2015年黑龙江省哈尔滨三十二中高二上学期数学期中试卷与解析(理科)
黑龙江省哈尔滨三中2014_2015学年高二数学上学期期末试卷试卷理(含解析)
黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期末试卷试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={1，2，3}的真子集个数为（）A．6 B．7 C．8 D．92．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=13．（5分）从装有4个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）（x2﹣）3的展开式中常数项是（）A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣275．（5分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），点P满足•=12，则点P的轨迹方程为（）A．+y2=1 B．x2+y2=16 C．y2﹣x2=8 D．x2+y2=86．（5分）已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或7．（5分）已知直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，则2m+n的最大值为（）A．2 B．C．D．38．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．311．（5分）已知随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且EY=34，若X的分布列如表所示，则m的值为（）X 1 2 3 4P m nA．B．C．D．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知两点A（﹣2，﹣2）、B（3，7），则线段AB的垂直平分线的方程为．14．（5分）已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮命中的次数为X，则DX=．15．（5分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．16．（5分）现要将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙、丙三个盒中，每个至少放一个球，且甲盒不能放入1号球，乙盒不能放入2号球，则所有不同的放法种数为（用数字作答）．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2x+）n展开式中所有的项的系数为243．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中x2项的系数．18．（12分）将一枚骰子先后抛掷两次，记第一次的点数为x，第二次的点数为y．（Ⅰ）求点P（x，y）在直线y=x+1上的概率；（Ⅱ）求y2＜4x的概率．19．（12分）某袋中有10个乒乓球，其中有7个新、3个旧球，从袋中任取3个来用，用后放回袋中（新球用后变为旧球），记此时袋中旧球个数为X，求X的数学期望．20．（12分）过抛物线y2=x的顶点O作两条相互垂直的弦OA，OB，求△AOB面积的最小值．21．（12分）小强参加一次测试，共有三道必答题，他是否答对每题互不影响．已知他只答对第一题的概率为0.08，只答对第一题和第二题的概率为0.1，至少答对一题的概率为0.88，用X表示小强答对题的数目．（Ⅰ）求小强答对第一题的概率；（Ⅱ）求X的分布列和数学期望．22．（12分）设椭圆C：过点（1，），F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且离心率（1）求椭圆C的方程．（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足，求直线l的方程．黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期末试卷试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={1，2，3}的真子集个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据题意，集合M中有3个元素，由集合的子集与元素数目的关系，计算可得答案．解答：解：集合M中有3个元素，有23=8个子集，有23﹣1=7个真子集；故选B．点评：本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若集合中有n个元素，则其有2n个子集．2．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．分析：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，求出λ，可得到所求的双曲线方程．解答：解：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．故选A．点评：本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．3．（5分）从装有4个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：用间接法，首先分析从6个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，首先分析从6个球中任取3个球，共C63=20种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C43=4种，则没有白球的概率为=；则所取的3个球中至少有1个白球的概率是1﹣=；故选：B．点评：本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．4．（5分）（x2﹣）3的展开式中常数项是（）A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣27考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，求出答案．解答：解：展开式的通项为T r+1=×x2（3﹣r）×（﹣1）r×3r×x﹣r=×（﹣3）r×x6﹣3r，令6﹣3r=0⇒r=2，∴（x2﹣）3的展开式中常数项是T3=×9=27．故选：C．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（5分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），点P满足•=12，则点P的轨迹方程为（）A．+y2=1 B．x2+y2=16 C．y2﹣x2=8 D．x2+y2=8考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：设P点坐标为（x，y），由•=12进而可得到x和y的关系式．解答：解：设P（x，y），则=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y）∴•=（2﹣x）（﹣2﹣x）+y2=12整理可得x2+y2=16．故选B点评：本题主要考查了轨迹方程．解题的关键是设出所求点的坐标为（x，y）进而找到x和y的关系式．6．（5分）已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．解答：解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=3，或．故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．（5分）已知直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，则2m+n的最大值为（）A．2 B．C．D．3考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：利用直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，可得=1，即m2+n2=1，设m=cosα，n=sinα，则2m+n=2cosα+sinα=sin（α+θ）≤，即可求出2m+n的最大值．解答：解：∵直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，∴=1，∴m2+n2=1，设m=cosα，n=sinα，则2m+n=2cosα+sinα=sin（α+θ）≤，∴2m+n的最大值为，故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识，正确运用直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切是关键．8．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比解答：解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选 C点评： 本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题9．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A ．B ．C ．D ．考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式． 专题： 计算题．分析： 根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．解答： 解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品（A 1）与仅第二个实习生加工一等品（A 2）两种情况， 则P （A ）=P （A 1）+P （A 2）=，故选B ．点评： 本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．10．（5分）抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（）A ．B ．C ．D ． 3考点： 直线与圆锥曲线的关系．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： 首先判断出直线和抛物线无交点，然后设出与直线平行的直线方程，可抛物线方程联立后由判别式等于0求出切线方程，然后由两条平行线间的距离求出抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值． 解答： 解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点． 设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0 联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0， 得m=﹣．所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．11．（5分）已知随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且EY=34，若X的分布列如表所示，则m的值为（）X 1 2 3 4P m nA．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：根据随机变量X分布的概率和为1，建立m、n的等式，根据数学期望公式再建立另一等式，联立方程组解之即可求出所求．解答：解：根据随机变量X分布的概率和为1，则+m+n+=1即m+n=①EX=1×+2m+3n+4×=2m+3n+∵Y=12X+7，且EY=34∴EY=12EX+7=24m+36n+14=34 ②联立①②得m=故选C．