(最新)高中数学必修5高效导学案《不等关系与不等式》

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高中数学《不等关系与不等式》导学案

第1课时不等关系与不等式1.不等式的定义所含的两个要点(1)□01<，≤，>，≥或□02≠.(2)□03不等关系．2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是□04正数，那么a>b；如果a－b是□05零，那么a＝b；如果a－b是□06负数，那么a<b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a□07>b；a－b＝0⇔a□08＝b；a－b<0⇔a□09<b.(3)结论确定任意两个实数a、b的大小关系，只需确定□10它们的差a－b与0的大小关系．3．比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与□110比较．(2)作商：两数(式)为同号时，作商与□121比较．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a 不大于－2，用不等式表示为a ≥－2.( )(2)某隧道入口竖立着“限高4.0米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h 应满足h <4.0.( )(3)若x 2>0，则x >0.( )(4)若x >1，则x 3＋2x 与x 2＋2的大小关系为x 3＋2x >x 2＋2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)(教材改编P 74T 1(2))一桥头竖立的“限重40 t ”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T 不超过40 t ，用不等式表示为________．(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于3%，蛋白质的含量p 应不少于2.5%，写成不等式组就是________．(3)若x ≠1，则M ＝x 2＋y 2－2x ＋2y 的值与－2的大小关系为________． (4)x 2＋3与2x 的大小关系为________．答案 (1)T ≤40 (2)⎩⎨⎧f ≥3%，p ≥2.5% (3)M >－2(4)x 2＋3>2x探究1 用不等式(组)表示不等关系例1 某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514.∵x ，y 均为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56,28或58,29台计算机．拓展提升将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接，应特别注意能否取等号． (3)多个不等关系用不等式组表示．【跟踪训练1】已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系．解依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ，又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y .由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56000，800x ＋400y ＋500z ≥63000 及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.探究2 作差法比较大小例2 (1)设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，比较x 与y 的大小． (2)已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小．解 (1)x －y ＝(m 4－m 3n )－(n 3m －n 4) ＝(m －n )m 3－n 3(m －n ) ＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)， ∵m ≠n ，∴(m －n )2>0.又∵m 2＋mn ＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＋3n 24>0，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)>0. ∴x －y >0，∴x >y .(2)p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0. 综上，p －q >0，∴p >q . 拓展提升1.第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号，第(2)题通过分类讨论判断差的符号．可以看到，用作差比较法时，判断所作差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．2．作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形： (1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． (2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断．第二步：判断差值与零的大小关系．第三步：得出结论．【跟踪训练2】 (1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．解 (1)∵x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a ，当a ＝±1时，a ＝1a ；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a . 探究3 作商法比较大小例3 已知a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1；②当0<a 1.综上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .拓展提升作商法比较大小应注意的问题作商法：即通过判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．解[规律小结]1.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．2.关于a≤b或a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即，若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b 正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即，若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b 正确．3.作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判定所得差是大于0，小于0，还是等于0.(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．注意：变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．4.作商法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作商； (2)变形；(3)比较商与1的关系．注意：只有同号的两数才适用于作商法比较大小．[走出误区] 易错点⊳用不等式组表示实际问题时理解错误 [典例] 两种药片有效成分见下表：若要求至少提供12 mg 阿司匹林、70 mg 小苏打、28 mg 可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[错解档案] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28.[误区警示] 以上不等式对药品成分的限定额度是完全正确的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的数量均为非负整数，这一隐含条件往往是容易被忽视的．[规范解答] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片(x 、y ∈N )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28，x ≥0(x ∈N )，y ≥0(y ∈N ).[名师点津] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量． (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)． (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式(组)表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m B.⎩⎨⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m 答案 B解析依据题意直接将不等关系转化为不等式，即v ≤120 km/h ，d ≥10 m ，注意两个不等关系必须同时成立．3．用“>、<、≥、≤”符号填空(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45； (2)a 2＋b 2________2(a －b －1)．答案 (1)< (2)≥解析 (1)因为(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6<0，所以(2a ＋1)(a －3)<(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．当m >2时，m m 与2m 的大小关系是________．答案 m m >2m解析由于m m >0,2m >0，故可采用作商法， ∴m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m . ∵m >2，∴m 2>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >1.即m m >2m .5．(1)当x >1时，比较x 3与x 2－x ＋1的大小； (2)已知：a 1，所以(x －1)(x 2＋1)>0，所以x 3>x 2－x ＋1.(2)因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，① 因为a 0，②综合①②知ab <0，又因为a 45B.⎩⎨⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎨⎧x >95，y >380，z ≥45D.⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 x 不低于95分，是x ≥95；y 高于380分，是y >380；z 超过45分，是z >45.2．若a 1b B ．2a >2b C ．|a |>|b | D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 答案 B解析 ∵a ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 ∵c 0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A ，B ，D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立. 故选C.4．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有4种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b 2%；再降价a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%，其中a >0，b >0，a ≠b . 上述方案中，降价幅度最小的是( )A ．方案(1)B ．方案(2)C ．方案(3)D ．方案(4)答案 C解析设该品牌彩电的原价为“1”，降价后的彩电价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＝(1－a %)(1－b %)，x 2＝(1－b %)(1－a %)， ∴x 1＝x 2否定A ，B.x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，x 4＝1－(a ＋b )%，x 3－x 4＝14[(a ＋b )%]2>0.故降价幅度最小的是C.二、填空题5．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216解析由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，∴0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝15－x2. ∴菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，∴题中的不等关系用不等式组表示为⎩⎨⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.答案a ＋mb ＋m >ab解析 ∵a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )(b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，∴a ＋m b ＋m >ab.答案>解析三、解答题8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较a n＋b n与a n－1b＋ab n－1的大小．解(a n＋b n)－(a n－1b＋ab n－1)＝a n－1(a－b)＋b n－1(b－a)＝(a－b)(a n－1－b n－1)，①∵当a＞b＞0时，a n－1＞b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；②∵当0＜a＜b时，a n－1＜b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(a n－1－b n－1)＞0.∴a n＋b n＞a n－1b＋ab n－1.9．若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x2＋y2)(x－y)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴x－y<0，xy>0，∴－2xy <0，－2xy (x －y )>0，即(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元(x >0)，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．B 级：能力提升练1．若a ，b ，c ，d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．答案 (2,1，－1，－2)解析由a b >c d >0知，a ，b 同号，c ，d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0. 由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a ，b 同号，c ，d 同号，b ，d 异号；②ad <bc . 令a >0，b >0，c <0，d <0，不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．2．设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．解 ∵12log a t ＝log a t ，t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时，t ＋12＞t . ∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t ；当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＜log a t ＝12log a t ；当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上可知，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1，则log a t ＋12＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log a t ＋12＜12log a t .。

