第一节正弦定理和余弦定理

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正弦定理和余弦定理[五篇]

正弦定理和余弦定理[五篇]第一篇：正弦定理和余弦定理正弦定理(Sine theorem)1.内容：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）2.正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

1.余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C，则满足性质——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2c^2)/(2·a·b)cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cosC+c·cos B，b=c·cosA+a·cos C，c=a·cosB+b·cos A。

正弦定理的变形公式(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c;（条件同上）在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+si nB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。

正弦定理和余弦定理课件PPT

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图，作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c

1.1 正弦定理和余弦定理

第一章解三角形正弦定理（一）创设情景，导入课题我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。

我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？在∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为BC 、AC 、AB ，它们的长分别为a 、b 、c ，这节课我们研究∠A 、∠B 、∠C 、 a 、b 、c 之间有怎样的数量关系？（二）师生互动，探究新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如右图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A =，sin bB =，又sin 1cC c==,从而在Rt ∆ABC 中，sin sin sin abcABC==思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbCB=， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B类似地，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立.从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=引导同学探究正弦定理的其它证法：如外接圆法或向量法.（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；AB Cabc（2）sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC(三) 定理应用，练习巩固思考：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形，利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=.例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形. 解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

数学(理科) 第七章第1讲正弦定理和余弦定理[配套课件]

D.1
2.在△ABC 中，sinA＝13，角 A 的对边长为 2，则外接圆半
径是( A )
A.3
B.6
C. 2
D. 3
解析：由sianA＝2R，得21＝2R⇒R＝3. 3
3.(2013 年湖南)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asinB＝ 3 b，则角 A 等于( D )
由 cos(A－C)＋cosB＝1 与 sinA＝2sinC，可得 2sinAsinC＝1⇒4sin2C＝1. 因为 C 为三角形的内角且 a＝2c>c，故 0<C<π2，所以 sinC＝12，故 C＝π6.
【方法与技巧】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定，思路也比较容易得出，先将三角函数关系式化简后，得到角A，C 的关系，然后结合a＝2c，得到两角的二元一次方程组，则容易得到角 C 的值.
( B)
A.①②③
B.③②①
C.③2，得①为钝角三角形；由102＋242＝262，
得②为直角三角形；由212＋252>282，得③为锐角三角形.故选B.
考点 1 正弦定理例 1：(2012 年大纲)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求 C 的大小. 解：由 A＋B＋C＝π⇔B＝π－(A＋C)，由正弦定理及 a＝2c，得 sinA＝2sinC，所以 cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)＋cos[π－(A＋C)] ＝cos(A－C)－cos(A＋C) ＝cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC＋sinAsinC＝2sinAsinC.

正弦定理和余弦定理

第一章解三角形本章概览三维目标1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。

能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。

2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。

3．通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。

总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。

4．本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。

尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。

5．本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。

本章知识网络1.1 正弦定理和余弦定理第一版块三点剖析一、正弦定理及其证明正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的最大边长．答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的三边分别为 2,3,4 ，则此三角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23，所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b，则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解利用边的关系判断，由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb，又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c，综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．

正弦定理和余弦定理

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[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
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[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理正弦定理
a b c ＝＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
；； .
容
定理
变形形式
正弦定理余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
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2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B，则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.

