分式及分式方程200题勘误
分式方程错解剖析
分式方程错解剖析错解：去分母，得4x＋1=7．程的根．诊断：这里求出方程的根之后，又经过检验，似乎没有问题．但只母的过程中，把方程两边都乘以最简公分母2(x＋3)，没有将2(x＋3)与1相乘，因而所得的方程与原方程不同解了．那么，为什么“检验”没有发现呢？这是因为这种验根方法必须以解题过程没有错误为前提，否则，即使将求得的未知数的值代入所乘的整式，整式的值不为零，也不能断定未知数的这个值是原方程的根．正确解法：去分母，得4x＋2x＋6=7．点评：解分式方程时要注意的是：检验未知数的值是不是原方程的根，不仅要检验是否有增根(代入公分母)，而且要代入原方程，检验原方程两边的值是否相等．错解：通分整理，得由两个相等分式的分子相等分母必相等，得x2－3x＋2=x2－7x＋12．诊断：两个分式相等，可能是分子、分母分别相等，还可能是分子为零，即5－x=0．也就是说，原方程的另一根为x=5．上面解答错在忽视“分子为零”这一情形而出现了失根．x2－5x＋6=0，即(x－3)(x－2)=0．解这个方程，得x1=3，x2=2．检验，x2=2是原方程的增根，故舍去，所以原方程的根为x=3．又同时除以2x2．当方程两边同乘以x2－4时，这就扩大了原方程中x的允许值范围，所以产生增根x=2；当方程两边同除以2x2时，这就缩小了原方程中x的允许值范围．显然，原方程中x可以等于零，而当方程两边同除以2x2时，须保证2x2≠0，即x≠0．其实x=0恰是原方程的一个根，但它被遗失了，我们须以“2x2=0”中将它寻找回来．解之，得x1=0，x2=3，x3=2．经检验，将增根x3=2舍去，从而原方程的根为x1=0，x2=3．点评：在解分式方程时，由于转化变形往往导致原方程中未知数允许值范围的扩大或缩小，因而“增根”和“失根”(或称遗根)也是常有的事，所以“验根”是解分式方程时必不可少的一个重要步骤．从上述二例我们不难觉察到，在解分式方程时，我们如果能避开使方程产生增根或失根的变形，那么就尽量地避开，否则，我们宁可让未知数的允许值范围扩大使之产生增根，而尽量不要轻易让未知数的允许值范围缩小使之产生失根，因为要找回失根毕竟比舍去增根要麻烦得多．错解：去分母，得m(x＋2)－3(m－1)=x＋1．去括号，移项合并，得(m－1)x=m－2．不等式组(Ⅰ)的解集为1＜m＜2．不等式组(Ⅱ)无解．因此，当1＜m＜2时，原方程有负数解．诊断：因为原方程为分式方程，所以，x≠－1．上面解答正是忽视了这个隐含条件，导致m取值范围扩大的错误．正确解法：由上述解法，得1＜m＜2．错解：去分母，得bx－ab2=ax－a2b．移项，合并同类项，得(a－b)x=ab(a－b)两边除以a－b，得x=ab．诊断：本题是含有字母系数的一元一次方程，用含有字母的式子去乘(或除)方程的两边，这个式子的值不能等于零．但在*式中，若a=b，则a－b=0．因此，不能盲目用a－b去除方程的两边．正确解法：因为a≠0，b≠0(否则原方程没有意义)，所以，将原方程两边乘以ab，得(a－b)x=ab(a－b)．当a≠b，即a－b≠0时，则有x=ab；当a=b，即a－b=0时，原方程化成0·x=0，此时x为任意实数．点评：在解含有字母系数的一元一次方程时首先应分清哪个字母是未知数，哪些字母表示系数．在求解过程中要注意用含字母的有理式去乘以(或除以)方程的两边时，这个有理式的值不能为零．必要时，可分别讨论．例6一台电子收报机的译字效率相当于人工译字效率的75倍，译字3000个比人工少用2小时28分，这台收报机与人工每分钟各译字多少个？错解1：设人工每分钟译字为x个，列方程，得解这个方程，得x=1200，75x=90000．错答：收报机每分钟译90000个字，人工每分钟译1200个字．错解2：设人工每分钟译x个字，则收报机每分钟译75x个字，列方程为解这个方程，得x=6000，75x=450000．错答：人工每分钟译6000个字，收报机每分钟译450000个字．单位，而后面答案中却以“分钟”为单位；二是列分式方程解应用题忽因是没有理解题意，没有弄清题目中数量之间的相等关系．正确解法设人工每分钟译x个字，则收报机每分钟译75x个字，依题意，得解这个方程，得x=20，75x=1500．经检验，x=20是原方程的根．答：收报机每分钟译1500个字，人工每分钟译20个字．例7一水池有A和B两个进水龙头和一个出水龙头C，如果同时打开A和C，2小时可注满水池；同时打开B和C，3小时可注满水池；当水池装满水时，先单独打开C2小时，再把A，B也同时打开，半小时后，水池又可注满．问：单独打开A几小时可注满水池？错解：设A水管x小时可将空池注满，B水管y小时可将空池注满，C水管z小时可将满池水放空．诊断：此解看上去似乎无懈可击，但事实上，它只考虑了C水管在2小时内没有放完满池水的情况，倘若C水管在2小时内将满池水放完，则又是另一番情形了．。
分式方程典型易错点及典型例题分析
分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式得基本性质例１化简错解:原式分析:分式得基本性质就是“分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式得基本性质.正解:原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解:原式分析:乘除就是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误、正解:原式三、错在约分例1 当为何值时,分式有意义?［错解]原式。
由得、∴时,分式有意义、［解析］上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母得公因式,扩大了未知数得取值范围,而导致错误。
［正解］由得且。
∴当且,分式有意义、四、错在以偏概全例2 为何值时,分式有意义?［错解]当,得、∴当,原分式有意义.［解析］上述解法中只考虑得分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全得错误。
［正解］,得,由,得.∴当且时,原分式有意义、五、错在计算去分母例3 计算、[错解]原式=。
［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算就是等值代换,不能去分母,、[正解］原式。
六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时,分式得值为零.［错解］由,得。
∴当或时,原分式得值为零。
［解析］当时,分式得分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错得原因就是忽视了分母不能为零得条件。
［正解］由由,得.由,得且。
∴当时,原分式得值为零.典例分析类型一:分式及其基本性质ﻫ1、当x为任意实数时,下列分式一定有意义得就是()ﻫA、Ｂ、C、Ｄ.２。
若分式得值等于零,则ｘ=＿___＿__;3 ﻫ、求分式得最简公分母。
【变式１】(１)已知分式得值就是零,那么x得值就是( )A。
-1B、0 C.1D、±１ﻫ(2)当x_＿______时,分式没有意义、ﻫ【变式２】下列各式从左到右得变形正确得就是()ﻫ A、 B. C. D.类型二:分式得运算技巧(一) 通分约分４、化简分式:【变式１】顺次相加法计算:【变式2】整体通分法计算:(二)裂项或拆项或分组运算ﻫ５。
中考数学常考易错点：22《分式方程》
分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1.(2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9. (2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13.(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14.(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4. 100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒.(2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。
“分式方程”中典型错解举例分析
例5 解方程
【错解】化简，得卑学2 =2,
停-3卜3
即:鳥=2。
方程两边同乘(x-9),得x+4=2(x-9)0 解这个—元_次方程,得x=22o 检验：当x=22时，x-9^0, x=22是原方程 的解。 ［剖析】此题化简时用到分式的基本性质。 分式的基本性质是分式的分子和分母都乘(或 除以)同一个不等于0的整式，分式的值不 变。这一题是分子乘2,而分母乘3,所以分式 的值发生了改变。
李青
分式方程是初中阶段重要的知识点之一,
它是整式方程的拓展与延伸，但是分式方程的
相关运算与整式方程相比较,运算步骤繁复，
解题方法灵活多样，在学习和运用的过程中更
容易出错。下面就析,希望对同学们的学习能够有
所帮助。
一、对分式方程的概念理解不透
例1下列各式是分式方程的是______ 。
【错解】方程两边同乘G-3),得：
x-2=-l-2o
解这个一元一次方程,得X=- 1 O
检验：当X=-1时,X-3^O,所以X=-1是原
方程的解。
【剖析】这一题去分母时，违反了等式的基
本性质，常数项-2漏乘了公分母(x-3)o
【正解】方程两边同乘(x-3),得：
x~2=~1~2(x—3)o
解这个一元一次方程，得X=jo
例7 已知关于％的方程斗=2-泸一
x-5
5-X
的解为正数，求m的取值范围， 【错解】方程两边同乘(x-3),得： x=2(%-3)+m。 解这个一元一次方程，得x=6~mo 由原方程的解为正数，得％＞0,即6-
m＞0o 解得mv6。 所以当mv6时,原方程的解为正数。 【剖析】解决这种问题时,不仅要考虑“方
程的解为正数”这个条件，还要考虑%-3弄0这 个隐含的条件。这一题的错解就忽略了%-3M 0这个隐含的条件。
分式计算题的四种典型错
