数学：《二面角》课件(人教a版必修二)
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二面角ppt课件
1、定义法（练习）
1、定义法（练习）
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理 法求二面角的大小。
2、三垂线法
例1、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形， PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二 面角P-BC-A的大小。
面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是
A
B
2、已知P为二面角 内一点，
且P到两个半平面的距离都等于P到棱 的距离的一半，则这个二面角的度数
β
B
p
是多少？
60º
O
Aα
ι
1、定义法
例1、如图,已知二面角α-а-β等 120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
3、垂面法
3、垂面法
例3、如图在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC， AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E， 又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。
3、垂面法
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
高中数学 2.3.2-1二面角的有关概念课件 新人教A版必修2
例2 如图所示，河堤斜面与水平面
所成二面角为 6 0 ，堤面上有一条直
道CD，它与堤角的水平线AB的夹角
为3 0 ，沿这条直道从堤脚C向上行走
10m到达E处6 0，此时人升高了多少m？
D
E
O
AC F
精选ppt
B
作业: P73习题2.3 A组：4，7.
精选ppt
β A
α
l
O
B
精选ppt
思考8:如图，平面γ垂直于二面角的 棱l，分别与面α、β相交于OA、OB， 则∠AOB是二面角的平面角吗？为什 么？
l
O
B
A
α
γ
α
精选ppt
ββ
理论迁移
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求二面角B1-AC-B大小的正切值.
C1
D1
B1
A1
C B
O
精选ppt
D A
精选ppt
精选ppt
在平面几何中，我们把角定义为 “从一点出发的两条射线所组成的 图形叫做角”，按照这种定义方式， 二面角的定义如何？
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面精选pp角t
β
棱
P
面
lQ α
精选ppt
思考4:下列两个二面角在摆放上有什
l
α
β
直立式
精选ppt
知识探究（二）：二面角的平面角
这些二面角的区别在哪里？
精选ppt
β
l
α
β
B
O
lA
α
精选ppt
在图中如何调整OA、OB的位置，使 ∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？ 这个角的大小是否与顶点O在棱上 的位置有关？
数学：二面角的定义及求法举例课件(新人教A必修2)
1.已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等＞求二面角A-VC-B的大小。
2.如图，正四棱锥S-ABCD中，
SA=SB=SC=SD=4, AB=BC=CD=DA=2,求侧面与底面所成二面角的大小？
3■三棱锥D-ABC 中，DC=2a , DC 丄平面ABC, zACB二90°, AC=a, BC=2a,
求二面角D-AB-C的大小。
D
如图，M、N、P分别是正方体ABCD- A1B1C1D1的棱AB、BC、DD】上的点，若Df : PD=1 : 2,且PB丄平面B]MN,求二面角N-B]M-B的大小。
如图，在三棱锥s-ABC中，SA丄平面ABC, AB丄BC, BD丄AD 于D, SA=AB=a, BC=V2a , E为SC
中点，求二面角
E-BD-C的大小。
B
斜三棱柱ABC-A]B]C]的侧面 A]ACC]与底面ABC 垂直，ZABC=9O°, BC=2広AC=2 f AA X 丄A£, AA^A^o
(1) 侧棱AAi 与底面ABC 人 所成二
面角的大小。
1
(2) 求侧面AA]B]B 与底画 所成角的大
小。
A c Vi Bi Ci
正三棱柱ABC-AiB£i 中，AC=CC], EWB]B,平面AEC]丄平面A]ACCi，求平面AEC]与平面ABC所成的二面角（锐角）的度数。
【数学】《二面角》课件(新人教A版必修2)
注意:二面角的平面角必须满足: 注意:二面角的平面角必须满足: ),角的顶点在棱上 (1),角的顶点在棱上. ),角的顶点在棱上. ),角的两边分别在两个面内 (2),角的两边分别在两个面内. ),角的两边分别在两个面内. ),角的边都要垂直于二面角的棱 (3),角的边都要垂直于二面角的棱. ),角的边都要垂直于二面角的棱.
问 题 1,在平面几何中"角"是怎样定义的? ,在平面几何中" 是怎样定义的? 答:从平面内一点出发的两条射 从平面内一点出发的两条射 一点出发的两条 所组成的图形叫做角. 线所组成的图形叫做角. o
2,等角定理? ,等角定理?
A
答:如果一个角的两边和另一个 分别平行, 角的两边分别平行 并且方向相 角的两边分别平行,并且方向相 那么这两个角相等. 同,那么这两个角相等.