高二必修5第三章导学案

高二上学期数学导学案一、课前准备复习：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元_______________二、新课导学※学习探究探究2：1.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________※典型例题：例1 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则其中不等关系有________例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？※ 动手试试：练1．用不等式表示下面的不等关系：（1）a 与b 的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”_______________(3) 如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍练2．有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．三、总结提升 ※ 学习小结1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系； 2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．※ 当堂检测（时间：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列不等式中不成立的是（）.A ．12-≤B ．12-<C ．11-≤-D ．12-≥ 2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元（）.A ．300a ≤B ．300a ≥C ．300a >D ．300a < 3. 已知0a b +>，0b <，那么,,,a b a b --的大小关系是（）.A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->- 4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________ 5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t 在16点到18点之间_______________________课后作业：1. 某夏令营有48人，出发前要从A 、B 两种型号的帐篷中选择一种．A 型号的帐篷比B 型号的少5顶．若只选A 型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B 型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A 型号的帐篷有x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元?高二上学期数学导学案学习过程一、课前准备 1.在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c >>⇒（2）____a b a c b c >⇒++（3）,0____a b c ac bc >>⇒ （4）,0____a b c ac bc ><⇒ 二、新课导学 ※ 学习探究问题1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b>>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>※典型例题例1 比较大小：（1）2 6+（2）2 21)；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.例2 已知0,0,a b c >><求证c ca b>.变式：已知0a b >>，0c d >>.例3已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.※ 动手试试：练1. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--；（2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>；（4）22110___a b a b>>⇒.练2. 已知x >012x+.三、总结提升 ※ 学习小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论. ※ 知识拓展 “作差法”、“作商法”比较两个实数的大小（1）作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论（2）作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）.A ．()()f x g x >B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化 2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π-4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .课后作业：1. .2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n 年之后，方案B 的投入不少于方案A 的投入”．高二上学期数学导学案一、课前准备（预习教材P76~ P78，找出疑惑之处）复习1：解下列不等式：①112x>-；②112x->；③1102x-+>.复习2：写出一个以前所学的一元二次不等式_____________，一元二次函数________________，一元二次方程___________________二、新课导学※学习探究探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B的收费原则为:在第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算). 如何选择?归纳：这是一个关于x的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为____________. 探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？（如果）解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.※ 典型例题例1 求不等式2230x x -+->的解集.变式：求下列不等式的解集.（1）2230x x +->；（2）2230x x -+-≤.例2 求不等式24410x x -+>的解集.※ 动手试试练1. 求不等式24415x x ->的解集.练2. 求不等式21340x ->的解集.三、总结提升 ※ 学习小结解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a >）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※ 知识拓展（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为00a >⎧⎨∆<⎩（2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为00a <⎧⎨∆<⎩学习评价※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解2. 关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（）.A ．14c D ．14c ≥3. 在下列不等式中，解集是∅的是（）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 4. 不等式230x x -<的解集是 .5. y =的定义域为 .课后作业：1. 求下列不等式的解集（1）23100x x -->；（2）2450x x -+<.2. 若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.高二上学期数学导学案一、课前准备复习1：一元二次不等式的解法步骤是1.____________________ 2.________________ 3.____________________ 4._______________复习2：解不等式.（1）23710x x -≤；（2）2250x x -+-<.二、新课导学※ 典型例题：例1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h有如下的关系：21120180s x x =+. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）例2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+ 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？例3 产品的总成本y （万元）与产量x 之间的函数关系式是23000200.1y x x =+-，(0,240).x ∈ 若每台产品的售价为25万元，求生产者不亏本时的最低产量.※ 动手试试练1．在一次体育课上，某同学以初速度012/v m s =竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间x 满足关系2012h v t gt =-，其中29.8/g m s =）练2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？三、总结提升： ※ 学习小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．※ 知识拓展（1）连结三个“二次”的纽带是：坐标思想：函数值y 是否大于零等价于为P (,)x y 是否在 x 轴的上方.（2）三个“二次”关系的实质是数形结合思想：20a x b x c ++=的解2y a x b x c ⇔=++图象上的点(,0)x ；20a x b x c ++>的解2y a x b x c ⇔=++图象上的点(,)x y 在x 轴的上方的x 的取值范围.学习评价：※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数y =的定义域是（）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤2. 不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（）. A ．[2，4] B ．(,2][4,)-∞+∞ C ．R D ．(,2][4,)-∞-+∞ 3. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B =（）. A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤ B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤ 4. 不等式(5)(2)0x x --<的解集为 .5. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足210240d d -+<，则两圆的位置关系为 .课后作业:1. 求下列不等式的解集：（1）23100x x --+>；（2）(9)0x x ->.2. 据气象部门预报，在距离某码头O 南偏东45︒方向600km 处的热带风暴中心A 在以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？高二上学期数学导学案一、课前准备复习1：实数比较大小的方法_____________ 复习2：不等式20ax bx c ++>(0)a ≠的解集.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：含参数的一元二次不等式的解法问题：解关于x 的不等式： 22(21)0x m x m m -+++<分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响. 先将不等式化为方程22(21)0x m x m m -+++=此方程是否有解，若有，分别为__________，其大小关系为________________ 试试：能否根据图象写出其解集为_____________ ※ 典型例题例1设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a , b.小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a 的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.变式：已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.例2 2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.小结：（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集. （2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.例3 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.变式1：解集为非空. 变式2：解集为一切实数.小结：m 的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，m 的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x 轴的位置关系. 因此求解中，必须对实数m 的取值分类讨论. ※ 动手试试练1. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.练2. 若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.三、总结提升※ 学习小结:对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨论的原则性一般分为四类：（1）按二次项系数是否为零进行分类；（2）若二次项系数不为零，再按其符号分类；（3）按判别式∆的符号分类；（4）按两根的大小分类. ※ 知识拓展解高次不等式时，用根轴法：就是先把不等式化为一端为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x 轴的右端上方起，依次穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在x 轴上方的实数x 的取值集合；小于零的不等式的解对应着曲线在x 轴下方的实数x 的取值集合. 学习评价 :※ 当堂检测（时量：5分钟满分：8分）计分：1. 若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bx c ++>的解集为（）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<<2. 不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（）.A ．-14B ．14C ．-10D ．103. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为∅，则实数a 的取值范围是（）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-4. 若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .课后作业：1. m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程2(1)0mx m x m --+=没有实数根.2. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.高二上学期数学导学案一、课前准备:复习：解下列不等式：210x-+>；二、新课导学※学习探究探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040xx+>⎧⎨-<⎩的解集为. 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？探究2：你能研究：二元一次不等式6x y-<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）（请认真阅读课本83页-----84页）结论：1. 二元一次不等式0Ax By c++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 不等式中仅>或<不包括；但含“≤”“≥”包括；同侧同号，异侧异号. ※典型例题例1画出不等式44x y+<表示的平面区域.分析：先画___________（用线表示），再取_______判断区域，即可画出．.例2用平面区域表示变式1：画不等式(21)(4)0x y x y++-+<表示不等式组3122y xx y<-+⎧⎨<⎩的解集的平面区域归纳：1.画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C≠时，常把原点作为此特殊点.2. 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为.※ 动手试试练1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 __三、总结提升 ※ 学习小结由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） ※ 知识拓展含绝对值不等式表示的平面区域的作法：（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式．（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号．（3）采用对称性可避免绝对值的讨论．（4）在方程()0f x y = 或不等式()0f x y > 中，若将x y 换成()()x y -- ，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称．学习评价：※ 当堂检测（时量：5分钟满分：8分）计分：1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（）. A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方2. 不等式3260x y +-≤表示的区域是（）.3.不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（）.4. 已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围是 .课后作业：1. 用平面区域表示不等式组32326x y x x y <⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩的解集.2. 求不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示平面区域的面积.高二上学期数学导学案复习：画出不等式组2312236x yx yx+≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所示平面区域.二、新课导学※典型例题例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示：今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.※动手试试练1. 不等式组(5)()003x y x yx-++≥⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是什么图形？练 2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.三、总结提升 ※ 学习小结根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.※ 知识拓展求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法：一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y .学习评价※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（）. A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2）Ｄ．（2，0）2. 不等式组5003x y x -+≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个（）.A ．三角形Ｂ．直角梯形Ｃ．梯形Ｄ．矩形3. 不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（）.A ．12,P D P D ∉∉B ．12,P D P D ∉∈C ．12,PD P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈ 4. 由直线20,210x y x y ++=++=和210x y ++=的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .5. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .课后作业：1. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B . 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A 需要10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B 需要5min 打磨，12min 着色，9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每天至多480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.高二上学期数学导学案一、课前准备认真阅读课本Ｐ87至Ｐ88的探究，理解体会探究中的实际问题。

