浙江版初二数学期末复习专题
2022-2023学年浙教版数学八上期末复习专题 一次函数的图象与性质(教师版)
2022-2023学年浙教版数学八上期末复习专题一次函数的图象与性质一、单选题（每题3分，共30分）1．下列各点在一次函数y=3x−2的图象上的是（）A．(2，3)B．(0，2)C．(−2，0)D．(3，7)【答案】D【知识点】一次函数的图象【解析】【解答】解：把x=2代入y=3x−2得y=4，(2，3)不在y=3x−2图象上，A选项不符合题意；把x=0代入y=3x−2得y=−2，(0，2)不在y=3x−2图象上，B选项不符合题意；把x=−2代入y=3x−2得y=−8，(−2，0)不在y=3x−2图象上，C选项不符合题意；把x=3代入y=3x−2得y=7，(3，7)在y=3x−2图象上，D选项符合题意；故答案为：D．【分析】将各选项的点坐标分别代入y=3x−2判断即可。
2．（2021八上·诸暨期末）已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四【答案】D【知识点】一次函数的图象【解析】【解答】解：∵m＜1，∴m-1＜0，3-m＞0，∴一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限.故答案为：D.【分析】根据题意得出m-1＜0，3-m＞0，再根据一次函数的图象和性质即可得出答案.3．（2021八上·扶风期末）把直线y＝3x向下平移2个单位，得到的直线是（）A．y＝3x﹣2B．y＝3（x﹣2）C．y＝3x+2D．y＝3（x+2）【答案】A【知识点】一次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：把直线y＝3x向下平移2个单位，可得y＝3x﹣2.【分析】将一次函数y=kx+b向下平移m个单位，可得y=kx+b-m，据此解答.4．（2021八上·海曙期末）一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数、且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图可能是（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：A、∵直线y=mx+n经过第一，二，三象限∴m＞0，n＞0，∴mn＞0，∴直线y=mnx经过第一，三象限，故A不符合题意；B、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限∴m＞0，n＜0，∴mn＜0，∴直线y=mnx经过第二，四象限，故B不符合题意；C、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限∴m＞0，n＜0，∴mn＜0，∴直线y=mnx经过第二，四象限，故C符合题意；D、∵直线y=mx+n经过第一，四，二象限∴m＜0，n＞0，∴mn＜0，∴直线y=mnx经过第二，四象限，故D不符合题意；【分析】利用直线y=kx+b （k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b ＞0时，图像必过第一二象限，当b ＜0时，图像必过第三四象限；再观察各选项中的直线y=mx+n 所经过的象限，可判断出m ，n 的取值范围，由此可得到mn 的取值范围，可分别得到直线y=mnx 所经过的象限，由此可得正确结论的象限.5．（2021八上·桐城期末）一次函数y =−2x +4的图象与y 轴交于点P ，将一次函数图象绕着点P 转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与x 轴交点横坐标为（ ） A ．-3B ．3C ．3或-3D ．6或-6【答案】C【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题 【解析】【解答】解：在y =−2x +4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，∴一次函数y =−2x +4的图象与x ，y 轴的交点分别是（2，0），（0，4）， ∴一次函数y =−2x +4的图象与坐标轴形成的面积为12×4×2=4，将一次函数图象绕着点P 转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2， 则转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积为4+2=6， 设绕着点P 转动后直线与x 轴的交点横坐标为x ，则12×4×|x|=6， 解得：x=±3， 故答案为：C ．【分析】令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，得出一次函数y =−2x +4的图象与x ，y 轴的交点，得出一次函数y =−2x +4的图象与坐标轴形成的面积，将一次函数图象绕着点P 转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则得出转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积，设绕着点P 转动后直线与x 轴的交点横坐标为x ，即可得解。
浙教版八年级上数学期末复习考点资料全
八年级上期末复习资料第十一章三角形一、知识框架二、知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°。
⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°。
⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形.②边形共有n(n-3)/2条对角线.7、全等三角形（1）全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
浙教版八年级数学上册期末专题复习课件全套
概率初步知识
概率的定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，其性质包括规范性、非负性、可加性和概率 总和为1等。
古典概型概率计算
古典概型是一种理想化的概率模型，适用于某些特定类型的随机试验，其概率计算公式为 $P(A) = frac{n(A)}{n(S)}$，其中$n(A)$是事件A包含的基本事件个数，$n(S)$是样本空 间中基本事件的总数。
THANKS
感谢观看
解分式方程
掌握去分母、换元法等基本解法 ，理解分式方程的解法。
总结词
掌握一元一次方程、一元二次方 程、分式方程、不等式和不等式 组的解法，理解方程和不等式的 性质。
解不等式和不等式组
掌握移项、合并同类项、去分母 等基本解法，理解不等式的性质 。
函数
总结词
理解函数的概念，掌握函数的 表示方法，理解函数的性质，
算。
四边形的周长
四边形的周长是所有边 的长度之和。
圆
圆的基本性质
圆心到圆上任一点的距离都相等，即圆的半 径相等。
圆与直线的位置关系
圆与直线有相切、相交、相离三种位置关系 。
圆的周长和面积
圆的周长是2πr，面积是πr^2，其中r是圆 的半径。
圆与圆的位置关系
圆与圆有相切、相交、相离三种位置关系。
03
能进行简单的函数运算。
函数的概念
理解函数的定义，了解函数的 表示方法，如解析式表示法和 图象表示法。
函数的性质
理解函数的增减性、奇偶性、 周期性等性质，能根据函数的 性质判断函数的单调性和奇偶 性。
函数的运算
掌握函数的加、减、乘、除等 基本运算，理解复合函数的概
念和运算方法。
2022-2023学年浙教版数学八上期末复习专题 图形与坐标(学生版)
2022-2023学年浙教版数学八上期末复习专题图形与坐标一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021八上·鄞州期末）根据下列表述，能够确定位置的是（）A．甲地在乙地的正东方向上B．一只风筝飞到距A处20米处C．某市位于北纬30°，东经120°D．影院座位位于一楼二排2．（2022八上·西安月考）如果把电影票上3排6座记作（3，6），那么（6，5）表示（）A．5排6座B．5排5座C．6排5座D．6排6座3．（2022八上·新城月考）2021年9月15日，中华人民共和国第十四届运动会开幕式在西安奥体中心举行，如图，如果将西安钟楼的位置记为直角坐标系的原点，下列哪个点的位置可以表示奥体中心的位置（）A．(－2，3)B．(2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3) 4．（2020八上·历下期中）如图是北京市地图简图的一部分，图中“故宫”、“颐和园”所在的区域分别是（）A．D7，E6B．D6，E7C．E7，D6D．E6，D75．已知点A的坐标为(a+1，3−a)，下列说法正确的是（）A．若点A在y轴上，则a=3B．若点A在一三象限角平分线上，则a=1C．若点A到x轴的距离是3 ，则a=±6D．若点A在第四象限，则a的值可以为-26．（2021八上·晋中期末）如图是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”A，B 两点的坐标分别为（－2，－3），（2，－3），则表示蝴蝶身体“尾部”C 点的坐标为（）A．（0，－1）B．（1，－1）C．（－1，0）D．（2，－1）7．（2022八上·长清期中）若点P(2−m，5)在y轴上，则m的值等于（）A．2B．7C．−2D．−38．（2021八上·扶风期末）已知图形A全部在x轴的上方，如果将图形A上的所有点的纵坐标都乘以－1，横坐标不变得到图形B，则（）A．两个图形关于x轴对称B．两个图形关于y轴对称C．两个图形重合D．两个图形不关于任何一条直线对称9．（2021八上·川汇期末）点A(2，m)向上平移2个单位后与点B(n，−1)关于y轴对称，则m n=（）.A．1B．12C．−18D．1 910．（2021八上·瑞安月考）在平面直角坐标系中，将点A(a，1-a)先向左平移3个单位得点A1，再将A1向上平移1个单位得点A2，若点A2落在第三象限，则a的取值范围是() A．2 <a<3B．a <3C．a >2D．a <2或a >3二、填空题（每题4分，共24分）11．（2022八上·城阳期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，90°)，目标B 的位置为(4，30°)，现有一个目标C的位置为(3，m°)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为．12．（2022八上·城阳期中）已知点M(2m−1，−3)，点N(5，2)，直线MN∥y轴，则m的值为．13．（2022八上·西安月考）点A(m−1，2m−3)在第一、三象限夹角的角平分线上，则m的值为．14．（2021八上·巴彦期末）点P(a，−3)与Q(2，b)关于y轴对称，则a b的值为．15．（2020八上·深圳期中）如图，已知A1（0，1），A2（√32，−12），A3（−√32，−12），A4（0，2），A5（√3，-1），A6（−√3，-1），A7（0，3），A8（3√32，−32），A9（−3√32，−32）……则点A2010的坐标是16．（2021八上·永吉期末）若(x+2)(x−3)=x2+bx+c，其中b，c为常数，则点P（b，c）关于x 轴的对称点的坐标为．三、解答题（共8题，共66分）17．（2021八上·平远期末）小明和朋友到人民公园游玩，回到家后，利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴，只知道游乐园D的坐标为(1，﹣3)，请你帮他画出平面直角坐标系，并写出其他各景点的坐标．18．（2021八上·莲湖期中）已知点A（m﹣2，5）和B（3，n＋4），A，B两点关于y轴对称，求m﹣n 的值．19．（2021八上·横县期中）如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出与△ABC关于x轴对称的图形．20．（2021八上·海曙期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（-4，5），（-1，3）．⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；⑴请作出⑴ABC关于y轴对称的⑴A′B′C′；⑴写出点B′的坐标．21．已知点P(3a−15，2−a)．（1）若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4 ，试求出a的值：（2）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．22．（2022八上·台州月考）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l．（1）作出⑴ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；（2）直接写出A1（，），B1（，），C1（，）；（3）在⑴ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（，）（结果用含m，n的式子表示）．23．（2021八上·黑山期中）如图回答下列问题：（1）如图①所示，请用有序数对写出棋盘上棋子“帅、黑车、炮”的位置（把列号写在前面，行号写在后面）．（2）如图②所示把O点移动到棋子“仕”的位置时，用有序数对写出棋子“仕、相、黑马”的位置（把列号写在前面，行号写在后面）（3）如图②，已知棋子“将”的位置是（2，8），棋子“黑马”的位置是（4，3），规定列在前，行在后，请你在棋盘上确定A（0，0）点的位置，棋子“红马”的位置是什么？24．（2021八上·佛山月考）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系，并将△ABC画出来．（2）在图中找一点D，使AD=√26，CD=√13，并将点D标记出来．（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．（4）在y轴上是否存在点Q，使得S△AOQ=12S△ABC，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由．答案解析部分1．【答案】C【知识点】用坐标表示地理位置【解析】【解答】解：根据题意可得，A.甲地在乙地的正东方向上，无法确定位置，故答案为：A不合题意；B.一只风筝飞到距A处20米处，无法确定位置，故答案为：B不合题意；C.某市位于北纬30°，东经120°可以确定一点的位置，故答案为：C符合题意；D.影院座位位于一楼二排，无法确定位置，故答案为：D不合题意.故答案为：C.【分析】根据在平面内要确定一个点的位置，必须是一对有序数对，再对各选项逐一判断即可. 2．【答案】C【知识点】有序数对【解析】【解答】解：把3排6号的电影票记作（3，6），那么（6，5）表示的电影票号是：6排5号.故答案为：C.【分析】根据题意可得数对中的第一个数表示排，第二个数表示号，据此解答.3．【答案】B【知识点】用坐标表示地理位置【解析】【解答】解：由题意可得：奥体中心的位置可以为（2，3）．故答案为：B．【分析】由于奥体中心在第一象限，而第一象限的坐标符号为正正，据此解答即可.4．【答案】C【知识点】有序数对【解析】【解答】如图所示：图中“故宫”、“颐和园”所在的区域分别是：E7，D6．故答案为：C．【分析】直接利用已知网格得出“故宫”、“颐和园”所在的位置。
浙江版初二数学期末复习专题：坐标几何与三角形
浙江版初二数学期末复习专题——坐标几何与三角形坐标几何重点、难点：1. 在生活和生产实践中，人们常利用一对有序实数来确定物体的位置。
2. 平面直角坐标系是常用的一种坐标系，它由坐标平面、坐标轴以及原点组成。
3. 平面直角坐标系中，图形的变换本质上是点的变换。
比如点的对称以及点的平移；今后还会学到由点面组成的平面图形的旋转。
【典型例题】例1. 到x 轴的距离等于2的点能组成一个怎样的图形？ 解：由题意，所有到x 轴的距离均等于2的点，组成的图形是直线 若设这个距离为d ，则|d|＝2，∴d ＝－2或2 ∴题设要求的图形是：与x 轴平行，且与x 轴相距为2的两条直线。
例2. 已知点P 到x 轴的距离是3，它到原点的距离是5，求点P 的坐标。
解：P 到原点的距离为5∴点P 在以O 为圆心，半径为5的圆上 又点P 与x 轴相距为3∴点P 在以5为斜边长，一条直角边为3的直角三角形顶点上（如图） ∴容易求得点P 共有4个：P 1（4，3），P 2（4，－3），P 3（－4，－3），P 4（－4，3）xOy5 3P例3. 已知点M 既在过A （3，－2），且与x 轴平行的直线上，又在过点B （2，－3），且平行于y 轴的直线上，求点M 的坐标。
解：过点A （3，－2），且与x 轴平行的直线上的所有点，均有纵坐标等于－2的特征……①；同理，过点B （2，－3），且与y 轴平行的直线上的所有点，均有横坐标等于2的特征……②；又点M 既要满足条件①，又要满足条件②，∴点M 一定是M （2，－2）。
例4. 已知点A （－5，0），B （3，0），且点C 在第二象限内。
若AC ＝5，△ABC 的面积12S ABC =∆，求点C 的坐标。
解：设点C 为（x ，y ），其中x<0，y>0则由题意，得yAB 21S ABC ⋅⋅=∆但A （－5，0），B （3，0）∴8)5(3AB =--=∴y4y 821y AB 21=⨯=⋅∴12y 4=∴y ＝3（如图）xy CAD OB又AC ＝5，CD ＝3∴在Rt △ACD 中，AD ＝4∴145AD OA OD =-=-=∴C （－1，3）例5. 已知O 为坐标原点和A （1，1），试在坐标轴上找到一点P 使△AOP 为等腰三角形，你能找到多少满足条件的点P ？求出P 的坐标。
浙教版-学年初中数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理 解析版
浙教版2019-2020学年初中数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理一、单选题1.直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A. 13B.C. 13或D. 13或122.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A. 2.2米B. 2.3米C. 2.4米D. 2.5米3.我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中，不能证明勾股定理的是A. B. C. D.4.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2 EF，则正方形ABCD的面积为（）A. 14SB. 13SC. 12SD. 11S5.三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形6.以a．b．c为边的三角形是直角三角的为（）A. a=2，b=3，c=4B. a=1，b= ，c=2C. a=4，b=5，c=6D. a=2，b=2，c=7.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（）.A. 13cmB. cmC. 2 cmD. 20cm8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为( )A. 6B. 5C. 4D. 39.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A. 13B. 26C. 34D. 4710.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是（）A. B. C. D. 无法确定二、填空题11.写四组勾股数组．________，________，________，________．12.如图，两个正方形的面积分别是289和225，则字母A所代表的正方形的边长为________13.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________（不包括5）．14.如图是一个长8m，宽6m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处长的四等分有一只壁虎，B处宽的三等分有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为________15.如图,要为一段高为5米,长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要________米长.16.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程求出AC的长为________.三、解答题17.如图，某校A与公路距离为3千米，又与该公路旁上的某车站D的距离为5千米，现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为多少？18.如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，你能找到几个这样的C点？把它们都画出来。
