备战新课标高考理科数学2020：“3+1”保分大题强化练(八)
强化卷08(3月)-冲刺2020高考数学之必拿分题目强化卷(山东专版)(解析版)
3月一模精选（第08卷）1．设集合x A {y |y 2,x R}==∈，B {x |y x R}==∈，则A B (⋂= ) A ．{}1 B ．()0,∞+ C ．()0,1 D ．(]0,1【答案】D【解析】因为集合{}()|2,0,xA y y x R ==∈=+∞，化简{}(]|1B x y x R ，==∈=−∞， 所以(]0,1A B ⋂=，故选D ．2．若复数z 的共轭复数满足()112i z i −=−+，则z =（ ）A ．2B ．32C D ．12【答案】C【解析】由题意()112i z i −=−+，所以()()()()1211231112i i i iz i i i −++−+−+===−−+，所以2z z ===，故选：C3. ()51311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A ．14B ．-14C ．16D ．-16【解析】()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+−+−+− ⎪⎛⎝⎫− ⎪⎝⎭⎭+，故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯−=， 故选：A ．4. 已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=−⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．4−B ．4C ．13−D ．13【答案】C 【解析】因为cos()2cos()2παπα+=−，所以sin 2cos tan 2ααα−=−⇒=，所以1tan 1tan()41tan 3πααα−−==−+，故选C.5. 若双曲线C ：221x y m−=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m=>，320x y +=可化为32y x =−，32=，解得49m =.故选：A 6 ．已知m ，n 是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α B ．若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，则n α⊥C ．若m αβ=，//n α，则//m n D ．若m α⊥，βn//，//αβ，则m n ⊥【解析】若m n ⊥，m α⊥，则n α或n ⊂α，故A 不正确，； 若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，若n β⊂，则n α⊥，故B 不正确，若m αβ=，//n α，m 与n 的关系是异面或平行，故C 不正确，若m α⊥，//αβ，m β⊥，又因为βn//，所以m n ⊥，故D 正确. 故选：D7. 如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 【答案】D【解析】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===101044cos 2105DAE +−∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+−2133AB AC =+，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D8. （多选）甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B ．甲的不同的选法种数为15C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949【答案】BD【解析】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误； 由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2615C =种选法，故B 正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是2163=，故C 错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749⨯=，故D 正确；故选BD .9. （多选）已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意的,x y R ∈恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且()00f ≠，若存在正数t ，使得()0f t =.给出下列四个结论: ①()01f =；②2124t f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()f x 为偶函数；④()f x 为周期函数.其中正确的结论的编号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ACD【解析】取0x y ==，则()()()20020f f f +=()00f ≠ ()01f ∴=，①正确；取2t x y ==，则()()2022t f t f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2122t f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，②错误； 取0x =，则()()()()()202f y f y f f y f y +−== ()()f y f y ∴−=()f x ∴为偶函数，③正确；取0x x t =+，y t =，则()()()()000220f x t f x f x t f t ++=+=()()002f x t f x ∴+=− ()()()00042f x t f x t f x ∴+=−+=()f x ∴为周期函数，④正确.故选：ACD10. 已知向量(),2a x =，()2,1b =，且//a b ，则a =______【答案】【解析】由//a b 得，1220x ⋅−⨯=，即4x = ，所以2||42a =+==故答案为：11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫− ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=______.【答案】12π【解析】由于函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫− ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2sin 0858222k πωϕππωϕπππω⎧⎛⎫−+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+=+⎨⎪⎪>⎪⎩12858201k k πωϕπππωϕπω⎧−+=⎪⎪⎪⇒+=+⎨⎪<<⎪⎪⎩，第二个式子减去第一个式子并化简得()214233k k ω=−+，由于01ω<<，所以取12k k =，23ω=，代回第一个式子得1128312k k ππϕππ=+⨯=+，由于||2ϕπ<，故取10k =，12πϕ=. 故答案为：12π12. 已知函数4()cos f x x =−42sin cos sin x x x − （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.【解析】（1）()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=−−=−+−22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=−−=−=− ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k Z πππππ−+≤−≤−+∈， 得()588k x k k Z ππππ−+≤≤−+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k Z ππππ⎡⎤−+−+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴−≤−≤，当242x ππ−=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值. 因此，函数()y f x =的最小值为x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 13. 设公比大于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，3272S a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且113b =，()112n n b n n b n −=>+. （1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设()()111n n n c S T λ−=+−−，定义00T =，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由3272S a =，得()2712q q q ++=，即22520q q −+=，∴2q =或12q =（舍）， 所以12n n a −=.又()()1221123112212214321n n n n n n n b b b b n n n b b b b b b n n n n n −−−−−−−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++， ∴()()221n b n n =++.（2）由（1）得21nn S =−，212n T n =−+，∴1211n T n −=−+， 从而221nn c n λ⎛⎫=−⎪+⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列， 则142221nn n c c n n λ+⎛⎫−=−−⎪++⎝⎭对*n N ∈都成立，即42420max 2121n n n n λλ⎛⎫−−⇒− ⎪++++⎝⎭，()()4222221123n n n n n n n−==++++++，可得当1n =或2n =时，max421213n n ⎛⎫−=⎪++⎝⎭，所以13λ>. 14. 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，11AA =，3AB k =，456(0)AD k BC k DC k k ===>，，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值. 【解析】（1）取CD 的中点E ，连结BE.∵AB ∥DE ，AB =DE =3k ，∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE =AD =4k.在△BCE 中，∵BE =4k ，CE =3k ，BC =5k ，∴BE 2＋CE 2=BC 2， ∴∠BEC =90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD. ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD =A ，ADD 1A 1. 6分（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()11400(060)431401A k C k B k k A k ，，，，，，，，，，，， 所以AC (460)k k =−，，，1AB ()031k =，，，1AA ()001=，，． 设平面AB 1C 的法向量n =(x ，y ，z)，则由10{0AC n AB n ⋅=⋅=，，得460{30kx ky ky z −+=+= 取y =2，得(326)(0)n k k =−>，，. 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ=|cos 〈1AA ，n 〉|=11AA n AA n⋅⋅=67=， 解得k =1，故所求k 的值为1.。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020新课标高考理科数学：“3+1”保分大题强化练(四)
“3＋1”保分大题强化练(四)1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2(a cos B cos C ＋c cos B cos A)．(1)求B的大小；(2)若a＋c＝5，且S△ABC＝3，求边长b的值．解：(1)由已知条件及正弦定理得sin B＝2(sin A cos B·cos C＋sin C cos B cos A)＝2cos B(sin A cos C＋sin C cos A)＝2cos B sin(A＋C)，可得cos B＝12.又0<B<π，∴B＝π3.(2)由(1)及余弦定理得，b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.∵a＋c＝5，∴b2＝25－3ac，∵S△ABC ＝3，∴12ac sin B＝3，即ac＝4，∴b2＝13，∴b＝13.2．某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人．甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]进行分组，得到下列统计图．(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75 min的人数．(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75 min 的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65 min 的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：(1)由题意得，第一组工人20人，其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为6×10＝60.第二组工人40人，其中在75 min内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为30×10＝300.(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78(min)，第二组工人生产一件产品的平均时间为x乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，∴x甲＞x乙，∴乙车间工人的生产效率更高．(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min 的工人有6人，其中生产时间少于65 min 的有2人，从中抽取3人，则X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝C02C34C36＝15，P(X＝1)＝C12C24C36＝35，P(X＝2)＝C22C14C36＝15.所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.3．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时，求二面角A-PE-C的余弦值．解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB ∥CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝60°，BD ⊥BC ，∴BD ⊥AE .如图，翻折后可得OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，又OP ∩OB ＝O ，OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE ⊥PB .(2)当四棱锥P -ABCE 的体积最大时，平面P AE ⊥平面ABCE .又平面P AE ∩平面ABCE ＝AE ，PO ⊂平面P AE ，PO ⊥AE ，∴OP ⊥平面ABCE .以O 为坐标原点，OE 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得， P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，∴P E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－32，EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， 设平面PCE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ P E →·n 1＝0，E C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －32z ＝0，12x ＋32y ＝0，设x ＝3，则y ＝－1，z ＝1，∴n 1＝(3，－1,1)为平面PCE 的一个法向量，易知平面P AE 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－11×5＝－55. 由图知所求二面角A -PE -C 为钝角，∴二面角A -PE -C 的余弦值为－55.4．选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上． (1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－32t ，y ＝12t(t 为参数)，求四边形OBAC 的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6， 所以ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1. (2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2,0)， 则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.[选修4－5：不等式选讲]已知不等式|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}．(1)求实数a 的值；(2)求12－at ＋4＋t 的最大值．解：(1)|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}，即(1－a 2)x 2＋(2a ＋6)x ＋8≥0的解集为{x |x ≥－1}．当1－a 2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a 2＝0，即a ＝±1时，x ＝－1为方程(2a ＋6)x ＋8＝0的一解，经检验a ＝－1不符合题意，舍去，a ＝1符合题意．综上，a ＝1.(2)(12－t＋4＋t)2＝16＋2(12－t)(4＋t)＝16＋2－t2＋8t＋48，当t＝4时，(12－t＋4＋t)2有最大值，为32.又12－t＋4＋t≥0，所以12－t＋4＋t的最大值为4 2.。
