1.3.1集合的并集与交集(新教材配套)
1.3.1 集合的基本运算——并集与交集(课件)(新人教A版2019必修第一册)
B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
解析：∵A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}， B＝{－2,0,1,2}， ∴A∩B＝{0,1}．故选 A. 答案：A
2．设 S＝{x|2x＋1＞0}，T＝{x|3x－5＜0}，则 S∩T＝
A．∅
C.xx＞35
B.xx＜－12
而 A 与 B 的并集是由 A 与 B 两个集合中的所有元素(重复元素只出 现一次)组成的，即集合 A∪B 中的元素可能 A 与 B 两个集合都有，也可 能 A 有 B 没有，或者 A 没有 B 有．
一般地，集合 A∩B 比 A 与 B 两个集合的范围都小或元素都少；集 合 A∪B 比 A 与 B 两个集合的范围都大或元素都多．当且仅当 A＝B 时， A∩B＝A∪B＝A＝B.
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交 集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值 的取舍．
[ 变式训练]
1．已知集合 A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则 A∩B＝( )
A．{0,1}
A．{1,3}
B．{2,4}
C．{2,4,5,7}
D．{1,2,3,4,5,7}
(2)已知集合 P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么 P∪Q＝ ( )
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜0}
D．{x|1＜x＜2}
[解析] (1)依题意，得 B＝{1,3,5,7}，因此 A∪B＝{1,2,3,4,5,7}．
高中数学人教版(新教材)必修1教学设计3：1.3 第1课时 并集与交集
1.3 第1课时并集与交集教学目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(重点)；2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用(重点)；3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题(重、难点)．教学知识梳理知识点一交集的概念交集的三种语言表示(1)文字语言：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)图形语言：如图所示：知识点二并集的概念并集的三种语言表示(1)文字语言：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)图形语言：如图所示：知识点三并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪A A∩B＝B∩AA∪A＝A A∩A＝AA∪∅＝A A∩∅＝∅A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A题型一并集及其运算『例1』(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于() A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1}C．{x|－1＜x＜0} D．{x|1＜x＜2}『解析』(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)结合数轴可得P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．故选A.『答案』(1)A(2)A规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．『训练1』已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是() A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}『解析』∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．『答案』C题型二交集及其运算『例2』(1)设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于() A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}『解析』(1)由已知得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{－1,0,1}．故选B．(2)1是方程x2－4x＋m＝0的解，x＝1代入方程得m＝3，∴x2－4x＋3＝0的解为x＝1或x ＝3，∴B＝{1，3}．『答案』(1)B(2)C规律方法求集合交集的思路(1)识别集合：点集或数集．(2)化简集合：明确集合中的元素．(3)求交集：元素个数有限，利用定义或Venn图求解；当解集为连续数集时，借助数轴求解．『训练2』(1)设集合A＝{x|x∈N，x≤4}，B＝{x|x∈N，x>1}，则A∩B＝________．(2)集合A＝{x|x≥2或－2<x≤0}，B＝{x|0<x≤2或x≥5}，则A∩B＝________．『解析』(1)因为A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，所以A ∩B ＝{2,3,4}．(2)A ∩B ＝{x |x ≥5或x ＝2}．『答案』(1){2,3,4} (2){x |x ≥5或x ＝2}互动 探究题型三 集合交、并运算的性质及综合应用值范围．解 因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤－2，2m ＋1<m ＋7，m ＋7≥3，即－4≤m ≤－32．故实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－4≤m ≤－32．『探究2』已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 ①当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3；②当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3． 综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}． 规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：当题目中含有条件A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等．