浙江省数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理
浙江省数学八年级上学期期末复习专题8 勾股定理姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共30分)1. （3分） (2020八下·罗山期末) 如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A'，使梯子的底端A'到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B 下降至B'，那么BB' （）A . 等于1mB . 小于1mC . 大于1mD . 以上都不对2. （3分） (2020九上·杭州期中) 如图，在中，均为斜边中线，则以为边构成的三角形是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法确定3. （3分） (2020八下·福州期中) 我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为（）A . 4B . 1C . 2D . 以上都不对4. （3分） (2017八上·乐清期中) 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A . 49B . 25C . 12D . 105. （3分） (2016八上·宜兴期中) 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组（）A . 3，4，5B . 5，12，13C . 12，15，25D . ，，16. （3分） (2020八上·太原期中) 在中，若，，，则下列结论正确的是（）A .B .C .D . 不是直角三角形7. （3分） (2015七上·海淀期末) 已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A . MB . NC . SD . T8. （3分） (2020七上·龙口期中) 小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后展开得到（）A .B .C .D .9. （3分）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是A .B .C .D .10. （3分） (2015九上·淄博期中) 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）cm.A . 6B . 8C . 10D . 12二、填空题 (共6题；共24分)11. （4分） (2018八下·柳州期末) 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.写出你比较熟悉的两组勾股数：①；②.12. （4分） (2021八上·青羊月考) 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为.13. （4分）如图，△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，现在分别取三边的中点E、F、G，顺次连结E、F、G，则△EFG的面积为14. （4分） (2020八下·韶关期末) 如图，菱形的两条对角线的长分别为与，点是的中点，则．15. （4分）某同还用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需cm．16. （4分） (2019八上·重庆期末) 如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6cm，高为16cm.现将一根长度为25cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是cm.三、解答题 (共8题；共66分)17. （6分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．18. （6分） (2020八上·郑州月考) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.（1）在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= .（2）在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= ，AC= ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.19. （6分）(2017·盘锦) 如图，码头A，B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A，B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）20. （8分） (2018八上·湖州期中) 阅读下列材料：【材料】如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形我们就能证明勾股定理： .【请回答】如图是任意符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？21. （8分） (2021八下·惠城期末) 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，点D的坐标为(2，0)，E为AB上的点，求当△CDE的周长最小时，点E的坐标和最小周长．22. （10分） (2020八上·福鼎期中) 意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1 ，右图中空白部分的面积为S2 ．（1）请用含a ， b ， c的代数式分别表示S1 ， S2；（2）请利用达•芬奇的方法证明勾股定理．23. （10分） (2018八上·龙岗期中) 如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．24. （12分）(2018·井研模拟)（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．参考答案一、单选题 (共10题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共24分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共66分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、答案：24-3、答案：24-4、考点：解析：。
浙教版八年级数学上小专题及期末复习试卷含答案
小专题(一) 构造全等三角形的方法技巧类型1 连结线段构造全等三角形【例1】 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝CD ，求证：∠B ＝∠ D.证明：连结AC ， 在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )． ∴∠B ＝∠D.【方法归纳】 通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等．1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A ＝∠ C.证明：连结BD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB. ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD. 又∵BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB(ASA )．∴∠A ＝∠C.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点M 为BC 中点，MD ⊥AB 于点D ，ME ⊥AC 于点E.求证：MD ＝ME.证明：连结AM. 在△ABM 和△ACM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△ACM(SSS )． ∴∠BAM ＝∠CAM. ∵MD ⊥AB ，ME ⊥AC ， ∴MD ＝ME.类型2 利用“截长补短”构造全等三角形【例2】 如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE ＝∠CDE ，∠DCE ＝∠ECB.求证：CD ＝AD ＋BC.证明：在CD 上截取DF ＝DA ，连结FE.在△ADE 和△FDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝FD ，∠ADE ＝∠FDE ，DE ＝DE ， ∴△ADE ≌△FDE. ∴∠A ＝∠DFE.又∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵∠DFE ＋∠EFC ＝180°. ∴∠B ＝∠EFC. 在△EFC 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFC ＝∠B ，∠ECF ＝∠ECB ，EC ＝EC ， ∴△EFC ≌△EBC. ∴FC ＝BC.∴CD ＝DF ＋FC ＝AD ＋BC.【方法归纳】 遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．解：BC＝BE＋CD.证明：在BC上截取BF＝BE，连结OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.又∵BO＝BO，∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.4．(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG .先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是EF ＝BE ＋DF ；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．解：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连结AG ， ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG .在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG(SAS )． ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG . ∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF. ∴∠EAF ＝∠GAF.在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF(SAS )．∴EF ＝FG .∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.类型3利用“中线倍长”构造全等三角形【例3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC>AB，求证：AB＋AC>2AD>AC －AB.证明：延长AD至E，使AD＝DE，并连结CE，∵D是BC上的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB≌△EDC(SAS)．∴AB＝CE.∵AC＋CE>2AD>AC－CE，∴AB＋AC>2AD>AC－AB.【方法归纳】当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形．5．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝12AC.证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结DF.∵AE 是△ABD 的中线， ∴BE ＝DE.又∵∠AEB ＝∠FED ， ∴△ABE ≌△FDE. ∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF. ∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF.∵∠ADF ＝∠BDA ＋∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ， ∴∠ADF ＝∠ADC. ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD. ∴DF ＝CD. 又∵AD ＝AD ，∴△ADF ≌△ADC(SAS )． ∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝12AC.6．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM.证明：延长AM 至点N ，使MN ＝AM ，连结BN ， ∵M 为BC 中点， ∴BM ＝CM.又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. ∵AD＝AC，AC＝BN，∴AD＝BN.又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.小专题(二)等腰三角形中的分类讨论类型1对顶角和底角的分类讨论对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.类型2对腰长和底长的分类讨论在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm ，一边长等于7 cm ，求它的周长；(2)等腰三角形的一边长等于8 cm ，周长等于30 cm ，求其他两边的长． 解：(1)周长为19 cm 或20 cm .(2)其他两边的长为8 cm ，14 cm 或11 cm ，11 cm .3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm 和12 cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm 、哪一部分是12 cm ，因此，应有两种情形．设这个等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12x ＝9，12x ＋y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12x ＝12，12x ＋y ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5.故腰长是6 cm ，底边长是9 cm 或腰长是8 cm ，底边长是5 cm .类型3 几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论4．已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝80°，求∠CAD 的度数．解：①如图1，当C 、D 两点在线段AB 的同侧时， ∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上， ∴CA ＝CB.∴△CAB 是等腰三角形． 又∵CE ⊥AB ，∴CE 是∠ACB 的平分线．∴∠ACE ＝∠BCE. ∵∠ACB ＝50°，∴∠ACE ＝25°. 同理可得∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝∠ADE －∠ACE ＝40°－25°＝15°；图1 图2②如图2，当C 、D 两点在线段AB 的两侧时，同①的方法可得∠ACE ＝25°，∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝180°－(∠ADE ＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°.故∠CAD 的度数为15°或115°.类型4 运动过程中等腰三角形中的分类讨论5．(下城区校级期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为258或5或8秒．解析：①当AD ＝BD 时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得 AD 2＝AC 2＋CD 2，即BD 2＝(8－BD)2＋62， 解得BD ＝254 cm . 则t ＝2542＝258(秒)； ②当AB ＝BD 时，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm )， 则t ＝102＝5(秒)；③当AD ＝AB 时，BD ＝2BC ＝16 cm ， 则t ＝162＝8(秒)．综上所述，t 的值可以是：258，5，8.6．(杭州期中)如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，P 、Q 是△ABC边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1 cm ，点Q 从点B 开始沿B →C 方向运动，且速度为每秒2 cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．(1)当t ＝2秒时，求PQ 的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB 是等腰三角形？(3)若Q 沿B →C →A 方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．