2020高考数学(理)考前题型增分特训：选填题专项8 Word版含解析
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项8时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|3－4i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B.45 C ．4D ．－45解析：因为(3－4i)z ＝|3－4i|，所以z ＝|3－4i|3－4i ＝32＋423－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5，所以z 的虚部为45，故选B. 答案：B2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R解析：由x 2－2x ＞0，得x ＞2或x ＜0，则A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R ，故选D.答案：D3．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图，以下结论中一定正确的是( )A ．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B ．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C ．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D ．华为的全年销量最大解析：对于选项A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于选项B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误；对于选项C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于选项D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D 正确，故选D.答案：D4．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13解析：因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7，故选C.答案：C5．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．±3D ．±2解析：由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1，故选A. 答案：A6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524 C.1124D.124 解析：由题意可知三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×14＝1124. 答案：C7．双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G 满足GF 1⊥GF 2，线段GF 1与另一条渐近线的交点为H ，H 恰好为线段GF 1的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ．2C ．3D ．4解析：由题意得双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，不妨令G 在渐近线y ＝b a x 上，则H 在y ＝－ba x 上，设G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ，b a x ，由GF 1⊥GF 2得kGF 1·kGF 2＝－1，即bax x ＋c ·b ax x －c＝－1，解得x ＝a ，所以G (a ，b )，又H 恰好为线段GF 1的中点，所以H ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －c 2，b 2，因H 在y ＝－b a x 上，所以b 2＝－b a ×a －c 2，因此c ＝2a ，故离心率为2，故选B.答案：B8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc＝32. 由0＜A ＜π，可得A ＝π6.∵bc ＝3a 2，∴sin B sin C ＝3sin 2A ＝34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－C sin C ＝34，即12sin C cos C ＋34(1－cos2C )＝34， 解得tan2C ＝3.又0＜C ＜5π6，∴2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3，故选A.答案：A9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BB 1上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是( )A ．平面AC 1E ⊥平面A 1BDB ．AE ∥平面CDD 1C 1C ．当E 为BB 1的中点时，△AEC 1的周长取得最小值D ．三棱锥A 1－AEC 1的体积不是定值解析：AC 1⊥平面A 1BD 是始终成立的，又AC 1⊂平面AC 1E ，所以平面AC 1E ⊥平面A 1BD ，故选项A 正确；平面AB 1∥平面C 1D ，所以选项B 正确；平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面上，则当E 为BB 1的中点时，AE ＋EC 1最小，故选项C 正确；，故选项D 不正确，故选D.答案：D10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋5π12(k ∈Z )B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2解析：根据函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象知，A ＝2，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，ω＝2πT＝1， 根据五点法画图知，当x ＝π6时，ωx ＋φ＝π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴f ′(x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12.令x ＋π12＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的对称轴方程为x ＝k π－π12，k ∈Z ，A 错误； 当x ＋π12＝2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π－π12时，k ∈Z ，函数g (x )取得最大值22，B 错误；g ′(x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12，假设函数g (x )的图象上存在点P (x 0，y 0)，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋1平行，则k ＝g ′(x 0)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝322＞1，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g (x )＝－2，则22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－22，∴x ＋π12＝3π4＋2k π或x ＋π12＝5π4＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π＋23π或x ＝2k π＋76π，k ∈Z ；所以方程的两个不同的解分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|最小值为π2，故选D.答案：D11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1，32B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，52C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3 D ．[2,3)解析：①作出x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1的图象．②由f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，作出x ∈[－1,0]时，f (x )的图象．③由f (x )＝f (2－x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由此作出函数f (x )在(1,3)内的图象，如图所示．④作出f (x )＝1的图象．由f (x )＝1及x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1可得4x －1＝1，解得x ＝12，从而由对称性知，在(1,3)内f (x )与y ＝1交点的横坐标为32，由图可知，在(1,3)上，f (x )≤1的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3，故选C.答案：C12．三棱锥D －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形．若球O 的表面积为16π，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A.934 B.332 C ．2 3D ．33解析：由题意得△ABC 的面积为 12×3×3×sin π3＝934.又设△ABC 的外心为O 1，则AO 1＝23×323＝3.由4πR 2＝16π，得R ＝2. ∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1＝1，∴球心O 在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥D －ABC 高的最大值为1＋2＝3， ∴三棱锥D －ABC 体积的最大值为 13×934×3＝934，故选A. 答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝1，a ⊥(a －b )，则a 与2a ＋b 的夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )得a ·b ＝14，|2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝3，则a 与2a＋b 的夹角的余弦值为cos 〈a,2a ＋b 〉＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝2a 2＋a ·b|a ||2a ＋b |＝32.答案：3214．若⎠⎜⎛023x 2d x ＝n ，则(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n 的展开式中x －4的系数为________．解析：由⎠⎜⎛023x 2d x ＝n 可得 n ＝8，∴(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n ＝(1＋x 3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8，二项展开式含有x －4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8展开式中含有x －4和x －7，则二项展开式分别为C 48·24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4和C 78·21·x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 7，∴含有x －4的系数为C 48·24－C 78·21＝1104.答案：110415．已知点M(0,2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 坐标为________．解析：由抛物线方程得F(1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4. 由∠AMF ＝π2，得AM→·MF →＝0. 又AM →＝(－x 1,2－y 1)，MF →＝(1，－2)， 所以－x 1－4＋2y 1＝0.又y 21＝4x 1，所以－y 214＋2y 1－4＝0，得y 1＝4.又y 1y 2＝－4，所以y 2＝－1.又y 22＝4x 2，所以x 2＝14，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1 16．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________． 解析：由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，则b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，b n ＝n －43.易知b 1<0，b 2>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13. 答案：－13。
高考理科数学中档大题保分专练15套(经典珍藏解析版)
（Ⅱ）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，
求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为
得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？
i 1
xi2
112
132
122
434
2
， 3x
432 ，由公式求
得
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中档大题保分专练 15 套
3
b
xi yi
i 1
977 972 5 ，a y bx 3
3
xi 2
2
3x
434 432
2
i 1
．
x 2 cos
4.
（广西名校第一次摸底）已知曲线
M
的参数方程为
12 月 2 日
12 月 3 日
12 月 4 日
12 月 5 日
温差 x （℃） 10
11
13
12
8
发芽数 y（颗） 23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方
程，再对被选取的 2 组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；
，
∴曲线 N 的普通方程为 3x y 16 0 ．……………………………………5 分
（Ⅱ）圆 M 的圆心 M 0 ，2 ，半径 r 2．
2 16
d
7
点 M 到直线 N 的距离为
2020高考理科数学押题卷含答案
形镜子的最大面积为 （ ）
A、10 平方分米
B、20 平方分米
C、40 平方分米 D、
1600 平方分米
41
（文）函数 y 3x 1的图象
x2
A. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线 x= 2 对称
称
（） B. 关于点(2,3)对称
D. 关于直线 y= 3 对
9．若双曲线 x2 y2 1的左支上一点 P（a ，b）到直线 y x 的距离为
4
4
7．（理）C .如图，复数2 i 与 3 3i 对应的向量垂直，
2
所以 3 3i 的辐角主值是 3 。
2
2
C 32+3i
O
2-i
B
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的
B
A
值域。 8．(理)C．如图可设 A 的坐标为 (5cos,4sin ) ，
-6
-4
-2 -1
-2
C
-3
-4
D
16．3 .
