双曲线(培优案)

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双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为。

高中数学选择性必修一双曲线(习题课)

题型四双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17，所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17，得 a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围．【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.

高考数学一轮复习学案第50讲双曲线（解析版）

第50讲双曲线（解析版）考点内容解读要求常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1．范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

双曲线专题辅导完整版(非常好)(可索要答案)

双曲线专题辅导双曲线知识点总结1、双曲线的定义：a MF MF 221=-（122a F F <） ①当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线； ②当2a =2c 时，轨迹是两条射线； ③当2a ﹥2c 时，轨迹不存在；2、双曲线标准方程焦点在x 轴上时：12222=-b y a x ；焦点在y 轴上时：12222=-bx a y ；★焦点坐在轴判断方法：看系数的正负；3、字母a b c 、、的关系：222b ac +=4、双曲线12222=-by a x 基本性质：①顶点：()0,),0,(21a A a A - ()b B b B -,0),,0(21 ②实轴：21A A 长为2a , a 叫做半实轴长； ③虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长； ④焦距：12F F 长为2c ，c 叫做半焦距长；5、离心率：c e a === 6、双曲线渐近线：（分焦点在x 轴与焦点在y 轴）①若双曲线方程为12222=-b y a x 则有：⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=；②若双曲线方程为22221y x a b -=则有：⇒渐近线方程22220y x a b -=⇒ay x b=±；③若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x① 222b AF BF a==②22bAB a=题型一：双曲线的标准方程的有关问题1、求双曲线14491622-=-y x 的实轴长、虚轴长、离心率以及渐近线方程；2、讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征；3、根据条件求双曲线的标准方程；（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上；提示：设122=+n y m x ；参考答案：116922=-x y（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上；提示：设1622=--λλy x ；参考答案：1522=-y x（3）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，并且经过点()223，；提示：设141622=+--λλy x ；（4）双曲线为等轴双曲线，并且经过点)1,3(-M ；提示：设m y x =-22；题型二、双曲线定义的运用（轨迹方程）1、P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值；（参考：33）变式：已知1F 、2FP 在双曲线上，若点P 到焦点P 到焦点F 2的距离；2、在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹；3、求与圆A ：9)5(22=++y x 以及圆B ：1)5(22=+-y x 都外切的圆的圆心P 的轨迹方程；变式题：求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A ；（2）已知一个圆与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切；（3）已知一个圆与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切；（4）双曲线4222=-y x C ：的两焦点分别为21F F ，A 为双曲线上任一点。

新高考新教材一轮复习人教B版第八章第六节双曲线学案

第六节双曲线课程标准解读1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.[知识排查·微点淘金]知识点一双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.[微提醒](1)当|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支．(2)若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线．知识点二双曲线的标准方程1．中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．知识点三双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)；e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2[微思考]已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？提示：可设方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．常用结论1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a ，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(链接人B 选择性必修第一册P 141AT 1)已知点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝( )A ．1B ．4C ．6D ．8解析：选B 由a 2＝1，b 2＝8，得a ＝1，c ＝3，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝|MF 1|－|MF 2|＋|F 1F 2|＝－2a ＋2c ＝4. 故选B ．3．(链接人B 选择性必修第一册P 146例2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ． 2D ．2解析：选A 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 4．(忽视双曲线上的点到焦点的最小距离)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于__________.解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：65．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为__________.解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或233一、基础探究点——双曲线的标准方程(题组练透)1．(多选题)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 22＝1B ．y 24－x 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．y 24－x 22＝1解析：选AB 设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m ＞0时，2m ＝4，m ＝2；当m ＜0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________.解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2， 3 )在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________.解析：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋(2c －a )2－(2c ＋a )24c (2c －a )＝c －2a2c －a，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3(2c －a )2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值；(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，需注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m ·n ＜0)求解．二、应用探究点——双曲线的定义及其应用(思维拓展)[典例剖析][例1] (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2[解析] 选B 设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．(2)(2021·福建四校联考)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________.[解析] 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.[答案] 2 3 [拓展变式][变条件]本例(2)中，“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：21．利用双曲线定义解决的2类问题(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线；(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． 2．利用双曲线的定义解决问题时的3个注意点 (1)距离之差的绝对值； (2)2a ＜|F 1F 2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．[学会用活]1．(2021·河南安阳模拟)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：选C 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.三、综合探究点——双曲线的几何性质(多向思维)[典例剖析]思维点1 双曲线的渐近线问题[例2] (1)(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．45[解析] 选A 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程是x 4±y3＝0，即3x ±4y ＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x ±4y ＝0的距离为|3×3|32＋42＝95.故选A ． (2)(2021·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C的焦距为________.[解析] 易得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±1mx ，又知C 的一条渐近线方程为y ＝－3m x ，则3m ＝1m，解得m ＝3.故C 的方程为x 23－y 2＝1.所以C 的焦距为4.[答案] 4思维点2 双曲线的离心率问题[例3] (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A ．72B ．132C ．7D ．13[解析] 选A 由题意，得|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得a 2＋9a 2－4c 22a ×3a＝12，所以c 2a 2＝74，所以双曲线C 的离心率为72.故选A ．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，在双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________.[解析] 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，则e ≥2. [答案] [2，＋∞)思维点3 双曲线的几何性质的综合应用[例4] 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是________.[解析] 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33. [答案] ⎝⎛⎭⎫－33，33(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法①求出a ，b ，c 直接求离心率，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．[学会用活]2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C ．2D ． 5解析：选D 由题意，可得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±ba ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为ba .由|AB |＝4|OF |可得2ba＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 四、应用探究点——直线与双曲线的位置关系(师生共研)[典例剖析][例5] (2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．[解] (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|，根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支．由题意，得c ＝17，|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝2，所以a ＝1. 又c 2＝a 2＋b 2，所以17＝1＋b 2，则b 2＝16. 所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)． (2)设T ⎝⎛⎭⎫12，t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ≠0)，将此方程代入x 2－y 216＝1(x ≥1)，得(k 2－16)x 2＋(2kt －k 2)x ＋14k 2－kt ＋t 2＋16＝0，又直线AB 与曲线C 必有两个不同交点，则k 2－16≠0. 所以x 1＋x 2＝k 2－2kt k 2－16，x 1x 2＝14k 2－kt ＋t 2＋16k 2－16.①|TA |·|TB |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 1－12·1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 2－12 ＝(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，直线PQ 的方程为y ＝k ′⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ′≠0)，将此方程代入x 2－y 216＝1，得(k ′2－16)x 2＋(2k ′t －k ′2)x ＋14k ′2－k ′t ＋t 2＋16＝0，所以x 3＋x 4＝k ′2－2k ′tk ′2－16，x 3x 4＝14k ′2－k ′t ＋t 2＋16k ′2－16.② |TP |·|TQ |＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12，由|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，得(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12，即(1＋k 2)⎣⎡⎦⎤x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14 ＝(1＋k ′2)⎣⎡⎦⎤x 3x 4－12(x 3＋x 4)＋14.③ 将①②代入③并整理，得k 2＝k ′2. 因为k ≠k ′且k ，k ′≠0，所以k ＋k ′＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略(1)解题“步骤” 第一步―联立直线方程与双曲线方程↓第二步―消元转化成关于x 或y 的一元二次方程(或一元一次方程)↓ 第三步―利用根与系数的关系(或方程的解)判断它们的位置关系(2)解题“关键”联立直线方程与双曲线方程，消元后一定要注意判断二次项系数是否为零．当二次项系数为0时，直线与双曲线最多只有一个交点；当二次项系数不为0时，利用判别式Δ求解：Δ＞0⇔有两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有一个交点⇔相切；Δ＜0⇔无交点⇔相离．[学会用活] 3．(2021·吉安一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，若圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,4]C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∵P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，则直线bx －ay ＋4a ＝0与直线bx －ay ＝0的距离d ＝4aa 2＋b 2＝4a c，∵圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则d ≥1，∴4a c ≥1，即e ＝c a≤4，故e 的取值范围为(1,4]，故选B ．。

