机械能之平抛与圆周运动组合问题的分析

所谓 “ 程序法 ” 是指根据题意按先后顺序分析发生的 运动过程，并明确每一过程的受力情况、运动性质、满 足的规律等等，还要注意前后过程的衔接点是具有相同 的速度．
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【突破训练 2】在我国南方农村地区有一种简易水轮机，如图 4 所示，从悬崖上流出的水 可看做连续做平抛运动的物体，水流轨道与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上 安装的挡水板，可使轮子连续转动，输出动力．当该系统工作稳定时，可近似认为水的末 速度与轮子边缘的线速度相同．设水的流出点比轮轴高 h＝5.6 m，轮子半径 R＝1 m．调 整轮轴 O 的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平线成 θ＝37° 角．(已知 sin 37° ＝ 0.6，cos 37° ＝0.8，g＝10 m/s2)问： (1)水流的初速度 v0 大小为多少？ (2)若不计挡水板的大小，则轮子转动的角速度为多少？
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度 利用平抛运动在水平方向是 mgsin 53° 匀速直线运动特点 a＝ ＝8 m/s2 m 初速度 v＝ v0 2＋vy 2＝5 m/s H 1 ＝vt2＋ at2 2 sin 53° 2 代入数据，解得 t2＝2 s 涉及时间问题首先想到牛顿 或 t2′＝－
27.直线运动、平抛运动和圆周运动组合问题分析 【例3】（16分）如图5所示，是某公园设计的一个游乐 设施，所有轨道均光滑，AB面与水平面成一定夹角.一 无动力小滑车质量为m=10kg，沿斜面轨道由静止滑下, 然后滑入第一个圆形轨道内侧，其轨道半径R=2.5m， 不计通过B点时的能量损失，根据设计的要求，在轨道 最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小滑车对轨 道的压力，并通过计算机显示出来，小滑车到达第一个 圆形轨道最高点C处时刚好对轨道无压力，又经过水平 轨道滑入第二个圆形轨道内侧，其轨道半径r=1.5m，然 后从水平轨道飞入水池内，水面离水平轨道的距离为 h=5m，g取10m/s2，小滑车在运动全过程中可视为质点， 求：
2
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(3)设小物块刚好滑到木板右端时与木板
v0
vCy vC
达到共同速度，大小为 v，小物块在木板 上滑行的过程中， 小物块与长木板的加速 度大小分别为
m＝1 kg 的小物块，v0＝3 m/s 的初速度， 质量为 M＝3 kg 的长木板．小物块与长 木板的动摩擦因数 μ＝0.3，R＝0.5 m，θ ＝53° ，不计空气阻力， g＝10 m/s2.求： (1)A、C 两点的高度差； (2)小物块刚要到达圆弧轨道末端 D 点时对 轨道的压力； (3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小 长度．(sin 53° ＝0.8，cos 53° ＝0.6)
物理
人教版
第五章
专题四
机械能
平抛与圆周运动组合问题的分析
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考点一 平抛运动与直线运动的组合问题
1． 一个物体平抛运动和直线运动先后进行，要明确直线
运动的性质，关键抓住速度是两个运动的衔接点．
2． 两个物体分别做平抛运动和直线运动，且同时进行，
则它们运动的时间相等，同时满足一定的空间几何 关系．
v0
v y＝ v 0tan 53° ， vy 2＝ 2gh 代入数据，得 v y＝ 4 m/s， v 0＝ 3 m/s.