2
由非负性
1 2 3
P
0
P
3 2
，Eξ＝0
1
2 3
P
1
P 3
2
P 3
P
3 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- 1 ∴A=
2
3
分)
…………(6
(2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1+sin(2B- )
2
2
（1）求 a, k 之值；
备战新课标高考理科数学2020训练题：“3+1”保分大题强化练(七) Word版含解析
保住基本分·才能得高分 “3＋1”保分大题强化练(七) 前3个大题和1个选考题不容有失1．数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n . (1)求证数列{a n ＋1}是等比数列，并求a n ；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列{a n b n }的前n 项和． 解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1. 因为S n ＝2a n －n ，①所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－(n －1)②①－②得a n ＝2a n －2a n －1－1，所以a n ＝2a n －1＋1， 所以a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋1＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2.所以{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＋1＝2·2n －1，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a 2＝3，a 3＝7， 所以b 3＝a 2＝3，b 7＝a 3＝7. 设{b n }的公差为d ，则b 7＝b 3＋(7－3)·d ，所以d ＝1. 所以b n ＝b 3＋(n －3)·d ＝n . 所以a n b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n .设数列{n ·2n }的前n 项和为K n ，数列{n }的前n 项和为T n ， 则K n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，③ 2K n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，④ ③－④得，－K n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以K n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.又T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 所以K n －T n ＝(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋2，所以{a n b n }的前n 项和为(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋2.2．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，侧面BCC 1B 1是矩形，AB ＝A 1B ，N 是B 1C 的中点，M 是棱AA 1上的点，且AA 1⊥MC .(1)证明：MN ∥平面ABC ；(2)若AB ⊥A 1B ，求二面角A -CM -N 的余弦值． 解：(1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，连接BM . 因为侧面BCC 1B 1是矩形， 所以BC ⊥BB 1.因为AA 1∥BB 1，所以AA 1⊥BC .又AA 1⊥MC ，BC ∩MC ＝C ，所以AA 1⊥平面BCM ， 所以AA 1⊥MB ，又AB ＝A 1B ，所以M 是AA 1的中点．取BC 的中点P ，连接NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，所以NP ∥BB 1，且NP ＝12BB 1，所以NP ∥MA ，且NP ＝MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP . 又MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ， 所以MN ∥平面ABC .(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形． 设AB ＝2a ，则AA 1＝2a ，BM ＝AM ＝a . 又在Rt △ACM 中，AC ＝2a ，所以MC ＝a . 在△BCM 中，CM 2＋BM 2＝2a 2＝BC 2， 所以MC ⊥BM ，所以MA1，MB ，MC 两两垂直，以M 为坐标原点，MA 1→，MB →，MC →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则M (0,0,0)，C (0,0，a )，B 1(2a ，a,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，a 2，所以MC→＝(0,0，a )，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，a 2. 设平面CMN 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·MC→＝0，n 1·MN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧az ＝0，ax ＋a 2y ＋a2z ＝0， 取x ＝1，得y ＝－2.故平面CMN 的一个法向量为n 1＝(1，－2,0)． 因为平面ACM 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－255.因为二面角A -CM -N 为钝角， 所以二面角A -CM -N 的余弦值为－255.3．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A ，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15岁至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：(1)岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数．②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券)．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望．(2)从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到m岁有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为100×60 300＝20，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为20×45100＝9.②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝C35 C39＝542，P(X＝1)＝C14C25C39＝1021，P(X＝2)＝C24C15C39＝514，P(X＝3)＝C34C39＝121.故X的分布列为∴E(X)＝0×542＋1×1021＋2×514＋3×121＝43.(2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：m＝35k 1＝300×(125×45－75×55)2200×100×180×120＝300×1 5002200×100×180×120＝2516.按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：m ＝25k 2＝300×(67×87－33×113)2100×200×180×120＝300×2 1002100×200×180×120＝4916，∴k 2>k 1.欲使犯错误的概率尽可能小，需取m ＝25. 选考系列(请在下面的两题中任选一题作答) 4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝1＋3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)射线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，若射线OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解：(1)由⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝1＋3sin α，可得⎩⎨⎧x ＝3cos α，y －1＝3sin α， 所以x 2＋(y －1)2＝3，所以曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝3.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝23，所以32ρsin θ＋12ρcos θ－23＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0. (2)法一：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2－2y －2＝0， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0. 由题意设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 将θ＝π6代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0， 所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2，将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ＝4，即ρ2＝4，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2.法二：因为射线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)， 所以射线OP 的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)，由⎩⎨⎧x 2＋(y －1)2＝3，y ＝33x (x ≥0)，解得A (3，1)，由⎩⎨⎧x ＋3y －43＝0，y ＝33x (x ≥0)，解得B (23，2)，所以|AB |＝(23－3)2＋(2－1)2＝2. 5．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围．解：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象如图所示，注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3， 结合图象可知，不等式的解集为[0,2]．(2)由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )>ax 对任意x ∈R 恒成立，即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方， 当直线y ＝ax 过点A (2,3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界情况，所以－3≤a <32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32.。
2020年新课标Ⅲ卷高考数学(理)押题预测卷以及答案汇总
2020年高考押题预测卷01【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．己知集合{|1}A x x =≤-，{|0}B x x =>，则()A B =R ðA ．(1,)-+∞B ．(,0]-∞C ．[1,0)-D ．(1,0]-2．已知i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，若复数1i1iz +=-，则z z ⋅= A ．1-B ．iC ．1D ．43．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35-C ．35D ．454．已知双曲线221y x m-=m 的取值范围为A ．1(,)2+∞B ．[1,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．若2(2nx的展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式中的常数项为 A ．10-B ．5-C ．5D ．106．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为 A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁7．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积为AB ．13CD8．函数ln ||()x f x x=的大致图象为A B C D9．若x ，y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则12x y +的最小值为A ．12-B ．1C ．74D ．410．已知直线l 与圆22:4O x y +=相切于点(，点P 在圆22:40M x x y -+=上，则点P到直线l 的距离的最小值为 A ．1BCD ．211．在三棱锥D ABC -中，AC BC BD AD ====，且线段AB 的中点O 恰好是三棱锥D ABC -的外接球的球心．若三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为 A ．64πB ．16πC ．8πD ．4π12．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0yx y a +-=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 A ．[1,e]B ．1(1,e 1)e++C ．1(,1e]e+D ． 1(1,e]e+第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)=a ，(3,)t =b ，若()+⊥a b a ，则t =________________．14．已知函数()(1)e xf x ax =+在点(0,(0))f 处的切线经过点(1,)1-，则实数a =________________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 外一点P 满足212PF F F ⊥，且212||||P F FF =，线段1PF ，2PF 分别交椭圆C 于点A ，B ，若1||||P A A F =，则22||||BF PF =________________． 16．已知数列{}n a 满足11a =，*1()2nn n a a n a +=∈+N ，数列{}n b 是单调递增数列，且1b λ=-，1n b +=*(2)(1)()n nn a n a λ+-∈N ，则实数λ的取值范围为________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a C Abc B+--=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC △ABC △周长的最小值． 18．（本小题满分12分）为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费（租车时间不足1分钟按1分钟计算）．已知张先生从家到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间20[],60t ∈（单位：分钟）．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上租车时间t 是一个变量，现统计了张先生50次路上租车的时间，整理后得到下表：（Ⅰ）求张先生一次租车费用y （元）与租车时间t （分钟）的函数关系式；（Ⅱ）公司规定员工上下班可以免费乘坐公司班车，若不乘坐公司班车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司班车还是选择新能源分时租赁汽车？（Ⅲ）若张先生一次租车时间不超过40分钟为“路段畅通”，将频率视为概率，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列与数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥平面A B C D，1PA AD DC ===，2AB =．（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若(21)PQ PB =-，求二面角P AC Q --的大小． 20．（本小题满分12分）已知点M ，N 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，线段MN 的中点的纵坐标为4，直线MN 的斜率为12． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,2)P ，A ，B 为抛物线C （原点除外）上不同的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且12112k k -=，记抛物线C 在点A ，B 处的切线交于点S ，若线段AB 的中点的纵坐标为8，求点S 的坐标． 21．（本小题满分12分）已知函数()e ()xfx ax a =-∈R 的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线的斜率为2-．（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设2()31g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04ρθπ-+=．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x m =++-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若关于x 的不等式2()2f m m x x -≥-的解集非空，求实数m 的取值范围．2020年高考等值试卷★预测卷理科数学（全国Ⅲ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)及答案解析