点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及随机变量的数学期望和二元一次方程组的解法，属于中档题．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1•e2的取值范围，即可得答案．解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，⇒＜c＜5．⇒，∴=；=．∴，故选C．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知两点A（﹣2，﹣2）、B（3，7），则线段AB的垂直平分线的方程为5x+9y﹣25=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：求出A，B的中点和斜率，根据点斜式方程即可求出直线方程．解答：解：∵两点A（﹣2，﹣2）、B（3，7），∴两点A，B的中点为（，），AB的斜率k==，则线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣，则对于的直线方程为y﹣=﹣（x﹣），即5x+9y﹣25=0，故答案为：5x+9y﹣25=0．点评：本题主要考查直线方程的求解，根据条件求出中点坐标和斜率是解决本题的关键．14．（5分）已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮命中的次数为X，则DX=2.1．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由题意知ξ～B（10，0.7），由此能求出Dξ．解答：解：由题意知ξ～B（10，0.7），Dξ=10×0.7×0.3=2.1．故答案为：2.1．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．15．（5分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．16．（5分）现要将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙、丙三个盒中，每个至少放一个球，且甲盒不能放入1号球，乙盒不能放入2号球，则所有不同的放法种数为17（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意知元素的限制条件比较多，可以利用间接法，先不考虑甲乙两盒的，再排除甲盒有1号，乙盒有2号球球，还要加上盒有1号球同时乙盒有2号球，问题得以解决．解答：解：不考虑甲盒不能放1号球，乙盒不能放入2号球，一共有=36种，甲盒为1号球有=12种，乙盒有2号球也有12种，甲盒有1号球同时乙盒有2号球1+2×2=5，所以不同的放法为36﹣12﹣12+5=17种，故答案为：17点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，综合利用两个原理解决是关键，属中档题．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2x+）n展开式中所有的项的系数为243．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中x2项的系数．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（I）依题意，得3n=243，可得n=5；（Ⅱ）由（2x+）5的二项展开式的通项公式T r+1=•（2x）5﹣r•=25﹣r••，知5﹣r=2，可求得r=2，从而可得展开式中x2项的系数．解答：解：（I）∵（2x+）n展开式中所有的项的系数为243，∴当x=1时，有3n=243，∴n=5；（Ⅱ）设（2x+）5展开式中的通项T r+1=•（2x）5﹣r•=25﹣r••，令5﹣r=2，得r=2，∴展开式中x2项的系数为：23•=80．点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．18．（12分）将一枚骰子先后抛掷两次，记第一次的点数为x，第二次的点数为y．（Ⅰ）求点P（x，y）在直线y=x+1上的概率；（Ⅱ）求y2＜4x的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：应用题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，（Ⅰ）试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线y=x+1上，列举共有5种结果，得到概率；（Ⅱ）满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在y2＜4x上，列举共有17种结果，得到概率．解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线y=x+1上，当x=1，y=2；x=2，y=3；x=3，y=4；x=4，y=5；x=5，y=6，共有5种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P=；（II）满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在y2＜4x上，当x=1，y=1；x=2，y=1，2；x=3，y=1，2，3；x=4，y=1，2，3；x=5，y=1，2，3，4；x=6，y=1，2，3，4，共有17种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P=．点评：本题考查古典概型的概率公式，考查满足直线方程的点，考查利用列举法得到事件数，本题是一个基础题，适合文科学生做，列举时注意要以x为主来讨论．19．（12分）某袋中有10个乒乓球，其中有7个新、3个旧球，从袋中任取3个来用，用后放回袋中（新球用后变为旧球），记此时袋中旧球个数为X，求X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由题意知，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．解答：解：由题意知，X的可能取值为3，4，5，6，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴EX==5.1．故答案为：5.1．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．20．（12分）过抛物线y2=x的顶点O作两条相互垂直的弦OA，OB，求△AOB面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2）与x轴的交点M点的坐标为（x0，0），直线l方程为 x=my+x0，代入y2=x，根据OA⊥OB．求出m的值，然后表示出△AOB的面积，求解三角形面积的最小值即可．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2）与x轴的交点M点的坐标为（x0，0），直线l方程为x=my+x0，代入y2=x得y2﹣my﹣x0=0 ①，y1、y2是此方程的两根，∴x0=﹣y1y2，∵x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=y1y2（y1y2+1）=0，∴y1y2=﹣1∴x0=1．由方程①，y1+y2=m，y1y2=﹣1，且|OM|=x0=1，于是S△AOB=|OM||y1﹣y2|==≥1，∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．21．（12分）小强参加一次测试，共有三道必答题，他是否答对每题互不影响．已知他只答对第一题的概率为0.08，只答对第一题和第二题的概率为0.1，至少答对一题的概率为0.88，用X表示小强答对题的数目．（Ⅰ）求小强答对第一题的概率；（Ⅱ）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）设事件A表示“答对第一题”，事件B表示“答对第二题”，事件C表示“答对第三题”，由已知得，由此能求出小强答对第一题的概率．（Ⅱ）由已知得，X=0，1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．解答：解：（I）设事件A表示“答对第一题”，事件B表示“答对第二题”，事件C表示“答对第三题”，由已知得，解得P（A）=，P（B）=，P（C）=，∴小强答对第一题的概率为．（Ⅱ）由已知得，X=0，1，3，P（X=0）=[1﹣P（A）][1﹣P（B）][1﹣P（C）]=1﹣0.88=，P（X=1）=P（A）[1﹣P（B）][1﹣P（C）]+P（B）[1﹣P（A）][1﹣P（C）]+P（C）[1﹣P（A）][1﹣P（B）]=，P（X=2）=P（A）P（B）[1﹣P（C）]+P（A）[1﹣P（B）]P（C）+[1﹣P（A）]P（B）P（C）=，P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=，X 0 1 2 3PEX==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．22．（12分）设椭圆C：过点（1，），F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且离心率（1）求椭圆C的方程．（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆C过点（1，），且离心率，可得，解出即可；（2）由（1）可得：左顶点A（﹣2，0），右焦点（1，0）．由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率计算公式可得，即，代入化简整理即可得出．解答：解：（1）∵椭圆C：过点（1，），且离心率，∴，解得，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可得：左顶点A（﹣2，0），右焦点（1，0）．由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由题意可得△＞0．∴，．∵，∴，化为2k（x1﹣1）（x2+2）+2k（x2﹣1）（x1+2）+（x1+2）（x2+2）=0，整理为（4k+1）x1x2+（2k+2）（x1+x2）+4﹣8k=0．代入得+4﹣8k=0，整理为k2﹣2k=0，解得k=0或2．k=0不满足题意，应舍去．故k=2，此时直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题WORD版含答案