(2)关注点：当题目条件中出现B ⊆A 时，若集合B 不确定，解答时要注意讨论B ＝∅和 B ≠∅的情况．课堂小结1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分．特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅． 2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．课堂达标1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,3}D ．{1,2,3}『解析』因为A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3}，所以A ∩B ＝{1,3}． 『答案』C2．已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32 D ．A ∪B ＝R 『解析』由3－2x >0得x <32，所以A ∩B ＝{x |x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，故选A. 『答案』A3．已知集合P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝5－x 2，x ∈R }，则P ∪Q ＝________．『解析』因为P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＝5－x 2，x ∈R }＝{y |y ≤5}，所以P ∪Q ＝R ．『答案』R4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x －1}，则A ∩B ＝________．『解析』因为A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x －1}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝3x －1＝{(2,5)}． 『答案』{(2,5)}5．设集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 A ＝{x |x 2－x －2＝0}＝{－1,2}，B 是关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的解集． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∵A ＝{－1,2}≠∅，∴B ＝∅，或B ≠∅．当B ＝∅时，关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0无实数解，则有Δ＝1－4a <0，即a >14．当B ≠∅时，关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有实数解． 若B 中仅有一个元素，则Δ＝0，即a ＝14．此时B ＝{x |x 2＋x ＋14＝0}＝{－12}．∵－12∉A ，∴B 不是A 的子集，即a ＝14不合题意．若B 中含有两个元素，则必有B ＝{－1,2}，则－1和2是关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－1，(－1)×2＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝－1，a ＝－2.∵1≠－1，∴此种情况不合题意． 综上可得，实数a 的取值范围是{a |a >14}．。
高中数学必修第一册1.3.1并集与交集公开课优秀课件(与人教A版新教材同步)
A B x | x A, 且 x B
也可用Venn图表示
A AB B
这样可知在前面观察的问题中，集合 A与B 的交集是C . 即 AB C
交集
例3 A ={x | x 是立德中学高一参加百米赛跑的同学}， B ={x | x 是立德中学高一参加跳高比赛的同学}，求 A∩B
在上述两个问题中，集合 A ，B 与集合C 之间都具有这
样一种关系：
集合C 是由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素组成的。
知识梳理
1．并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称 为集合 A 与B 的并集．
记作 A B （读作“A 并 B”）即
A B x | x A, 或 x B
可用Venn图表示
A
B
A B
这样可知在前面观察的问题中，集合 A与B 的并集是 C. 即 AB C
并集
例1 设 A ={4,5,6,8}，B ={3,5,7,8}，求A∪B
解：A∪B ={4,5,6,8}∪{3,5,7,8} ={3,4,5,6,7,8}
例2 设集合 A ={x|-1<x<2}，集合 B ={x|1<x<3}， 求 A ∪B
B ={ x | x 是立德中学今年在校的高一年级同学}， C ={ x | x 是立德中学今年在校的高一年级女同学}
在上述两个问题中，集合 A，B 与集合C 之间都具有这样一种关系： 集合C 是由所有既属于集合 A又属于集合B 的元素组成的。
知识梳理
2．交集 一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称 为集合A 与B 的交集．
人教版高中数学新教材必修第一册
1.3.1 并集和交集-(新教材人教版必修第一册)(34张PPT)
{－1,0,1,2} {0,1} [∵M＝{ － 1,0,1} ，N＝{ 0,1,2} ，∴M∩N＝ { 0,1} ，M∪N＝{ －1,0,1,2} ．]
2．若集合A＝{x|－3<x<4}，B ＝{x|x>2}，则A∪B＝________.
{x|x>－3} [如图： 故A∪B＝{x|x>－3}．]
2．集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义 求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利 用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
当堂达标 固双基
1．思考辨析 (1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的 所有元素的个数和．( ) (2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合
A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
A [由题意知A∩B＝{ 0,2} ．]
3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B
D [因为A∩B≠∅，所以集合
＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值 A，B有公共元素，在数轴上表示出
范围是( )
两个集合，如图所示，易知a> －1.]