试题第1页，总21页绝密★启用前2020年全国统一高考数学试题（理科)（新课标Ⅲ)试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可.试题第2页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．试题第3页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。
2020年高三理科数学考前大题强化精练卷5份合集附答案解析
2020年高三理科数学考前大题强化精练汇集一卷一17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．18．互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、(注：图中(1,i i =2，7)(单位：小时)代表分组为[1,i -i 的情况)()1求饼图中a 的值；()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)()3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由19．如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，⊥DAF＝⊥ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，SC SD==，B，E分别为AF，SA的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面SCF（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值20．过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为24y=-上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CDx y=，点P，Q在直线l：1()1当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD⊥时，点P，Q在什么位置时，PQ取得最小值？21．已知函数()1a f x alnx a R x+=+∈，． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）证明：当﹣1＜a ＜0时，f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0随着a 的增大而增大．22．已知曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系()1求曲线E 的直角坐标方程；()2设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围23．()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．（答案解析）17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=． 解：()41133n n S a =-， 可得1114133a S a ==-，解得11a =， 2n ≥时，1141413333n n n n n a S S a a --=-=--+， 即有114n n a a -=，故数列{}n a 是以11a =为首项，以14为公比的等比数列， 则11()4n n a -=；()2证明：2111221()22n n n b log a log n +===， ()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 12231111111111142231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ()()1122141n n n n b b n n +==⋅++， 则1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=． 18．互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、(注：图中(1,i i =2，7)(单位：小时)代表分组为[1,i -i 的情况)()1求饼图中a 的值；()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)()3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由解：()1由饼图得：()16%9%27%12%14%3%29%a =-+++++=．()2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．()3Q 样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．19．如图，已知在四棱锥S ﹣AFCD 中，平面SCD ⊥平面AFCD ，⊥DAF ＝⊥ADC ＝90°，AD ＝1，AF ＝2DC ＝4，SC SD ==，B ，E 分别为AF ，SA 的中点．（1）求证：平面BDE ⊥平面SCF（2）求二面角A ﹣SC ﹣B 的余弦值（1）证明：⊥⊥DAF ＝⊥ADC ＝90°，⊥DC ⊥AF ，又B 为AF 的中点，⊥四边形BFCD 是平行四边形，⊥CF ⊥BD ，⊥BD ⊥平面BDE ，CF ⊥平面BDE ，⊥CF ⊥平面BDE ，⊥B ，E 分别是AF ，SA 的中点，⊥SF ⊥BE ，⊥BE ⊥平面BDE ，SF ⊥平面BDE ，⊥SF ⊥平面BDE ，又CF ∩SF ＝F ，⊥平面BDE ⊥平面SCF ．（2）取CD 的中点O ，连结SO ，⊥⊥SCD 是等腰三角形，O 是CD 中点，⊥SO ⊥CD ，又平面SCD ⊥平面AFCD ，平面SCD ∩平面AFCD ＝CD ，⊥SO ⊥平面AFCD ，取AB 的中点H ，连结OH ，由题设知四边形ABCD 是矩形，⊥OH ⊥CD ，SO ⊥OH ，以O 为原点，OH 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，﹣1，0），B （1，1，0），C （0，1，0），S （0，0，1），⊥CA =u u u r （1，﹣2，0），CS =u u u r （0，﹣1，1），CB u u u r =（1，0，0），设平面ASC 的法向量m =u r（x ，y ，z ）， 则200m CA x y m CS y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取y ＝1，得m =u r （2，1，1），设平面BSC 的法向量n =r （x ，y ，z ），则00n CB x n CS y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取y ＝1，得n =r （0，1，1）， ⊥cos m n m n m n⋅===⋅u r r u r r u r r ＜，＞ 由图知二面角A ﹣SC ﹣B 的平面角为锐角，⊥二面角A ﹣SC ﹣B的余弦值为3．20．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？解：()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -，则2114x y =，2224x y =， 抛物线的方程可变形为214y x =，则'2xy =，∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x x k y ===，∴直线PA 的方程()1112x y y x x -=-，化简()112x x y y =+，同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+，由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩，∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{01x y ==是方程的解，∴直线AB 经过定点()0,1．()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由()1可知2PAB x k =，2QCD x k =，AB CD ⊥Q ，14P QAB CD xx k k ∴⋅==-，即4P Q x x =-，P x ∴，Q x 异号，不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q Px x =-，44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号，即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值421．已知函数()1a f x alnx a R x +=+∈，．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）证明：当﹣1＜a ＜0时，f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0随着a 的增大而增大．解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）；()()2211'ax a a a f x x x x -++=-=；⊥当a ＝0时，()21'0f x x =-＜，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥当a ＞0时，()21'a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=，而10a a+＞；则f （x ）在10a a +⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增；⊥当﹣1≤a ＜0时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥当a ＜﹣1时，f （x ）在10a a +⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减；综上，当a ＜﹣1时，f （x ）在10a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减；当﹣1≤a ≤0时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，f （x ）在10a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增；（2）由（1）得当﹣1＜a ＜0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；⊥f （x ）至多有一个零点；又﹣1＜a ＜0； ⊥11a -＞，f （1）＝a +1＞0，()11f a a ln a a ⎛⎫⎡⎤-=---- ⎪⎣⎦⎝⎭；令g （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，则()11'1x g x x x -=-=；⊥g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；g （x ）≥g （1）＝0，即x ﹣1﹣lnx ≥0，当且仅当x ＝1时取等号； ⊥()110f a a ln a a ⎛⎫⎡⎤-=---- ⎪⎣⎦⎝⎭＜；⊥f （x ）存在唯一得零点011x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，； 由f （x 0）＝0，得0010a alnx x ++=，即00011a lnx x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ⊥x 0⊥（1，+∞），0010lnx x +＞； ⊥00011x a lnx x -=+，即a 是x 0的函数；设()11x h x lnx x -=+，x ⊥（1，+∞），则()221'01()lnx h x x lnx x+=+＞； ⊥h （x ）为（1，+∞）上的增函数；⊥a 随0x 增大而增大，反之亦成立.⊥x 0随着a 的增大而增大．22．已知曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系()1求曲线E 的直角坐标方程；()2设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围解：()1曲线E的参数方程为2(x cos y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为直角坐标方程为：22143x y +=． ()2设点A的坐标为()2cos αα，()B α，()2,2D cos α， 所以；3232AB cos cos αα=-=-，22AD αα==，()()210l AB AD αθ=+=-+，所以矩形的周长的取值范围为10.⎡-+⎣23．()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．解：()1原不等式等价于()()x 22x 1x 23≤-⎧---+≥⎨⎩或()()1222123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪--++≥⎩或()()122123x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩， 解得：x 2≤-或2x 0-<≤或2x 3≥， 故原不等式的解集是][2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭； ()2证明：22b c 2bc +≥Q ，c 0>，abc 1=，()22a b c 2abc 2∴+≥=，同理()22b c a 2abc 2+≥=，()22c a b 2abc 2+≥=， 又a ，b ，c 0>且不全相等，故上述三式至少有1个不取“=”，故()()()222a b c b c a c a b +++++222222a b a c b c b a c a c b =+++++()()()222222a b c b c a c a b 6=+++++>．考前大题强化二17．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）； （2）证明：当1x >时，()()f x g x <.22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C 经过点(1)2P π.（1）求圆C 的普通方程； （2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.解析17．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由. 解：（1）()11n a n n =+-=，1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=. （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列.(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，函数的零点为2n x -==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2(N )n m m =∈*，此时()2122m m m m x -±-±==， 又因为1m m ±与是连续的两个整数∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数， ∴所求n 的集合为{}2|,N n n m m =∈*.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.解：（1）证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系xyz .由题意知(0,A B D 设点C 的坐标为()00,,0x y ，因为3AQ QC =u u u r u u u r，所以00331,4442Q x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭因为点M 为AD的中点，故M 又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以0033,,0444PQ x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，(0,0,2),0DA DA PQ =⋅=u u u r u u u r u u u r 所以DA PQ ⊥.