解：(1)BQ ＝2×2＝4(cm )， BP ＝AB －AP ＝8－2×1＝6(cm )， ∵∠B ＝90°，∴PQ ＝BQ 2＋BP 2＝42＋62＝213(cm )． (2)根据题意，得BQ ＝BP ， 即2t ＝8－t ， 解得t ＝83.∴出发时间为83秒时，△PQB 是等腰三角形． (3)分三种情况：①当CQ ＝BQ 时，如图1所示， 则∠C ＝∠CBQ ， ∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°. ∴∠A ＝∠ABQ.∴BQ ＝AQ. ∴CQ ＝AQ ＝5 cm . ∴BC ＋CQ ＝11 cm . ∴t ＝11÷2＝5.5(秒)．②当CQ ＝BC 时，如图2所示， 则BC ＋CQ ＝12 cm . ∴t ＝12÷2＝6(秒)．③当BC ＝BQ 时，如图3所示， 过B 点作BE ⊥AC 于点E ， 则BE ＝AB·BC AC ＝6×810＝4.8(cm )． ∴CE ＝BC 2－BE 2＝3.6 cm . ∴CQ ＝2CE ＝7.2 cm . ∴BC ＋CQ ＝13.2 cm . ∴t ＝13.2÷2＝6.6(秒)．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形．小专题(三) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1．如图所示，有一张直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( A )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm第1题图 第2题图2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( B )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( D )A .252 cmB .152 cmC .254 cm D .154 cm第3题图 第4题图4．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( B )A ．3B .154C ．5D .1525．(上城区期末)在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得 A′D ＝AD ＝5.在Rt △A ′CD 中，A ′D 2＝A′C 2＋CD 2， 即52＝(5－A′B)2＋32， 解得A′B ＝1.如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A′B ＝AB ＝3. ∵3－1＝2，∴点A′在BC 边上可移动的最大距离为2. 故选B .6．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为7．第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是6_cm 2．8．如图，长方形ABCD 中，CD ＝6，BC ＝8，E 为CD 边上一点，将长方形沿直线BE 折叠，使点C 落在线段BD 上C′处，求DE 的长．解：∵在长方形ABCD 中，∠C ＝90°，DC ＝6，BC ＝8， ∴BD ＝62＋82＝10.由折叠可得BC ′＝BC ＝8，EC ′＝EC ，∠BC ′E ＝∠C ＝90°， ∴C ′D ＝2，∠DC ′E ＝90°. 设DE ＝x ，则C ′E ＝CE ＝6－x . 在Rt △C ′DE 中，x 2＝(6－x )2＋22， 解得x ＝103. ∴DE 的长为103.类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题9．如图是一个封闭的正方体纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是( C )A．A⇒B⇒C⇒GB．A⇒C⇒GC．A⇒E⇒GD．A⇒F⇒G10．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是2.60m.(精确到0.01 m)第10题图第11题图11．(凉山中考)如图，圆柱形玻璃杯，高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.12．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？解：把长方体的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连结AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC，即O为DC的中点．由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O(或A′B′中点O′)，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97；蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89. ∵l1>l2，∴最短路径的长是89.小专题(四) 全等三角形的基本模型类型1 平移型把△ABC 沿着某一条直线l 平行移动，所得到△DEF 与△ABC 称为平移型全等三角形．图1，图2是常见的平移型全等三角形．在证明平移型全等的试题中，常常要碰到移动方向的边加(减)公共边．如图1，若BE ＝CF ，则BE ＋EC ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF.如图2，若BE ＝CF ，则BE －CE ＝CF －CE ，即BC ＝EF.1．如图，已知EF ∥MN ，EG ∥HN ，且FH ＝MG ，求证：△EFG ≌NMH.证明：∵EF ∥MN ，EG ∥HN ， ∴∠F ＝∠M ，∠EGF ＝∠NHM. ∵FH ＝MG ，∴FH ＋HG ＝MG ＋HG ， 即GF ＝HM.在△EFG 和△NMH 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠M ，GF ＝HM ，∠EGF ＝∠NHM ， ∴△EFG ≌△NMH(ASA )．2．(金华六校10月联考)如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个选项作为条件，余下一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明.①AB ＝CD ；②∠ACE ＝∠D ；③∠EAG ＝∠FBG ；④AE ＝BF. 你选择的条件是：①②③，结论是：④．(填写序号)证明：∵∠EAG ＝∠FBG ， ∴∠EAD ＝∠FBD. ∵AB ＝CD ，∴AB ＋BC ＝BC ＋CD ， 即AC ＝BD.在△ACE 和△BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ACE ＝∠D ，AC ＝BD ，∠EAD ＝∠FBD ， ∴△ACE ≌△BDF(ASA)． ∴AE ＝BF .类型2 翻折型将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．3．(下城区校级期中)如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，BC 与DE 相交于点F ，连结CD 、EB.(1)不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形；(2)求证：CF＝EF.解：(1)图中其他的全等三角形为：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF.(2)证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.类型3旋转型将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．识别旋转型三角形时，如图1，涉及对顶角相等；如图2，涉及等角加(减)等角的条件．4．已知：如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE.5．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上．(1)求证：AE＝BD；(2)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM＝CN；(3)连结MN，猜想MN与BE的位置关系，并加以证明．解：(1)证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠BCD＝∠ACE＝120°.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS )． ∴AE ＝BD.(2)证明：∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠CBD ＝∠CAE.∵∠ACN ＝180°－∠ACB －∠DCE ＝60°， ∴∠BCM ＝∠ACN. 在△BCM 和△ACN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CBM ＝∠CAN ，CB ＝CA ，∠BCM ＝∠ACN ， ∴△BCM ≌△ACN(ASA )． ∴CM ＝CN. (3)MN ∥BE.证明：∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 为等边三角形． ∴∠CMN ＝60°. ∴∠CMN ＝∠ACB. ∴MN ∥BE.类型4 双垂型基本图形如图：此类图形通常告诉BD ⊥DE ，AB ⊥AC ，CE ⊥DE ，那么一定有∠B ＝∠CAE.6．如图，AD ⊥AB 于点A ，BE ⊥AB 于点B ，点C 在AB 上，且CD ⊥CE ，CD ＝CE.求证：AD ＝CB.证明：∵AD ⊥AB ，BE ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝90°. ∴∠D ＋∠ACD ＝90°. ∵CD ⊥CE ，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－90°＝90°. ∴∠D ＝∠BCE .在△ACD 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，∠D ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BEC (AAS)． ∴AD ＝CB .7．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，直线l 经过点A 且绕点A 在△ABC 所在平面内转动，作BD ⊥l ，CE ⊥l ，D 、E 为垂足．求证：DA ＋DB ＝2DE.证明：在l 上截取FA ＝DB ，连结CD 、CF.∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD ⊥l ，∴AC ＝BC ，∠BDA ＝90°.∴∠CBD ＋∠CAD ＝360°－∠BDA －∠ACB ＝360°－90°－90°＝180°. 又∵∠CAF ＋∠CAD ＝180°， ∴∠CBD ＝∠CAF. 在△CBD 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CA ，∠CBD ＝∠CAF ，BD ＝AF ，∴△CBD ≌△CAF(SAS )． ∴CD ＝CF. ∵CE ⊥l ，∴DE ＝EF ＝12DF ＝12(DA ＋FA)＝12(DA ＋DB)． ∴DA ＋DB ＝2DE.小专题(五) 一元一次不等式(组)的解法1．解下列不等式(组)：(1)(金华金东区期末)5x ＋3＜3(2＋x)； 解：去括号，得5x ＋3＜6＋3x. 移项，得5x －3x ＜6－3. 合并同类项，得2x ＜3. 系数化为1，得x ＜32.(2)(黄冈中考)x ＋12≥3(x －1)－4； 解：去分母，得x ＋1≥6(x －1)－8. 去括号，得x ＋1≥6x －6－8. 移项，得x －6x ≥－6－8－1. 合并同类项，得－5x ≥－15. 两边都除以－5，得x ≤3.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥2，①3（x ＋1）>x ＋5；②解：由①，得x ≥1. 由②，得x>1.所以，不等式组的解集为x>1.(4)(莆田中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －3（x －2）≥4，①1＋2x 3>x －1；②解：由①，得x ≤1. 由②，得x ＜4.所以原不等式组的解集为x ≤1.(5)(金华金东区期末)⎩⎨⎧5x －2>3（x ＋1），①12x －1≤7－32x.②解：解不等式①，得x ＞52. 解不等式②，得x ≤4. 故不等式组的解集为52＜x ≤4.2．(苏州中考)解不等式2x －1＞3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得4x －2＞3x －1. 移项，得4x －3x ＞2－1. 合并同类项，得x ＞1.将不等式解集表示在数轴上如图：3．(萧山区校级月考)解不等式x3<1－x －36，并求出它的非负整数解．解：去分母，得2x<6－(x －3)． 去括号，得2x<6－x ＋3. 移项，得x ＋2x<6＋3. 合并同类项，得3x<9. 系数化为1，得x<3.所以，非负整数解为0，1，2.4．(杭州经济开发区期末)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥3（x －2），①x ＋113－1>－x.②并把它的解在数轴上表示出来．解：解不等式①，得x ≤1. 解不等式②，得x ＞－2. ∴原不等式组的解为－2＜x ≤1. 在数轴上表示为：5．(十堰中考)x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－32x 都成立？解：根据题意解不等式组⎩⎨⎧5x ＋2>3（x －1），①12x ≤2－32x.②解不等式①，得x ＞－52. 解不等式②，得x ≤1. 所以－52＜x ≤1.故满足条件的整数有－2、－1、0、1.小专题(六) 一元一次不等式的实际应用1．建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的战略构想，强调相关各国要打造互利共赢的“利益共同体”和共同发展繁荣的“命运共同体”．某国有企业在“一带一路”的战略合作中，向东南亚销售A 、B 两种外贸产品共6万吨．已知A 种外贸产品每吨800元，B 种外贸产品每吨400元．若A 、B 两种外贸产品销售额不低于3 200万元，则至少销售A 产品多少万吨？解：设销售A 产品x 万吨．根据题意，得 800x ＋400(6－x)≥3 200. 解得x ≥2.答：至少销售A 产品2万吨．2．(来宾中考)已知购买一个足球和一个篮球共需130元，购买2个足球和一个篮球共需180元．(1)求每个足球和每个篮球的售价；(2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4 000元，问最多可买多少个篮球？解：(1)设每个足球的售价为x 元，每个篮球的售价为y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝130，2x ＋y ＝180. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80.答：每个足球和每个篮球的售价分别为50元、80元．(2)设可购买z 个篮球．根据题意，得 50(54－z)＋80z ≤4 000.解得z ≤1303. ∵z 取整数， ∴z 最大可取43.答：最多可买43个篮球．3．2021年的5月20日是第17个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)，若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，这份快餐最多含有多少克的蛋白质？信 息1．快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他． 2．快餐总质量为400克．3．碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍． 解：设这份快餐含有x 克的蛋白质．根据题意，得 x ＋4x ≤400×70%.解得x ≤56.答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．4．(玉林中考)蔬菜经营户老王近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少钱？青菜 西兰花 进价(元/市斤) 2.8 3.2 售价(元/市斤)44.5(2)今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？(精确到0.1元)解：(1) 设老王批发青菜x 市斤，西兰花y 市斤，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝200，2.8x ＋3.2y ＝600.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝100.(4－2.8)×100＋(4.5－3.2)×100＝250(元)． 答：当天售完后老王一共能赚250元钱． (2)设青菜的售价定为a 元，根据题意，得 100×(1－10%)a ＋4.5×100－600≥250. 解得a ≥409≈4.44.答：青菜售价至少定为4.5元/市斤．小专题(七)一次函数的图象与性质类型1一次函数的图象与字母系数的关系1．在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx(k<0)的图象可能是( C )2．(怀化中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)在平面直角坐标系中的图象如图所示，则k和b 的取值范围是( C )A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0第2题图第3题图3．(江山期末)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列语句中不正确的是( B ) A．函数值y随x的增大而增大B．当x＞0时，y＞0C．k＋b＝0D．kb＜04．已知函数y＝kx＋b的图象如图，则y＝2kx＋b的图象可能是( C )5．已知一次函数y ＝(2k －1)x ＋b －1的图象经过第一、二、四象限，则k ，b 的取值范围为( B )A ．k>12，b>1B ．k<12，b>1C ．k>12，b<1D ．k<12，b<16．对于一次函数y ＝kx ＋b ，其中b 实际是该函数的图象与y 轴交点的纵坐标．在画图实践中我们发现当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限．请你随意画几个一次函数的图象继续探究：(1)当b>0时，图象与y 轴的交点在x 轴上方；当b<0时，图象与y 轴的交点在x 轴下方；(2)当k 、b 取何值时，图象经过第一、三、四象限？第一、二、四象限？第二、三、四象限？请写出你的探究结论和同伴交流．