2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷
最新学年高中数学青年教师解题比赛结果通报
2010学年海珠区高中数学青年教师解题比赛结果通报
各高中（含六中、美院附中）：
根据广州市教研室数学科和海珠区教育发展中心数学科的工作计划和安排，2010学年广州市中学数学青年教师解题比赛海珠区初赛于2010年12月31日（第十八周周五）14：30——16：30在海珠区教育发展中心举行，本次比赛高中共评出一等奖7名，二等奖15名，三等奖42名。
本初赛获得一、二等奖的教师以及本初赛未获得一、二等奖，但在上学期广州市“卡西欧”杯青年教师讲课比赛中获得一、二等奖的教师将代表海珠区参加下学期广州市解题比赛决赛。
具体名单届时将另发通知。
希望获奖教师再接再厉，在下学期的全市决赛中勇创佳绩！
附：2010学年高中数学青年教师解题比赛获奖名单
海珠区教育发展中心
2010年1月6日。
2002年全国高中数学联赛试题及参考标准答案
２002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分,每小题6分）1、函数ｆ(x)=ｌｏg1/２(x2-2x-３）的单调递增区间是（）。
（A)（－∞,－１)（Ｂ)（－∞,１)(C)(1，＋∞)(D）（3, +∞)2、若实数ｘ,y满足(x＋5)2＋（y-12)２=１4２，则x2＋y2的最小值为( ）。
(A)2（B)1 （C）√3 (D)√23、函数ｆ（x)＝x/1-2x－x/2（)(A)是偶函数但不是奇函数（B)是奇函数但不是偶函数（C)既是偶函数又是奇函数（D)既不是偶函数也不是奇函数４、直线x/4+y/3＝１与椭圆x２/16+ｙ２/9=1相交于Ａ，B两点，该椭圆上点Ｐ,使得ΔPAＢ面积等于３,这样的点P共有（）。
(A）１个（Ｂ)2个（C）3个（D)4个５、已知两个实数集合A=｛a１,ａ２,…，ａ1０0}与B={ｂ1,b2,…，ｂ50},若从A到B的映射ｆ使得B中每个元素都有原象，且f（a1）≤f(a２)≤…≤f(a１00)则这样的映射共有()。
(A)C50１00（B)C４899(C）C4９１0０（D）C499９6、由曲线x2＝4y,ｘ2＝－4ｙ，x=4,x=－4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足ｘ２+y2≤16,ｘ2+(y-2）2≥4，ｘ２+(y+２)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V２，则(）。
（A)V１=（1/2）V2 (Ｂ)V1=（2/3)V２（C)V1=V2（D)V1=2Ｖ2二、填空题(本题满分5４分,每小题９分)7、已知复数Z1，Ｚ２满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝３,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Ｚ2)／(Z１＋Z２)∣＝。
8、将二项式（√x＋1/（２４√x))n的展开式按ｘ的降幂排列,若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
9、如图，点Ｐ1,Ｐ2,…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pｉ,Ｐｊ,P k)(1<i＜j＜k≤10)有个。
高中数学青年教师解题比赛试题(广州市)
1 高中青年教师解题比赛试卷一、选择题：1、下列各式中正确的是（ ）A 、0=φB 、φ={}0C 、∈0φD 、φ{}0⊆2、若x sin >tgx >ctgx ，（2π-<x <2π）。
则∈x （ ） A 、)4,2(ππ-- B 、)0,4(π- C 、)4,0(π D 、)2,4(ππ 3、已知极坐标系中的两点)8,1(πP ，)83,2(πQ ，则直线PQ 与极轴所在直线的夹角是（ ） A 、3π B 、4π C 、2π D 、83π 4、n x )2(- 的展开式中，第二项与第四项的系数之比为2:1，则2x 项的系数是（ ）A 、220B 、220-C 、12D 、12-5、各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++ 的值为：（ ） A 、215+ B 、215- C 、21 D 、2 6、已知)(x f 是周期为T （T >0）的周期函数，则)12(+x f 是（ ）A 、周期为T 的周期函数B 、周期为2T 的周期函数C 、周期为2T 的周期函数 D 、不是周期函数 7、将函数x x f y sin )(⋅=的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到 函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ）A 、x cosB 、2x cosC 、x sinD 、x sin 28、四边形ABCD 中，,1====BD CD BC AB 则成为空间四面体时，AC 的取值范围是（ ）A 、（0，1）B 、（1，2 ）C 、[1，2]D 、（0，2）9、定义在R 上的奇函数)(x f 为减函数，设b a +≤0，给出下列不等式：（1）)()(a f a f -⋅≤0；（2）)()(b f b f -⋅≥0；（3）)()(b f a f +≤)()(b f a f -+-；（4）)()(b f a f +≥)()(b f a f -+-其中成立的是（ ） A 、（1）和（3）； B 、（2）和（3）； C 、（1）和（4）； D 、（2）和（4） 10、移动通讯公司对“全球通”手机用户收取电话费标准是月租50元+通话费，其中 通话费按每分钟4.0元2 计算。
2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷
2002年广州市高中数学青年教师解题竞赛试卷第 I 卷（选择题共 60 分）参照公式：题三角函数和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式名姓1c c l答s i n s i n 2s i nc o sS台侧此中 c 、 c 分别表示222要sinsin2 cossin2上、下底面周长， l 表示斜高或母线长2不c o sc o s 2 c o sc o s2 台体的体积公式： V 台体1 S S S S h23号生coscos2 sin sin此中 S 、 S 分别表示上、下底面积，h 表示高考内22线一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项校 封切合题目要求的．每题选出答案后，请填下表中 .学（1）常数 T 知足 sin Txcosx 和 tg Txctgx,则 T 的一个值是（）．密（A ）（B ）（ C ）（ D ）22） 2）在等差数列 a n 中， a 13a 8 a 15 120 ,则 2a 9 a 10 的值为（）．市 级县 （A ）24（B ）22 （C ）20 （D ） 8（区（3）设点 P 对应复数是 3 3i ,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，则点 P 的极坐标为（）．3 （B ）5（C ）5 （D ）3（A ） 3 2，3 2，3，3，4444（4）设 A 、 B 是两个非空会合，若规定： A B x xA 且 x B,则AA B 等于（）（A ） B （B ）A B（C ）A B（D ） A（5）函数 yf x 的图象与直线 x 1的交点个数为（ ）．（A ）0（B ）1（C ）2（D ）0 或 1（6）设函数 f x A sin x （此中 A 0, 0, x R ）,则 f 0 0 是 f x 为1奇函数的（）．（A ）充足不用要条件（B）必需不充足条件（C）充要条件（D）既不充足也不用要条件（7）如图，在斜三棱柱 ABC A1 B1C1中，∠ BAC＝90°， BC1AC ，过 C1作C1 H 底面 ABC，垂足为H，则（）．A1C1B1（A）H在直线 AC 上（B）H在直线AB上（C）H在直线 BC 上（D）H在△ ABC内AB C（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超出 3 分钟收费 0.2 元；超过 3 分钟，此后每增添 1 分钟收费 0.1 元，不足 1 分钟以 1 分钟收费 .则通话收 S（元）与通话时间 t（分钟）的函数图象可表示为（）．S S S S0.80.80.80.80.60.60.60.60.40.40.40.40.20.20.20.2O36912 t O 3 6 9 12 t O36912t O 3 6 912 t（A ）（B）（C）（ D）（9）以椭圆x2y 21的右焦点为圆心，且与双曲线x 2y21的渐近线相169144916切的圆的方程为（）．（A ）x 2y21090（B）x2y210x90 x（C）x 2y21090（D）x2y210x90 x（10）已知12x n的睁开式中全部项系数之和为，则这个睁开式中含3项729x的系数是（）．（A）56（B）80（C）160（D）180（11） AB 是过圆锥曲线焦点 F 的弦， l 是与点 F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线 l 的地点关系（）．