第6讲第1课时正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理一、知识梳理1．正弦定理和余弦定理(1)S △ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).3．三角形解的判断[注意] 上表中A 为锐角时，a <b sin A ，无解． A 为钝角或直角时，a ＝b ，a <b 均无解．常用结论1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C . (2)cos(A ＋B )＝－cos C . (3)sinA ＋B 2＝cosC 2. (4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B . 二、教材衍化1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案：A2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D ．5π6解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.故选C.3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于．解析：设△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，由题意及余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋16－122×4×c＝12，解得c ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝2 3.答案：2 3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根； (2)不会灵活运用正弦、余弦定理．1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝．解析：由题意：b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.答案：75°2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝．解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：4利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A .①求角B 的大小；②若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解】 (1)选 A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ，又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.②由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos ∠ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos ∠BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(一题多解)(2020·江西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ∶B ∶C 为( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B.法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( )A.823B.1433C.73D ．733解析：选D.因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以C ＋60°＝135°，即C ＝75°.判断三角形的形状(典例迁移)(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为．【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰或直角三角形．【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．(2020·陕西西安模拟)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.在△ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以△ABC 的形状是等边三角形，故选C.核心素养系列11 数学运算——计算三角形中的未知量数学运算是在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．(2019·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B ＋C )的值．【解】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 解得c ＝5.所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin A ＝a b sin B ＝3314.在△ABC 中，B ＋C ＝π－A .所以sin(B ＋C )＝sin A ＝3314.本题第(1)问利用余弦定理得到关于b ，c 的一个方程，结合b －c ＝2可求出b ，c 的值；第(2)问利用正弦定理求出sin A 的值，由同角三角函数关系求出sin(B ＋C )的值体现核心素养中的数学运算．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b，求cos B 的值．解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.[基础题组练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3解析：选C.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b <c ＝23，所以b ＝2.选C.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．一个B ．两个C ．0个D ．无法确定解析：选B.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，因为b >a ，所以B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．3．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sin B ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24B.24C.528 D ．34解析：选C.由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为△ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，以下四个结论中，正确的是( ) A ．若a ＞b ＞c ，则sin A ＞sin B ＞sin C B ．若A ＞B ＞C ，则sin A <sin B <sin C C ．a cos B ＋b cos A ＝c sin CD ．若a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 是锐角三角形解析：选A.对于A ，由于a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故A 正确；对于B ，A ＞B ＞C ，由大边对大角定理可知，则a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故B 错误；对于C ，根据正弦定理可得a cos B ＋b cos A ＝2R (sin A ·cos B ＋sin B cos A )＝2R sin(B ＋A )＝2R sin (π－C )＝2R sin C ＝c ，故C 错误；对于D ，a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，由C ∈(0，π)，可得C 是钝角，故D 错误．5．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°解析：选A.法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sinC ＝12sin C ，又在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为．解析：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B .答案：直角三角形或等腰三角形7．(2019·高考天津卷改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝．解析：在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14.答案：－148．(2020·河南期末改编)在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sinB sinC ，则C ＝，BC ＝．解析：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BCsin A，解得BC ＝ 2.答案：5π1229．(2020·江西赣州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎝⎛⎭⎫－22，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2.10．在△ABC 中，A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cosB .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16cos 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以cos 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.[综合题组练]1．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：选C.如图，过点A 作AD ⊥BC .设BC ＝a ，则BC 边上的高AD ＝13a .又因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，AB ＝23a ，DC ＝a －BD ＝23a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝53a .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝29a 2＋59a 2－a 22×23a ×53a＝－1010.2．(2020·郑州市调研测试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C c ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]解析：选 B.根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin B sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.3．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且∠ADB ＝2∠ACD ，a ＝3，求b 的值．解：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c . 故△ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为∠ADB ＝2∠ACD ＝∠ACD ＋∠DAC ，所以∠ACD ＝∠DAC ，所以AD ＝CD ＝1. 又因为cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3. 法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，又因为∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝2∠C －∠C ＝∠C ＝∠B ，所以△CAB ∽△CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.4．(综合型)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，⎝⎛⎭⎫53c －a cos B ＝b cos A . (1)求cos B 的值；(2)若a ＝2，cos C ＝－1717，求△ABC 外接圆的半径R . 解：(1)因为⎝⎛⎭⎫53c －a cos B ＝b cos A ，所以结合正弦定理，得⎝⎛⎭⎫53sin C －sin A cos B ＝sin B cos A ，所以53sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ．又因为sin C ≠0，所以cos B ＝35. (2)由(1)知，sin B ＝1－cos 2B ＝45. 因为cos C ＝－1717，所以sin C ＝1－cos 2C ＝41717，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝45×⎝⎛⎭⎫－1717＋35×41717＝81785，所以R ＝12·a sin A ＝12×281785＝5178.。

正弦定理和余弦定理ppt课件

总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦定理，我们可以更准确地计算这些力的作用效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。

第1讲正弦定理和余弦定理

第四章解三角形第1讲正弦定理和余弦定理★ 知识梳理 ★ 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos2A B +=sin 2C面积公式:1sin 2ABC S ab C ∆== 1sin 2bc A =1sin 2ca B3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+-形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 2222-+★ 重难点突破 ★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （）A 、有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。

第一节正弦定理和余弦定理(知识梳理)