分式计算题的四种典型错误初学分式运算与分式方程，同学们总是感觉十分复杂，解题困难．有时受旧知识的影响，有时是概念理解不彻底，使分式计算走上各种歧途．下面将分式计算题四种典型错误分析如下：一、错路：新旧内容混淆，错去分母．例1、计算 41-x -41+x错解：原式=)())((4441+-+∙x x x -)())((4441-+-∙x x x=)(4+x -)(4-x =x+4-x+4=8分析：由于受方程中去分母的影响，导致分式计算中随意去分母．一定注意：解方程去分母时，两边同时乘以最简公分母可以去分母，而在分式加减计算中通分后不能直接去掉分母．所以正确的解法：原式=)())((4441+-+∙x x x -)())((4441-+-∙x x x =))(())((4444-+--+x x x x =))((448-+x x =1682-x二、弯路：对概念理解模糊，弄简为繁．例2：计算 --11x 112-x错解：原式=))((11122---x x x -))((1112---x xx=))(())((111122-----x x x x =))((111122--+--x x x x=))((1122---x x x x =)())((1112---x x x x=12-x x分析：有些异分母分式通分时，最简公分母正好是所有分母的乘积．例如11-x +x +11，ab c -cd a 等．有些同学把它当成现成的模式，走上弯路．确定最简公分母应先把分母分解因式，然后根据分母确定．所以例2中最简公分母为（x+1）(x-1)．三、短路：方程两边乘最简公分母时，丢项．例3、 解分式方程43--x x +x -41=1 错解：43--x x +x -41=1整理，得43--x x -41-x =1去分母，得3-x-1=1整理，把系数化成1，得x=1经检验：x=1不是原方程的解．分析：按正常思路解答，x=1应是原方程的解，经检验，为什么不是呢？简直像电路中出现了短路．原因是，去分母时，方程左右两边应同时乘以最简公分母，而有些同学只考虑有分母的项乘以最简公分母，而落下整式项．正确的方法两也各项包括1，都乘以最简公分母而去分母．四、半路：解题过程中出现化简不彻底，而导致结果错误．例4： 计算：--422x x21-x 错解：原式=))((--+222x x x )())((2221+-+∙x x x=)())((2222-++-x x x x=))((222-+-x x x=422--x x分析：计算到))((222-+-x x x 时，应先考虑约分所以，原式=21+x。
分式方程常见错题分析
分式方程常见错题分析解分式方程的基本方法是运用化归的数学思想将分式方程转化为整式方程.其解法可表述为图1所示.其中，去分母采用的是方程两边同乘以最简公分母.由于方程两边同时乘的最简公分母这个代数式不能保证它不等于零，所以此步骤不是同解变形，它实际上是放大了原分式方程的解集，从而会带来不适合原方程的根，即增根产生的根本原因所在.比如“2=3”这个等式本身不成立，但两边同乘以0后得：2×0=3×0，成立了.其实这种采取先放大原方程的解集的范围，然后再检验并舍去不适合原方程的解（增根）的方法，在数学解方程里应用很广泛.这样它不会漏掉方程的解.相当于“欲擒故纵”的处理方法.类似的如无理方程的解法基本思想也是转化为有理方程.如图2.这种办法也是采取放大原无理方程的解范围.因为方程两边平方不是同解变形.如-2=2这个式子本身不成立，但平方后得（-2）2=22就成立了.这种解法也会导致原方程的增根，所以需检验.例1如果分式方程-=0有增根，它的增根是什么？错解：由最简公分母（x-1）（x+1）=0得x=1或x=-1.所以增根是：x=1或x=-1.正解：由最简公分母（x-1）（x+1）=0得可能的增根是x=1或x=-1.由原方程去分母得整式方程：（x+1）-m（x-1）=1.x=1代入整式方程，得2-m×0=1不成立，即x=1不可能是增根.x=-1代入整式方程，得2-m×（-2）=1，解得m=，即m=-会产生增根x=-1.综上：增根是x=-1.注：对分式方程的解法来说，增根本身应满足两个条件，一是使得公分母为零，二是它本身是整式方程的根.此题中的x=1不满足整式方程，所以不是增根.例2若关于x的方程：-=的解为负数，求m的取值范围.错解：两边同乘以（x+1）（x+m），得2（x+m）-（x+1）=1，解得x=2-2m.由2-2m1.正解：两边同乘以（x+1）（x+m），得2（x+m）-（x+1）=1，解得x=2-2m.由题意得x1且m≠，m≠2.注：分式方程的解法不是同解变形，需考虑增根的产生，即考虑最简公分母不为零.例3如果方程+=的解是整数，求整数m的值.错解：方程两边同乘以x（x-1），得x-1+mx=2，解得x=.∵方程的解是整数且m也是整数，∴m+1=±1或±3.从而得整数m为0或±2或-4.正解：方程两边同乘以x（x-1），得x-1+mx=2，解得x=.∵方程的解是整数且m也是整数，∴m+1=±1或±3.从而得整数m为0或±2或-4.∵方程可能的增根是0，1，∴由且≠1，解得m≠2.综上可知，m的值为0或-2或4.注：在解决有关分式方程问题时，考虑分式方程解法本身，都应注意增根问题.例4下面是小灵解分式方程-5=的过程.将原方程左边通分，得=.等式左右两边分子相等，于是他用自创的规则，得7-x=13-x，即7=13.小灵惊呆了，大呼：“我错在哪里？”答：由=，得到7-x=13-x的前提是4x-40≠0.当4x-40≠0时，x=是原方程的根.总之，利用分式方程解决问题时，应正确理解分式方程解法中增根产生的根本原因.就增根本身而言，它应满足两个条件：一是使得公分母为零，二是它本身是整式方程的根.有了这样的认识，就可避免错误了.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。
初中数学分式与分式方程真题练习及答案解析
初中数学分式与分式方程真题练习一．选择题（共10小题）1．（2015•南昌）下列运算正确的是（）A．（2a2）3=6a6B．﹣a2b2•3ab3=﹣3a2b5C．•=﹣1 D．+=﹣12．（2015•山西）化简﹣的结果是（）A．B．C．D．3．（2015•台湾）将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（）A．乙＞甲＞丙B．乙＞丙＞甲C．甲＞乙＞丙D．甲＞丙＞乙4．（2015•厦门）2﹣3可以表示为（）A． 22÷25B． 25÷22C． 22×25D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）5．（2015•枣庄）关于x的分式方程=1的解为正数，则字母a的取值范围为（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣16．（2015•齐齐哈尔）关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是（）A．a=5或a=0 B．a≠0C．a≠5D．a≠5且a≠07．（2015•荆州）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≥1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠18．（2015•南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}=的解为（）A． 1﹣B． 2﹣C． 1+或1﹣D． 1+或﹣19．（2015•营口）若关于x的分是方程+=2有增根，则m的值是（）A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=310．（2015•茂名）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=二．填空题（共9小题）11．（2015•上海）如果分式有意义，那么x的取值范围是．12．（2015•常德）使分式的值为0，这时x=．13．（2015•梅州）若=+，对任意自然数n都成立，则a=，b；计算：m=+++…+=．14．（2015•黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．15．（2015•安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若c≠0，则+=1；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）．16．（2015•毕节市）关于x的方程x2﹣4x+3=0与=有一个解相同，则a=．17．（2015•黑龙江）关于x的分式方程﹣=0无解，则m=．18．（2015•湖北）分式方程﹣=0的解是．19．（2015•通辽）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程．三．解答题（共10小题）20．（2015•宜昌）化简：+．21．（2015•南充）计算：（a+2﹣）•．22．（2015•重庆）计算：（1）y（2x﹣y）+（x+y）2；（2）（y﹣1﹣）÷．23．（2015•枣庄）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0.24．（2015•烟台）先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．25．（2015•河南）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．26．（2015•黔东南州）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．27．（2015•哈尔滨）先化简，再求代数式：（﹣）÷的值，其中x=2+tan60°，y=4sin30°．28．（2015•广元）先化简：（﹣）÷，然后解答下列问题：（1）当x=3时，求原代数式的值；（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？29．（2015•安顺）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？参考答案：一．选择题（共10小题）1．（2015•南昌）下列运算正确的是（）A．（2a2）3=6a6B．﹣a2b2•3ab3=﹣3a2b5C．•=﹣1 D．+=﹣1考点：分式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；分式的加减法．专题：计算题．分析：A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式约分得到结果，即可做出判断；D、原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：A、原式=8a4，错误；B、原式=﹣3a3b5，错误；C、原式=a﹣1，错误；D、原式===﹣1，正确；故选D．点评：此题考查了分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2015•山西）化简﹣的结果是（）A．B．C．D．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．解答：解：原式=﹣=﹣==，故选A．