（A ）相切（B）订交（C）相离（D）由离心率e决定（12）定义在 R 上的函数 y f x 的反函数为 y f1x ，则 y f x 是（）．（A ）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）知足题设的函数 f x 不存在2二、填空：本大共 4 小，每小 4 分，共 16 分．把答案填在中的横上．（13）函数y sin x(x3)的反函数是．2（14）已知抛物的焦点坐2，1，准方程 2x y0,其点坐．A（15）如，在棱都相等的四周体A—BCD 中，EE、 F 分棱 AD、 BC 的中点，直DBAF、 CE 所成角的余弦．FC（16）甲、乙、丙、丁、戊共 5 人参加某技比，决出了第1名到第 5名的名次 .甲、乙两名参者去成，回答者甲：“很憾，你和乙都没拿冠”，乙：“你自然不是最差的 .” 从个回答剖析，5 人的名次摆列共可能有种不一样状况（用数字作答） .（17）（本小分 10 分）已知复数 u cos A 2i cos2C，此中 A、C △ ABC 的内角，且三个内角2足 2B＝ A C.求 u i 的取范 .题名姓答要18）（本小分 12 分）不已知曲 C 上的任一点 M x, y （此中x 0） ,到点 A 2，0的距离减去它到号y 的距离的差是 2，点 A 的一条直与曲 C 交于 P、 Q两点，通点 P 和坐原点的直生考内交直 x 2 0于 N.线（ I）求曲 C 的方程；（ II）求： NQ平行于 x .（19）（本小分12 分）封能否存在一个等差数列 a,使随意的自然数 n，都有 2 n a a⋯ a P n .校n 1 2n2n 学密）市3级县（区名姓（20）（本小题满分 12 分）O 太阳如图，△ ABC 是一个遮阳棚，点 A 、B 是地面上C南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O 表示）光芒 OCD 与地面成锐角.AB（ I ）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，D才能使遮影△ ABD 面积最大？（ II ）当 AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ＝ 30°时，试求出遮影△ ABD 的最大面积 .（21）（本小题满分 14 分）甲、乙、丙三种食品维生素A 、B 含量及成本以下表：项 目甲 乙 丙 维生素 A （单位 /千克） 600 700 400 维生素 B （单位 /千克）800 400 500 成本（元 /千克）1194题答号生 考要不某食品营养研究所想用 x 千克甲种食品、 y 千克乙种食品、 z 千克丙种食品配成 100 千克混淆物，并使混淆物起码含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B.试用 x 、 y 表示混淆物的成本 M （元）；并确立 x 、y 、z 的值，使成本最低 .（22）（本小题满分 14 分）定义在 1 1 上的函数 f x 知足：①对随意 x 、 y1,1 ,都有 f x，内校 f yxy；②当 x1,0 时，有 f x0 .学f1 xy线f x 在11 上的图象对于原点对称；证明：（ I ）函数，封（ II ）函数 f x 在1,0 上是单一减函数；） （ III ） f1 f1 f1f1. n z市713n 23n 32级 密县 （ 区4。
2002年全国高中数学联赛试题及解答
解：同在某一侧面上：除P1外另外5点中任取3点与P1共4点组成一个四点组，有3C=30组，每条侧棱上三点与对棱中点：3组．
∴共有33组．
10．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意xR都有
14．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，已知P0是面积为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记Sn为曲线Pn所围成图形的面积．
⑴求数列{Sn}的通项公式；
⑵求Sn．
解：⑴对P0操作后，每条边变为4条边，共有4×3条边；对P1操作，也是每条边变为4条边，故P2共有42×3条边，即Pk有3×4k条边．
求的值．
解0，
∴B、O、H、C四点共圆．设此圆的半径为R'，
则2R'===2R．
HM+NH=(BH－BM)+(CN－CH)=BH－CH．
在ΔBCH中，∠CBH=90－α．∠HCB=90－(120－α)=α－30，
三．解答题(本题满分60分，每小题20分)：
13．已知点A(0，2)和抛物线y2=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．
14．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，已知P0是面积为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记Sn为曲线Pn所围成图形的面积．
2002年全国高中数学联赛试题及解答
二．实数 a，b，c 和正数 λ 使得 f(x)=x3＋ax2＋bx＋c 有三个实根 x1，x2，x3，且满足 ⑴ x2－x1=λ； 1 ⑵ x3> (x1＋x2)． 2 求 2a3+27c－9ab 的最大值． λ3
三．在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察 A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7 这七名队员，准备 让他们在三场训练比赛(每场比赛 90 分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有 一人在场上，并且 A1、A2、A3、A4 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 7 整除，A5、A6、A7 每人上 场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时 间计，共有多少种不同的情况？
·5·
a－1 2 a－1 2 a－1 2 2 a－1 2 解：即(cosx－ ) ≤a2+( ) ，若(1－ ) ≤a +( ) ，则 a2+a－2≥0． 2 2 2 2 ∴ a≤－2 或 a≥1，但 a<0，故 a≤－2． 三．解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)： 13．已知点 A(0，2)和抛物线 y2=x＋4 上两点 B， C， 使得 AB⊥BC， 求点 C 的纵坐标的取值范围． 2 2 解：设 B(y0 －4，y0)，C(y1 －4，y1)．则 y0－2 1 y1－y0 1 kAB= 2 = ．kBC= 2 2= ． y +2 y + y0－4 0 y1－y0 1 y0 由 kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1． ∴ y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0． A （0，2 ） ∴ △=(y1+2)2－4(2y1+1)=y12－4y1≥0， ∴ y1≤0，y1≥4． x O （-4，0） 当 y1=0 时，得 B(－3，－1)，当 y1=4 时，得 B(5，－3) B 均满足要求，故点 C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+ C ∞)． 14．如图，有一列曲线 P0，P1，P2，…，已知 P0 是面积为 1 的等边三角形，Pk＋1 是对 Pk 进行如 下操作得到的：将 Pk 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形，再将中间 部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记 Sn 为曲线 Pn 所围成图形的面积． ⑴ 求数列{Sn}的通项公式； ⑵ 求 lim Sn．
广州市中学数学青年教师解题竞赛
2011年广州市中学数学青年教师“解题比赛”获奖通知各区（县级市）教研室中数科，各中学数学科：2011年4月10日上午，广州市中学数学青年教师“解题比赛”决赛在广雅中学成功举行。
本次活动由广州市教育局教研室数学科和广州市中学数学教学研究会联合主办，共有619名（高中233名、初中386名）中学数学青年教师参加了本次“解题比赛”决赛。
参加决赛的青年教师都是直属中学和各区（县级市）“解题比赛”的优胜者。
广州市教育局教研室数学科和广州市中学数学教学研究会组织了部分教研会理事，市、区教研员和骨干教师及时评卷，并进行了复查，共评出初中一等奖40名，二等奖80名，三等奖119名，高中一等奖25名，二等奖44名，三等奖70名，获奖名单附后。