专题7.3 双曲线性质应用-2021年高考数学(文)尖子生培优题典(原卷版)

2 / 22021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题7.3 双曲线性质应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·河南高三月考（文））在ABC 中，3tan 4C =，H 在边BC 上，0AH BC ⋅=，AC BC =，则过点B 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为（）A 10B ．43C 101- D 101+ 2．（2020·福建漳州·高三其他（文））已知圆M 的圆心为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>虚轴的一个端点，半径为+a b ，若圆M 截直线:l y kx =所得的弦长的最小值为3b ，则C 的离心率为（）A ．103B ．109C 2D ．23．（2019·河北桃城·衡水中学高三期末（文））如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（）2 / 2A 2B 3C 6D 4234．（2020·江西高三其他（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A 23B 3C 2D ．25．（2020·宁夏高三其他（文））若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为（）A 3B 23C 5D 256．（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））已知双曲线22:1x C y m -=的离心率为62(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（）A ．22((0,)22-B ．5(5-，0)(0⋃，55C ．22(,(,)-∞+∞ D ．55(,(,)-∞+∞2 / 27．（2020·河南高三月考（文））已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（）A ．2B 2C ．3D 38．（2020·陕西高三零模（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第一象限，若||||OA OF =（O 为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．34yx B ．43y x =±C ．23y x =±D ．32y x =±9．（2020·安徽高三月考（文））已知P （不在x 轴上）是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上一点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是C 的左、右焦点，记12PF F α∠=，21PF F β∠=，若sin sin a c βα=，则C 的离心率的取值范围是（）. A ．()1,2B ．()12,+∞C ．(212, D ．(1,1210．（2020·陕西西安·月考（文））若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成7:3的两段，则此双曲线的离心率为（）A ．53B ．54C ．415D ．8511．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（文））如图，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1:||:||2:2:1F A AB BP =,则双2 / 2曲线Γ的离心率为（）A ．5B ．265C ．2623+D ．263+12．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（文））已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224nm +的最小值为（） A ．8B ．4C ．2D ．113．（2020·安徽高三其他（文））已知1F 、2F 分别为双曲线22:139x y C -=的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点，设点(),H H H x y ，(),G G G x y 分别为12AF F △、12BF F △的内心，若3H G y y =，则||=HG （）A ．23B ．3C ．33D ．414．（2020·甘肃兰州一中（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（）2 / 2A 2B 3C 7D 2315．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线C ：2213x y -=：O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．23D ．4二、填空题16．（2019·广西大学附属中学高三月考（文））过双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且有0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为________.17．（2020·云南高三其他（文））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线垂足为A ，且||2||OA AF =，O 为坐标原点，则C 的离心率为_________．18．（2020·陕西武功·月考（文））(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右焦点，M ，N 为双曲线上的点，O 是坐标圆点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为______.19．（2020·江西高三其他（文））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且22PH HF =，则此双曲线的离心率为______.2 / 220．（2020·陕西西安·月考（文））已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，圆222:(5)M x b y a ++=，若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当229625ln b a a+-取得最小值时，双曲线C 的实轴长为___________.21．（2020·广东佛山·高三二模（文））已知P 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上一点，O 为坐标原点，1F ，2F 为曲线C 左右焦点.若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为___.22．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知,A B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于,A B 的动点，若直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足12()()f k f k =，其中()ln()2xf x =，则C 的离心率为________.23．（2020·四川省绵阳江油中学高三月考（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥，1512PQ PF =，则双曲线的离心率为________.三、解答题24．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三期中（文））已知点(2A 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合. （1）求椭圆C 的方程；（2）若1k ，2k ，分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值.2 / 225．（2020·陕西新城·西安中学高二期末（文））已知双曲线的渐进线方程为2y x =±，且过点(3,42.-()1求双曲线的方程；()2若直线460x y --=与双曲线相交于A 、B 两点，求AB 的值．26．（2020·辽宁丹东·高三二模（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=＞＞经过点32,3A ⎛ ⎝⎭，两个焦点为()12,0F -，()22,0F ．（1）求C 的方程；（2）设()()000,0P x y y ≠是C 上一点，直线2200:0l x x a y y a --=与直线2x =相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当P 点在C 上移动时，22MF NF 为定值，并求此定值．27．（2019·新疆生产建设兵团第五师高级中学高二月考（文））已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐2，且过点(4,10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：120MF MF ⋅=； (3)求△F 1MF 2的面积．28．（2020·利辛县阚疃金石中学高三月考）已知双曲线C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为2y x =，过点6P ⎫⎪⎪⎝⎭．()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．2 / 2。

双曲线专题考点经典学案(培优学生版)

ABCPOxy 高二文科数学培优试题四《双曲线》专题复习★重难点突破★问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为；问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 . ★热点考点题型探析★考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．312D ．242.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（） A ．9 B ．16 C ．18 D ．273. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（） A.a - B.b - C.c - D.c b a -+题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用. 【新题导练】4.在ABC ∆中，若B A B A sin sin cos cos >，则方程1cos cos 22=+C y A x 表示的曲线形状为：；5.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为___________________；考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围[例3] 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且123PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为．【注】请尝试用不同方法求解：【新题导练】7.已知双曲线221x y m n-=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为．8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（）A ．215+B ．2C ．215+或2 D ．不存在9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c )0(>c ，若c 是m a ,的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是（）A.33 B.22 C.41 D.21 10. 设21,e e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为（） A. 1 B.21 C.2 D. 不确定题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.5D.2【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程【新题导练】11.【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于．12.【2014高考江西卷文第9题】过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线C 的方程为（）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x13．已知动圆与圆C 1:(x+5)2+y 2=49和圆C 2：(x-5)2+y 2=1都外切，（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）若动圆P 与圆C 2内切，与圆C 1外切，则动圆圆心P 的轨迹是；若动圆P 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心P 的轨迹是；若把圆C 1的半径改为1，那么动圆P 的轨迹是 .（只需写出图形形状）14．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。