人教A版数学必修五《不等式与不等关系》导学案

高中数学必修5 1.1.2《不等式与不等关系》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1﹑感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的背景. 2﹑知道不等式的一些基本性质.3、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 【重点难点】▲重点：1、不等式的基本性质.2、一元二次不等式的解法.▲难点：1、一元二次不等式的解法.2、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.【知识链接】20XX 年经济危机风暴继续在世界各国漫延，我国的房地产业受到很大的冲击，20XX 年8月深圳房价20570元/2m ，而到了10月房价低于19680元/2m ，这三个月内平均降价的百分比是多少？你能列出不等式求解吗？【学习过程】阅读课本第72页至第73页的内容，去刻画客观事物的基本数量关系，尝试回答以下问题：知识点1:不等关系与不等式基本性质问题1﹑完成课本第74页练习1、2，并举出几个现实生活中与不等式有关的例子.问题2﹑不等式的基本性质：性质1：对称性a bba性质2：传递性 ,a b bcac性质3：可加性a bac bc性质4：可乘性,0a b cacbc性质5：加法法则,a b c d a c b d 性质6：乘法法则0,0a b c d acbd性质7：乘方法则0(,2)nn a b a b nN n 性质8：开方法则0(,2)nnaba b nN n练习： 1、比较22xax 与2223a a 的大小(,)a x R点拨：可用作差法比较大小，解题步骤：作差分解因式或作差确定符号判断大小阅读课本第76页至第77页的内容，尝试回答以下问题：知识点2: 一元二次不等式的解法问题1、从课本第77页的图3.2-2可知，一元二次方程的根就是二次函数的零点. 问题2﹑观察图3.2-2知： ①当x ，函数位于x 轴上方，此时y 0，即25xx 0. ②当x，函数位于y 轴下方，此时y 0，即25xx 0.问题3、从以上问题1、2中可知观察函数图像可获得不等式解集问题4、如何确定一元二次不等式20(0)ax bx c a或20(0)ax bx c a 的解集.练习：解不等式①28150xx ②223x x点拨：首先判断其所对应的一元二次方程判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及二次项函数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法.知识点3: 一元二次不等式与二次函数及一元二次方程之间的联系.24b ac2(0)y ax bx c a的图像20(0)ax bx c a 的根20(0)ax bx c a 的解集20(0)ax bxca解集知识点4:一元二次不等式及可转化为一元二次不等式的指、对、分数不等式的解法例1、求不等式24410xx 的解集问题1、先求方程24410x x 的根，再根据二次函数2441yx x 的图像写出解集问题2、你能归纳求解一般一元二次不等式的过程吗？请试一试例2、解不等式201x x问题1、若0ab，则只需a 与b 同号，即00ab b，则分式不等式201x x 可转化为：问题2、尝试写出本题的完整过程例3、求解不等式2lg()lg(3)xx x点拨：利用对数函数单调性脱去对数符号时，必须使原不等式中的所有真数均大于零，而不仅仅是变形后的最简不等式中的真数大于零【基础达标】 A1、解不等式①22150x x ②221x x ③222x xB2、解不等式222312513()3x x x x . C3、解不等式222306x x x xC4﹑定义在(1,1)上的奇函数()f x 在定义域上式减函数，且2(1)(1)0f a f a ，求a 的取值范围. D5、若不等式20x px q 的解集为|12x x，求不等式22056x px q xx 的解集【小结】【当堂检测】若已知二次函数()yf x 的图像过原点，且有1(1)2f ，3(1)4f ，求(2)f 的范围.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

高三数学必修五《不等关系与不等式》教案

高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。

这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。

为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b��担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。

高中数学3.1不等关系与不等式(一)导学案(无答案)新人教版必修5

3.1不等关系与不等式(一)【学习目标】1、通过了解一些不等式(组)产生的实际背景，认识不等关系的普遍性；2、掌握实数的性质与大小顺序之间的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小。

重点：用作差比较法比较两个实数的大小•难点：从实际问题中抽象出不等关系；作差比较法比较两个实数的大小时如何适当“变形”【课前导学】阅读课本P72〜73上半页后，填空：1、 (1)某公路立交桥对通过的车辆的高度h限高4 m，其不等关系是_________________(2)两实数a与b的和为非负数，则列出的不等关系是2、两实数之差a —b的符号与此两实数a、b的大小关系:a b0a ba b0ab 由此可知，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的a b0a b【课内探究】例1、配制A B两种药剂，需要甲、乙两种原料•已知配一剂A种药需甲料3g,乙料5g；配一剂B种药需甲料5g，乙料4g.今有甲料20g，乙料25g，若A、B两种药至少各配一剂，设A B 两种药分别配x、y剂(x、y N )，请写出x、y就满足的不等关系式•例2、比较下列各组中两个代数式的大小：(1) (a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)；Q 0 0(2) x 7x 与x27(其中x 1) ；(3) x y 1 与2(x y 1).小结：作差比较法的步骤：作差，变形，判断符号变式：比较的大小：(1) x2 x与1 ；( 2) x3与x2x+1 .【总结提升】【反馈检测】1、比较下列各组数的大小：(1) (x2 1)2与X4 X2 1(x 0) ；(2) a2 b2与2ab 1.2、求证：2 2 2 2 4a (1)a 3b 2b(a b) ； ( 2)a b 2 2a 2b ； ( 3)已知a 2，求证21.4 a3、P75习题3.1 A 组第5题解：*4、P75 习题3.1 A 组第4题解:。

高中数学必修五《不等关系与不等式》优秀教学设计

3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景。

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。

3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】1．用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

2．理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】1．用不等式(组)准确地表示不等关系。

2．用不等式(组)解决简单的含有不等关系的实际问题。

【方法手段】1．采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2．教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3．设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

【教学过程】一、课题导入章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然的引入新课。

引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。

在老师的引导下，学生会说出很多个例子来。

即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

通过实例的引导让学生感受生活中人们经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

而且在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

二、学生自由阅读、探究并回答相关问题阅读课本72页问题1，2，3．问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯≥．问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