特此通知广州市教育局教研室数学科广州市中学数学教学研究会二〇一一年四月十一日附：2011年广州市中学数学青年教师“解题比赛”获奖名单初中组（排名不分先后）考号学校全称姓名等级7041石化中学王继承一等奖3021石化中学胡文龙一等奖3026广州市荔湾区广豪学校黄德华一等奖4022广州市天荣中学李发财一等奖9031蓝天中学余伟明一等奖6037广州市第二中学邱传林一等奖9007珠江中学严映峰一等奖2004广州市骏景中学程丹一等奖4032广州市第二中学李强一等奖7016广州市第2中学孙苏平一等奖3023花都区赤坭中学胡余华一等奖5040花都区金华中学刘巧英一等奖5016番禺区洛浦中学梁瑞芳一等奖7026广州市第2中学唐琦一等奖2022珠江中学丁瑞滨一等奖6019育才实验学校马亮一等奖1041广州市第113中学朱丛高一等奖4040同和中学李卫华一等奖9015广雅实验学校杨莹瑾一等奖7036广州市第二中学王碧莹一等奖6033广东省电力工业局第一工程局职工子弟学校彭青一等奖7033南武中学汪诗源一等奖8007广大附属实验学校王小丽一等奖1021广州市玉岩中学赵丰雪一等奖100467中边志强一等奖1039东环中学陈亚通一等奖6036番禺区华南碧桂园学校秦志农一等奖7010广大附属实验学校宋年胜一等奖7015江南中学孙莉娟一等奖7037广州外国语学校王福生一等奖1040广州市第47中学陈勇生一等奖4033花都区冯村中学李强军一等奖6001广东省实验中学附属天河学校刘玉清一等奖7008广州市第13中学施扬刚一等奖1033广州市第75中学周伟泽一等奖2045番禺区大岗中学郭浩荣一等奖4012番禺区石壁中学赖锦发一等奖6005广州市第89中学卢锐明一等奖6044第5中学任晶晶一等奖1031番禺区沙头中学周清华一等奖5007珠江中学李颖颐二等奖5018八一实验学校梁盈二等奖5037石井中学刘结开二等奖6020广铁一中马小飞二等奖7013广州大学附属中学苏青艳二等奖1009广大附属实验学校张书昌二等奖1020花都区圆玄中学章志光二等奖1045广州大学附属中学陈志娟二等奖2013南武实验邓广原二等奖3035第5中学黄丽君二等奖4010从化市从化中学康丽斯二等奖4024广州市第89中学李海英二等奖7011广州市荔湾区一中实验学校苏方方二等奖8027八一实验学校吴舜财二等奖8041增城二中徐建仁二等奖9002双桥实验学校许秀娜二等奖2041广州市第八十七中学顾星二等奖4006番禺区华南碧桂园学校蒋清庭二等奖5030荔景中学刘丽二等奖8002花都区芙蓉中学王梦婷二等奖8018广州市东圃中学温玉霖二等奖1018花都区北兴中学张育宁二等奖1025珠江中学陈立婷二等奖2021增城中学丁玲芬二等奖5024广州第四中学林洁英二等奖5028第52中学林艳丽二等奖5029龙涛中学凌涛二等奖8011广州市东圃中学王颖二等奖2005广州市第21中学程德松二等奖4002番禺区沙湾镇象达中学江俊华二等奖4027番禺区大岗中学李奎光二等奖4045广州市第75中学李晓丽二等奖5021珠江中学廖富有二等奖6015广东省实验中学附属天河学校罗贤龙二等奖6025广州市西关培英中学牛敏娜二等奖7004花都区长岗中学沈玲丹二等奖7005第97中学沈秋怡二等奖7006番禺区市桥桥兴中学沈晓欢二等奖9013庙头学校杨山二等奖1020广雅实验学校陈鸿二等奖5019荔湾中学梁远玲二等奖6012广州市第16中学罗洁茹二等奖7031广外附设外语学校汪春辉二等奖8001广州市第16中学王林丹二等奖8044广州大学附属中学徐佑军二等奖9006广园中学严克浩二等奖9044晓园中学曾伟东二等奖3020广州市陈嘉庚纪念中学胡妙婵二等奖4018增城中学李健二等奖5041番禺区潭山中学刘帅二等奖1006广州开发区中学张亮二等奖1034广州第四中学周文辉二等奖1008广州市第16中学蔡智雄二等奖1018番禺区钟村奥园学校陈迪银二等奖1021番禺区洛溪新城中学陈尖峰二等奖3017花都区九潭中学侯芳二等奖3024华附新世界学校胡振贵二等奖4019梓元岗中学李娟二等奖4039新市中学李松涛二等奖9028花都区芙蓉中学余建秦二等奖2001广州大学附属中学陈志勇二等奖4014荔城二中赖育章二等奖500867中李玉杰二等奖5036花都区培新中学刘红霞二等奖5044花都区芙蓉中学刘曦路二等奖6029华附新世界中学庞伟二等奖8036广园中学谢福耿二等奖1044广外附设外语学校邹炜玲二等奖1022真光实验学校陈建辉二等奖1027立贤中学陈龙彬二等奖2014广东省实验中学附属天河学校邓慧璇二等奖5009广州市第113中学李远清二等奖6035梅花中学齐美丽二等奖8008花都区雅瑶中学王雪莹二等奖8009广州市第一中学王亚萍二等奖8015培正中学魏振柱二等奖8035广州市黄埔区港湾中学谢春娥二等奖9026广东省实验中学于清二等奖9035第76中学袁慧敏二等奖1037第5中学周杨二等奖1023劬劳中学陈杰三等奖2003广州广雅实验学校程英三等奖3009广雅实验学校何健三等奖8012花都区新华二中王玉菊三等奖8021广州市第47中汇景实验学校吴杰泉三等奖8043珠江中学徐晓辉三等奖2015四中聚贤邓丽丽三等奖3007广州市泰安中学何惠平三等奖3011番禺区桥城中学何伟立三等奖5038第76中学刘金春三等奖1038花都区云山中学陈雪芬三等奖2037长堤真光中学高松发三等奖4005番禺区沙湾镇象达中学蒋鼎年三等奖4016广州市荔湾区一中实验学校黎乐锋三等奖5012广州市玉岩中学连明瑞三等奖6038广州市玉岩中学邱蓝青三等奖7029广大附属实验学校田茂清三等奖7039广州市第2中学王革华三等奖9045金沙中学詹小燕三等奖1023花都区秀全外国语学校赵柳三等奖1029从化市太平中学钟燕群三等奖2012广东省实验中学附属天河学校邓大艳三等奖2024中新中学方荣金三等奖2028番禺区鱼窝头第二中学冯海华三等奖7023广东省实验中学附属天河学校唐爱文三等奖7032花都区雅宝学校汪剑三等奖9005第5中学寻友利三等奖2017广州市第113中学邓敏民三等奖2019番禺区沙滘中学邓铁文三等奖2039华师附中番禺学校古敏锋三等奖3014番禺区大岗中学何远荣三等奖3027花都区金华中学黄凤梅三等奖5042广州市美华中学刘天亮三等奖9016番禺区沙头中学杨赵平三等奖1004广东省实验中学张捷三等奖1012萝岗区华峰中学张伟三等奖2026广东省实验中学附属天河学校费华菲三等奖2032广州市第16中学付娟三等奖3030花都区圆玄中学黄健楠三等奖5011番禺区桥城中学李志平三等奖7007珠江中学沈宇杰三等奖7012番禺区石碁第三中学苏金华三等奖7030花都区清布中学佟威三等奖8010广州外国语学校王艳艳三等奖8023番禺区东涌中学吴锐波三等奖1008中新中学张少华三等奖1036广州市南国学校陈秀丽三等奖2009同德南方崔亚叶三等奖3012花都区三和庄中学何秀平三等奖4041广州市玉岩中学李文力三等奖6016从化市河东中学骆活枢三等奖7001广州市第一中学尚思恩三等奖3001从化市第七中学郭嘉新三等奖4008广州市第一二三中学蒋叶莲三等奖4020广大附属实验学校李军三等奖7018华附新世界学校覃启艺三等奖7043广州市荔湾区广豪学校王锦风三等奖8031花都区云山中学伍建军三等奖8042南武中学徐小青三等奖9014广州市陈嘉庚纪念中学杨亚兴三等奖1001广州市荔湾区金道中学张创杰三等奖3032广州市荔湾区一中实验学校黄竻养三等奖3038番禺区南村中学黄清文三等奖3042第33中学贾晓燕三等奖6007广州7中陆曼丽三等奖9024从化市第七中学尹晓勇三等奖1025番禺区祈福英语实验学校郑小兵三等奖1026广州四中聚贤中学陈玲三等奖1032广州市第八十七中学陈婷三等奖1037广州市美华中学陈秀英三等奖1042培英实验中学陈玉莲三等奖2007南武实验崔波三等奖3028115中黄焕文三等奖4021广州市玉岩中学李定锋三等奖6017华附新世界学校骆健毅三等奖8034广大附属实验学校谢 雍三等奖8040番禺区石碁第三中学幸宇辉三等奖1032第5中学周琼三等奖1007同德南方蔡艺生三等奖1029广州四中聚贤中学陈倩婷三等奖4015番禺区新造中学兰建明三等奖5045第97中学刘颖三等奖8005广州市西关外国语学校王琦三等奖8024番禺区石碁第三中学吴润生三等奖8032南石中学肖建中三等奖1016广州大学附属中学陈丹波三等奖4007广州市第113中学蒋霞三等奖4036广州市第47中汇景实验学校李蓉三等奖4043广州市华颖中学李小红三等奖6008从化市从化中学陆慕萍三等奖6027第33中学欧阳嘉威三等奖6041广东省实验中学附属天河学校屈孝辉三等奖7021增城二中汤雪芬三等奖8003增城二中王鹏丙三等奖2027番禺区钟村中学冯桂平三等奖3015广州广雅实验学校贺福凯三等奖4004珠江中学姜红三等奖5043四中聚贤刘婷三等奖6002晓园中学刘智东三等奖6042广州市天河中学全文骊三等奖9041从化市河东中学曾莉萌三等奖1042绿翠中学朱其成三等奖2033番禺区新造中学付新三等奖3008番禺区大岗中学何嘉良三等奖5031广州市第九十三中学刘超然三等奖8045广东省实验中学附属天河学校许承丽三等奖1010番禺区祈福英语实验学校张婷三等奖1022真光实验学校赵庚昊三等奖4013三元里中学赖天奎三等奖4038广州广雅实验学校李淑瑜三等奖7035广州市长兴中学王比翼三等奖8022广州市第八十四中学吴丽敏三等奖9011珠江中学杨敏浩三等奖9019第5中学叶秋香三等奖1016花都区雅瑶中学张旭宏三等奖1019番禺区东涌镇鱼窝头中学章少荣三等奖1026114中郑仲娜三等奖1027广州市西关外国语学校钟敏健三等奖1045广州市第75中学邹务姣三等奖高中组（排名不分先后）考号学校全称姓名等级4028广州市天河中学王恒新一等奖1006广州市第六中学陈霞一等奖6030广州市第四十七中学周文超一等奖6037协和中学朱禹兰一等奖2015广州大学附属中学黄桂林一等奖3022广州市第六中学刘旭升一等奖4023广州市西关外国语学校万红珍一等奖3019广州市第7中学刘强一等奖4027增城高级中学王刚宝一等奖6021协和中学张欣一等奖5008永和中学吴新红一等奖2037番禺区象贤中学李伟一等奖3016协和中学刘伏英一等奖2023广州市广外附设外语学校姜海涛一等奖3030广东广雅中学罗文聪一等奖3032华南师范大学附属中学马腾冰一等奖6001广州市第65中学禹宇晨一等奖6034广州市第二中学朱建军一等奖2013增城中学黄娜一等奖2028广东广雅中学赖淑明一等奖4039广东广雅中学温丽一等奖6009广东广雅中学曾文达一等奖2010高级中学胡能其一等奖2029增城中学蓝留铺一等奖4008广州市第八十六中学宋君平一等奖5003广州大学附属中学吴坚二等奖5018广东广雅中学徐飞二等奖2026广州市第七十五中学邝菁华二等奖2039协和中学李雄杰二等奖3015从化市第六中学刘 