双曲线高二数学专题复习培优讲义

第02讲双曲线必备方法巧设双曲线方程：（1）与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)有共同渐近线(离心率)的方程可表示为：2222(0)x y t t a b -=≠.有共同焦距的双曲线方程可表示为：22221x y a b λλ-=+-.（2）过已知两个点的双曲线方程可设为()2210mx ny mn +=<．易误提醒（1）双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >.当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（2）注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（3）易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为b a ±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（4）在双曲线的焦点三角形12PF F 中，12F PF α∠=，点P 的坐标为00()x y ，，12PF F ∆的面积122=tan2PF F b S α△.考点一双曲线的定义及标准方程命题点1利用双曲线定义求轨迹方程例题1.1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥命题点2双曲线定义的应用例题1.2过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例题1.3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e，且满足21e =，1F ，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D规律方法求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点（1）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．（2）求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．变式训练1.1如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．1变式训练1.2（2018·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．变式训练1.3若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且122||3||F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积.考点二渐近线与离心率问题命题点1渐近线例题2.1已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，21MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线的方程是（）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x=±D ．12y x =±命题点2离心率例题2.2（1）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.（2）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ,B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点(A在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．43C ．34+D ．54+命题点3渐近线和离心率的综合应用例题2.3已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为________.规律方法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝a b 或|m |＝ba 讨论．（2）注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．变式训练2.1已知双曲线C ：22219x y a -=(0a >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且26MF =，则1MF =（）A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10变式训练2.2已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆()2224b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．3D ．4变式训练2.3已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．考点三直线与双曲线的综合应用命题点1直线与双曲线的位置关系例题3.1设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e ->B ．221e k ->C ．221k e -<D ．221e k -<（2）已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.命题点2中点弦问题例题3.2（1）（2017·湖南长沙市·长郡中学高二月考（理））双曲线2221x y -=与直线10x y +-=交于P ，Q 两点，M 为PQ 中点，则OMk 为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为12的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A B C ．D ．4命题点3定点问题例题3.3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．规律方法解决直线与双曲线位置关系的两种方法（1）法一：解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．法二：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．（2）与中点有关的问题常用点差法．直线l 与双曲线22221x y a b-=相交于,A B ,M 为AB 的中点，则22AB OMb k k a⋅=.变式训练3.1已知双曲线2212x y m -=(12)m ≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（）A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m ，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点变式训练3.2已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ,B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．43B ．2C D。

高中数学双曲线优质教案

高中数学双曲线优质教案
年级：高中
课题：双曲线
教学目标：
1. 掌握双曲线的定义和性质；
2. 熟练掌握双曲线的标准方程和重要公式；
3. 能够运用双曲线的性质解决实际问题。

教学重点与难点：
重点：双曲线的定义和性质、标准方程、焦点、渐近线等重点知识点。

难点：双曲线的焦点和渐近线的理解与应用。

教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学课件；
3. 黑板和彩色粉笔；
4. 相关练习题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示双曲线的图像或相关现实生活中的例子引入双曲线的概念，并引出双曲线的定义和性质。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解双曲线的定义、标准方程和性质；
2. 讲解双曲线的焦点、渐近线等重要知识点。

三、练习（20分钟）
根据教学内容设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识，同时引导学生掌握解题方法。

四、拓展（10分钟）
引导学生从现实生活中找出双曲线的应用场景，让学生探讨双曲线在现实中的应用，并引导学生深入了解双曲线的更多性质。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生进行巩固练习。

教学反思：
通过该课，学生应该掌握双曲线的基本概念、性质和计算方法，能够应用所学知识解决相关问题。

同时，老师应该关注学生对双曲线性质的理解深度和应用能力，及时进行个别辅导和指导。

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．【答案】－2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2．2.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】取，则，直线为，，即，∴，∴，∴，由，∴.【考点】双曲线的标准方程、两直线垂直的充要条件.3. [2014·大同模拟]设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为() A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．4.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.5.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的焦点坐标是，，抛物线的焦点坐标是所以，或得故选【考点】抛物线和双曲线的焦点.6.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由|AB|=，则，把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以a2=4，a=2，所以实轴长2a=4，选C.7.已知双曲线（），与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积等于，则A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线是，代入双曲线方程得，，所以，解得．【考点】曲线的交点，三角形的面积．8.已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得，．因为，所以．这表明动点M到两定点、的距离的差是常数2，且小于．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到的距离大，到的距离小)，这里a＝1，c＝3，则，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为．9.已知，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】双曲线方程可化为，即，因此双曲线的半实轴长为2，半虚轴长为1，所以半焦距为，所以离心率为.【考点】双曲线的标准方程及几何性质.10.的右焦点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，由点到直线的距离公式得右焦点到直线的距离为.【考点】双曲线的焦点及点到直线的距离.11.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( )A． B． C D【答案】B【解析】由题得,设点,由于点A,B为过原点的直线与双曲线的焦点,所以根据双曲线的对称性可得A,B关于原点对称,即.则,由于点A,C都在双曲线上,故有,两式相减得.则,对于函数利用导数法可以得到当时,函数取得最小值.故当取得最小值时, ,所以,故选B【考点】导数最值双曲线离心率12.过双曲线上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线M,N两点，若，则该双曲线的离心率为____.【答案】【解析】依题意设，则.所以由.可得.即.所以离心率.【考点】1.圆锥曲线的性质.2.向量的数量积.3.方程的思想.13.已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O 为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．3D．2【答案】D【解析】解:抛物线的准线方程为:,由题意知,双曲线的左焦点坐标为,即且,因为△AOB的面积为，所以，，即：所以，，解得：，故应选D.【考点】1、抛物线的标准方程；2、双曲线的标准方程及简单几何性质.14.双曲线＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．【答案】13【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝1315.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知双曲线的一个焦点坐标是（0,5），可设双曲线方程为，利用表示坐标，建立方程，解方程即可.【考点】（1）共渐近线的双曲线方程；（2）抛物线的几何性质.16.设F是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分另。