第一节正弦定理和余弦定理一、正弦定理正弦定理内容: a = b = c =2R（R为△ ABC外接圆半径）. sinA sinB sinC 变形形式: ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.②sin A= a ,sin B= b ,sin C= c .2R 2R 2R③a∶b∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④a=a b=a b c.sinA sin A sinB sin A sin B sinC1. 概念理解(1) 正弦定理主要解决两类三角形问题: ①知两角和一边; ②知两边和其中一边所对应的角. 在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况.(2) 正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A和sin A= a是表达式变形中2R常用公式, 在统一角度或统一长度上发挥作用.2. 与正弦定理有关的结论(1) 三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2) 在△ABC中, 已知a,b 和A时, 解的情况如下:、余弦定理222余弦定理内容:a 2=b2+c2-2bc ·cos A,222b =a +c -2ac · cos B,222c =a +b -2ab · cos C.2 2 2 cos C=a b c 2ab 1. 概念理解(1) 余弦定理解决两类三角形问题 : 一是知两边及其夹角的三角形是知三边的三角形 .(2) 利用余弦定理来解决三角形问题时 , 要注意角的取值范围 . 通常求解三角形的内角度数时 ,不是解该角的正弦 , 而是解该角的余弦 .2. 与余弦定理有关的结论2 2 2由 cos A= b 2 2c b 2c a 2( 设 A 为最大内角 ) 若 b 2+c 2>a 2, 则该三角形为锐角三角形 .b 2+c 2=a 2, 则该三角形为直角三角形 .b 2+c 2<a 2, 则该三角形为钝角三角形 .即 sin B= 1 ,2 所以 B=π或5π.66 又因为 a>b,所以 A>B, 所以 B=π. 故选 A.62. 在△ABC 中, 已知 b=40,c=20,C=60°, 则此三角形的解的情况是 ( C )(A) 有一解(B) 有两解变形形式 :cos A=2 2 2 bca 2bc ,cos B= 222 acb 2ac(C) 无解(D) 有解但解的个数不确定解析: 由正弦定理得b = c ,sinB sinC340所以sin B= bsinC = 2 = 3 >1.c 20所以角B不存在, 即满足条件的三角形不存在. 故选 C. 3. 在△ ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 3, 则△ ABC的面积等于. 解析: 因为si2n630o =sin4B ,sin60 sin B所以sin B=1,所以B=90°,所以AB=2,所以 S △ ABC = 1 ×2×2 3 =2 3 .2答案 :2 34. (2019 ·临海高三检测 ) 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若 b+c=2a,3sin A=5sin B, 则角 C= .解析: 由 3sin A=5sin B, 得 3a=5b.又因为 b+c=2a,所以 a=53 b,c= 37 b,33因为 C ∈(0, π ),所以 C=2π.3 答案 : 2π3考点一利用正弦定理解三角形[ 例 1] (1) 在△ ABC 中,a= 3 ,b= 2 ,B=45°, 求角 A,C 和边 c;(2) 已知 a,b,c 分别是 △ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, 若a=1,b= 3 ,A+C=2B,求角 A 的大小 .解 :(1) 由正弦定理 a = bsinA sinB得 sin A= asinB = 3 ,b2所以 A=60°或 120°.①当 A=60°时 ,C=75°,= 6 2 . 2②当 A=120°时,C=15° ,c=2·sin 15 °= 6 2 2 解 :(2) 由 A+C=2B,A+C+B=18°0得 B=60° 所以 cos C= 22 bc 2ab (53b)2 2 7 2 b 2(73b)2 5b b3由 a= c , 得 c=a sinC =2·sin 75 sinA sinC sinA所以由正弦定理得3 = 1sin60 sinA所以sin A= 1 .2所以A=30°或150°.又因为b>a, 所以B>A.所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1) 注重条件和图形的结合;(2) 知两边及一边对应的角时, 要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角, 再利用“大边对大角”的条件排除;(3) 正弦定理的变形公式.1.(2019 ·浙江卷) 在△ ABC中, ∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC 上.若∠ BDC=4°5 , 则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图, 易知sin C= 4,5cos C= 3 .5在△ BDC中, 由正弦定理可得BD=BC,sinC sin BDC所以BD=BC sinC=35 =12 2.sin BDC 2 52由∠ ABC=∠ABD+∠CBD=9°0 ,可得cos∠ABD=cos(90°- ∠CBD)=sin∠CBD=sin[ π-( ∠ C+∠BDC)] =sin( ∠C+∠ BDC) =sin C ·cos ∠BDC+cos C · sin ∠BDC=4 × 2 +3×25 2 5 2 72 = 10. 2. 在△ ABC 中,B=60°,AC= 3, 则 AB+2BC 的最大值为解析: 在△ ABC 中, 由正弦定理得 AB = BC = 3 =2,sinC sin A sin 60所以 AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120 ° -A)+4sin A=2 7 sin(A+ ),又因为 A ∈(0°,120 °), 所以最大值为 2 7 .答案 :2 7 考点二利用余弦定理解三角形 [ 例 2] 若△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) 2-c 2=4,且 C=60°, 则 ab 的值为()(A) 34 (B)8-4 3(C)1 (D) 23 解析: 由已知得 a 2+b 2-c 2+2ab=4, 222 由于 C=60°, 所以 cos C= a b c =1 , 2ab 2 即 a+b-c =ab, 因此 ab+2ab=4,ab= 4 , 故选 A.3 利用余弦定理解三角形 : 一般地, 如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时 , 考虑使用余弦定理 .