人教版高中数学必修五导学案：3.1.2不等关系与不等式

一、有关复习1．设点 A 与平面之间的距离为 d，B 为平面上随意一点，则点 A 与平面的距离小于或等于 A、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式 .二、新课导学◆ 学习研究1．同向不等式：两个不等号方向同样的不等式，比如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式比如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：性质 1：假如a>b，那么b<a，假如b<a，那么a>b．(对称性)性质 2：假如a>b，且b>c，那么a>c．(传达性)即 a>b， b>c a>c性质 3：假如a>b，那么a+c>b+c．即 a>b a+c>b+c性质 4：假如a>b，且c>0，那么ac>bc；假如 a>b，且 c<0，那么 ac<bc．性质 5：假如a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法例)即a>b，c>d a+c>b+d．已知 a>b， c<d，求证： a-c>b-d．(相减法例 )性质 6假如a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法例)性质 7若a b 0,则 a n b n (n N 且 n1)性质 8 若a b 0,则n a n b (n N 且 n1)◆ 典型例题例 1已知a b 0 且 0 c d ，求证：a b(相除法例 ) c d例 2已知a>b>0，c<0，求证：c ca b例 3已知 a， b， x， y 是正数，且11，x>y．求证：x y a b x a y b例 4已知函数 f ( x)ax2 c , -4≤ f (1) ≤-1, -1≤ f (2)≤5,求 f (3) 的取值范围.变式：已知 4 a b1, 1 4a b 5 ，求9a b 的取值范围.◆ 着手试一试练 1.用不等号“ >”或“ <”填空：（ 1）a b, c d a c ____ b d ；（ 2）a b0,c d0ac ____ bd ；（ 3）a b03 a ____ 3 b ；（ 4）a b0112 ___ 2 .a b练 2.已知 x>0，求证 1 x 1x .2练 3.若 f (x)3x2x1 ， g (x) 2 x2x 1 ，则 f (x) 与 g (x) 的大小关系为（）. A．f ( x) g ( x)B．f ( x) g ( x)C．f ( x)g (x)D．随 x 值变化而变化练 4.已知x a0 ，则必定建立的不等式是（）.A．x2a20B．x2ax a2C．x2ax 0D．x2a2ax练5.已知2，则的范围是（） . 22A．(,0)B．[,0] 22 C．(,0]D．[,0) 22练 6.假如a b ，有以下不等式：①a2b2，②1a b，④ lg a lgb ，其1，③33.a b中建立的是练 7.设a0 ，1 b 0 ，则a, ab, ab2三者的大小关系为.练 8.已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.三、学习小结1、实数的运算性质与大小次序的关系：数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：a b a b0a b a b0a b a b0得出结论：要比较两个实数的大小，只需观察它们的差的符号即可。

人教A版必修5数学精品导学案：3.1不等关系与不等式(2)

§3.1不等关系与不等式（2）班级姓名学号学习目标1. 掌握不等式的基本性质；2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；3. 会将一些基本性质结合起来应用.学习过程一、课前准备d ，B 为平面α上任意一点，则点A 与平面α的距离小于或等于A 、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c >>⇒（2）____a b a c b c >⇒++（3）,0____a b c ac bc >>⇒（4）,0____a b c ac bc ><⇒二、新课导学※ 学习探究问题1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1.n n n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>※ 典型例题例1 比较大小：（1）2(32) 626+ （2）2(32) 2(61)；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.例2 已知0,0,a b c >><求证c c a b>.变式：已知0a b >>，0c d >>>例3已知1260,1536,a a b a b b<<<<-求及的取值范围.变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.※ 动手试试练1. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--；（2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>（4）22110___a b a b>>⇒.练2. 已知x >012x +.三、总结提升※ 学习小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）.A ．()()f x g x >B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）. A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π-4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .1. .2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n 年之后，方案B 的投入不少于方案A 的投入”．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