第13讲双曲线的定义和标准方程学生高一升高二暑假培优讲义

第13讲双曲线的定义和标准方程[玩前必备]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．3．双曲线的性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R[玩转典例]题型一双曲线定义例1 (1)（2019·辽宁高二月考）已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支(2)（2020·东北育才学校高二月考（理））已知左、右焦点分别为12F F 、的双曲线2216436x y -=上一点P ，且117PF =，则2PF =（） A ．1或33B ．1C ．33D ．1或11例2 (1)若F 1，F2分别是双曲线2288x y -=的左、右焦点，点P 在该双曲线上，且12PF F △是等腰三角形，则12PF F △的周长为（） A ．17 B ．16 C ．20D ．16或20(2)（2018·河南高二月考（理））1F 、2F 的双曲线2212511y x -=的两焦点，P 在双曲线上，1290F PF ∠=︒，则12PF F ∆的面积是（） A ．11 B ．112C ．112D ．2[玩转跟踪]1．（2019·吉林长春市实验中学高二月考（文））已知双曲线221259x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为18，则点M 到右焦点2F 的距离是__________________.2．（2019·阜阳市第三中学高二月考（文））已知点1F 、2F 分别是双曲线()222109x y a a -=>的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且12216PF PF ==，则12PF F △的周长是________． 3．（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________．4．（2019·湖北高二期中）已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______．题型二双曲线的标准方程例3 （2019·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点()()3,0,6,3--；（2）a =()2,5-，焦点在y 轴上.(3)过点(3)，离心率e ； (4)中心在原点，焦点F1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4)．[玩转跟踪]1.（2019·宁夏育才中学高二期末（文））已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C 的标准方程. （1）渐近线方程为53y x =±，且过点()3,10；（2）与双曲线221x y -=的离心率相同，与2215x y +=共焦点.（3）求与双曲线x 22−y 2=1有公共焦点，且过点(√2,√2)的双曲线标准方程．(4)已知焦点()106F -，，()206F ，，双曲线上的一点P 到1F ，2F 的距离差的绝对值等于8；(5)已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F 在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点(4P ，题型三根据双曲线求参数例4 (1)（2019·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在x 轴上，若焦距为4，则a =（） A ．212B ．7C ．92D ．12(2)（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））方程221()23x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充要条件是( )A ．2k >或k<-3B ．3k <-C ．2k >D ．32k -<<[玩转跟踪]1．（2019·河北高考模拟（理））若方程x 2m−2+y 26−m=1表示双曲线，则m 的取值范围是（）A.m <2或m >6B.2<m <6C.m <−6或m >−2D.−6<m <−22．（2019·上海格致中学高三开学考试）如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________题型四渐近线和离心率例5 (1)（2019·江苏淮阴中学高二月考）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A.x =B.20x y ±=C.20x y ±=D.x =(2)（2019·浙江高三学业考试）已知双曲线22214y x b -=的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．2y x =±例6 (1)（2019·黑龙江牡丹江一中高二月考（文））已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（）A B C 2D 2(2)（2019·山东高三月考）若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线与直线y =2x 垂直，则该双曲线的离心率为（） A.√52B.√5C.√62D.2(3)（2019·河北石家庄二中高二月考）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[)2,+∞D ．(4)（2019·广东高三月考（文））已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）．ABC ．2D[玩转跟踪]1．（2019·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22142-=y x ，则其渐近线方程为( )A．y =B．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±2．（2019·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（） A．y =B ．2y x =±C．2y x =±D ．12y x =±3（2019·甘肃高二月考（文））经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞）4．（2019·内蒙古高二期末（文））已知F 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若|FM|=2|OF|，且∠OFM =120°，则C 的离心率为（） A.32B.√5−12C.2D.√3+12[玩转练习]一、单选题1．（2019·浙江省高三期中）双曲线的焦点坐标为（） A ．B ．C ．D ．2．（2020·安徽省高三三模（文））已知双曲线的离心率为2，则实数的值为( )A ．4B ．8C ．12D ．16222=2x y -(1,0)±(0)(0,1)±(0,2214x y m-=m3．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2020·安徽省高三三模（理））已知双曲线离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ． B ． C ． D ． 5．（2019·安徽省高二期末（理））已知双曲线的焦距为方程为，则焦点到渐近线的距离为（） A ．1 BC ．2D．二、多选题6．（2020·山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C 的方程为的是( )A ．离心率为B ．双曲线过点C ．渐近线方程为D ．实轴长为47．（2020·湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则有（）A ．渐近线方程为B ．C ．D ．渐近线方程为三、填空题32y x =±22132x y -=22132y x -=22194x y -=22194y x -=()2222:10,0x y C a b a b-=>>2y x =±y =y =±4y x =±2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12y x =±22221(0,0)x y a b a b-=>>1(5,0)F -2(5,0)F 221169x y -=5495,4⎛⎫⎪⎝⎭340±=x y 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A A b A A C M N 60MAN ∠=︒y x =2e =3e =y =8．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））双曲线的渐近线方程为9．（2020·天水市第一中学高二月考（文））以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．10．（2020·天水市第一中学高二月考）已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 四、解答题11．（2020·定远县育才学校高二月考（文））双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.12．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知双曲线E 过点，且双曲线E 的焦点与椭圆C 的焦点重合，求双曲线E 的标准方程.2214y x -=22145x y -=x l C ()222210,0x ya b a b-=>>P Q O OPQ ∆C 2212736x y +=4)13(。

【优化方案】2021高考数学(人教版)一轮复习学案52 双曲线

学案52 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简洁几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的确定值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当________时，P 点的轨迹是________； (2)当________时，P 点的轨迹是________； (3)当________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标： A 1(－a,0)，A 2(a,0) 顶点坐标：A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a x y ＝±ab x离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测 1．(2011·安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 22．已知双曲线x 22－y2b 2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 3．(2011·课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D ．34．(2011·武汉调研)已知点(m ，n )在双曲线8x 2－3y 2＝24上，则2m ＋4的范围是__________________．5．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求|PF |＋|P A |的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2011·安庆模拟)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．变式迁移3 已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．方程思想的应用例 (12分)过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.多角度审题 (1)要求弦长|AB |需要A 、B 两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB ；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A 、B 两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)x 23－y 26＝1，得5x 2＋6x －27＝0.[2分]∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43·3625＋1085＝1635.[4分] (2)解直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32.[6分] ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝1235.[8分](3)证明如图，由双曲线的定义得 |AF 2|－|AF 1|＝23， |BF 1|－|BF 2|＝23，[10分] ∴|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|，即|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.[12分] 【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求|AB |，再求点O 到直线AB 的距离从而求面积，最终利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的状况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 的大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，依据题目的条件，推断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c ，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：依据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：依据题目条件确定相关的系数．。