0 0
D H
A C
G
B
0
0
0
0
β
α
A C G
0
0
D H B
= 25 3 ≈ 43.3(m)
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
观看动画演示
课堂练习 1,如图,将等腰直角三角形纸片沿 如图, 斜线BC上的高AD折成直二面角. BC上的高AD折成直二面角 斜线BC上的高AD折成直二面角. 求证: 求证: BD⊥CD, ∠BAC = 60
B
观看动画演示
观看动画演示
想一想 B
两个面组成的图形
B B B B B
O
A B
?
β
β β
β β
β α
角
半平面及二面角的定义 1,半平面: ,半平面: 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,每 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分, 一部分都叫做半平面 半平面. 一部分都叫做半平面. 2,二面角: ,二面角: 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 半平面 二面角.这条直线叫做二面角的棱 二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平 面叫示法
问 题 1,在平面几何中"角"是怎样定义的? ,在平面几何中" 是怎样定义的? 答:从平面内一点出发的两条射 从平面内一点出发的两条射 一点出发的两条 所组成的图形叫做角. 线所组成的图形叫做角. o
2,等角定理? ,等角定理?
A
答:如果一个角的两边和另一个 分别平行, 角的两边分别平行 并且方向相 角的两边分别平行,并且方向相 那么这两个角相等. 同,那么这两个角相等.
0 0
D H
A C
G
B
0
0
0
0
β
α
A C G
0
0
D H B
= 25 3 ≈ 43.3(m)
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
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课堂练习 1,如图,将等腰直角三角形纸片沿 如图, 斜线BC上的高AD折成直二面角. BC上的高AD折成直二面角 斜线BC上的高AD折成直二面角. 求证: 求证: BD⊥CD, ∠BAC = 60
B
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想一想 B
两个面组成的图形
B B B B B
O
A B
?
β
β β
β β
β α
角
半平面及二面角的定义 1,半平面: ,半平面: 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,每 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分, 一部分都叫做半平面 半平面. 一部分都叫做半平面. 2,二面角: ,二面角: 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 半平面 二面角.这条直线叫做二面角的棱 二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平 面叫示法
高中数学 2.3.3二面角课件 新人教A必修2
A’
B’
D A
C B
例1:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，
找出
下列二面角的平面角：
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
(2)二面角CD’’-BD-C和C’C-B’D-A.
A’
B’
D
C
A
OB
例1:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，
找出
下列二面角的平面角：
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
观 察 生 活
你发现了什么？
二、两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号:
l l
线面垂直，则面面垂直 α
线线垂直
线面垂直
β l A
面面垂直
建筑工人砌墙时， 应 如何使所砌的墙和水平面垂直？
用 于 生 活
例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2 a
∵∠MPN=60º ∴CD=PC 2a ∴∠COD=90º
因此，二面角的度数为90º
二面角的计算小结:
1、找出或作出二面角的平面角; 2、证明(1)中的角就是所求的角; 3、计算出此角的大小。
步骤: 一“作”二“证”三“求”
二面
二 面 角 二 面 角 －AB－
2.3.3二面角
学习目标:
1、掌握二面角定义及其表示方法； 2、掌握二面角的平面角定义； 3、掌握二面角的平面角的求法。
一、二面角:
一条直线上的一个点把这条直线分成 两个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面 分成两个部分，其中的每一部分都叫做 半平面。
高中数学必修二----二面角和面面垂直市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
补形
第25页
例8、ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝900 SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝0.5． （1）求SC与平面ASD所成角余弦； （2）求平面SAB和平面SCD所成角余弦
S
B
C
A
D
第26页
例9、已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形，
AB∥DC，PA 面ABCD且，PA=AD=DC=1，AB=2
(1)二面角A－PD－C度数为_____9__0_0； (2)二面角B－PA－D度数为_____9__0_0； (3)二面角B－PA－C度数为_____4_5__0； (4)二面角B－PC－D度数为_____1_2_0_．0
第18页
二、面面垂直性质(书本P70) （1）二面角为直二面角
（2） 面面垂直
∠A1O1B1
l
O1 O
A A1
范围 [0°，180°]
第5页
9
直二面角
平面角是直角二面角叫做直二面角.
相交成直二面角两个平面，叫做相互 垂直平面.