【例 3】 已知集合 A＝{x|－3<x≤4}，集合 B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}， 且 A∪B＝A，试求 k 的取值范围．
[思路点拨] A∪B＝A 等―价―转→化 B⊆A 分B＝――∅和→B≠∅ 建立k的不等关系 求――交→集 得k的范围
[解] (1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合
1.3(1)集合的基本运算——交集、并集-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
1.3 集合的基本运算——交集、并集导学案【学习目标】1.理解两个集合并集与交集的含义；2、会求两个集合的并集与交集；【知识梳理】1、一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的，记作（读作）符号语言：{x}A B x A x B=∈∈或图形语言：（请用阴影表示A B）2、一般地，由所有属于集合A和属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的，记作（读作）符号语言：{x,}A B x A x B=∈∈且图形语言：（用阴影表示A B）【学习过程】1、完成下列填空：（1）A={4,5,6,8} ，B={7, 8, 3, 4 ,5}，则A B= ; A B=。
( 2 ) A∪A=_________；A∪∅=_________； A∩A=________；A∩∅=__________。
（3）设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B= A∩B=( 4）设22{450},{1}A x x xB x x=--===，求A∪B，A∩B（5）设集{22},{03}A x xB x x=-≤≤=<<，求A∪B和A∩B。
探究一：设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x—7≥8—2x}，求A∪B和A∩B。
变式1、设集合A={x|2≤x<4} ，B={x|2430x x-+≤}，求A∪B和A∩B变式2、设集合A={x |260x x +->}， B={x | x 2-5x<0 },求A∪B 和A ∩B探究二、设集合A={|a+1|，3，5}，集合B={2a+1，a 2+2a ，a 2+2a —1}当A ∩B={2，3}时， 求A ∪B变式1、已知A={2，—1，x 2—x+1}，B={2y ，—4，x+4}，C={—1，7}且A ∩B=C ，求x ，y 的值变式2、已知集合{}{}222190,560A x x mx m B y y y =-+-==-+={}2280C z zz =+-=是否存在实数m ，同时满足,A B A C ⋂≠∅⋂=∅？探究三、设平面内直线1l 上点的集合为L 1，直线2l 上点的集合为L 2，试用集合的运算表示1l ，2l 的位置关系。
1.3.1集合间的基本运算(——并集和交集2024-2025学年高一上人教A版2019必修一
（2） = {｜是有理数}， = {｜是无理数}，
= {｜是实数}.
一、并集
定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A
与B的并集.
记作： ∪ ，读作：“并”.
即 ∪ = { | ∈ ，或 ∈ }
B
A
x
－1
1
2
3
二、交集
问题2：观察下列两组集合，集合、和集合的之间有什么关系？
（1） = {，，，，},
= {，，，}，
= {}；
（2） = {|是立德中学今年在校的女同学}，
= {|是立德中学今年在校的高一年级同学}，
= {|是立德中学今年在校的高一年级女同学}.
思考: 如何用Venn图表示A∪B？
A
B
A
B
A
B
一、并集
思考下列问题：
（1） ∪ ∅ =
∪=
（2） ⊆ ∪
⊆
（3） ∪ = ∪ ；
（4） ⊆ ⇔ ⋃ = .
；
∪ ；
并集的性质
练一练
例1、设 = {，，，}， = {��，，，}，求 ∪ .
解： ∩ = {，}
∪ = {，，，，，}
2、设 = {| − − = }， = {| = }.求 ∩ ， ∪ .
解： = {| − − = } = {−，}
= {| = } = {−，}
∩ = {−}
解： = {−， − ，，}， = {−1，0，1，2，3}
∩ = {−，，}
牛刀小试
6、已知集合 = {−, , }， = {, }，若 ∩ = {}，求.
1.3.1 集合的基本运算 第1课时 并集、交集
素合在一起.
( ×)
2.A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于 集合B的元素组成.
√) (
( √)
3.若集合A和集合B有公共元素，根据集合元素的互
异性，则在A∪B中仅出现一次.
例1
设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},
求A∪B.
【解题关键】
C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 【解题指南】本题考查集合的并集 .通过解不等式,
把集合 A 化为最简形式,然后把两集合在数轴上表 示出来,便可得出答案. 【 解 析 】 选 A. 由 (x+1)(x-2)<0, 得 -1<x<2, 即 A={x|-1<x<2},所以 A∪B={x|-1<x<3}.
解： A U B R.
3
集合是什么运算呢？
6
x
思考：求在数轴上集合A与集合B的公共部分对应的
观察下列各组中的3个集合
集合A，B与集合C的关系如何？
（） 1 A -1,1,2 ,3 , B -2 ,-1,1 , C -1,1;
（2）A x x为高一（ 11 ）班语文测验优秀者 ，
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
-2
-1
0
1
2
3
4
5
X
【提升总结】
1）两个集合求并集，结果还是一个集合，由集
合A与B的所有元素组成的集合。
2)它们的公共元素在并集中只能出现一次.