人教版数学八年级培优竞赛双曲线偶遇特殊四边形专题课件

若反比例函数 y k（k≠0）的图象过点 C，则该反比例函数的表达式为（ A ）
x
A．y 3
x
B．y 4
x
C．y 5
x
D．y 6
x
4.在平面直角坐标系 xOy 中，将一块含有 45°角的直角三角板如图放置，其
中∠ACB=90°，点 B 坐标为（1，0），点 A 的坐标为（2，3），现将直角三角板
上，OB 在 x 轴上，∠ABO＝90°，点 B 的坐标为（2，4），将矩形 OABC 绕点
B 逆时针旋转 90°，点 O 的对应点 E 恰好落在双曲线 y k （x＞0）上，则 k 的
x
值为（ A ）
A．12
B．10
C．8
D．6
3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 A 的坐标为（﹣4，0），点 B 在 y 轴上，
a
－ 2 2 ），∴PQ＝8.
谢谢观赏
例 2. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别落在 x、y 轴上，点 B 坐标为（6，4），反比例函数 y 6 的图象与 AB 边交于点 D，与
x
BC 边交于点 E，连结 DE，将△BDE 沿 DE 翻折至△B'DE 处，点 B'恰好落在
正比例函数 y＝kx 图象上，求 k 的值．
绕点 A 顺时针旋转 45°得△ABC，直线 AB 与 y 轴交于点 E，若线段 EC 中点 G
恰好落在反比例函数 y k 上，则 k 的值为（ B ）
x
A. 1.5
B.2.25
C.2.5 D.3
第 4 题图
第 5 题图
第 6 题图
5.如图，点 A 是双曲线 y 8 在第二象限上的一动点，连接 AO 并延长交另

专题23 双曲线(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题23 双曲线（解答题压轴题）
目录
①双曲线的弦长问题 (1)
②双曲线的中点弦问题 (2)
③双曲线中的参数及范围问题 (4)
④双曲线中的最值问题 (6)
⑤双曲线中面积问题 (8)
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 (10)
⑦双曲线中向量问题 (12)
⑧双曲线综合问题 (13)
①双曲线的弦长问题
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．
(1)求点N的轨迹方程；
(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点
31
,
22
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
是否存在一条直线l，
线段CD中点．
③双曲线中的参数及范围问题
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
④双曲线中的最值问题
⑤双曲线中面积问题
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为
(3)证明：直线MN过定点.
⑦双曲线中向量问题
⑧双曲线综合问题
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线
积恒为8，试探究：是否存在总与直线若不存在，说明理由.。

双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳考点一双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（-a ，0）。

（a ，0）（0，-a ）（0，a ）轴实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大）准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线（2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二双曲线标准方程一求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

高中数学选择性必修一3 2 双曲线(解析版)

