河南省南阳市2016_2017学年高二数学下学期期中质量评估试题理
河南省南阳市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
河南省南阳市2014-201 5学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r12．关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 43．若f（x）在R上可导，f（x）=x2+2f′（2）x+3，则f（x）dx=（）A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣184．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.65．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种6．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C． D．7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（）A．2B． 3 C． 6 D．78．使得（n∈N）的展开式中含有常数项的最小的n为（）+A．4B． 5 C． 6 D．79．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3B． 3.15 C．3.5 D．4.510．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③11．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 412．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f （x）＞0恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．14．若对于任意实数x，有x5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，则a1+a3+a5﹣a=．15．已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个不等式的正数x1，x2（x1＞x2），都有f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2）成立，则实数a的取值范围是．16．数列{an }共有5项，其中a1=0，a5=2，且|ai+1﹣ai|=1，i=1，2，3，4，则满足条件的不同数列的个数为．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；（2）据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（2）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．数列{an }满足：a1=1，an+1=+1，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4，猜想通项公式an，用数学归纳法证明你的猜想；（Ⅱ）求证：++…+＜（an+1）2，n∈N*．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．河南省南阳市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1考点：相关系数．专题：计算题．分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．解答：解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．2．关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 4考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据每个小题的要求作出相应的解答，判断每个命题的真假，则答案可求．解答：解：p1：由复数z==，则复数z对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限，故p1错误；p2：由p1中得到z=﹣1﹣i，则z2=（﹣1﹣i）2=2i，故p2正确；p3：由p1中得到z=﹣1﹣i，则z的共轭复数为﹣1+i，故p3错误；p4：由p1中得到z=﹣1﹣i，则z的虚部为﹣1，故p4正确．∴真命题个数为：2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了共轭复数的求法，是基础题．3．若f（x）在R上可导，f（x）=x2+2f′（2）x+3，则f（x）dx=（）A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣18考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先通过已知等式两边求导令x=2得到f'（2），求出f（x），然后代入定积分计算即可．解答：解：由已知得到f'（x）=2x+2f′（2），令x=2，则f'（2）=4+2f′（2），解得f'（2）=﹣4，所以f（x）=x2﹣8x+3，所以f（x）dx=（x2﹣8x+3）dx=（）|=﹣18；故选D．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识，关键是求出x 的系数f'（2）．4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X＞4）．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2P（0＜X＜4）=0.8，∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，故选A．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．5．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，1=4种情况，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C2若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故选：C．点评：本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．6．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C． D．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个6点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．解答：解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为6×6﹣5×5=11，1×5=10种，“两个点数都不相同”则只有一个6点，共C2故P（A|B）=．故选：A．点评：本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率．7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（）A．2B． 3 C． 6 D．7考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由X～B（2，P）和P（X≥1）的概率的值，可得到关于P的方程，解出P的值，再由方差公式可得到结果．解答：解：∵随机变量X～B（2，P），∴P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣P）2=，解得P=．∴D（Y）=3××=，∴D（3Y+1）=9×=6，故选：C．点评：本题考查二项分布与n次独立重复试验的，属基础题．8．使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B． 5 C． 6 D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，则：Tr+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即nmin=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．9．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3B． 3.15 C．3.5 D．4.5考点：回归分析的初步应用．专题：计算题．分析：先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．解答：解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．点评：本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．解答：解：分析函数的解析式，可得：①y=x•sinx为偶函数；②y=x•cosx为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x 为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③故选：D．点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中函数的图象或解析式，分析出函数的性质，然后进行比照，是解答本题的关键．11．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B． 2 C． 3 D． 4考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数可转化为方程sgn（lnx）﹣ln2x=0的解的个数，从而解方程即可．解答：解：令sgn（lnx）﹣ln2x=0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x=0，解得，x=e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x=0，无解；当lnx=0，即x=1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x=0有两个根，故函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选B．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．12．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f （x）＞0恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c ＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论解答：解：构造函数g（x）=，当x∈（1，+∞）时，g′（x）=，即函数g（x）单调递增，则a=f（2）==g（2），b=f（3）==g（3），c=（+1）f（）==g（），则g（）＜g（2）＜g（3），即c＜a＜b，故选：A．点评：本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据它们的概率之和为1，求出c的值，进一步求出P（1.5＜k＜3.5）的值．解答：解：由随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，得，解c=．∴P（1.5＜k＜3.5）=P（X=2）+P（X=3）=．故答案为：．点评：本题考查了离散型随机变量的期望与方差，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，属于中档题．14．若对于任意实数x，有x5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，则a1+a3+a5﹣a=89．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据x5=[2+（x﹣2）]5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，令x=2，可得a=32，再利用通项公式求得a1、a3+a5的值，可得a1+a3+a5﹣a的值．解答：解：∵x5=[2+（x﹣2）]5=a0+a1（x﹣2）+…+a5（x﹣2）5，令x=2，可得a=32．∴a1=•24=80，a3=•22=40，a5==1，∴a1+a3+a5﹣a=80+40+1﹣32=89，故答案为：89．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个不等式的正数x1，x2（x1＞x2），都有f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2）成立，则实数a的取值范围是a≥．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先确定g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得a≥﹣2x2+2x恒成立，即a≥（﹣2x2+2x）max，即可求出实数a的取值范围．解答：解：∵f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2），∴f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，即g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增，即g′（x）=2x+恒成立，也就是a≥﹣2x2+2x恒成立，∴a≥（﹣2x2+2x）max，∴a≥，故答案为：a≥．点评：本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增是关键．16．数列{an }共有5项，其中a1=0，a5=2，且|ai+1﹣ai|=1，i=1，2，3，4，则满足条件的不同数列的个数为4．考点：数列递推式．专题：排列组合．分析：通过记bi =ai+1﹣ai，i=1、2、3、4，利用a5=b4+b3+b2+b1=2，可知bi（i=1，2，3，4）中有3个1、1个﹣1，进而可得结论．解答：解：记bi =ai+1﹣ai，i=1、2、3、4，∵|ai+1﹣ai|=1，∴|bi |=1，即bi=1或﹣1，又∵a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）=b4+b3+b2+b1=2，∴bi（i=1，2，3，4）中有3个1、1个﹣1，这种组合共有=4，故答案为：4．点评：本题考查排列与组合，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；（2）据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）根据在全部300人中随机抽取1人抽到中国式过马路的概率，做出中国式过马路的人数，进而做出男生的人数，填好表格；（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明反感“中国式过马路”与性别是否有关．解答：解：（1）男性女性合计反感10 6 16不反感 6 8 14合计16 14 30…（2）由已知数据得：，所以，没有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别无关．…点评：本题考查了独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（2）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：（1）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，由加法原理得到结论；（2）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类a、b均不为零，a、b的取值，第二类a、b中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果．