答案 : 12 2572 10其中,tan5△ABC中, 角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 已知b=c,a 2=2b2(1-sin A), 则 A 等于( C )(A) 34π(B) 3π(C) 4π(D) 6π 解析: 在△ ABC中, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 因为b=c, 所以a2=2b2(1-cos A), 又因为a2=2b2(1-sin A), 所以cos A=sin A, 所以tan A=1, 因为A∈(0, π ), 所以A=4π, 故选 C. 考点三正、余弦定理的综合应用[ 例3] 设△ ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c, 已知 a b = a c .sin A B sinA sinB(1) 求角B;(2) 若b=3,cos A= 6 , 求△ ABC的面积.3解:(1) 因为 a b = a c ,sin A B sinA sinB所以 a b =a c , c a b所以 a 2-b 2=ac-c 2,222 所以 cos B= a c b= ac =1 ,2ac 2ac 2 又因为 0<B<π, 所以 B=π.3解 :(2) 由 cos A= 6 可得 sin A= 3 , 33由 a = b 可得 a=2, sinA sinB而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 3 3 2 , =6,所以△ ABC 的面积 S=1 absin C= 3 3 2 . 22(1) 利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理 .(2) 对于面积公式 S=1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A, 一般是已知哪一 222个角就选用哪一个公式 .（2017·全国Ⅰ卷） △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知△2ABC 的面积为 a 2 .3sin A故 sin Bsin C= 2 .3解 :(2) 由题设及 (1) 得 cos Bcos C-sin Bsin C=- 即 cos(B+C)=- 1 . 所以 B+C=2π, 故 A=π.1 求 sin Bsin C; (2) 若 6cos Bcos C=1,a=3, 求△ABC 的周长.解 :(1) 由题设得 1 acsinB= 2 即 1 csin B= a .2 3sinA由正弦定理得 1 sin Csin 2 a 3sin Asin A 3sin A332由题设得1 bcsin A= a , 即bc=8,2 3sin A 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c) 2-3bc=9, 得b+c= 33 . 故△ ABC的周长为3+ 33 .类型一利用正弦定理解三角形1. 在△ABC中, 角A,B,C 所对的边分别是已知8b=5c,C=2B,则a,b,c. cos C 等于( A )(A) 275 (B)- 275 (C) ± 275 (D) 2245解析: 因为8b=5c, 所以由正弦定理, 得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B ≠0, 所以cos B= 4 ,5所以cos C=cos 2B=2cos 2B-1= 7 . 故选 A.252. 在△ABC中,a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边, 向量p=(1,-3 ),q=(cos B,sin B),p ∥ q, 且bcos C+ccos B=2asin A, 则C等于( A )(A)30 ° (B)60 ° (C)120 ° (D)150 °解析: 因为p∥q,所以- 3 cos B=sin B,即得tan B=- 3 , 所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,2所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin 2A, 即sinA=sin(B+C)=2sin 2A, 又由sin A ≠0, 得sin A= 1 ,2所以A=30°,C=180°-A-B=30 °. 故选 A.类型二利用余弦定理解三角形3. 已知锐角△ ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+ cos 2A=0,a=7,c=6, 则 b 等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析: 由23cos2A+cos 2A=0, 得25cos2A=1, 因为A为锐角, 所以cos A= 1.5又由a2=b2+c2-2bccos A, 得49=b2+36- 12 b,5整理得5b2-12b-65=0,解得b=- 13(舍) 或b=5.5即b=5. 故选 D.4. 若锐角△ ABC的面积为10 3 , 且AB=5,AC=8,则BC等于.解析: 设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及1 bcsin A=10 3 得sin A= 3 ,22 因为A为锐角,所以A=60°,cos A= 12 . 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A =64+25-2×40× 12=49,故a=7,即BC=7.答案:7类型三正弦定理和余弦定理的综合应用5. 在△ ABC中, ∠B=120°,AB= 2, ∠BAC的平分线AD= 3, 则AC等于( D )(A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 623 解析: 如图, 在△ ABD中, 由正弦定理, 得sin ∠ADB=ABsin B = 2 2 = 2 . AD 3 2 由题意知0°<∠ADB<60° ,所以∠ ADB=45°,则∠ BAD=180°- ∠B-∠ADB=15°,所以∠ BAC=2∠BAD=30°,所以∠ C=180°- ∠BAC-∠B=30°, 所以BC=AB=2 , 于是由余弦定理,得AC= AB 2 3 BC2 2AB BC cos1201. 在△ ABC中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若asin Bcos C+csinBcos A= 1 b, 且a>b, 则∠B等于( A )(A) 6π(B) 3π(C) 23π(D) 56π6 3 3 6解析: 由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= 1 sin B,2所以sin Bsin(A+C)= 1 sin B.因为sin B ≠0,所以sin(A+C)= 12 ,2 213 2 2 2 2 = 6. 故选 D.。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。

