题，如此题构造新命题“p且q〞或者者“p或者者q〞．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．第五步：反思回忆．查看关键点、易错点及解题标准．温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的根本运算．答题时，可依答题模板的格式进展，这样可使答题思路明晰，过程完好．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．要写一个命题的否认，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否认构造去写，并注意与否命题的区别；对于命题否认的真假，可以直接断定，也可以先断定原命题，再断定其否认．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假那么要证明全称命题为2．要把握命题的形成、互相转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假．3．全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集．失误与防范1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或者者q的否认：非p且非q；p且q的否认：非p或者者非q.3．全称命题的否认是特称命题；特称命题的否认是全称命题．4．简单逻辑联结词内容的考察注重根底、注重交汇，较多地考察简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．以下命题中的假命题是() A．∃x0∈R，lgx0＝0 B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案C解析对于A，当x0＝1时，lgx0＝0，正确；对于B，当x0＝时，tanx0＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．2．(2021·)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数〞的否认是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析通过否认原命题得出结论．原命题的否认是“任意一个无理数，它的平方不是有理数〞．3．(2021·)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．那么以下判断正确的选项是()A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．4．命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，假设命题“p且q〞是真命题，那么实数a的取值范围是()A．{a|a≤－2或者者a＝1} B．{a|a≥1}C．{a|a≤－2或者者1≤a≤2}D．{a|－2≤a≤1}答案A解析由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或者者a≥1，∵“p且q〞为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或者者a＝1.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．命题：“∀x∈R，ex≤x〞的否认是__________________．答案∃x∈R，ex>x6．假设命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a<x<b}，那么在命题“p∧q〞、“p∨q〞、“綈p〞、“綈q〞中，是真命题的有________．答案綈p、綈q解析依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q〞为假、“p∨q〞为假、“綈p〞为真、“綈q〞为真．7．命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，假设“綈q且p〞为真，那么x的取值范围是____________________．答案(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析因为“綈q且p〞为真，即q假p真，而q为真命题时，<0，即2<x<3，所以q假时有x≥3或者者x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3>0，解得x>1或者者x<－3，由得x≥3或者者1<x≤2或者者x<－3，所以x的取值范围是x≥3或者者1<x≤2或者者x<－3.三、解答题(一一共22分)8．(10分)写出以下命题的否认，并判断真假：(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：∃x0∈R，|x0|>0.解(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．9．(12分)c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．假设“p或者者q〞为真命题，“p且q〞为假命题，求c的取值范围．解由命题p为真知，0<c<1，由命题q为真知，2≤x＋≤，要使此式恒成立，需<2，即c>，假设“p或者者q〞为真命题，“p且q〞为假命题，那么p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0<c≤；当p假q真时，c的取值范围是c≥1.综上可知，c的取值范围是.B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．(2021·)命题“所有能被2整除的整数都是偶数〞的否认是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析由于全称命题的否认是特称命题，此题“所有能被2整除的整数都是偶数〞是全称命题，其否认为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数〞．2．(2021·)命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，那么綈p是() A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0答案C解析綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.3．设有两个命题，p：不等式＋>a的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数，假设这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是()A．1≤a<2B．2<a≤C．2≤a<D．1<a≤2答案A解析记A＝{a|不等式＋>a的解集为R}；B＝{a|f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数}．由于函数y＝＋的最小值为1，故A＝{a|a<1}．又因为函数f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数，故7－3a>1，即a<2，所以B＝{a|a<2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为[(∁RA)∩B]∪[(∁RB)∩A]，而(∁RA)∩B＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁RB)∩A＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁RA)∩B]∪[(∁RB)∩A]＝[1,2)，应选A.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，假设命题綈p是假命题，那么实数m的取值范围是__________．答案(－∞，1]解析假设綈p是假命题，那么p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.5．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．那么使“p∨q〞为真，“p∧q〞为假的实数m的取值范围是____________．答案(－∞，－2]∪[－1,3)解析设方程x2＋2mx＋1＝0的两个正根分别为x1，x2，那么由，得m<－1，∴p：m<－1.由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0知－2<m<3，∴q：－2<m<3.由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p和q一真一假，当p真q假时，得此时m≤－2；当p假q真时，得此时－1≤m<3，∴m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．6．以下结论：①假设命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.那么命题“p∧綈q〞是假命题；②直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，那么l1⊥l2的充要条件是＝－3；③命题“假设x2－3x＋2＝0，那么x＝1”的逆否命题：“假设x≠1，那么x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案①③解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.三、解答题7．(13分)命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，假设命题“p或者者q〞是假命题，求a的取值范围．解由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0,∴x＝或者者x＝－a，∴当命题p为真命题时≤1或者者|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或者者a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或者者a＝2.∴命题“p或者者q〞为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或者者q〞为假命题，∴a>2或者者a<－2.即a的取值范围为{a|a>2或者者a<－2}．。

高三数学第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学案文

pppqq吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习（知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学案文知识梳理：（阅读教材选修2-1第14页—第27页） 1、简单的逻辑联结词：常用的简单的逻辑联结词有，用符号来表法；其含义是：“且”是若干个简单命题都成立；“或”是若干个简单命题中至少有一个成立；“非”是对一个简单命题的否定。

（只否定结论） 2、由“或”，“且”，“非”联结的命题及真假“p 且q ”即，含义是p ，q 两个命题成立； “p 或q ”即，含义是p ，q 两个命题成立； “非p ”即，含义是对p 命题的。

由“或”，“且”，“非”联结的命题的真值表 3、量词（1）、短语“对所有的”或“对任意一个”，在陈述句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示，含有全称量词的命题叫做全称命题．．．．。