3=96（个）；解答：解：（1）当末位数字是0时，百位数字有4个选择，共有4A34=24（个）；当末位数字是5时，若首位数字是3，共有A43=54（个）；当末位数字是5时，若首位数字是1或2或4，共有3×3×A3故共有96+24+54=174（个）．（2）a，b中有一个取0时，有2条；2=20（条）；a，b都不取0时，有A5a=1，b=2与a=2，b=4重复；a=2，b=1，与a=4，b=2重复．故共有2+20﹣2=20（条）．点评：分类计数原理完成一件事，有多类办法，在第1类办法中有几种不同的方法，在第2类办法中有几种不同的方法，…，在第n 类办法中有几种不同的方法，那么完成这件事共有的办法是前面办法数之和．19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．解答：解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：X 2 3 4 5PEX=2×+3×+4×+5×=．点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x 在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴gmax （x）=g（1）=+ln2，gmin（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．数列{an }满足：a1=1，an+1=+1，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4，猜想通项公式an，用数学归纳法证明你的猜想；（Ⅱ）求证：++…+＜（an+1）2，n∈N*．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）由已知条件，利用递推公式能求出a 2=2，a 3=3，a 4=4，由此猜想a n =n ，再用数学归纳法证明． （Ⅱ）an =n ，知证明++…+＜（a n +1）2，n ∈N *．即证，由此利用均值定理能求出来．解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=+1，n ∈N *．∴a 2==2， a 3==3，a 4==4，猜想a n =n证明：①当n=1时，a 1=1，猜想成立； ②假设当n=k （k ∈N *）时猜想成立，即a k =k 那么，，∴当n=k+1时猜想也成立由①②可知猜想对任意n ∈N *都成立，即a n =n （Ⅱ）证明：∵a n =n ，证明++…+＜（a n +1）2，n ∈N *．即证由均值不等式知：，则． ∴++…+＜（an +1）2，n ∈N *．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，再求出f′（x）=，从而得出函数的单调区间；（Ⅱ）分别讨论①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值；（Ⅲ）由题意得a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，得到h（x）=g′（x）=1+lnx ﹣3x2，h′（x）=，得出h（x）在（1，+∞）递减，从而g（x）在（1，+∞）递减，问题解决．解答：解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，∵a＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=，①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上递增，∴f（x）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍），②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上递减，∴f（x）min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍），③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）递减，当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）递增，∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，∴a=﹣，综上a=﹣；（Ⅲ）∵f（x）＜x2，∴lnx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，∴h（x）＜h（1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，∴g（x）＜g（1）=﹣1，∴a≥﹣1时，f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道综合题．。
河南省南阳市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题(word版含答案)
南阳市2017年舂期高中二年级期终质量评估数学试卷（理科）2017年6月本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
试卷满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒1.已知：i i z -=+3)21(，则z =（ ）A.i 571+B.i 5751+C.i 3731-D.i 3735- 解析：i i i z 5751213-=+-=2.设随机变量ξ～),2(p B ，随机变量η～ ),3(p B ，若95)1(=≥ξP ，则ηE =( ) A.31 B.32 C.1 D.2719 解析：因为95)1(=≥ξP ，所以951)1(2-=-p ，所以31=p .故η～ )31,3(B ，因此，1=ηE 3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,1(-N 的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（ ）A.1193B.1359C.2718D.3413附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμx P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμx P解析：由题意知：1-=μ，1=σ，因为1359.0)]02()13([21)10(=≤<--≤<-=<<X P X P X P ， 所以，落阴影部分的点的个数为1359.4.已知x ，y 的取值如下表，从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为 3.5 1.3y x =-，则m =（ ）A ．15B ．16C ．2.16D ．17解析：3554321=++++=x ，529512872mm y +=++++=，点（y x ,）在直线3.15.3^-=x y 上，故17=m5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：322322=，833833=，15441544=，24552455=，则按照以上规律，若nn 8888=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．80解析：方法一：找规律：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7,48=6×8,63=7×9 方法二：由nn 8888=得：n n 88864+=⨯，解得：63=n6.从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为( )A.81 B.92 C.151 D.173解析：记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A ，记“抽出的两张都是假币”为事件B ，则81)()()|(21017132321023=+==C C C C C C A P AB P A B P 7.函数2()sin ()πf x x x x =-∈R 的部分图象是( D )8、已知函数函数a ax x a x x f ---+=232131)(，其中0>a ，若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰好有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.)3,0(B.),3(+∞C.)31,0( D.),31(+∞解析：易知函数)(x f 在区间)1,2(--内单调增加，在区间)0,1(-单调减少，从而函数)(x f 在区间)0,2(-内恰好有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ，解得310<<a9.已知：9922108)1(...)1()1()2(-++-+-+=-x a x a x a a x x ，则6a =（ ） A.28- B.448- C.112 D.448解析：令1-=x t ，则9922108...)1)(1(t a t a t a a t t ++++=-+，故28)1()1(2283386-=-+-=C C a10.已知数列}{n a 各项的绝对值均为1，n S 为其前n 项和.若37=S ，则该数列}{n a 的前七项的可能性有（ ）种.A.10B.20C.21D.42解析：由37=S 可知，前七项之中有5项为1，2项为1-，故该数列前七项的排列有2127=C11.若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-⎰600,3cos 20),5(πx tdt x x f x ，则f （2017）=（ ）A ．241 B ．2411 C ．245 D ．21解析：由题可知：当0>x 时，)5()(-=x f x f ，所以)3()2()2017(-==f f f ，故2411|3sin 31813cos 2)3(6063=+=+=-⎰-ππt tdt f12.已知定义在R 上函数)(x f 是可导的，2)1(=f ,且1)(')(<+x f x f ，则不等式x e x f -<-11)(的解集是（ ）（注：e 为自然对数的底数）A.),1(+∞B.)1,0()0,( -∞C.)1,0(D.)1,(-∞解析：设)1)(()(-=x f e x F x ，则]1)(')([)('-+=x f x f e x F x ，因为0>xe ，由已知可得，0)('<x F ，即函数)('x F 是单调减函数，e F =)1(，故x e x f -<-11)(，即)1()(F x F <，则有，1>x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分, 请将正确答案填在答题纸．．．上. 13.在二项式n xx )21(4⋅+的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重．新．排成一列，则有理项互不相邻的概率为__________（用最简分数表示）. 解析：125. 由题意可知，展开式的通项为：43212r n rn r r xC T --+⋅⋅=（=r 0，1，2，…，n ），则有22011222n n n C C C --+=⨯，得8=n .则当8,4,0=r 时，432rn -为整数，即在展开式的9项中，有3项为有理项，则所求的概率为125993766==A A A P14.若函数2)(ax e x f x +=无．极值点，则a 的取值范围是______. 解析：答案：]0,2[e-（数形结合） ax e x f x 2)('+=，设令0)('=x f ，即ax e x2-=，设xe x g =)(，ax x h 2)(-=,易求过点)0,0(的曲线)(x g 的切线方程为ex y =，因此，由题意可得，e a ≤-≤20，故02≤≤-a e15.已知结论：“在正．△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则2=GDAG”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正．四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则OMAO= ．解析：3=OMAO. 【方法一】如图，设正四面体ABCD 的边长为a 2，其外接球的半径为R ，则有，R BO AO ==，a BM 332=，故a AM 632=，则R a OM -=362，在BOM RT ∆中，222BM OM BO +=，解得，a R 26=，即a AO 26=，a a a OM 6626362=-=，故3=OM AO . 【方法二】：等体积法得H=4r16.已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且⎰++-=23)()2('3)(dx x f x f x x f ，则⎰2)(dx x f =_______.解析：设a dx x f =⎰20)(，则a x f x x f ++-=)2('3)(3，所以，)2('33)('2f x x f +-=，令2=x ，求得6)2('=f ，故a x x x f ++-=18)(3，因此，⎰⎰+=++-=++-=20224320232|)941()18()(a ax x x dx a x x dx x f ， 则有a a =+232，得32-=a .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）已知：二项式n x )21(+展开式中所有项的二项式系数．．．．．和为64，（1）求n 的值；（2）若展开式所有项的系数．．和为2b a +，其中b a ,为有理数，求a 和b 的值. 解析：（1）由题意，642=n，6=n ………………………………4分 （2）展开式的通项为r r r rrr x C x C T 26612)2(==+（6,...,2,1,0=r ） …………6分则9984266462606=+++=C C C C a ， …………………………………………8分 7042563616=++=C C C b ……………………………………………………10分【方法二】令1=x ，则2)21(6b a +=+，因为270992167225437)223(])21[()21(3326+=+++=+=+=+ 故，99=a ，70=b .18.（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出2K ，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=下面的临界值表供参考：解析：（１）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为305= ∴男生应该抽取12045⨯=人………………………………….４分 （２）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。
南阳市2016秋期中高二数学期中试题(答案版)
2016秋南阳市高二数学期中试题答案一、选择题（本大题满分60分，每小题5分）：1、已知：全集{}12>=x x U ，集合{}0342<+-=x x x A ，则=A C U （ C ） A 、(1,3) B 、),3[)1,(+∞-∞Y C 、),3[)1,(+∞--∞Y D 、),3()1,(+∞--∞Y3、已知：1>x ，则1-+x x 的最小值为（ B ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 提示：5114)1(21]14)1[(14=+-⋅-≥+-+-=-+x x x x x x 4、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝15，则S 7的值是(B ) A 、28B 、35C 、42D 、7提示：4622a a a =+，54=a ，3572)(74717==+=a a a S 5、已知：数列}{n a 为等比数列，其前n 项和t S n n +=-13，则t 的值为（ C ）A 、1-B 、3-C 、31- D 、1提示：t t S n n n+⋅=+=-33131，31-=t 或者利用t S n n +=-13求出数列前三项。
6、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ） A 、b = 10，A = 45°，B = 60° B 、a = 60，c = 48，B = 120°C 、a = 7，b = 5，A = 75°D 、a = 14，b = 16，A = 45° 提示：A 选择支是“AAS ”，B 选择支是“SAS ”，显然只有一解。