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2015•台湾）将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（）A．乙＞甲＞丙B．乙＞丙＞甲C．甲＞乙＞丙D．甲＞丙＞乙考点：分式的混合运算．分析：首先把360分解质因数，可得360=2×2×2×3×3×5；然后根据甲乙丙化为最简分数后的分子分别为6、15、10，6=2×3，可得化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，即化简后的甲为；再根据15=3×5，可得化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；再根据10=2×5，可得化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；最后根据化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，可得乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，再根据化简后的乙、丙两数的分母的取值情况分类讨论，判断出化简后的乙、丙两数的分母各是多少，进而求出化简后的甲乙丙各是多少，再根据分数大小比较的方法判断即可．解答：解：360=2×2×2×3×3×5；因为6=2×3，所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，即化简后的甲为；因为15=3×5，所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；因为10=2×5，所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，（1）当乙的分母是2时，丙的分母是9时，乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，它不满足乙、丙的最小公倍数是72；（2）当乙的分母是4时，丙的分母是9时，乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，它不满足乙、丙的最小公倍数是72；所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，所以化简后的乙是，丙是，因为，所以乙＞甲＞丙．故选：A．点评：（1）此题主要考查了最简分数的特征，以及几个数的最小公倍数的求法，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出化简后的甲、乙、丙的分母各是多少，进而求出化简后的甲乙丙各是多少．（2）此题还考查了分数大小比较的方法，要熟练掌握．4．（2015•厦门）2﹣3可以表示为（）A． 22÷25B． 25÷22C． 22×25D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）考点：负整数指数幂；有理数的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．分析：根据负整数指数幂、同底数幂的除法，即可解答．解答：解：A、22÷25=22﹣5=2﹣3，故正确；B、25÷22=23，故错误；C、22×25=27，故错误；D、（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）=（﹣2）3，故错误；故选：A．点评：本题考查了负整数指数幂、同底数幂的除法，解决本题的关键是熟记负整数指数幂、同底数幂的除法的法则．5．（2015•枣庄）关于x的分式方程=1的解为正数，则字母a的取值范围为（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：将分式方程化为整式方程，求得x的值然后根据解为正数，求得a的范围，但还应考虑分母x+1≠0即x≠﹣1．解答：解：分式方程去分母得：2x﹣a=x+1，解得：x=a+1，根据题意得：a+1＞0且a+1+1≠0，解得：a＞﹣1且a≠﹣2．即字母a的取值范围为a＞﹣1．故选：B．点评：本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．6．（2015•齐齐哈尔）关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是（）A．a=5或a=0 B．a≠0C．a≠5D．a≠5且a≠0考点：分式方程的解．分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程=有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．解答：解：=，去分母得：5（x﹣2）=ax，去括号得：5x﹣10=ax，移项，合并同类项得：（5﹣a）x=10，∵关于x的分式方程=有解，∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：x=，∴≠0且≠2，即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．点评：此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5﹣a≠0，这应引起同学们的足够重视．7．（2015•荆州）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≥1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠1考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．解答：解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠1，解得：m≥﹣1且m≠1，故选D点评：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．8．（2015•南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}=的解为（）A． 1﹣B． 2﹣C． 1+或1﹣D． 1+或﹣1考点：解分式方程．专题：新定义．分析：根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．解答：解：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=，去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x=，即x2﹣2x=1，解得：x=1+或x=1﹣（舍去），经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．9．（2015•营口）若关于x的分是方程+=2有增根，则m的值是（）A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=3考点：分式方程的增根．分析：方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．解答：解：方程两边都乘以（x﹣3）得，2﹣x﹣m=2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴x﹣3=0，解得x=2，∴2﹣3﹣m=2（3﹣3），解得m=﹣1．故选A．点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10．（2015•茂名）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：根据每小时张三比李四多加工5个零件和张三每小时加工这种零件x个，可知李四每小时加工这种零件的个数，根据张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，列出方程即可．解答：解：设张三每小时加工这种零件x个，则李四每小时加工这种零件（x﹣5）个，由题意得，=，故选B．点评：本题考查的是列分式方程解应用题，根据题意准确找出等量关系是解题的关键．二．填空题（共9小题）11．（2015•上海）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．解答：解：由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为：x≠﹣3．点评：本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．12．（2015•常德）使分式的值为0，这时x=1．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：让分子为0，分母不为0列式求值即可．解答：解：由题意得：，解得x=1，故答案为1．点评：考查分式值为0的条件；需考虑两方面的情况：分子为0，分母不为0．13．（2015•梅州）若=+，对任意自然数n都成立，则a=，b﹣；计算：m=+++…+=．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a与b 的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m的值．解答：解：=+=，可得2n（a+b）+a﹣b=1，即，解得：a=，b=﹣；m=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故答案为：；﹣；．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2015•黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=÷=•=，故答案为：．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2015•安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若c≠0，则+=1；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是①③④（把所有正确结论的序号都选上）．考点：分式的混合运算；解一元一次方程．分析：按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．