(初三)解直角三角形复习
初三几何复习资料(解直角三角形
初三几何复习资料班级 姓名 座号第六章 解直角三角形重点、难点和关键：本章的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。
特殊锐角与其三角函数值之间的对应关系也很重要，应当牢记，即：已知特殊锐角，说出它的四个三角函数值；反过来，已知特殊锐角的三角函数值，说出这个角的度数。
锐角三角函数的概念，既是本章的难点，又是学好本章的关键。
只有正确了解锐角三角函数的概念，才能正确理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系来解直角三解形。
学习指导：了解锐角三解函数的概念，能够正确地应用sin A,cos A,tan A,cot A 表示直角三角形中两边的比，熟记30°，45°，60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角。
理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有知识来解某些简单的实际问题。
第一节 锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
初三解直角三角形知识点和练习题汇编
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：/C=90 = / A+Z B=90°2、 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、 勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a , b ,斜边长为c ,那么a 2+ b 2二c 2.即直角三角 形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a , b , c 有下面关系：a 2+ b 2= c 2,那么这个三角形是直角三角 形。
考点二、直角三角形的判定1有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。
(经 典直角三角形：勾三、股四、弦五) 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:(1) 确定最大边(不妨设为c )；(2) 若c 2= a 2 + /，则厶ABC 是以Z C 为直角的三角形;若a 2 + b 2v c 2,则此三角形为钝角三角形(其中 若a 2 + b 2>c 2,则此三角形为锐角三角形(其中4. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。
(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
(3) 用于证明线段平方关系的问题。
(4) 利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念1 如图，在△ ABC 中, Z C=90学习-----好资料c 为最大边); c 为最大边)①锐角A 的对边与斜边的比叫做Z A 的正弦，记为sinA , 即 sin A =.A 的对边 斜边②锐角A 的邻边与斜边的比叫做Z A 的余弦，记为cosA ,cos A 二斜边/砒对边 二B 的邻边/A 的邻边的对边③锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记为tanA ,即tanA 二/A 的邻边 b④锐角A 的邻边与对边的比叫做,A 的余切，记为cotA ，即co 心匚丽边=夕 2、 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做/ A 的锐角三角函数 3、 一些特殊角的三角函数值(1)互余关系:sinA=cos(90 ° — A), cosA=sin(90 ° — A);(2)平方关系：sin 2 A cos 2 A =15、锐角三角函数的增减性 当角度在0° ~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减 小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或 减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 1、 解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知 元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
《解直角三角形》中考复习
解直角三角形教学目标：（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
（2）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
（3）能利用已知三角函数值，进行计算和化简。
（4）了解正弦余弦和正切间的关系解决问题。
同时能在实际问题中找到直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题。
教学重点：用锐角三角函数解直角三角形。
教学难点：利用锐角三角函数解决实际问题。
教学过程：一、知识梳理1、锐角三角函数的定义2、特殊角的三角函数值3、解直角三角形4、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1视线铅垂线水平线（2）方位角（3）坡度：tan α=h/l5、同角三角函数之间的关系： Sin 2α+cos 2α=1tan α=aa cos sin6、互余两角的三角函数关系： sin(900-α)=cos α cos(900-α)=sin α7、函数的增减性：（00<α<900）（1）sin α,tan α的值都随着α的增大而增大 （2）Cos α的值随着α的增大而减小 二、典型例题 （一）基础检测1、 [2014·威海] 如图22－1，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )图22－1A.3 1010 B .12 C .13 D .10102、已知∠A 为锐角，sinA ＝1715，求cosA 、tanA 的值。
3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求∠A 的三角函数值。
（1）a=9 b=12 (2)a=5 b=124、在△ABC 中，AB=AC ＝4，BC=6，求∠B 的三角函数值。
5、如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA 的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍C.不变D.不能确定6、(2015·丽水）如图,点A 为∠α边上的任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下列用线段比表示cos α的值,错误．．的是( ) A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC（二）考点分类类型之一 求三角函数值例 [2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( )图23－1A.12B.55C.1010D.255类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用命题角度：1. 30°、45°、60°的三角函数值；2. 已知特殊三角函数值，求角度．例 1 [2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0，则∠C ＝________.