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.2双曲线解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（） A ．(2,0) B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)【答案】A 【解析】【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为3316，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x 轴在内的区域． ∴223334x y x y x y PA PB -+-==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 603216PABS PA PB x y ∆==-=，即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A. 【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】【分析】由点到直线距离公式结合已知可得3PA b =，由双曲线的定义可得142PF b a =-，由余弦定理可得34b a =，从而可得结果. 【详解】设双曲线右焦点为1F ，连接1PF ，左焦点(),0F c -到渐近线by x a =-b =，故3PA b =，4PF b = 在FAO 中，cos bAFO c∠=，由双曲线定义得142PF b a =-，在1PFF 中，由余弦定理得()()()()()2224242242b b a b c b c c-=+-⨯⨯⨯，整理得()2222161644b ab c ab -=-=，即34b a =，又2225a b +=，解得29a =，216b =，双曲线方程为221916x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程、定义与几何性质，解题时注意余弦定理与点到直线距离公式的应用，属于中档题.3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=，260ONF ∠=，12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为（）A ．221164x y -=B ．22184x y -=C ．22182y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】作出图形，利用双曲线的定义可得2a b =，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得12F MF △的面积为2323b =，可求得b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】如下图所示：O 为12F F 的中点，N 为2MF 的中点，则()12224MF MF ON NF b -=-=，即24a b =，可得2a b =，且有1//ON MF ，则1260F MF ∠=，在12F MF △中，由余弦定理得()222222121212121222cos60c F F MF MF MF MF MF MF MF MF ==+-⋅=+-⋅()221212124MF MF MF MF a MF MF =-+⋅=+⋅，22212444MF MF c a b ∴⋅=-=，则12F MF △的面积为122121sin 6032F MF SMF MF b =⋅==△b =a ∴=因此，该双曲线的标准方程为22182y x -=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，，称为黄金分割数. 已知双曲线()22211x y m-=的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m 的值为（） A．2 B1 C ．2 D ．【答案】A 【解析】【分析】先求出双曲线的焦距，然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于m 的方程，解方程可得所求．【详解】由题意得，在双曲线中2221),a b m ==， ∴22221)c a b m =+=+．，∴22a a c c ==，∴222a c ==232=，解得1)m =．故选A ．【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数m 的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题．5．方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <- 【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得k 的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可．【详解】解：方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得2k >或2k <-；记集合{|2A k k =<-或2}k >；所以方程22122x y k k -=-+表示双曲线的充分不必要条件为集合A 的真子集，由于{|3}k k A >，故选：C ．【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =像上的点，则|OP |=（） A．2B．5CD【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103yx x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若260AF B ∠=︒，则2AF B 的内切圆半径为（） ABC ．23D ．2【答案】A 【解析】【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值．【详解】设内切圆的圆心为(,)M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示：连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题．8．已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．2218x y -=C ．()22118y x x -=≥ D ．2218y x -=(x ≤－1)【答案】D 【解析】【分析】设动圆圆心M 坐标为（x ，y ），半径为r ，由题意可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，可得点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．根据2a ＝2，c ＝3，求得b 值，即可得点M 的轨迹方程．【详解】设动圆圆心M 的坐标为（x ，y ），半径为r ，由动圆M 与圆C 1和圆C 2均外切可得|MC 1|＝r +1，|MC 2|＝r +3，相减可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，故点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．由题意可得 2a ＝2，c ＝3，∴b =，故点M 的轨迹方程为 x 2﹣28y ＝1（x ≤﹣1），故选：D. 【点睛】本题主要考查两圆相外切的性质，考查双曲线的定义、性质和标准方程，属于基础题．二、多选题9．已知双曲线C 的方程是：22221x y a b-=（0a >，0b >），则下列说法正确的是（）A ．当a b =B ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线只有一个交点的直线有且只有2条；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，则此时线段MN 长度有最小值；D ．双曲线C 与双曲线：22221x y a b-=-（0a >，0b >）渐近线相同.【答案】ABCD 【解析】【分析】由双曲线的性质分别判断．【详解】A ．a b =时，c ==，ce a==A 正确； B ．过双曲线的右焦点的直线，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，当直线与渐近线不平行时，它与双曲线有两个交点，一种是两个交点分在左右两支上，一种是两个交点都在右支上．B 正确；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，当MN 是通径（即MN x ⊥轴）时，MN 的长度最小，C 正确．简略证明如下：如图所示，设双曲线方程为22221x y a b-=，(c,0)F ，AF e AM =，AF AM e =，又∵2a AM c FH c =-+2cos b AF cθ=+，∴2cos AF b AF e c θ=+，21cos e b AF e cθ=⋅-，同理：BF e BN =，BF BN e =，又∵22cos a b BN c EF BF c cθ=--=-， ∴2cos BF b BF e c θ=-，21cos e b BF e cθ=⋅+，∴2222112()1cos 1cos 1cos eb eb AB AF BF c e e c e θθθ=+=+=⋅-+-，易知当cos 0θ=时，222min222eb b c b AB c c a a==⋅=．D ．双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±，双曲线22221x y a b -=-的标准方程是22221y x b a -=，渐近线方程是by x a=±，渐近线相同，D 正确．故选：ABCD ．【点睛】本题考查双曲线的性质，掌握双曲线的标准方程与几何性质是解题关键．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是A 1,A 2,左、右两个焦点分别是F 1,F 2,P是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（） A ．122PA PA a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使得12PF F ∆为等腰三角形的点P 有且仅有8个D ．12PF F ∆的面积为212tan 2b A PA ∠【答案】BC 【解析】【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解. 【详解】在12A PA ∆中，两边之差小于第三边，即12122PA PA A A a -<=，所以A 不是真命题；设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=，直线12,PA PA 的斜率之积1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 是真命题；根据双曲线对称性分析：要使12PF F ∆为等腰三角形，则12F F 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-，此时12PF F ∆为等腰三角形，也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P F F '∆为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C 是真命题；12120222A PA F PF π∠∠<<<，根据焦点三角形面积的二级结论12212tan 2PF F b F F S P ∆∠=，所以D 不是真命题.故选：BC 【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD 【解析】【分析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，12002k y k x =+，根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12b a =，c =2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，则220014x y -=，00x >，00y >，00000201020022242y y x y x x x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<，故012012x k k y =>+. 故选：CD. 【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定00102y x <<是解题的关键.12．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（）A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC 【解析】【分析】利用12PF F ∆的面积可求出点P 的纵坐标，可判断A 选项的正误；将点P 的纵坐标代入双曲线方程求得点P 的横坐标，即可求得12PF PF +的值，可判断B 选项的正误；计算21cos PF F ∠的值，可判断C 选项的正误；计算出12cos F PF ∠，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误；将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =. 由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=，所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确；由对称性，对于上面点P ，在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确；由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误.故选：BC. 【点睛】本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题13．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m n Ω-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________. 【答案】512+ 【解析】【分析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=．【详解】设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --= 由一元二次方程求根公式可求得152e ±= 因为双曲线中1e > 所以152e +=【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．14．如图所示，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.【答案】62y x =± 【解析】【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过解三角形求出c 、a 的关系，再根据222c a b =+，即可得到b 、a 的关系，从而得到渐近线方程．