3)对于表示不等式解集的集合的运算，可借助
数轴解题.
【互动探究】
河北省任丘市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册：1.3.1集合的基本运算—交集、并集
§1.3.1集合的基本运算—交集、并集导学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．2．能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．（预习教材P 10~ P 13，找出疑惑之处） 复习：集合间的基本关系如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 ． 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 ． 若A B B A ⊆⊆且，则 ．思考：已知{}1,2,3A =,{}2,3,4B =，如何理解以下元素组成的集合{}x x A x B ∈∈且= ． {}x x A x B ∈∈或= ．【知识点一】并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集（union set ），记作： ，读作：“ ”，用描述法表示是： ．Venn 图表示：自我检测1：完成下列填空A A = ；A ∅= ；A AB ；B A B ；A B BA ．若A B A =，则A B ．【知识点二】交集一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set ），记作 ，读“ ”，用描述法表示是 ．Venn 图表示：自我检测2：完成下列填空A A = ；A ∅= ；A AB ；B A B ；A B BA ．若AB A =，则A B ．题型一 并集的运算【例1】 (1)设A ＝{4,5,6,8}，B ＝{3,5,7,8}，求A ∪B ．(2)设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ． (3)设集合A ＝{1,2}，求满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B ．题型二 交集的运算【例2】 (1)已知集合{}4,5,6,8A =，{}3,5,7,8B =，{}1,3C =，求()AB C ．(2)已知集合A ＝{x |－5≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤－2或x >3}，则A ∩B ＝________． (3)设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，求AB ．题型三 交集、并集性质的运用【例3-1】 已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋8＝2}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，若()AB ∅⊂，且AC =∅，求a 的值．题型四 数学思想之分类讨论（注意可变集合为∅时的情况）【例4-1】已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}20B x mx =+=，A B A =，求m 的取值范围．【例4-2】已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}022=+-=mx x x B ，B B A = ，求m 的取值范围．【例4-3】 已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．1．已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2} 2．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 3．已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}4．已知集合{}35A x x =-≤≤，{}141B x a x a =+≤≤+ A B B =，B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．01a ≤≤C ．0a ≤D ．41a -≤≤5．设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则A ∩B ＝ ．6．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为________．【参考答案】复习：子集、A B ⊆；真子集、A B ⊂；A B =．思考：已知{}1,2,3A =,{}2,3,4B =，如何理解以下元素组成的集合{}x x A x B ∈∈且= ．{}2,3 {}x x A x B ∈∈或= ．{}1,2,3,4【自我检测1】完成下列填空A A =A ；A ∅=A ；A ⊆AB ；B ⊆A B ；A B =B A ．若A B A =，则A ⊇B ．【自我检测2】完成下列填空A A =A ；A ∅=∅；A ⊇AB ；B ⊇A B ；A B =BA ．若AB A =，则A ⊆B ．【例1】 (1){}3,4,5,6,7,8(2){}13x x -<<(3){}3或{}1,3或{}2,3或{}1,2,3【例2】 (1)3,4,5,6,8(2){}5235x x x -≤≤-<≤或 【例3-1】解析：A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}． 因为()AB ∅⊂，且AC =∅，那么3∈A ，故9－3a ＋a 2－19＝0. 即a 2－3a －10＝0. 所以a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． 当a ＝5时A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，不符合A ∩C ＝∅. 综上知，a ＝－2. 【例4-1】{}0,1,2--【例4-2】222m <<或3m = 【例4-3】 解析：①当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3； ②当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3. 综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．1．已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2} 解析：A2．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 解析：C3．已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2} 解析：A4．已知集合{}35A x x =-≤≤，{}141B x a x a =+≤≤+ A B B =，B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．01a ≤≤C ．0a ≤D ．41a -≤≤ 解析：B5．设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则A ∩B ＝ ． 解析：(){}1,26．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：由A ∪B ＝R ，得A 与B 的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a 必须在1的左侧，或与1重合，故a ≤1. 答案：(－∞，1]。
新教材人教B版必修第一册 1.1.3.1第1课时 交集、并集 课件(40张)
a
4， 3
故a的取值范围是
a 2.