（2）、短语“存在一个”或“至少有一个”，在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑学中通常叫做存在量词，并用符号“”来表示，含有存在量词的命题叫做特称命．．．题．，或叫存在性命题。

（3）、全称命题p ：x ，p(x)：它的否定：， ();特称命题q ：，q()：它的否定：x ， (X)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。

二、题型探究探究一：由“或”，“且”，“非”联结的命题及真假例1：分别写出下列各组命题的构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断它们的真假（1）p：1不是质数 q：1不是合数（2）p：四条边都相等的四边形是正方形 p：四个角相等的四边形是正方形探究二：由“或”，“且”，“非”联结的命题的真假为背景，求解参数例2：已知命题p：关于方程实根；命题q：函数y=在[3，+是上增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围。

探究三：含有量词的命题的否定例3：[2014·安徽卷] 2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否．定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0[解析] ．C 易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”．例4：[2014·福建卷]5．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( ) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0 D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0[解析] 5．C “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.三、方法提升1、复合命题是简单命题与逻辑联结词构成，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断，对于“p或q”都假或为假，对于p且q都真且为真。

2020版高考数学一轮复习教案- 第1章第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p 的真假判断p q p∧q p∨q p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题形式结构对M 中的任意一个x，有p(x)成立存在M 中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) [常用结论]1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：(1)p∨q：有真则真．(2)p∧q：有假则假．(3)p与p：真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6 或5＞2”是假命题．()(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q 中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1D．∃x∈R，tan x＝2B[对于B，当x＝1 时，(x－1)2＝0，故B 项是假命题．]4．命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定为________．∀x∈R，x2－ax＋1≥0[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0][当a＝0 时，不等式显然成立．当a≠0 时，依题意知Error!解得－8≤a＜0.综上可知－8≤a≤0.]含有逻辑联结词的命题及真假判断1．在一次跳伞训练中，甲、乙两名学员各跳一次，设命题p：甲降落在指定范围．q：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为()A．( p)∨( q)B．p∨( q)C．( p)∧( q) D．p∧qA[ p：甲没有降落在指定范围，q：乙没有降落在指定范围．则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( p)∨( q)，故选A.]2．若命题“p∨q”是真命题，“p”为真命题，则()A．p 真，q 真B．p 假，q 真C．p 真，q 假D．p 假，q 假B[命题“p∨q”是真命题，则p 或q 至少有一个真命题，又“p”是真命题，则p 是假命题，从而q 一定是真命题，故选B.]3．(2019·泰安模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧( q)C．( p)∧q D．( p)∧( q)B[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p 为真命题，∴p 为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q 为假命题，∴q 为真命题．∴p∧q 为假命题，p∧q 为真命题，p∧q 为假命题，p∧q 为假命题．故选B.][规律方法]“p∧q”“p∨q”“p”等形式命题真假的判断步骤1确定命题的构成形式.2判断其中命题p，q 的真假.3依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，来确定“p∧q”“p∨q”“p”等形式命题的真假.全称命题、特称命题【例1】(1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1(2)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1＞0πC．∃x0∈N，sin x0＝12D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2(1)A(2)D[(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0 改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.(2)当x∈R时，x2≥0 且2x－1＞0，故A、B 是真命题．π当x0＝1 时，sin x0＝1，故C 是真命题．2π由sin x＋cos x＝2sin(x＋≤2，故D 是假命题．]4)[规律方法] 1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．全称命题、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x) 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M 中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．(1)命题：“∃x0＞0，使2x0(x0－a)＞1”，这个命题的否定是()A．∀x＞0，使2x(x－a)＞1 B．∀x＞0，使2x(x－a)≤1C．∀x≤0，使2x(x－a)≤1 D．∀x≤0，使2x(x－a)＞1(2)下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x2－x－1＞0B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC．∃x∈R，x2－x＋1＝0D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β(1)B(2)D[(1)命题的否定为∀x＞0，使2x(x－a)≤1，故选B.1 5 5(2)因为x2－x－1＝(x－2－≥－，所以A 是假命题．当α＝β＝0 时，有2)4 41 3 3sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x2－x＋1＝( 2＋≥，所以C 是x－2)4 4π假命题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] 2根据命题的真假求参数的取值范围1【例2】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则2实数a 的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1,3)C．(－3，＋∞) D．(－3,1)(2)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2 或m≥2 D．－2≤m≤21(1)B(2)A[(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为2真命题，1则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，2则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B.(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0 恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2 或m≥2.因此，由p，q均为假命题得Error!即m≥2，故选A.][规律方法]根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤1求出当命题p，q为真时所含参数的取值范围.2根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性.3根据命题p，q的真假情况，利用集合的运算并、交、补求出参数的取值范围.(1)已知命题p：∀x∈[1,2]，使得e x－a≥0.若p是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，e2] B．(－∞，e]C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)(2)已知命题p：∃x0∈R，x20－ax0＋4＝0；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4 在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)[－12，－4]∪[4，＋∞)[(1) p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤e x≤e2，由题意知a≤(e x)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.(2)若p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4 或a≥4.a若q是真命题，则－≤3，即a≥－12.4由p∧q是真命题知，命题p、q均是真命题．因此a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]。

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．角度二全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题．【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误；若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0；当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______．解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。

高三数学第一轮复习 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案 文

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教案)

高考数学总复习教案：简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

高考数学一轮复习 第1篇 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文 新人教版

高考数学一轮复习 第一章 集合与简易逻辑 第3讲 简单逻辑联结词、全称量词与存在量词教案 理(含解析

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