容二等奖1024越秀外国语学校程传慧二等奖2038广东广雅中学李晓颖二等奖4019广东广雅中学唐艳群二等奖5024番禺区实验中学薛兴志二等奖2006广州市第80中学胡海波二等奖2011广州市第二中学胡守标二等奖5029广州市第二中学杨其武二等奖3005广东广雅中学梁辉二等奖1007番禺区象贤中学陈柏勇二等奖1017广州市第七十五中学陈文会二等奖2014广州市第六中学黄燕二等奖2019花都区秀全中学贾丽二等奖5025广东广雅中学阳建新二等奖5039广州市第二中学余广斌二等奖6004广州市第65中学袁红春二等奖6010广州市第65中学曾志斌二等奖6012广州市第八十六中学张科二等奖6028广州市第一中学周频二等奖1022协和中学陈永健二等奖2034广州市广大附属实验学校李科峰二等奖3008广州市天河中学林海滨二等奖4021广州市第八十九中学田鹰二等奖5007番禺区东涌中学吴素良二等奖5012广州市玉岩中学向良辉二等奖6014花都区实验中学张翠二等奖6020广东仲元中学张婷二等奖2003番禺区禺山高级中学何远清二等奖4012花都区邝维煜纪念中学汤国贤二等奖4025广铁一中王彪二等奖6031郑中钧中学周晓霞二等奖2041广州市玉岩中学于志华二等奖3025广州市第四中学刘殷二等奖5010广州市第四中学伍慧懿二等奖6038广州开发区外国语学校蔡军喜二等奖3014广州市第六中学刘涛二等奖3034广东番禺中学马志强二等奖4002广东番禺中学潘保伦二等奖4005广州市南沙中学石香二等奖6041广州市第二中学石岩二等奖5033广东仲元中学叶春风三等奖1030广州市玉岩中学邓四元三等奖3001广州市第四中学李雪芸三等奖3006花都区秀全中学梁振标三等奖3033育才中学马细惠三等奖4004番禺区二师附中彭玛生三等奖5014增城中学肖海英三等奖5028从化市第五中学杨健明三等奖2002广东番禺中学郭志锋三等奖2007广东广雅中学胡玲三等奖3003花都区邝维煜纪念中学李振华三等奖3021广州市东圃中学刘晓强三等奖3023花都区实验中学刘雅三等奖6011广州市第六中学张华三等奖6036花都区邝维煜纪念中学朱弢三等奖1016广州市第八十六中学陈石鑫三等奖1037番禺区象贤中学龚小风三等奖4038广州市第七十八中学温俊卿三等奖5009广州市真光中学伍海光三等奖5036广东番禺中学叶悦珍三等奖5037广州石化中学易欣三等奖6002广州市第80中学袁安三等奖1019花都区邝维煜纪念中学陈燕飞三等奖1028增城中学邓城三等奖1035广东广雅中学冯永先三等奖3035广州市第四十一中学麦燕仪三等奖4020广州市第一中学田畋三等奖4040广州市第九十七中学温效良三等奖2021广州市第八十九中学江娜萍三等奖2027郑中钧中学赖黎明三等奖3013广州市第五中学刘沙三等奖3028广州市第四中学刘运科三等奖5001执信中学文德良三等奖1026广东广雅中学代杰三等奖1034花都区秀全中学冯翠华三等奖4035广州市第65中学王小燕三等奖5031广州市第七十五中学杨月霞三等奖6005育才中学岳震三等奖1012广州市第七十六中学陈满林三等奖2009花都区秀全中学胡茂炉三等奖2036花都区新华中学李桃三等奖3012广州市第五中学刘玫三等奖4013花都区实验中学汤沛文三等奖5022协和中学许云勇三等奖6026培英中学赵玉香三等奖1011番禺区实验中学陈黎三等奖1015广州市第八十六中学陈少婉三等奖1041广州市第二中学唐国秋三等奖2024广东番禺中学金菲三等奖3010番禺区禺山高级中学林锦凌三等奖3020广州市第九十五中学刘喜云三等奖5011执信中学伍可亮三等奖6008花都区秀全中学曾绍信三等奖6029广东广雅中学周斌三等奖6035广州市南武中学朱双海三等奖1025花都区秀全中学崔高峰三等奖3002从化市第六中学李永雄三等奖3038广州市第二中学莫菊芳三等奖6039广州市第九十一中学王磊三等奖1021广州市第二中学陈颍三等奖1029番禺区南村中学邓华萍三等奖5017仙村中学徐甜三等奖1009广州市第八十九中学陈朝兵三等奖3039广州市第九十七中学莫爵敬三等奖1002广州市第二中学包承先三等奖1013番禺区二师附中陈敏贞三等奖1018广州市第80中学陈雪玲三等奖2005广州市真光中学贺育林三等奖4011番禺区石碁中学谭新远三等奖5004广州市第九十一中学吴乐宜三等奖。
2002年全国高中数学联赛试题及解答
y
O
x
A．C100 B．C99 C．C100 D．C99 6．由曲线 x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V1；满 足 x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4 的点绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V2，则 1 A．V1= V2 2 2 B．V1= V2 3
y
D．4 个
O x
12|cosθ+sinθ－1| 设点 P(4cosθ，3sinθ)． 点 P 与直线的距离 d= ， 5 π 12 当 0≤θ≤ 时，d≤ ( 2－1)，SABC≤6( 2－1)<3．即此时没有三角形面积=3； 2 5 π 12 当 <θ<2π 时，d≤ ( 2+1)，SABC≤6( 2+1)．即此时有 2 个三角形面积=3．选 B． 2 5 5．已知两个实数集合 A={a1，a2，a3，…，a100}，与 B={b1，b2，…，b50}，若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每个元素都有原象，且 f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有 A．C100 B．C99 C．C100 D．C99 解：不妨设b1≤b2≤…≤b50，在a1，a2，…，a100 的每两个数间有 1 个空档，共 99 个空档，其中任选 49 个空档插入 1 条竖杠， 把a1，a2，…，a100 分成 50 段，从前向后的第i段中的数映射到bi，即满足要求． 共有C99种插法，选D． 6．由曲线 x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V1；满 2 足 x ＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4 的点绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V2，则 1 A．V1= V2 2 2 B．V1= V2 3 C．V1=V2 D．V1=2V2
2002年全国高中数学联赛试题及答案
二○○二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 21log , u= x 2-2x-3，故选A2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)=221xx x-- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A4、 直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos ,3sin ) (0<<2π)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。
S=11OBP OAP S S ∆∆+=ααcos 4321sin 3421⨯⨯+⨯⨯=6(sin +cos )=)4sin(26πα+∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6∴626)(max 1-=∆AB P S ∵626-<3∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C解：不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得xyOA B P 1第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
竞赛试题选编之函数单调性