解：当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限； 当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限； 当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限．7．一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示．(1)试化简代数式：m 2－|m －n|；(2)若点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，比较a ，b 的大小．解：(1)由图象可知，m＜0，n＞0，所以m－n<0.所以m2－|m－n|＝－m＋m－n＝－n.(2)因为一次函数y＝mx＋n的图象从左往右逐渐下降，所以y随x的增大而减小．又因为点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，且－2＜3，所以a＞b.类型2一次函数图象上点的坐标特征8．(遂宁中考)直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是( D )A．(4，0) B．(0，4)C．(－4，0) D．(0，－4)9．一次函数y＝5x－2的图象经过点A(1，m)，如果点B与点A关于y轴对称，那么点B所在的象限是( B )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)都在直线y＝－3x＋2上，则y1，y2，y3的大小关系是( A )A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y111．(钦州中考)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过A(1，0)和B(0，2)两点，则它的图象不经过第三象限．12．(株洲中考)已知直线y ＝2x ＋(3－a)与x 轴的交点在A(2，0)，B(3，0)之间(包括A ，B 两点)，则a 的取值范围是7≤a ≤9．类型3 一次函数表达式的确定13．(金华金东区期末)将直线y ＝2x 向右平移2个单位长度所得的直线的表达式是( C )A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x －2C ．y ＝2(x －2)D ．y ＝2(x ＋2)14．如图，A 、B 两点在坐标平面上，已知A(－3，0)，B(0，－4)，那么直线AB 关于y 轴对称的直线表达式为( B )A ．y ＝－43x －4 B ．y ＝43x －4 C ．y ＝43x ＋4 D ．y ＝－43x ＋415．(江山期末)一次函数的图象经过M(3，2)，N(－1，－6)两点．(1)求函数表达式；(2)请判定点A(1，－2)是否在该一次函数图象上，并说明理由． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k ≠0)，将点(3，2)(－1，－6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝3k ＋b ，－6＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－4.∴y ＝2x －4.(2)当x ＝1时，y ＝2×1－4＝－2， ∴点A(1，－2)在一次函数图象上．16．(益阳中考)如图，直线l 上有一点P 1(2，1)，将点P 1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到像点P 2，点P 2恰好在直线l 上．(1)写出点P 2的坐标；(2)求直线l 所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P 2先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到像点P 3.请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．解：(1)P 2(3，3)．(2)设直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)． 因为点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，3k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3.所以直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝2x －3. (3)点P 3在直线l 上．由题意知点P 3的坐标为(6，9)． 因为2×6－3＝9， 所以点P 3在直线l 上．小专题(八)一次函数与方程、不等式的综合应用类型1一次函数与一元一次方程的综合应用1．方程2x＋12＝0的解是直线y＝2x＋12( C )A．与y轴交点的横坐标B．与y轴交点的纵坐标C．与x轴交点的横坐标D．与x轴交点的纵坐标2．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx＋b的图象可能是( C )A B C D3．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( A )A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3第3题图第4题图4．如图，已知直线y＝3x＋b与y＝ax－2的交点的横坐标为－2，则关于x的方程3x ＋b＝ax－2的解为x＝－2．5．已知方程3x＋9＝0的解是x＝－3，则函数y＝3x＋9与x轴的交点坐标是(－3，0)，与y轴的交点坐标是(0，9)．类型2一次函数与二元一次方程组的综合应用6．如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx的解是( B )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝2第6题图 第7题图7．如图，两条直线l 1和l 2的交点坐标可以看作下列哪个方程组中的解( B )A .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋2 B .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝3x －5 C .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋1y ＝x －1D .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋1y ＝x ＋18．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x 人，进3个球的有y 人，若(x ，y)恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的表达式是( C )进球数 0 1 2 3 4 5 人数15xy32A .y ＝x ＋9与y ＝23x ＋223 B ．y ＝－x ＋9与y ＝23x ＋223C ．y ＝－x ＋9与y ＝－23x ＋223 D ．y ＝x ＋9与y ＝－23x ＋2239．利用一次函数的图象解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝5.解：根据图象可得出方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝2x －5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.10.在平面直角坐标系中，直线l 1经过点(2，3)和点(－1，－3)，直线l 2经过原点O ，且与直线l 1交于点P(－2，a)．(1)求a 的值；(2)(－2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解？ (3)设直线l 1与y 轴交于点A ，试求出△APO 的面积． 解：(1)设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b ， ∵直线l 1经过(2，3)和(－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1.∴直线l 1的表达式为y ＝2x －1.把P(－2，a)代入y ＝2x －1，得a ＝2×(－2)－1＝－5.(2)设直线l 2的表达式为y ＝mx ，把P(－2，－5)代入，得－5＝－2m ，解得m ＝52. ∴直线l 2的表达式为y ＝52x.∴(－2，－5)可以看作是二元一次方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝52x的解．(3)对于y ＝2x －1，令x ＝0，解得y ＝－1，则A 点坐标为(0，－1)． ∴S △APO ＝12×2×1＝1.11．(青岛中考)甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l 1和l 2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m )与甲跑步的时间x(s )之间的函数关系，其中l 1的关系式为y 1＝8x ，问甲追上乙用了多长时间？解：设l 2的关系式为y 2＝kx ＋b(k ≠0)，根据题意，可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧10＝b ，22＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝10. ∴y 2＝6x ＋10.当y 1＝y 2时，8x ＝6x ＋10，解得x ＝5. 答：甲追上乙用了5 s .类型3 一次函数与不等式的综合应用12．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象如图所示，当kx ＋b ＜0时，x 的取值范围是( D )A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞2第12题图第14题图13．对于函数y＝－x＋4，当x＞－2时，y的取值范围是( D )A．y＜4 B．y＞4C．y＞6 D．y＜614．如图，函数y＝2x－4与x轴、y轴分别交于点(2，0)，(0，－4)，当－4＜y＜0时，x的取值范围是( C )A．x＜－1 B．－1＜x＜0C．0＜x＜2 D．－1＜x＜215．(杭州开发区期末)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y＜0时，自变量x 的取值范围是( A )A．x＜－2 B．x＞－2C．x＞2 D．x＜2第15题图第16题图16．(绍兴五校联考期末)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b<k2x＋c的解集为x<1．17．已知函数y1＝kx－2和y2＝－3x＋b相交于点A(2，－1)．(1)求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象；(2)利用图象求出：当x取何值时有：①y1<y2；②y1≥y2；(3)利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0.解：(1)k ＝12，b ＝5.图象略． (2)①当x<2时，y 1<y 2. ②当x ≥2时，y 1≥y 2.(3)①当53<x<4时，y 1<0且y 2<0. ②当x>4时，y 1>0且y 2<0.小专题(九)分段函数1．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是( A )第1题图第2题图2．如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费( A )A．0.4元B．0.45 元C．约0.47元D．0.5元3．如图是某工程队在一项修筑公路的工程中，修筑的公路长度y(米)与时间x(天)之间的关系函数(图象为折线)．根据图象提供的信息，可知到第七天止，该工程队修筑的公路长度为( D )A．630米B．504米C．480米D．450米第3题图第4题图4．(绍兴五校联考期末)小波、小威从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小波步行一段时间后，小威骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米)与小波出发时间t(分)之间的函数关系如图所示．下列说法：①小威先到达青少年宫；②小威的速度是小波速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正确的是( B ) A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．(江山期末)在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间x(小时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法的序号是①②④．6．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：医疗费用范围报销比例标准不超过8 000元不予报销超过8 000元且不超过50%。
2021-2022学年浙教版八年级数学上册期末复习压轴题专题训练(word版 含解析)
2021-2022学年浙教版八年级数学上册期末综合复习压轴题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（）A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CAD C．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC 2．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，若想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；丙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求．对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（）A．三人皆正确B．甲、丙正确，乙错误C．甲正确，乙、丙错误D．甲错误，乙、丙正确3．在等腰三角形△ABC（AB＝AC，∠BAC＝120°）所在平面上有一点P，使得△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形，则满足此条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（）A．1.5B．2.5C．D．35．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（）A．10B．9C．D．6．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm27．已知∠BAC＝θ，现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒在两射线上，从A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1，若只能摆放9根小棒，则θ的度数可以是（）A．6°B．7°C．8°D．9°8．如图，点C的坐标为（3，4），CA⊥y轴于点A，D是线段AO上一点，且OD＝3AD，点B从原点O出发，沿x轴正方向运动，CB与直线y＝x交于点E，则△CDE的面积（）A．逐渐变大B．先变大后变小C．逐渐变小D．始终不变9．如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a（0°＜a＜180°），则∠ACB的度数为（）A．45°B．a﹣45°C．a D．90°﹣a 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连接AF，CF，则AF+CF的最小值是．11．直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，直线l2：y＝x﹣2分别交x轴、y轴于C、D两点，在直线l1上存在一点P，能使得S△P AD＝S△PCD，则满足条件的点P的坐标为．12．星期日早晨，小青从家出发匀速去森林公园溜冰，小青出发一段时间后，他妈妈发现小青忘带了溜冰鞋，于是立即骑自行车沿小青行进的路线匀速去追赶，妈妈追上小青后，立即沿原路线匀速返回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二，小青继续以原速度步行前往森林公园，妈妈与小青之间的路程y（米）与小青从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示，当妈妈刚回到家时，小青到森林公园的路程还有米．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝．14．有一组平行线a∥b∥c，过点A作AM⊥b于点M，作∠MAN＝60°，且AN＝AM，过点N作CN⊥AN交直线c于点C，在直线b上取点B使BM＝CN，若直线a与b间的距离为2，b与c间的距离为4，则BC＝．15．如图，在锐角△ABC中，AB＝5，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（，0），C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．当CE为最小值时，此时△ACE的面积是．17．如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是（填序号）①BD＝CE；②∠DCB﹣∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．18．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝30°，把△ADC沿着直线AD翻折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为．19．已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为．20．如图，长方形两边长AB＝4，AD＝2，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是．21．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝6，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则AF长为．22．某水果店三天共销售50千克香蕉，所得收入为270元，每天的销售数量h和价格如表：则Z＝（用含y的代数式表示），若12＜x＜18，则z的取值范围是．第1天第2天第3天售价（元、千克）963数量（千克）x y z23．已知x﹣2y＝2，且x＞1，y＜0，令m＝x+2y，则m的取值范围是．24．如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ，已知∠AQB ＝150°，QA：QC＝a：b（b＞a），则PB：QA＝（用含a，b的代数式表示）25．如图1，△ABC的∠A，∠B，∠C所对边分别是a，b，c，且a≤b≤c，若满足a2+c2＝2b2，则称△ABC为奇异三角形．