[ 4，2].
3
(2)如图,有两类情况,一类是B≠∅⇒a>0:①B在A的左边,②B在A的右边. B或B'位置均使A∩B=∅成立.
当3a=2或a=4时也符合题意,事实上,2∉A,4∉A,则A∩B=∅成立.所以,要求3a≤2 或a≥4,解得a∈ (0，2] [4， ).
立
A∪∅=∅∪A=A
A∪B=B
如果A⊆B,则_______,反之也成
立
【思考】怎么理解A∩B=A,A∪B=B? 提示:(1)A∩B=A包括A B和A=B两种情况,故A∩B=A等价于A⊆B; (2)A∪B=B包括A B和A=B两种情况,故A∪B=B等价于A⊆B.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集. ( ) (2)若A∩B=∅,则A,B均为空集. ( ) (3)A,B中分别有3个元素,则A∪B中必有6个元素. ( ) (4)若x∈(A∩B),则x∈(A∪B). ( )
【解题策略】 求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出:①依定义,直接观察求并集;②借助维恩图写并集. (2)两集合用描述法给出:①直接观察,写出并集;②借助数轴,求出并集. (3)一个集合用描述法,另一个用列举法:①直接观察,找出并集;②借助图形, 观察写出并集. 提醒:若两个集合中有相同元素,在求其并集时,只能算成一个.
【解析】1.选A.A∩B={0,2}. 2.将集合A和B在数轴上表示出来.
根据交集的定义,图中阴影部分即为所求, 所以A∩B=(5,7]. 答案:(5,7]
3.(1)因为A B,如图
虽然要求 32aa，4，当a=2,3a>4仍然成立,所以A B成立,同理3a=4也符合题意,
1.3 第1课时 并集与交集-2022-2023学年高一数学新教材配套课件(人教A版必修第一册)
集合的基本运算
学习目标
1.理解并集、交集的概念.
2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.
3.会求简单集合的并集和交集.
1
自主学习
知识点一 并集
(1)定义：一般地，由所有属于集合A 或 属于集合B的元素组成的集合，
称为集合A与B的并集，记作 A∪B (读作“A并B”).
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} .
解： A∩B ＝{x| x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同
学}，
例4
设平面内直线1 上点的集合为1 ，直线2 上点的集合为
运算表示1 ，2 的位置关系.
解：
平面内直线1 ，2 可能有三种位置关系，即相交于一点
（1）直线1 ，2 相交于一点P可表示为1 ∩ 2 = {点P};
运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉.
(3)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果，
充分体现了数学运算的数学核心素养.
3
当堂达标
1.已知集合A＝{0,1,2,3,4,6,7}，集合B＝{1,2,4,8,0}，则A∩B等于
A.{1,2,4,0}
√
B.{2,4,8}
C.{1,2,8}
4.对于任意两个集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A＝B.(
√)
×)
2
经典例题
题型一 并集及其运算
例1 设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B
解：
A∪B = {4,5,6,8} ∪{3,5,7,8} ＝{3,4,5,6,7,8}.
例2 设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.
高中数学人教A版必修第一册1.3.1集合的基本运算(交集与并集)
5.新知探索（二）下列关系式成立(1)源自 ∪ = ；(2) ∪ = .
并集的运算性质：
⊆ ( ∪ )； ⊆ ( ∪ )；
∪ = ； ∪ = ∪ ；
∪ = ⇔ ⊆ ， ∪ = .
6.新知探索（三）
问题3：视察下面的集合，集合，与集合之间有什么关系？
同学}.
例4.设平面内直线1 上的点的集合为1 ，直线2 上点的集合为2 ，试用集
合的运算表示1 ，2 的位置关系.
解：平面内直线1 ，2 可能有三种位置关系，
即相交于一点、平行或重合.
(1)直线1 ，2 相交于一点可表示为1 ∩ 2 = {点}；
(2)直线1 ，2 平行可表示为1 ∩ 2 = ；
例3.立德中学开运动会，设
= {|是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，
百米
跳高
= {|是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求⋂.
解： ∩ 就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组
成的集合.