数学必修5导学案：3-1 不等关系

第三章不等式本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.情感目标（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.●重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.●方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式ab≤2ba(a>0,b>0)和a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)的理解、记忆，正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划.证明不等式没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.§1等关系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连结两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.2.在上述符号中，用“>”、“<”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“≥”、“≤”、“≠”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式a≤b，表示的是a<b或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.对于不等式a≥b，表示的是a>b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b或a>b或a<b三种关系中的一种，不可能同时满足两条.3.不等关系与不等式的异同不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现.注意：在数学意义上，不等关系主要体现在四个方面：①常量与常量之间的不等关系；②变量与常量之间的不等关系；③函数与函数之间的不等关系；④一组变量之间的不等关系.二、用不等式（组）来表示不等关系有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系；有的以代数式的形式揭示各组变量之间的不等关系，解决这类问题的关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，一定要注意变量的实际意义.由此可见，现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的.不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、实数比较大小的依据与方法1.实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即a ∈R ⇔a 2≥0.（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数.2.实数比较大小的依据在数轴上不同的点A 与点B 分别表示两个不同的实数a 与b ，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图）中，可以看出a 与b 之间具有以下性质：如果a-b 是正数，那么a >b ；如果a -b 是负数，那么a 0⇔a >b ;a-b =0⇔a=b ;a -b <0⇔a <b .上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.3.实数比较大小的方法（1）比较两个实数a 与b 的大小，需归结为判断它们的差a-b 的符号（注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要）.（2）比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理（配方，分解因式、分类讨论）→判断差的符号→得出结论.注意：（1）在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；（2）比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a 和b ，在a=b ， a>b,ab ⇔b<a .(2)a>b,b>c ⇔a>c .(3)a>b ⇔a+c>b+c .推论 a>b,c>d ⇔a+c>b +d .(4)a>b ,c >0⇔ac>bc ;a>b,c <0⇔ac<bc .推论1 a>b >0,c>d >0⇔ac>bd ;推论2 a>b,ab >0⇔a 1<b1; 推论3 a>b >0⇔a n >b n (n ∈N ＋,且n >1).(5)a>b >0⇔n a >n b (n ∈N ＋,且n >1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设a,b ∈R ，则a-b >0⇔ ;a-b =0⇔ ;a-b <0⇔ .3.不等式的基本性质(1)a>b,b>c ⇒ ;(2)a>b,c >0⇒ ;(3)a>b,c <0⇒ ;(4)a>b,c>d ⇒ ;(5)a>b >0,c>d >0⇒ ;(6)a>b >0,n ∈N +,n >1⇒ .［答案］ 1.不等号 2.a>b a=b a<b3.(1)a>c (2)ac>bc (3)ac<bc (4)a+c>b+d (5)ac>bd (6)a n >b n , n a >n b思路方法技巧命题方向比较大小［例1］已知x <1,比较x3-1与2x 2-2x 的大小.［分析］作差→因式分解变形→判断符号［解析］ x 3-1-(2x 2-2x )=x 3-2x 2+2x -1=(x 3-x 2)-(x 2-2x +1)=x 2(x -1)-(x -1) 2=(x -1)(x 2-x +1)=(x -1)（x -21）2+43 ∵x <1,∴x -1<0.又∵（x -21）2+43>0, ∴(x -1)［（x -21）2＋43］<0, ∴x 3-1<2x 2-2x .［说明］ 1.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解配方通分2.变形的方法对数与指数运算性质分母或分子有理化分类讨论〖JB)〗变式应用1设p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件.［解析］P-Q＝a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1) 2+(a+2)2∵P>Q,∴(ab-1) 2+(a+2) 2>0∴ab≠1或a≠-2.故实数a、b应满足的条件是ab≠1或a≠-2.命题方向应用不等式（组）表示不等关系［例2］某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？［分析］利用提价后的价格x表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.［解析］杂志的定价为x元，则销售的总收入为（8-2.05.2-x×0.2）x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-2.05.2-x×0.2）x≥20.［说明］决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可.变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.［解析］每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则x、y应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于3600g；（2）咖啡的总使用量不大于2000g；（3）糖的总使用量不大于3000g；（4）x,y为自然数.∴x,y满足不等式组：9x+4y≤3600,4x+5y≤2000,3x+10y≤3000,x∈N,y∈N.命题方向不等式性质的简单应用［例3］对于实数a、b、c，有下列命题①若a＞b,则ac＜bc;②若ac 2>bc 2,则a>b ;③若aab>b 2;④若c>a>b >0;则a c a ->bc b -; ⑤若a>b , a 1>b1,则a >0,b <0. 其中真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5［答案］ C［解析］ ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac 2>bc 2知c ≠0,所以c 2>0,所以a>b ,故该命题是真命题.aab, ab >b 2.所以a 2>ab>b 2故该命题为真命题. a <0 b<0④a>b ⇒-a <-b ⇒c-a<c-b .因为c>a ,所以c-a >0.所以0<c-a<c-b .两边同乘以()()b c a c --1,得a c -1>bc -1>0. 又因为a>b >0,所以a c a ->bc b -.故该命题为真命题. ⑤a>b ⇒a-b >0, a 1> b 1⇒a 1－b 1>０⇒aba b ->０.因为a-b >0,所以b-a <0.所以ab <0. 又因为a>b ,所以a >0,b <0,故该命题为真命题.综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题.故选C.［说明］通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.变式应用3判断下列各题的对错.（1）bc a c <且c >0⇒a>b （）（2）a>b 且c>d ⇒ac>bd （）（3）a>b >0且c>d >0⇒c b b a >（）（4）⇒>22cb c a a>b （）［答案］ × × √ √bc a c < ［解析］（1） ⇒a 1０当a <0,b >0时，此式成立，推不出a>b ，∴(1)错；（2）当a =3,b =1,c =-2,d =-3时，命题显然不成立，∴（2）错；a>b>0（3）c>d>0 ⇒d a >c b >0⇒cb d a >成立.∴(3)对；（4）显然c 2>0,∴两边同乘以c 2,得a>b .∴(4)对.探索延拓创新命题方向应用不等式的性质讨论范围［例4］已知：-2π≤α<β≤2π，求2βα+，2βα-的范围. ［分析］已知的不等式相当于-2π≤α≤2π -2π≤β≤2π α<β，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.［解析］ ∵-2π≤α<β≤2π， ∴-2π≤α<2π ①, -2π<β≤2π ②，∴①+②得-π<α+β<π∴-2π<2βα+<2π. 由②得-2π≤-β<2π， ④ ①+④得-π≤α-β<π，又α<β，∴α-β<0，∴-π≤α-β<0，∴-2π≤2βα-<0. 变式应用4已知12<a <60,15<b <36，求a-b 及ba 的取值范围. ［解析］欲求a-b 的范围,应先求-b 的范围,欲求b a 的范围,应先求b 1的范围,再利用不等式性质求解.∵15<b <36,∴-36<-b <-15.∴12-36<a-b <60-15,∴-24<a-b <45. 又361<b 1<151, ∴15603612<<b a , ∴431<<b a . 名师辨误做答［例5］已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a -2b 的范围.［误解］ ∵1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3,∴0≤a ≤4.又∵1≤a+b ≤5,-3≤-(a-b )≤1，∴-1≤b ≤3.∵0≤a ≤4,-1≤b ≤3,∴0≤3a ≤12,-6≤-2b ≤2,∴-6≤3a -2b ≤14.［辨析］在误解中，由已知条件推出不等式-6≤3a -2b ≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a+b ≤5与-1≤a-b ≤3,得到0≤a ≤4,-1≤b ≤3,但这并不意味着a 与b 可各自独立地取得区间［0,4］与［-1,3］的一切值.