解答：解：①∵a+b=ab≠0，∴+=1，此选项正确；X k B 1 . c o m②∵a=3，则3+b=3b，b=，c=，∴b+c=+=6，此选项错误；③∵a=b=c，则2a=a2=a，∴a=0，abc=0，此选项正确；④∵a、b、c中只有两个数相等，不妨a=b，则2a=a2，a=0，或a=2，a=0不合题意，a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8，此选项正确．其中正确的是①③④．故答案为：①③④．点评：此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．16．（2015•毕节市）关于x的方程x2﹣4x+3=0与=有一个解相同，则a=1．考点：分式方程的解；解一元二次方程-因式分解法．分析：利用因式分解法求得关于x的方程x2﹣4x+3=0的解，然后分别将其代入关于x 的方程=，并求得a的值．解答：解：由关于x的方程x2﹣4x+3=0，得（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x1=1，x2=3；当x1=1时，分式方程=无意义；当x2=3时，=，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．点评：本题考查了一元二次方程的解、分式方程的解．解分式方程时，注意：分式的分母不为零．17．（2015•黑龙江）关于x的分式方程﹣=0无解，则m=0或﹣4．考点：分式方程的解．分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解答：解：方程去分母得：m﹣（x﹣2）=0，解得：x=2+m，∴当x=2时分母为0，方程无解，即2+m=2，∴m=0时方程无解．当m=﹣2时分母为0，方程无解，即2+m=﹣2，∴m=﹣4时方程无解．综上所述，m的值是0或﹣4．故答案为：0或﹣4．点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．18．（2015•湖北）分式方程﹣=0的解是15．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x﹣5﹣10=0，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解．故答案为：15．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．19．（2015•通辽）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程﹣=15．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道（x+20）m，根据题意可得，实际比原计划少用15天完成任务，据此列方程即可．解答：解：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道（x+20）m，由题意得，﹣=15．故答案为：﹣=15．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．三．解答题（共10小题）20．（2015•宜昌）化简：+．考点：分式的加减法．分析：首先约分，然后根据同分母分式加减法法则，求出算式+的值是多少即可．解答：解：+====1．点评：此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减法．21．（2015•南充）计算：（a+2﹣）•．考点：分式的混合运算．分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．解答：解：（a+2﹣）•=[﹣]×=×=﹣2a﹣6．点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．22．（2015•重庆）计算：（1）y（2x﹣y）+（x+y）2；（2）（y﹣1﹣）÷．考点：分式的混合运算；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（1）原式=2xy﹣y2+x2+2xy+y2=4xy+x2；（2）原式=•=．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（2015•枣庄）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．分析：通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．解答：解：原式=÷=•=﹣，解方程x2﹣4x+3=0得，（x﹣1）（x﹣3）=0，x1=1，x2=3．当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式=﹣=﹣．点评：本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．在代入求值时，要使分式有意义．24．（2015•烟台）先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当x=2时，原式=4．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2015•河南）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=，当a=+1，b=﹣1时，原式=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（2015•黔东南州）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先根据运算顺序和分式的化简方法，化简÷，然后应用因数分解法解一元二次方程，求出m的值是多少；最后把求出的m的值代入化简后的算式，求出算式÷的值是多少即可．解答：解：÷==∵x2+2x﹣3=0，∴（x+3）（x﹣1）=0，解得x1=﹣3，x2=1，∵m是方程x2+2x﹣3=0的根，∴m1=﹣3，m2=1，∵m+3≠0，∴m≠﹣3，∴m=1，所以原式===点评：（1）此题主要考查了分式的化简求值问题，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了解一元二次方程﹣因式分解法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．27．（2015•哈尔滨）先化简，再求代数式：（﹣）÷的值，其中x=2+tan60°，y=4sin30°．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=，当x=2+，y=4×=2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2015•广元）先化简：（﹣）÷，然后解答下列问题：（1）当x=3时，求原代数式的值；（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？考点：分式的化简求值．分析：（1）这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式，再将x=3代入计算即可；（2）如果=1，求出x=0，此时除式=0，原式无意义，从而得出原代数式的值不能等于﹣1．解答：解：（1）（﹣）÷=[﹣]•=（﹣）•=•=．当x=3时，原式==2；（2）如果=1，那么x+1=x﹣1，解得x=0，当x=0时，除式=0，原式无意义，故原代数式的值不能等于﹣1．点评：本题考查了分式的化简求值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．29．（2015•安顺）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．解答：解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得x=30经检验，x=30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．点评：本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．。
分式方程典型易错点及典型例题分析
分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式的基本性质例1化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.[错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.典例分析类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A. B.C.D.2．若分式的值等于零，则x＝_______；3．求分式的最简公分母。
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1B．0C．1D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．(一) 通分约分4．化简分式:【变式1】顺次相加法计算：【变式2】整体通分法计算：（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．【变式1】整体代入法已知，求的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=【变式1】换元法 解方程：32121---=-x x x （二）与同分母相关的分式方程8．解方程3323-+=-x x x 【变式1】解方程87178=----x x x 【变式2】解方程125552=-+-xx x9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式2】 A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a-p=1paa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2。
分式方程50题 参考答案与试题解析