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题（考试范围：必修1第一章、第二章 适用班级：高一学年）一、选择题（每小题4分，共48分） 1.设集合{}{}8,7,5,48,6,5,3==B A ，,则=B A ------------------------（ ）A .{}8,5B .{}8,7C .{}3,5D .{}6,4 2.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==>==1,)21(1,log 2x y y B x x y y A x，,则B A ⋃=--------------------------------------------------------------（ ）A .{}10<<y yB .{}0>y yC .{}0<y y D .φ 3.若集合{}1x 2x A <<-=，{}2x 0x B <<=，则UAC B =-------------（ ） A .{}1x 1x <<- B .{}1x 2x <<- C .{}02≤<-x xD .{}1x 0x <<4.设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛381-，，则a 的值------------( ) A.2 B. –2 C.–12 D. 125.若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx ,上述函数 是幂函数的个数是-----------------------------------------------------（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.函数y=x 2+x+2单调减区间是------------------------------------------（）A.[-21,+∞]B.（-1，+∞）C.（-∞，-21） D.（-∞，+∞） 7.若,a b 是任意的实数,且a b >,则--------------------------------------（ ） A.22b a > B.1<a b C. lg()0a b -> D.b a )21()21(< 8.函数y ＝xln(1－x)的定义域为----------------------------------------（ ）A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]9.以下是定义域为R 的四个函数,奇函数的为-----------------------------（ ）A ．y ＝x 3 B ．y ＝2x C ．y ＝x 2＋1 D ．2x y =10.3log 9log 28的值是------------------------------------------------------（ ） A.1 B.0 C.-1 D.32 11.如果指数函数x a y )2(-=在R x ∈上是减函数，则实数a 的取值范围是----------------------------------------------------------------------（ ） A.2>a B.3<a C.32<<a D.3>a12.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的2倍，则a = ----------------------------------------------------------------------（ ） A ．42B ．22C ．41D ．21二、填空题（每空4分，共16分） 13.函数()f x =的定义域为 14.函数,x log )x (f 21=(1>x )的值域15.若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则=a16.已知函数()f x =21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩ ，若()f x =10，则x=哈32中2014～2015学年度高一上学期期中考试数学试题答题卡一、选择题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13． __ __ 14. 15. 16. 三、解答题（共36分）17.(8分)计算下列各式（式中各字母均为正数）： )y x 6()y x 3(x 4)1(3221314141----÷- )16(log log )2(2218.（8分）若m x m m x f m m,)22()(122---+=为何值时，)(x f 是：（1）二次函数（2）幂函数19.（10分）求下列函数的定义域。
黑龙江高二高中数学期中考试带答案解析
黑龙江高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．2.求下列函数的导数：（1）（2）3.设复数，试求取何实数值时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第四象限．4.设命题p：实数x满足x2－4Ax＋3A2<0，其中A.>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.(1)若A＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数A的取值范围．5.设函数．（1）求函数的单调区间；（2）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当时．证明：．二、选择题1.设集合，则= ()A．B．C．D．2.化简后的结果为（）A．B．C．D．3.若函数，则（）A．B．C．D．4.若在处可导，则（ ）A ．B ．C ．D ．不一定存在5.若曲线y ＝在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( ) A ．或B ．C ．D ．6.下列函数中,在上为增函数的是 （ ）A ．B ．C ．D ．7.已知是定义在内的可导函数，则“”是“在上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.过点(0,1)且与曲线y ＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x －y -4＝09.若函数的图象与直线相切，则（ ） A ．B ．C ．D ．10.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题1.函数在点处的切线斜率为________．2.设函数f (x )＝6x 3＋3(A.＋2)x 2＋2A.x .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数A.的值为________．3.已知不等式，照此规律，总结出第-1个不等式为________．4.直线＝分别与曲线＝2(＋1)，＝＋ln 交于A ，B ，则|AB|的最小值为________．黑龙江高二高中数学期中考试答案及解析一、解答题1.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．【解析】（1）第一步，先求函数的导数，第二步，再求，根据导数的几何意义，，最后代入直线方程，就是所求的切线方程；（2）设切点，首先求在切点处的切线方程，即求和，然后因为切线过点，所以将原点代入切线方程，转化为关于的方程，求出切点，最后再整理切线方程.试题解析：（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为．【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。
黑龙江省哈尔滨三中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题
哈三中2015—2016 学年度上学期高二第一学段考试数学(理) 试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2、双曲线22148x y -=的实轴长是（ ） A ．22 B ．4 C ．42 D ．83、圆()2224x y ++=与圆()()22219x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4、若双曲线22213y x a -=（0a >）的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．45、设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为1F 、2F ，此双曲线上一点N 满足12F F N ⊥N ，则12F F ∆N 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 6、直线2550x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．67、已知1F ，2F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点．在1F ∆A B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38、若点P 是抛物线24x y =上一动点，则点P 到直线230x y --=和x 轴的距离之和的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．2D 51-9、已知集合(){,x y y A ==，集合(){},2x y y x a B ==+，且A B =∅，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．()(),13,-∞-+∞C ．⎡-⎣D ．()(),25,-∞-+∞ 10、已知直线1y kx =-和双曲线221x y -=的右支交于不同两点，则k 的取值范围是（ ）A ．(B ．()()11,2-C ．(D ．()()()11,11,2--11、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则F OP ⋅P 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上存在一点P 满足F 2π∠AP =，F 为椭圆的左焦点，A 为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13、若经过点(的双曲线的渐近线方程为2y x =，则双曲线的标准方程为 ． 14、圆224240x y x y ++-+=上的点到直线1y x =-的最小距离是 ．15、已知圆1C :2240x y x ++=，圆2C :224600x y x +--=，动圆M 和圆1C 外切，和圆2C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．16、设直线()1y k x =+与抛物线24y x =相交于M 、N 两点，抛物线的焦点为F ，若F 2F M =N ，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）已知圆C 过点()1,4A ，()3,2B ，且圆心在直线30x y +-=上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若点(),x y P 在圆C 上，求x y +的最大值．18、（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为1．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若斜率为12的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且2AB =，求该直线的方程．19、（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点()F 2,0，且F 到双曲线的一条渐近线的距离为1．（I ）求双曲线C 的方程；（II ）若直线:l 2y kx =+与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且2OA⋅OB >（O 为原点），求k 的取值范围．20、（本小题满分12分）已知∆ABP 的三个顶点都在抛物线C:24x y =上，F 为抛物线C 的焦点．（I ）若F 3P =，求点P 的坐标；（II ）若点()2,1P ，且PA ⊥PB ，求证：直线AB 过定点．21、（本小题满分12分）已知焦点为()0,1，()0,1-的椭圆C 与直线:l 1y x =-+交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为2．焦点在y 轴上的椭圆E 过定点()1,4，且与椭圆C 有相同的离心率．过椭圆C 上一点作直线y kx m =+（0m ≠）交椭圆E 于M ，N 两点．（I ）求椭圆C 和椭圆E 的标准方程；（II ）求∆OMN 面积的最大值．