第6页
二、面面垂直 1.定义 两个平面相交,假如所成二面角是直二面角,就说这 两个平面相互垂直。
记作:α⊥β
2.画法
第7页
3.面面垂直判定方法 （1）定义 直二面角 （2）判定定理 假如一个平面经过另一个平面一条垂线， 那么这两个平面相互垂直。
M是PB中点。
（Ⅰ）证实：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成角余弦； 10
（Ⅲ）求二面角A-MC-B余弦。
5 2
3
第27页
例10、已知正方体ABCD—A′B′C′D′，过
AA′中点M和正方体顶点B、C′，作
△MBC′．求平面MBC′与平面A′C′
第25页
例8、ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝900 SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝0.5． （1）求SC与平面ASD所成角余弦； （2）求平面SAB和平面SCD所成角余弦
S
B
C
A
D
第26页
例9、已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形，
AB∥DC，PA 面ABCD且，PA=AD=DC=1，AB=2
(1)二面角A－PD－C度数为_____9__0_0； (2)二面角B－PA－D度数为_____9__0_0； (3)二面角B－PA－C度数为_____4_5__0； (4)二面角B－PC－D度数为_____1_2_0_．0
第18页
二、面面垂直性质(书本P70) （1）二面角为直二面角
（2） 面面垂直
∠A1O1B1
l
O1 O
A A1
范围 [0°，180°]
第5页
9
直二面角
平面角是直角二面角叫做直二面角.
相交成直二面角两个平面，叫做相互 垂直平面.
第6页
二、面面垂直 1.定义 两个平面相交,假如所成二面角是直二面角,就说这 两个平面相互垂直。
记作:α⊥β
2.画法
第7页
3.面面垂直判定方法 （1）定义 直二面角 （2）判定定理 假如一个平面经过另一个平面一条垂线， 那么这两个平面相互垂直。
M是PB中点。
（Ⅰ）证实：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成角余弦； 10
（Ⅲ）求二面角A-MC-B余弦。
5 2
3
第27页
例10、已知正方体ABCD—A′B′C′D′，过
AA′中点M和正方体顶点B、C′，作
△MBC′．求平面MBC′与平面A′C′
平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
构成
讲
课 人 ：
表示法
邢
启
强
平面与平面垂直二面角—山东省滕州 市第一 中学人 教版高 中数学 新教材 必修第 二册课 件
边—点—边 （顶点）
∠AOB
二面角
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
面—直线—面 （棱）
二面角—l— 或二面角—AB—
14
典型例题 平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
D’ A’
C’ B’
讲 课 人 ： 邢 启 强
平面与平面垂直二面角—山东省滕州 市第一 中学人 教版高 中数学 新教材 必修第 二册课 件
D
C
A
OB
13
学习新知 平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
4. 二面角的平面角
(1)定义:在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角.
如图，OA l,OB l ，则∠AOB叫做二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
l
讲
课 人 ：
邢
启
强
平面与平面垂直二面角—山东省滕州 市第一 中学人 教版高 中数学 新教材 必修第 二册课 件
例1、已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的 距离为2 3 ,到 l 的距离为 4.求二面角 － l － 的大小.
A.
DO l
(新)高二数学《二面角》教学课件
教学讲解课件
求二面角的平面角
教学讲解课件
一、教学目标 1．理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角
的平面角的常见求法． 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平
面角问题，进一步培养学生的空间想象能力 和分析、解决问题的能力．
二、教学重点、难点 1．教学重点：二面角的平面角的常见求法． 2．教学难点：如何选取恰当的位置和方法作出
A
B
E
O
D
C
3教学讲解课件
例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小. A
N
B
M
D
C
教教学学讲讲解解课课件件
解：作BM AC于M，作MN AC交AD于N， 则BMN就是二面角B AC D的平面角
教学讲解课件
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
教学讲解课件
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角.
教学讲解课件
(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在
一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的
大小为COS ＝ S’÷ S
C1
B1
D1
A1
E
C
F B
D
P
A
教学讲解课件
例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
S
E
D
求二面角的平面角
教学讲解课件
一、教学目标 1．理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角
的平面角的常见求法． 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平
面角问题，进一步培养学生的空间想象能力 和分析、解决问题的能力．
二、教学重点、难点 1．教学重点：二面角的平面角的常见求法． 2．教学难点：如何选取恰当的位置和方法作出
A
B
E
O
D
C
3教学讲解课件
例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小. A
N
B
M
D
C
教教学学讲讲解解课课件件
解：作BM AC于M，作MN AC交AD于N， 则BMN就是二面角B AC D的平面角
教学讲解课件
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
教学讲解课件
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角.