例2（2015•绍兴）计算：1)21(41)1(45cos 2-+++-︒π练一练1、（2015·金华）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC，ADα(第6题)CD 分别相交于点G ，H ，则EFGH的值是【 】A.B. C.D. 22、（2015·湖州）如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD =2，tan ∠OAB =，则AB 的长是( ) A. 4 B. 2C. 8D. 4类型之三 解直角三角形 命题角度：利用三角函数解直角三角形；例1（2016丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B ,C ,E 在同一直线上.若BC=2,求AF 的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.例2（2015衢州）如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，60BAD ∠=︒，2623(第19题)则花坛对角线AC 的长等于【 】A. B. 6米 C. D. 3米例3（2016衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、拓展提高1、（2015绍兴）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。
直角指的是一个角度为90°的角。
二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。
3.直角三角形中的两个锐角互余。
4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。
三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。
性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。
2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。
性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。
3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。
性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。
四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。
a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。
a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。
3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。
中考数学复习——考点24解直角三角形
典例 3 某山的山顶 B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为 30°，山高 BC 为 100 米，点 E 距山脚 D 处 150 米，在点 E 处测得观光塔顶端 A 的仰角为 60°，则观光塔 AB 的高度是
A．50 米 C．125 米 【答案】A
B．100 米 D．150 米
D． 2 4
D． 3 34
6．如图是边长为 1 的小正方形组成的网格图，其中点 A，B，C 均为格点，则 sin∠BAC 为
A． 2 2
B． 5 5
C． 10 5
7．某水坝的坡度 i=1∶ 3 ，坡长 20m，则坝的高度为
A．10m
B．20m
C．40m
8．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为
2．【答案】A
【解析】∵sinα=cos60°= 1 ，∴α=30°．故选 A． 2
3．【解析】如图，过点 C 作 CH AB ，垂足为点 H ，
由题意，得 ACH 45 ， BCH 36 ， BC 200 ，
在 Rt△ BHC 中， sinBCH BH ，∴ sin36 BH ，
BC
200
10．（2018·兰州）如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 18 米，在 B 处，E 处分别测得 CD 顶部点 D 的仰角为 30°，60°，求 CD 的高度．（结果保留根号）
11．（2018·贵阳）如图①，在 Rt△ABC 中，以下是小亮探究 a 与 b 之间关系的方法： sin A sin B
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】D
【解析】∵sinA= 3 ，∴∠A=60°．故选 D． 2
2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin=∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α21 22 23cos α 23 22 21 tan α 33 13cot α31334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin22=+A A（3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
中考解直角三角形知识点整理复习(供参考)
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin=∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin22=+A A（3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
人教版九年级下册数学初三数学总复习 解直角三角形 (共27张PPT)
重难点突破 考点一：锐角三角函数
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是__________．
方法点拨 先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解 即可，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的 函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值.
考点梳理
考点三：解直角三角形的简单应用
4．如图2仰角是∠AOB，俯角是__∠__A__O_C___．
5．如图3方向角：OA：__北___偏__东__6__0_°____，OB： __东__南___方__向___或__南__偏___东__4__5_°______， OC：__正__东______， OD：__南__偏__西___2_0__°____．
∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，
∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4m，
∴AD＝
=
=4 (m)，
答：教学楼与旗杆的水平距离是4 (m).
重难点突破 考点三：解直角三角形的应用
解：(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°， ∠CAD＝60°，AD＝4 m， ∴CD＝AD·tan60°＝4 × =12(m)， 答：旗杆CD的高度是12m.
