第六章 数理统计基础 《概率论》PPT课件
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概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布
X
的
n
一
个
样
本的
观察
值
,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ，其中p 是未知参数，
X1,
,
X
是
5
来自X的简
单
随机样本.试指出
X1
X
，
2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量，为什么？
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本，其特点是：
1. 代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性：X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X
是
n
总
体
F的
一
个Hale Waihona Puke 本，用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
《概率论与数理统计》第六章
所以，X是一个随机变量!
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
概率论与数理统计PPT课件(共8章)第六章 数理统计的基本概念
代表性
每个样本Xi(i=1,2,…,n)与 总体X具有相同的分布
独立性
各个样本X1,X2,…,Xn的取 值互不影响，即X1,X2,…,Xn是 相互独立的随机变量．
6.1.3 样本的联合分布
若 X1 ，X2 ， ，Xn 为总体 X 的一个样本， X 的分布函数为 F(x) ，则 X1 ，X2 ， ，Xn
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1 ，
概
率
论
与
数 理
6.2
统
计
统计量与抽样分布
6.2.1 统计量
定义 6.2 不含任何未知参数的样本 X1 ，X2 ， ，Xn 的连续函数 g(X1 ，X2 ， ，Xn )
称为统计量．
下面列出一些常用的统计量．
（1）样本均值
X
1 n
n i1
Xi
（2）样本方差
概
率
论
与
数
理 统 计
数理统计的基本概念
第六章
概
率
论
与
数
理 统
壹 总体与样本
计
贰 统计量与抽样分布
目录
概
率
论
与
数 理
6.1
统
计
总体与样本
总体与个体
6.1.1 总体
在数理统计中，通常把研究对象的全体称为总体，把构 成总体的每个研究对象称为个体．
总体分布
为了便于数学上的处理，我们将总体定义为随机变量， 记作．随机变量的分布称为总体分布.
N
(1
，12
)
与
N
(2
，
2 2
)
的样本，且这两个样本相互独立．设
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
第六章《概率论与数理统计教程》课件
1
例5. 设X服从[0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求λ的最大似然估计. 1 解:由题意得: X ~ f ( x; )
1 L( x1 , x 2 ,..., x n ; ) n 0
0 x
0 其它 0 x1 , x 2 ,..., x n
dL n n1 0 d
其它
无解.
应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现 取 max( x1 , x 2 ,..., x n ) 此时,L取值最大, 所以,所求最大似然估计为 max( x1 , x 2 ,..., x n )
考虑L的取值,要使L取值最大,λ应最小, 0 x1 , x 2 ,..., x n
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) ,其中 及 2 都是未知参数，如
果取得样本观测值为 x1 ,, x n , 求 及 2 的矩估计值。
解： 因为总体X的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶 原点矩，我们有 v1 ( X ) E ( X )
v 2 ( X ) E( X 2 ) D( X ) [ E( X )]2 2 2
e
e
1 2
2
2
( x )2 2 2
e
L( x1 , x 2 ,..., x n ; , )
2
i 1
1 2
2
( xi )2
(
2
1 2
2
1 2 2
) e
n
i 1
n
( xi )2
1 n 2 n 1 n 2 2 ) 2 ( x i ) ln 2 ln L n ln( ( xi ) 2 i 1 2 2 2 n 2 2 i 1 1 ln L 1 n Xi X 2 ( xi ) 0 n i 1 i 1 1 n 2 1 n n ln L n 1 ( xi )2 ( xi X )2 2 2 4 ( x i ) 0 n i 1 n i 1 2 2 2 i 1