（2）解：设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量由()00,1CM x y =--u u u u r，BM =u u u u r知)0000x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩取1y =-，得00y m x ⎛+=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是|||1|cos ,|||||2m n m n m n ⋅<>===即2003y x ⎛+= ⎝⎭.① 又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=u u u r u u u r，故()()0000,,0,00x y x y -⋅--= 即22002x y +=.②联立①②，解得000x y =⎧⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以tan ||BDC ∠== 又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξK ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+L ,且检验总次数12m ξξξξ=+++L ,()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12c a =① 将x c =代入22221x y a b+=，结合222a b c =+②，得2b y a =±，所以223b a =③，由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得331122P Q -（，），（，）或331122P Q -（，），（，），直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（）， 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++） 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++=由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意； 当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)， 综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）； （2）证明：当1x >时，()()f x g x <.解：（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->,∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3 （2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln x x h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe-++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <. 22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C经过点(1)2P π.（1）求圆C 的普通方程； （2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.解：（1）∵4C π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1，12P π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,1，∴ 圆C的半径为PC = 圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)3x y -+-=.（2）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入圆C 的直角坐标方程22(1)(1)3x y -+-=，得()()221cos 1sin 3t t αα+++=，即()2210t t cos sin αα++-=，∴ ()12122,1t t cos sin t t αα+=-⋅+=-，∴12||MA MB AB t t +====- ∵0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，∴ 20,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴||||MA MB ≤+<即弦长MA MB +的取值范围是⎡⎣.考前大题强化三17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++-. （1）若()f x 的最小值是2，求a ； （2）把函数()y f x =图像向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =图像，若a =求使()0g x …成立的x 的取值集合.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=. （1）证明：2(2)[()]2f x g x =+；（2）当[1,2]x ∈时，不等式(2)()10f x ag x ++…恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈.（1）求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值、最小值.20．已知数列{}n a 中，19a =，23a =，且*2(12cos)2sin ,()22n n n n a a n N ππ+=+-∈. （1）判断数列{}2n a 足否为等比数列，并说明理由；（2）若21211n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .‘21．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角C ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且AD =ABC ∆的周长.22．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈ (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.答案解析17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++-. （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）把函数()y f x =图像向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =图像，若a =求使()0g x …成立的x 的取值集合.解：（1）⊥()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++⊥min()22f x a =-+=，⊥4a =（2）⊥()()2sin(2)66g x f x x ππ=-=--由()0g x …知sin(2)6x π-， ⊥2222,363k x k k πππππ+-+∈Z 剟解得，5,412k x k k ππππ++∈Z 剟⊥满足()0g x …的x 取值的集合为5,412x k x k k ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=. （1）证明：2(2)[()]2f x g x =+；（2）当[1,2]x ∈时，不等式(2)()10f x ag x ++…恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）依题意1()()2x f x g x ++=⊥，又()f x 为偶函数，()g x 为奇函数⊥1()()2x f x g x -+-+-=，即1()()2x f x g x -+-=⊥ ⊥由⊥⊥得()22x x f x -=+，()22x x g x -=-⊥2222(2)22(22)2[()]2x x x x f x g x --=+=-+=+得证； （2）原不等式可化为2[()]()30g x ag x ++… ⊥当[1,2]x ∈时，3()()a g x g x -+…成立，其中315()[,]24g x ∈⊥当[1,2]x ∈时，min 3(())()g x g x +=当且仅当()g x =⊥a -…⊥a -….19．已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈. （1）求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[2,2]-上的最大值、最小值.解：（1）2()626()3a f x x ax x x '=-=- 当0a =时，2()60f x x '=…，⊥()f x 在R 上是单调增函数，故()f x 无极值. 当0a >，此时03a >，当0x <或3ax >时，()0f x '> 03ax <<时，()0f x '< ⊥(0)1()f x f ==极大值，3()()1327a a f x f ==-极小值 当0a <时，03a<，当3a x <或0x >，()0f x '> 03ax <<，()0f x '< ⊥3()()1327a a f x f =-=极大值，()(0)1f x f ==极小值综上，当0a =时，()f x 无极值，当0a >时，()1f x =极大值，3()127a f x =-极小值， 当0a <时，3()127a f x =-极大值，()1f x =极小值 （2）若()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点 由（1）知，0a >且()()03a f x f ==极小值即31027a -=，⊥3a =⊥32()231f x x x =-+又当[2,2]x ∈-时，(0)1()f x f ==极大值，()(1)0f x f ==极小值，⊥(2)5(0)1f f =>=， (2)27(1)0f f -=-<=故()f x 在[2,2]-上的最大值为(2)5f =，最小值为(2)27f -=-.20．已知数列{}n a 中，19a =，23a =，且*2(12cos)2sin ,()22n n n n a a n N ππ+=+-∈. （1）判断数列{}2n a 足否为等比数列，并说明理由；（2）若21211n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）{}2n a 是等比数列依题意知当n 为偶数时，23n n a a += ⊥2223n n a a +=，又230a =≠ ⊥数列{}2n a 为公比是3的等比数列（2）当n 为奇数时22n n a a +=-， 所以数列{}21n a -是以19a =为首项，以2-为公差的等差数列⊥2192(1)211n a n n -=--=-+⊥11111()(211)(29)(29)(211)221129n n n n n b n n ===--+-+----⊥121111111()2977521129n n S b b b n n =+++=-+-++-------L L11111()292918418n n =--=----.21．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角C ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且AD =ABC ∆的周长.解：（1）⊥tan b a B =，⊥sin sin sin cos A BB B⋅=，又(0,)B π∈，⊥sin 0B >，⊥sin cos A B =又A 为钝角，⊥A π-为锐角，sin()sin()2A B ππ-=-⊥2A B ππ-=-即2A B π=+又32sin 2sin cos 2C B A =+，⊥32sin()2sin cos 2A B B A +=+⊥32(sin cos cos sin )2sin cos 2A B A B B A +=+，⊥3sin cos 4A B =⊥2A B π=+，⊥B 为锐角，故3sin()cos 24B B π+=，⊥23cos 4B =，cos B =⊥6B π=，23A π=，⊥6C π=（2）⊥6B C π==，⊥b c =，又23A π=，由余弦定理知22222cos 3a b c bc A b =+-=，⊥a ，⊥2BD DC =u u u r u u u r法一：⊥1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r⊥22222121441||()||||||3393AD AB AC AB AB AC AC AB =+=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r⊥22||3||6AB AD ==u u u r u u u r 即|c AD ==u u u r⊥a =⊥ABC ∆的周长为 法二：⊥6B C π==，⊥b c =，又23A π=，由余弦定理得 22222cos 3a b c bc A b =+-=，⊥a ⊥在ABD ∆中，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅⊥22222()2()33c a c a =+-⋅联立⊥⊥得a =，b c ==故ABC ∆的周长为22．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.解：（1）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =++=++'+（⊥）0a ≥时，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <；当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >， 所以f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增； （⊥）0a <时 若12a e=-，则1()(1)()x f x x e e -=-'+，所以f (x )在(,)-∞+∞单调递增；②若12a e>-，则ln(2)1a -<-，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-⋃-+∞时，'()0f x >，(ln(2),1)x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减；③若12a e<-，则ln(2)1a ->-，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-⋃-+∞，'()0f x >， (1,ln(2))x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减； 综上：0a ≥时，f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增；12a e=-时，f (x )在(,)-∞+∞单调递增； 12a e >-时，f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减； 12a e <-时，f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；（2）（⊥）当a >0,则由（1）知f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增，又1(1)0e f -=-<，(0)0f a =>，取b 满足1b <-，且2ln 2ab -<，则223(2)(2)(1)()022a fb b a b a b b ->-+-=->，所以f (x )有两个零点（⊥）当a =0,则()xf x xe =，所以f (x )只有一个零点（⊥）当a <0,①若12a e ≥-,则由（1）知，f (x )在(1,)-+∞单调递增．又当1x ≤-时，()0f x <，故f (x )不存在两个零点 ②12a e<-，则由（1）知，f (x )在(1,ln(2))a --单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增，又当1x ≤-，f (x )<0,故f (x )不存在两个零点综上，a 的取值范围为(0,)+∞.考前强化练四17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πb 2acos C 3⎛⎫=-⎪⎝⎭． ()1求A ； ()2若b =，且ABC V面积a 的值．18．在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围.20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域⊥）设计成半径为1km 的扇形EAF ，中心角42EAF ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域⊥）和休闲区（区域⊥），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值； （2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？21．已知函数4()f x x m m x=+-+.(1)当0m =时求函数()f x 的最小值；(2)若函数()5f x ≤在[1,4]x ∈上恒成立求实数m 的取值范围.22．已知函数()()()32111323a f x x a x x a R =-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数.答案解析17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πb 2acos C 3⎛⎫=-⎪⎝⎭． ()1求A ； ()2若b =，且ABC V面积a 的值． 解：（1）⊥23b cos C a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，⊥b=2a （cosCcosπ3+sinCsin π3），可得：，由正弦定理可得：，可得：sin （A+C ），可得：sinA ，可得： ⊥A⊥（0，π），⊥A=π6（2）⊥b =，且⊥ABC面积12bcsinA=12⨯12， ⊥解得：c=2，⊥由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2-2bccosA=48+4-2×，解得：18．在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.解：（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到20CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v。