3．如图1解直角三角形的公式：
(1)三边关系：__a_2_＋___b_2_＝___c_2_____． (2)两锐角关系：__∠__A__＋__∠__B__＝__9__0_°___． (3)边角关系：sinA＝ ，sinB＝cosA＝ .tanA＝ ，
tanB＝ . 其中0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 (0°＜∠A＜90°)≈13(米)，Fra bibliotek重难点突破
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD=21AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念1、 如图，在△ABC 中，∠C=90°c a sin =∠=斜边的对边A A c bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aabcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.ACBD锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=AAcos sin 特殊角的三角函数值α sinα cosα tanα 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习直角三角形是指角度为90度的三角形。
在中考中，解直角三角形是一个重要的考点，需要掌握的知识点包括勾股定理、三角函数的定义和性质以及相关应用。
以下是解直角三角形的知识点整理和复习材料。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基础的定理，也是解题的基础。
勾股定理的表达式为：a²+b²=c²其中，a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
二、三角函数的定义和性质1.正弦函数正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边sinA的性质：（1）sinA在0°~90°区间内递增；（2）sinA在90°~180°区间内递减；（3）sinA在对称轴x=90°处对称。
2.余弦函数余弦函数的定义为：cosA = 邻边/斜边cosA的性质：（1）cosA在0°~90°区间内递减；（2）cosA在90°~180°区间内递增；（3）cosA在对称轴x=90°处对称。
3.正切函数正切函数的定义为：tanA = 对边/邻边tanA的性质：（1）tanA在0°~90°区间内递增；（2）tanA在90°~180°区间内递减；（3）tanA在对称轴x=90°处对称。
4.三角函数的相互关系正弦函数与余弦函数、正切函数的关系：（1）sinA = cos(90° - A)（2）cosA = sin(90° - A)（3）tanA = 1/cotA三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√32.45°角的三角函数值sin45° = cos45° = 1/√2, tan45° = 13.60°角的三角函数值sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3四、应用题1.判断直角三角形当三条边满足勾股定理时，即a²+b²=c²，可以判断为直角三角形。
初三 解直角三角形的复习
解直角三角形的复习知识回顾1、解直角三角形(1)定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即__3_条边和_2__个锐角，由直角三角形中除直角外的已知 元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．(2)边角关系：已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°,设∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为 a 、b 、c .①三边关系(勾股定理)：_____________②两锐角关系：________________；2、仰角、俯角、坡度 (1)仰角：视线在水平线_____的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫_____．（2)坡度：坡面的铅直高度和___________的比叫做坡度(或3．解直角三角形应用题的步骤(1)根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．(2)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．考点一：锐角三角函数的计算1、2、③边角关系：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b.考点二、解直角三角形例1、某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 与地面离地面的距离为1m,则该车大灯照亮地面的宽度BC 是多少m(不考虑其他因素)．2、如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路，现新修一条路AC 到公路l ，小明测量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m ，请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：≈1.414，≈1.732）23()3.681325AD ≈+=解得考点三：解直角三角形的实际应用例1、某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1 500 m高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长．例2、两座建筑AB及CD，其中A、C距离为50米，在AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝30°，测得其底部C的俯角a＝60°，求两座建筑物AB及CD的高(精确到0.1米)．课堂练习：2、如图，五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1米）。
(word完整版)中考复习专题——解直角三角形
中考复习之——解直角三角形1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角； 2。
探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；3。
利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A 、cos A 、tan A )；知道30、45、60角的三角函数值；4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角; 5。
能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题．三．知识回顾1．知识脉络2．基础知识(1)勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ,斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． （2）锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义如图7—1,在Rt △ABC 中，∠C =90，则sin A =A ∠的对边斜边=ac ,cos A =A ∠的邻边斜边=b c ，tan A =A A ∠∠的对边的邻边=ab．sin A 、cos A 、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数． ②锐角三角函数的取值范围0<sin A 〈1，0〈cos A <1，tan A >0． ③各锐角三角函数间的关系斜边c∠A 的对边a∠A 的邻边图7-1 直角三角形边的关系：勾股定理边角关系：锐角三角函数解直角三角形角的关系：两个锐角互余锐角三角函数的应用sin A =cos (90−A)，cos A =sin (90−A）．④特殊角的三角函数值sin cos tan3012323345222216032123（3)解直角三角形①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边）,求所有未知的边和角。
九年级数学解直角三角形总复习全面版
——解直角三角形
店 前 中 心 学 校
一、锐角三角函数 a sinA=
c
B
b cosA= c
c
a
a tanA= b
0<sinA<1
A
b
C
二、∠A是锐角，请说一说sinA和cosA的取值范围. 0<cosA<1
tanA的取值范围是多少？
tanA>0
例5、某路线规定汽车的最高行驶速度不能超过60㎞/h，交通管 理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的 坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北 偏西600方向上，点C在点A的北偏东450方向上。 （1）请在图中画出表示北偏东450方向的射线AC并标出点C的位 置；（2）求B、C的坐标；（3）一辆汽车从点B行驶到点C，所 用的时间为15S，请判断该汽车在限速公路上是否超速。