如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

01正弦定理和余弦定理

01正弦定理和余弦定理1.正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（其中R为△ABC的外接圆半径）。

即详解：正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对应角的正弦之间的对应关系正弦定理的特点：1分式连等形式，各边对应各角，分子均为边长，分母均为角的正弦值；2正弦定理对任意三角形都成立；3正弦定理体现了三角形中三条边和三个内角之间的密切联系，是边和角的和谐统一。

2.正弦定理的应用利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：1已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；2已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。

详解：对于第（1）类，其解是唯一确定的，一般先有三角形的内角和为180°求得第三个角，再利用正弦定理求其余两边；对于第（2）类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现两解、一解或无解三种情况。

解三角形一般地，把三角形的三个角A、B、C和它的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.详解：解三角形基本思路①已知三边，先用余弦定理求角；②已知两边夹角，先用余弦定理求第三边，再用正弦定理其较小角；③已知两边及一边的对角，先用正弦定理求角，注意有解、无解、多解的分析；④已知一边及两角，用正弦定理求边。

4.余弦定理余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍所得的差。

；；应用余弦定理，我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的的第三条边也可以变形写成：；；从上面可知，余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式。

详解：理解、应用余弦定理应注意以下四点：1余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；2余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；3在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；4运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的。

1.1正弦定理和余弦定理

个性化教学教案授课时间：备课时间：课时：2正弦定理和余弦定理学生姓名：教师姓名：教学重点：突出本章重、难点内容教学难点：定理定理和余弦定理知识点归纳1.正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等等于该三角形外接圆的直径，即：===2R.面积公式：S△=bcsinA=absinC=acsinB.2.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=,sinB=,sinC=.应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.①A为锐角时②A为直角或钝角时.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinB、2RsinC来代替.3.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；变形公式：cosA=,cosB=,cosC=在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余主要作用是解斜三角形.4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π0＜A，B，C＜πsin=sin=cossin(A+B)=sinC特别地，在锐角三角形中，sinA＜cosB,sinB＜cosC,sinC＜c 【重点难点解析】【命题趋势分析】本节主要考查：1.根据已知条件，求三角形的末知元素，或判的形状.2.运用正、余弦定理及关系式A+B+C=π解决三角形中的计算和3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简问题.根据考试的方向，可以预见，利用正、余弦定理解斜三角形问三角函数、数列、方程、向量等知识相结合，尤其是与生活、生产验实际相结合，考查综合运用数学知识的能力.【典型热点考题】例题1 △ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，B=，cosA=，b=.（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积.例题2 如图所示，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=. A（1）求AB的值；（2）求sin（2A+C）的值.B C题3 已知A、B、C为△ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若m=（cosB，sinC），n=（cosC，sinB），且m·n=.（1）求A；（2）若a=，△ABC的面积S=，求b+c的值.例题4 在△ABC中,cosB=,cosC=.(1)求sinA的值;(2)设△ABC的面积为,求BC的长.例题5 三角形ABC中的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且a：c=（【同步达纲练习】一、选择题1.在△ABC中，已知a=5,c=10,A=30°，则B等于( )A.105°B.60°C.15°或15°2.在△ABC中，若b=2,a=2，且三角形有解，则A的取值范围是A.0°＜A＜30°B.0°＜A≤45°A.0°＜A＜90° D.30°＜A＜60°3.在△ABC中，若==，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.在△ABC中，若a=2,b=2,c=+，则∠A的度数是( )A.30°B.45°C.60°5.设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围A.0＜m＜3B.1＜m＜3C.3＜m＜46.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的的度数等于( )A.75°B.120°C.135°7.△ABC中，若c=，则角C的度数是( )家长或学生阅读签字。

高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理．特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个．反思与感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 105°或15°解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 B解析由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 C解析易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 π3或2π3解析由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32，又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 2 5解析由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 A解析根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 D解析由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 B解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点用正弦定理解三角形题点正弦定理解三角形综合答案 D解析如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 (1,2)解析因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立．函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立．在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。