7是用无理数表示有理数的一个范例。
由此，=5a （B ） A 、3 B 、5 C 、8 D 、13提示：斐波那契数列：21--+=n n n a a a ，所以，只须求出1,121==a a8、已知在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4＝16，则|a 1－12|＋|a 2－12|＋…＋|a 8－12|＝(B )．A 、224B 、225C 、226D 、256 9、不等式11>++bx ax 的解集为),3()1,(+∞--∞Y ，则不等式022<-+b ax x 的解集为（ A ）A 、)2,3(--B 、)31,21(-- C 、),2()3,(+∞---∞Y D 、),31()21,(+∞---∞Y提示：11>++bx ax 得0)]1()1)[((>-+-+b x a b x ，由题知方程0)]1()1)[((=-+-+b x a b x 的二根为-1和3 ，易得：3,5-==b a10、在△ABC 中，若2222sin )sin(ba b a C B A +-=-，则△ABC 的形状是( D )． A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等腰或直角三角形提示：)sin(sin B A C +=，易得B A b A B a cos sin cos sin 22=，所以B A 2sin 2sin =，故π=+=B A B A 2222或者11、某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是(C ) A 、2日和5日 B 、5日和6日 C 、6日和11日 D 、2日和11日 提示：1~12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8+9=17，所以11号只能是丙去值班了。
河南省豫南九校2016-2017学年高二下学期期中联考数学理试题 含答案 精品
豫南九校2016—2017学年下期期中联考高二数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简11iz i+=-的结果是（ ） A ．3 B ．1 C ．2i + D ．i 2．已知28y x =，则它的焦点坐标为（ ） A ．()2,0 B ．()0,2 C ．1,032⎛⎫⎪⎝⎭ D ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充分不必要条件.②0a b >>是11a b<的充要条件.③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在ABC V 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知cos cos a B b A =，ABC V 的形状（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln 3+，则n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．36．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则当1n >时，n S =（ ）A ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12n - C ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111132n -⎛⎫-⎪⎝⎭7．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．96种 B ．48种 C ．24种 D ．144种8．已知()3f x x ax =-在(],1-∞-上是单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),3-∞D ．(],3-∞ 9．已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+其导函数()f x '图象大致是（ ）A B C D10．已知双曲线C ：22221y x a b-=（0a b >>）的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++的图象相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B．211．已知二次函数()2f x ax bx c =++的导数为()f x '，()00f '>，对于任意实数x 有()0f x ≥，则()()10f f '的最小值为（ ） A ．2 B ．52 C ．32D ．3 12．若函数()()21ln f x x a x =+-在区间()0,+∞内任取有两个不相等的实数1x ，2x ，不等式()()1212111f x f x x x +-+>-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．(),3-∞-C ．(],3-∞D ．(],3-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是 ．14．函数4y x x=+的取值范围为 ． 15．已知等差数列{}n a 中，225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++= ．16．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=.当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC V 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知2b ，2a ，2c 成等差数列.（1）求cos A 的最小值；（2）若2a =，当A 最大时，ABC V 面积的最大值？ 18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令14n nb a =，1n n n c b b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19．如图，已知长方形ABCD中，AB =AD =M 为DC 的中点.将ADM V 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . （1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为2.20．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，过焦点垂直长轴的弦长为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线22y x =于A 、B 两点，求证：OA OB ⊥.21．已知函数()2a f x x x=+，()()ln g x x x =---其中0a ≠，（1）若1x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值及()g x 的单调区间；（2）若对任意的[]11,2x ∈，[]23,2x ∃∈--使得()()12f x g x ≥恒成立，且20a -<<，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程和极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭射线OM ：6πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.豫南九校2016—2017学年下期期中联考高二数学（理）答案一、选择题1-5:DDBBA 6-10: CADDD 11、12：AC二、填空题13．9- 14．4y ≤-或4y ≥ 15．3 16．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题17．解：（1）222b ac ⋅⋅Q 成等差数列，2222a b c ∴=+2222b c a +∴=又222cos 2b c a A bc +-=2222224b c b c bc bc++==2142bc bc ≥= 即cos A 最小值为12（2）由（1）知3A π=,且2222b c a +=82bc =≥4bc ∴≤1sin 2S bc A ∴==142⋅=(其他方法合理即可) 18．解： （1）{}n a 为等差数列，且n S 为其前n 项和n =又{}nS 为等差数列，且与{}na 公差相等102d d a ⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩ 11214d a ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 1(1)n a a n d ∴=+-=1111(1)4224n n +-⋅=- （2）14n nb a =1n n n C b b =⋅+ 1(21)(21)n C n n ∴==-+111()22121n n --+ 1n n T C C ∴=++1111121335⎛=-+-+ ⎝11212121nn n n ⎫+-=⎪-++⎭ 19．解：（1）证明：长方形ABCD 中，AB =AD =M 为DC 的中点，2AM BM ∴==，BM AM ∴⊥.平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCMBM ∴⊥平面ADM AD ⊂平面ADMAD BM ∴⊥.（2）建立如图所示的直角坐标系设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =，ME MD DB λ=+=()1,2,1λλλ--,()2,0,0AM =-，设平面AME 的一个法向量(),,m x y z =,则()20210x y z λλ=⎧⎪⎨+-=⎪⎩取1y =，得0x =，1y =，21z λλ=-所以20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 因为，cos ,m n =22m n m n⋅=．得13λ=或1λ=- 经检验得13λ=满足题意。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a34．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．28．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A ． 15B ． 16C ． 17D ．189．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f （x ）=x （x ﹣m ）3在x=2处取得极小值，则常数m 的值为（） A ． 2 B ． 8 C ． 2或8 D ． 以上答案都不对 11．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=2，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞2，则f （x ）＞2x+4的解集为（） A ． （﹣1，1） B ． （﹣1，+∞） C ． （﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，+∞） 12．（5分）定义在R 上的可导函数f （x ），且f （x ）图象连续不断，f ′（x ）是f （x ）的导数，当x ≠0时，f ′（x ）+＞0，则哈数g （x ）=f （x ）+的零点的个数（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．0或2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列为等比数列，公比为．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数+（1+i）2=+1﹣3+2=﹣2+2=﹣+i．复数对应点为：（﹣，）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否与的否定的概念，逻辑词语的否定．3．（5分）用数学归纳法证明（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据等式的特点，即可得到结论．解答：证明：∵（a≠1，n∈N*），∴当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，故答案为：1+a+a2+a3．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．解答：解：由关系式f（x）=2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）=2f'（x）+，令x=e得f'（e）=2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）=﹣e﹣1；故选：C．点评：本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．（5分）设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）A．B．C．D．3π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，求出H，可得V，利用导数求最值，即可得出结论．解答：解：设圆柱底面半径为R，高为H，则S=2πRH+2πR2，∴H=﹣R（0＜R≤），∴V=πR2H=﹣πR3，∴V'（R）=当V'（R）=0时，有R=，在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴R=时，体积最大，因此H=，故选：C．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b考点：定积分．专题：计算题．分析：根据x2的原函数为x3，x3的原函数为x4，sinx的原函数为﹣cosx，分别在0到2上求出定积分的值，根据定积分的值即可得到a，b和c的大小关系．解答：解：a=∫02x2dx=|02=，b=∫02x3dx==4，c=∫02sinxdx=﹣cosx|02=1﹣cos2，因为1＜1﹣cos2＜2，所以c＜a＜b．故选D．点评：此题考查学生掌握积分与微分的关系，会进行定积分的运算，是一道基础题．7．（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1B．﹣C．﹣1 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出两个函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=lnx，g（x）=x2+a，∴f′（x）=，g′（x）=x，∵l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，∴k=f′（1）=1，又f（1）=0，则切线l的方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，当x=1时，y=1﹣1=0，即切点坐标为（1，0），∵切点（1，0）也在函数g（x）上，即g（1）=+a=0，解得a=﹣，故选：B点评：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出对应的切线斜率和切点坐标是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A．15 B．16 C．17 D．18考点：归纳推理．专题：规律型．分析：第一行有1个奇数，第二行有2个奇数，…第n行有n个奇数，每行的最后的奇数是第1+2+3+…+n=（1+n）×n÷2个奇数，这个奇数是2×（1+n）×n÷2﹣1=（1+n）×n﹣1，这就是行数n和这行的最后一个奇数的关系，依照这个关系，采用试商法，看2015所在行的最后一个奇数是多少，上一行的最后一个奇数是多少，推算出它所在的行和是第几个数，即可得解．解答：解：依据规律，第n排最后一个数为n×（n+1）﹣1，经试商，44×45=1980，45×46=2070，则知道，第44行末数字为1979；第45行最后数字是2069；÷2=18，故2015所在的列数为18，故选：D点评：本题考查的知识点是归纳推理，先找到规律，再根据规律求解．