材力 第7章应力状态和强度理论

单元体斜截面
R C

x y 2
应力圆圆周上的点。
1).应力圆的画法:
y
y y
A

x x
x
D
R (
R
x y
2
)2 2 x
A ( x , x )
c
(y ,y) D

x y
2
2).几种对应关系 ⑴点面对应—应力圆上的一点坐标值对应单元截 面上的正应力和切应力。转向相同，转角两倍。
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
②. 切应力
1 ( x y )sin 2 x cos 2 2 2 σmax σ x + σ y σ x - σ y 2 ± = d + τx 2 令 ( x y ) cos 2 2 x sin 2 =0 σmin 2 d 1 ( x y ) cos 21 2 x sin 21 0 tg2 0 tg21 x y 即： tan 21 1 0 2 x
x
2
sin 2 x cos 2
1 1 ①. 正应力 ( x y ) ( x y ) cos 2 x sin 2 2 2 d 确定正应力极值 令 ( x y )sin 2 2 x cos 2 =0 d ( x y )sin 2 0 2 x cos 2 0 0
利用三角函数公式
{
1 cos (1 cos 2 ) 2 1 2 sin (1 cos 2 ) 2
2
2 sin cos sin 2
并注意到 y x 化简得
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 x sin 2 2 2 1 ( x y )sin 2 x cos 2 2
200MPa
1 1 200 ( x 200) ( x 200) cos(3000 ) 100 3 sin(3000 ) 2 2
可得
x 400MPa,
由 max
2 500MPa 400 200 400 200 2 ± (100 3) = min 100MPa 2 2
特点: ① 根据材料的均匀连续假设微元体各微面上的应力均匀 分布, 相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反; ②互相垂直的两侧面上切应力服从切应力互等定理.
3. 主平面、主应力、主单元体
切应力为零的平面称为主平面。
主平面上的应力称主应力。
C
max
以主平面为坐标平面的单元体称为主单元体。 主单元体的例子
x α
a
n
x
a
dA t
F
n
0
y
dA x (dA cos )sin x (dA cos ) cos y (dA sin ) cos y (dA sin )sin 0
y
F 0
t
dA x (dA cos ) cos x (dA cos )sin y (dA sin )sin y (dA sin ) cos 0
即
tan2α 0 = 2τ x σx - σy
2. 极值正应力和极值切应力
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大 正应力和最小正应力所在平面。
σ max σ x + σ y σx - σy 2 = ± + τ x σ min 2 2
2
注意：
max min x y
y
y
H

n
H ( a , a )
y

x
2
x D (y ,y)
A ( x , x )
=50MPa
0 27.5
x y 2 max x y 2 ( ) x min 2 2
70 70 2 ( ) 502 2 2
26MPa
70MPa
50MPa
96MPa 27.5
=
96MPa
26MPa
由于ζx=-70≤ζy=0, 所以最小锐角 α0对应ζmin;

A 横截面

可以证明，一点处必定存在主单元体，因而必 定存在三个互相垂直的主应力，分别记为 1、2、 3，且规定按代数值大小顺序排列。
即：
1 2 3
3124. Nhomakorabea力状态的分类
单向应力状态——只有一个主应力不等于零 二向应力状态——有两个主应力不等于零
三向应力状态——三个主应力都不等于零
x
1 68.3MP a, 2 0, 3 48.3MP a
主平面的方位：
y
x
2 x 60 tg20 0.6 x y 60 40
15 .5
x
0 15.5 ,
0 15.5 90 105.5
0 15.5 主应力 1 方向：

sin 2 x cos 2
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) x 2 2
这个方程恰好表示一个圆,称为应力圆.

x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) x 2 2
x y 2 2 R ( ) x 2
例7-3 受力物体内A点的应力状态如图所示。
求A点主应力大小和方向。
200MPa A 60
100 3MPa
200MPa
解:已知 y 200MPa,
y 100 3MPa, 150 200MPa
0
200MPa A
100 3MPa
60
σx
τx
由剪应力互等定理有
x y 100 3MPa,
特殊情况讨论 ① x方向的单向应力状态
x cos
2
x
2
sin 2
x
A
x
② 纯剪切应力状态
C
x
x x
x sin 2 x cos 2
x cos x sin 2
2
B
③ x方向拉(压)与纯剪切应力状态的组合
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 解:由单元体可知
40MPa
30MPa
60MPa
x 60MPa， x 30MPa, y 40MPa, 30。
（1）求 斜面上的应力 x y x y cos 2 x sin 2
C
B


max
max
E
M
D


§7-2
二向(平面)应力状态
y
y
◆. 符号规定
x
x
α x
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
y
x
α
a
n
x
a
x
y

t
y
α 角：由 x 轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正；反 之为负。
1. 斜截面上的应力 列平衡方程
故A点的主应力大小为
1 500MPa, 2 100MPa
100MPa
主应力方向为
2 100 3 tg2 0 3 400 200
300
500MPa
则
0 300
3. 应力圆及应用

x y
2 x y 2

x y
2
cos 2 x sin 2
105 . 5 主应力 3 方向： 0
可证：当ζx≥ζy, α0对应ζmax,当ζx≤ζy, α0 对应ζmin; 或两η箭头所夹α0对应ζmax,两η箭尾所夹α0对应ζmin.
（3）主应力单元体：
1 68.3MP a, 2 0, 3 48.3MP a
0 15.5 ,
3
3
3
3
1
1
2
1
3
单元体取法的示例1—轴向拉伸
P
A
P

A



横截面
单元体取法的示例2 —圆轴扭转
B A


A

B



横截面
横截面 外轮廓线
m
n
单元体取法的示例3 —平面弯曲
b h F
m n
A B
M

FQ

FQ
M+dM
z
m n
C
y y
D E
x
x
dx

m dx
n

FQ
A
max
58.3MPa
（2）求主应力、主平面 已知: x 60MPa，
x 30MPa,
30。
y
y 40MPa,
x
x y 2 2 max x y ( ) x min 2 2
60 40 60 40 2 2 ( ) 30 2 2 68.3 MPa 48.3 MPa
3
y
x 1
x
15.5
例7-2 图示悬臂梁上A点的应力状态如图所示。
① 求单元体上指定截面上的应力； ② 求A点主平面和主应力(用主单元体表示)。
A
=70MPa
30
=50MPa
问题:应力的符号是如何定的?