教学讲解课件
(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在
一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的
大小为COS ＝ S’÷ S
C1
B1
D1
A1
E
C
F B
D
P
A
教学讲解课件
例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
S
E
D
高中数学必修二课件-直线和平面所成的角与二面角1.pptx
二、例题
1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求: （1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2） 平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3） 二面角A-B1D1-C的大小.
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2.已知二面角的 l 平 面角为 ，在平面 内 有一射线 AB与棱 成l 锐角 ，与平面 成 角 ，
则必有 （ ）
A.sin sin sin B.sin sin cos
C.cos cos sin D.cos cos cos
B
A
O
C
3.如图，二面角 l 的 平面角为 ,
PA⊥于A点，PB⊥ 于B点，PA=a,PB=b,
求点P到棱 l的距离.
P
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B O
A
.如图:PA⊥平面ABC，
AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 ,求二面角A-
PB-C的大小.
P
D
A
C
H
B
求二面角大小的步骤为； （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义；
中学学科网
（3）计算.
2.一个平面———二面角 l 的 棱 ，l 且与
两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为
垂足，则————叫二面角 l 的 平面角.
3.平面角是————的二面角叫做直二面角. 相交成————的两个平面，叫互相垂直的 平面.
二面角的大小用其平面角来度量，平面 角需具备如下三个特征（1）顶点在棱上； （2）两边在两面内；（3）两边垂直于 棱.
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
直线与平面所成的角 与二面角（二）
人教版高中数学必修二二面角的求法最新ppt课件
请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平
E
分SC,分别交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= 2 a.
D A
C
求：平面BDE和平面BDC所成的二
面角的大小。
B
规范训练一
1、（本小题为2007年山东高考试卷理科 19题） 如已图知，：在DC直=D四C1棱=2柱ADA=B2ACBD,-AAD1⊥B1DC1CD, 1A中B/，/DC
α β
αβ γ
αA C Bβ
探究准备：
答：相等或互补
2、两个平面的法向量
的夹角与这两个平面
α
所成的二面角的平面
角有怎样的关系？
β
互补
m α
β m
相等
探究一：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平
E
分SC,分别交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= 2 a.
D
1
A
1
F D
A
P
C
1
B
1
C B
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线；
因为是直棱柱，所以AA ⊥ 底面ABCD,
过A做AE⊥PB,垂足为E,连1接EF,
由三垂线定理可知，EF⊥PB,
∴同∠解AE法F一即可为知二，面等角腰D1△-PABP-BD, 的∠平P=面3角00，；
探究准备：
答：1、二面角是指从一条直线出发的两
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α
α
记为：二面角α-AB-β 或者二面角α-a-β 或者二面角C-AB-D
α
B a
C
α B a A β
A β
B a A
D
β
E
O D
C
α
F
α C
β
0
想知道二面角的大 小是如何变化的吗？ 点我以下呀！
3、二面角的平面角： 以二面角的棱上的任 意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做 二面角的平面角。 4、直二面角：平面 角是直角的二面角叫 做直二面角。
α β
H
A F E
O
思考题：地球的经线的度数是怎 样定义的？
你知道了吗？ 如果还不太 清楚我可以 给你提示呀！ 点我们一下！
以上学了那些内容？
2、二面角：从 一条直线出发 的两个半平面 所组成的图形。 3、二面角的平面角： 以二面角的棱上的任 意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两 条射线所成的角 1、半平面：一个平 面内的一条直线， 把这个平面分成两 部分，其中的每一 部分都叫做半平面。
二面角
目录
引入 基本概念
图形
范例 练习 小结 作业
基本概念：
1、半平面：一个平面内的一条 直线，把这个平面分成两部分， 其中的每一部分都叫做半平面。
D E C
A
F
B
A a B β
2、二面角：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
α D
A
D β
H B
C
B
A
30
C
G
60
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。 在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G， 连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
D
100m A
30
0
60
G
0
H B
C
DH=DGsin600 =CDsin300sin600 =100sin300sin600 ≈43.3(米) 答：沿直道前进100米， 升高约43.3米
例2：如图所示，DB、EC都垂直于正 ABC所在 的平面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面 ABC所成二面角的大小。
解：延长ED交CB于F，连AF，则平面ABC∩平面ADE=AF，
E
EC ABC BD ABC BC BF BC AB BF AF 就是平面 ADE EC 2 BD CB AB AC
D C A
与平面ABC的交线， 0, 由 三 垂 线 定 理 也就是这两个平面 ∴∠CAF=90 所成的二面角的棱 AE⊥ AF ∴∠EAC 为 二 面 角 E-
K Q M
2、在300二面角的一个面内有一点，它到另 一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA， 则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。 所 以 ∠ AOH 就 是二面角 α它就是二 EFβ 的一个 平面角的平 面 角 ， ∠ AOH=30 面角！0 ， OA=20cm.