2020年高考理数真题试卷(新课标Ⅲ)
2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(共12题；共60分)1．（5分）已知集合 A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x} ， B ={(x,y)|x +y =8} ，则 A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．62．（5分）复数11−3i的虚部是（ ）A ．−310B ．−110C ．110D ．3103．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 p 1,p 2,p 3,p 4 ，且 ∑p i 4i=1=1 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A ．p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4 B ．p 1=p 4=0.4,p 2=p 3=0.1 C ．p 1=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3D ．p 1=p 4=0.3,p 2=p 3=0.24．（5分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型： I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I( t ∗ )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t ∗ 约为（ ）（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．（5分）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C的焦点坐标为（ ）A ．（ 14，0）B ．（ 12，0） C ．（1，0）D ．（2，0）6．（5分）已知向量a ，b 满足 |a →|=5 ， |b →|=6 ， a →⋅b →=−6 ，则 cos⟨a →,a →+b →⟩= （ ）A ．−3135B ．−1935C ．1735D ．19357．（5分）在△ABC 中，cosC= 23，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A ．19B ．13C ．12D ．238．（5分）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．6+4 √2B ．4+4 √2C ．6+2 √3D ．4+2 √39．（5分）已知2tanθ–tan(θ+ π4 )=7，则tanθ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．210．（5分）若直线l 与曲线y= √x 和x 2+y 2= 15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y=2x+1B ．y=2x+ 12C ．y= 12 x+1D ．y= 12 x+ 1211．（5分）设双曲线C ： x 2a 2−y 2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 √5 ．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．812．（5分）已知55<84，134<85．设a=log 53，b=log 85，c=log 138，则（ ）A ．a<b<cB ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<a<b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟(八)理科数学
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（八）数学试题（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.12i12i+=- A. 43i 55--B. 43i 55-+C. 34i 55--D. 34i 55-+【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii Q ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2.已知集合{}{}2|02,N ,|450,N A y y y B x x x x =≤<∈=--≤∈，则A B =I （ ）A. {}1B. {}0,1C. [)0,2 D. ∅【答案】B 【解析】集合{}0,1A =，{}0,1,2,3,4,5B =，所以{}0,1A B =I .故选择B.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上， 则cos2θ＝( ) A. －45B. －35C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos θ的平方代入即可求出值．【详解】解：根据题意可知：tan θ＝2，所以cos 2θ22221115cos sin cos tan θθθθ===++， 则cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝215⨯-135=-． 故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．【此处有视频，请去附件查看】4.曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点（1，1）处的切线的斜率k ． 【详解】解：由题意知，1x y xe-=，则()11x y x e-=+' ，∴在点（1，1）处的切线的斜率k ＝2，故选：B【点睛】本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题． 5.下列叙述正确的是（ ）A. 命题“p 且q ”为真，则,p q 恰有一个为真命题B. 命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C. 命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D. 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·(f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 【答案】C 【解析】 【分析】由p 且q 的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误.【详解】解：对于A ，命题“P 且q 为真，则P ，q 均为真命题”，故错误；对于B ，“a ＞b ”推不出“a 2＞b 2”，比如a ＝1，b ＝﹣1；反之也推不出，比如a ＝﹣2，b ＝0，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分不必要条件，故错误；对于C ，命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤，故正确； 对于D ，如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，由零点存在定理可得函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，故错误． 其中真命题的个数为1， 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．6.若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【分析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:322z y x =-+, 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点M ,联立220x y y --=⎧⎨=⎩,解得2,0x y ==,所以(2,0)M ,将2,0x y ==代入目标函数可得z 的最大值为6. 故选:C.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题. 7.若1a b >>，01c <<，则（ ） A. c c a b < B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<Q lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<Q 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 【此处有视频，请去附件查看】8.在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u r D 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r=( )A. 2B. -2C. D. -【答案】B 【解析】∵D 为AC 的中点∴1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，11()22DA CA CB BA u u u v u u u v u u u v u u u v ==+∵•0,2,AB BC AB BC ===u u u v u u u v u u u v u u u v∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v故选B.9.函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当x →-∞时，120,1111xx e x x -→=-→++，所以去掉A,B; 因为21(0)0,(1),(2)3f f e f e ===+，所以(2)(1)(1)(0)f f f f ->-，因此去掉C ，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A.33πB. 8πC. 6πD.433π【答案】B 【解析】几何体如图，球心为O ，半径为1+1=2，表面积为242=8ππ（），选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 11.不等式x e x ax ->的解集为P ,且[]0,2P ⊆,则a 的取值范围是（ ） A. (),1e -∞- B. ()1,e -+∞C. (),1e -∞+D. ()1,e ++∞【答案】A 【解析】试题分析：即不等式xe x ax ->在(0,2]是上恒成立，即min (1),(0,2]xe a x x<-∈，令(1),(0,2]x e y x x =-∈，则(1)01x e x y x x ==⇒'-=，列表分析可得1x =时(1)xe y x=-取最小值1e -，从而a 的取值范围是(),1e -∞-，选A. 考点：不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A. (0,1) B. (1,)+∞C. (,)e +∞D. (0,)e【答案】C 【解析】 【分析】令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0．x ∈（0，+∞）．xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调性，即可解出． 【详解】解：令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0，x ∈（0，+∞）． ∵xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立． ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．由()1f x ＜lnx ，可得()()10f x lnx f x ->，即()()0g x f x > 又()0f x > ∴g （x ）＞0=g （e ）， ∴x ＞e ．即不等式()1f x ＜lnx 的解集为{x |x ＞e }． 故选：C ．【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量(1,),(,4)a x b x ==r r ，若a r 与b r反向则x =_________【答案】2- 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式即可得到结果.【详解】∵向量(1,),(,4)a x b x ==r r ， a r 与b r反向∴240x a b ⎧=⎨⋅<⎩v v ，解得2x =-，故答案为：2-【点睛】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用． 14.函数()cos26sin 1f x x x =++的最大值为_______【答案】6 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式，转化为关于t 的一元二次函数，进而可根据二次函数的性质来解决． 【详解】解：y ＝﹣2sin 2x +6sin x +2， 设sin x ＝t ，则﹣1≤t ≤1，f （t ）＝﹣2t 2+6t +2，对称轴为x 32=，开口方向向下，在区间[﹣1，1]上单调增， ∴f （t ）max ＝f （1）＝6， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题．解题过程中运用了函数思想和转化与化归思想．15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________【答案】【解析】 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】解：由题意得12ac sin60°12=a sin30°12+c sin30°，＝a +c ，得11a c+=， 得4a +c4a +c ）（11a c +）45c a a c ⎫=++⎪⎝⎭5⎫⎪⎪⎝⎭＝， 当且仅当4c aa c=，即c ＝2a 时，取等号，故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．16.设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当[2,3]x ∈时，()f x x =，则当[2,0]x ∈-时，()f x 的解析式为______________【答案】()3|1|f x x =-+ 【解析】 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ，可得答案． 【详解】解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ， ∴x ∈[﹣2，﹣1]时， 2+x ∈[0，1]，4+x ∈[2，3]， 此时f （x ）＝f （4+x ）＝4+x ， x ∈[﹣1，0]时，﹣x ∈[0，1]，2﹣x ∈[2，3]，此时f （x ）＝f （﹣x ）＝f （2﹣x ）＝2﹣x ， 综上可得：x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝3﹣|x +1| 故答案为：()3|1|f x x =-+【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知函数()22sin cos 1f x x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)T π=，对称中心(,0),()212k k Z ππ-∈； (Ⅱ)min max ()()1,()()266f x f f x f ππ=-=-==. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把()f x 化简成一角一名一次式即y=sin()A x ωϕ+的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出x ωϕ+的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得()f x 的最值，得解.试题解析：解：（Ⅰ）()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为， 令，则，∴()f x 的对称中心为；（Ⅱ）∵∴∴ ∴∴当时，()f x 的最小值为； 当时，()f x 的最大值为． 考点：二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分两个公式，同时要注意两个特殊角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.18.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）1n n +. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据{}n a 是等差数列，设公差为d ，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （Ⅱ）求得()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，由裂项相消求和，化简运算可得所求和． 