例如等边三角形就是奇异三角形．（1）若a＝2，b＝，c＝4，判断△ABC是否为奇异三角形，并说明理由；（2）若△ABC为奇异三角形，∠C＝90°，c＝3，求b的长；（3）如图2，在奇异三角形△ABC中，b＝2，点D是AC边上的中点，连接BD，BD将△ABC分割成2个三角形，其中△ADB是奇异三角形，△BCD是以CD为底的等腰三角形，求c的长．26．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），过点B画y轴的垂线l，点C在线段AB上，连接OC并延长交直线l于点D，过点C画CE⊥OC交直线l于点E．（1）求∠OBA的度数，并直接写出直线AB的解析式；（2）若点C的横坐标为2，求BE的长；（3）当BE＝1时，求点C的坐标．27．如图，已知直线y＝x+2交x轴于A，交y轴于B，过B作BC⊥AB，且AB＝BC，点C在第四象限，点R（3，0）．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点M是直线AB上一动点，当RM+CM最小时，求点M的坐标；（3）点P、Q分别在直线AB和BC上，△PQR是以RQ为斜边的等腰直角三角形．直接写出点P的坐标．28．如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E是边AC上一动点，连接DE，过点D作DF ⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，连接EF、AG．已知AB＝10，BC＝6，AC＝8．（1）求证：△ADG≌△BDF；（2）请你连接EG，并求证：EF＝EG；（3）设AE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）求线段EF长度的最小值．29．定义：若以三条线段a，b，c为边能构成一个直角三角形，则称线段a，b，c是勾股线段组．（1）如图①，已知点M，N是线段AB上的点，线段AM，MN，NB是勾股线段组，若AB＝12，AM＝3，求MN的长；（2）如图②，△ABC中，∠A＝18°，∠B＝27°，边AC，BC的垂直平分线分别交AB 于点M，N，求证：线段AM，MN，NB是勾股线段组；（3）如图③，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，求∠APB的度数．30．已知△ABC与△A′B′C关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D （点D与点C不重合）．（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．31．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，2），点C（﹣2，0）和点D（﹣4，0）是x轴上的两个定点．（1）当线段AB向左平移到某个位置时，若AC+BC的值最小，求平移的距离．（2）当线段AB向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最小？请说明如何平移？若不存在，请说明理由．32．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（0，5），B（3，1），过点B作BC⊥AB交直线y＝﹣m（m＞）于C（即点C的纵坐标始终为﹣m），连接AC．（1）求AB的长．（2）若△ABC为等腰直角三角形，求m的值．（3）求BC所在直线的表达式．（4）用m的代数式表示△BOC的面积．33．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE．②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．34．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝ax﹣2a交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B．（1）用含a的式子表示△AOB的面积S；（2）如图2，在第一象限内取一点C，使△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，连线OC，求直线OC的解析式；（3）如图3，过点A作AD⊥AB交直线OC于D，在AD的延长线上取一点F，连接BF 交x轴于G，若BF+DF＝AB+AD，求点G的坐标．35．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：作AH⊥BC于H．∵DE⊥BC，∴DE∥AH，∴∠ADE＝∠DAH，∵AD＝AC，AH⊥CD，∴∠DAH＝∠CAH，∵ED＝EA，∴∠EDA＝∠EAD，∴∠EAD＝∠EDA＝∠DAH＝∠CAH，∵∠BED＝∠EAD+∠EDA，∠DAC＝2∠DAH，∴∠BED＝∠DAC．故选：B．2．解：甲：如图1，∵AB＝BP，∴∠BAP＝∠APB，∵∠BPC+∠APB＝180°∴∠BPC+∠BAP＝180°，∴甲正确；乙：如图2，∴AB＝BP，AC＝PC，在△ABC和△PBC中，，∴△ABC≌△PBC（SSS），∴∠A＝∠BPC，∴当∠A＝90°时，∠BPC+∠A＝180°，∴乙不正确，丙：如图3，过P作PG⊥AB于G，作PH⊥AC于H，∵AP平分∠BAC，∴PG＝PH，∵PD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），∴∠BPG＝∠CPH，∴∠BPC＝∠GPH，∵∠AGP＝∠AHP＝90°，∴∠BAC+∠GPH＝180°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∴丙正确；故选：B．3．解：如图，满足条件的所有点P的个数为2，故选：B．4．解：连接DE，如图所示，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CE＝1.5；∴BE＝4﹣1.5＝2.5故选：B．5．解：连接AO，OB，OC，∵O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，∴O在∠BAC的角平分线上，∵AB＝AC，∴AO过D，且AD⊥BC，∵BC＝12，∴BD＝CD＝6，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，设OD＝x，则OE＝OF＝4x，∵S△ABC+S△OBC＝S△ABO+S△ACO，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴＝+，∴＝，解得：x＝，即OD＝，∴AO＝AD+OD＝8+＝，故选：D．6．解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，在△APB和△EPB中，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，7．解：由题意得：，解得9°≤θ＜10°．故选：D．8．解：∵点C的坐标为（3，4），CA⊥y轴于点A，∴AO＝4，AC＝3，∵OD＝3AD，∴AD＝1，OD＝3，∴D（0，3），∴直线CD的解析式为y＝x+3，∵直线OE的解析式为：y＝x，∴CD∥OE，故△CDE的面积始终不变，故选：D．9．解：如图，连接BE，过A作AF⊥CD于F，∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∴AC垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠BAC＝∠EAC，∴AD＝AE，又∵AF⊥CD，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠CAF＝∠BAD＝a，又∵∠AFE＝90°，∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACE＝90°﹣，故选：D．10．解：以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，∵△BDE和△BCG是等边三角形，∴DC＝EG，∴∠FDC＝∠FEG＝120°，∵DF＝EF，∴△DFC≌△EFG（SAS），∴FC＝FG，∴在点D的运动过程中，AF+FC＝AF+FG，而AF+FG≥AG，∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值＝AG，∵BC＝CG＝AB＝2，AC＝2，在Rt△CGH中，∠GCH＝30°，CG＝2，∴GH＝1，CH＝，∴AG＝＝＝2，∴AF+CF的最小值是2．11．解：∵直线y＝x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，直线y＝x﹣2分别交x轴、y轴于C、D两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），C（4，0），D（0，﹣2），∴OA＝OB＝3，OC＝4，OD＝2，①当P在x轴的下方时，如图1，设P（a，a+3），作PE⊥x轴于E，∵S△P AD＝S梯形ODPE﹣S△P AE﹣S△AOD＝（OD+PE）•OE﹣AE•PE﹣OA•OD＝（2﹣a﹣3）•（﹣a）﹣（﹣a﹣3）•（﹣a﹣3）﹣×3×2＝（﹣5a﹣9）﹣3，S△PCD＝S梯形ODPE+S△ODC﹣S△PCE＝（OD+PE）•OE+OD•OC﹣CE•PE＝（2﹣a ﹣3）•（﹣a）+×2×4﹣（2﹣a）（﹣a﹣3）＝5，∴（﹣5a﹣9）﹣3＝5，解得a＝﹣5，∴P（﹣5，﹣2）；②当P在x轴的下方时，如图2，设P（a，a+3），作PE⊥y轴于E，∵S△P AD＝S△PED+S△ABD﹣S△PEB＝②当P在x轴的下方时，如图2，设P（a，a+3），作PE⊥y轴于E，∵S△P AD＝S△PED+S△ABD﹣S△PEB＝②当P在x轴的下方时，如图2，设P（a，a+3），作PE⊥y轴于E，∵S△P AD＝S△PED+S△ABD﹣S△PEB＝PE•DE+BD•OA﹣BE•PE＝（a+3+2）•a+（2+3）×3﹣（a+3﹣3）＝（5a+15），S△PCD＝S梯形OCPE+S△ODC﹣S△PDE＝（OC+PE）•OE+OD•OC﹣DE•PE＝（a+2）•（a+3）+×2×4﹣a（a+3+2）＝5，解得a＝，故P（，）．综上，在直线AB上存在一点P，使得S△P AD＝S△PCD，此时P的坐标为（﹣5，﹣2）或（，）．故答案为：（﹣5，﹣2）或（，）．12．解：由图象得：小青步行速度：1600÷40＝40（米/分），由函数图象得出，妈妈在小青10分后出发，15分时追上小青，设妈妈去时的速度为v米/分，（15﹣10）v＝15×40，v＝120，则妈妈回家的时间：（分），（40﹣15﹣7.5）×40＝700．故答案为：70013．解：如图，连接BE，∵AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝10，又∵BC＝6，∴AC＝8，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠BCE＝90°，∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴AE＝，故答案为：．14．解：∵AM⊥b，CN⊥AN，∴∠AMB＝∠ANC＝90°，在△ABM与△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠BAM＝∠CAN，AB＝AC；∴∠BAC＝∠MAN＝60°，∴△ABC为等边三角形．如图1，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，∴∠AHN＝∠NGC＝90°．∵∠MAN＝60°，∴∠HAN＝30°，∴AN＝2HN，∠ANH＝60°，∵AM＝AN＝2，∴HN＝1．∴NG＝5．∵CN⊥AN，∴∠ANC＝90°，∴∠ANH+∠CNG＝90°，∴∠CNG＝30°，∴CN＝2CG，在Rt△CGN中，由勾股定理，得4CG2﹣CG2＝25，CG＝，∴CN＝在Rt△ANC中，由勾股定理，得AC2＝（）2+22，∴AC＝，∴BC＝AC＝．15．解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH＝MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB＝5，∠BAC＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝5×＝5．∴BM+MN的最小值是BM+MN＝BM+MH＝BH＝5．故答案为：5．16．解：如图，把线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，则C′为定点（﹣，）在△ACE和△AC′D中∴△ACE≌△AC′D（SAS）∴C′D＝CE．当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为，此时△ACE面积等于△AC′D＝××＝．故答案为．17．解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，∵∠ACB＝45°≠∠DCA，故②错误，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．∴BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，故④错误，故答案为①③．18．解：如图，过D作DF⊥BE于F，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝1，由折叠可得，DE＝DC＝1，∠CDE＝2∠CDA＝60°，∴BD＝ED，∠BDE＝120°，∴BE＝2BF，∠DBE＝30°，∴Rt△BDF中，DF＝BD＝，∴BF＝＝，∴BE＝2BF＝，故答案为：．19．解：如图1中，当点P与B重合时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝AB•sin60°＝6×＝3．如图2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，QA＝QB，△ABQ是等腰三角形，此时∠PCD＝∠PCQ＝15°，在CD上取一点J，使得JC＝PJ，则∠JPC＝∠JCP＝15°，∴∠PJD＝∠JPC+∠JCP＝30°，设PD＝x，则DJ＝x．PJ＝CJ＝2x，∴x+2x＝3，∴x＝6﹣3，∴PD＝6﹣3．如图3中，当点Q落在直线BD上时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝CD•tan30°＝．如图4中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，∠DCP∠PCQ＝75°，可得∠CPJ ＝15°，在PD上取一点J，使得JC＝JP，同法可得∠DJC＝30°，DJ＝3，CJ＝JP＝6，∴PD＝DJ+JP＝3+6，综上所述，满足条件的PD的值为3或6﹣3或或3+6．20．解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝4，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝2＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝＝2，∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝2+2，故答案为：2+2．21．解：∵将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，∴DC＝DE＝8，CP＝EP．在△OEF和△OBP中，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE＝OB，EF＝BP．设EF＝x，则BP＝x，DF＝DE﹣EF＝8﹣x，又∵BF＝OB+OF＝OE+OP＝PE＝PC，PC＝BC﹣BP＝6﹣x，∴AF＝AB﹣BF＝2+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2＝DF2，∴（2+x）2+62＝（8﹣x）2，∴x＝，∴AF＝2+x＝，故答案为：．22．解：依题意，得：，①×9﹣②，得：3y+6z＝180，∴z＝30﹣y；①×6﹣②，得：3z﹣3x＝30，∴z＝x+10，又∵12＜x＜18，∴22＜z＜28．故答案为：30﹣y；22＜z＜28．23．解：∵x﹣2y＝2，∴2y＝x﹣2，∴m＝x+x﹣2＝2x﹣2，∵y＜0，∴x﹣2＜0，解得x＜2，∴1＜x＜2，当x＝1时，m＝2x﹣2＝0；当x＝2时，m＝2x﹣2＝2，∴0＜m＜2．故答案为0＜m＜2．24．解：如图，连接PQ，∵把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∠PBQ＝60°，∴P A＝CQ，PB＝BQ，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝PB，∠BQP＝60°，∵∠AQB＝150°，∴∠PQA＝90°，∵QA：QC＝a：b，∴设QA＝ak，QC＝bk＝P A，∴PQ＝＝k•＝PB∴PB：QA＝：a，故答案为：：a．25．解：（1）△ABC是奇异三角形，理由如下：∵a＝2，，c＝4，∴a2+c2＝22+42＝20，b2＝（）2＝10，∴a2+c2＝2b2，即△ABC是奇异三角形；（2）分两种情况：①∵∠C＝90°，c＝3，∴a2+b2＝c2＝9，∵a2+c2＝2b2，∴a2+9＝2b2，∴2b2﹣9＝9﹣b2，解得：b＝；②∵∠C＝90°，c＝3，∴a2+b2＝c2＝9，∵b2+c2＝2a2，∴b2+9＝2a2，∴2a2﹣9＝9﹣a2，解得：a＝，∴b＝＝＝；综上所述，b的长为或；（3）分三种情况：①c＞b＞a时，∵△ABC是奇异三角形，且b＝2，∴a2+c2＝2b2＝8，∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝1，∵△BCD是以CD为底的等腰三角形，∴BC＝BD＝a，∵△ADB是奇异三角形，且c＞a，c＞1，∴12+c2＝2a2或a2+c2＝2×12＝2，a、当12+c2＝2a2时，12+c2＝2（8﹣c2），解得：c＝，b、当a2+c2＝2时，与a2+c2＝2b2＝8矛盾，不合题意舍去．②b＞c＞a时，∵△ABC是奇异三角形，∴a2+b2＝2c2，即a2+22＝2c2，∴a2＝2c2﹣4，由题知：AD＝CD＝1，BC＝BD＝a，∵△ADB是奇异三角形，且c＞a，c＞1，∴12+c2＝2a2或a2+c2＝2×12＝2，a、当12+c2＝2a2时，12+c2＝2（2c2﹣4），解得：c＝，b、当a2+c2＝2时，2c2﹣4+c2＝2，解得：c＝（不合题意舍去）．③c＞a＞b时，∵△ABC是奇异三角形，∴c2+b2＝2a2，即c2+22＝2a2，由题知：AD＝CD＝1，BC＝BD＝a，∵△ADB是奇异三角形，且c＞a，c＞1，∴12+c2＝2a2或a2+c2＝2×12＝2，a、当12+c2＝2a2时，12+c2＝c2+22，无解；b、当a2+c2＝2时，2a2+2c2＝4，∴c2+22+2c2＝4，解得：c＝0，不合题意舍去；综上所述，c的值为或．26．解：（1）∵A（3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3．∵∠AOB＝90°，∴∠OBA＝45°，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（2）作CF⊥l于F，CG⊥y轴于G，∴∠OGC＝∠EFC＝90°．