第1课时余弦定理、正弦定理

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理、正弦定理基础过关练题组一余弦定理1.△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cos B=12,则b=( )A.√2B.√3C.2 D .32.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-32B.32C.-152D.1523.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.150° B.90° C.135° D.120°4.在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=12,则B=( )A.π2B .π3C.π4D.π65.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=10,b=15,A=30°,则此三角形( ) A.无解 B .有一个解C.有两个解D.解的个数不确定6.(2020福建厦门双十中学高三上期中)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=8,a=b+2,那么△ABC 的周长等于( )A.12B.20C.26D.10√37.(2020山东济宁高一上期末)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos ∠BAC=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010 D.-3√10108.(2019山东菏泽一模)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=√2,cos A=-√24,则b 的值为 .9.在△ABC 中,abca +b +c (cosA a+cosB b+cosC c)= .10.在△ABC 中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC 边上的中线长为 .11.如图,在△ABC 中,已知点D 在边BC 上,且∠DAC=90°,sin ∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3.求BD 的长.12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=2,2cos2A+B-cos2C=1.2(1)求C的大小;(2)求c的值.b题组二正弦定理13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列关系式中一定成立的是()A.a>bsin AB.a=bsin AC.a<bsin AD.a≥bsin A14.(2020安徽淮北师范大学附属实验中学高二上期末)在△ABC中,AC=2√2,∠ABC=135°,则△ABC的外接圆的面积为()A.12πB.8πC.16πD.4π15.在△ABC中,a=2√3,b=2√,∠B=45°,则∠A=()A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°16.(2020北京西城高三上期末)在△ABC 中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=( )A.4 B .2√ C.2√3 D.2√617.(多选)(2019山东济南高一月考)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70° B.b=45,c=48,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=7,b=5,A=80°18.△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若3b ·cos C=c(1-3cos B),则c ∶a=( ) A.1∶3 B .4∶3 C.3∶1 D .3∶219.(2020湖北名师联盟高三上期末)在△ABC 中,a=3,b=2√6,B=2A,则cos A= .20.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为 . 21.(2020湖南邵阳武冈二中高二月考)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4.(1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.22.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,a=2√3,tan A+B2+tanC 2=4,sin Bsin C=cos2A2.求A,B及b,c.题组三利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状23.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形24.(2020湖南大学附属中学高二上期末)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定25.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形26.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定27.(多选)在△ABC中,若acos A=bcos B,则△ABC的形状为(易错)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形能力提升练题组一利用余弦定理、正弦定理解三角形1.(2020河南洛阳高二上期末,)在△ABC中,已知A=60°,a=2√3,b=2,则B=(易错)A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°2.()在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶6,则sin B等于()A.2√149B.√149C.√115D.2√1153.(2020河北石家庄高一期中,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ab =sinBcosC,且sin(A-C)=sin B-34,则sin B=.4.()如图所示,设P是正方形ABCD内部的一点,P到顶点A,B,C的距离分别是1,2,3,求正方形的边长.深度解析题组二利用余弦定理、正弦定理求最值或取值范围5.(2020广东深圳实验学校高一上期末,)△ABC的内角A,C的对边分别为a,c,若∠C=45°,c=√2,且满足条件的三角形有两个,则a的取值范围为()A.(√22,1) B.(√2,2) C.(1,2)D.(1,√2)6.(2020安徽阜阳高二上期末,)在锐角三角形ABC中,角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若a2+c2=√3ac+b2,则cos A+sin C的取值范围为()A.(√32,32) B.(√22,2) C.(12,32) D.(√3,2)7.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二上月考,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+ca =cos B+cos C,bcsinA=8,则△ABC的周长的最小值为()A.3B.3+3√2C.4D.4+4√28.(2020辽宁锦州高一期末,)锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则ccosA=,边长c的取值范围是.9.(2020山西大同第一中学高三线上考试,)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=π3,则asin C=,a+b的取值范围是.题组三余弦定理、正弦定理的综合应用10.(2020广东深圳中学高一上期末,)秦九韶是我国南宋著名的数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则S=√14[a2c2-(a2+c2-b22)2].若c2sin A=4sin C,B=π3,则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为()A.√3B.2C.2√3D.411.(2020辽宁沈阳一中高一下期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量m=(a,cos A2),n=(b,cos B2),p=(c,cos C2)共线,则△ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若lg a-lg c=lg sin),则△ABC的形状是()B=-lg√2,且B∈(0,π2A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形13.()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(√3,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则B=.14.(2019天津,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;)的值.(2)求sin(2B+π6答案全解全析基础过关练1.B 由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=12+22-2×1×2×12=3,所以b=√3(负值舍去),故选B. 2.C∵cos C=|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=-12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos C=3×5×(-12)=-152.故选C.3.D 设长度为5、7、8的边所对的角分别为角A 、B 、C,由三角形的性质易知A,C 分别为最小角,最大角,B 为中间角,所以B 为锐角,因为cos B=52+82-722×5×8=12,所以B=60°,所以A+C=120°.