22、（本小题满分12分）若过点()1,0M 作直线交抛物线C:2y x =于A ，B 两点，且满足λAM =MB ，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l ，2l 的交点为N ． 参考公式：过抛物线22y px =上任一点()00,x y 作抛物线的切线，则切线方程为 ()00yy p x x =+．（I ）求证：点N 在一条定直线上；（II ）若[]4,9λ∈，求直线MN 在y 轴上截距的取值范围．2015-2016高二考试数学(理科)答案一、选择题1-5 CBBBD 6-10 CADDA 11-12 CC二、填空题 13.191222=-y x 14.122-15. 1212522=+y x 16.322± 三、解答题17.（1）设圆心坐标为（a,b)，则222222(1)(3)(3)(2)30a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪+-=⎩解得：1,2,2a b r ===，故圆的方程为：4)2()1(22=-+-y x（2）令z ＝x ＋y ，即y x z =-+，当这条直线与圆相切时，它在y 轴上的截距最大或最小， 可求得最大值为：223+18. （1）设焦点为（c ，0），因为过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为1，所以，2222221412c a bc a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，解得：2,1a b == 故椭圆方程为：1422=+y x（2）072=+-y x ，072=--y x19. （1）双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，则22222221c c a b b b a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪+⎩，解得：3,1a b ==故双曲线的标准方程为：1322=-y x （2）)315,33()33,315( -- 20．（1）抛物线为焦点为（0,1），准线为y ＝－1，因为｜PF ｜＝3，所以，点P 到准线的距离为3，因此点P 的纵坐标为2，纵坐标为22±，所以，P 点坐标为)2,22(±（2）)5,2(-21. （1） 依题意，可设椭圆方程为22221y x a b+=，将直线1y x =-+代入椭圆方程，得：，22222222()2a b x b x b a b +-+-＝0 则212222x x b a b +=+，2121222122y y x x a a b++=-=+， 所以，M （222b a b +，222a a b+） 直线OM 的斜率为2，可得：222a b = 又221c a b c==+解得b=1，2a =，所以，椭圆方程是12:22=+x y ； 1918:22=+x y E （2）422.（1）1-=x（2）]32,83[]83,32[ --。
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共48分）1．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点 的距离为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．72．抛物线y =-x 2 的焦点坐标为（ ）A ．(0,41) B ． (0, -41) C ．(41, 0) D ． (-41, 0) 3．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值（ ） A ．738 B ．316 C ．38 D ．73164．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x5．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 6．双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．237．设k>1，则关于x ，y 的方程(1-k) x 2+ y 2=k 2-1所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线 8 231y x -=所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分9椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．4510 抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82=B ．y x 82-=C ．y x 162=D ．y x 162-=11 如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ） A ．21 B ．33 C ．23D ．312. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） A 03222=--+x y xB 0422=++x y xC 03222=-++x y xD 0422=-+x y x二、填空题（每空4分，共16分）13. 椭圆1422=+y m x 的一个焦点坐标是（0，1），则m= ． 14. 椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________．15. 双曲线x 2-42y =1截直线y =x +1所得弦长是 ． 16．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________ ．哈32中2014～2015学年度上学期中考试数学（理）试题答题卡一、 选择题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分。
黑龙江省哈师大附中高二数学上学期期中试题 理
EA DCB PF哈师大附中2014-2015学年度高二上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程是（ ）A ．22142x y +=B ．22142y x +=C ．221164y x +=D ． 221164x y +=2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （ ） A ．35 B ．53 C ．1 D ． 23．在空间中，下列命题正确的个数是（ ）①平行于同一直线的两直线平行 ②垂直于同一直线的两直线平行 ③平行于同一平面的两直线平行 ④垂直于同一平面的两直线平行 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )5．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ． 26．正方体AC1中，点P 、Q 分别为棱A1B1、DD1的中点， 则PQ 与AC1所成的角为( )A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o7．在三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，∠BAC＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、 BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦 值为( )A ．15B ．25C ．55D ．2558．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M 的坐标为（ ）侧视图 正视图A ．()0,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,29．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+10．P 为椭圆22194x y +=上的一点， 12,F F 分别为左、右焦点，且1260,F PF ∠=o则12PF PF ⋅=（ ）A ．83B ．163 C ．433 D ． 83311．已知(2,1)是直线l 被椭圆221164x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是（ ）A ．240x y +-=B ．20x y -=C ．8100x y +-=D ． 860x y -+=12．从双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a-=-C ．MO MT b a-<- D.不确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知过抛物线x y 62=焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 . 14．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程为 .15．在四面体ABCD 中，1,23,3,2,,2AB AD BC CD ABC DCB π====∠=∠=DC 1B 1A 1CBA则二面角A BC D --的大小为 .16．若抛物线x y 42=的焦点是F ，准线是l ，则经过两点F 、(4,4)M 且与l 相切 的圆共有 个.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）已知抛物线24x y =，直线2y x =+与抛物线交于,A B 两点（Ⅰ）求OA OB u u u r u u u rg的值； （Ⅱ）求OAB ∆的面积.18. （本题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，2π=∠ABC ，D 是棱AC 的中点，且21===BB BC AB . （Ⅰ）求证：1AB //平面D BC 1； （Ⅱ）求异面直线1AB 与1BC 所成的角.19. （本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,AB AD ==平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）点Q 为线段PB 的中点，求直线QC 与平面PACCDBA MEN20. （本题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为)F ，且椭圆C过点12P ⎫⎪⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，与直线()x m m a =>交于M 点，若直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列，求m 的值.21. （本题满分12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，3π=∠DAB ，2=AD ，1=AM ， E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE NC ；（Ⅱ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角D EC P --的大小为6π？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，请说明理由.22. （本题满分12分）已知1m >，直线l ：2102x my m --=，椭圆C ：2221x y m +=的左、右焦点分别为12,F F ，（Ⅰ）当直线l 过2F 时，求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，△12AF F 、△12BF F 的重心分别为G 、H ，若原点ABCA 1B 1C 1DO在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. 