所以， ∩ = {|是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的
在上述两个问题中，集合，与集合之间都具有这样一种关系：
集合是由所有属于集合或属于集合的元素组成的.
3.概念生成（1）
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组
可用图表示.
成的集合，称为集合与的并集，
记为 ∪ (读作“并”)，
即 ∪ = {| ∈ ，或 ∈ }
（1）两个集合之间有哪些关系，你能举例说明吗?
（2）集合的基本关系有哪些性质?我们是如何发现这些性质的?
（3）我们研究了哪个特殊集合?你能举例说明吗?
（4）“属于”与“包含”有什么区分?
新教材人教A版1.3.1并集交集课件(50张)
四步 内容
理解 题意
条件：A={x|x2+4x=0}， B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} 结论：当a=-1时，求A∩B； 知A∩B=B，求a的取值范围.
思路 (1)a=-1时，分别求出集合A，B，由此能求出A∩B. 探求 (2)若A∩B=B，则B是A的子集，由此利用分类讨论思想能求出结果.
四步 内容
题后 利用并集、交集的性质解题的关键是对题目条件的理解和适当转化，若需要分类 反思 讨论，还要注意做到不重不漏
【解题策略】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等问 题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化求解. (2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A= 的情况， 否则易漏解.
【变式探究】 本例条件若改为“A={x|x<-1或x>5}，B={x|a<x<a+8}”，其他条件不变，求 实数a的取值范围.
【解题策略】
(1)识别集合：点集或数集. (2)化简集合：明确集合中的元素. (3)求并集：元素个数有限，利用定义或Venn图求解；元素个数有限且用不等 式表示的数集，借助数轴求解；对于点集，要注意判断A∪B中的元素的特征. 提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个.
(1)关注求并集的过程，通过运算结果列方程或不等式求值. (2)要始终具有检验意识，除了按照条件进行检验外，还应根据集合元素的互 异性进行检验.
【题组训练】 1.(2020·哈尔滨高一检测)已知集合M={-1，0}，则满足M∪N={-1，0，1}的 集合N的个数是 ( )
1.3.1+集合的基本运算(并集、交集)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
B 的交集．
记作：A∩B（读作：“A交B ”）
符号语言： A∩B ={x | x ∈ A， 且 x ∈ B }
图形语言：
B
A∩B
作者编号：32101
A
B
A∩B=A
A
A∩B=∅
B
性质① A∩B＝B∩A
{x|4<x<6}
(1)已知A＝{x|1<x<6}，B＝{x|4<x<8}，则A∩B＝_________.A.{2，1}来自B.{x＝2，y＝1}
C.{(2，1)}
D.(2，1)
x＋y＝3，
A∩B＝x，y
x－y＝1
作者编号：32101
＝{(2,1)}.
归纳总结
交集运算的注意点
(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法.
(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示
3个元素的B：{1，2，3}，
2个元素的B：{1，2}，{1，3}，{2，3}，
1个元素的B：{1}，{2}，{3}，
0个元素的B：∅.
作者编号：32101
由上述集合B可知：B⊆A
.
归纳总结
并集性质
性质① A∪B＝B∪A
性质② A∪A＝A
A
B
性质③ A∪∅＝A
性质④ A∪B＝A⇔B⊆A.
