课时作业13-2

第2讲 矩阵与变换
1．(2009·江苏卷)求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
32
21的逆矩阵． 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x z y w ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32
21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x z y w ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤10
01， 即⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
00
1. 故⎩⎨⎧
3x ＋2z ＝1，
2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，
解得⎩⎨⎧
x ＝－1，
y ＝2，z ＝2，
w ＝－3.
从而A 的逆矩阵为A －1
＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤－1
2
2－3. 2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2
＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2
01对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．
解 设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)则有 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20
01 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0，即⎩⎨⎧
x ′0
＝2x 0y ′0＝y 0∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.
又∵点P 在椭圆上，故4x 20＋y 2
0＝1，从而x ′20＋y ′20＝1.
∴曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1. 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
b
a 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤c 0
2d ，且MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
2
－2
00. (1)求实数a 、b 、c 、d 的值；
(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．
解 (1)由题设得：⎩⎨⎧
c ＋0＝2，
2＋ad ＝0，
bc ＋0＝－2，
2b ＋d ＝0.
解得⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝－1，
c ＝2，
d ＝2.
(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
－1
－11 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －11 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22， 得点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)． 从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x . 4．(2014·苏北四市调研)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤
cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵． 解 由题意，知M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤
－22， ∴⎩⎨⎧ cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎨⎧
cos α＝0，sin α＝1.∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤01 －10. 由M －1M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
01，解得M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
0－1 10. 5．(2015·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
32，求矩
阵A .
解 由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1，得⎩⎨⎧
a －
b ＝－1，
c －
d ＝1.
同理可得⎩⎨⎧
3a ＋2b ＝12，
3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.
因此矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
32
1. 6．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝
，求矩阵A 的特征
值．
7．(2014·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 1 1－1 1 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点， 它在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
1－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1 1－1
1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧
x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x －y
2，y 0＝x ＋y
2.
因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y
2＝1，即x 2－y 2＝4.
所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.
8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a
b c
d ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 00 1， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
00
1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
00 1， 所以⎩⎨⎧
－c ＝1，
－d ＝0，
2a ＝0，
2b ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
b ＝12，
c ＝－1，
d ＝0.
故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤0
12－1 0. 9．已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 1
a －1
b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.
(1)求矩阵A ；
(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
74，计算A 5β的值．
解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤21， 得⎩⎨⎧
2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝4，
∴A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2
－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11.由β＝m α1＋n α2，得
⎩
⎨⎧
2m ＋n ＝7，
m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2
＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤435339.
10．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，并且矩
阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；
(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c
d ，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
88，
故⎩⎨⎧
a ＋
b ＝8，
c ＋
d ＝8.因⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－2 4， 故⎩
⎨⎧
－a ＋2b ＝－2，
－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤6 24
4. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16， 故其另一个特征值为λ＝2.
设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，
则Me 2＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤6
24
4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.。