竞赛试题选编之函数一．选择题（2002年高中数学联赛）函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是（A ）)1,(--∞ （B ）)1,(-∞ （C ）),1(+∞ （D ）),3(+∞ (2002年全国高中数学联赛)函数221)(x x x f x --= （ ） （A ）是偶函数但不是奇函数 （B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是偶函数又是奇函数 （D ）既不是偶函数也不是奇函数 已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。
四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ）A ．9B ．26C ．34D ．6 若F(11x x-+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x+-（C ）F(x -1)=F(x)（D ）F （F （x ））=-x已知有理数x 、y 、z 两两不等，则,,x y y z z x y z z x x y------中负数的个数是( B ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个定义在R 上的函数y=f(x),它具有下述性质：1、对任何x ∈R,都有f(x 3)=f 3(x),2、对任何x 1,x 2∈R,x 1≠x 2,都有f(x 1) ≠f(x 2),则f(0)+f(1)+f(-1)的值是（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、不确定 函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是C （A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2（C ）x ≤0 （D ）x ≤21-或x ≥2 已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛85,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则cb a a b ++-的最大值是A （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）2设有三个函数，第一个函数是定义在R 上的单调函数y=f (x) ，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么，第三个函数是（ ）A.y= - f (x)B.y = - f ( - x)C.y = - f –1 (x)D.y = - f –1 ( - x )函数()aa x x a x f -+-=22是奇函数的充要条件是C （A ）－1≤a ＜0或0＜a ≤1（B ）a ≤－1或a ≥1（C ）a ＞0（D ）a ＜0 若正整数a 使得函数()ax x x f y 213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于C（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8若多项式x 2－x ＋1能除尽另一个多项式x 3＋x 2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a ＋b 等于C（A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）2已知f (x )是R 上的奇函数，g (x )是R 上的偶函数，若f (x )-g (x )=x 2+2x +3，则f (x )+g (x )=A（A ）-x 2+2x -3 （B ）x 2+2x -3 （C ）-x 2-2x +3 （D ）x 2-2x +3设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a 、b 、c 、d 为常数，如果f (1)=1，f (2) =2，f (3)=3，那么41[f(4)+f(0)]的值是（ ） A.1 B.4 C.7 D.8若函数f(x)是定义在R 上的实函数，它既关于直线x=1对称，又关于直线x=3对称，那么函数f(x) （ ）A.不是周期函数B.是周期为1的函数C.是周期为2的函数D.是周期为4的函数若a ＞1，且a －x ＋log a y ＜a －y ＋log a x ，则正实数x ，y 之间的关系适合A.x ＞yB.x ＝yC.x ＜yD.大小关系与a 有关 定义在(－∞，－2)∪(2，＋∞)上的函数f(x)＝4x 2x 4x 2x 4x 2x 4x 2x 2222-++--++--+-++的奇偶性为A.是奇函数不是偶函数B.是偶函数不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数对于函数f(x)＝1x 1x +-，记f 2(x)＝f(f(x))，f 3＝f(f 2(x))，……，f n (x)＝f(f n －1(x))，又记M 为f 1998(x)＝x 实根的解集，则M 为A.ΦB.RC.单元素集合D.二元素集合已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的取值为A.区间[－1，3]B.区间(－∞，－1)∪(3，＋∞)C..{－1，3}D ．当x ＞－21时，a ≤12x 3x 2++；当x ＜－21时，a ≥12x 3x 2++ 已知二次函数)1(,0)(),0()(2-<>+-=m f m f a a x x x f 则若的值是（ ）A.正数B.负数C.零D.符号与a 值有关 若函数))((R x x f y ∈=满足),()(x f x f =+2且],(11-∈x 时，||)(x x f =地，则函数)(x f y =的与函数||log x y 4=的图象的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 已知xx x f 311-+=)(，)]([)(x f f x f =1，)]([)(x f f x f 12=，…， )]([)(x f f x f n n =+1，则)(22004-f ＝（）A ．71-B ．71C ．53- D ．3 设函数),(log )(10≠>=a a x x f a ，数列),,,)}(({ 321=n x f n 是首项为)(4a f 公差为2的等差数列，又),,,)(()( 321==n x f x n g n n ，数列)}({n g 是递减数列，则a 的取值范围是（ ）A ．),(3636- B ．),(360 C ．),(320 D ．),(123 已知f(x)=221xx +，则和f(11)+f(12)+…+f(1100)+f(21)+f(22)+…+f(2100)+…+f(1001)+f(1002)+…+f(100100)的值等于B (A) 10000 (B) 5000 (C) 1000 (D) 100函数f(x)=x x x x ba b a ++++11 (a>0,b>0,a ≠b) 在R 上的单调性为A (A) 增函数 (B) 减函数 (C) 不增不减 (D) 与a 、b 无关函数y 的值域是（ ）（A ）[1，2] （B ）（0，2] （C ）（0，3] （D ）以上都不对 设211)(x xx f +=，对任意自然数n ，定义))(()(11x f f x f n n =+，则)(1993x f 的解析式为(C)． (A)211993x x+ (B)21993x x +2199311993x x + 已知一个整系数多项式,某同学求得的结果(2)56,(1)2,(3)53,(6)528f f f f -=-=-==。
高中数学教师解题比赛试题及答案(黄埔区)
广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把你认为的正确选择支填在答题卷的相应题号下） （1）设集合A ＝{a ，b }，且A ∪B ＝{a ，b ，c }，那么满足条件的集合B 共有（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）已知a ＝（1，2），b ＝（x ，1），当（a ＋2b ）⊥（2a －b ）时，实数x 的值为 （A ）6 （B ）－2 （C ）27 （D ）－2，27 （3①若直线a ∥平面α，直线b ⊥α，则a ⊥b ；②若直线a ∥平面α，a ⊥平面β，则α⊥β；③若a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ.其中不正确的命题个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）已知a ＜0，点A （a ＋a 1，a －a1），点B （1，0），则|AB |的最小值为A9 （B 5 （C ）3 （D ）1 （5）已知，函数f （x ）＝2sin ωx 在［0，4π］上递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω（A ）32 （B ）34或38 （C ）38 （D ）34（6）甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别是51、31、41，今三人各投篮一次至少有一人A ）601 （B ）6047 （C ）53 （D ）6013（7）已知复数z －1的辐角为65π，z ＋1的辐角为3π，则复数z 等于（A ）i 2321+ （B ）i 2321+-C ）i 2321± （D ）i 2321±- （8）若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0，x 2－x ＋b ＝0（a ≠b ）的四个实数根组成以41为首项的等差数列，则a ＋b A ）7231 （B ）2413 （C ）2411 （D ）83（9）把正方形ABCD 沿对角线BD 折叠后得到四面体ABCD ，则AC 与平面BCD（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° （10）若以(y ＋2)2＝4（x －1）上任一点P 为圆心作与y（A ）（1，－2） （B ）（3，－2C ）（2，－2） （D ）不存在这样的点（11）设F 1、F 2为双曲线224y x -＝1的两焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2面积为1时， 21PF ⋅A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）21（12）设偶函数f （x ）＝loga |x －b |在（－∞，0）上递增，则f （a ＋1）与f （b ＋2 （A ）f （a ＋1）＝f （b ＋2）（B ）f （a ＋1）＞f （b ＋2C ）f （a ＋1）＜f （b ＋2）（D ）不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的指定位置上） （13）直线y ＝33x 绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆（x －2）2＋y 2＝3的交点个数是___*____. （14）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一名到第五名的名 次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，五人的名次排列共可能有___*___（用数字作答）种不同的情况. （15）过曲线y ＝x 3－2x 上点（1，－1）的切线方程的一般形式是__*_____. （16）当k ∈R ，k 为定值时，函数f （x ）＝kx k x +++221的最小值为___*____.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12要把两种大小不同的钢板截成A 、B 二种规格的材料，每张钢板可同时截得两种规格较A 、B 两种规格材料分别为12及18张. 试求：这两种钢板应各取多少张，才能既满足二种规格成品的需要又能使所用钢板总数最少？ （18）（本小题满分12已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意n ≥2，3S n －4，a n ，2－132n S -总成等差数列. （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4a nn n S ∞→lim .（19）（本小题满分12ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是面积为23的菱形，∠ABC ＝60°，E 、F 分别为CC 1、BB 1上的点，且BC ＝EC ＝2FB .（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1 （Ⅱ）求平面AEF 与平面ABCD 所成角. （20）（本小题满分12如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR .求长方形停车场PQCR 面积的最大值及最小值. （21）（本小题满分12以椭圆222y ax +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. （22）（本小题满分14已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x （Ⅱ设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.B黄埔区高中数学教师解题比赛参考答案一、选择题二、填空题（13）1； （14）54；（15）x ―y ―2＝0或5x ＋4y －1＝0； （16）当k ≤1时，为2；当k ＞1时，为kk 1+.三、解答题（17）解：设所需第一种钢板x 张，第二种钢板y依题意，得21221800,x y x y x y x y N+≥⎧⎪+≥⎪⎪≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩目标函数z ＝x ＋y .依图（图略）可得当x ＝2，y ＝8时，z 最小为10 第一种钢板用2张，第二种钢板用8张 （18）解：（Ⅰ）a 2＝21，a 3＝－41，a4＝81（Ⅱ）∵n ≥2时，a n ＝3S n －4即3S n ＝a n ＋4. ∴3S n ＋1＝a n ＋1＋4.3a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即211-=+n n a a ∴a 2，a 3，…a n故a n ＝11(1)1()(2)2n n n -=⎧⎪⎨--≥⎪⎩ （Ⅲ）34311)(lim 1lim 32=+=++++=∞→∞→n n n n a a a S .（19）证明：（Ⅰ） ⇒⎭⎬⎫⊥⊥1CC BD AC BD BD ⊥平面ACC 1AAC ∩BD＝O ，AE 的中点为M ，连OM则OM ＝21EC ＝FB∴FB ∥C E ∥OM ∴BOMF∴FM ∥BO 即FM ∥BD 由①，知⇒⎭⎬⎫⊂⊥AEF FM A ACC FM 平面平面11面AEF ⊥面ACC 1A 1（Ⅱ）∵AC ⊥BD ，平面AEF ∩平面ABCD ＝l ，l 过A 且l ∥BD ∴AC ⊥l ，又BD ⊥平面ACC 1A 1 ∴l ⊥平面ACC 1A 1，∴l ⊥AE∴∠EAC 为所求二面角的平面角θ. ∵∠ABC ＝60°，∴AC ＝BC ＝CE ∴θ＝45°（20）解：设∠P AB ＝θ，θ∈[0，2π]4S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000令sin θ＋cos θ＝t则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2） （21）.解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0则AB ∶y ＝－k1x ＋1 把BC是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0∴|BC |＝2222121k a k a k ++，同理|AB |＝222221ak a k ++由|AB |＝|BC |k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a ＜3由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3由Δ＞0即a ＞3时有三解（22）解：依题意，知a 、b ≠0∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0（Ⅰ）令f （x ）＝g （x得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（* Δ＝4（b 2－ac ）∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x1、x 2为交点A 、B 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*|A 1B 1|2＝22224)(444a acc a a ac b -+=-2224()a c ac a =++ 24()1(**)cc aa ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∵020a b c a c c b++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴12c a <- ∴122c a -<<- ∴4［（a c ）2＋ac ＋1］∈（3，12∴|A 1B 1|∈（3，23）。
2002年全国高中数学联赛试题及解答