9．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．解答：解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选A点评：从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．10．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（）A．2B．8C．2或8 D．以上答案都不对考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得m的值，再验证可得结论．解答：解：求导函数，可得f′（x）=（4x﹣m）（x﹣m）2，∵在x=2处取得的极小值，∴f′（2）=（8﹣m）（2﹣m）2=0，∴m=2或8，m=2时，f′（x）≥0，在x=2处不取极值，舍去，m=8时，函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B点评：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．12．（5分）定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f′（x）是f（x）的导数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则哈数g（x）=f（x）+的零点的个数（）A．0B．1C．2D．0或2考点：函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：由题意可得得＞0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=f（x）+=，的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点解答：解：由f'（x）+x﹣1f（x）＞0，得＞0，当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即'＞0，函数xf（x）单调递增；当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即'＜0，函数xf（x）单调递减．又g（x）=f（x）+=，函数g（x）=的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，所以函数g（x）=f（x）+x﹣1的零点个数为0个，故选：A．点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题，关键是构造函数g（x）=xf（x）+1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则数列为等比数列，公比为．考点：类比推理．专题：计算题．分析：仔细分析数列为等差数列，且通项为的特点，类比可写出对应数列为等比数列的公比．解答：解：因为在等差数列{a n}中前n项的和为S n的通项，且写成了．所以在等比数列{b n}中应研究前n项的积为T n的开n方的形式．类比可得．其公比为故答案为．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识．在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．14．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．此几何体的体积可以看作是π﹣，求出定积分的值，即求得题中的体积．解答：解：由曲线y=，直线y=x﹣4可得交点坐标为（8，4），直线y=x﹣4与x轴的交点坐标为（4，0），则旋转体的体积为π﹣=π•x2﹣=．故答案为：．点评：本题考查用定积分求简单几何体的体积，属于基础题．利用定积分求旋转体的体积，求解的关键是找出被积函数和相应的积分区间，准确利用公式进行计算．15．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是b≤﹣1．考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据函数在（﹣1，+∞）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f′（x）＜0进而根据导函数的解析式求得b的范围．解答：解：由题意可知f′（x）=﹣x+＜0，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，∵f（x）=x（x+2）=x2+2x且x∈（﹣1，+∞）∴f（x）＞﹣1∴要使b＜x（x+2），需b≤﹣1故答案为b≤﹣1点评：本题主要考查了函数单调性的应用．利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法．16．（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2﹣，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的取值范围是（﹣，1）．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值，只要g（x）最小值＞1即可．解答：解：∵x∈，∴x2∈，∴f（x）=x2﹣=x2+﹣3≥2﹣3=1，当且仅当x2=，即x2=2时取等号．∴f（x）最小值=1，“对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x1）＞f（x2）”⇔g（x）最小值＞f（x）最小值只要g（x）最小值＞1即可．当m＞0时，g（x）=mx+2是增函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（﹣1）=2﹣m．由题设知2﹣m＞1，解得m＜1，∴0＜m＜1．当m＜0时，g（x）=mx+2是减函数，对任意的x1∈，g（x）min=g（2）=2m+2．由题设知2m+2＞1，解得m＞﹣，∴﹣＜m＜0．当m=0时，g（x）=2＞1，成立．综上所述，m∈（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．点评：本题考查函数恒成立问题的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．三、解答题17．（10分）已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=﹣2+2i，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．②当时，解得，即m=﹣时，复数z为纯虚数．（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，∴．点评：本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到极小值，也为最小值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2+2x﹣1，通过导数求出g（x）的单调性，即可得到证明．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=e x﹣2=0得，x=ln2，当x＞ln2时，f′（x）＞0；当x＜ln2时，f′（x）＜0，故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；（2）证明：设．（x＞0），则g′（x）=e x﹣2x+2，由（1）知g′（x）=e x﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，即x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明，注意构造函数，运用单调性证明，属于中档题．19．（12分）已知点P在曲线y=x2﹣1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）确定P的坐标，设切点Q的坐标，利用导数的几何意义，可得切线的方程；（2）利用定积分表示面积，即可得出结论．解答：（1）解：点P的坐标为（a，a2﹣1），设切点Q的坐标为（x，x2），由k PQ=及y′=2x知=2x，解得x=a+1或x=a﹣1．所以所求的切线方程为2（a+1）x﹣y﹣（a+1）2=0或2（a﹣1）x﹣y﹣（a﹣1）2=0…（6分）（2）证明：S=dx+dx=．故所围成的图形面积S=，此为与a无关的一个常数…（12分）点评：本题考查定积分在求面积中的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），依题意可求得k=1，b=0，故猜想：g（x）=x；然后用数学归纳法加以证明即可．解答：解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，则当n=2时有，a1=g（2）（a2﹣1），又∵，∴g（2）=2即2k+b=2…①．当n=3时有，a1+a2=g（3）（a3﹣1），又∵，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，由①②可得k=1，b=0，所以猜想：g（x）=x，…（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；…（6分）（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a1+a2+a3+…+a k﹣1=g （k）（a k﹣1）对k≥2的一切自然数都成立，则当n=k+1时，a1+a2+a3+…+a k=（a1+a2+a3+…+a k﹣1）+a k=k（a k﹣1）+a k=（k+1）a k﹣k，…（8分）又∵，∴a k=a k+1﹣，∴，∴当n=k+1时，成立．…（11分）由（1）（2）知，对一切n，（n≥2，n∈N*）有g（n）=n，使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n ﹣1）都成立．…（12分）点评：本题考查数列递推关系式及数学归纳法，着重考查推理与论证能力，属于中档题．21．（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=﹣1时f（x）取得极值，则把x=﹣1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在R上为增函数，没有极值与在x=﹣1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=﹣1时无极值；（2）把a=﹣1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c 等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．解答：解：（1）由题意f′（x）=x2﹣2a x﹣a，假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；（2）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．列表如下：由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．当x=﹣1时，F（x）取得极大值；当x=3时，F（x）取得极小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，所以或c=﹣9．点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞e2恒成立，求k的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得对对任意x＞e2恒成立，由此利用构造法结合导数性质能求出整数k的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…（2分）因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，所以，a=1．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，所以，对任意x＞e2恒成立，即对任意x＞e2恒成立．…（5分）令，则…（6分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞e2），则，所以函数h（x）在（e2，+∞）上单调递增…（8分）所以h（x）＞h（e2）=e2﹣4＞0，可得g'（x）＞0故函数在（e2，+∞）上单调递增．所以…（11分）∴k≤g（e2）．故整数k的最大值是3．…（12分）点评：本题考查实数值的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．。
2016_2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题与答案
试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的、号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的号、和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016-2017学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(文)试题 扫描版
参考答案一、选择题 1--12 DBDDB AABDC AC 二、填空题13. 14. i -1 15. 31 16. 271 三、解答题17.解：（1）由i m m m m z )23(3222+++--=）（是纯虚数得⎩⎨⎧≠++=--02303222m m m m .....3分 所以m =3............................................................................. 5分(2)根据题意得⎩⎨⎧>++<--02303222m m m m ，...................................................................... 8分 所以31<<-x .............................................................................. ............... 10分 18解：猜想：*22,)1(1N n n bn a ∈+≥+5分 证明：1=+b a*22222222,)1(111,1(211))(1(1N n n n nb n a b a a n b n n ba n ab n b a bn a b n a ∈+=⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧=+=++≥+++=++=+∴时取等号）即当且仅当所以猜想成立. 12分19.解：（1）作出散点图如下：…（3分）（2）x =（2+3+4+5）=3.5，y =（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）=54，x i y i =52.5∴b ==0.7，a =3.5﹣0.7×3.5=1.05， ∴所求线性回归方程为：y =0.7x +1.05…（10分）（3）当x =10代入回归直线方程，得y =0.7×10+1.05=8.05（小时）．∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分） 20解（1）7,11,3,29====d c b a 2分2250(311729) 6.27 6.635(37)(2911)(329)(711)K ⨯⨯-⨯=≈<++++ 5分所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. （6分）(2) 在[55，65）内的5名被调查者中，两名赞成“楼市限购令”者分别记为A 、B,三名不赞成“楼市限购令”者分别记为C 、D 、E. 从中任选两名共有AB ， AC ， AD ， AE ， BC ， BD ， BE ， CD ， CE ， DE 10种不同情形，1=x 即选中的2人中不赞成“楼市限购令”的人数为1，有AC AD AE BC BD BE 共6种不同情形 故1=x 的概率为53106=·············12分 21.