北京中考数学专题复习反比例函数的综合题

北京中考数学专题复习反比例函数的综合题

一、反比例函数

1．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数

的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．

【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，

∴反比例函数的解析式为y=

（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．

将y=kx+b代入y= 中，得：

kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，

∴4n=﹣，即nk=﹣1①．

令y=kx+b中x=0，则y=b，

即点C的坐标为（0，b），

∴S△BOC= bn=3，

∴bn=6②．

∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，

∴1=4k+b③．

联立①②③成方程组，即，

解得：，

∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3

【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的

值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．

2．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y= （k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________．

【答案】（1）解：如图1，

当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的边长CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设小正方形的边长为a，

易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= ．

解得a= ，所以小正方形边长为，

∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或

（2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C点坐标为（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

反比例函数的解析式为y= ．

（3）（3，4）；y=﹣ x2+ ；偶数

【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点

为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，

③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在

④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点

C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；

⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C

的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣；

⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D

的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；

∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，

∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．

【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x 轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。

（1）一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；

（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作DE，CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，从而可以求解；（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能在（3，4）的左侧，也可能在（3，4）的右侧，因此过点（3，4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长，即可求出抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。

3．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）

（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．