如取a =4,b =3时，a+b =7，就已超出题设条件1≤a+b ≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.［正解］设a+b=u,a-b=v ,则a =2v u +,b=2v u -, 且1≤u ≤5,-1≤v ≤3. ∴3a -2b =21u +25v , ∵21≤2u ≤25，-25≤25v ≤215, ∴-2≤2u +25v ≤10，即-2≤3a -2b ≤10.课堂巩固训练一、选择题1.下列不等式：①x 2+3>2x (x ∈R );②a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a,b ∈R );③a 2+b 2≥2（a-b -1）中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］对于①，x 2+3-2x =(x -1) 2+2>0恒成立，对于②，a 3+b 3-a 2b -ab 2=a 2(a-b )+b 2(b-a )=(a-b )(a 2-b 2)=(a-b ) 2(a+b ),∵a 、b ∈R ,∴(a-b ) 2≥0，而a+b >0,或a+b =0,或a+b <0,故②不正确,对于③，a 2+b 2-2a +2b +2=a 2-2a +1+b 2+2b +1=(a -1) 2+(b +1) 2≥0，∴③正确，故选C.2.设x<a <0，则下列各不等式一定成立的是（）A. x 2<ax <a 2B. x 2>ax >a 2C. x 2<a 2<axD. x 2>a 2>ax［答案］ Bx ＜a ＜0 x 2＞ax［解析］ x ＜0 ⇒ ⇒ x 2＞ax ＞a 2.a ＜0 ax ＞a 23.若x>y 与x 1>y1同时成立，则（） A. x >0,y >0 B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <0［答案］ B［解析］ ∵由x ＞y 推出x 1>y 1，需满足xy ＜0.又x ＞y ，∴x ＞0,y ＜0. 二、填空题4.已知x ≤1，f (x )=3x 3,g (x )=3x 2-x +1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x ) g (x ).［答案］ ≤［解析］ f (x )-g (x )=3x 3-(3x 2-x +1) =(3x 3-3x 2)+(x -1)=3x 2(x -1)+(x -1)=(3x 2+1)(x -1),∵x ≤1得x -1≤0，而3x 2+1>0,∴(3x 2+1)(x -1)≤0，∴3x 3≤3x 2-x +1.∴f (x )≤g (x ).5.已知60<x <84,28<y <33,则x-y 的取值范围为，yx 的取值范围为 . ［答案］ (27,56) (1120,3) ［解析］ ∵28<y <33,∴-33<-y <-28,又∵60<x <84,∴27<x-y <56.由28<y <33得2811331<<y , 即31120<<yx . 三、解答题6.有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？［解析］设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2b a +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2 =ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.课后强化作业一、选择题1.已知a,b,c,d 均为实数，有下列命题：（）①若ab ＜0,bc-ad ＞0,则0>-bd a c ; ②若ab ＞0, 0>-bd a c ,则bc-ad ＞0; ③若bc-ad ＞0,0>-b d a c ，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］ ①∵ab ＜0,∴ab 1＜0, 又∵bc-ab ＞0, ∴ab 1·（bc-ad ）＜0即0<-bd a c , ∴①错； ②∵ab ＞0,0>-b d a c , ∴ab (bd a c -)＞0, 即：bc-ab ＞0,∴②正确； ③∵0>-b d a c ,∴abad bc -＞0，又∵bc-ad ＞0,∴ab ＞0,∴③正确.2.已知P ＝112++a a ,Q =a 2-a +1,则P 、Q 的大小关系为（） A.P>Q B.P<QC.P ≤QD.无法确定［答案］ C［解析］ P-Q ＝112++a a -a 2+a -1 =1112223234++---+++---a a a a a a a a a a =()111222224+++-=++--a a a a a a a a , ∵a 2+a +1=(a +21)2+43>0,-a 2(a 2+1)≤0，∴()11222+++-a a a a ≤0， ∴P ≤Q .3.(2011·陕西文，3)设0<a0,即ab >a ,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a =1,b =4,易知选B.4.若a 、b 是任意实数，且a >b ,则（）A.a 2>b 2B.ab <1 C.lg(a-b )>0 D.(21)a <(21)b ［答案］ D ［解析］ a >b 并不保证a 、b 均为正数，从而不能保证A 、B 成立.又a>b ⇒a-b >0,但不能保证a-b >1,从而不能保证C 成立，显然只有D 成立.事实上，指数函数y =(21)x 在x ∈R 上是减函数，所以a>b ⇒(21)a <(21)b 成立.故选D.5.已知a0C.ab <0D.｜a ｜<｜b ｜［答案］ A［解析］特殊值法：令a =-1,b =0,满足a|b |,排除D ，故选A.6.已知a 2+a <0,那么a,a 2,-a ,-a 2的大小关系是（）A.a 2>a >-a 2>-aB.-a >a 2>-a 2>aC.-a >a 2>a >-a 2D.a 2>-a >a >-a 2［答案］ B［解析］特殊值法：∵a 2+a <0,∴-1<a <0.令a =-21,则a 2=41,-a =21,-a 2=-41，故选B. 一般解法：由a 2+a <0,得0<a 2<-a且a <-a 2<0,故a <-a 2<a 2<-a ,选B.7.如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是（）A.a ＞4bB.(a +4)(b +4)=200a ＞4bC.(a +4)(b +4)=200a ＞4bD.4ab =200［答案］ C8.如果a ＞0,且a ≠1,M =log a （a 3+1），N =log a （a 2+1），那么（）A.M ＞NB.M ＜NC.M=ND.M 、N 的大小无法确定［答案］ A［解析］当a ＞1时a 3+1＞a 2+1，y=log a x 单增，∴log a (a 3+1)＞log a （a 2+1）.当0＜a ＜1时a 3+1＜a 2+1，y =log a x 单减.∴log a (a 3+1)＞log a (a 2+1),或对a 取值检验.二、填空题9.已知三个不等式：①ab >0;②bc a c ;③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 .若③成立，则①成立∴②③⇒①；若①成立则③成立，∴①②⇒③. 若③成立即bc ＞ad ,若①成立，则ab ad ab bc >，∴a c ＞bd ∴①③⇒②. 10.如果a>b ，那么下列不等式：①a 3>b 3; ②ba 11<; ③3a >3b ;④lg a >lg b .其中恒成立的是 .［答案］ ①③［解析］ ①a 3-b 3=(a-b )(a 2+b 2+ab )=(a-b )［(a +2b )2+43b 2］>0; ③∵y =3x 是增函数，a >b ，∴3a >3b当a >0,b <0时，②④不成立.11.设m =2a 2+2a +1,n =(a +1) 2,则m 、n 的大小关系是 . ［答案］ m ≥n［解析］ m-n =2a 2+2a +1-(a +1) 2＝a 2≥0.12.设a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0，则p =a b ,q =b a ,r =m a m b ++, s =n b n a ++的大小顺序是 . ［答案］ p ＜r ＜s ＜q［解析］取a =4,b =2，m =3,n =1,则p =21,q =2, r =73,s =35则p ＜r ＜s ＜q （特值探路）. 具体比较如下： p-r =a b -m a m b ++=()()m a a m a b +-＜0，∴p ＜r . ∵a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0∴a+m ＞b+m ＞0.a+n ＞b+n ＞0， ∴ma mb ++＜1, n b n a ++＞1,∴r ＜s . 或r-s =m a m b ++-n b n a ++ =()()()()n b m a n m a b a b +++++-<0. ∴r ＜s .s-q =n b n a ++-b a =()()n b b n a b +-·＜0，∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题13.某城市电信宽带私人用户月收费标准如下表：问某用户每月上网时间在多少小时以内，选择乙方案比较合适？［解析］设用户每月上网时间为x 小时，则选择乙方案为80(0≤x ≤60)y =2(x -60)+80(x >60),由2(x -60)+80≤120,得x ≤80,∴某用户每月上网时间在80小时以内，选择乙方案比较合适.14.(1)已知a>b,e>f,c >0.求证：f-ac<e-bc .(2)若bc-ad ≥0,bd >0.求证：b b a +≤dd c +. ［解析］ (1)∵a>b,c >0,∴ac>bc,∴-ac<-bc,∵f <e ,∴f -ac <e -bc .(2)∵bc-ad ≥0,∴ad ≤bc ,又∵bc >0,∴b a ≤dc , ∴b a +1≤dc +1, ∴b b a +≤dd c +. 15.已知a 、b 为正实数，试比较ab b a +与a +b 的大小. ［解析］解法一：（ab b a +）－（a +b ）＝（b b a -）-（a a b -）=aa b b b a -+- =()()ab b a b a --=()()ab b a b a 2-+. ∵a 、b 为正实数，∴a +b >0, ab >0,( a -b )2≥0. ∴()()ab b a b a 2-+≥0，当且仅当a=b 时，等号成立. ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 解法二：∵（ab b a +）2＝ab a b b a 222++, (a +b )2=a+b +2ab , ∴（ab b a +）2-(a +b )2=ab a b b a 222++-(a+b +2ab ) =()abb a ab b a +-+33 ＝()()()abb a ab b ab a b a +-+-+22 =()()abb a b a 2-+. ∵a 、b 为正实数，∴()()abb a b a 2-+≥0， ∴（a b b a +）2≥(a +b )2. 又∵a b b a +>0，a +b >0， ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 16.已知0<a+b <2π,-2π<a-b <3π,求2a 和3a -3b 的取值范围. ［解析］∵0<a+b<2π -2π<a-b<3π, 两式相加得-2π<2a <65π. 设3a -3b =m (a+b )+n (a-b ) =a (m+n )+b (m-n ),则有 m+n =3m-n =-31, 解得m =34,n =35. ∴3a -3b =34 (a+b )+ 35 (a-b ).0<34 (a+b )<32π -65π<35 (a-b )< 95π, 两式相加，得-65π<3a -3b <911π. 故2a ∈(-2π,65π),3a -3b ∈(-65π, 911π).。