哈师大附中2014-2015学年度高二上学期期中考试 数学答案（理科） 一、选择题：DCBCA DCDCB AB 二、填空题：13．45o 或135o 14．y x= 15．60o 16．2三、解答题： 17．解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x yB x y2244802x y x x y x ⎧=∴--=⎨=+⎩，0∆>显然成立∴121248x x x x +=⎧⎨⋅=-⎩， ……2分21212()416x x y y ⋅∴⋅== ……4分1212844OA OB x x y y ∴=⋅+⋅=-+=-u u u r u u u r g ……5分（Ⅱ）原点O 到直线2y x =+的距离d ==， ……7分12AB x =-==， ……9分1122OAB S d AB ∆∴===……10分18．解：（法一）（Ⅰ）连结1CB 交1BC 于点O ，Q 侧棱1A A ⊥底面ABC ∴侧面11BB C C是矩形，O ∴为1B C 的中点，且D 是棱AC 的中点，1//AB OD ∴， ……4分∵OD ⊂平面D BC 1，1AB ⊄平面D BC 1∴1//AB 平面D BC 1 ……6分（Ⅱ）1//AB ODQ ，∴DOB ∠为异面直线1AB 与1BC 所成的角或其补角． ……8分Q2π=∠ABC ，21===BB BCAB 1BD OB ∴===OBD ∆∴为等边三角形，60DOB ∴∠=o ，∴异面直线1AB 与1BC 所成的角为60o . (12)z yxDC 1B 1A 1C BAxyzPQBCDA分（法二）（Ⅰ）以B 为原点，1,,BC BA BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，11(0,2,0),(0,0,2),(0,0,0),(1,1,0),(2,0,2)A B B D C ，∴1(2,0,2),(1,1,0)BC BD =u u u u r u u u r设(,,)n x y z =r为平面D BC 1的一个法向量，1022000n BC x z x y n BD ⎧=+=⎧⎪∴⎨⎨+==⎩⎪⎩r u u u u r g r u u u r g 令1,x =则(1,1,1)n =--r……3分11(0,2,2),0220AB AB n =-=+-=u u u r u u u r r g ∴1AB n ⊥u u u r r ，又Q1AB ⊄平面D BC 1∴1//AB 平面D BC 1 ……6分（Ⅱ）Q11(0,2,2),(2,0,2)AB BC =-=u u u r u u u u r， ……8分1111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ∴<>===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r∴异面直线1AB 与1BC 所成的角为60o. ……12分19．（法一）（Ⅰ）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，()()()()()()2,0,2,0,22,2,0,0,0,4,0,0,0,22,0,00,4Q C A P D B则()()()()2,22,0,0,22,2,4,0,0,0,22,4-===-= …3分00222224,0=+⨯+⨯-=⋅=⋅∴,,AC BD AP BD ⊥⊥∴又A AC AP =I ，⊥∴BD 平面PAC ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面PAC 的一个法向量为()0,22,4-=， ……8分设直线QC 与平面PAC 所成的角为θ，则3224128sin ===θ，所以直线QC 与平面PAC 所成的角的正弦值为32． ……12分（法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，∵CD∥AB，∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2Rt△DAB 中，DA=，AB=4，∴DB=13DB=3OHEAD CBQP同理，OA=23CA=，∴DO 2+OA2=AD2，即∠AOD=90o，∴BD⊥AC ……3分又PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥BD ……5分 由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC ……6分（Ⅱ）解：连PO ，取PO 中点H ，连QH ，则QH ∥BO ，由（Ⅰ）知，QH ⊥平面PAC ∴∠QCH 是直线QC 与平面PAC 所成的角． ……8分由（Ⅰ）知，QH=12BO=，取OA 中点E ，则HE=12PA=2，又EC=12OA+OC=Rt △HEC 中，HC2=HE2+EC2=283∴Rt △QHC 中，QC=sin ∠QCH=3QH QC=∴直线QC 与平面PAC 所成的角的正弦值为32． ……12分20．解：（Ⅰ）由已知c =223,a b ∴-=因为椭圆过12P ⎫⎪⎭，所以223114a b +=解得1,1a b ==，椭圆方程是2214x y += ……4分（Ⅱ）由已知直线l 的斜率存在，设其为k ， 设直线l方程为(y k x =，()()1122,,,,A x y B x y易得((),M m k m -由(()22222214124014y k x k x x k x y ⎧=⎪⇒+-+-=⎨⎪+=⎩，所以212221221412414x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……6分11PAy k -=21PB y k -=，(11PM k m k k --==……8分 而PA PBk k +=11y -21y -121111()(()y x x y -+--=xyzCDBA ME N ()122112121)y x y x x x y y +-++=2k =……10分因为PAk 、PM k 、PBk 成等差数列，故2PA PB PMk k k +=22k k -=，解得3m =……12分21．（Ⅰ）证明：菱形ABCD 中，AD=2，AE=1∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …① ……1分∵平面ADNM⊥平面ABCD ，交线AD ，ND⊥AD，ND ⊂平面ADNM ，∴ND⊥平面ABCD ， ∵DE ⊂平面ABCD ，∴ND⊥DE …② ……2分 由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC∴DE⊥NC ……4分 （Ⅱ）解：设存在P 符合题意．由(Ⅰ)知，DE 、DC 、DN 两两垂直，以D 为原点，建立空间直角坐标系D-xyz （如图）， 则D (0,0,0),A 1,0)-,E ,C (0,2,0),P 1,)h -(01)h ≤≤．∴(0,1,),(2,0)EP h EC =-=u u u r u u u r，设平面PEC 的法向量为n (,,)x y z =，则020EP y hz EC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u u ur ，令2x =，则平面PEC 的一个法向量为n(2h = ……7分取平面ECD 的法向量m (0,0,1)=， ……9分∴coscos6π=,<>mn ===，解得h =[0,1]∈，即存在点P ，使二面角P-EC-D 的大小为6π，此时AP=． ……12分22．解：（Ⅰ）由已知c =，l 交x 轴于2,02m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为2(,0)F c，22m =，得m = …3分（Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 2(,0)F c ，2(,0)F c因为1212,AF F BF F ∆∆的重心分别为,G H ，所以1122,,,,3333x y x y G H ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ nn因为原点在以线段GH 为直径的圆内，所以12120,0OG OH x x y y <⇒+<u u u v u u u v g ……5分22222221041m x m y m y my x y m ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⇒++-=⎨⎪+=⎪⎩，∴2280,8m m ∆=-+<<即 ① …6分 ∴212124,28m m y y y y -+=-=……7分∵()22121212[]24m m x x m y y y y =+++，∴()3421212(1)024m m m y y y y ++++<，即24m <…② …10分 由1m >及①②，得实数m的取值范围是()1,2. ……12分。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨一中高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥05．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=．15．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1（a＞0）的实轴长2a、虚轴长：2、焦距长2，成等差数列，所以：4=2a+2，解得a=．双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：D．4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥0【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，对称轴x=a∴a≥2，根据充分必要条件的定义可判断：a≥0是必要不充分条件，故选：D．5．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对【解答】解：根据抛物线的方程可知准线方程为x=，由抛物线的性质有|FA|=|MA|，∴∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，∵AM∥x轴∥BN，∴∠MFO=∠AMF∴∠AFO=∠MFO，同理可知∠BFN=∠NFO∴∠MFN=∠MFO+∠NF0=90°故选：C．6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，①正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，②正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵方程x2﹣2x+m=0有实根⇔△=4﹣4m≥0⇔m≤1，∴原命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”是假命题，∴③错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵命题“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，∴④错误．∴真命题的个数是2，故选：B．7．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F 1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选：D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知焦点F（0，），准线y=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH||PM|=|PH|﹣=|PF|﹣|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（﹣，舍去．