作者编号：32101
（2）A=｛|是立德中学今年在校的女同学｝，
B=｛ | 是立德中学今年在校的高一年级同学｝，
C=｛ | 是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．
集合C 是由既属于集合A 且又属于集合B 的所有元素组成的．
2020年新教材必修1第一章 1.3 第1课时并集与交集
1．3集合的基本运算第1课时并集与交集学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一并集思考集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？答案不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．知识点二交集预习小测自我检验1．设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.答案{3,4,5,6,7,8}解析∵M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，∴M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.答案{x|x>0}解析A∪B＝{x|x>1}∪{x|x>0}＝{x|x>0}．3．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.答案{－1,0}解析由A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，得A∩B＝{－1,0}．4．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤－3}，则M∩N＝_______.答案 ∅解析 利用数轴表示集合M 与N ，可得M ∩N ＝∅.一、并集、交集的运算例1 (1)若集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x >－1} C ．{x |－2<x <－1} D ．{x |－1<x <2}答案 A解析 画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x |x >－2}．(2)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D解析 ∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2， ∴8∈A,14∈A ，∴A ∩B ＝{8,14}，故选D.反思感悟 求解集合并集、交集的类型与方法(1)若是用列举法表示的数集，可以根据并集、交集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；(2)若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 二、并集、交集性质的应用例2 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围． 解 (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A . (2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ， 只需⎩⎪⎨⎪⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ≤52. 延伸探究1．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． 解 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎪⎨⎪⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3.所以k 的值为3.反思感悟 (1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： ①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ； ②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .跟踪训练 (1)A ＝{x |x ≤－1，或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．3≤a <4 B ．－1<a <4 C ．a ≤－1 D ．a <－1答案 C解析 利用数轴，若A ∪B ＝R ，则a ≤－1.(2)若集合A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |2m －1≤x ≤2m ＋9}，A ∪B ＝B ，则m 的取值范围是________． 答案 －2≤m ≤－1 解析 ∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤－3，2m ＋9≥5，解得－2≤m ≤－1. ∴m 的取值范围为{m |－2≤m ≤－1}．含字母的集合运算忽视空集或检验典例 (1)已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M ∩N ＝{2,3}，则a 的值是( ) A ．1或2 B ．2或4 C ．2 D ．1 答案 C解析 ∵M ∩N ＝{2,3}，∴a 2－3a ＋5＝3，∴a ＝1或2.当a ＝1时，N ＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}，不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．答案{a|a≥2}解析由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．[素养提升](1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．(2)在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于()A．{1,6,5,6,8} B．{1,5,6,8}C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案 B解析求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于()A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{0,1}答案 D解析N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}答案 D解析由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P ＝{－1,0,1,2,3}．故选D.4．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝________.答案{x|－1<x<3}解析因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．5．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．答案m≥2解析∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.1．知识清单：(1)并集、交集的概念及运算．(2)并集、交集运算的性质．(3)求参数值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．1．(2019·全国Ⅱ)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．{x|x>－1} B．{x|x<2}C．{x|－1<x<2} D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．A，B是两个集合，则集合{x|x∈A，且x∈B}可用阴影表示为()答案 D解析集合{x|x∈A，且x∈B}＝A∩B，故D正确．3．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有()A．A⊆C B．C⊆AC．A＝C D．以上都不对答案 A解析A∩B＝A⇒A⊆B，B∪C＝C⇒B⊆C，∴A⊆C.4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1 C．2 D．4答案 D解析∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.5.如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为()A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1，或x≥2}D．{x|0≤x≤1，或x>2}答案 D解析因为A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，阴影部分为A∪B中除去A∩B的部分，即为{x|0≤x≤1，或x>2}．6．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.答案R{x|4≤x<5}解析借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．7．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是__________．答案 2解析由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}，{1,2}，共2个．8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤1}解析因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.9．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．解因为A∩B＝{3}，所以3∈A.从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，所以B＝{2,3}．所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.10．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．解(1)如下图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B＝∅，∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，∴a≤－1，即a的取值范围为{a|a≤－1}．(2)如下图所示，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x <a }，且A ∪B ＝{x |x <1}，∴数轴上的点x ＝a 在x ＝－1和x ＝1之间(含点x ＝1，但不含点x ＝－1)， ∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为{a |－1<a ≤1}．