2019-2020学年高中数学 1.1.2《不等式与不等关系》导学案新人教A版必修5.doc

2019-2020学年高中数学 1.1.2《不等式与不等关系》导学案新人教A 版必修5姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1﹑感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的背景. 2﹑知道不等式的一些基本性质.3、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 【重点难点】▲重点：1、不等式的基本性质.2、一元二次不等式的解法.▲难点：1、一元二次不等式的解法.2、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.【知识链接】2008年经济危机风暴继续在世界各国漫延，我国的房地产业受到很大的冲击，2008年8月深圳房价20570元/2m ，而到了10月房价低于19680元/2m ，这三个月内平均降价的百分比是多少？你能列出不等式求解吗？【学习过程】阅读课本第72页至第73页的内容，去刻画客观事物的基本数量关系，尝试回答以下问题：知识点1:不等关系与不等式基本性质问题1﹑完成课本第74页练习1、2，并举出几个现实生活中与不等式有关的例子.问题2﹑不等式的基本性质：性质1：对称性a b b a >?性质2：传递性 ,a b b c a c >>?性质3：可加性a b ac b c >?>+性质4：可乘性,0a b c ac bc >>? 性质5：加法法则,a b c d ac bd >>?>+性质6：乘法法则0,0a b c d ac bd >>>>?性质7：乘方法则0(,2)nn a b a b n N n>>?纬性质8：开方法则0,2)a b n N n >>?纬练习： 1、比较22x ax -与2223a a --的大小(,)a x R Î点拨：可用作差法比较大小，解题步骤：作差®分解因式或作差®确定符号®判断大小阅读课本第76页至第77页的内容，尝试回答以下问题：知识点2: 一元二次不等式的解法问题1、从课本第77页的图3.2-2可知，一元二次方程的根就是二次函数的零点. 问题2﹑观察图3.2-2知：①当x Î ，函数位于x 轴上方，此时y 0，即25x x - 0. ②当x Î ，函数位于y 轴下方，此时y 0，即25x x - 0. 问题3、从以上问题1、2中可知观察函数图像可获得不等式解集问题4、如何确定一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>的解集.练习：解不等式①28150x x -+> ②223x x -->-点拨：首先判断其所对应的一元二次方程判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及二次项函数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法.知识点3: 一元二次不等式与二次函数及一元二次方程之间的联系.知识点4:一元二次不等式及可转化为一元二次不等式的指、对、分数不等式的解法例1、求不等式24410x x -+>的解集问题1、先求方程24410x x -+=的根，再根据二次函数2441y x x =-+的图像写出解集问题2、你能归纳求解一般一元二次不等式的过程吗？请试一试例2、解不等式201x x ->+ 问题1、若0a b >，则只需a 与b 同号，即00ab b ìïïíïïî，则分式不等式201x x ->+可转化为：问题2、尝试写出本题的完整过程例3、求解不等式2lg()lg(3)x x x +>-点拨：利用对数函数单调性脱去对数符号时，必须使原不等式中的所有真数均大于零，而不仅仅是变形后的最简不等式中的真数大于零【基础达标】A1、解不等式①22150x x --> ②221x x >- ③222x x <-B2、解不等式222312513()3x x x x -++->. C3、解不等式222306x x x x +-<-++C4﹑定义在(1,1)上的奇函数()f x 在定义域上式减函数，且2(1)(1)0f a f a -+-<，求a 的取值范围.D5、若不等式20x px q ++<的解集为{}|12x x <<，求不等式22056x px qx x ++>--的解集【小结】【当堂检测】若已知二次函数()y f x =的图像过原点，且有1(1)2f ??，3(1)4f ＃，求(2)f -的范围.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

人教A版数学必修五 3.1《不等式与不等关系》导学案

高中数学必修5 3.1《不等式与不等关系》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1．掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．能用不等式正确表示出不等关系。

【重点难点】重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式难点：利用不等式的性质证明简单的不等式【知识链接】在日常生活、生产实际和科学研究中，经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．【学习过程】阅读课本第72页至第73页的内容，尝试回答以下问题：知识点一：用不等式正确表示出不等关系问题1:用不等式表示下面的不等关系：⑴a与b的和是非负数⑵某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”m的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地。

仓库的长L大于宽⑶如图，在一个面积为3502W的4倍。

问题2：有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2。

试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）。

阅读课本第73页至第74页的内容，尝试回答以下问题：知识点二：不等式的性质常用不等式的基本性质：性质1:对称性：a>b ⇔______性质2:传递性：a>b ,b>c ⇒__________ 或 a b ⇒a +c ___ b +c(移项法则)性质4:可乘性：a>b ，c >0⇒a c___b c a>b ,c<0⇒a c___b c性质5:加法法则： a>b , c >d ⇒ a +c __ b +d性质6:乘法法则: a>b>0 , c >d > 0 ⇒a c _____ bd性质7:乘方法则：a>b>0⇒a n ____ b n (n ∈ N , n 2≥)性质8:开方法则: a>b>0⇒n a ___ n b (n ∈ N , n 2≥)练习：若0<>【基础达标】A1．已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（）A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+A2．已知b a >,f e >,0>c ,求证bc e ac f -<-B3．比较下列各组中两个代数式的大小⑴当1>x 时，3x 与12+-x x 提示：))((2233b ab a b a b a ++-=-⑵122++y x 与)1(2-+y xC4.已知0>x ,求证211x x +<+D5. 如果4230<<x ,2416<<y ,则(1)y x +的取值范围是 ,(2)y x -的取值范围是 ,(3)xy 的取值范围是 , (4)y x的取值范围是【小结】【当堂检测】A1、下列命题中正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b< D ．若a b >，c d <，则a b c d >【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

必修五导学案8(不等关系与不等式)

河高“自主探究，合作学习”高效课堂高一数学必修五导学案（8）课堂探究案——————————————————————————————————————————【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究一．（1）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高 4m ”，则h 4；（2）a 与b 的和是非正数，则a+b 0；（3）对于数轴上两点A 、B ，若点A 在点B 的左边，点A 、B 对应的数分别是是a 、b ，则；（4）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v 不小于第一宇宙速度7.9km/s ，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为⎩⎨⎧2.119.7v v或者表示为9.7v 且2.11v小结：（1）现实生活和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

（2）大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示。

探究二：试证明不等式的性质6、7、8。

性质6的证明：()2)4(0,)4(0,性质性质性质⇒⎭⎬⎫⇒>>⇒>>b d c c b a 。

性质7的证明：ΛΛ)6(0,021性质时，当很明显成立。

时，当⇒>>>>=>=b a b a n b a n性质8的证明：（反证法）典例分析：例１．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根。

例２．比较下列各组数的大小（a ≠b ）.(1))0,0(,1122>>++b a ba b a 与（2）1)1(2422+++a a a 与.小结：不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；例３、（1）已知,22ππ-≤α<β≤求α-β的取值范围。

人教A版高中数学必修五不等式与不等关系学案(4)

《不等关系与不等式》导学案【学习目标】1、通过问题情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；2、会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；3、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式（组）正确表示不等关系。

【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示，负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1：现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；（3）右图是限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h，表示为40(4) 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，表示为问题2: 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？（1）根据题意，提价前杂志的定价为元,提价后杂志的定价为元，因此提高了元；（2）由（1）可知，价格提高了0.1元的倍，即个0.1元；（3）由（2）可知，销售量减少了2000本的倍，即本，因此，提价后的销售量为本；（4）提价后的销售总收入=销售量单价，因此可表示为，不低于用表示，所以可得到不等式为知识点2:现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题3：用不等式组表示下列不等关系：（1）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p的含量应不少于2.3﹪.表示为（3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w不超过200cm，重量m 不超过20kg. 表示为问题4：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种。