∵点C的横坐标为2，点C在y＝﹣x+3上，∴C（2，1），CG＝BF＝2，OG＝1．∵BC平分∠OBE，∴CF＝CG＝2．∵∠OCE＝∠GCF＝90°，∴∠OCG＝∠ECF，∴Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），∴EF＝OG＝1，∴BE＝1；（3）设C的坐标为（m，﹣m+3）．当E在点B的右侧时，由（2）知EF＝OG＝m﹣1，∴m﹣1＝﹣m+3，∴m＝2，∴C的坐标为（2，1）；当E在点B的左侧时，同理可得：m+1＝﹣m+3，∴m＝1，∴C的坐标为（1，2）．综上，点C的坐标为（2，1）或（1，2）．27．解：（1）当x＝0时，y＝2，B（0，2）当y＝0时，x＝﹣3，A（﹣3，0），过C作CH⊥y轴，垂足为H，∵BC⊥AB，∴∠ABH＝∠BCH，∵AB＝BC，∠ABO＝∠BHC＝90°，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴BH＝AO＝3，CH＝BO＝2，HO＝1，∴C（2，﹣1），（2）作点C关于直线AB的对称点C'∵BC⊥AB，∴点C'在直线BC上，且C'（﹣2，5）连接RC'交直线AB于M，设直线RC'的解析式为y＝kx+b则，解得∴y＝﹣x+3，∴，∴，∴M（，）；（3）①当点P在第二象限时，如下图，过点P作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点G，交x轴于点H，延长GQ交y 轴于点M，∵∠GAQ+∠HPR＝90°，∠HPR+∠PRH＝90°，∴∠PRH＝∠GAQ，又∠QGA＝∠PHR＝90°，PR＝PQ，∴△PHR≌△QGP（AAS），∴GQ＝PH，HR＝PG，设：点P、Q的坐标分别为（m，m+2）、（n，﹣n+2），GQ＝PH，即：n﹣m＝m+2…①，HR＝PG，即：﹣n+2﹣m﹣2＝3﹣m…②，联立①②并解得：m＝﹣，故点P的坐标（，），②当点P在第一象限时，同理可得：点P的坐标为（，），故：点P的坐标为（，）或（，）．28．解：（1）∵D是边AB的中点，∴AD＝BD，在△ADG和△BDF中，∵，∴△ADG≌△BDF（SAS）；（2）如图，连接EG．∵DG＝FD，DF⊥DE，∴EF＝EG．（3）∵D是AB中点，∴AD＝DB，∵△ADG≌△BDF，∴∠GAB＝∠B∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∠CAB+∠GAB＝90°，∴∠EAG＝90°，∵AE＝x，AC＝8，∴EC＝8﹣x，∵∠ACB＝90°，∴EF2＝（8﹣x）2+y2，∵△ADG≌△BDF，∴AG＝BF，∵CF＝y，BC＝6，∴AG＝BF＝6﹣y，∵∠EAG＝90°，∴EG2＝x2+（6﹣y）2，∵EF＝EG，∴（8﹣x）2+y2＝x2+（6﹣y）2，∴y＝，（＜x＜）．（4）当DF⊥BC时，DF取得最小值，∵DE⊥DF，∠C＝90°，∴此时四边形DECF是矩形，则DE⊥AC，∴此时DE也取得最小值，当DE、DF取得最小值时，斜边EF取得最小值，∵D是AB中点，∴E是AC中点，∴AE＝CE＝DF＝4，由（3）知，当x＝4时，y＝3，即CF＝3，∴EF＝5，故线段EF的最小值为5．29．解：（1）由AB＝12，AM＝3，根据三角形三边关系可得AM不可能为最大边，设MN＝x，则BN＝9﹣x，①当MN为最大线段时，依题意得MN2＝BN2+AM2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得x＝5；②当BN为最大线段时，依题意得BN2＝MN2+AM2，即（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4；∴MN的长为5或4；（2）如图②，连接CM，CN，∵边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，∴CM＝AM，BN＝CN，∴∠1＝∠A＝18°，∠2＝∠B＝27°，∵∠ACB＝180°﹣18°﹣27°＝135°，∴∠MCN＝135°﹣18°﹣27°＝90°，∴MN2＝MC2+CN2，∴MN2＝MA2+BN2，∴线段AM，MN，NB是勾股线段组；（3）如图③，以BP为边向下作等边三角形BDP，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，由作法可知∠PBD＝60°，BP＝BD＝PD，∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC，∠CBD＝∠BPD﹣∠PBC，∴∠ABP＝∠CBD，∴△ABP≌△CBD（SAS），∴AP＝CD，∵线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，∴△PCD是直角三角形，∠PDC＝90°，∵∠PDB＝60°，∴∠BDC＝60°+90°＝150°，∵△ABP≌△CBD，∴∠APB＝∠CDB＝150°．30．解：（1）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝30°，∴∠ACB'＝120°，∵∠ACB＝40°，∴∠BCB'＝80°，∴∠BCD＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝70°；（2）若点D在点C下方时，∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝＝70°﹣∠BCD，∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝70°，若点D在点C上方时，同理可求∠2＝110°；（3）如图2，在BD上截取DH＝CD，连接CH，∵△ABC与△A′B′C关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠CB'D＝＝60°﹣∠BCD，∴∠CB'D+∠DCB'＝60°，又∵CD＝DH，∴△CDH是等边三角形，∴CH＝CD，∵∠BCA＝∠HCD＝60°，∴∠BCH＝∠ACD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（SAS），∴AD＝BH，∴BD＝BH+DH＝AD+CD．31．解：（1）如图1中，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于Q．由题意A（﹣4，8），B′（2，﹣2）∴直线AB′的解析式为y＝﹣x+与x轴交于Q（，0），∵+2＝，∴往左平移个单位．（2）四边形ABCD中AB，CD长度不变，只要AD+BC最短即可．作点B关于x轴的对称点B″，将点A向右平移2个单位得到A′（﹣2，8），连接A′B″交x轴于J．此时直线A′B″解析式为y＝﹣x+3，与x轴交于就（，0），∵+2＝，∴往左平移个单位．32．解：（1）∵A（0，5），B（3，1），∴AB＝＝5；（2）如图，过B点作BD⊥直线y＝﹣m于D，作AE⊥BD于E，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∠ABE+∠CBD＝90°，而∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBD，∵∠AEB＝∠CDB，∠BAE＝∠CBD，BA＝CB，∴△ABE≌△BCD（AAS），∴BD＝AE＝3，CD＝BE＝5﹣1＝4，∴C（﹣1，﹣2），∴m＝2；（3）∵A（0，5），B（3，1），∴AB的解析式为y＝﹣x+5，设BC的解析式为y＝kx﹣3k+1，∵AB⊥BC，C点在y＝﹣m上，∴C（，﹣m），∵AB＝5，BC＝，AC＝，在Rt△ABC中，[]2＝[]2+25，∴k＝，∴y＝x﹣；（4）由（2）可得，C（，﹣m），直线BC与x轴的交点为（，0），∴S＝××m+××1＝（m+1）．33．（1）①证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）．②当AC⊥DE时，∵AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，或AD⊥BC时，AD⊥BC；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝28°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣28°﹣60°＝92°．②如图2，此时∠ADB＝28°，③如图3，此时∠BAD＝28°，∠ADB＝60°﹣28°＝32°．④如图4，此时∠ADB＝28°．综上所述，满足条件的∠ADB的度数为28°或32°或92°．34．解：（1）对于y＝ax﹣2a，令y＝ax﹣2a＝0，解得x＝2，令x＝0，则y＝﹣2a，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，﹣2a），则OA＝2，OB＝﹣2a，则S＝AO×OB＝2×（﹣2a）＝﹣2a；（2）过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，∵△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，则AC＝BC，∵∠BCN+∠NCA＝90°，∠NCA+∠MCA＝90°，∴∠BCN＝∠MCA，而∠CNB＝∠CMN＝90°，AC＝BC，△CNB≌△CMA（AAS），∴CM＝CN，即点C在第一象限角平分线上，则OC的表达式为y＝x；（3）延长DF至P使FP＝BF，延长BC、AD交于点Q，∵∠ABC＝45°，∠BAQ＝90°，∴∠Q＝45°，∴△BAQ为等腰直角三角形，∴AB＝AQ，∵AC⊥BC，∴BC＝CQ，∵BF+DF＝AB+AD，∴PF+DF＝AQ+AD，∴PD＝QD，又∵BC＝CQ，∴CD＝BP且CD∥BP，设∠ADC＝α，则∠P＝α，∠PBF＝α，∴∠BFD＝2α，过点F作FH⊥y轴于点H，∵x轴⊥y轴，则FH∥AO，∴∠AFH＝∠OAF，∵∠ADC+∠OAD＝∠COA＝45°，∴∠OAD＝45°﹣α，∴∠DFH＝45°﹣α，∴∠BFH＝2α+45°﹣α＝45°+α，∴∠AGB＝∠BFH＝45°+α，∴∠AGB＝∠BAO＝45°+α，则△ABG为等腰三角形，∵BO⊥AG，则OG＝OA＝2，故点G（﹣2，0）．35．解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，∴△CHB≌△BOA（AAS），∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：，解得：，故直线AC的表达式为：y＝x+2；（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣…①，则点E（0，﹣），直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），故点E是BD的中点，即BE＝DE；（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），S△BMC＝MB×y C＝×5×1＝，S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，解得：NB＝，故点N（﹣，0）或（，0）．。
浙教版-学年初中数学八年级上学期期末复习专题3 全等三角形的性质、判定与应用 解析版
浙教版2019-2020学年初中数学八年级上学期期末复习专题3 全等三角形的性质、判定与应用一、单选题1.下列图形是全等图形的是（）A. B. C. D.2.下列选项中表示两个全等的图形的是( )A. 形状相同的两个图形B. 周长相等的两个图形C. 面积相等的两个图形D. 能够完全重合的两个图形3.下列不是利用三角形的稳定性的是（）A. 伸缩晾衣架B. 三角形房架C. 自行车的三角形车架D. 矩形门框的斜拉条4.如右图，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则AD的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 不能确定5.如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三形全等，它所用到的判别方法是（）A. SASB. AASC. ASAD. SSS6.某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是( )A. 1B. 2C. 3D. 47.在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C'的是( )A. ∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A'C'B. ∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B'C. ∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B'C'D. AB=A′B′，BC=B'C，AC=A′C'8.如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E，B，D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )A. 50B. 44C. 38D. 329.如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A. 在AC，BC两边高线的交点处B. 在AC，BC两边中线的交点处C. 在AC，BC两边垂直平分线的交点处D. 在∠A，∠B内角平分线的交点处10.如图，AD是∆ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7 ，DE=2，AB=4，则AC的长是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题11.如图，已知△ABC≌△DEC，∠E＝40°，∠ACB=110°，则∠D的度数为________．12.如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm.13.如图：有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到离A的距离等于________时，ΔABC和ΔPQA 全等.14.如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则与△DEF全等的格点（顶点在每个小格的顶点上）三角形能画________个.15.如图，△ABC中∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点D．若∠A=40°，则∠DBC=________16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝15，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离是________．三、解答题17.如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．18.如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．19.已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN 于点E；试猜测线段DE、AD、BE之间的数量关系，并说明理由．20.如图，已知AB∥CF，DE=EF（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB=7，CF=4，求BD长．21.如图：在△ABC中，己知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）设CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，试探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．22.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；（2）设，.①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.23.阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．（1）AB、AD、DC之间的等量关系为________；（2）完成（1）的证明．问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．24.如图（1）如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；（2）如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．答案解析部分一、单选题1. C解：A、两个圆不一样大，不是全等图形，不符合题意；B、两个三角形最大角分别是直角和钝角，不符合题意；C、两个图形放置的方位不一致，但图形的大小一样，形状相同，是全等图形，符合题意；D、两个正方形的大小不一样，不是全等图形；故答案为：C .【分析】只有形状相同，大小相等的两个图形才全等, 据此分别分析和判断.2.D解：A、形状相同的两个图形大小不一定相等，所以，不是全等图形，不符合题意；B、周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，不符合题意；C、面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，不符合题意；D、能够完全重合的两个图形是全等图形，符合题意．故答案为：D【分析】全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形。
浙教版八年级上册数学期末复习试题(含答案)