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，设左焦点为1F ，连接1AF 、1BF ，由对称性可得1AF BF =、1BF AF =，可得||||2BF AF a -=，所以||AF a =，||3BF a =， 190F BF ∠=︒，所以22211F F BF BF =+，可得22249c a a =+，2225c a =，又222c a b =+，所以2232b a =，所以62b a =，故渐近线为62y x =±故答案为：62y x =±．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．15．已知点F 为双曲线2221(0)y E x b b-=>：的右焦点，M N ，两点在双曲线上，且M N ，关于原点对称，若MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________.【答案】[22,232]+ 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故||2MN FF c '==，由双曲线定义'||||||||2NF NF NF FM a -=-=可得12cos 4c πθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求2cos 4y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域即可.【详解】如图，设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故||2MN FF c '==.在Rt FM N ∆中||2cos ,||2sin FN c FM c θθ==，由双曲线的定义可得'22||||||||2cos 2sin 22cos 4a NF NF NF FM c c c πθθθ⎛⎫==-=-=-=+ ⎪⎝⎭124c πθ∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 126ππθ≤≤，53412πππθ∴≤+≤312242πθ-⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭ 231 222232c c ≤≤≤≤，.故答案为：2] 【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.16．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆22:5O x y +=有公共点()21P -，，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为__________．【解析】【分析】由()2,1P -得12OP k =-，由题意可知双曲线的渐近线斜率等于2，从而可以设出双曲线的方程()()22x y x y m -⋅+=，代入点()2,1P -得到双曲线的方程，求出实轴长.【详解】由OP 的斜率为12op k =-，则圆O 在点P 处的切线斜率为2，所以双曲线的一条渐近线方程为20x y -=，所以设双曲线方程为()()()220x y x y m m -⋅+=≠，因点()2,1P -在双曲线上，所以()()22122115m ⎡⎤⎡⎤=⨯--⋅⨯+-=⎣⎦⎣⎦，所以双曲线方程为22415x y -=，即22411515x y -=，即2154a =，所以实轴长2a =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的方程，渐近线方程，圆的切线，斜率等基础知识；考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.属于简单题.四、解答题17．直线10L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍. （1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果. 【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ，因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍，所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F 的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b -=，由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点，所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->，化简得22330m k -+>，由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k⎛⎫ ⎪--⎝⎭，因为||||QM QN =，所以221111mk km k k+-=--，化简得212k m -=，所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 18．已知双曲线C过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线PM ，PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y -=；（2）14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关，证明见解析；（3）存在，23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 3164QM QN ⋅=-，理由见解析【解析】【分析】（1）根据渐近线设出渐近线方程，将点(代入即可求出双曲线C 的方程.（2）根据直线与双曲线的对称性知道点M 与点N 关于原点对称，设出点M 、N 、P ，将其斜率表示出来，利用点M 、N 在双曲线上，化简即可说明PM PN k k ⋅为定值且直线l 与关.（3）根据题意设出直线与点Q ，联立直线与双曲线，表示出QM QN ⋅，利用QM QN ⋅为定值，即与斜率无关，根据比值即可求出定点Q 与QM QN ⋅的值. 【详解】（1）因为渐近线方程为12y x =±. 所以可设双曲线为224x y λ-=,将点(代入2244λ-=，解得=1λ所以双曲线C 的方程为2214x y -=（2）直线l 过原点,由双曲线的对称性知道，点M 、N 关于原点对称. 设点(),M m n ，(,)P x y ，则点(),N m n --代入2214x y -=，有2244m n =+，2244x y =+所以PM y n k x m -=-，PN y nk x m+=+. 2222=PM PNy n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅-+-将2244m n =+，2244x y =+代入得22221444PM PNy n k k y n -⋅==-. 所以14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关. （3）由题意知直线l 斜率存在，故设直线为()1y k x =- ，点()11,M x y 、()22,N x y 、(),0Q t由()22114x y y k x ⎧⎪⎨-==-⎪⎩，得 ()2222148440k x k x k -+--= ，2140k ->且>0∆ 22121222844=,=4141k k x x x x k k ++-- 又()11,QM x t y =-，()22,QN x t y =-，所以()()()()()()1212121211QM QN x t x t y y x t x t k x k x ⋅=--+=--+--()()()()22221212=1k x x t k x x t k +-++++()()()22222222448=14141k k k t k t k k k ++-+++--()22227844=41t t k t k -++--令227844=41t t t -+--解得238t =，此时3164QM QN ⋅=- 【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线求双曲线的方程,双曲线的性质，双曲线中的定值、定点问题，属于难题.本类题型的一般解法是：设直线-联立方程组-韦达定理-利用坐标表示出所求定值-化简即可得出答案.19．双曲线()22:10,0C ax by a b -=>>的虚轴长为1，两条渐近线方程为y =.（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上有两个点D E 、，直线OD 和OE 的斜率之积为1，判别2211OEOD+是否为定值，；（3）经过点(),0P t t ⎛>⎝⎭的直线m 且与双曲线C 有两个交点,M N ，直线m 的倾斜角是2,,,233πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭，是否存在直线00:lxx （其中0x <M NPM d d PN =恒成立？（其中,M N d d 分别是点,M N 到0l 的距离）若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221241x y -=；（2）8；（3）存在且0112x t=【解析】分析：（1）根据题意，双曲线C 的虚轴长为1，两条渐近线方程为3y x =.易求求双曲线C 的方程；（2）设直线OD 的斜率k ，显然3k ≠ 联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-，求出2OD ，2OE ，可证22118OD OE +=；（3）设直线方程(),3y m x t m =-≠±，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵at a>，方程总有两个解，设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，得到1212,x x x x +，根据M N d d 得101202x x t x x x x t --=--，整理得112x t =，由12 12t >，则011212a x t a =<=符合题目要求，存在直线．详解：（1）双曲线22:1241C x y -=；（2）设直线OD 的斜率k ，显然33k ≠±，联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-， ()2222211124Dk OD OD kxk+==+=-， 222221111124124k k OE k k++==--， 22222211124124811k kk k OD OE --+=+=++；（3）设直线方程(),y m x t m =-≠，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵t >，方程总有两个解，设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==--，根据MN PM d d PN =得101202x x t x x x x t --=--，整理得2222222841211241248122124m t m tt m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-，∵12t >，∴0112x t =<=点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题. 20．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1) 2214x y -= (2) 证明见解析，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件：5,22,2c b a ==，解方程组得2,1a b ==（2）以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,等价于0AD BD ⋅=,根据向量数量积得()121212240y y x x x x ++++=，结合直线:l y kx m =+方程得()121212()()240kx m kx m x x x x ++++++=，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y 得()()222148410kxmkx m ---+=，再利用韦达定理代入等式整理得22316200m mk k -+=，因此2m k =或103k m =.逐一代入得当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>, 由已知得522,c b a ==又222+=a b c ,解得2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立22{14y kx mx y =+-=,得()()222148410kxmkx m ---+=,有()()()22221222122641614108{01441014m k k m mkx x k m x x k ∆=+-+>+=<--+=>-,()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,·1AD BD k k ∴=-,即()()222121212122221241416·1,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k-+-=-∴++++=∴+++=++---,22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103km =.当2m k =时,l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫-⎪⎝⎭,经检验符合已知条件, 所以直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 考点：双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．设双曲线2221(0)3y x a a -=>的两个焦点分别为12,F F ,离心率为2.（Ⅰ）求此双曲线的渐近线的方程；（Ⅱ）若分别为上的点，且2|AB|=5|F 1F 2|，求线段的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 【解析】试题分析：由离心率，得出渐近线方程；第二步设而不求，先设出，，的中点，利用已知条件1225AB F F =，得出相应的关系，再根据点分别为上的点，坐标满足直线方程，两式相加得，两式相减得：，把和代入221212()()x x y y -+-=10，另外利用中点坐标公式，求出点的轨迹方程；试题解析：（Ⅰ）由，双曲渐近线方程为;（Ⅱ）设，，的中点∵1225AB F F =∴,∴221212()()x x y y -+-=10，又，两式相加，两式相减：，则，,221212()()x x y y -+-则根据中点坐标公式：，∴2212123[()][3()]3x x y y +++，则的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 考点：1.双曲线的离心率与渐近线方程；2.求动点轨迹方程；22．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【解析】【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；（2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.。