解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，(1)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件B A ⋅发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件B A ⋅发生)根据题意，事件B A ⋅与B A ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26． 6分(2)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．(法2)：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为． 12分22解：（1）()f x 的()f x 定义域为()0,+∞．()1f b =，()()21ln a xf x x-'=，()1f a '=．由已知得，1a =，且120,1b b --=⇒=-．……………………………………………3分（2）()ln 1x f x x =-，()21lnx f x x -'=． 令()0f x '=，得ln 1,x x e =⇒=．当0x e <<时，ln 1x <，∴()0f x '>，∴()f x 在），（e 0内单调递增； 当x e >时，ln 1x >，∴()0f x '<，∴()f x 在）（+∞,e 内单调递减．………………………………5分 因为0m e <<，[],2x m m ∈，所以当2m e ≤，即02e m <≤时，函数()f x 在[],2m m 上的最大值为()ln 2212m f m m =-；② 当2m e >，即2e m e <<时，函数()f x 在[],2m m 上的最大值为()11f e e=-． 综上⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<-=em e ee m m mx f 2,1120,122ln )(max……8分 （3）证明：当*n N ∈时，要证()2ln 2ln n n n n n e ++<+，只需证22ln n n n ne ++<．（*）……9分设()()ln 0x g x x x=>，则由（2）可知()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，∴()()1g x g e e ≤=，即ln 1x x e ≤，即ln x x e≤，当且仅当x e =时等号成立．令2n x n +=()*n N ∈，则(]1,3x ∈，∴（*）式成立，即不等式()2ln 2ln n n n n n e ++<+成立．…………………………12分。
河南省南阳市2016_2017学年高二数学下学期期中质量评估试题理
南阳市2017年春期高二期中考试数学（理）试题一.选择题：1.复数i iz 2121-+=的实部与虚部的和等于（ C ） A ．i 5453+- B ． i 541+ C ．51 D ．59解析：i i i i z 54535432121+-=+-=-+=2.汽车以13+=t V (单位：s m /)作变速直线运动时，在第s 1至第s 2间的s 1内经过的位移是( C )A.m 5.4B.m 5C.m 5.5D.m 6 解析：5.5|)23()13(21212=+=+=⎰t t dt t S3.下列命题错误．．的是( B )． A ．三角形中至少．．有一个内角不小于60°； B ．对任意的R a ∈，函数12131)(23+++=ax ax x x f 至少．．存在一个极值点. C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多．．有一个零点； D ．在锐角．．三角形中，任意．．一个角的正弦大于另两个角的余弦； 解析：a ax x x f ++=2)('，当042≤-=∆a a ，即40≤≤a 时，)(x f 是单调增加的，不存在极值点，故B 错误．4．已知函数xe x x xf )2()(3-=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0的值为（D ）A ．e -B ．1C ．eD ．0解析：)1(')1()1(limf xf x f x =∆-∆+→∆5．若曲线1sin )(+=x x x f 在点)12,2(+ππ处的切线与直线012=+-y ax 互相垂直，则实数=a （A ）A ．－2B ．2C ． 1D ．－1解析：12cos22sin)2('=+=ππππf ，所以，12)2('-=⋅af π，得2-=a6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅．生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）.A. 88B. 89C.90D.91解析：第n 行实心圆点有n a 个，空心圆点有n b 个，由树形图的生长规律可得⎩⎨⎧+==---111n n nn n b a a a b ，∴21--+=n n n a a a （即斐波那契数列），可得数列}{n a 为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…， 即8912=a7.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，)('x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ C ）8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。
河南省南阳市2016_2017学年高二数学下学期期中质量评估试题文
南阳市2017春期期中高二文科数 学 试 题一、 选择题（每小题5分，共60分）1.已知）（R b a i b ai ∈+=-,32（i 为虚数单位），则=+b a A ．5 B ．6 C ．1 D ．1-2.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②④3.设有一个回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时A ．y 平均增加3个单位B ．y 平均减少3个单位C ．y 平均增加5个单位D ．y 平均减少5个单位4.有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是 A ．①②③B ．①②C ．②③D ．③④5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是A ．假设三内角都不小于60度；B ．假设三内角都小于60度；C ．假设三内角至多有一个小于60度；D ．假设三内角至多有两个小于60度。
6.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下. 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话． 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 A.甲 Ｂ.乙 Ｃ.丙 Ｄ.甲或乙7.具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如右表所示.若y 与x 的回归直线方程为3ˆ3ˆ-=x y，则m 的值是A. 4B.2C. 5D. 68.已知向量),(111y x a =，),(222y x a =）（R y x y x ∈2211,,,，复数i y x z 111+=，i y x z 222+=（i 为虚数单位），以下类比推理①由向量),(212121y y x x a a ++=+类比出i y y x x z z )()(212121+++=+； ②由向量21211||y x a +=类比出21211||y x z +=；③由向量2121||a a =类比出2121||z z =；④由向量212121y y x x a a +=⋅类比出212121y y x x z z -=；其中正确的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．19.若连续可导函数)(x F 的导函数)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数.现给出以下函数)(x F 与其导函数)(x f ：①xx x f x x x F sin 2)(,cos )(2-=+=；②.cos 3)(,sin )(23x x x f x x x F +=+= 则以下说法不正确．．．的是 A.奇函数的导函数一定是偶函数 B.偶函数的导函数一定是奇函数 C.奇函数的原函数一定是偶函数D.偶函数的原函数一定是奇函数 10.把正整数1，2，3，4，5，6，……按如下规律填入下表：按照这种规律继续填写，那么2017出现在A ．第1行第1512列B ．第2行第1512列C ．第2行第1513列D ．第3行第1513列 11.按如图所示的算法流程图运算，若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是A ．19≤x ＜200B ．x ≥19C ．19＜x ＜200D ．x ≥200 12.定义在R 上的函数)(x f ，恒有)()(x f x f '≥，设32)3(,)2(e f b e f a ==，则b a ,的大小关系为 A.b a > B.b a < C.b a ≥ D.b a ≤ 二、 填空题（每小题5分，共20分）13. 三段论：“①小宏在2017年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2017年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2017年的高考中正常发挥”中，“小前提”是(填序号)． 14.复数iz -=12（i 为虚数单位）的共轭复数是. 15.在10个形状大小均相同的球中有4个红球和6个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为.16.若连结正三角形各边中点得到的三角形与原三角形的面积之比为41，类比到正四面体中，连结正四面体各面的中心得到的四面体与原四面体的体积之比为．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试卷word版含答案
2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（）A. 的共轭复数为B. 的虚部为C. D. 在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.2．设，，都是正数，则三个数，，（）A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】分析：利用均值不等式，求解，即可得到结论．详解：由题意都是正数，则，当且仅当时，等号是成立的，所以中至少有一个不小于，故选C．点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．3．当在上变化时，导函数的符号变化如下表：14-则函数的图像大致形状为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据上表中导函数的取值，得到函数的单调性，即可选出图象．详解：由上表可知，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，所以函数如选项C所示，故选C．点睛：本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系，正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4．直线与曲线相切于点，则的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】由直线与曲线相切于点，则点满足直线的方程，即，即由，则，则，解得，故选A．5．已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. -2或 D. -2【答案】B【解析】分析：由函数，求得，根据函数在处取得极大值，得方程组，即可求解的值，进而得到的值．详解：由函数，可得，因为函数在处取得极大值，则，即，解得或，经验证，当时，时取得极小值，不符合题意（舍去）所以，故选B．点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中利用题设条件，列出方程组是解答的关键，其中对的值进行验证是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】试题分析：时左面为，时左面为，所以增加的项数为【考点】数学归纳法7．若曲线与曲线在交点处由公切线，则（）A. -1B. 0C. 2D. 1【答案】D【解析】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．详解：由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．8．若函数（）有最大值-4，则的值是（）A. 1B. -1C. 4D. -4【答案】B【解析】分析：由函数，得，要使得函数有最大值，则，进而得函数的单调性，得当时，函数取得最大值，即可求解．详解：由函数，则，要使得函数有最大值，则，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，即，解得，故选B．点睛：本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．函数在上有最小值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由函数，得，得到函数的单调性，再由，令，解得或，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；详解：由函数，得，当时，，所以在区间单调递增，当时，，所以在区间单调递减，又由，令，即，解得或，要使得函数在上有最小值，结合函数的图象可得，实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．10．将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（）A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列【答案】C【解析】分析：由题意，得数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，得第个奇数位于第行的第2个数，即可判定，得到结论．详解：由题意，令，解得，即数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，则，则第个奇数位于第行的第2个数，所以位于第三列，故选C．点睛：本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用，其中认真审题，读懂题意是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．11．设定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意的，设，则，所以函数在上为单调递增函数，由，即可得到结果．详解：由定义在上的函数的导函数满足，则，即，设，则，所以函数在上为单调递增函数，则，即，所以，故选A．点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，利用单调性比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位，所以是正确的；由，，所以是正确的；由，，所以是不正确，故选D．点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．二、填空题13．__________．【答案】【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以．点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14．我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________．【答案】【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影，由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把数据代入得到OE＝a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a＝a15．