【金版教程】2014届高考数学总复习 第1讲 坐标系与参数方程课件 理 新人教A版选修4-4

∴点M的极坐标为( 2，34π)．
4. 在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线 ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求|PQ|的最大值．
解：∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ. ∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.
又∵ρ＝12cos(θ－π6)， ∴ρ2＝12ρ(cosθcos6π＋sinθsin6π)． ∴x2＋y2－6 3x－6y＝0. ∴(x－3 3)2＋(y－3)2＝36. ∴|PQ|max＝6＋6＋ 3 32＋32＝18.
2．想一想：提示：解决极点或极坐标方程的策略及运用 极坐标或极坐标方程与直角坐标或直角坐标方程的互化公式， 把极点或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程．
判一判：①√ ②× 填一填：(1，2π)
核心要点研究
例1 [2012·辽宁高考]在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2 ＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
课前自主导学
1. 极坐标系 (1) 极 坐 标 的 建 立 ： 在 平 面 内 取 一 个 定 点 O ， 叫 做 ________，自极点O引一条射线Ox，叫做________，再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 ________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记 作M(ρ，θ)．
经典演练提能
1. 点P的直角坐标为(1，－ 3)，则点P的极坐标为( )
A. (2，π3)
B. (2，43π)
C. (2，－π3)
D. (2，－43π)
答案：C
2. [2012·江西高考]曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝ 0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C的极坐标方程为________．
1 cosθ.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
x＝1， y＝tanθ，
－3π≤θ≤π3.
直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y ＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方 程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体 代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是 常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同 解，因此应注意对变形过程的检验．
圆心在(r,0)，半径为|r|的圆 圆心在(r，2π)，半径为|r|的圆
极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)
ρcosθ＝a
ρsinθ＝b
ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) ρ＝r
ρ＝2rcosθ
ρ＝2rsinθ
解决极点或极坐标方程的策略是什么？
判断下列命题是否正确．(请在括号中填写“√”或
“×”)
2个必记要点
1. 极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：
x＝ρcosθ y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2 ⇒点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的
图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；
若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝2π所在的直线对称；若
①过极点的射线l上任意一点的极角都是π3，则射线l的极坐
标方程为θ＝3π(ρ≥0)．
()
②过极点，倾斜角为
π 3
的直线的极坐标方程为θ＝
π 3
(ρ≥0)．
()
极坐标方程ρ＝2sinθ(ρ≥0,0≤θ<π)表示的曲线的中心的极坐 标________．
1. 极点 极轴 极径 ρcosθ ρsinθ x2＋y2 yx(x≠0) 想一想：提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关 系，而与点的极坐标不是一一对应关系，如果规定 ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一 一对应了． 判一判：①× ②× ③√
[解] (1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ. 解ρρ＝ ＝24， cosθ， 得ρ＝2，θ＝±π3. 故圆C1与圆C2交点的坐标为2，π3，2，－3π. 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)解法一：由
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
选修4－4 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画 点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
2. 能在极坐标系中求简单曲线(如过极点的直线、过极点的 圆或圆心在极点的圆)的极坐标方程.
1条重要思路 解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化 为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标．
答案：ρ＝2cosθ
3. [2013·东莞模拟]在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝ 0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．
答案：( 2，34π)
解析：直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0化为直角坐标方程为x－y ＋2＝0，曲线C：ρ＝2化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，如图， 直线被圆截得弦AB，中点为M，则|OA|＝2，|OB|＝2，从而 |OM|＝ 2，∠MOx＝34π，
[变式探究] [2012·上海高考]如图，在极坐标系中，过点
M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝
π 6
.若将l的极坐标方程写成ρ＝
f(θ)的形式，则f(θ)＝________.
答案：sinπ61－θ
解析：如图所示，根据正弦定理，有 sinρ56π＝sinπ－2θ－56π，∴ρ＝sinπ61－θ.
得圆C1与C2交点的直角坐标分
别为(1， 3)，(1，－ 3)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为xy＝＝1t，， － 3≤t≤ 3.
(或参数方程写成xy＝ ＝1y，， － 3≤y≤ 3)
解法二：将x＝1代入
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
得ρcosθ＝1，从而ρ＝
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极 点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为 (ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________，由 此得ρ2＝________，tanθ＝________.
直线l：ρsin(θ－π4)＝ 22， 即ρsinθ－ρcosθ＝1， 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由xx2－＋yy＋2－1＝x－0，y＝0， 得xy＝＝01，. 故直线l与圆O公共点的极坐标为(1，2π)．
[解] 在ρsin(θ－π3)＝－ 23中，令θ＝0，得ρ＝1. 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P( 2，4π)，
所以圆C的半径PC＝

22＋12－2×1×
π 2cos4
＝1，于
是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
奇思妙想：本例条件不变，试求θ＝
π 3
与圆C相交所截得的
平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么？与点的极 坐标呢？
判断下列命题是否正确．(请在括号中填写“√”或
“×”)
①极坐标系中点M的极坐标是唯一的
()
②极坐标为(2，23π)的点在第一象限
()
③极坐标系中，点(3，34π)与点(3，－54π)相同 ( )
2．常用简单曲线的极坐标方程
曲线形状(特征) 过极点且与极轴成α角的直线 过(a,0)且垂直于极轴的直线 过(b，2π)且平行于极轴的直线 过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线 圆心在极点，半径为|r|的圆
弦长．
解：直线y＝ 3x，圆C为(x－1)2＋y2＝1，
∴圆心到直线的距离d＝
3 2.
∴弦长＝2 1－ 232＝1.
求曲线的极坐标方程的步骤： (1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点； (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方 程．
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写
出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐 标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
[审题视点] (1)将直角坐标方程化为极坐标方程，再求交 点；(2)将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点坐 标，再写出公共弦的参数方程；或者先定义x＝1，再写出公共 弦的参数方程．
[变式探究] (1)[2012·陕西高考]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝ 2cosθ相交的弦长为________．
(2)[2012·安徽高考]在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直 线θ＝6π(ρ∈R)的距离是________．
答案：(1) 3 (2) 3
解析：(1)直线2ρcosθ＝1，即为2x＝1，且ρ＝2cosθ，即为 (x－1)2＋y2＝1，如图可得弦长为 3.
ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．
3点必须注意 1. 极坐标与直角坐标互化的前提条件：(1)极点与原点重 合；(2)极轴与 x 轴正方向重合；(3)取相同的长度单位. 2. 若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两 种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题． 3. 由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如 果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ， θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
(2)由极坐标下圆的方程ρ＝4sinθ，可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2 ＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，2为半径的