当P重合于P0时，①可取得最小值，可得|FA|=10．则所求为|PM|+|PA|=故选：B．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解得PF1=2+，PF2=2﹣，F1F2=2，由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，则三角形PF1F2为直角三角形，则面积为：=1，故选：C．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．【解答】解：由题意设F（），过F的弦中垂直于x轴的弦最短；∴x=时，y=；∴最短弦长为．故答案为：．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=24．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=﹣12x，∵2p=12，p=6，∵|AB|=x A+x B+p=x A+x B+6，∵若线段AB的中点M的横坐标为﹣9，∴（x A+x B）=﹣9，∴x A+x B=﹣18，∴|AB|=18+6=24．故答案为：2415．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．【解答】解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；∵|PF1|+|PF2|=2a，∴由|PF1|=3|PF2|得，；∴，F2（c，0）；∴，整理得：a=2，或a=（舍去）；∴a2=8b2=8a2﹣8c2；∴7a2=8c2；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），∵圆C与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，∴圆心，到直线4x+3y﹣29=0的距离d=r，即=5，即|4m﹣29|=25，∵m为整数，∴m=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25；（2）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，∵直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，∴△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得：a＜0或a＞，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入y2=4x消去x得y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=﹣4∴•=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2=﹣4t2+4t2+1﹣4=﹣3．（Ⅱ）设P（x，y），则|PQ|===，∴x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，此时，，|PQ|min=4．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设，解得a2=3．故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得4x2+6mx+3m2﹣3=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，解得：﹣2＜m＜2．由韦达定理可知：，从而．∴，又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则，即m=2，因为：﹣2＜m＜2．所以不存在实数m使|AM|=|AN|．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．【解答】证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC；QR∥BC且QP=BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ⊄面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，a），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），Q（0，a）．面PBC的法向量为=（0，0，a），设为面PQC的一个法向量，由，cos＜，∴二面角B﹣PC﹣Q的大小为arccos．（12分）21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．【解答】解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（﹣x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴=（x，y﹣b），=（a﹣x，﹣y），=（﹣x，y），，∵且，∴，解得点P的轨迹M的方程为．（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx﹣2k，联立，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）（x1﹣2）（x2﹣2）=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）（﹣+4）==+，∴当k2→∞，•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．∴•的取值范围是（，1]．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．即恒成立．x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1==．又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，解得a＞或a＜（舍去），即a＞，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
哈尔滨市高二上学期期中数学试卷(理科)C卷(考试)
哈尔滨市高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）经过点的直线的倾斜角为，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·成都月考) 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A .B .C .D .3. （2分）经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x轴上的截距为（）A .B .C .D . 24. （2分）圆C：x2+y2=1关于直线x=2对称的圆的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2 ，则a的值为（）A . -3B . 2C . ﹣3或2D . 3或﹣26. （2分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知圆M的方程为2x2+2y2+4x﹣5y=0，则下列说法中正确的是（）A . 圆M的圆心为（﹣1，）B . 圆M的半径为C . 圆M被x轴截得的弦长为D . 圆M被y轴截得的弦长为7. （2分）已知集合，则的元素个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为时，a的值等于（）A .B .C .D .9. （2分）函数恰有两个不同的零点，则a可以是（）A . 3B . 4C . 6D . 710. （2分） (2017高一上·洛阳期末) 已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2= 上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2= 上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A . 2B .C . 3D . 411. （2分） (2017高一下·西安期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A . 4B . ﹣5C . ﹣6D . ﹣812. （2分）在棱长为1的正方体AC1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点（含边界），若动点P 始终满足PE⊥BD1 ，则动点P的轨迹的长度为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是________14. （1分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为________15. （1分） (2017高二上·中山月考) 已知，其中，满足，且的最大值是最小值的4倍，则实数的值是________．16. （1分）经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的方程是________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2016高一下·正阳期中) 已知直线l1：3x+4y+1=0和点A（1，2），设过A点与l1垂直的直线为l2 ．（1）求直线l2的方程；（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积．18. （10分） (2016高二上·绍兴期中) 已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．19. （5分） (2018高一下·六安期末) 某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件）产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件）200300计划最大资金额3000元产品重量（千克/件）105最大搭载重量110千克预计收益（万元/件）160120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20. （5分）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C（2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．21. （5分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x+2y+3=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），分别求点A和点C的坐标．22. （5分）已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、。
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高三数学上学期期中试题 理