分式方程50题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，整理得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解；（2）去分母得：（x﹣2）2＝（x+2）2+16，整理得：x2﹣4x+4＝x2+4x+4+16，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣1）＝2x，去括号得：3x﹣3＝2x，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解；（2）去分母得：（x﹣2）2﹣x2+4＝16，整理得：x2﹣4x+4﹣x2+4＝16，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．3．【分析】（1）方程两边同乘2（4+x），得关于x的一元一次方程，解方程可求解x值，最后验根即可；（2）方程两边同乘x2﹣1，得关于x的一元一次方程，解方程可求解x值，最后验根即可．【解答】解：（1）方程两边同乘2（4+x），得2（3﹣x）＝4+x，解得x＝，当x＝时，2（4+x）≠0，∴x＝是原方程的解．（2）方程两边同乘x2﹣1，得x﹣1+2＝0解得x＝﹣1，当x＝﹣1时，x2﹣1＝0，∴x＝﹣1是方程的增根，∴原方程无解．4．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程整理得：﹣＝1﹣，方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：x+3﹣8x＝x2﹣9﹣x（x+3），解这个方程得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的增根，所以原方程无解．5．【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝•＝•＝；（2）分式方程整理得：＝1+，去分母得：x＝2x﹣1+2，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，则分式方程的解为x＝﹣1．6．【分析】两方式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3（x+1）＝2（x﹣2），去括号得：3x+3＝2x﹣4，解得：x＝﹣7，经检验x＝﹣7是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1＝x2﹣1+4，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．7．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2（x+2）＝3（3x﹣1），去括号得：2x+4＝9x﹣3，移项合并得：﹣7x＝﹣7，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．8．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：原方程可化为：﹣＝1，去分母，得3x﹣6＝x﹣2，解得：x＝2，经检验：x＝2是原方程的增根，所以原方程无解．9．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+3＝2x，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：x（x+3）＝18≠0，则分式方程的解为x＝3．10．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：+＝4，去分母得：x+4+2＝4x﹣12，移项合并得：﹣3x＝﹣18，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解．11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x+7﹣2（x+5）＝x2+4x﹣5，整理得：x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1或x＝﹣2，经检验x＝1是增根，则分式方程的解为x＝﹣2．12．【分析】根据解分式方程的解法步骤求解即可．【解答】解：去分母得，（x+1）（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝3（x+2）去括号得，x2﹣x﹣2﹣x2+4＝3x+6移项得，x2﹣x﹣x2﹣3x＝6+2﹣4合并同类项得，﹣4x＝4系数化为1得，x＝﹣1经检验，x＝﹣1是原方程的解，所以原方程的解为x＝﹣1．13．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：最简公分母为（x﹣2）2，去分母得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，整理得：x2﹣2x﹣x2+4x﹣4＝4，解得：x＝4，检验：把x＝4代入得：（x﹣2）2＝4≠0，∴分式方程的解为x＝4．14．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到方程的解．【解答】解：去分母得：5﹣m＝m﹣2﹣3，移项合并得：2m＝10，解得：m＝5，检验：把m＝5代入得：m﹣2＝5﹣2＝3≠0，∴分式方程的解为m＝5．15．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：3+x2﹣9＝x（x+3），解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，x2﹣9≠0，∴原方程的解为x＝﹣2．16．【分析】方程两边都乘以x﹣1得出3x+2＝5，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以x﹣1得：3x+2＝5，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0，所以x＝1不是原方程的解，即原方程无解．17．【分析】方程两边都乘以x（x﹣1）得出x﹣8+3x＝0，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：x﹣8+3x＝0，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，所以x＝2是原方程的解，即原方程的解是：x＝2．18．【分析】（1）方程两边都乘以x（x+1）得出5x+2＝3x，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘以2（x﹣1）得出2x＝3﹣4（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x+1）得：5x+2＝3x，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，所以x＝﹣1是增根，即原方程无解；（2）方程两边都乘以2（x﹣1）得：2x＝3﹣4（x﹣1），解得：x＝，检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，所以x＝是原方程的解，即原方程的解是：x＝．19．【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：＝+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．20．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程两边同乘x（x﹣1）得：9（x﹣1）＝8x，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解；（2）方程两边同乘x﹣2得：x﹣1﹣3（x﹣2）＝1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程﹣＝1，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．22．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：1﹣2＝x﹣2，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解；（2）去分母得：x2+x﹣x2+1＝3，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．23．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）＝，去分母得：x﹣3＝2x，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解；（2）方程整理得：﹣1＝﹣，去分母得：x﹣2x+1＝﹣3，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．24．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+3）（x﹣1）﹣x2+9＝2，整理得：x2+2x﹣3﹣x2+9＝2，即2x＝﹣4，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．25．【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程组整理得：，①×2+②得：11x＝22，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝3，则方程组的解为；（2）去分母得：3x+3﹣4x＝x﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．26．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）+＝0，去分母得：x﹣2+x+3＝0，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解；（2）﹣＝1，去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．27．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①×2+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣2＝﹣，去分母得：3x﹣2（x﹣3）＝﹣3，去括号得：3x﹣2x+6＝﹣3，解得：x＝﹣9，经检验x＝﹣9是分式方程的解．28．