故选D.4.A 由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a 2+b 2-c 2=ab,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab =12,又C ∈(0,π),所以C=π3.因为sin A=12,A ∈(0,π),所以A=π6或A=5π6.当A=π6时,B=π2;当A=5π6时,A+C>π,不合题意.故选A.5.C 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得102=152+c 2-2×15×ccos 30°,∴c 2-15√3c+125=0,解得c=15√3±5√72∈(5,25), ∴c 有两解,即△ABC 有两个解,故选C. 6.B 根据cos A=b 2+c 2-a 22bc 及已知得12=b 2+64-(b+2)216b,解得b=5,所以a=b+2=7,所以△ABC 的周长等于7+5+8=20.故选B.7.C 设BC 边上的高为AD,则BC=3AD,又知B=π4,所以AD=BD,所以DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√AD,AB=√2AD.在△ABC 中,由余弦定理的推论,知cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =2222×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.8.答案 1解析由余弦定理的推论可得cos A=b 2+c 2-a 22bc =22√2b =-√24,整理得b 2+b-2=0,解得b=1或b=-2(舍去). 9.答案 12 解析原式=abc a 2+b 2+c 2·bccosA+accosB+abcosCabc=bc (b 2+c 2-a 22bc )+ac (a 2+c 2-b 22ac )+ab (a 2+b 2-c 22ab)a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 22(a 2+b 2+c 2)=12.10.答案 7 解析由余弦定理的推论及已知得cos A=AB 2+AC 2-BC 22·AB ·AC =92+82-722×9×8=23.设AC边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=(AC 2)2+AB 2-2·AC 2·ABcos A=42+92-2×4×9×23=49,所以x=7(负值舍去).所以AC 边上的中线长为7. 11.解析 ∵∠DAC=90°, ∴sin ∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos ∠BAD, ∴cos ∠BAD=2√23. 在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD,即BD 2=18+9-2×3√2×3×2√23=3,∴BD=√3. 12.解析 (1)∵在△ABC 中,2cos 2A+B 2-cos 2C=1,∴2sin 2 C2-cos 2C=1, ∴cos 2C+1-2sin 2 C2=cos 2C+cos C=0,∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去). 又∵0<C<π,∴C=π3. (2)∵a=3,b=2,∴在△ABC 中,由余弦定理,得c=√a 2+b 2-2abcosC =√9+4-6=√7, ∴c b =√72.13.D 由a sinA =b sinB ,得a=bsinA sinB .在△ABC 中,∵0<sin B ≤1,∴1sinB ≥1,∴a ≥bsin A. 14.D 设△ABC 的外接圆的半径为R, 则由正弦定理可得ACsin ∠ABC=2R, 即2R=2√2sin135°=√2√22=4,所以R=2,所以△ABC 的外接圆的面积S=πR 2=4π.故选D. 15.B由a sinA =bsinB ,得sin A=asinB b =2√3×√2222=√32,∵0°<A<135°,∴∠A=60°或∠A=120°. 16.D ∵a=6,A=60°,B=75°, ∴C=180°-60°-75°=45°,∴由a sinA =csinC ,得c=asinC sinA =6×sin45°sin60°=2√6.故选D.17.BC 选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sin C=csinB b=8√315<1,且c>b,所以角C 有两解.选项C:因为sinB=bsinA a =4√27<1,且b>a,所以角B 有两解.选项D:因为sin B=bsinAa<1,且b<a,所以角B 仅有一解.故选BC.18.C 由3bcos C=c(1-3cos B)及正弦定理可得3sin Bcos C=sin C(1-3cos B),化简可得sin C=3sin(B+C).又A+B+C=π,∴sin C=3sin A,∴c ∶a=sin C ∶sin A=3∶1.故选C. 19.答案√63解析 ∵a=3,b=2√6,B=2A,∴由正弦定理可得a sinA =b sinB =b2sinAcosA , ∴cos A=b 2a =2√62×3=√63. 20.答案 2√3-2解析 ∵A=60°,C=45°,∴B=75°,∴最小边长为c.由正弦定理,得2sin75°=csin45°.又sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°·cos 30°+cos 45°sin 30°=√6+√24,∴c=2sin45°sin75°=2×√22√6+√24=2√3-2. 21.解析 (1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=2B =√1-(45)2=35.由正弦定理,得AC sinB =ABsinC ,∴AB=AC ·sinC sinB =6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π, ∴A=π-(B+C),∴cos A=-cos(B+C)=-cos (B +π4) =-cos Bcos π4+sin Bsin π4. 又cos B=45,sin B=35,∴cos A=-45×√22+35×√22=-√210. ∵0<A<π,∴sin A=√1-cos 2A =7√210. ∴cos (A -π6)=cos Acos π6+sin Asin π6 =-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.22.解析由tan A+B 2+tan C2=4, 得tanπ-C 2+tan C2=4, 即sin π-C2cos π-C 2+sin C2cos C 2=4, 整理得cos 2 C 2+sin 2 C2sin C2cos C2=4,又∵sin C=2sin C2·cos C2,∴2sinC =4, ∴sin C=12.又C ∈(0,π),∴C=π6或C=5π6. 又sin Bsin C=cos 2 A 2=1+cosA 2=1-cos(B+C)2,即2sin Bsin C=1-cos(B+C)=1-cos BcosB+sin Bsin C,∴cos Bcos C+sin Bsin C=1, ∴cos(B-C)=1,∵B ∈(0,π),∴B-C=0, ∴B=C=π6,故A=2π3. 由正弦定理得bsinB =csinC =asinA =2√3sin 2π3=4,所以b=c=4sin π6=2.故b=c=2,A=2π3,B=π6. 23.C解法一:由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 22ab =a2b ,整理得b 2=c 2,即b=c,故该三角形一定为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C. 解法二:∵a=2bcos C,∴由正弦定理得sin A=2sin Bcos C. 又∵A+B+C=π,∴sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0.∵0<B<π且0<C<π,∴-π<B -C<π. ∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C.24.B 解法一:由bcos C+ccos B=asin A 及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,即sin(B+C)=sin 2A,即sin A=sin 2A.易知0<A<π,sin A ≠0,所以sin A=1,即A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B. 解法二:由余弦定理的推论及已知得b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =a ·sin A,整理得2a 2=2a 2sin A,易知a 2≠0,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B.25.B 由cos 2 B 2=a+c2c 可得,1+cosB 2=a+c2c ,即cos B=ac .解法一:由余弦定理的推论可得a 2+c 2-b 22ac =ac ,整理,得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B. 解法二:由正弦定理可得cos B=sinAsinC ,即cos Bsin C=sin A. 又A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C),∴cos Bsin C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0, ∴sin B=0或cos C=0. ∵B,C ∈(0,π), ∴cos C=0,C=π2.∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B.26.A 设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a 2+b 2=c 2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a 2+b 2+2x 2+2(a+b)x-c 2-2cx-x 2=2(a+b-c)x+x 2>0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形. 27.AB 解法一:∵acos A=bcos B,∴由余弦定理的推论得,a ·b 2+c 2-a 22bc =b ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2),∴a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0,∴c 2(a 2-b 2)+(b 2+a 2)(b 2-a 2)=0, ∴(b 2-a 2)(a 2+b 2-c 2)=0, ∴b 2=a 2或a 2+b 2-c 2=0, ∴b=a 或∠C=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选AB.