浙教新版八年级上册数学期末复习试题一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（）A．（5，﹣3）B．（﹣5，3）C．（3，﹣5）D．（﹣3，5）2．已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（）A．4B．5C．9D．143．不等式2x﹣1＜4（x+1）的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的数是（）A．﹣1B．﹣2C．﹣1.5D．﹣2.54．已知点A（﹣1，y1），B（1.7，y2）在函数y＝﹣9x+b（b为常数）的图象上，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＞0，y2＜0D．y1＝y25．下列命题中，假命题的是（）A．在△ABC中，若∠B+∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a＝32，b＝42，c＝52，则△ABC是直角三角形6．如图，△ABC≌△DEC，点E在边AB上，∠DEC＝75°，则∠BCE的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．75°7．若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（）A．2+B．2﹣C．2+或2﹣D．以上都不对8．如图，AE垂直于∠ABC的平分线于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为1，则△CDE的面积是（）A．B．C．D．9．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜﹣3B．﹣4≤a＜﹣3C．a＜﹣3D．﹣4＜a＜10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，OA＝2，将四边形OABC绕点O逆时针旋转90°后得到四边形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转71次得到四边形OA71B71C71，那么点B71的坐标是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣3，0）11．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．10B．12C．20D．2412．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．正比例函数y＝kx经过点（﹣1，2），则它的函数解析式为．14．已知a＞5，不等式（5﹣a）x＞a﹣5解集为．15．如图，A，B分别是线段OC，OD上的点，OC＝OD，OA＝OB，若∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED的度数是度．16．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab＝．17．等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝．三．解答题（共8小题，满分78分）19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）在x轴上存在一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标，并求出此时PA+PB的值．21．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H（1）求∠APB度数；（2）求证：△ABP≌△FBP；（3）求证：AH+BD＝AB．22．某商店准备销售甲、乙两种商品共80件，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售利润相同，3件甲种商品比2件乙商品的销售利润多150元．（1）每件甲种商品与每件乙种商品的销售利润各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总利润不低于6600元，则至少销售甲种商品多少件？23．元旦期间，小黄自驾游去了离家156千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象．（1）求小黄出发0.5小时时，离家的距离；（2）求出AB段的图象的函数解析式；（3）小黄出发1.5小时时，离目的地还有多少千米？24．（1）如图1，已知△ABE与△ACD都是等腰三角形，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD．（1）求证：△ABD≌△AEC；（2）在四边形ABCD中，BC＝6，BD＝10，AD＝AC，如图2，若∠CAD＝60°，∠ABC＝30°，求AB的长．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y＝x+b相交于点C（2，m）．（1）求点A、B的坐标；（2）求m和b的值；（3）若直线y＝x+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设运动时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？参考答案一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．解：∵点P位于第二象限，∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，∴点的坐标为（﹣3，5）．故选：D．2．解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有9符合条件．故选：C．3．解：2x﹣1＜4（x+1），2x﹣1＜4x+4，2x﹣4x＜4+1，﹣2x＜5，x＞﹣2.5，故选：D．4．解：∵k＝﹣9＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜1.7，∵y1＞y2，故选：B．5．解：A、在△ABC中，若∠B+∠C＝∠A，∠A＝90°，则△ABC是直角三角形，正确不符合题意；B、在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，正确不符合题意；C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠A＝90°，正确不符合题意；D、在△ABC中，若a＝32，b＝42，c＝52，则△ABC不是直角三角形，错误符合题意；故选：D．6．解：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠DEC＝75°，CE＝CB，∴∠CEB＝∠B＝75°，∠B＝∠CEB，∴∠BCE＝180°﹣2×75°＝30°，故选：B．7．解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示：∵AD⊥BC，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得，，又∵AB＝7，AD＝6，∴BD＝＝同理可得：DC＝2，又∵BC＝BD+DC，∴BC＝；当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：∵AD⊥BC，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得，DC＝，又∵AC＝8，AD＝6，∴DC＝＝2，同理可得；DB＝，又∵BC＝DC﹣DB，∴BC＝2﹣，综合所述：BC的长是或2﹣，故选：C．8．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD．∵AE⊥BD，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，∴△ADB≌△EBD，∴AD＝ED．∵CE＝BC，△ABC的面积为1，∴△AEC的面积为．又∵AD＝ED，∴△CDE的面积＝△AEC的面积＝．故选：B．9．解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，解不等式3﹣2x＞0，得：x＜1.5，∵不等式组的整数解有5个，∴﹣4≤a＜﹣3．故选：B．10．解：连接AC交OB于E．由题意，OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，∵四边形AOCB关于x轴对称，∴∠AOE＝30°，∠ABE＝45°，∴OE＝OA•cos30°＝．AE＝EB＝OA•sin30°＝1，∴B（+1，0），B1（0，+1），B2（﹣﹣1，0），B3（0，﹣﹣1），观察图象可知，4次一个循环，∵71÷4＝17…3，∴B71的坐标与B3相同，故选：C．11．解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，点P从B向C运动时，AP的最小值为4，即BC边上的高为4，∴当AP⊥BC，AP＝4，此时，由勾股定理可知：BP＝3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PC＝3，∴BC＝6，∴△ABC的面积为：×4×6＝12，故选：B．12．解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM＝∠PQ′N在△PQM和△Q′PN中，∴△PQM≌△Q′PN（AAS），∴PN＝QM，Q′N＝PM，设Q（m，﹣），∴PM＝|m﹣1|，QM＝|﹣m+2|，∴ON＝|3﹣m|，∴Q′（3﹣m，1﹣m），∴OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2＝m2﹣5m+10＝（m﹣2）2+5，当m＝2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，当m＝2时，OQ′2有最小值为5，故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．解：∵正比例函数y＝kx经过点（﹣1，2），∴2＝﹣1•k，解得：k＝﹣2，∴这个正比例函数的解析式为：y＝﹣2x．故答案为：y＝﹣2x．14．解：∵a＞5，∴5﹣a＜0，∴解不等式（5﹣a）x＞a﹣5，得x＜﹣1．故答案为：x＜﹣1．15．解：在△ODA和△OCB中，∴△ODA≌△OCB（SAS），∴∠D＝∠C＝25°，∵∠O＝60°，∠C＝25°，∴∠DBE＝60°+25°＝85°，∴∠BED＝180°﹣85°﹣25°＝70°，故答案为：70．16．解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），∴a＝2，b＝﹣3，∴ab＝﹣6，故答案为：﹣6．17．解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则BC＝＝═12，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，×AC×CD+×AB×DE＝×AC×BC，即×9×DE+×15×DE＝×9×12，解得：DE＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共8小题，满分78分）19．解：，解第一个不等式得x≥﹣1，解第二个不等式得x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，将解集表示在数轴上如下：20．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图，点P坐标为（2，0）．PA+PB＝＝．21．解：（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°＝135°；（2）∵∠APB＝135°，∴∠DPB＝45°，∵PF⊥AD，∴∠BPF＝135°，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA）；（3）∵△ABP≌△FBP，∴∠F＝∠BAD，AP＝PF，AB＝BF，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠F＝∠CAD，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝DF，∵BF＝DF+BD，∴AB＝AH+BD．22．解：（1）设甲种商品的销售利润为x元，乙种商品的销售利润为y元，依题意有，解得．答：甲种商品的销售利润为90元，乙种商品的销售利润为60元；（2）设销售甲种商品a件，依题意有90a+60（80﹣a）≥6600，解得a≥60．答：至少销售甲种商品60件．23．解：（1）设OA段图象的函数表达式为y＝kx．∵当x＝0.8时，y＝48，∴0.8k＝48，∴k＝60．∴y＝60x（0≤x≤0.8），∴当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30．故小黄出发0.5小时时，离家30千米；（2）设AB段图象的函数表达式为y＝k′x+b．∵A（0.8，48），B（2，156）在AB上，，解得，∴y＝90x﹣24（0.8≤x≤2）；（3）∵当x＝1.5时，y＝90×1.5﹣24＝111，∴156﹣111＝45．故小黄出发1.5小时时，离目的地还有45千米．24．（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD．∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC．∴∠CAE＝∠DAB．∵AB＝AE，AC＝AD，∴△ABD≌△AEC（SAS）；（2）如图，以AB为边作等边三角形△ABE，连接CE，∵AD＝AC，∠CAD＝60°，∴AB＝BE＝AE，∠CAD＝∠BAE＝∠ABE＝60°，∴∠CAE＝∠DAB．∴△ABD≌△AEC（SAS），∴BD＝CE＝10，又∵∠ABC＝30°∠ABE＝60°，∴∠ABC+∠ABE＝∠EBC＝90°，在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，CE＝10，BC＝6，∴BE2＝EC2﹣BC2＝102﹣62＝64，∴BE＝AB＝8．25．解：（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2；∴A（﹣2，0），B（0，2）；（2）∵点C在直线y＝x+2上，∴m＝2+2＝4，又∵点C（2，4）也在直线y＝x+b上，∴×2+b＝4，解得：b＝5；（3）在y＝x+5中，当y＝0时，x＝10，∴D（10，0），∴OD＝10，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AD＝OA+OD＝12；①设PD＝t，则AP＝12﹣t，过C作CE⊥AP于E，如图1所示：则CE＝4，∵△ACP的面积为10，∴（12﹣t）×4＝10，解得：t＝7；②存在，理由如下：过C作CE⊥AP于E，如图1所示：则CE＝4，OE＝2，∴AE＝OA+OE＝4，∴AC＝＝＝4；a、当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，∴PD＝AD﹣AP＝4，∴t＝4；b、当AP＝AC时，如图2所示：则AP1＝AP2＝AC＝4，∴DP1＝12﹣4，DP2＝12+4，∴t＝12﹣4，或t＝12+4；c、当PC＝PA时，如图3所示：设EP＝m，则CP＝，AP＝m+4，∴＝m+4，解得：m＝0，∴P与E重合，AP＝4，∴PD＝8，∴t＝8；综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12﹣4或12+4或8．26．解：（1）∵出发2秒，AP＝2cm＜8cm，BQ＝4cm＜6cm，即此时P在AB上，Q在BC上，∴BP＝8﹣2＝6（cm），BQ＝2×2＝4（cm），在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ＝（cm）即出发2秒后，求PQ的长为2cm．（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形，AP＝t，BP＝AB﹣AP＝8﹣t；BQ＝2t由PB＝BQ得：8﹣t＝2t解得t＝（秒），即出发秒后第一次形成等腰三角形．（3）Rt△ABC中由勾股定理得：AC＝＝10（cm）；当0＜t≤3时，P在AB上，Q在BC上，∵AP＝t，BP＝AB﹣AP＝8﹣t，BQ＝2t，QC＝6﹣2t，又∵线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分，∴由周长相等得：AC+AP+QC＝PB+BQ10+t+（6﹣2t）＝8﹣t+2t解得：t＝4（s），此时不符合；当3＜t≤8时，P在AB上，Q在AC上，t+10+6﹣2t＝2t+8﹣t，解得：t＝4，即从出发4秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分．。
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2．已知三角形的三边长分别为整数2，x，4，则共可作多少个不同 形状的三角形？当x为多少时，所作的三角形的周长最大？
6.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，求∠DAC的度数．
解：设∠DAC＝x°，则∠1＝(63－x)°. ∵∠1＝∠2，∴∠3＝2∠1＝2(63－x)°. ∵∠3＝∠4，∴在△ABC中，4(63－x)＋x＝ 180，∴x＝24，∴∠DAC＝24°
四、利用三角形的内、外角性质进行证明 根据三角形的内角和定理及推论进行推理证明两角之间的数量关系时，
解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－ 70°－30°＝80°.∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝40°
(2)∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴BAD＝∠ADE
－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－ 20°＝20°
4．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足为E，AD＝ AC，AF平分∠CAE交CE于点F，连结DF.求证：∠ADF＝∠B.
证明：∵AF平分∠CAE，∴∠CAF＝∠DAF.在 △CAF和△DAF中，∵AC＝AD，∠CAF＝∠DAF， AF＝AF，∴△CAF≌△DAF(SAS)，∴∠ACF＝ ∠ADF.∵CE⊥AB，∴∠ACF＋∠CAB＝ 90°.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°， ∴∠ACF＝∠B，∴∠ADF＝∠B
浙教版-学年初中数学八年级上学期期末复习专题7 直角三角形 解析版