双曲线培优试题

双曲线一．轨迹1.已知定点(,0)P m ，动点Q 在圆O ：2216x y +=上，PQ 的垂直平分线交直线OQ 于M 点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m 的值可以是（）A．2B．3C．4D．52.圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面上与P 不重合的一个定点，P 是圆上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点3.已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4.已知圆22:(3)4C x y ++=及点(3,0)A ，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为__________．二．方程与图象1.已知实数x ，y 满足13y y x x +=4y +-的取值范围是（）A．)4⎡⎣B．)4⎡⎣C．22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D．24⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭2.已知曲线||:||14x x C y y +=，点(,)P m n 为曲线C 上任意一点，若点(2,1)A -，(4,2)B -，则PAB △面积的最大值为______．3.方程||||1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________4.若直线:2x l y m =-+与曲线:C y =m 的取值范围是A．1)+B．1,1)-C．1)+D．三．双曲线的方程1.在矩形ABB A ''中，8A A '=，6AB =，把边AB 分成n 等份，在B B '的延长线上，以B B '的n 分之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点A '作直线，过B B '延长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P ，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程可能是（）A．()2214,0169x y x y +=≥≥B．()2218,06436x y x y +=≥≥C．()2214,0169x y x y -=≥≥D．()2218,06436x y x y -=≥≥2.若实轴长为2的双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>上恰有4个不同的点(1,2,3,4)i P i =满足2ii PB P A =，其中(1,0)A -，(1,0)B ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为（）A．(,7)+∞B．(0,7C．7()+∞D．(0,73.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222=1x y a b-（>0a ，>0b ）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（）A．22=1412x y -B．22=1124x y -C．22=13x y -D．22=13y x -4.如图，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点为()12,0F -，()22,0F ，过1F ，2F 作圆O ：222x y a +=的切线，四条切线围成的四边形12F AF B 的面积为3，则双曲线的方程为（）A．2213x y -=B．2213y x -=C．22122x y -=D．2222135x y -=四．第一定义1.设12,F F 是双曲线224x y -=的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过1F 作12F PF ∠平分线的垂线，垂足为M ，则点M到直线0x y +-的距离的最大值是（）.A．4B．5C．6D．32.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上一点(0)p y ≠，在线段1PF 上取“12PF F △的周长中点”M ，满足2112MP PF MF F F +=+，同理可在线段2PF 上也取“12PF F △的周长中点”N .若PMN 的面积最大值为1，则b =________．3.已知双曲线22:13y C x -=的左焦点为1F ，顶点(0,Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________.4.已知12,F F 分别为双曲线22143x y -=的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为1,M F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12sin F PF ∠的值为（）A．12B．2C．3D．13五．焦半径1.若点P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上任意一点，则P 满足性质：点P 到右焦点的距离与它到直线2a x c =的距离之比为离心率e ，若C 的右支上存在点Q ，使得Q 到左焦点的距离等于它到直线2a x c=的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．2.已知双曲线C ：22x a －22y b ＝1(a >0，b >0)与椭圆216x ＋212y ＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为________．3.已知P 为双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)左支上一点，1F ，2F 为其左右焦点，若221PF PF 的最小值为11a ，则双曲线的离心率为（）D．924.已知1F ，2F 为双曲线Γ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，以2F 为圆心，2a 为半径的圆与Γ在第一象限的交点为A ，直线2AF 与Γ交于另一点B ．若1ABF 的面积为23a ，则Γ的离心率为（）A．2六．第三定义1.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与直线y kx =交于,A B 两点，点P 为C 上一动点，记直线,PA PB 的斜率分别为,PA PB k k ，曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ．若14P PA B k k ⋅=，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（）A．4a =B．曲线C的离心率为2C．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D．若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形2.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =A．12B．12-C．2D．-23.已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，O 为坐标原点，,E F 为线段,AB AD 的中点且,OE OF 的斜率之积为3，则双曲线C 的离心率为_________.4.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OMON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________七．双曲线渐近线1.已知F 是双曲线2213x y -=的右焦点，若直线)(0y kx k =>与双曲线相交于A ，B 两点，且120AFB ∠≥︒，则k 的范围是（）A．⎢⎭⎣B．⎛ ⎦⎝C．73⎢⎭⎣D．0,7⎛ ⎦⎝2.如图，设1F ，2F 是双曲线()22210x y a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足1e <<则双曲线的方程为（）A．2215x y -=B．2214x y -=C．2213x y -=D．2212x y -=3.已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若 OMN 为直角三角形，则|MN |=A．32B．3C．D．4八．焦点三角形1.已知1F ､2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 到该双曲线的渐近线的距离为2，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为___________2.已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线22:1169x y C -=左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于__________．3.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x 2212y -=1B．22134x y -=C．221169x y -=D．221916x y -=4.双曲线221916x y -=的两焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，直线1PF 、2PF 倾斜角之差为π3，则12PF F △面积为（）A．B．C．32D．42九．焦点直角三角形1.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上．若12PF F △为直角三角形，且125tan 12PF F ∠=，则双曲线的离心率为_______________________．2.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（）3.已知F是双曲线22221x ya b-=的左焦点，圆2222:O x y a b+=+与双曲线在第一象限的交点为P，若PF的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）B．24.已知双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1F、2F，圆2222+x y a b=+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形21A FB F的周长p与面积S满足p=）C．2十．余弦定理1.双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，2ABF是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足23BQ AF=，则C的离心率为___________.2.已知双曲线2222:1(00)x yC a ba b-=>>，的左、右焦点分别为12F F，，设过2F的直线l与C的右支相交于A B，两点，且112AF F F=，222BF AF=，则双曲线C的离心率是______.3.已知双曲线()222210,0x y a ba b-=>>的左右焦点分别为1F，2F，过2F的直线交双曲线于P，Q两点，且1PQ PF⊥，1512PQ PF=，则双曲线的离心率为________.4.已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与C的右支交于A，B两点，若1221F AF AF F∠=∠，222F B F A=，则C的离心率为______.十一．共焦点问题1.椭圆与双曲线共焦点1F、2F，它们的交点P对两公共焦点1F、2F的张角为122F PFθ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e，则A．222212cos sin1e eθθ+=B．222212sin cos1e eθθ+=C．2212221cos sin e e θθ+=D．2212221sin cos e e θθ+=2.已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（）B．3C．63.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是D．24.已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π=3F PF ∠，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B．2C．1D．12十二．定比分点1.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若11AF F B λ=，且2λ>，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1(2,0)F -、2(2,0)F ，A B 、是其右支上的两点，2213,||||AF F B AF AB ==，则该双曲线的方程是（）A．2213x y -=B．2212x y -=C．22122x y -=D．2213y x -=3.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅= ，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）D．24.已知F 1、F 2是双曲线E ：22220x y a b-=(a >0，b >0）的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P 、Q ．若119FQ F P =，M 为PQ 的中点，且12FQ F M ⊥u u u r u u u u r ，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．4D．4十三．内心1.已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上的一点，I 为12PF F △的内心，且1222IF IF PI +=，则C 的离心率为（）A．13B．25C．3D．22.已知F 1，F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1=2r 2，则直线l 的斜率为（）A．1C．2D．3.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B .已知O 为坐标原点，若△OAB 的内切圆的半径为12a ，则双曲线C 的离心率为（）1424.已知双曲线C ：221916x y -=，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上的第一象限内的点，点I 为12PF F △的内心，12IF F △的面积的取值范围是__________．十四．联立1.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 经过C 的左焦点F ，与C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，其中O 为坐标原点．则C 离心率的取值范围是______．2.双曲线22:12y C x -=，过定点(1,0)A -的两条垂线分别交双曲线于P 、Q 两点，直PQ 恒过定点（）A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)3.如图所示A ，B ，C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点，点A ，B 关于原点对称，线段AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且BF FC =，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2D．24.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，2OP OF =（O 为坐标原点）．若直线2PF 与C 的左支有交点，则C 的离心率的取值范围为______．。

双曲线典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a by a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A（2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ，∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ．由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ．说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ．由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果．解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+．又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)．说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ． (2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--ay a x ． (3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ．(4)当2>a 时无轨迹．说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．资料 ∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++= 即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ． ∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．。

第41讲双曲线的方程和性质教师

3．双曲线的几何性质标准方程范围对称性焦点顶点轴焦距
离心率
x2－y2＝1(a＞0，b＞0) a2 b2
y2－x2＝1(a＞0，b＞0) a2 b2
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)
解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，
|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，则 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|
条件是（）
A． k 2 或 k 2 B． k 1
C． k 3
D． k 1 或 k 1
【答案】C
【解析】方程
x2 k
2
y2 k2
1表示双曲线，可得
(k
2)(k
2)
0
，解得
k
2
或
k
2 ；
记集合
A
{k
|
k
2
或
k
2}；所以方程
x2 k 2
y2 k2
1表示双曲线的充分不必要条件为集合
A
的真子集，
即 32 PF1 PF2 48 ，所以 PF1 PF2 16 .故选：B
例 6 已知 F 是双曲线x2－ y2 ＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 4 12
________． [解析]因为 F 是双曲线x2－ y2 ＝1 的左焦点，所以 F(－4,0)，设其右焦点为 H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|