11．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验，当x ＝2或－2时满足题意，故选B.12．设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3<a <－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1 D ．a <－3或a >－1答案 A解析 ∵S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8>5，a <－1.∴－3<a <－1.13．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |x ≤a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值集合为( ) A ．{a |a <2} B ．{a |a ≥－1} C ．{a |a <－1} D ．{a |－1≤a ≤2}答案 C解析 如图，要使A ∩B ＝∅，应有a <－1.14．已知集合A ＝{－2,3,4,6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3,4}，则实数a ＝________. 答案 －2 2或4解析 ∵集合A ＝{－2,3,4,6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，B ⊆A ， ∴a ＝－2.∵A ∩B ＝{3,4}，∴a ＝4或a 2＝4， ∴a ＝2或4.15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案12解析设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8，解得x＝12.16．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)∅(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2,3}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或A B.由条件(1)A≠B，可知A B.又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}．当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5.经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．。
1.3.1并集和交集【解析版】
1.3.1并集和交集1．已知集合A＝{－1,0}，B＝{0,1}，C＝{1,2}，则(A∩B)∪C等于( )A．∅B．{1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析：A∩B＝{0}，所以(A∩B)∪C＝{0}∪{1,2}＝{0,1,2}．故选C.2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为( )A．1 B．3C．4 D．8解析：由已知可得B中必含元素3.又A∪B＝{1,2,3}，故B可能含1,2，所以B＝{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个．故选C.3．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2.即A＝{1,2}，B＝{2,5}，所以A∪B＝{1,2,5}，故选D.4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则如下Venn图中的阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由题图可知，阴影部分为{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }．由已知易得M ∪N ＝{－1,0,1,2}，M ∩N ＝{0,1}，所以{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }＝{－1,2}．5．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，显然⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，解得a ＝4. 6．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于( )A ．{x |3≤x <4}B ．{x |3<x <4}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：因为P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，所以P ∩Q ＝{x |3≤x <4}，故选A.7.已知集合M={x|-3<x ≤5},N={x|x<-5,或x>4},则M ∪N=( )A.{x|x<-5,或x>-3}B.{x|-5<x<4}C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3,或x>5}解析：在数轴上分别表示集合M 和N,如图所示,则M ∪N={x|x<-5,或x>-3}.8.已知集合A={1,3,m 2},B={1,m},A ∪B=A,则m 等于( )A.3B.0或3C.1或0D.1或3解析：因为B ∪A=A,所以B ⊆A,因为集合A={1,3,m2},B={1,m},所以m=3,或m2=m,所以m=3或m=0.故选B.9．已知集合M ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，P ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则M ∩P 等于 .解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以M ∩P ＝{(1,2)}． 10．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ .解析：∵A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}＝{2}，∴a ＝2.11．集合A ＝{x |x 2－px ＋15＝0，x ∈N }，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈N }，若A ∪B ＝{2,3,5}，则A ＝ ，B ＝ .解析：设A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 3，x 4}，∵x 1，x 2是方程x 2－px ＋15＝0的两根，∴x 1x 2＝15.又A ∪B ＝{2,3,5}，∴x 1，x 2∈{2,3,5}，∴x 1＝3，x 2＝5或x 1＝5，x 2＝3，即A ＝{3,5}，同理，可得B ＝{2,3}．12.集合A={x|x ≤-1或x>6},B={x|-2≤x ≤a},若A ∪B=R,则实数a 的取值范围为_________. 解析:由图示可知a ≥6. 所以a 的取值范围为{a|a ≥6}13.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是_________,若A∩B=∅,则a的范围为_________.解析:根据题意,集合A={x|1≤x≤2},若A∩B=A,则有A⊆B,必有a>2,若A∩B= ,必有a≤1.14.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=________.解析:如图所示,可知a=1,b=6, 2a-b=-4.15．已知集合M＝{2,3，a2＋4a＋2}，N＝{0,7，a2＋4a－2，2－a}，且M∩N＝{3,7}，求实数a 的值．解：因为M∩N＝{3,7}，所以7∈M.又M＝{2,3，a2＋4a＋2}，故a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.当a＝－5时，N中的元素为0,7,3,7，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝1时，M＝{2,3,7}，N＝{0,7,3,1}，所以M∩N＝{3,7}，符合题意．故a＝1.16.已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a(a>0)}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．解: (1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，观察数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2. (2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图．观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a >0，所以0<a ≤23或a ≥4. 17．已知A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x >a }．(1)若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由于A ∩B ≠A ，所以如图可得，在数轴上实数a 在－2的右边，可得a ≥－2.(2)由于A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，所以在数轴上，实数a 在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a <4.18．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <－1，或x >16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝∅；(2)A ⊆(A ∩B )．解：(1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1>3a －5，即a <6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}．(2)因为A ⊆(A ∩B )，所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B .显然A ＝∅满足条件，此时a <6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16.解得a >152. 综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <6或a >152.。