人教A版高中数学必修五不等关系与不等式教案新(3)

3.1 不等关系与不等式（导学案）一、学习目标1、了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.2、通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；二、本节重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

三、本节难点用不等式（组）正确表示出不等关系。

四、知识储备“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0等. ② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.③常用的不等式的基本性质 (1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 五、通过预习掌握的知识点实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式。

例如：a>b ，c>d ，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式2．不等式的性质：(1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 六、知识运用①.比较233x x +与的大小，其中x R ∈.②.比较当0a ∉时，2222(1)(1)(1)(1)a a a a a a +++++-+与的大小.③.设实数,,a b c 满足22643,44,,,b c a a c b a a a b c +=-+-=-+则的大小关系是_____________.④.配制,A B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B 药需甲料5毫克，乙料4毫克。

人教A版高中数学必修5数学导学案不等关系与不等式(2)

§3.1不等关系与不等式（2）班级姓名学号1. 掌握不等式的基本性质；2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；3. 会将一些基本性质结合起来应用.d ，B 为平面α上任意一点，则点A 与平面α的距离小于或等于A 、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c >>⇒（2）____a b a c b c >⇒++（3）,0____a b c ac bc >>⇒（4）,0____a b c ac bc ><⇒二、新课导学※ 学习探究问题1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>※ 典型例题例1 比较大小：（1）26+（2）221)；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.例2 已知0,0,a b c >><求证c ca b >.变式：已知0a b >>，0c d >>>例3已知1260,1536,aa b a b b <<<<-求及的取值范围.变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.※ 动手试试练1. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--；（2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>（4）22110___a b a b>>⇒.练2. 已知x >012x +.三、总结提升※ 学习小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）.A ．()()f x g x >B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）. A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π-4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .1. .2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n 年之后，方案B 的投入不少于方案A 的投入”．。

人教新课标版数学高二必修5导学案 3.1不等关系与不等式教师版

3.1不等关系与不等式【教学目标】1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.1不等关系与不等式》课件“问题情景”部分，从生活中鲜活的事例入手，了解不等关系存在的普通性与实际意义，再通过举例说明和互相交流，进一步理解不等式的定义.二、自主学习教材整理1不等关系与不等式阅读教材P72～P73上面第5行，完成下列问题．1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换阅读教材P73上面第二自然段～P74，完成下列问题．1．比较两实数a，b大小的依据2．不等式的性质问题1 限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，用不等式如何表示？提示 v ≤40.问题2 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？提示作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x . 问题3 试用作差法证明a >b ，b >c ⇒a >c .提示 a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒a －b ＋b －c >0⇒a －c >0⇒a >c . 探究点1 用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？提示提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.名师点评：数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．探究点2 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．提示 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )．当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.名师点评：比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系．提示 |log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∵0＜x ＜1，∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )11－x， ∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜11－x，∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1，∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.名师点评：作商法的依据：若b ＞0，则ab ＞1⇔a ＞b .探究点3 不等式的基本性质例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >cb.提示因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.名师点评：有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．四、当堂检测1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45提示 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b提示 C解析由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a 0， ∴a >－b >b >－a .3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小．提示 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？提示设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1800.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．。

高三数学必修5教案：《不等关系与不等式》

高三数学必修5教案：《不等关系与不等式》对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。

教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.教学过程思路1.（章头图导入）通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.（情境导入）列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系4任意两个实数具有怎样的关系用逻辑用语怎样表达这个关系活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“ ne;”“ ge;”“ le;”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B 的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4，2x le;6，a+2 ge;0，3 ne;4，0 le;5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃ le;t le;32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x ge;0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v le;40 km/h.实例7，f ge;2.5%，p ge;2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f ge;2.5%或p ge;2.3%，这是不对的.但可表示为f ge;2.5%且pge;2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：（1）（2）略；（3）数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.（4）对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b；a-b=0a=b；a-b<0 a应用示例例1（教材本节例1和例2）活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f（x）=3x2-x+1，g（x）=2x2+x-1，则f（x）与g （x）的大小关系是（）A.f（x）>g（x）B.f（x）=g（x）C.f（x）答案：A解析：f（x）-g（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1 ge;1>0，there4;f（x）>g（x）.2.已知x ne;0，比较（x2+1）2与x4+x2+1的大小.解：由（x2+1）2-（x4+x2+1）=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x ne;0，得x2>0.从而（x2+1）2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小（a ne;b）.（1）a+b2与21a+1b（a>0，b>0）；（2）a4-b4与4a3（a-b）.活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：（1）a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a ne;b， there4;a+b>0，（a-b）2>0. there4;a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.（2）a4-b4-4a3（a-b）=（a-b）（a+b）（a2+b2）-4a3（a-b）=（a-b）（a3+a2b+ab2+b3-4a3）=（a-b）[（a2b-a3）+（ab2-a3）+（b3-a3）]=-（a-b）2（3a2+2ab+b2）=-（a-b）2[2a2+（a+b）2].∵2a2+（a+b）2 ge;0（当且仅当a=b=0时取等号），又a ne;b， there4;（a-b）2>0，2a2+（a+b）2>0. there4;-（a-b）2[2a2+（a+b）2]<0.there4;a4-b4<4a3（a-b）.点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y ne;0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y， there4;x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0. there4;xy<1；当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0. there4;xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab ge;10%，因此a+mb+m>ab ge;10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ne;1，则（）A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：（a1+a8）-（a4+a5）=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[（1-q3）-q4（1-q3）]=a1（1-q）2（1+q+q2）（1+q）（1+q2）.∵{an}各项都大于零， there4;q>0，即1+q>0.又∵q ne;1， there4;（a1+a8）-（a4+a5）>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a；②a2+b2>2（a-b-1）；③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为（）A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C 解析：∵②a2+b2-2（a-b-1）=（a-1）2+（b+1）2 ge;0，③x2+y2-2xy=（x-y）2 ge;0.there4;只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-（x2+5x+6）=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备用习题1.比较（x-3）2与（x-2）（x-4）的大小.2.试判断下列各对整式的大小：（1）m2-2m+5和-2m+5；（2）a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x .4.若x5.设a>0，b>0，且a ne;b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵（x-3）2-（x-2）（x-4）=（x2-6x+9）-（x2-6x+8）=1>0，there4;（x-3）2>（x-2）（x-4）.2.解：（1）（m2-2m+5）-（-2m+5）=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2 ge;0， there4;（m2-2m+5）-（-2m+5） ge;0.there4;m2-2m+5 ge;-2m+5.（2）（a2-4a+3）-（-4a+1）=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2 ge;0， there4;a2+2 ge;2>0.there4;a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵（1+x2）2-（1+x）2=1+x+x24-（x+1）=x24，又∵x>0， there4;x24>0.there4;（1+x2）2>（1+x）2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：（x2+y2）（x-y）-（x2-y2）（x+y）=（x-y）[（x2+y2）-（x+y）2]=-2xy（x-y）.∵x0，x-y<0.there4;-2xy（x-y）>0.there4;（x2+y2）（x-y）>（x2-y2）（x+y）.5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=（ab）a-b，且a ne;b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则（ab）a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则（ab）a-b>1.于是aabb>abb a.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.。