大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第6章
第6章数理统计的基本概念一. 统计的基本概念二. 统计量的分布三. 抽样分布，由大数定律：（3）则在 8.1，需确定估计区间（）。
（2）构造2σ甲μ甲μ乙μμ−→−PX1.8=x统计工作最基本内容：1.估计电视机寿命的平均值µ，估计电视机寿命的方差2.比较两厂电视机寿命值有无差别，方差有无差别。
总体样本统计量参数点估计假设检验区间估计目的：（方差同理）方法：()··21是否一致与μμ()··2221是否一致与σσ()··0是否一致与μμ()··22是否一致与σσ().,...,21n x x x 统计工作的基本步骤1.收集资料：2.统计分析：对数据整理和分析3.统计推断：i ）点估计：确定未知参数θ的估计量ii ）区间估计：确定（左，右）区间（1）参数估计：（2）假设检验：i ）推断两个总体均数是否一致ii ）推断两个总体方差是否一致iii ）推断一个总体均数有无变化iv ）推断一个总体方差有无变化⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-2221212σσμμσμθ一. 统计的基本概念()为样本一组观察值。
,21n x x x ⎩⎨⎧总体有限总体（观察值有限个）无限总体（观察值无穷多个）随机变量 X 总体⇔（n 为样本容量）研究对象观察值的全体（样本是从总体中抽取的部分个体）n X X X 21,个体：每个观察值。
独立同分布，则称()n X X X 21,为简单随机样本，简称为样本。
(),,21n X X XnX X X 21,(),...2,1,===i p x X P i i ()n n x X x X x X P ===,...,2211()∏===ni i x X P 1样本联合分布列：（1）代表性：保证总体中每个个体有同等机会被抽到。
（2）独立性：每次抽取独立进行，各个体值互不影响。
（1）离散型：总体X 的分布列()发生的概率x x x 样本点n 21,与总体同分布()n x x x F ,...,21()n x x x f ,...,21（2）连续型：总体X 的分布密度f (x )样本联合密度：（3）总体X 的分布函数F (x )样本联合分布函数为：()()()n x f x f x f 21=()()()n x F x F x F 21=()发生的可能性x x x 样本点n 21,n X X X ,,21n X X X ,,21()n X X X 21,设为总体X 的样本，()n X X X T T 21,=函数，且不含任何未知参数，称T 为统计量。
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
《概率论与数理统计教学课件》6第六章.ppt
一. 总体和个体 定义 将研究对象的某项数量指标的值的全体称
为总体(母体)；将总体中的每个元素称为 个体 例1.(1) 当研究某地区中职工收入平均水平时，这地区 所有职工的月收入组成了总体；而每个职工月 收入就是个体。
(2) 研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体 就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
概率统计
随机抽样法
在概率论中所研究和讨论的随机变量，它的分布 都是已知的，在这前提下去进一步的研究它的性质、 特点和规律性。而在数理统计中所研究和讨论的随机 变量，它的分布是未知的或不完全知道的。于是就必 须通过对所研究和讨论的随机变量进行重复独立的观 察和试验，得到许多观察值(数据)，对这些数据进行 分析后才能对其分布作出种种判断。得到这些数据最 常用的方法是----随机抽样法。
的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无 限的)。但当有限总体它所含的个体的个 数很 大时也可视其为无限总体。
概率统计
二. 抽样和样本
抽样
为推断总体分布及各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以
获得有关总体的信息，这一抽取过程称为
“抽样”，所抽取的部分个体称为 样本，
样本中所包含的个体数目称为 样本容量。 例如:
同时随着计算机的诞生与发展，为数据处 理提供了强有力的技术支持，这就导致了数理 统计与计算机结合的必然的发展趋势。
目前国内外著名的统计软件包：R, SAS，SPSS， STAT 等，都提供了快速、简便地进行数据处理 和分析的方法与工具。
概率统计
数理统计研究的对象 --- 带有随机性的数据
数理统计的任务 数理统计学是一门应用性很强的学科， 它