已知函数（），若函数在上为单调函数，则的取值范围是__________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分析：求出原函数的导数，由函数在上为单调函数，得到时，或恒成立，分类参数引入新函数，即可求解．详解：由函数，得，因为函数在上为单调函数，所以时，或恒成立，即或在上恒成立，且，设，因为函数在上单调递增，所以或，解得或，即实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．16．定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据题意得到，即方程在区间上有两个解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．详解：因为，所以，因为函数是区间上的双中值函数，所以区间上存在满足，所以方程在区间上有两个不相等的解，令，则，解得，所以实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了函数的解得个数问题的应用，考查了导数在函数中的综合应用，把函数是区间上的双中值函数，方程在区间上有两个不相等的解是解答关键，着重考查了转化与化归思想，及函数与方程思想与推理与论证能力，试题有一定难度，属于中档试题．三、解答题17．已知是虚数单位，复数满足.（1）求；（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据题意，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模；（2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数．详解：（1）．（2）设,则,是实数∴．∴．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18．设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.（1）当时，求点的坐标；（2）当有最小值时，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解，利用，求得的值，即可求得点的坐标．（2）由（1）可求当，化简后，为的函数，再利用导数求得的最小值．详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因为S1=S2，，所以，点P的坐标为（2）S=S1+S2=S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19．已知函数在与时都取得极值.（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由，求得，由，求得的值，得到函数的解析式，利用导数即可求解函数的单调区间．（2）由题意，设，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，随着变化时，的变化情况如下表：↑所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，得当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，解得所以综上所述，的取值范围为点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的奇迹诶，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．20．已知数列，，…，，为该数列的前项和.（1）计算，，，；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题中所给的条件计算可得：；(2)由题意归纳推理猜想，然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.试题解析：（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；② 假设当时，猜想成立，即，当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．21．已知函数.（1）证明；（2）如果对恒成立，求的范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得，又由，即可证得；由题意知恒成立，设，求得，可分和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围．详解：（1）证明：故由题意知恒成立，设，则，符合题意，即，单调递减，不合题意，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数求函数的单调性与最值(极值)，是解决函数的恒成立与有解问题常考点，同时注意数形结合思想的应用．22．已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2).【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴.①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③当0<t<1时，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}．()由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，故≤2·≤2，而≤≤，∴不等式()无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的最值及其应用，本题解答中把使得成立，转化为是解答的难点，着重考查了分类讨论的数学思想，及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．。
南阳市年高二下期中质量评估数学试题(理)有答案
2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(x f x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分）(Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分）由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分）而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221x e x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ， 221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②， 由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分） （Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--， 设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分） 如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分）因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分） 令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。
南阳市年高二下期中质量评估数学试题(文)含答案-精编
高二文科数学答案一．选择题 BCBCA BDBCC DA二．填空题 13 ()()1222221112341(1)2n n n n n +++-+-++-=- ； 145； 15 1：8 ； 16 ②、④ 三．解答题17 解：（1）复数z 为实数的充要条件是02022≠+=-+m m m 且得1=m 所以1=m 时复数z 为实数。
。
5分（2）复数z 为纯虚数的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=+++≠-+02650222m m m m m 3-=m所以3-=m 时复数z 为纯虚数。
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10分18解：（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500=72％；。
2分乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500=64％．。
4分（Ⅱ）。
8分221000(360180320140)5005006803207.35 6.635x ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯>≈，。
10分所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
12分19 解：证明：（1）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入k 1k 2+3=0，得 2130.k +=此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.。
6分（2） 交点P 的坐标(a,b)满足1211 a.b k b k -=⎧⎨+=⎩a ，2212(1)(1)3b b k k a a -+==-整理后，得2231,a b +=所以223a b +为定值1。
12分20 解：(1)由题意知n ＝10，11808,10n i i x x n ====∑ 11202,10n i i y y n ====∑又222172010880,nxx i i l x nx ==-=-⨯=∑1184108224,nxy i i i l x y nx y ==-=-⨯⨯=∑由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －bx ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4. 。
【精品】南阳市高二下期中数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．04．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．15．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．36．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．37．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．已知b＞a，下列值：∫ f（x）dx，∫ |f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫ |f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx= ．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： = ．三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．19．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围.. 22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解： =，则复数的虚部是1，故选：C2．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立【考点】数学归纳法．【分析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出 P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立．【解答】解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立．又已知命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，即p（n）对所有正偶数n都成立故选：B．3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．0【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义和运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+1，∴f′（x）=．∴=﹣1×=﹣f′（1）=﹣．故选：A．4．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）=﹣=y′|x=m解得 m=1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n=﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b=﹣1．故答案为：B5．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．6．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点（0，1）处的切线的斜率等于1，相应的切线方程是y=x+1，当x=0时，y=1；即y=0时，x=﹣1，即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×1×1=．故选：A．7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”的否定为：“a，b，c中至少有两个奇数或都是奇偶数”，故选D．8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，得f（x）的极大值为0，解方程即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+c，∴f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，∵有一个零点恰为f（x）的极大值点，∴必有f（﹣1）=﹣1+3+a=c+2=0，解得c=﹣2；故选：C．9．已知b＞a，下列值：∫ f（x）dx，∫ |f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫ |f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫ |f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx【考点】定积分；不等关系与不等式．【分析】根据定积分的几何意义，分别讨论函数y=f（x）及函数y=|f（x）|的图象在x轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小．【解答】解：当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线下包围的面积，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线上方包围的面积的负值，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上方，所以=＞0，＜0；当函数y=f（x）的图象在[a，b]上x轴的上下方都有，不防设在[a，c）上在x轴上方，在（c，b]上在x 轴下方，则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，为上方的面积加上下方的面积；若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；综上，三者的关系是．故选B．10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016，故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）﹣kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．①．