vy
v
(2)由 vy＝gt1 得 t1＝0.4 s x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m
h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin 53° ＝0.8， cos 53° ＝0.6， (1)小球水平抛出时的初速度 v0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 x； (3)若斜面顶端高 H＝20.8 m，则小球 离开平台后经多长时间到达斜面底端？
点以 v0＝3 m/s 的初速度水平抛出，到达 C 点时，恰好沿 C 点的切线方向进入固定在 水平地面上的光滑圆弧轨道， 最后小物块滑上紧靠轨道末端 D 点的质量为 M＝3 kg 的 平抛末速度方向 长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑 接触，小物块与长木板间的动摩擦因数 μ＝0.3，圆弧轨道的半径为 R＝0.5 m，C 点和 圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角 θ＝53° ，不计空气阻力，取重力加速度 g＝10 m/s2. 求： (1)A、C 两点的高度差； (2)小物块刚要到达圆弧轨道末端 D 点时对轨道的压力； (3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．(sin 53° ＝0.8，cos 53° ＝0.6)
FN
Ff
mg
解析 (1)小朋友沿 AB 下滑时， 受力情况如
考点二
平抛运动与圆周运动的组合问题
物块与木板之间有摩擦力
不考虑木板和地 面之间的摩擦
图3
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解析
v0
vCy vC
(1)小物块在 C 点时的速度大小为
v0 vC＝ ＝ 5 m/s，竖直分量为 vCy＝ 4 m/s cos 53° vCy2 下落高度 h＝ ＝ 0.8 m 2g
(2)小物块由 C 到 D 的过程中，由动能定理得 1 1 mgR(1－cos 53° )＝ mvD2－ mvC 2 2 2 解得 vD＝ 29 m/s 小球在 D 点时由牛顿第二定律得 vD 2 FN－mg＝m R 代入数据解得 FN＝68 N 由牛顿第三定律得 FN′＝FN＝68 N， 方向竖直向下
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1. 对于多过程问题首先要搞清各运动过程的 特点，然后选用相应规律．
2．要特别注意运用有关规律建立两运动之间的联系， 把转折点的速度作为分析重点．
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【突破训练 3 】 水上滑梯可简化成如图 6 所示的 模型，斜槽 AB 和光滑圆弧槽 BC 平滑连接．斜槽 AB 的竖直高度差 H＝6.0 m，倾角 θ＝37° ；圆弧 槽 BC 的半径 R＝3.0 m， 末端 C 点的切线水平；C 点与水面的距离 h＝0.80 m．人与 AB 间的动摩擦 因数 μ＝0.2，取重力加速度 g＝10 m/s2，cos 37° ＝0.8， sin 37° ＝0.6. 一个质量 m＝30 kg 的小朋友 从滑梯顶端 A 点无初速度地自由滑下，不计空气 阻力．求： (1)小朋友沿斜槽 AB 下滑时加速度 a 的大小； (2)小朋友滑到 C 点时速度 v 的大小及滑到 C 点时 受到槽面的支持力 FC 的大小； (3)在从 C 点滑出至落到水面的过程中，小朋友在 水平方向的位移 x 的大小．
m＝1 kg 的小物块，v0＝3 m/s 的初速度， 质量为 M＝3 kg 的长木板．小物块与长 木板的动摩擦因数 μ＝0.3，R＝0.5 m，θ ＝53° ，不计空气阻力， g＝10 m/s .求： (1)A、C 两点的高度差； (2)小物块刚要到达圆弧轨道末端 D 点时对 轨道的压力； (3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小 长度．(sin 53° ＝0.8，cos 53° ＝0.6)
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【例 1】如图 1 所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在邻近平 台的一倾角为 α＝53° 的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑， 已知斜面顶端与平台的高度差 h＝0.8 m，重力加速度取 g＝ 10 m/s2，sin 53° ＝0.8，cos 53° ＝0.6，求： 的水平和竖直距离 (1)小球水平抛出时的初速度 v0；
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vC 2 解析 (1)在 C 点：mg＝m R 所以 vC＝5 m/s （1 分） （2 分）