三、请说一说互为余角的三角函数之间的关系 sin(900-A)=cosA B cos(900 –A)=sinA 请从图上分析这种关系 c a 四、同角的三角函数关系 1、平方关系： C A 2 2 b sin A+cos A=1 2、商数关系： s in A tanA=
conA
3、你能证明以上的这两种关系吗？
k
B
1、如何求AB的长？
1.6m H
过B作AH的垂线，垂足为K。
2、你能找出AK的长吗？ 3、通过解直角三角形求出AB。
F
C G
例8、用作图的方法求tan150的值
A M
15 °
30° B C N
(完整word版)中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90°2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾:直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.(经典直角三角形：勾三、股四、弦五)用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）;（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边)4. 勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边求第三边。
(2)已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA,即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA,即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A) ; （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3)倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1（4）商(弦切）关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°～90°之间变化时，（1)正弦值随着角度的增大(或减小）而增大（或减小）；（2)余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大(或减小)；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小(或增大)考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
初三数学解直角三角形
初三数学解直角三角形文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]初三数学解直角三角形1、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形．2、解直角三角形的依据（1）三边之间的关系：a2＋b2=c2．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°．（3）边角之间的关系：例1如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若BC=12，，求AD的长．3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示：例2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米的上空P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，如图所示，求A、B两个村庄之间的距离．（精确到1m．参考数据）4、方向角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的夹角叫方向角．如图所示：例3某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A在y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；2）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请你通过计算判断汽车在这段限速公路上是否超速行驶（本问中取）1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，则a=（）A．B．C．D．62、一等腰梯形的高为4，下底长为8，下底的底角的正弦值为，那么它的上底和腰长分别为（）A．4和5 B．2和5C．2和4D．4和103、王师傅在楼顶的A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD为10m，楼高AB为24m，则树高CD为（）m．A．B．C．D．94、如图，在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为（）m．A．20 B．30 C．40 D．505、上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示．从A、B处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，则B处的船与小岛M的距离为（）海里．A．20 B．C．D．6、三角形三个内角的比为1∶2∶3，最大边为20，则最小边为__________．7、在Rt△ABC中，∠C=90°，则c=__________，∠B=__________．8、桥头堡高10米，在堡顶发现附近有一可疑点，测得其俯角为40°，则可疑物距堡底__________米（精确到米）．9、如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在底面的影长为10米，则大树的长约为__________（保留两个有效数字）．10、如图，小明在操场上距离旗杆AB的距离为9m的C处，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为30°，测角仪高CD=米，则旗杆AB的高为__________米．11、一架飞机在高为1000m的高空，在前进的方向上同时测得桥头的俯角为30°，桥尾的俯角为60°，由此算出桥长为__________m．12、如图，两座灯塔A、B与海岸观察站C都相距30海里，灯塔A在观察站的北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东50°，则灯塔A在灯塔B的__________，灯塔B在灯塔A 的__________．13、如图，小华在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=__________米．14、某地发生地震后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援，如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h 的速度前进2h到达B处，此时GPS显示村庄C在北偏西52°方向．1）求B与村庄C的距离；2）求村庄C到该公路的距离．（结果精确到，sin26°=，cos26°=，sin52°=，cos52°=）15、如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处，甲船从A出发，沿AP方向以91海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发：（1）出发后几小时两船与港口P的距离相等（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向．（结果精确到小时，）。
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解直角三角形复习 姓名：
1、如图，在东西方向的海岸线l 上有一长为1千米的码头MN ，在码头西端M 的正西方向30 千米处有一观察站O ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O 的北偏西30°方向，且与O 相距320千米的A 处；经过40分钟，又测得该轮船位于O 的正北方向，且与O 相距20千米的B 处． （1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． （参考数据：732.13,414.12≈≈）
2、如图某天上午9时,向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈12
13
，tan67.5°≈12
5
）
A
P
C
B
36.9°
67.5°
图10
l
3、如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE 、OE ． （1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）若tanC=，DE=2，求AD 的长．
4、
如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线． （2）当AC ＝1，BE ＝2，求tan ∠OAC 的值．
E
C
B
A
D
O。