当x＜0时，由﹣x2+x=kx，化为x=﹣k＜0，解得k＞；②当x＞0时，只考虑k＞即可，令g（x）=ln（x+1）﹣kx，则g′（x）=﹣k，A．当k≥1时，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B．当＜k＜1时，0＜＜1，g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=﹣1，列表如下：单调递增由表格可知：当x=时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当g（）≥0时，g（x）才有零点，g（）=ln﹣（1﹣k）=k﹣lnk﹣1．下面证明h（k）=k﹣lnk﹣1＞0，k∈（，1）．∵h′（k）=1﹣=＜0，∴h（k）在（，1）上单调递减，∴g（）=h（k）＞h（1）=1﹣ln1﹣1=0，因此g（）＞0在k∈（，1）时成立．综上可知：当且仅当＜k＜1时，函数f（x）﹣kx有三个零点．故选：B．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx= ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法法则计算即可．【解答】解：∫（x+x2+sinx）dx=（﹣cosx）|=（+﹣cos1）﹣（﹣﹣cos1）=，故答案为：．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．【考点】数列递推式．【分析】分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式．【解答】解：∵f（k）=12+22++（2k）2，∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0 ．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论．【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，解得a=0或x=﹣1或x=a，若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．若a＜﹣1，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得a＜x＜﹣1此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜a或x＞﹣1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．若﹣1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得﹣1＜x＜a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜﹣1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得x＜﹣1或x＞a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得﹣1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．综上：a＜﹣1或a＞0，故答案为：a＜﹣1或a＞016．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算： = ．【考点】类比推理．【分析】利用类比的方法，设=x，则1+=x，解方程可得结论．【解答】解：设=x，则1+=x，∴2x2﹣2x﹣1=0∴x=，∵x＞0，∴x=，故答案为：三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（ I）．∴=﹣1﹣i．（ II）把z=﹣1+i代入|z|2+az+b=1﹣i，即|﹣1+i|2+a（﹣1+i）+b=1﹣i，得（﹣a+b+2）+ai=1﹣i．∴，解得．∴实数a，b的值分别为﹣1，﹣2．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b 的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…由条件②式…由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣319．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（Ⅰ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小．（Ⅱ）利用（Ⅰ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可．【解答】（Ⅰ）∵，∴．（Ⅱ）由（1）得．类似的，，又；∴x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx（另证：x 2+y 2≥2xy，y 2+z 2≥2yz，z 2+x 2≥2zx，三式相加）．∴=20．是否存在常数a ，b ，使等式对于一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？ 【考点】数学归纳法．【分析】假设存在常数a ，b ，使等式对于一切n ∈N *都成立．取n=1，2可得，解得a ，b ．再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：若存在常数a ，b ，使等式对于一切n ∈N *都成立． 取n=1，2可得，解得a=1，b=4．则=对于一切n ∈N *都成立．下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k （k ∈N *）时，等式成立，即…+=．则当n=k+1时，…++=+=== =．也就是说当n=k+1时，等式也成立．综上所述：可知等式对于一切n ∈N *都成立．21．设函数f （x ）=+xlnx ，g （x ）=x 3﹣x 2﹣3．（I ）如果存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；（II ）如果对于任意的s 、t ∈[，2]，都有f （s ）≥g（t ）成立，求实数a 的取值范围..【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（I ）存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立等价于g （x ）max ﹣g （x ）min ≥M；（II ）对于任意的s 、t ∈[，2]，都有f （s ）≥g（t ）成立等价于f （x ）≥g（x ）max ，进一步利用分离参数法，即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：（I ）存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立等价于g （x ）max ﹣g （x ）min ≥M∵g（x ）=x 3﹣x 2﹣3，∴∴g（x ）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增∴g（x ）min =g （）=﹣，g （x ）max =g （2）=1∴g（x ）max ﹣g （x ）min =∴满足的最大整数M 为4；（II ）对于任意的s 、t ∈[，2]，都有f （s ）≥g（t ）成立等价于f （x ）≥g（x ）max ．由（I ）知，在[，2]上，g （x ）max =g （2）=1∴在[，2]上，f （x ）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx 恒成立记h （x ）=x ﹣x 2lnx ，则h′（x ）=1﹣2xlnx ﹣x 且h′（1）=0∴当时，h′（x ）＞0；当1＜x ＜2时，h′（x ）＜0∴函数h （x ）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴h（x ）max =h （1）=1∴a≥122．已知函数．（I ）当a=1时，求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅲ）求证：（n ∈N *）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I ）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x ），可得，若f （x ）存在单调递减区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0有x ＞0的解．通过对a 分a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I ），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x ）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f （x ）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f （x ）存在单调递减区间，∴f′（x ）＜0有正数解．即ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0有x ＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a ＜0时，y=ax 2+2（a ﹣1）x+a 为开口向下的抛物线，ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0总有x ＞0的解； ③当a ＞0时，y=ax 2+2（a ﹣1）x+a 开口向上的抛物线，即方程ax 2+2（a ﹣1）x+a=0有正根．因为x 1x 2=1＞0，所以方程ax 2+2（a ﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln （n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k 时，命题成立，即．∴n=k+1时， ．根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．2016年6月14日。
河南省南阳六校20162017学年高二数学联考试题理(含解析)
南阳六校2016—2017学年下期第二次联考高二理科数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应 ( )A. 从东边上山B. 从西边上山C. 从南边上山D. 从北边上山【答案】D【解析】本题考查分步乘法原理，任意一面下山，即下山的可能走法已经确定有，只要上山的走法最多即可，上山只从一面，则从北边上山．故本题答案选．2. 从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有（）个A. 36B. 30C. 25D. 20【答案】C【解析】互不相等且为虚数，所以有只能从中选一个有种，从剩余的个选一个有种，所以根据分步计数原理知虚数有（个），故选C.3. 已知x与y之间的一组数据:x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为，则的值为 ( )A. 1B. 0.85C. 0.7D. 0.5【答案】D【解析】∵，∴这组数据的样本中心点是(,)，∵关于y与x的线性回归方程yˆ=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5.故选D.4. 计算( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】，故选A.5. 随机变量服从二项分布～，且则等于（）A. B. C. 1 D. 0【答案】B【解析】试题分析：因为随机变量服从二项分布，所以，，则，解得。
考点：二项分布。
6. (1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2;(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )A. (1)与(2)的假设都错误B. (1)与(2)的假设都正确C. (1)的假设正确；(2)的假设错误D. (1)的假设错误；(2)的假设正确【答案】D【解析】（1）用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以的假命题应为，故（1）错误.(2)已知，求证方程的两根的绝对值都小于，根据反证法的定义，可假设，故（2）正确.7. 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A 在一次试验中出现的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令事件在一次试验中出现的概率是．由事件至少发生次的概率为，可知事件一次都不发生的概率为，由独立事件同时出现的概率知，则．故本题答案选．8. 下列说法：①分类变量A与B的随机变量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大.②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，，，，则.正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】定义①，根据独立性检验的性质知，分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大，①正确；对于②，由，两边取对数，可得，令，可得，，故②正确；③回归直线方程为中，，，，则，③正确，所以正确命题的个数是，故选D.9. 在二项式（的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为（）A. 18B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】由题令可得各项系数之和，则，各项二项式系数之和，有，解得．则二项式为，则，对于常数项有．常数项为．故本题答案选．点睛：赋值法普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．10. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B【解析】当户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩，是另外两个家庭的一个小孩，有种方法，故选B.11. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为，其中，传输信息为，，运算规则为：.例如原信息为111，则传输信息为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）A. 11010B. 01100C. 00011D. 10111【答案】D【方法点睛】本题主要考查新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.12. 已知函数存在两个极值点．则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】有两个解，(如上图所示)，故选B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）【答案】-189【解析】由二项式定理得，令r = 5得x5的系数是．14. 在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布N(100,),(>0），若在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为__________．【答案】0.2【解析】在内的概率为.15. 将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A 袋中的概率为________.【答案】【解析】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．16. 考虑函数与函数的图像关系，计算：________．【答案】1【解析】如图由定积分的几何意义知，，两函数互为的函数图象关于对称，则，又．故本题应填．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知,在的展开式中，第二项系数是第三项系数的．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)6;(2)64.【解析】试题分析：（1）利用二项展开式定理写出其第二项系数与第三项系数，再利用两系数间关系可求得的值；（2）赋值法，分别令即可求出结果．试题解析：解：（1）由题得,解得（2）,令，得.又令，得所以点睛：二项展开式的通项与数列的通项公式类似，它可以表示二项展开式的任意一项，只要确定，该项也就随之确定．利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项，如常数项，含项，系数最大的项，次数为某一确定值的项，有理项等．18. 国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。