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题选择题（每题5分，共计60分）1.已知集合}{6,4,2=A ，若A a ∈,则A a ∈-6,那么a 的值为 （ ） A. 2 B. 2或4 C. 4 D.02.已知集合{}是平行四边形x x A =，{}是矩形x x B =，{}是正方形x x C =,{}是菱形x x D =,则（ ）A. B A ⊆B.B C ⊆C. C D ⊆D.D A ⊆ 3.集合{}0lg φx x M =，{}42≤=x x N ，则=⋂N M （ ）A. (1,2)B. [1,2)C.(1,2]D.[1,2]4.命题“1tan 4==απα，则若”的逆否命题是 （ ）A.1tan 4≠≠απα，则若 B.1tan 4≠=απα，则若C.41tan παα≠≠，则若 D.41tan παα=≠，则若5.已知命题p ：R x x ∈∀21,，()()[]12x f x f -0)(21≥-x x ，则p ⌝是 （ ） A.R x x ∈∃21,，()()[]12x f x f -0)(21≤-x xB.R x x ∈∀21,，()()[]12x f x f -0)(21≤-x xC.R x x ∈∃21,，()()[]12x f x f - 0)(21πx x -D.R x x ∈∀21,，()()[]12x f x f -0)(21πx x -6．下列命题中，真命题是 （ ） A.,00≤∈∃x e R x B.22,x R x x φ∈∀C. 0=+b a 的充要条件是1-=b aD.1,1φφb a 是1φab 的充分条件已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为 真命题的是 （ ） A. q p ∨⌝)( B. q p ∧ C. )()(q p ⌝∧⌝ D.)()(q p ⌝∨⌝8. 函数x xy lg 2-=的定义域是 （ ）A.)2,0(B.)2,1()1,0(⋃C. (]2,0D.()(]2,11,0⋃9.一位母亲记录了儿子39岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为93.7319.7+=∧x y ，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）A. 身高一定是145.83cmB.身高在145.83cm 以上C. 身高在145.83cm 左右D.身高在145.83cm 以下 已知呈线性相关关系的变量y x ,之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点（ ）A. (0.1,2.11)B.(0.2,2.85)C.(0.3,4.08)D. (0.275,4.7975)11.对于两个变量y 和x 进行线性相关检验，已知n 是观察值组数，r 是相关系数，且已知：①9533.0,7==r n ；②301.0,15==r n ，③9991.0,17==r n ，④9950.0,3==r n ，则变量y 和x 具有线性相关关系的是 （ ）A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D.③和④12．若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）A.（0，43]B. （0，43)C.[0，43]D.[0，43)二、填空题（每题5分，共计20分）13.已知一次函数)(x f 满足23))((+=x x f f ，则函数)(x f 的解析式为 。
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高二数学上学期期中试题新人教A版
（考试范围：必修二第三章、必修三第一章 适用班级：高二学年）一、 选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列直线中，斜率为43-，且不经过第一象限的是( ) A ．3x ＋4y ＋7=0 B ．4x ＋3y ＋7=0 C ．4x ＋3y-42=0 D ．3x ＋4y-42=0 2．程序框图中的三种基本逻辑结构不包括（ ）A ．顺序结构 B. 条件结构 C. 判断结构 D.循环结构 3．当3=a 时，下面的程序段输出的结果是（ ） IF 10a < THEN2y a =*ELSEy a a =*PRINT yA ．9B ．3C ．10D ． 6 4．过点P （4，－1）且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是（ ） A ．4x ＋3y －13＝0 B ．4x －3y －19＝0 C ．3x －4y －16＝0 D ．3x ＋4y －8＝0 5. 圆22(1)1x y -+=与直线3y =的位置关系是（ ） A ．相交 B. 相切 C.相离 D.直线过圆心 6．求直线072=+-y x 与直线1=+y x 的交点坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（-2，3） C ．（4，-3） D ．（-3，4） 7．程序：若执行程序时输入10,12,8，则输出的结果为( ) A ．10 B ．12C ．8D ．148．若圆1)2()2(:221=-++y x C ，16)5()2(:222=-+-y x C ，则C 1和C 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切9．图（1）中所示的是一个算法的流程图，已知31=a ，输出的7b =,则2a 的值是( ) A ．10 B.11 C.12 D.13x y O x y O x y O xyO（1） （2） （3）10. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．二 填空题：（本大题共4小题，每空4分，共16分）11．过点（－1，2）且倾斜角为450的直线方程是_________12．直线 y = 2x 关于 x 轴对称的直线方程是_______________.13．某地区有荒山2200亩,从2009年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每年比上一年多植树50亩.如图,某同学设计了一个程序框图计算到哪一年可以将荒山全部绿化(假定所植树全部成活),则程序框图（2）中A 处应填上 14．执行的程序框图（3）,如果输入a=4,那么输出的n 的值为哈32中2013～2014学年度上学期期中考试高二数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
黑龙江哈尔滨市第三十二中学高三上学期期中考试数学(理)试题.docx
哈32中2015～2016学年度上学期期中考试数学（理）试题（考试范围：必修1 适用班级：高三学年理科班）一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共60分）1. 下列四个集合中，是空集的是（ ）A }33|{=+x xB },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C }0|{2≤x x D },01|{2R x x x x ∈=+-2. 若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A 3个 B 5个 C 7个 D 8个3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ()()A CBC U I UB ()()A B AC U I UC ()()A B B C U I UD ()A B C U I4．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.下列说法错误的是 （ ） A ．命题“若3则,0322=≥--x x x”的逆否命题是“若 034则,32<+-≠x x x ”B ．”0”是“1“>>x x 的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p,q 均为假命题 D”01均有,“:”，则01使得,“:20200≥++∈∀<++∈∃⌝x x R x p x x R x p6．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A2x y = B xx y 2= C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D xa a y log = 7．函数y x =3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( ) A x 轴 B y 轴 C 直线y x = D 原点中心对称8.下列函数中是奇函数的有几个（ ）①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=-A 1B 2C 3D 49．方程62ln =+x x 的解一定位于区间（ ）A ()2,1 B ()3,2 C ()4,3 D ()5,4 10. 三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A 60.70.70.7log 66<< B 60.70.70.76log 6<<C 0.760.7log 660.7<< D 60.70.7log 60.76<<11. 函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）A 递增且无最大值B 递减且无最小值C 递增且有最大值D 递减且有最小值12. 对于下列四个命题();3121,,0:001x x x p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈∃ ();log log ,1,0:03102102x x x p >∈∃ ();log 21,,0:213x x p x>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈∀ .log 21,31,0:314x x p x<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀其中的真命题是 （ ）A 31,p pB 41,p pC 32,p pD 42,p p二、填空题（每空5分，共20分）13. 函数y =________________________14. 若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为____________.15. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________________________16.函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝__________________________哈32中2015～2016学年度上学期期中考试数学（理）试题答题卡一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
黑龙江省哈尔滨市三十二中学2013-高二上学期期中考试数学试题