从某批国产轿车中抽 5 辆进行耗油量试验。 这一过程即为“抽样”
为总体(母体)；将总体中的每个元素称为 个体 例1.(1) 当研究某地区中职工收入平均水平时，这地区 所有职工的月收入组成了总体；而每个职工月 收入就是个体。
(2) 研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体 就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
概率统计
随机抽样法
在概率论中所研究和讨论的随机变量，它的分布 都是已知的，在这前提下去进一步的研究它的性质、 特点和规律性。而在数理统计中所研究和讨论的随机 变量，它的分布是未知的或不完全知道的。于是就必 须通过对所研究和讨论的随机变量进行重复独立的观 察和试验，得到许多观察值(数据)，对这些数据进行 分析后才能对其分布作出种种判断。得到这些数据最 常用的方法是----随机抽样法。
的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无 限的)。但当有限总体它所含的个体的个 数很 大时也可视其为无限总体。
概率统计
二. 抽样和样本
抽样
为推断总体分布及各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以
获得有关总体的信息，这一抽取过程称为
“抽样”，所抽取的部分个体称为 样本，
样本中所包含的个体数目称为 样本容量。 例如:
同时随着计算机的诞生与发展，为数据处 理提供了强有力的技术支持，这就导致了数理 统计与计算机结合的必然的发展趋势。
目前国内外著名的统计软件包：R, SAS，SPSS， STAT 等，都提供了快速、简便地进行数据处理 和分析的方法与工具。
概率统计
数理统计研究的对象 --- 带有随机性的数据
数理统计的任务 数理统计学是一门应用性很强的学科， 它
从某批国产轿车中抽 5 辆进行耗油量试验。 这一过程即为“抽样”
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• 246 251 259 254 246 253 237 252 250 251 • 249 244 249 244 243 246 256 247 252 252 • 250 247 255 249 247 252 252 242 245 240 • 260 263 254 240 255 250 256 246 249 253 • 246 255 244 245 257 252 250 249 255 248 • 258 242 252 259 249 244 251 250 241 253 • 250 265 247 249 253 247 248 251 251 249 • 246 250 252 256 245 254 258 248 255 251 • 249 252 254 246 250 251 247 253 252 255 • 254 247 252 257 258 247 252 264 248 244
它反映了总体k阶原点 矩的信息
样本k阶原点矩：
样本k阶中心矩：
它反映了总体k阶 中心矩的信息
Ak
1 n
n i 1
X
k i
ak
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
k=1,2,…
概率论与数理统计
§6.3 统计量
我们指出，若总体X的k阶原点矩存在且
E(Xk ) k , 由辛钦大数定律，
Ak
1 n
n i 1
2）如果总体X是连续型随机变量，其密度函数 为 f ( x)，则样本( X1, X 2,L , X n )的密度函数为：
f * x1, x2 , , xn f x1 f x2 f xn
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
例1 设电话交换台一小时内的呼唤次数X服从
泊松分布 , 0 ，求来自这一总体的简
• 写出零件质量的频率分布表并作直方图。
零件质量/
频数
236.5概～2率39.论5 与数理1统计
频率 0.01§6.2 直方图
239.5～242.5
5
0.05
由2244此25..55～～得2244到58..55 零件质199量的频率00..10分99 布表：
248.5～251.5
g24
n0.i24
fi
251.5～254.5
22
0.22
254.5～257.5
11
0.11
257.5～260.5
6
0.06
260.5～263.5
1
0.01
263.5～266.5
2
0.02
总计
100
1.00
概率论与数理统计
直方图如图6－2所示
§6.2 直方图
图6－2
概率论与数理统计
§6.3 统计量
§6.3统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进
Si
ti ti1
fi ti ti1
fi
i 1,2, , l .
l
l
所有小矩形的面积的和 Si fi 1.
