山东省枣庄市第三中学2015届高三第二次(1月)学情调查数学(理)试题word版含答案

山东省枣庄市第三中学2015届高三第二次（1月）学情调查数学（理）试题一、选择题：(本大题共l0小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN = ( )A ．）（1,0 B ．]1,0[ C ．)1,0[ D ．]1,0( 2．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则 =++987a a a ( ) A.81 B. 81- C. 857 D. 8553. 下列说法中正确的是 （ ）A ．若命题:p x R ∀∈有20x >，则:p x R ⌝∀∈有20x ≤；B ．若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-； C ．若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；D ．方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±4. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A ．48cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm3f5．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为 ( ) A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -=6.若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y (A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 2(2)x - (C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 2(2)x -7．函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x A ．()sin f x x x =+ B ．()f x =C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--8．若||2||||a b a b a=-=+，则向量a b -与b 的夹角为（ ）A ．6πB.3πC.32π D.65π 9．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．CD ．2 10．已知定义域为R 的函数23sin cos ()2cos bx x bx xf x a x++=++ (a 、b ∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则3a -2b = ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 1第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为 . 12．观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .13．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______. 14．在直角三角形ABC 中，2C π∠=，2AB =，1AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅= ．15．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QO = .三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求角B 的值； （2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．17． （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上. （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． （1）求证：BD ⊥FG ；（2）当二面角B —PC —D 的大小为32π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()244,n S n n n N *=-+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n nn b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩， n T =231232222n n b b b b +++⋅⋅⋅+，求n T.20．（本小题满分13分）已知点31,2P -（）在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，椭圆C 的左焦点为（-1，0） （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(,0)T m 交椭圆C 于M 、N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN//AB ，问是否存在正数m ，使2ABMN为定值？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）设函数ax xxx f -=ln )(． （1）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围．高三第二次学情调查理科数学参考答案2015.1一．选择题：DACBC DCDAC 二．填空题：11．(),4-∞；12．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2； 13．7； 14．92； 15．3 三．解答题：16．（本小题满分12分）解：（1）由已知⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-A A B A 6cos 6cos 22cos 2cos ππ 得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………3分 化简得23s i n =B ………………………………………………………………………………………………5分 故323ππ或=B ．………………………………………………………………………………………………6分 （2）因为b a≤，所以3B π=，……………………………………………………………………………７分由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，得C c A a sin 2,sin 2==， 故A A A A C A c a cos 23sin 2332sin sin 2sin sin 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-π6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭……９分因为b a≤，所以323ππ<≤A ，266πππ<-≤A ，……………………………………………………10分所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3,236s i n 321πA c a ． ……………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为（3,2），∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为：1)2()3(22=-+-y x …………………………………………………1分显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ，即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C的切线方程为：3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x ………………6分（2）解：∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(22=--+-a y a x (8)分又|2|||MO MA =∴设M 为（x,y ）则22222)3(y x y x +=-+整理得：4)1(22=++y x设为圆D …………………………………………………10分 ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a …………11分解得，a 的取值范围为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0…………12分 18．（本小题满分12分）解：方法一：（1） PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD ，AC 交于点E ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，∵PA 交AC 与点 A ∴BD ⊥平面APC ………………………………………………………2分 ∵FG⊂平面PAC ，∴BD ⊥FG ……………………………………………………………………4分 （2）作BH ⊥PC 于H ，连接DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴PB=PD ， 又∵BC=DC ，PC=PC ，∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 是二面角B －PC－D的平面角．即,32π=∠BHD ………………………………………………………………………………………7分 ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角…………………………………8分连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π，tan BEBHE EH∴∠== 而BE EC=，,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC …………………………………………10分,22tan =∠∴PCA ……………………………………………………………………………………11分 ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是22………………………………………………………12分方法二：（1）以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a >0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E …………1分 ∵11(1,1,0),(,,)222aBD FG m m =-=---，110022BD FG m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………2分∴BD ⊥FG ………………………………………………………………………………4分（2）设平面PBC 的一个法向量为(),,u x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BC u PC u ，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC ⎩⎨⎧==-+∴00y az y x ，取1z =，得)1,0,(a u =，……………………8分 同理可得平面PDC 的一个法向量)1,,0(a v =，设v u ,所成的角为θ，则,21|32cos||cos |==πθ 即,21111,2122=+⋅+∴=a a 1=∴a …………………………………………10分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA ∴PC 与底面ABCD所成角的正切值是22…………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）244n S n n =-+，∴11S =………………………………………………………………1分又当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-………………………………………………………………3分所以11,125,2n n n n a S S n n -=⎧⎪=-=⎨-≥⎪⎩ ……………………………………………………………………4分 （2）∵1,15,22n nn b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，∴ n b n =，………………………………………………………6分2312+22+32++2n n T n =⨯⨯⨯⨯ ……………………………………………………………8分2341212+22+32++(-1)2+2n n n T n n +=⨯⨯⨯⨯⨯，∴1(1)22n n T n +=-+…………………12分20． （本小题满分13分）解：（1）椭圆C 的左焦点为(1,0)，∴1c =，椭圆C 的右焦点为(1,0)-可得532422a =+=+=，解得2a =， ……2分∴222413b a c =-=-= ∴椭圆C 的标准方程为22143x y += ……………………4分（2）设直线:()l y k x m =-，且1122(,),(,)M x y N x y ，由22143()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222222221222212234()12(34)8412083441234x k x m k x k mx k m k mx x k k m x x k +-=+-+-=+=+-=+……………6分…………………………………………………………………………8分由22143x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得221234x k =+ 设3344(,),(,)A x y B x y4x -得22248(1)34k AB k +=+……………………10分而42222226416(34)(3)16[(123)9]k m k k m m k -+-=-+∴当21239,1m m -==时24ABMM=为定值，当k 不存在时，定值也为41m ∴=………13分 21．（本小题满分14分） 解：（1）由已知得x ＞0，x ≠1．因f (x )在(1)+∞，上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1)+∞，上恒成立．………………1分所以当(1)x ∈+∞，时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，………………………………2分7故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………………………………………4分（2）命题“若存在212,[,],x x e e ∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有()m i n m a x ()f x f x a '+≤”． …………………………………………………5分由（Ⅰ），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………………………………6分①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则min ()f x =2221()24e f e ae =-≤，故21124a e -≥． ……………………………………………8分②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，矛盾．……………………………………………10分（ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知， 存在唯一20(,)x e e ∈，使'()0f x =，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；所以，0m i n 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈…………………………………………12分 所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾．………………………13分 综上，得21124a e ≥-………………………………………………………………………14分。