浙教版2019-2020学年初中数学八年级上学期期末复习专题7 直角三角形一、单选题1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（）A. B. C. D.2.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（）A. 25、7、24B. 41、40、9C. 6、5、4D. 9、12、153.下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10或8；④在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A. 3.5B. 4.2C. 5. 8D. 75.直角三角形的斜边长为4，则它的斜边上的中线长为( )A. 2B. 4C. 8D. 166.如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为( )A. B. C. 8 D. 97.下面说法不正确的是（）A. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等B. 有两边对应相等的两个直角三角形全等C. 有两角对应相等的两个直角三角形全等D. 有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等8.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点（不与O重合），过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连结DE，那么图中全等的直角三角形共有（）A. 3对B. 2对C. 1对D. 没有9.如图,已知AB=AD,添加一个条件后,仍然不能判定△ABC≌△ADC的是( )A. CB=CDB. ∠BAC=∠DACC. ∠BCA=∠DCAD. ∠B=∠D=90°10.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3),连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为( ).A. B. 1 C. 或1或 D. 或1或二、填空题11.如图，AE是的角平分线，于点D，若，，________度12.用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是________．13.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝30°，∠DAC＝45°，E是AC的中点，连结BE，DE，BD，F 是BD的中点.则∠BEF=________.14.如图，∠AOB=50°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=________.15.若直角三角形斜边上的高和中线分别是5 cm 和6 cm，则面积为________，16.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，∠OPD=60°，PO=4，则点P到边OA的距离是________.三、解答题17.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等．18.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，CB=8，求DE的长.19.已知：如图，AB⊥BD于点8，CD⊥BD于点D．P是BD上一点，且AP=PC，求证：AP⊥CP.20.如图，将△ABC 分别沿AB，AC 翻折得到△ABD 和△AEC，线段BD 与AE 交于点F.（1）若∠ABC=16º，∠ACB=30°，求∠DAE 及∠BFE 的值；（2）若BD 与CE 所在的直线互相垂直，求∠CAB 的度数.21.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P．（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC；（2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数．22.如图，已知平分，于，于，且．（1）求证：≌．（2）若，，，求的长．23.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=30°，∠ABC=45°，BE是AC边上的中线.（1）求证：AC=2BD；（2）求∠CBE的度数；（3）若点E到边BC的距离为，求BC的长.24.阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.（1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE 中.利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________；（2）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF= ∠BAD，求证：BE+DF=EF.（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB.求证：AC-AE= AF.答案解析部分一、单选题1. C解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于，另一个锐角的度数是.故答案为：C.【分析】利用直角三角形两锐角互余解答即可.2.CA选项，∵，∴25、7、49能围成直角三角形；B选项，∵，∴41、40、9能围成直角三角形；C选项，∵，∴6、5、4不能围成直角三角形；D选项，∵，∴9、12、15能围成直角三角形；故答案为：C.【分析】设a、b为直角三角形的直角边，c为直角三角形斜边，根据a2b2=c2判断能否围成直角三角形。
浙教版初二下学期期末数学综合复习资料(二)
初二下学期期末数学综合复习资料（二）一、填空题：1、81的平方根是 ，2)31(--±＝ 316437-＝ 。
2、将xx 1-根号外的x 移入根号内是 3、若a =5.274，则02745.0用含有a 的代数式表示为 。
4、当x 时，535--x 在实数范围内有意义。
5、已知：03)4(2=-++b a ，则=--2)(5b a6、在实数范围内分解因式：x 3－2x ＝7、当m ＝ 时，最简二次根式1321+m 和m -24是同类二次根式。
8、计算：=--8122=+÷)2161(329、若a ＜1，化简：=---2)1(a a10、将n m nm 24+-分母有理化，其结果是二、选择题：11、下列说法正确的是 ( )A 、2)1(-的平方根是－1B 、6是36 的算术平方根C 、3)2(-的立方根为－2D 、0.4是－0.064的立方根12、若0＜x ＜1，则2x 、x 、x 、x1这四个数中（ ） A 、x 1最大，2x 最小 B 、x 最大，x 1最小 C 、2x 最大，x 最小 D 、x 最大，2x 最小。
13、已知：410.1988.1=，59.441988=，则1988.0的值是（ ）A 、 0.0140B 、 0.1410C 、 4.459D 、0.445914、化简二次根式21a a a +-的结果是（ ）A 、 1--aB 、 1---aC 、1+a D 、1--a 15、如果32+=x ，321-=y 那么x 、y 之间的关系是 （ ）A 、x ＞yB 、 x ＝yC 、 x ＜yD 、 xy ＝116、在x 12、35y 、y x 315、24x x +、22n m +、31+x 中属于最简二次根式的个数是（ ）A 、 4个B 、 3个C 、 2个D 、 1个17、若3＜m ＜4，那么22)4()3(---m m 的结果是（ ）A 、 7＋2mB 、 2m －7C 、 7－2mD 、 －1－2m18、已知：321-=a ，321+=b ，则ab b a -+22的值为（ ）A 、 13B 、 32C 、 15D 、419、如果最简根式3252++a b a 和2382++-b b a 是同类根式，那么a 、b 的值分别是（ ）A 、 a ＝1， b ＝1B 、 a ＝1， b ＝－1C 、a ＝－1， b ＝1D 、a ＝－1， b ＝－120、下列说法中，不正确的是（ ）A 、ab 有意义的条件是b ≥0且a ＞0或b ≤0且a ＜0 B 、 当m ＞1时m 1＞m1 C 、代数式1-x x 中x 的取值范围是x ≥0且x ≠1 D 、分式112--x x 的值为零的条件是x ＝1 三、计算与化简：1、)2762()6227(-÷+2、)32(312+÷-3、188********----4、aa a a a 42131623-- 5、251)52(23222++--⨯ 6、a b b a ab b a b a ++++2四、已知：322322=+；833833=+；15441544=+…… 若ba b a 88=+（a 、b 为正整数）请推测：a ＝ b ＝ 。
浙江初二初中数学期末考试带答案解析
浙江初二初中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在平面直角坐标系中，点P （1，3）在第（ ）象限。
A ．一 B ．二 C ．三D ．四2.如图，把一快含有450角的直角三角板的两个顶点在放在直尺的对边上．若∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°3.下列图形，经过折叠不能折成立方体的是（ ）4.不等式2x-4≤0的解集在数轴上表示为（ ）5.已知点P 1（-4，3）和P 2（-4，-3），则关于P 1和P 2（ ） A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称D ．不存在对称关系6.已知数据x 1、x 2、…x n 的平均数，则一组数据x 1+7，x 2+7，…x n +7的平均数是（ ） A ．4 B ．3 C ．7 D ．117.如图所示，ΔABC 中，∠BAC=900，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则AD 的长度是（ ）A ．B ．C ．D ．8.在方差的计算公式S2=[（x 1-20）2+（x 2-20）2+…+（x n -20）2]中，数字10和20表示的意义分别是（ ）A ．平均数和数据的个数B ．数据的方差和平均数C ．数据的个数和方差D ．数据的个数和平均数9.已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）A ．150或750B ．150C ．750D ．1500和30010.点A 的坐标为（—，0），点B 在直线y=x 动，当线段AB 为最短时，点B 的坐标为（ ）A ．（，—）B ．（—，—）C ．（-，-）D ．（0，0）二、填空题1.在ΔABC中，若∠A+∠B=∠C，那么ΔABC是三角形。
2.已知正比例函数的图象过点（-3，5），那么该函数的解析式是。
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浙江版初二数学期末复习专题——坐标几何与三角形坐标几何重点、难点：1. 在生活和生产实践中，人们常利用一对有序实数来确定物体的位置。
2. 平面直角坐标系是常用的一种坐标系，它由坐标平面、坐标轴以及原点组成。
3. 平面直角坐标系中，图形的变换本质上是点的变换。
比如点的对称以及点的平移；今后还会学到由点面组成的平面图形的旋转。
【典型例题】例1. 到x 轴的距离等于2的点能组成一个怎样的图形？ 解：由题意，所有到x 轴的距离均等于2的点，组成的图形是直线 若设这个距离为d ，则|d|＝2，∴d ＝－2或2 ∴题设要求的图形是：与x 轴平行，且与x 轴相距为2的两条直线。
例2. 已知点P 到x 轴的距离是3，它到原点的距离是5，求点P 的坐标。
解：P 到原点的距离为5∴点P 在以O 为圆心，半径为5的圆上 又点P 与x 轴相距为3∴点P 在以5为斜边长，一条直角边为3的直角三角形顶点上（如图） ∴容易求得点P 共有4个：P 1（4，3），P 2（4，－3），P 3（－4，－3），P 4（－4，3）xOy5 3P例3. 已知点M 既在过A （3，－2），且与x 轴平行的直线上，又在过点B （2，－3），且平行于y 轴的直线上，求点M 的坐标。
解：过点A （3，－2），且与x 轴平行的直线上的所有点，均有纵坐标等于－2的特征……①；同理，过点B （2，－3），且与y 轴平行的直线上的所有点，均有横坐标等于2的特征……②；又点M 既要满足条件①，又要满足条件②，∴点M 一定是M （2，－2）。
例4. 已知点A （－5，0），B （3，0），且点C 在第二象限内。
若AC ＝5，△ABC 的面积12S ABC =∆，求点C 的坐标。
解：设点C 为（x ，y ），其中x<0，y>0则由题意，得y AB 21S ABC ⋅⋅=∆但A （－5，0），B （3，0）∴8)5(3AB =--=∴y4y 821y AB 21=⨯=⋅∴12y 4=∴y ＝3（如图）x又AC ＝5，CD ＝3∴在Rt △ACD 中，AD ＝4∴145AD OA OD =-=-=∴C （－1，3）例5. 已知O 为坐标原点和A （1，1），试在坐标轴上找到一点P 使△AOP 为等腰三角形，你能找到多少满足条件的点P ？求出P 的坐标。
解：∵△AOP 为等腰三角形 ∴它的三条边AO ，PO 和AP 中应该有两条边相等 又∵2OA =∴OA AP PO 2AP 2PO ≠===或或 因此讨论如下：（1）若2OA =为等腰△AOP 的底边时，设OA 的中垂线交x 轴于P 1，交y 轴于P 2 ∵可知等腰Rt △OMP 1和等腰Rt △OMP 2 ∴易求得P 1（1，0），P 2（0，1）x（2）若2OA =为等腰△AOP 的腰时以O 为圆心，OA 长为半径的圆与坐标轴交于P 3，P 4，P 5，P 6∵2OA =，易求得P 3（0，2），），（02P 4-，），（20P 5-和），（02P 6以A 为圆心，OA 长为半径的圆与坐标轴交于87P P 和∴易求得），（）和，（02P 20P 87xy∴满足题意的点P 共有八个【模拟试题】1. 若点P （a ，b ）在第四象限，则点Q （－1－a ，3－b ）在第_________象限。
2. 若点M （x ，y ）的坐标满足条件0y x 22=+，则点M 在坐标平面上的位置是______。
3. 直角坐标系中，点A （2，－4）与B （－3，－2）的距离是多少？4. 已知点A （－a ，b ）关于y 轴的对称点为B ，点B 关于原点对称的点为C 。
你有几种方法来求出点C 的坐标？点C 的坐标是多少？5. 若0)2b (3a 2=++-，则点M （a ，b ）关于y 轴对称的点的坐标是多少？6. 设以A （－3，7）和B （－3，－2）为端点的线段向左平移了5个长度，请你求出平移后的线段上任意一点的坐标。
7. △ABC 中，顶点A 、B 、C 的坐标分别为A （2，－1），B （1，－3）和C （5，－5）。
（1）判断这个三角形的形状。
（2）求△ABC 的面积。
8. 已知A （5，－2），B （0，－3），在x,y 轴上各找一点P ，使得PA ＝PB 。
求点P 的坐标。
三角形重点、难点：1. 等腰三角形的判定与性质2. 直角三角形的判定与性质3. 全等三角形的判定与性质【典型例题】例1. 如图所示，已知∠=∠=∠=∠B C BEC A 60203°，°，，求∠A 的度数。
AE BC解：应当把∠∠B C ，与所在的三角形一起作联想，然后求∠A 。
∠=∠BEC A 3∴提示通过三角形的外角定理求解 延长BE 交AC 于点D ∴∠=∠+∠BEC EDC C即°°，°∠=∠+∠+∠=∠+∴∠=∠+∴∠=BEC A B C A A A A 8038040AC例2. 如图所示，△ABC 中，AD 平分∠>A AB AC ，()，在AB 上任取一点E ，作EG AD ⊥，交AD 于点H ，交BC 的延长线于点G 。
求证：∠=∠-∠EGB ACB ABC 12()AE HFB DC G证明：△ABC 中， EG AD AD A ⊥∠，且平分 ∴∆AEF 为等腰三角形∴∠=∠=∠∠=∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠∴∠=∠-∠∠=∠-∠AEF AFE GFCACB G GFC G AFE AEF B GACB B GG ACB B EGB ACB ABC 又即21212()()例3. 如图所示，点F 为Rt △ABC 的斜边AB 上的中点，CD=FB ，DF 的延长线与CB 的延长线相交于点E ，求证：2∠E=∠A 。
ADE B C证明：∵F 为Rt △ABC 的斜边AB 上的中点 ∴容易想到“斜中线定理” ∴连CF∴AF=CF=FB=CD∴∠=∠=-∠+∠∠=∠∴∠=-∠∠=-∠∴∠=--∠=∠A A EA E E 11802323180222901802902°又，°但°°()()ADE B C例4. △ABC 中，AD 平分∠A ，AB+BD=AC ，求∠B 与∠C 的度数的比值。
解：如图所示， AB BD AC +=∴可有AC AB BD AB BD AC -=+=或两种解法AB DC若AC AB BD -=则可在AC 上截取AE=AB ，连结EDAB D C又AD 平分∠A∴≅∴∠=∠∆∆BAD EAD AED B 但ED EC =∴∠=∠=∠∴∠∠+==≅∴∠=∠C AED B B C AB BD ACAB E AE AC AED ACD C E12122与的度数的比值为若则延长到，使得显然，易证∆∆又，BE BD ABC E C =∴∠=∠=∠22AC注：在证明三角形中，已知线段的和，差关系时，常常可运用“截长补短”方法来证明。
例5. Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，点D 在BC 上，DF AB F DE AC E ⊥⊥于，于；M 为BC 中点，请判断∆M EF 的形状，并说明你的理由。
C解：∵Rt △ABC 为等腰直角三角形，且M 为BC 的中点 ∴提示作出底边BC 上的高∴连结AM ，则AM BC MB MC ⊥=， 又AM 平分∠BAC ，∴∠B=∠EAM ∴≅∆∆BFM AME∴FM=EM ，∴△MFE 为等腰三角形 但注意到∠FMB=∠AME ∴可证∠FME=90°∴△MEF 为等腰直角三角形C例6. 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，BD =210，求其斜边AB 的长。
解：直角三角形中，求边长或线段长，常常提示运用勾股定理。
如图所示，不妨设Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a则Rt ACE AC b CE aAE ∆中，，，===25∴+=+=+=++=∴+=⨯∴=+=由勾股定理，得即①同理，在中，可得②①②得：斜边b a b a Rt BDC b a a b a b AB a b 222222222222425410041605260526025213∆()AG DB E C【模拟试题】1. 如图所示，已知∠======HFG AB BC CD DE EF FG 90°，，求∠A 的度数。
G E CA HB D F2. 如图所示，已知AD 是△ABC 中BC 边上的高，AE 是∠CAF 的平分线，AE=2AD ，求∠ACB 与∠B 差的度数。
FAB E D C3. Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=22.5°，D 在AC 上，DC=BC ，DE AB ⊥于E ，求证：AE=BE 。
4. △ABC 中，AD 为BC 边上的高，AD=BD ，DE=CD ，延长BE 交AC 于F ，求证：BF 为△ABC 中AC 边上的高。
5. △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，CD ：AB=1：2，若E 为AB 中点，∠B 的平分线交DE 于F ，求证：BF=DF 。
6. Rt △ABC 中，D 为AC 中点，DE AB ⊥于E ，求证：BE BC AE 222=+。
7. 如图所示，已知BD 平分∠ABF ，AD=CD ，DF BC F ⊥于，求证：∠∠A C 与互补。
B F C8. 如图所示，△ABC 中，以AB 、AC 为边分别向三角形外作正△ABF 和正△ACE 。
BE 、CF 相交于点O ，连结OA ，求证：OA 平分∠EOF 。
FAEOB C9. 如图所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BE=EC ，过点E 作GH AD ⊥，交AC 和AD 、-=2。
AB的延长线于H、F、G。
求证：AC AB BGABD E HG FC10. 折叠一张矩形纸片ABCD，先沿对角线BD折叠，再把AD折叠到BD上（如图所示），已知AB=2，BC=1，求第二次折叠的折痕DE的长。
ECCB B【试题答案】坐标几何1. 第二象限2. 坐标原点3. 294. C （－a ，－b ）5. （－3，－2）6. 答案不唯一，只要使点符合8x -=，7y 2≤≤-，y 为任意实数均可以。
7. （1）Rt △ABC ，且∠B 为直角；（2）520521BC AB 21S ABC =⨯⨯=⋅=∆8. ），（）和，（100P 02P 21 （提示：设），（）和，（y 0P 0x P 21，则由PA ＝PB ，得x ＝2，y ＝10）三角形1. ∠=A 15°提示：设∠A=x ，Rt △AFG 中，∠A+∠G=90°，∴x=15°2. 60°3. 略4. 提示：∆∆BDE ADC ≅5. 提示：连结CE ，求证∠=∠D FBD6. 提示：连结BD ，分别对Rt BDE Rt BCD Rt ADE ∆∆∆，和运用勾股定理。