二零零二年全国高中数学联赛试卷一试题(2002年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1．函数f (x )=log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是 A ．(－∞，－1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(3，＋∞)2．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2=142，则x 2＋y 2的最小值为A ．2B ．1C ． 3D ． 23．函数f (x )=x 1－2x －x 2A ．是偶函数但不是奇函数B ．是奇函数但不是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 4．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 29=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔP AB 面积等于3．这样的点P 共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．已知两个实数集合A={a 1，a 2，a 3，…，a 100}，与B={b 1，b 2，…，b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2)≤…≤f (a 100)，则这样的映射共有A ．C 50100B ．C 4899 C ．C 49100D ．C 49996．由曲线x 2=4y ，x 2=－4y ，x=4，x=－4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1；满足x 2＋y 2≤16，x 2＋(y －2)2≥4，x 2＋(y ＋2)2≥4的点绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，则A ．V 1=12V 2B ．V 1=23V 2C ．V 1=V 2D ．V 1=2V 2二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．已知复数Z 1、Z 2满足|Z 1|=2，|Z 2|=3，若它60︒，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪Z 1+Z 2Z 1－Z 2们所对应的向量的夹角为= ；8．将二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有 个；9．如图，点P 1、P 2、…，P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1，P i ，P j ，P k )(1<i <j <k ≤10)有 个； 10．已知f (x )是定义在R 上的函数，f (1)=1且对任意x ∈R 都有f (x ＋5)≤f (x )＋5，f (x ＋1)≥f (x )＋1,. 若g (x )=f (x )＋1－x ，则g (2002)= ； 11．若log 4(x ＋2y )＋log 4(x －2y )=1，则|x |－|y |的最小值是 ； y x O y x O P P P P P P P P P P 12345678109yxO12．使不等式sin 2x ＋a cos x ＋a 2≥1＋cos x 对于一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 ；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)：13．已知点A (0，2)和抛物线y 2=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围． 14．如图，有一列曲线P 0，P 1，P 2，…，已知P 0是面积为1的等边三角形，P k ＋1是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记S n 为曲线Pn 所围成图形的面积． ⑴ 求数列{S n }的通项公式；⑵ 求lim n →∞S n ．15．设二次函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)满足条件：⑴ 当x ∈R 时，f (x －4)=f (2－x )，且f (x )≥x ；⑵ 当x ∈(0，2)时，f (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122；⑶ f (x )在R 上的最小值为0．求最大的m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x ＋t )≤x ． （0，2）（-4，0）A BCyOx二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一．在ΔABC 中，∠BAC=60 ，AB >AC ，点O 为ΔABC 的外心，两条高BE 、CF 的交于点H ，点M 、N 分别在线段BH 与HF 上，且满足BM=CN ．求MH +HN OH 的值．二．实数a ，b ，c 和正数λ使得f (x )=x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足 ⑴ x 2－x 1=λ； ⑵ x 3>12(x 1＋x 2)．求2a 3+27c －9ab λ3的最大值． 三．在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A 1、A 2、A 3、A 4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A 5、A 6、A 7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？A B C H E F M N O2002年全国高中数学联赛解答一试题(2002年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1．函数f (x )=log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是 A ．(－∞，－1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(3，＋∞)解：由x 2－2x －3>0，得x <－1或x >3．在x ∈(－∞，－1)时，u= x 2－2x －3单调减，f (x )单调增；在x ∈(3，+∞)时，u= x 2－2x －3单调增，f (x )单调减．故选A2．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2=142，则x 2＋y 2的最小值为A ．2B ．1C ． 3D ． 2解：令x +5=14cos θ，y －12=14sin θ，则x 2+y 2=196+28(5cos θ－12sin θ)+169=365+364sin(θ+φ)≥1．选B ．(亦可用几何意义解：圆上点到原点距离平方的最小值)3．函数f (x )=x 1－2x －x 2A ．是偶函数但不是奇函数B ．是奇函数但不是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数解：f (x )定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)；f (x )－f (－x )= x 1－2x －x 2－－x 1－2－x +－x 2=x －x ·2x 1－2x－x=0． 即f (x )是偶函数．选A ．4．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 29=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔP AB 面积等于3．这样的点P 共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x +4y －12=0．设点P (4cos θ，3sin θ)． 点P 与直线的距离d=12|cos θ+sin θ－1|5， 当0≤θ≤π2时，d ≤125(2－1)，S ABC ≤6(2－1)<3．即此时没有三角形面积=3；当π2<θ<2π时，d ≤125(2+1)，S ABC ≤6(2+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B ．5．已知两个实数集合A={a 1，a 2，a 3，…，a 100}，与B={b 1，b 2，…，b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2)≤…≤f (a 100)，则这样的映射共有A ．C 50100B ．C 4899 C ．C 49100D ．C 4999解：不妨设b 1≤b 2≤…≤b 50，在a 1，a 2，…，a 100的每两个数间有1个空档，共99个空档，其中任选49个空档插入1条竖杠， 把a 1，a 2，…，a 100分成50段，从前向后的第i 段中的数映射到b i ，即满足要求．共有C 4999种插法，选D ．6．由曲线x 2=4y ，x 2=－4y ，x=4，x=－4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1；满足x 2＋y 2≤16，x 2＋(y －2)2≥4，x 2＋(y ＋2)2≥4的点绕y 轴旋转一周所得的旋转体y x O的体积为V 2，则A ．