（考试范围：必修二第三章、必修三第一章 适用班级：高二学年）一、 选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列直线中，斜率为43-，且不经过第一象限的是( ) A ．3x ＋4y ＋7=0 B ．4x ＋3y ＋7=0 C ．4x ＋3y-42=0 D ．3x ＋4y-42=0 2．程序框图中的三种基本逻辑结构不包括（ ）A ．顺序结构B . 条件结构C . 判断结构D .循环结构 3．当3=a 时，下面的程序段输出的结果是（ ） IF 10a < THEN2y a =*ELSEy a a =*PRINT yA ．9B ．3C ．10D ． 6 4．过点P （4，－1）且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是（ ） A ．4x ＋3y －13＝0 B ．4x －3y －19＝0 C ．3x －4y －16＝0 D ．3x ＋4y －8＝0 5. 圆22(1)1x y -+=与直线3y x =的位置关系是（ ） A ．相交 B . 相切 C .相离 D .直线过圆心 6．求直线072=+-y x 与直线1=+y x 的交点坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（-2，3） C ．（4，-3） D ．（-3，4） 7．程序：若执行程序时输入10,12,8，则输出的结果为 ) A ．10B ．12C ．8D ．14x yO x y O x y O xyO8．若圆1)2()2(:221=-++y x C ，16)5()2(:222=-+-y x C ，则C 1和C 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切9．图（1）中所示的是一个算法的流程图，已知31=a ，输出的7b =,则2a 的值是( ) A ．10 B .11 C .12 D .13（1） （2） （3） 10. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 二 填空题：（本大题共4小题，每空4分，共16分） 11．过点（－1，2）且倾斜角为450的直线方程是_________ 12．直线 y = 2x 关于 x 轴对称的直线方程是_______________.13．某地区有荒山2200亩,从2009年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每年比上一年多植树50亩.如图,某同学设计了一个程序框图计算到哪一年可以将荒山全部绿化(假定所植树全部成活),则程序框图（2）中A 处应填上 14．执行的程序框图（3）,如果输入a=4,那么输出的n 的值为哈32中2013～2014学年度上学期期中考试高二数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
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2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共48分）1．（4分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．52．（4分）抛物线y=﹣x2的焦点坐标为（）A． B．C． D．3．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则|AB|的值为（）A．B．C．D．4．（4分）以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是（）A．x2+y2=5 B．x2+y2=16 C．x2+y2=4 D．x2+y2=255．（4分）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．6．（4分）双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．7．（4分）设k＞1，则关于x，y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（）A．长轴在x轴上的椭圆B．长轴在y轴上的椭圆C．实轴在x轴上的双曲线D．实轴在y轴上的双曲线8．（4分）x=表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分9．（4分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．10．（4分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P（m，1）到焦点距离为5，则抛物线方程为（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．x2=16y D．x2=﹣16y11．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．12．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0二、填空题（每空4分，共16分）13．（4分）椭圆+=1的一个焦点为（0，1）则m=．14．（4分）椭圆的焦点是F1（﹣3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为．15．（4分）双曲线x2﹣=1截直线y=x+1所得弦长是．16．（4分）若经过点P（﹣1，0）的直线与圆x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是．三、解答题（共4道大题，共36分）17．（9分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣7=0上并与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），求圆C的方程．18．（9分）求两焦点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），且经过点P（2，）的椭圆方程．19．（9分）已知双曲线经过点M（，），且=1．（1）如果F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程；（2）如果离心率e=2，求双曲线方程．20．（9分）已知抛物线的准线为x=﹣（p＞0），顶点在原点，直线l：y=x﹣1过抛物线的焦点，并与抛物线交于A，B两点．求抛物线方程和弦长|AB|．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共48分）1．（4分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．2．（4分）抛物线y=﹣x2的焦点坐标为（）A． B．C． D．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故选：B．3．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则|AB|的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵倾斜角为，∴k=tan=，2p=4，=1，∴焦点（1，0），直线方程为y=（x﹣1），代入y2=4x，整理得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，抛物线的准线为x=﹣1根据抛物线的定义可知|AB|=x1+1+x2+1=，故选：B．4．（4分）以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是（）A．x2+y2=5 B．x2+y2=16 C．x2+y2=4 D．x2+y2=25【解答】解：弦心距是：，弦长为8，所以半径是5所求圆的方程是：x2+y2=25故选：D．5．（4分）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，圆心为A（﹣2，0），半径为1，．故选：C．6．（4分）双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b，c=，∴．故选：C．7．（4分）设k＞1，则关于x，y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（）A．长轴在x轴上的椭圆B．长轴在y轴上的椭圆C．实轴在x轴上的双曲线D．实轴在y轴上的双曲线【解答】解：∵k＞1，∴1﹣k＜0，k2﹣1＞0，方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1，即，表示实轴在y轴上的双曲线，故选：D．8．（4分）x=表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分【解答】解：∵x=k＞1，∴x2+3y2=1（x≥0）即，表示实轴在x轴上的椭圆一部分，故选：D．9．（4分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故选：B．10．（4分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P（m，1）到焦点距离为5，则抛物线方程为（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．x2=16y D．x2=﹣16y【解答】解：设抛物线方程为x2=2py（p＞0），由题意得，∴2p=16，∴抛物线方程为x2=16y，故选：C．11．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形如图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2易得∠BOC=60°此时=故选：D．12．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0故选：D．二、填空题（每空4分，共16分）13．（4分）椭圆+=1的一个焦点为（0，1）则m=3．【解答】解：∵椭圆+=1的一个焦点为（0，1），∴4﹣m=1，∴m=3．故答案为：3．14．（4分）椭圆的焦点是F1（﹣3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为．【解答】解：∵椭圆的焦点是F1（﹣3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=12，∴2a=12，2c=6，即a=6，c=3∴b2=36﹣9=27，∴椭圆的方程为．故答案为：．15．（4分）双曲线x2﹣=1截直线y=x+1所得弦长是．【解答】解：由，得3x2﹣2x﹣5=0，解得x=或x=﹣1，分别代入直线y=x+1得y=或y=0，所以弦的端点为（，），（﹣1，0），所以弦长为=，故答案为：．16．（4分）若经过点P（﹣1，0）的直线与圆x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是1．【解答】解：把P代入到圆方程中，左右两边相等，所以P在圆上，由圆心坐标为C（﹣2，1），得到，所以此直线的斜率为1，方程为y=x+1，令x=0得到y轴上的截距是1．故答案为：1三、解答题（共4道大题，共36分）17．（9分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣7=0上并与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），求圆C的方程．【解答】解：设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得，解得a=2，b=﹣3，r2=5，∴圆C的方程（x﹣2）2+（y+3）2=5．18．（9分）求两焦点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），且经过点P（2，）的椭圆方程．【解答】解：由已知得：2a==6，c=2，解得a=3，c=2，∴b2=9﹣4=5，∴椭圆方程为．19．（9分）已知双曲线经过点M（，），且=1．（1）如果F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程；（2）如果离心率e=2，求双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线标准方程为（a＞0，b＞0）．∵双曲线经过点M（，），且=1，F（3，0）为此双曲线的右焦点．∴c=3，a2=3，，解得b2=6．∴双曲线的方程为．（2）设双曲线的方程为或=1．∵=2，又=1．解得a=2，c=4．把点M（，）代入可得，解得b2=12．把点M（，）代入=1可得，解得b2=12．故所求的双曲线方程为：=1或．20．（9分）已知抛物线的准线为x=﹣（p＞0），顶点在原点，直线l：y=x﹣1过抛物线的焦点，并与抛物线交于A，B两点．求抛物线方程和弦长|AB|．【解答】解：由题意可得焦点（1，0），所以﹣=﹣1，所以P=2，所以抛物线方程为：y2=4x，所以，得x2﹣6x+1=0．|AB|=x1+x2+p=8．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。