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程整理得：+1＝﹣，去分母得：2x﹣4+4x﹣2＝﹣3，移项合并得：6x＝3，解得：x＝，经检验x＝是增根，分式方程无解．29．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①+②得：3x＝9，解得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝0，则方程组的解为；（2）分式方程＝+1，去分母得：3＝1+y﹣2，解得：y＝4，经检验y＝4是分式方程的解．30．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）＝，去分母得：3x＝2x﹣2，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解；（2）方程组整理得：，①+②得：6y＝6，解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝3，则方程组的解为．31．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①+②得：4x＝12，解得：x＝3，把x＝3代入②得：y＝1，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：4﹣3＝x﹣2，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．32．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），②×2﹣①得：7y＝7，解得：y＝1，把y＝1代入②得：x＝2，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣＝﹣5，去分母得：﹣3＝x﹣5（x﹣1），去括号得：﹣3＝x﹣5x+5，移项合并得：4x＝8，解得：x＝2．33．【分析】（1）根据加减消元法解方程即可求解；（2）方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：（1）．②﹣①×2得：7x＝﹣14，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：x＝2．故方程组的解为；（2）+2＝，方程两边都乘（x﹣2）得1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1，解得x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，是增根．故原方程无解．34．【分析】（1）利用加减消元法解方程组；（2）方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得到整式方程，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1），②﹣①得4x＝28，解得x＝7，把x＝7代入①得7﹣3y＝﹣8，解得y＝5，所以方程组的解为；（2）去分母得﹣2＝2（x﹣1）﹣（x+1），解得x＝1，经检验：原方程的解为x＝1．35．【分析】（1）方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）根据加减消元法解方程即可求解．【解答】解：（1）＝1+，方程两边都乘（x﹣2）得x＝x﹣2+x+1，解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0．故x＝1是原方程的解；（2），①+②×5得：17x＝17，解得：x＝1，把x＝1代入②得：y＝﹣5．故方程组的解为．36．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程+1＝，去分母得：2+1+x＝4x，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．37．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：﹣1＝，去分母得：（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝12，整理得：x2﹣4x+4﹣x2+4＝12，移项合并得：﹣4x＝4，解得：x＝﹣1，检验：把x＝﹣1代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣1．38．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：（x+2）2﹣20＝x2﹣4，整理得：x2+4x+4﹣20＝x2﹣4，移项合并得：4x＝12，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，则分式方程的解为x＝3．39．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①+②得：6x＝18，解得：x＝3，①﹣②得：4y＝8，解得：y＝2，则方程组的解为；（2）分式方程整理得：﹣2＝，去分母得：x﹣2（x﹣3）＝3，去括号得：x﹣2x+6＝3，移项合并得：﹣x＝﹣3，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，∴x＝3是增根，则分式方程无解．40．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程整理得：﹣＝1，去分母得：x﹣2﹣4x+8＝x2﹣4，即x2+3x﹣10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，解得：x＝2或x＝﹣5，经检验x＝2是增根，则分式方程的解为x＝﹣5．41．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+1＝4（x﹣2），解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x﹣2）（x+1）≠0，∴x＝3是原方程的解．42．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4﹣（x+2）＝0，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．43．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣2（x+3）＝x﹣3，去括号得：3﹣2x﹣6＝x﹣3，移项合并得：﹣3x＝0，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．44．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3x﹣6﹣2x＝0，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．45．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3）得（x﹣3）+2（x+3）＝12，去括号得：x﹣3+2x+6＝12，移项得：x+2x＝12+3﹣6，合并得：3x＝9，解得：x＝3，检验：把x＝3代入（x+3）（x﹣3）＝0，∴x＝3是增根，原方程无解．46．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2+4x+4﹣3x2＝2x2+4x，整理得：4x2＝4，即x2＝1，解得：x＝1或x＝﹣1，经检验x＝1和x＝﹣1都为分式方程的解．47．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x＝3x﹣6，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣x，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，则原方程无解．48．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2＝2x﹣1﹣3，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解；（2）去分母得：x﹣3﹣2＝1，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解．49．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程两边同乘（3+x）（3﹣x），得9（3﹣x）＝6（3+x），解这个方程，得x＝，检验：当x＝时，（3+x）（3﹣x）≠0，则x＝是原方程的解；（2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得4+x2﹣1＝（x﹣1）2，解这个方程，得x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，x＝﹣1是增根，则原方程无解．50．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x+3＝5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的根；（2）去分母得：3﹣x+1＝x﹣4，解得：x＝4，经检验x＝4是增根，方程无解．。
(初中)九年级数学下学期中考微专题复习典型盘点解分式问题中的常见错误试题详解赏析汇总