解法二:由正弦定理及已知,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 因为2A,2B ∈(0,2π),所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选AB.易错警示注意区分等腰直角三角形和等腰或直角三角形,等腰直角三角形是等腰且直角三角形,理解“或”和“且”的区别.能力提升练1.A 由asinA =bsinB ,得sin B=bsinA a =2√3=12, ∵b<a,∴B<A,∴B=30°,故选A.易错警示本题易错选C.要注意题中的隐含条件“b<a,即B<A ”,故B 只能等于30°.2.A 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶6及正弦定理,得a ∶b ∶c=3∶5∶6,则可设a=3k,b=5k,c=6k,k>0. 由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =9k 2+36k 2-25k 22×3k×6k =59,则sin B=√1-cos 2B =2√149. 3.答案 12解析因为sin(A-C)=sin B-34, 所以sin(A-C)=sin(A+C)-34, 所以2cos Asin C=34.因为2a b =sinBcosC ,所以2sin Acos C=sin 2B, 所以2(sin Acos C+cos Asin C)=sin 2B+34,整理得sin 2B-2sin B+34=0,解得sin B=12或sin B=32(舍去).故答案为12.4.解析设正方形的边长为x(1<x<3),∠ABP=α,则∠CBP=90°-α. 在△ABP中,cos ∠ABP=x 2+22-124x =x 2+34x ,在△CBP中,cos ∠CBP=x 2+22-324x =x 2-54x ,又cos 2∠ABP+cos2∠CBP=1,∴(x 2+34x )2+(x 2-54x )2=1,即x 4-10x 2+17=0,∴x 2=5+2√2或x 2=5-2√2.如果x 2=5-2√2,那么AC=√10-4√2<3,∴点P 到点C 的距离不可能为3,∴x 2=5-2√2舍去,∴x=√5+2√2,即正方形的边长为√5+2√2.主编点评当已知条件中边的关系较多时,可考虑用余弦定理,同时方程思想的运用在本题中得到了充分的体现.5.B 因为满足条件的三角形有两个,所以asin C<c<a,所以√22a<√2<a,所以√2<a<2. 6.A 由题意得a 2+c 2-b 2=√3ac, ∴由余弦定理的推论得cos B=√3ac 2ac =√32. 又B 为锐角三角形ABC 的内角,∴B=π6.∴cos A+sin C=cos A+sin (5π6-A)=√32sin A+32cos A=√3sin (A +π3). ∵△ABC 为锐角三角形, ∴{0<A <π2,0<5π6-A <π2, ∴π3<A<π2.∴2π3<A+π3<5π6,∴12<sin (A +π3)<√32, ∴√32<√3sin (A +π3)<32.故cos A+sin C 的取值范围为(√32,32). 7.D根据余弦定理的推论得b+c a =cos B+cos C=a 2+c 2-b 22ac +a 2+b 2-c 22ab ,整理得2b 2c+2bc 2=a 2b+bc 2-b 3+a 2c+b 2c-c 3,即b 2c+bc 2=a 2b+a 2c-(b 3+c 3),所以(b+c)(b 2+c 2-a 2)=0,所以b 2+c 2=a 2,所以A=90°,sin A=1,则bc=8,所以a+b+c=√b 2+c 2+(b+c)≥√2bc +2√bc =4+4√2,当且仅当b=c=2√2时取等号,所以△ABC 的周长的最小值为4+4√2.故选D. 8.答案 4;(2√2,2√3)解析因为C=2A,所以sin C=2sin Acos A,由正弦定理得c=2acos A,所以ccosA =2a=4.因为△ABC 是锐角三角形,所以C=2A ∈(0,π2),B=π-A-C=π-3A ∈(0,π2),所以A ∈(π6,π4),所以cos A ∈(√22,√32),所以c=4cos A ∈(2√2,2√3).9.答案 √3;(1+√3,4+2√3)解析由正弦定理,可得asin C=csin A=2sin π3=√3.由a sinA =b sinB =csinC ,可得a=c ·sinA sinC =√3sinC ,b=c ·sinB sinC =2sin (2π3-C )sinC ,所以a+b=√3sinC +√3cosC+sinCsinC=1+√3(1+cosC)sinC=1+2√3cos 2 C 22sin C2cos C 2=1+√3tan C 2.由△ABC 是锐角三角形,可得0<C<π2,0<2π3-C<π2,所以π6<C<π2, 所以π12<C 2<π4,所以2-√3<tan C2<1. 所以1<1tan C 2<2+√3,所以1+√3<1+√3tan C 2<4+2√3,即1+√3<a+b<4+2√3.10.A 因为c 2sin A=4sin C, 所以c 2a=4c,即ac=4.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-4,所以a 2+c 2-b 2=4. 所以S △ABC =√14[a 2c 2-(a 2+c 2-b 22)2]=√14[42-(42)2]=√3.故选A.11.A ∵向量m=(a,cos A2),n=(b,cos B2)共线, ∴acos B2=bcos A2.由正弦定理得sin Acos B2=sin Bcos A2. ∴2sin A2cos A2cos B2=2sin B2cos B2·cos A2.∵cos A 2≠0,cos B2≠0, ∴sin A 2=sin B2. ∵0<A 2<π2,0<B 2<π2,∴A 2=B2,即A=B,同理可得B=C, ∴△ABC 为等边三角形.故选A. 12.C ∵lg a-lg c=lg sin B=-lg √2, ∴a c=sin B=√22.∵B ∈(0,π2),∴B=π4. 由正弦定理,得a c =sinA sinC =√22,∴sin C=√2sin A=√2sin (3π4-C)=√2(√22cosC +√22sinC),化简得cos C=0,∵C ∈(0,π), ∴C=π2,∴A=π-B-C=π4,∴△ABC 是等腰直角三角形.故选C. 13.答案 π6解析 ∵m ⊥n,∴√3cos A-sin A=0, ∴tan A=√3.又0<A<π,∴A=π3.∵acos B+bcos A=csin C,∴由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C, ∴sin(A+B)=sin 2C,∴sin C=sin 2C. 又sin C ≠0,∴sin C=1, ∴C=π2,∴B=π6.14.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,所以b=43a,c=23a. 由余弦定理的推论可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=- 14.(2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2B ·sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716.。

第一节：正弦定理和余弦定理

第一章解三角形
第一节：正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．考点一：正弦定理和余弦定理
=2R
④
在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，一般可根据“大边对大角”来取舍．另外也可按照下面的方式判来判断解的情况：
考点一：利用正、余弦定理解三角形
考点二：三角形形状的判断
规律总结：三角形的面积求法最常用的是利用公式
S去求。

计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用。

正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．。

第1讲正弦定理和余弦定理-

第1讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .双基自测1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．562．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 35．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【训练1】(2013北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】(2013·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】(2013·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2013辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.。

第一节 正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理[五篇]

正弦定理和余弦定理课件PPT

1.1 正弦定理和余弦定理

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第1讲 正弦定理和余弦定理

第一节正弦定理和余弦定理(知识梳理)

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

01正弦定理和余弦定理

1.1正弦定理和余弦定理

高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理

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