这样作出的所有小矩形就i构1 成了i1直方图。
ti1 , ti fi P ti1 X ti i 1,2, , l
概率论与数理统计
§6.2 直方图
• 例1 测量100个某种机械零件的质量，得到 样本观测值如下（单位：g）
定理1（构造定理）
§6.3 抽样分布
设 X 1 , X 2 , X n 是来自正态总体X～ N (0,1)
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
定义1 设总体X具有分布函数F ( x), X 1 , X 2 , X n 是来自总体X的样本，若 X 1 , X 2 , X n 相互
独立,且每一个X k与X有相同的分布,则称 X 1 , X 2 , X n 为简单的随机样本，简称样本。
概率论与数理统计
数理统计
从本章起转入课程的第二部分 数理统计
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它
以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数 据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性 作出种种合理的估计和判断．
由于学时有限，课程的的这部分内容我 们只介绍理论部分，即抽样分布。至于具体 的方法,学生可以自己推导并学会处理问题。
单随机样本( X1, X 2 ,L , X n ) 的分布函数。
例2 设某种电灯泡的寿命X服从指数分布，求 来自这一总体的简单随机样本( X1, X 2 ,L , X n ) 的联合概率密度。
概率论与数理统计
二、经验分布函数
§6.1 基本概念
中观抽测取值设容总量体为x的1n 分的布样x函本2 数，F得…x到 nP个X样xl本x ，观从测总总计值体， 若频样本数容量nn较1 大，n则2 相同的…n观测n值l 可能n重复
抽样分布就是通常的随机向量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良 性，完全取决于其抽样分布的性质.
抽样分布 精确抽样分布（小样本问题中使用） 渐近分布 （大样本（n≥50）问题中使用)
概率论与数理统计
§6.3 抽样分布
一、三个重要分布
1. 2分布
简单随机样本是应用中最常见的情形， 今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样 本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.
设 概率论与数是理来统自计总体X的样本§，6.1 基本概念
3. 样本的分布
(X1, X2, , Xn )
1）如果总体X是离散型随机变量，其分布律为：
PX x p( x，) 则样本 ( X1, X 2,L , X n )的分布律为： p* x1 , x2 , , xn px1 px2 pxn
样本的双重含义：泛指容量为n抽样 X 1 , X 2 , , X n
n维随机向量；指某次具体抽样结果 x1 , x2 , , xn
是一个n维向量,称为样本的一个观测值。
最常用的一种抽样方法叫作“简单n 随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总 体有相同的分布.
出频现若率干次，f1为此，f2应当把…这些观f测l 值整1理，
并其写中出下x1面 的x样2 本频 率xl分 布l表 n：
fi
ni n
i 1,2, , l
l
ni n
i1
l
fi 1
i1
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
0
定义1设函数
Fn
x
fi
xi x
1
x x1 xi x xi1
(4) Fn x 在每个观测值 xi处是右连续的,点 xi 是 Fn x 的跳跃间断点，Fn x 在该点的跃度就等于
频率 fi
样本分布函数Fn x 的图形如图6-1所示
图6-1
时二，数、通理直常统方需计图要中作研出究样连本续的随频机率变直量方X的图样（本简分称布直 方图），作直方图的步骤如下：
1.取 x1* minx1 , x2 , , xn , xn* maxx1 , x2 , , xn
x xl i 1, 2,L l 1
其中和式 是对小于或等于x的一切 xi 的 xi x
频率 fi求和，则称Fn x 为经验分布函数（样本
分布函数）。
易知样本分布函数 Fn x具有下列性质： (1)0 Fn x 1 (2) Fn x 是非减函数
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
(3) Fn 0, Fn 1
概率论与数理统计
§6.3 统计量
几个常见统计量
它反映了总体均值 的信息
样本均值：
X
1 n
n
Xk
k 1
它反映了总体方差 的信息
样本方差：
S2
1 n 1
n k 1
(Xk
X
)2
样本标准差：S
1 n1
n
(Xk
k 1
X )2
未修正样本方差：
S
2 0
1 n
n
(Xk
k 1
X )2
概率论与数理统计
§6.3 统计量
为此，我们就考虑与这一指
标相联系的随机试验，对这一指
标进行实验观察，我们将试验或
观察的所有可能的观测值称为总
…
体,每一个观测值称为个体
研究某批灯泡的寿命(X)
概率论与数理统计
ห้องสมุดไป่ตู้
§6.1 基本概念
1.考察我校一年级男生（1000人）的身高(m)。
总体 {11.4734,14.726,41.746,4L3 }
定义1 如果随机变量X的概率密度为
f
(x)
1
2
n 2
n
n 1 x
x2 e 2
2
x0
0
x0
则称X服从自由度为 n的 2分布.记为 X ~ 2 (n).