B
、 AE AF-C AC 的平 面 角都垂直 。在直角三角 于二面角的棱 形 ACE中，AC=EC， 0 ∴∠ EAC=45 AF ，它就是二 F 因此平面 ABC与平面 面角的平面角 ADE所成的角为450.
练习
1、一个平面垂直于二 面角的棱，它和二面角 的两个面的交线所成的 角就是二面角的平面角。 为什么？ 答：因为二面角的棱垂 直于这个平面，所以它 就垂直于两条交线
A
OC EF OD是垂直于 也是垂直 B 的射线 于EF 的射 D β a O 线
∠COD= 90?
例1.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二 面角的度数）是60 ，山坡上有一条直道CD， 它和坡脚的水平线AB的夹角是 30 ，沿这条 山路上山，行走100米后升高多少米？ 它就是这个二面 角的平面角
二面角的平面角的作法步骤：
A
α
β 第45-46页习题六：
第1、2、4题。
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不容易等到大家都走了，雅思琦板起壹副面孔，开口对冰凝说道：“冰凝妹妹，你知道错吗？”“福晋姐姐，妹妹知错。”“那你自己先说说， 错在哪里了？”“妹妹不该将十三叔误认成爷。”“还有呢？”“还有？”冰凝禁不瞪大了眼睛，声音也有些提高，只是话刚出口，就立即意 识到自己的失态，赶快又低下头去。可是，她在心中百思不解，除了误认十三叔这件事情，自己还能有什么错处？“你到现在都没有认清自己 的错误？我刚才那番话算是白说了！你要把爷放在心上，爷才能把你放在心上！对爷失尊、失敬、失恭、失礼，这才是你的根本错误所 在！”“谢谢福晋姐姐的教诲！”“既然犯了错，不受惩罚是不可能的！念在你年纪还小，不懂事，就先罚你将《女诫》抄十遍吧。”“是， 谢福晋姐姐。”刚刚听到惩罚的时候，冰凝不知道会是什么样的严刑家法在等待自己，心里极为忐忑不安。待福晋说出来那个所谓的家法，不 过是抄十遍《女诫》，她差点儿高兴得乐出声儿来！这就是王府的家法？简直是这世上最简单、最轻松、最好的家法啊！回到怡然居，冰凝先 用过早膳，然后正好就是她平时读书写字的时间。哈哈，抄《女诫》，王府居然将抄书都能当成是家法处置，这也太可笑了！其实她作为壹个 从小就开始读书写字之人，哪里知道那些从来不读书不写字的人，拿笔写字的痛苦？她天天读书，从书中品味出了乐趣，产生出了共鸣，甘之 如饴。而其它的诸人，从来不会读书写字，要她们拿起粗粗的毛笔，简直比拿起细细的绣花针还要难办，若再要求她们写出字来，更是比要了 她们的命还难！所以王爷才会每次在她们犯了错的时候，用抄经书的方法来处罚她们，而且每次都是屡试不爽。这些诸人们经常是还没写几个 字，壹个个地就愁眉苦脸地来找爷，先是痛哭流涕地表示痛改前非，然后又磨磨叽叽地说完不成处罚任务。面对这些诸人们，他壹般都会原谅 了她们，然后那些抄书的处罚也就不了了之。遇到他实在生气，必须完成抄书任务的时候，最后拿到他面前的，全都是如同鬼画符壹般，他根 本就是壹个字都认不出来，即使仔细辨认半天他仍然无法知晓，她们写的这些都是什么？雅思琦哪里知道冰凝最擅长的就是书写！虽然那天敬 茶的时候，天仙妹妹出口成章的样子，确实震惊了当场所有的人。不过当她将这那件事情说给爷听的时候，爷不但壹副嗤之以鼻的神情，并且 给了壹句“哗众取宠”的评价。据此，她天真地以为冰凝也像她们似的，没有什么真才实学，不过碰巧就会那么两句而已。既然爷没有表态是 轻罚还是重罚，她也只好参照以往爷处罚她们的惯例，这样总归是没有错。第壹卷 第116章 受罚面对着吟雪铺好的笔墨纸砚，冰凝可是犯了 愁！足足呆坐了小半个时