【详解】（Ⅰ）公差d 不为零的等差数列{}n a ，若515S =，且124,,a a a 成等比数列，可得2121451015,a d a a a +==，即21113a d a a d +=+（）（）， 解得111a d ==，．则n a n =；（Ⅱ）()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++， 可得前n 项和1111112231n T n n =-+-++-+L .1111n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．19.如图，直棱柱111ABC A B C -中，D E ，分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB ===，22AB =（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（26 【解析】【分析】（1）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，则BC 1∥DF ，由此能证明BC 1∥平面A 1C ． （2）以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系C ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【详解】（1）如图，连接1AC 交1A C 于点F ，则点F 为1AC 的中点，连接DF .因为D 是AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DF 是中位线，所以1//DF BC .因为1BC ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD .（2）因为22AC CB AB ==， 所以90ACB ︒∠=，即AC BC ⊥.则以C 为坐标原点，分别以CA u u u r ，u u r CB ，1CC u u u u r 为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设12AA AC CB ===，则(0,0,0)C ，(1,1,0)D ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A则(1,1,0)CD =u u u r ，(0,2,1)CE =u u u r ，1(2,0,2)CA =u u u r . 设111(,,)m x y z =u r 是平面1DA C 的一个法向量，则100m CD m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩， 取11x =，则11y =-，11z =-，则(1,1,1)m =--u r. 设222(,,)n x y z =r 是平面1EA C一个法向量，则100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u uv v ，即222220220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 取22x =，则21y =，22z =-，则(2,1,2)n =-r .所以cos ,m n 〈〉==u r r ， 所以sin ,3m n 〈〉=u r r ， 即二面角1D A C E --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos B C b c +=（1）求b 的值；（2）若cos 2B B =,求a c +的取值范围. 【答案】（1）b =（2）a c +∈⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin A C转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos B C b c +=应用余弦定理，可得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=化简得2b =则b =（2）Q cos 2B B +=1cos 12B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈Q 62B ππ∴+= 所以3B π=法一.Q 21sin bR B ==,则sin sin a c A C +=+ =2sin sin 3A A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=3sin 2A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<Q 2a c ∴<+≤法二因为b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立. 所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭a c ∴+≤2a cb +>=综上a c +∈⎝21.已知数列{}n a 中，132a =且12n a =()11n a n -++()2n n N *≥∈，． （Ⅰ）求2a ，3a ；并证明{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）925,48，证明见解析；（Ⅱ）()1122n n n +-⋅++. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出2a 和3a 的值，再根据题意将n a 的递推式代入n a n -进行计算化简最终会得到n a n -和()11n a n ---的关系，最终得证数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得n b 的通项公式，得到·21n n b n =+，由n b 通项公式的特点可根据错位相减法得到数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】（Ⅰ）由题意，可知：()211212a a =++= 13921224⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭， ()321312a a =++= 192531248⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭．①当1n =时，1311122a -=-=， ②当2n ≥时，()1112n n a n a n n --=++-= 1111222n a n n -++-= 1111222n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n -⎡⎤--⎣⎦． ∴数列{}n a n -是以12为首项，12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ），可知：12nn a n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴ 12nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．*n N ∈． ∴ 1222n n n n n b a n ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 122212n n n n n n ⋅+⋅=⋅+． 123n n S b b b b ∴=++++L()()12121221=⋅++⋅++ ()()332121n n ⋅++⋅+L1231222322n n n =⋅+⋅+⋅++⋅+L ， ③2321222n S =⋅+⋅+L ()11222n n n n n ++-⋅+⋅+ ④③-④，可得： 123121212n S -=⋅+⋅+⋅+L +11222n n n n n +⋅-⋅+- 1122212n n n n ++-=-⋅-- ()1122n n n +=-⋅--，()1122n n S n n +∴=-⋅++【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前n 项和．本题属中档题．22.已知21()(2)(0)2x f x ax ax x e a =-++->． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在3个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）22(2,)(,)e e e +∞U【解析】【分析】(1)对函数求导，比较导函数的两根大小，进而得到单调性；（2）通过函数表达式可得到函数有一个零点2，要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根，即()22,0x e a x x=≠，令()2xe h x x=对函数求导研究函数单调性，结合函数的图像得到参数范围. 【详解】（1）()()()()21x x x f x ax a e x e x e a =-+++-=--' 因为0a >，由()0f x '=，得11x =或2ln x a =．（i ）当0a e <<时，1ln a >，在(),ln a -∞和()1,+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()ln ,1a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（ii ）当a e =时，1ln a =，在(),-∞+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，（iii ）当a e >时，ln 1a >，在(),1-∞和()ln ,a +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,ln a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（2）()()()2112222x x f x ax ax x e x ax e ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点2x =．要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根， 又方程()()12022,02x x e ax e x a x x -+=≠⇔=≠，令()()22,0xe h x x x=≠，即函数y a =与()y h x =图像有两个交点，令()()2221220x x x e x xe e h x x x-='-==，得1x = ()h x 的单调性如表：x (),0-∞()0,1 1 ()1,2 ()2,+∞ ()h x '－ － 0 ＋ ＋ ()h x↘ ↘ 极小值 ↗ ↗当0x <时，()0h x <，又()22h e =，()h x 的大致图像如图， 所以，要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为()()222,,e e e ⋃+∞ 【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。
高考数学倒计时20天正能量第1辑金题强化卷08理解析版
普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷数学理（8）第I卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【改编题】若集合A＝｛－1，0，1｝，B＝｛y｜y＝cosx，x∈A｝，则A∩B＝A．｛0｝B．｛1｝C．｛0，1｝D．｛－1，0，1｝2. 【山东省莱芜市2012届高三4月高考模拟试题】设,p q是两个命题，1:0,:|21|1,xp q x p qx+≤+<则是(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件3. 【广州市高三年级1月调研测试】已知函数()230xx xf xxlog,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是A．9 B．19C．9- D．19-4. 【山东省日照市2012届高三下学期5月份模拟训练】要得到函数)42cos(3π-=xy的图象，可以将函数xy2sin3=的图象（A）沿x轴向左平移8π个单位（B）沿x向右平移8π个单位（C ）沿x 轴向左平移4π个单位 （D ）沿x 向右平移4π个单位【答案】A【解析】.).8(2sin 3)42sin(3)]42(2sin[3)42cos(3A x x x x y 选πππππ+=+=-+=-= 5. 【河南省三门峡市高三第一次大练习】i 是虚数单位，1233ii+等于 A.13412i + B.33i + C.33i - D. 13412i -6. 【安徽省示范高中高三9月模底考试】样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（ ） A 、305 B 、65C 、2D 、27. 【湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）】设2920012929100129101010(12)(1)(1)b b x b x b x x a a x a x a x a x x x +++++=+++++++-，则a 9=A ．0B ．410C ．10·410D ．90·4108.[安徽省宣城市6校高三联合测评考]三个正数a,b,c 满足2a b c a ≤+≤，2b a c b ≤+≤，则ba的取值范围是（ ）A．23[,]32B．2[,2]3C．3[1,]2D．[1,2]【答案】A【解析】∵0,a>2,12b ca b c aa a∴≤+≤≤+≤由得,212.b c bb ac ba a a≤+≤≤+≤由得设,b cx ya a==,则有12112x yx yy x≤+≤⎧⎪≤+⎨⎪+≤⎩,其可行域如图: 其中A(21,33),B(31,22)，∴bxa=∈［23,32］.9.【江西省百所重点高中2012届高三下学期模拟考试】已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，函数，则()f x在x=时的导数的值等于A.554B.574C. 16D. 1810. 【临沂市高三教学质量检测考试】函数)42(cos2)21()(1≤≤-+=-xxxf xπ的所有零点之和等于（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【答案】C【解析】xyπcos2-=由0cos2)21()(1=+=-xxf xπ，得xxπcos2)21(1-=-令)42(cos2,)21(1≤≤--==-xxyy xπ,在同一坐标系中分别做出函数1)21(-=xy，)42(cos2≤≤--=xxyπ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤==---12,241,)21()21(111xxyxxx，由图象可知，函数1)21(-=xy关于1=x对称，又1=x也是函数)42(cos2≤≤--=xxyπ的对称轴，所以函数)42(cos2,)21(1≤≤--==-xxyy xπ的交点也关于1=x对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第三卷答案解析(9页)
2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第三卷3月一模精选基础卷（第3卷）1．已知集合{}{}1,24xA x xB x =≥-=≤，则A B =I ( ) A ．[]0,2 B ．[]1,2-C ．[)1,-+∞D ．(],2-∞【答案】B【解析】由{}{}{}1,242xA x xB x x x =≥-=≤=≤， 则A B =I []1,2-. 故选：B2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i - 对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D.3.函数f (x )在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数，若f (1)=-1，则满足-1≤_f (x -2）≤1的x 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,1D ．[]1,3【答案】D【解析】根据题意，f (x )为奇函数，若f (1)=-1，则()11f -=， f (x )在（-∞，+∞）单调递减，且1(2)1(1)(2)(1)f x f f x f -≤-≤∴≤-≤-， 故：12113x x -≤-≤∴≤≤， 故选：D4．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为37，则判断框中应填（ ）A ．5?i ≤B ．5?i ≥C ．7?i ≤D ．7?i ≥【答案】D【解析】根据程序框图知：()11111111113...1 (1335223352247)i S i i i i i +⎛⎫=+++=-+-++-== ⎪⨯⨯+++⎝⎭，解得5i =. 故选D.5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件( ) A ．,m m αβ⊥⊥ B ．,,m n m n αβ⊂⊂⊥ C ．//,,m n m n αβ⊥⊥ D ．//,m m αβ⊥【答案】D【解析】对于A ，,m m αβ⊥⊥，则//αβ，故排除A ；对于B ，,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则α与β相交或//αβ，故排除B ； 对于C ，//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ，故排除C ； 对于D ，//,m m αβ⊥，则αβ⊥；反之，若αβ⊥，m 与,αβ的位置关系不确定， 当m β⊥时，//m α或m α⊂ ，故αβ⊥的一个充分不必要条件//,m m αβ⊥，故D 正确； 故选：D6．