概率论与数理统计
概率密度图形的示意图
y
§6.3抽样分布
n=2 n=6 n=10
x o
可以将绿色的曲线视为 2 (n)概率密度的代表图形
概率论与数理统计
样本容量为5
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
样本是随机向量 X 1 , X 2 , , X n .
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量.
但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的
数 x1 , x2 , , xn ,称为样本的一次观察值，简称样
本观测值 .
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它 把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.
它反映了总体k阶原点 矩的信息
样本k阶原点矩：
样本k阶中心矩：
它反映了总体k阶 中心矩的信息
Ak
1 n
n i 1
X
k i
ak
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
k=1,2,…
概率论与数理统计
§6.3 统计量
我们指出，若总体X的k阶原点矩存在且
E(Xk ) k , 由辛钦大数定律，
Ak
1 n
n i 1
2）如果总体X是连续型随机变量，其密度函数 为 f ( x)，则样本( X1, X 2,L , X n )的密度函数为：
f * x1, x2 , , xn f x1 f x2 f xn
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
例1 设电话交换台一小时内的呼唤次数X服从
泊松分布 , 0 ，求来自这一总体的简
• 写出零件质量的频率分布表并作直方图。
零件质量/
频数
236.5概～2率39.论5 与数理1统计
频率 0.01§6.2 直方图
239.5～242.5
5
0.05
由2244此25..55～～得2244到58..55 零件质199量的频率00..10分99 布表：
248.5～251.5
g24
n0.i24
fi
251.5～254.5
22
0.22
254.5～257.5
11
0.11
257.5～260.5
6
0.06
260.5～263.5
1
0.01
263.5～266.5
2
0.02
总计
100
1.00
概率论与数理统计
直方图如图6－2所示
§6.2 直方图
图6－2
概率论与数理统计
§6.3 统计量
§6.3统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进
Si
ti ti1
fi ti ti1
fi
i 1,2, , l .
l
l
所有小矩形的面积的和 Si fi 1.
这样作出的所有小矩形就i构1 成了i1直方图。
ti1 , ti fi P ti1 X ti i 1,2, , l
概率论与数理统计
§6.2 直方图
• 例1 测量100个某种机械零件的质量，得到 样本观测值如下（单位：g）
定理1（构造定理）
§6.3 抽样分布
设 X 1 , X 2 , X n 是来自正态总体X～ N (0,1)
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
定义1 设总体X具有分布函数F ( x), X 1 , X 2 , X n 是来自总体X的样本，若 X 1 , X 2 , X n 相互
独立,且每一个X k与X有相同的分布,则称 X 1 , X 2 , X n 为简单的随机样本，简称样本。
概率论与数理统计
数理统计
从本章起转入课程的第二部分 数理统计
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它
以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数 据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性 作出种种合理的估计和判断．
由于学时有限，课程的的这部分内容我 们只介绍理论部分，即抽样分布。至于具体 的方法,学生可以自己推导并学会处理问题。
单随机样本( X1, X 2 ,L , X n ) 的分布函数。
例2 设某种电灯泡的寿命X服从指数分布，求 来自这一总体的简单随机样本( X1, X 2 ,L , X n ) 的联合概率密度。
概率论与数理统计
二、经验分布函数
§6.1 基本概念
中观抽测取值设容总量体为x的1n 分的布样x函本2 数，F得…x到 nP个X样xl本x ，观从测总总计值体， 若频样本数容量nn较1 大，n则2 相同的…n观测n值l 可能n重复
抽样分布就是通常的随机向量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良 性，完全取决于其抽样分布的性质.