（初中）九年级数学下学期中考微专题复习典型盘点解分式问题中的常见错误试题详解赏析汇总在分式学习过程中，部分同学不能正确理解分式意义，在运算顺序、技巧方法等方面都容易出现错误，本文就教学过程中容易出现的几类错误进行盘点，并运用实例逐一分析，望能够对同学们的学习有所帮助． 一、忽视隐含条件例l 关于x 的分式方程3111m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是____． 误解 两边同乘（x －1），得m －3＝x －l ，解得x ＝m －2．因为分式方程的解为正数，所以m －2>0，即m>2．分析 这里的错误在于忽视了x －1＝0时，分母没有意义的隐含条件，即x －l ≠0，那么x ≠1，即m －2≠1，所以m ≠3． 正确答案是：m >2且m ≠3．例2 已知分式26189x x +-的值为正整数，求整数x 的值．误解()()()26361869333x x x x x x++==-+--值为正整数，则3－x 的值分别是1，2，3，和6．解得x ＝2，x ＝1．x ＝0，x ＝－3． 分析 此解错误之处在于，忽视了26189x x +-的分母中x 为＋3和－3时无意义的隐含条件；而且，在约分时将3＋x 约去就更容易出错． 正确答案是：x 的值为2，l ，0只有3个．例3 先化简22222a b ab b a a ab a ⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当b ＝－l 时，再从－2<a<2的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．误解 原式＝()()()222a b a b a ab b a a b a+-++÷-＝()21a b a a a b a b +•=++ 取a ＝0时，原式＝－1．分析 此解法先化简时进行约分，忽视了题目中分母不能为0，只专注于化简后得到的分式分母不为0．在－2<a<2中，a 可取的整数值为－l ，0，I ．当a ＝－l 时，分式222a b a ab--无意义；a ＝0时分式，22ab b a +，222a b a ab --均都无意义；当a ＝l 时，分式1a b+无意义，所以，a 在规定的范围内取整数，原式均无意义，即所求值不存在．评注 分式的定义AB中，隐含B 不为0才有意义的条件，在具体运算时容易忽略甚至遗漏这一条件造成错误，这类开放性的问题是各地中考的热点题目，表面看给了学生很多的自主选择机会，却步步陷阱，不慎即导致错误，同学们只有在学习中不断的总结研究才能减少失误． 二、遗忘显性条件 例4 若m 为正实数，且m －1m＝3，则221m m -＝_______．误解 由于22111m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而22114m m m m ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2213413m m ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，m ＋1m ＝±13，所以221m m -＝±313．分析 此解错误在已知条件明显告诉m 是正整数，m ＋1m不可能为负数，但很多同学受思维定势的影响，误认为一个正数的平方根有两个，他们互为相反数，导致错误．正确答案是：313评注 初二的学生很容易出现的错误，就是题目中的条件虽然非常清楚，但会受到忽视、忽略，按照固有思维模式来解决分式问题，且缺少解题后检查的学习习惯． 三、计算顺序错误例5 计算221112111x x xx x x x-+-÷•-+-+分析 此解法的错误在于，后面乘法刚好可以约分，所以不按运算顺序计算导致错误．正确答案按从左到右的顺序进行是：例6 计算22111a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭．误解 原式分析 分式乘法分配律不能错误地用到除法中去，而要按照运算顺序，先算括号内的，再算除法．正确解法应为：评注 多数同学虽然熟悉分式混合运算顺序，但在具体运算时有从简心理，想当然自己制造一些看似符合规律的“合理”法则，计算过程混乱．例7 计算111a a --+分析 分式与整式相加减时，多项式整式分母为1的式子，分数线起到括号的作用，不能忽略．正确解答为：评注 我们在准确运用分式的运算法则的同时，运算过程中要正确完成约分通分以及因式分解．分式混合运算是分式一章学习的重点，也是中考命题的热点，关键是在类比已有的分数运算基础上掌握分式运算顺序规律，分式的基本性质，灵活运用交换律、结合律，使运算简便，不能想当然，随心所欲造成不必要的失误． 四、将求分式的值混同于解分式方程例8 先化简，再求值：23111x x x----，其中x ＝2．分析 当x ＝2，原式＝2×－2＝2．上述错误关键是把分式运算当作了解分式方程，去分母时发生混淆．正确解法应该是：当x ＝2时，原式＝23．评注 学习了解分式方程以后，看到分母分式化简运算，也就习惯性的去分母，这就需要不断的积累总结分式运算与解方程区别和联系，减少失误． 五、方程变形未考虑同解性例9 已知a b b c a c k c a b +++===，求21kk +的值． 误解 由已知得a ＋b ＝ck ，b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a ＋b ＋c)＝k(a ＋b ＋c)，两边除以（a ＋b ＋c ），得k ＝2．代入21k k +＝25． 分析 当a ＋b ＋c ＝0时，2（a ＋b ＋c ）＝k （a ＋b ＋c ）与k ＝2就因不是同解方程，导致错误．当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ．此时a b c+＝－1，即k ＝－1．代入21kk +＝－12． 正确答案是：25和－12． 评注 在解分式相关问题时，学生往往只注意与所求最密切相关的条件，或者偏向性地选择条件，从而忽视了部分条件而导致失误．条件分式的求值，要依据题目自身特点，充分利用整体的数学思想和转化的数学思想，才会有事半功倍的效果． 六、解分式方程遗忘检验例10 解方程4525142362x x x x -+=--- 误解 方程两边同乘6（x －2），得3(5x －4)＝2（2x ＋5）－3（x －2），解得x ＝2． 分析 将分式转化为整式方程，关键是找准最简公分母，这里不能找成（4－2x ）（3x －6），而且要注意符号的变化，（x －2）与(2－x)互为相反数，对于常数或者整式也不要漏乘，而解分式方程与整式方程最大的区别是，将求得的解代人最简公分母中检验，分母为零的解不是原方程的解，这里当x ＝2时，6（x －2）＝0，所以x ＝2不是原方程的解．评注 需要指出的是，检验是解分式方程的一个必不可少的步骤．。
解分式方程常见失误剖析
解分式方程常见失误剖析作者：杨进南许生友来源：《初中生·考试》2010年第01期解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解. 由于对分式方程的概念及性质理解不清、掌握不透,同学们在解题过程中常出现一些失误.一、概念不清例1 若分式方程■=■有增根,则增根是().A. x=1B. x=1和x=0C. x=0D. 不能确定错解:当x=1时,x(x-1)=0;当x=0时,x(x-1)=0,所以当x=1和x=0时都是原分式方程的增根. 选B.剖析:错解的原因是对分式方程增根的概念理解不透.正解:方程两边同乘以x(x-1),得6x=x+5.解得x=1.检验:当x=1时,x(x-1)=0,∴ x=1是原方程的增根.选A.温馨提示:增根是指把分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根.二、漏乘例2 解分式方程:■+■=1.错解:方程两边同乘以(x-4),得3-x-1=1.解这个整式方程,得x=1.检验:当x=1时,x-4≠0,∴ x=1是原方程的解.剖析:方程两边同乘以最简公分母时,漏乘了常数项1.正解:方程两边同乘以x-4,得3-x-1=x-4.解这个方程,得x=3.检验:当x=3时,x-4=-1≠0,∴ x=3是原方程的解.温馨提示:在方程两边同时乘以最简公分母时,方程的每一项都要乘以最简公分母,不能只在含分母的项中乘以最简公分母,而未乘不含分母的项.三、漏检验例3 解分式方程:■=■-1.错解:方程两边同乘以3(x-2),得3(5x-4)=4x+10-3(x-2).解这个方程,得x=2.∴ x=2是原方程的解.剖析:由于受解整式方程的影响,形成了思维定势,解完后,便大功告成. 事实上,当x=2时原方程的分母为0,没有意义,所以x=2是原方程的增根,应舍去.正解:方程两边同乘以3(x-2),得 3(5x-4)=4x+10-3(x-2).解这个方程,得x=2.检验:当x=2时,3(x-2)=0,∴ x=2是增根,原方程无解.温馨提示:检验是解分式方程不可缺少的步骤.四、丢根例4 解方程:■=■.错解:方程两边同除以(2x+1),得■=■.两边同乘以(x-3)(3x-5),约去分母,得3x-5=x-3,解得x=1.经检验,x=1是原方程的解,所以x=1是原方程的解.剖析:因为方程两边同除以含有未知数的整式(2x+1),而导致丢根.正解:方程两边同乘以(x-3)(3x-5),约去分母,得(2x+1)(3x-5)=(2x+1)(x-3).当2x+1=0时,方程显然成立,此时x=-■.当2x+1≠0时,方程两边同除以(2x+1),得3x-5=x-3. 解得x=1.经检验,x=-■和x=1都是原方程的解,∴ x=-■和x=1是原方程的解.温馨提示:方程两边同除以一个不等于零的数,所得方程与原方程同解;同除以含有未知数的代数式,有可能丢根.五、忽视分数线的括号作用例5 解方程■+■=1.错解:方程两边同乘以x-2,得3-x-3=x-2.解这个整式方程,得x=1.检验:当x=1时,x-2≠0,∴ x=1是原方程的解.剖析:错解在去分母时,忽视了分数线的括号作用,导致错误.正解:方程两边同乘以(x-2),得3-(x-3)=x-2.化简得2x=8,解得x=4.检验:当x=4时,x-2≠0,∴ x=4是原方程的解.温馨提示:分数线具有双重意义,一方面它是除号,另一方面它又代表括号. 在去分母时,如果分子是多项式,应将该多项式用括号括起来. ■。
八年级数学下册10.5分式方程分式运算误区警示素材苏科版
分式运算误区警示分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的.分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂,解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在,本文归纳小结几种错误原因如下，供同学们学习时参考．一、忽视隐含条件例1 当x=______时，分式145422-+-x x x 的值为零。
错解：当x 2－4＝0，即x=±2时，上述分式的值为零．评析:由于x=2时，分母x 2+5x －14=0，因此分式无意义．故正确答案为：x=－2．二、轻易约分例2．a 为何值时，分式34222++--a a a a 无意义？ 错解：因为32)1)(3()1)(2(34222+-=+++-=++--a a a a a a a a a a ,由a+3=0得a ＝－3，∴当a=－3时分式没有意义．评析：分析:讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式(a ＋1)，相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围,即放宽了分式成立的条件。