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A ．()2sin 426g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 426g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 可得2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 再把所得图象向上平移2个单位长度，可得()2sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 故选：C7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N ≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．18【答案】A【解析】因为11a =，故22111a =⨯-=，32124a =⨯+=，42417a =⨯-=， 故选：A.8．若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-，则角C为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】因为22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-, 整理得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅， 由正弦定理得222a b c ab +-=所以角C 的余弦定理为2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，所以角C 为3π， 故选：B9．二项式6x⎛⎝展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________.2020届广西桂林市高三第一次联合调研考试数学试题 【答案】2±【解析】()3662166rr r r r r r T C x C a x --+⎛==- ⎝，由3602r -=得()4464,240r C a =∴-=， 解得2a =±. 故答案为：2±.10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>则它的一条渐近线被圆()2248x y ++=所截得的弦长等于_____. 【答案】4【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，即c a =43=，所以3b a =，故双曲线的渐近线方程为3y x =±30y ±=，又圆()2248x y ++=的圆心为()40-，，半径为r =所以圆心到任一条渐近线的距离为2d ==，因此，弦长为4=. 故答案为411．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2533,413nnn n n n a S a b n +=⨯-=-.（1）证明：数列{}23nn a -⨯为常数列.（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）当1n =时，1153312S a +=⨯-=，所以16a =；当2n …时，由533n n n S a +=⨯-①，得111533n n n S a ---+=⨯-②， ①-②得，112103n n n a a ---=⨯，所以()11123232nn n n a a ---⨯=-⨯，因为16a =，所以11230a -⨯=，所以230n n a -⨯=，故数列{}23nna-⨯为常数列； （2）由（1）知，23nn a =⨯，所以()2223211412121413n n n b n n n n ⨯===---+-， 所以12311111111335572121n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1212121nn n =-=++. 12.如图，多面体ABCE 中，平面AEC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AE CD ⊥四边形BCDE 为平行四边形.（1）证明：AE EC ⊥；（2）若AE EC CB ===D ACE --的余弦值.【解析】（1）因为平面AEC ⊥平面ABC ，交线为AC ，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面AEC ，BC AE ∴⊥，又AE CD ⊥，CD BC C ⋂=， 则AE ⊥平面BCDE ，EC ⊂平面BCDE ， 所以，AE EC ⊥；（2）取AC 的中点O ，AB 的中点F ，连接OE ，OF ，则OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面AEC ； 以点O 为坐标原点，分别以OA ，OF ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，已知AE EC CB ===，则2AC =，1OE =，()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0C -，()0,D ，则()2,0,0AC =-u u u r，()1,AD =-u u u r ，设平面DAC 的一个法向量(),,m x y z =u r，由0,0m AC m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得20,0x x z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令y ，则0x =，2z =，即()2m =u r；平面ECA 的一个法向量为()0,1,0n =r；cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r所以二面角D AC E --的余弦值为3. 13.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB，求α的值. 【解析】（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩,消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+=曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ=故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=,设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<<3424πππαα∴-=∴=. 14.已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）1,0,0x y x y +=>>Q 且，0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩，01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>， ()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225x y y x =++ 59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y xx y ++=⋅ 1x y xyxy+++=21xy=+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当12x y ==时，等号成立.。
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保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练(八) 前3个大题和1个选考题不容有失1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sinC ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝，c ＝.2π33(1)求角C ；(2)若点E 满足＝2，求BE 的长．AE → EC → 解：(1)由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ×＋c ×，a 2＋b 2－c 22ab b 2＋c 2－a 22bc 化简得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝.12又0<C <，所以C ＝.π3π6(2)由正弦定理易知＝＝，b sin Bc sin C 3解得b ＝3.又＝2，所以AE ＝AC ＝b ，即AE ＝2.AE → EC → 2323在△ABC 中，因为∠ABC ＝，C ＝，所以A ＝，2π3π6π6所以在△ABE 中，A ＝，AB ＝，AE ＝2，π63由余弦定理得BE ＝＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cosπ6＝1，3＋4－2×3×2×32所以BE ＝1.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，点M 为棱PC 的中点，点E ，F 分别为棱AB ，BC 上的动点(E ，F 与所在棱的端点不重合)，且满足BE ＝BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面MBD ；(2)当三棱锥F PEC 的体积最大时，求二面角C MF E 的余弦值．解：(1)证明：连接AC 交BD 于N ，连接MN .因为底面ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，AN ＝CN ，又PM ＝MC ，所以MN ∥PA .因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，因为AC ⊂底面ABCD ，所以AC ⊥MN .因为BD ∩MN ＝N ，BD ⊂平面MBD ，MN ⊂平面MBD ，所以AC ⊥平面MBD .因为BE ＝BF ，BA ＝BC ，所以＝，即EF ∥AC .BE BA BF BC 所以EF ⊥平面MBD .因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面MBD .(2)设BE ＝BF ＝x ，则S △CEF ＝x (2－x )．12又PA ＝2，所以V F PEC ＝V P EFC ＝×x (2－x )1312×2＝－(x －1)2＋.1313当三棱锥F PEC 的体积最大时，x ＝1，即E ，F 分别为AB ，BC 的中点．分别以A 为坐标原点，，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建AB → AD → AP → 立如图所示的空间直角坐标系A xyz .则C (2,2,0)，F (2,1,0)，E (1,0,0)，M (1,1,1)，＝(1,0，－1)，＝(－1，－1,0)，＝(0,1,0)．MF → FE → FC → 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面MEF 的法向量，则Error!即Error!可取n ＝(1，－1,1)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MCF 的法向量，则Error!即Error!可取m ＝(1,0,1)．则cos 〈n ，m 〉＝＝＝.n ·m |n ||m |23×263由图知所求二面角为钝角，所以二面角C MF E 的余弦值为－.633．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图1是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表1是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．二级滤芯更换的个数56频数6040表1以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望；(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数，若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值．解：(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.(2)由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12，对应的概率分别为0.2,0.4,0.4，由题意，X可能的取值为20,21,22,23,24，并且P(X＝20)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝21)＝0.2×0.4×2＝0.16，P(X＝22)＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32，P(X＝23)＝0.4×0.4×2＝0.32，P(X＝24)＝0.4×0.4＝0.16.所以X的分布列为X2021222324P0.040.160.320.320.16E(X)＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4.(3)因为m＋n＝28，n∈{5,6}，所以若m ＝22，n ＝6，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22×80＋200×0.32＋400×0.16＋6×160＝2 848.若m ＝23，n ＝5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23×80＋200×0.16＋5×160＋400×0.4＝2 832.故m ，n 的值分别为23,5.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝，点P 的极坐标为.21＋sin2θ(2，π4)(1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.解：(1)由ρ2＝，得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，①21＋sin2θ将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsinθ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为＋y 2＝1.x 22设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为，(2，π4)所以x ＝ρcos θ＝cos ＝1，y ＝ρsin θ＝sin ＝1.2π42π4所以点P 的直角坐标为(1,1)．(2)法一：将Error!代入＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，x 22Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－.11041依题意，点M 对应的参数为，t 1＋t 22所以|PM |＝＝.|t 1＋t 22|5541法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝，y 0＝.x 1＋x 22y 1＋y 22由Error!消去t ，得y ＝x －.将y ＝x －代入＋y 2＝1，并整理得43134313x 2241x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝－.16411641所以x 0＝，y 0＝x 0－＝×－＝－，即M .84143134384113341(841，－341)所以|PM |＝＝＝.(841－1)2＋(－341－1)2(－3341)2＋(－4441)255415．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|ax －3|(a >0)．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值．解：(1)当a ＝2时，不等式f (x )>1即|x ＋1|－|2x －3|>1.当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＋2x －3>1，解得x >5，因为x ≤－1，所以此时原不等式无解；当－1<x ≤时，原不等式可化为x ＋1＋2x －3>1，32解得x >1，所以1<x ≤；32当x >时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋3>1，解得x <3，所以<x <3.3232综上，原不等式的解集为{x |1<x <3}．(2)法一：因为a >0，所以>0，3a 所以f (x )＝Error!因为a >0，所以f (－1)＝－a －3<0，f ＝1＋>0.(3a )3a 当0<a <1时，f (x )的图象如图1所示，要使得y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(a －1)(a ＋1)＝－1，解得a ＝0，舍去；当a ＝1时，f (x )的图象如图2所示，所以y ＝f (x )的图象与x 轴不能围成三角形，不符合题意，舍去；当a >1时，f (x )的图象如图3所示，要使得y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(1－a )(a ＋1)＝－1，解得a ＝±，因为a >1，所以a ＝.22综上，所求a .2法二：因为a >0，所以>0，3a 所以f (x )＝Error!若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(a －1)(a ＋1)＝－1或(a ＋1)(1－a )＝－1，解得a ＝0(舍去)或a ＝或a ＝－(舍去)．22经检验，a 符合题意，2所以所求a .2。