河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(理)试题
2016春期期中考试 高二数学（理）一.选择题：1.复数212ii+-的虚部为 A ．i B ．-1 C ．i - D ．12.如果命题p (n )对n ＝k 成立(n ∈N *)，则它对n ＝k ＋2也成立，若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )．A ．p (n )对一切正整数n 都成立B ．p (n )对任何正偶数n 都成立 C. p (n )对任何正奇数n 都成立 D ．p (n )对所有大于1的正整数n 都成立3．已知函数f (x )=3x +1，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()1(lim的值为A ．31-B ．31C ．32D ．04．直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为 A ．－2 B ．1 C ．－12D ．－15.已知复数z 的模等于2，则||i z -的最大值等于A.1B.2C. 5D.36.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．B ．1C ．2D ．37．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个奇数”正确的反设 为Ａ．a b c ，，都是奇数 Ｂ．a b c ，，都是偶数 Ｃ．a b c ，，中至少有两个奇数Ｄ．a b c ，，中至少有两个奇数或都是偶数8. 已知函数()33f x x x c =-+有两个不同零点，且有一个零点恰为()f x 的极大值点，则c 的值为A. 0B. 2C. 2-D. 2-或29.已知，下列值：，，||的大小关系为A ．||≥≥B ．≥||≥C ．= ||=D ．= ||≥10.设f′（x ）是函数f （x ）的导函数，将y=f （x ）和y=f′（x ）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A ．B ．C ．D ．11.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A ．B ．C ．D12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++-=)0)(1(In )0(21)(2x x x ＜x x x f ，若函数kx x f y -=)(有3个零点，则实数k 的取值范围为A ．(0, )B ．(1,2)C ．(12,1) D ．(2, ＋∞) 二.填空题：13.⎰=++11-2)sin dx x x x （ ____________________14.若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是____________________．15.函数)(x f 的导函数),)(1()(a x x a x f -+='若)(x f 在x=a 处取到极小值，则a 的取值范围是____________________ 16.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令＝x ，则有＝x ，从而解得x ＝(负值已舍去)”；运用类比的方法，计算：＝ .三.解答题：17.（本小题满分10分）已知复数21i z i=-，若21z az b i ++=-. （I ）求z ； （II ）求实数,a b 的值.18.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2的图象经过点M （1，4），曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直． （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）在区间上单调递增，求m 的取值范围．19.（本小题满分12分）设（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20.（本小题满分12分） 是否存在常数，使等式对于一切都成立?若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？(提示:可先令n=1,2探求出a,b 的值再证明)2016春期中考试高二数学理科参考答案一.选择题： DBADD ADCBD DC 二.填空题：13.2314. f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)215. a<或a>0 16.三。
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南阳市2017年春期高二期中考试数学（理）试题一.选择题：1.复数i iz 2121-+=的实部与虚部的和等于（ C ） A ．i 5453+- B ． i 541+ C ．51 D ．59解析：i i i i z 54535432121+-=+-=-+=2.汽车以13+=t V (单位：s m /)作变速直线运动时，在第s 1至第s 2间的s 1内经过的位移是( C )A.m 5.4B.m 5C.m 5.5D.m 6 解析：5.5|)23()13(21212=+=+=⎰t t dt t S3.下列命题错误．．的是( B )． A ．三角形中至少．．有一个内角不小于60°； B ．对任意的R a ∈，函数12131)(23+++=ax ax x x f 至少．．存在一个极值点. C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多．．有一个零点； D ．在锐角．．三角形中，任意．．一个角的正弦大于另两个角的余弦； 解析：a ax x x f ++=2)('，当042≤-=∆a a ，即40≤≤a 时，)(x f 是单调增加的，不存在极值点，故B 错误．4．已知函数xe x x xf )2()(3-=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0的值为（D ）A ．e -B ．1C ．eD ．0解析：)1(')1()1(limf xf x f x =∆-∆+→∆5．若曲线1sin )(+=x x x f 在点)12,2(+ππ处的切线与直线012=+-y ax 互相垂直，则实数=a （A ）A ．－2B ．2C ． 1D ．－1解析：12cos22sin)2('=+=ππππf ，所以，12)2('-=⋅af π，得2-=a6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅．生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）.A. 88B. 89C.90D.91解析：第n 行实心圆点有n a 个，空心圆点有n b 个，由树形图的生长规律可得⎩⎨⎧+==---111n n nn n b a a a b ，∴21--+=n n n a a a （即斐波那契数列），可得数列}{n a 为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…， 即8912=a7.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，)('x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ C ）8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。
甲：我不会证明。
乙：丙会证明。
丙：丁会证明。
丁：我不会证明。
根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A ）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。
易得出答案：A 9.已知定义在R 上的函数131)(23+++=ax x ax x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．),1()1,(+∞--∞B ．]1,0()0,1[ -C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( -解析：a x ax x f ++=2)('2，由题意得：⎩⎨⎧>-=∆≠042022a a ，解得：)1,0()0,1( -∈a 10.若2(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，其中a R ∈，则aiia ++12等于（ B ）A ．i -B ．iC ．1D ．1或i解析：由2(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，得1-=a ，所以i iiai i a =-+=++11122=a 11.已知：函数1ln )(2+=x x x f ，P 、Q 为其图像上任意两点，则直线PQ 的斜率的最小值为（ B ） A.0B.232--eC.2--e D.212--e解析：x x x x f +=ln 2)('，而3ln 2)(''+=x x f ，易得，)('x f 在),0(23-e 上单调减少，在),(23+∞-e 上单调增加，故23min 2)]('[--=e x f12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，)(x f '是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x > 成立.则有（ D ） A ．)3()4(2ππf f >B ．)1(1cos 2)6(3f f ⋅>πC．2()()46f ππ<D()()63f ππ<解析：由'()()tan f x f x x >得，0sin )(co s )('>-x x f x x f ，即0]'cos )([>x x f ，亦即函数x x f x F co s )()(=在(0,)2π上是单调增加的。
故)3()6(ππF F <二.填空题：13.⎰-=-+1122)1dx x x （ ____________.232π+ 解析：2321)11111221122π+=-+=-+⎰⎰⎰---dx x dx x dx x x （ 14.已知：)32(sin 2)(2π-=x x f ，则)3('πf =_________.32 解析：)324cos(1)32(sin 2)(2ππ--=-=x x x f ,所以)324sin(4)('π-=x x f ，得32)3('=πf 15.若函数21)0()1()(x x f e f x f x +-'=-，则=')1(f _______．e 2解析：x f e f x f x 2)0()1(')('1+-=-，则2)0()1(')1('+-=f f f ，所以，2)0(=f ；故212)1(')(x x ef x f x +-=-，则有1)1(')0(-=e f f ，得，e f 2)1('=16.平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则.4121=S S 推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体ABC P -的内切球体积为1V ，外接球的体积为2V ，则=21V V .271 高为332=h ，解析：把正四面体放置在棱长为1的正方体中，易知正四面体的棱长为内切球半径63411==h r ，外接球半径232=r ，则271)(32121==r r V V 三.解答题：17题，12分。
22题，10分。
答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。
17.（本小题满分12分）用数学归纳法证明：对于任意的*N n ∈，241121...312111>+++++++n n n n 证明：（1）当1=n 时，左边=2411241221>==右边，命题成立；……………………………………2分（2）假设当k n =（ *N k ∈）命题成立，即241121...312111>+++++++k k k k ；…………4分当1+=k n 时 左边=22112121...413121+++++++++++k k k k k k …………………………6分 =11221121)21...312111(+-+++++++++++k k k k k k k ………………8分 2411)22)(12(12411>+++>k k 即，当1+=k n 时，命题成立。
………………………………………………11分 综上所述，对于任意的*N n ∈，241121...312111>+++++++n n n n ………………………12分18.（本小题满分12分）已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ．（1）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是单调函数； （2）求函数x x f x f x g 6)()()(-'+=的极小值。
（1）证明：)1(666)(2-=-='ax x x ax x f ．………………………………2分 因为0>a 且0<x ，所以0)(>'x f ．所以函数)(x f 在区间()0,∞-上是增函数． …………4分（2）解：由题意x x a ax x 12362)(g 23--+=）（， 则)1)(2(6)(g -+='ax x x . 令0)(='x g ，得 ax x 12=-=或 , ）（0>a …………6分 当2-<x 时，0)(>'x g , 则函数)(g x 在区间()2--，∞上是单调递增函数；当a x 12<<-时，0)(<'x g , 则函数)(g x 在区间），（a 12-上是单调递减函数；当a x 1>时，0)(>'x g , 则函数)(g x 在区间),1(+∞a上是单调递增函数；………9分所以，函数)(x g 的极小值点为a x 1=，………10分故函数)(x g 的极小值是221661)1()(aa a a a g x g +-=--==极小值………12分 19.（本小题满分12分）用长为18 m 的钢条围成一个长方体．．．形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=230(m )35.441218＜＜x x xh .……2分故长方体的体积为).230)((m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=……………………5分从而2()181818(1).V x x xx x '=-=-令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. ……………………………………7分 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜32时，0)(<'x V ， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值.…………………………10分 从而最大体积V ＝3（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m 3.…………12分20.（本小题满分12分）已知mx x x x f +=ln )(，3)(2-+-=ax x x g（1）若函数)(x f 在),1(+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0=m 时，对任意)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0，)1(ln )(m x x f ++='，……………………2分因为)(x f 在),1(+∞上为单调函数，则方程0)1(ln =++m x 在),1(+∞上无实根。