(2)由 C 点到 D 点过程： 1 1 mg(2R－2r)＝ mvD 2－ mvC 2 （2 分） 2 2 2 【例3】m=10kg，R=2.5m，不计通过B点时的能量损失， 在 D 点：mg＋F ＝mvD （2 分） N r 小滑车到达第一个圆形轨道最高点C处时刚好对轨道无 所以 FN＝333.3 N （1 分） 压力，r=1.5m，h=5m，g取10m/s2，求： 由牛顿第三定律知小滑车对轨道的 （1）小滑车在第一个圆形轨道最高点C处的速度vC的 压力为 333.3 N. （1 分）
大小； （2）在第二个圆形轨道的最高点D处小滑车对轨道的 压力FN的大小； （3）若在水池内距离水平轨道边缘正下方的E点 x=12m处放一气垫（气垫厚度不计），要使小滑车既能 安全通过圆形轨道又能落到气垫上，则小滑车至少应 从离水平轨道多高的地方开始下滑？
(3)小滑车要能安全通过圆形轨道， 在平台上速度至少为 v1，则 1 1 mvC 2＋mg(2R)＝ mv1 2（2 分） 2 2 小滑车要能落到气垫上，在平台上速度至少为 v2， 1 则 h＝ gt2 （1 分） x＝v2t （1 分） 2 1 解得 v2>v1，所以只要 mgH＝ mv2 2， 2 即可满足题意．解得 H＝7.2 m （3 分）
图4
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解析 (1)水流做平抛运动，有
v0
1 h－Rsin 37° ＝ gt2 2 解得 t＝ 2 h－Rsin 37° ＝1 s g
vy
v
所以 vy＝gt＝10 m/s，由图可知： v0＝vytan 37° ＝7.5 m/s. v0 (2)由图可知：v＝ ＝12.5 m/s， sin 37°
⑤包括两个条件：一是安全通过圆形轨
道，只要能通过C，一定可通过D；二是 平抛运动后要落到气垫上，对应一最小 平抛速度.通过比较两个条件下到达平台 的速度即可求解
(1)小滑车在第一个圆形轨道最高点C处的速度vC的大小; (2)在第二个圆形轨道的最高点D处小滑车对轨道的压力 FN的大小； (3)若在水池内距离水平轨道边缘正下方的E点x=12m处 放一气垫（气垫厚度不计），要使小滑车既能安全通过 圆形轨道又能落到气垫上，则小滑车至少应从离水平轨 道多高的地方开始下滑？
v 根据 ω＝ 可得 ω＝12.5 rad/s. R
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分析运动过程抓住各段运动的运动特征 ①不计摩擦力做功，应考虑机械能守恒 定律 ②匀加速直线运动 ③圆周运动的临界状态，只有重力提供 向心力，根据牛顿第二定律即可求得vC ④要求到达D处的速度vD，可利用机械 能守恒定律建立C、D两点的关系
说明了平抛运动的末速度方向 (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 x；明确了速度的分解的角度 由此就可以明确平抛运动 指出了运动性质为平抛运 动，想一想平抛的特点
(3)若斜面顶端高 H＝20.8 m， 则小球离开平台后经多长时间到达 斜面底端？
图1
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解析 (1)由题意可知，小球落到斜面上并刚好沿 将小球在斜面顶端的速度进 行分解即可 斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行
a1＝μg＝3 m/s2， μmg a2＝ ＝1 m/s2 M 速度分别为 v＝vD－a1t，v＝a2t 对物块和木板系统，由能量守恒定律得 1 1 μmgL＝ mvD 2－ (m＋M)v2 2 2 解得 L＝3.625 m， 即木板的长度至少是 3.625 m
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程序法在解题中的应用
运动定律 13
4
s(不合题意舍去)
所以 t＝t1＋t2＝2.4 s.
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抓住小球平抛到斜面顶端 “刚好沿光滑斜面下滑 ”这 一关键条件，利用斜面倾角和速度的分解与合成求合 速度．
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【突破训练 1】如图 2 所示，我某集团军在一次空地联合军事演习中，离地面 H 高处的飞 机以水平对地速度 v1 发射一颗炸弹欲轰炸地面目标 P，反应灵敏的地面拦截系统同时以初 速度 v2 竖直向上发射一颗炮弹拦截 (炮弹运动过程看做竖直上抛 )．设此时拦截系统与飞机 的水平距离为 x，若拦截成功，不计空气阻力，则 v1、v2 的关系应满足 H A． v1＝ v2 x x C．v1＝ v2 H B． v1＝ v2 D．v1＝ v2 x H ( C )
解析
由题意知从发射到拦截成功水平方向应满足：
1 1 x＝ v1t，同时竖直方向应满足： H＝ gt2 ＋ v2t－ gt2 2 2 x H x ＝v2t，所以有 ＝ ，即 v1＝ v2，C 选项正确． v1 v2 H
图2
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圆弧轨 不计摩擦 道不动 【例 2】如图 3 所示，有一个可视为质点的质量为 m＝1 kg 的小物块，从光滑平台上的 A