抽样分布 精确抽样分布（小样本问题中使用） 渐近分布 （大样本（n≥50）问题中使用)
概率论与数理统计
§6.3 抽样分布
一、三个重要分布
1. 2分布
简单随机样本是应用中最常见的情形， 今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样 本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.
设 概率论与数是理来统自计总体X的样本§，6.1 基本概念
3. 样本的分布
(X1, X2, , Xn )
1）如果总体X是离散型随机变量，其分布律为：
PX x p( x，) 则样本 ( X1, X 2,L , X n )的分布律为： p* x1 , x2 , , xn px1 px2 pxn
样本的双重含义：泛指容量为n抽样 X 1 , X 2 , , X n
n维随机向量；指某次具体抽样结果 x1 , x2 , , xn
是一个n维向量,称为样本的一个观测值。
最常用的一种抽样方法叫作“简单n 随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总 体有相同的分布.
出频现若率干次，f1为此，f2应当把…这些观f测l 值整1理，
并其写中出下x1面 的x样2 本频 率xl分 布l表 n：
fi
ni n
i 1,2, , l
l
ni n
i1
l
fi 1
i1
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
0
定义1设函数
Fn
x
fi
xi x
1
x x1 xi x xi1
(4) Fn x 在每个观测值 xi处是右连续的,点 xi 是 Fn x 的跳跃间断点，Fn x 在该点的跃度就等于
频率 fi
样本分布函数Fn x 的图形如图6-1所示
图6-1
时二，数、通理直常统方需计图要中作研出究样连本续的随频机率变直量方X的图样（本简分称布直 方图），作直方图的步骤如下：
1.取 x1* minx1 , x2 , , xn , xn* maxx1 , x2 , , xn
x xl i 1, 2,L l 1
其中和式 是对小于或等于x的一切 xi 的 xi x
频率 fi求和，则称Fn x 为经验分布函数（样本
分布函数）。
易知样本分布函数 Fn x具有下列性质： (1)0 Fn x 1 (2) Fn x 是非减函数
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
(3) Fn 0, Fn 1
概率论与数理统计
§6.3 统计量
几个常见统计量
它反映了总体均值 的信息
样本均值：
X
1 n
n
Xk
k 1
它反映了总体方差 的信息
样本方差：
S2
1 n 1
n k 1
(Xk
X
)2
样本标准差：S
1 n1
n
(Xk
k 1
X )2
未修正样本方差：
S
2 0
1 n
n
(Xk
k 1
X )2
概率论与数理统计
§6.3 统计量
为此，我们就考虑与这一指
标相联系的随机试验，对这一指
标进行实验观察，我们将试验或
观察的所有可能的观测值称为总
…
体,每一个观测值称为个体
研究某批灯泡的寿命(X)
概率论与数理统计
ห้องสมุดไป่ตู้
§6.1 基本概念
1.考察我校一年级男生（1000人）的身高(m)。
总体 {11.4734,14.726,41.746,4L3 }
定义1 如果随机变量X的概率密度为
f
(x)
1
2
n 2
n
n 1 x
x2 e 2
2
x0
0
x0
则称X服从自由度为 n的 2分布.记为 X ~ 2 (n).
概率论与数理统计
概率密度图形的示意图
y
§6.3抽样分布
n=2 n=6 n=10
x o
可以将绿色的曲线视为 2 (n)概率密度的代表图形
概率论与数理统计
样本容量为5
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
样本是随机向量 X 1 , X 2 , , X n .
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量.
但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的
数 x1 , x2 , , xn ,称为样本的一次观察值，简称样
本观测值 .
概率论与数理统计
§6.1 基本概念
行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它 把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.