正确答案应为:a ＝－3或a=－1．三、符号上的错误：例3 化简mm -+-21442的结果是（ ） A 、21+-m B 、21+m C 、462-+m m D 、21+-m 错解：原式=46)2)(2()2(421)2)(2(42-+=++++=-+-+m m m m m m m m ,选C 评析:错误的原因是由于把（2—m ）变形为(m-2）时没有改变分式的符号。
正解应为214)2()2)(2()2(421)2)(2(42+-=---=+++-=---+m m m m m m m m m ，故应选A 。
四、通分时误去分母例4．计算：1123----x x x x 错解：原式=1)1()1)(1()1(1332323=--=++--=----x x x x x x x x x x 评析：错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是依靠分式的基本性质,通分要保留分母，而不是去分母；正解应为：原式=111)1(33-=---x x x x 五、违背运算顺序例5．计算：2)(1222223322a b b ab a b ab a b a b a -⨯+-+-÷+- 错解：原式=)()(1)())(())((2222222222b ab a bab a b a b a b ab a b a b ab a b a b a b a +-⨯+--=-⨯+--÷+-+-+ =b a -.评析:乘除法是同级运算，谁在前先作谁，而不应违反运算顺序。
分式方程练习题的错误分析
分式方程练习题的错误分析引言本文将对一系列分式方程练题中出现的错误进行分析和探讨。
通过深入研究这些错误，有助于我们理解分式方程的解题方法与技巧，为正确解答类似的问题提供参考。
错误分析错误1：分母为零在一道练题中，学生在求解分式方程时，将分母设为零进行计算。
然而，这是错误的，因为分母不能为零。
正确的做法应该是先对方程进行化简，然后找到方程的解。
错误2：未进行通分在另一道练题中，学生在使用分数除法时，未将分母进行通分，导致最终结果出现错误。
正确的做法是先对分母进行通分，然后再进行分数的加减乘除。
错误3：未注意负号在某道练题中，学生在进行分数的乘法时，未注意到负号，导致最终结果与正确答案相差甚远。
正确的做法是在进行分数运算时，要仔细注意各数之间的正负关系。
解决方案为了帮助学生避免上述错误，我们可以采取以下措施：1. 强调分母不能为零的原则，让学生在解题过程中牢记这一要点；2. 提醒学生在进行分数运算时，要先进行通分，确保结果的准确性；3. 帮助学生建立正确的运算意识，特别注意各数之间的正负关系。
结论通过对分式方程练题中出现的错误进行分析，我们可以得出以下结论：在解题过程中，学生应当特别注意分母不能为零，要进行通分，以及注意各数之间的正负关系。
只有掌握了这些基本技巧，才能正确解答分式方程练题，并在数学研究中取得更好的成绩。
接下来，我们需要进一步研究更多的分式方程练题，不断提高解题的准确性和效率。
参考文献- [Insert reference 1]- [Insert reference 2]。
分式方程及方程组应用易错点解析_分式方程计算题400道
分式方程及方程组应用易错点解析_分式方程计算题400道一、去分母时常数漏乘公分母例1解方程=-2、错解:方程两边同乘以(-3),得2-=-1-2,解这个方程,得=5、错因分析:解分式方程应先去分母,根据等式的性质,在方程两边同乘以(-3)时,应注意乘以方程的每一项。
错解在去分母时,常数项没有乘以(-3),另外求得结果没有代入原方程中检验。
正解:方程两边同乘以(-3),得2-=-1-2(-3),解得=3、检验:将=3代入原方程,可知原方程的分母等于0,所以=3是原方程的增根,所以原方程无解。
点拨:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程。
化为整式方程的关键做法是去分母,即方程两边同乘最简公分母,将其化为已学过的整式方程来解。
二、去分母时,分子是多项式未加括号例2解方程-=0。
错解:方程化为-=0,方程两边同乘以(+1)(-1),得31=0,解得=2、所以方程的解=2、错因分析:当分式的分子是一个多项式,在去掉分母时,应将多项式用括号括起来。
错解在没有用括号将(-1)括起来,出现符号上的错误,而且最后没有检验。
正解:方程两边同乘以(+1)(-1),得3-(-1)=0,解这个方程,得=4、检验:当=4时,原方程的分母不等于0,所以=4是原方程的根。
点拨:方程两边同乘以最简公分母化为整式方程时,如果方程中的其中一项的分子是多项式的,要及时添上括号,因为原来的分数线具有括号的作用。
三、方程两边同除以可能为零的整式例3解方程=。
错解:方程两边同除以3-2,得=,去分母得+3=-4,所以3=-4,即方程无解。
错因分析:错解的原因是在没有强调(3-2)是否等于0的条件下,方程两边同除以(3-2),结果导致方程无解。
正解:方程两边同乘以(-4)(+3),得(3-2)(+3)=(3-2)(-4),所以(3-2)(+3)-(3-2)(-4)=0。
即(3-2)(+3-+4)=0。
所以7(3-2)=0。
解得=。
检验:当=时,原方程的左边=右边=0,所以=是原方程的解。
分式运算分式运算错解“六大会诊”
分式运算错解“大会诊”一、符号错误例1．不改变分式的值，使分式b a b a --+-的分子、分母第一项的符号为正． 错解：ba b a b a b a -+=--+- 诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号． 正解：b a b a b a b a b a b a +-=+---=--+-)()(． 二、运算顺序错误例2．计算：)3(3234422+•+-÷++-a a a a a a 错解：原式=342)2(34)2(222++=-÷++-a a a a a a ． 诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右．正解：原式=1)3(2)3(2334422-+=+•-+•++-a a a a a a a a ． 三、错用分式基本性质例3．不改变分式的值，把分式b a b a +-32232的分子、分母各项系数都化为整数． 错解：原式=b a b a b a b a 32343)32(2)232(+-=⨯+⨯-． 诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以2，分母乘以3，分式的值改变了．正解：原式=b a b a b a b a 649126)32(6)232(+-=⨯+⨯-． 四、约分中的错误例4．约分：2222b ab a ab a +++． 错解：原式=22322111bb +=+++． 诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式．正解：原式=ba ab a b a a +=++2)()(．五、结果不是最简分式例5．计算：2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+． 错解：原式=222222)32()2()3(y x y x y x y x y x y x --=--++-+． 诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进一步约分化简．正解：原式=yx y x y x y x y x y x y x y x y x y x +=-+-=--=--++-+2))(()(222)32()2()3(2222． 六、误用分配律例6．计算：)222(422-+-+÷-+m m m m m ． 错解：原式=)2(2321)2(2122)2(22)2()2(22--=--=-+÷-+-+÷-+m m m m m m m m m m ． 诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律．正解：原式=)3(21)3)(2(2)2(2226)2(222-=-+-•-+=---÷-+m m m m m m m m m m m ． 七、忽略分数线的括号作用例7．计算：1123----x x x x ． 错解：原式=1121)1)(1(111122323--=------=----x x x x x x x x x x x x ． 诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用．正解：原式=111111)1)(1(1111332323-=----=-++---=++--x x x x x x x x x x x x x x x ．。
八年级数学下册分式解题中常见错误归类例析试题
分式解题中常见错误归类例析制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。
分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法根底上学习的。
分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵敏；因此更容易出现这样或者那样的错误，为了引起同行的注意，特将分式解题中常见的错误归类例析如下：一、 分式概念不清例1 在下面的有理式中，只有一个分式的是---------------------------------------------------〔 〕 A 308-x B a y x - C aa 23 D n m 2- 错解1：显然B 式可化为B A 的形式，即yay x -，且B 中含有字母y ，所以选B ， 错解2：显然A 、B 都是整式，C aa 23经过同底数的幂相除化为a 3也是整式，应选B ； 评析：两种错误解法，一个病根，就是把B 、C 两式化简后用分式定义断定结果所致，判断一个代数式属于哪一类，不能因为y ay x a y x -=-，就把a y x -叫做分式，也不能aa 23可以化成a 3而叫整式； 正解：因为不经过运算，a a 23就是BA 的形式，且B 中含有字母a ，所以选B ； 例2．当2=x 时，下面分式的值是零的只有一个是----------------------------------------〔 〕 A 22211--x x B x x 242-- C x x --2105 D 2+x x 错解：因为将2=x 代入B 的分子，其分式的值是零，应选B ；评析：错解认为“只要分子的值是零，〞而忽略了“分母不为零〞，事实上取2=x 时，分式本身已经没有意义；正解：因为将2=x 分别代入A ，发现分母不为零，分子为零，应选A ；例3．当x 为何值时，分式12--x x 的值是负？ 错解：因为无论x 取何值，2x -都是负数，而且当1≠x 时，分母01≠-x ，所以，当1≠x 时，分式的值是负。