V 1=12V 2B ．V 1=23V 2C ．V 1=V 2D ．V 1=2V 2解：作平面y=h (0≤h ≤4)．与图形⑴交于一个圆环，圆环面积=π(42－x 2)=π(16－4h )；与图⑵交得一个圆环，面积=π(16－h 2)－π(4－(h－2)2)=π(16－h 2－(－h 2+4h ))=π(16－4h )． 说明该平面与两个旋转体截得的面积相等．由祖暅原理知，V 1=V 2，选C ．二．填空题(本题满分54分，每小题9分) 7．已知复数Z 1、Z 2满足|Z 1|=2，|Z 2|=3，若它们所对应的向量的夹角为60︒，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪Z 1+Z 2Z 1－Z 2= ；解：由余弦定理知|Z 1+Z 2|=22+32+2·3=19；|Z 1－Z 2|=22+32－2·3=7，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪Z 1+Z 2Z 1－Z 2=197=1337． 8．将二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有 个；解：前三项系数为1，12n ，18n (n －1)，于是得n=1+18n (n －1)，解得，n=8，和n=1(舍去)．当n=8时，T r +1=C r 8(12)r x 12(8－r )－14= C r 8(12)r x 16－3r 4，当r=0，4，8时x 的指数为整数，∴共有3个．9．如图，点P 1，P 2，…，P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1，P i ，P j ，P k )(1<i <j <k ≤10)有 个； 解：同在某一侧面上：除P 1外另外5点中任取3点与P 1共4点组成一个四点组，有3 C 35=30组，每条侧棱上三点与对棱中点：3组． ∴共有33组．10．已知f (x )是定义在R 上的函数，f (1)=1且对任意x ∈R 都有f (x ＋5)≤f (x )＋5，f (x ＋1)≥f (x )＋1,.若g (x )=f (x )＋1－x ，则g (2002)= ；解：由后式，f (x +5)≥f (x +4)+1≥f (x +3)+2≥f (x +2)+3≥f (x +1)+4≥f (x )+5．比较前式得f (x +1)=f (x )+1．∴ f (x )=x 对一切x ∈N *成立，∴ 对于x ∈N *，g (x )=f (x )+1－x=x +1－x=1∴ g (2002)=1．11．若log 4(x ＋2y )＋log 4(x －2y )=1，则|x |－|y |的最小值是 ；解：x >－2y ，x >2y ，x 2－4y 2=4．由对称性，只考虑x >0，y >0的情况．令x=2sec θ，y=tan θ，(0<θ<π2)，u=x －y=2－sin θcos θ表示点(0，2)与点(－cos θ，sin θ)连线的斜y x Oy xO P P P P P P P P P P 12345678109率，当直线与单位圆相切时，u 最小为3．即所求最小值为3．(或用判别式法解)12．使不等式sin 2x ＋a cos x ＋a 2≥1＋cos x 对于一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 ；解：即(cos x －a －12)2≤a 2+(a －12)2，若(1－a －12)2≤a 2+(a －12)2，则a 2+a －2≥0．∴ a ≤－2或a ≥1，但a <0，故a ≤－2．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)：13．已知点A (0，2)和抛物线y 2=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．解：设B (y 02－4，y 0)，C (y 12－4，y 1)．则k AB =y 0－2y 20－4=1y 0+2．k BC =y 1－y 0y 21－y 20=1y 1+y 0． 由k AB ·k BC =－1，得(y 1+y 0)(y 0+2)=－1．∴ y 02+(y 1+2)y 0+(2y 1+1)=0． ∴ △=(y 1+2)2－4(2y 1+1)=y 12－4y 1≥0，∴ y 1≤0，y 1≥4． 当y 1=0时，得B (－3，－1)，当y 1=4时，得B (5，－3)均满足要求，故点C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．14．如图，有一列曲线P 0，P 1，P 2，…，已知P 0是面积为1的等边三角形，P k ＋1是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2，…)．记S n 为曲线P n 所围成图形的面积．⑴ 求数列{S n }的通项公式；⑵ 求lim n →∞S n ．解：⑴ 对P 0操作后，每条边变为4条边，共有4×3条边；对P 1操作，也是每条边变为4条边，故P 2共有42×3条边，即P k 有3×4k 条边．S 0=1，S 1=S 0+3×132=1+13，S 2=S 1+4×3×134=1+13+433；S 3=1+13+433+4235；依此类推，得S k =1+13+433+…+4k －132－1=1+13·1－(49)k 1－49=1+35[1－(49)k ]= 85－35(49)k ． 用数学归纳法易证上式正确．⑵ lim n →∞S n =85．15．设二次函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)满足条件：⑴ 当x ∈R 时，f (x －4)=f (2－x )，且f (x )≥x ；⑵ 当x ∈(0，2)时，f (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122； ⑶ f (x )在R 上的最小值为0．求最大的m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x ＋t )≤x ．（0，2）（-4，0）A BC y O x解：由f (x －4)=f (2－x )，知f (x )关于x=－1对称．于是－b 2a =－1．⇒b=2a ．此时，f (x )有最小值0，∴ a －b +c=0．⇒c=a ．f (x )=ax 2+2ax +a ．由⑴ f (1)=4a ≥1．由⑵ 4a ≤1．∴ a=c=14，b=12．f (x )= 14(x +1)2．若对于x ∈[1，m ]，f (x +t )－x ≤0，⇒f (1+t )－1=14(t +2)2－1≤0，得－4≤t ≤0．f (m +t )－m ≤0，⇒m 2+2(t －1)m +(t +1)2≤0．解得－(t －1)－2－t ≤m ≤－(t －1)+2－t ． ∴m ≤1－t +2－t ≤9．而当t=－4时，f (x －4)－x=14(x 2－10x +9)= 14(x －1)(x －9)在x ∈[1，9]时，恒有f (x －4)－x ≤0成立．∴ m 的最大值为9．二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一．在ΔABC 中，∠BAC=60︒，AB >AC ，点O 为ΔABC 的外心，两条高BE 、CF 的交于点H ，点M 、N 分别在线段BH 与HF 上，且满足BM=CN ．求 MH +HN OH 的值．解：记∠ACB=α，连OB 、OC ，则∠BOC=∠BHC=120︒，∴ B 、O 、H 、C 四点共圆．设此圆的半径为R '， 则2R '= BC sin120︒ =BC sin60︒=2R ． HM +NH=(BH －BM )+(CN －CH )=BH －CH ．在ΔBCH 中，∠CBH=90︒－α．∠HCB=90︒－(120︒－α)=α－30︒，∴HM +NH=BH －CH=2R (sin(α－30︒)－sin(90︒－α))=2R (sin αcos30︒－cos αsin30︒－cos α)=2 3 R sin(α－60︒)．在ΔOCH 中，OH=2R sin ∠HCO=2R sin(α－30︒－30︒)=2R sin(α－60︒)．∴ MH +HN OH = 3 ．二．实数a ，b ，c 和正数λ使得f (x )=x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足 ⑴ x 2－x 1=λ；⑵ x 3>12(x 1＋x 2)．求2a 3+27c －9ab λ3的最大值． 解：设x 1=m －12λ，x 2=m ＋12λ，x 3=m ＋k (k >12λ)．a=－(x 1＋x 2＋x 3)=－(3m ＋k )；b=x 1x 2＋x 1x 3＋x 2x 3=3m 2＋2mk －14λ2；c=－x 1x 2x 3=－m 3－m 2k ＋14λ2m ＋14λ2k ．A B C H E F M N O则2a 3＋27c －9ab=－3(m ＋k )3＋27(－m 3－m 2k ＋14λ2m ＋14λ2k )＋9(3m ＋k )(3m 2＋2mk －14λ2)=－2k 3＋92λ2k ．令k λ=t ，则1λ3(2a 3+27c －9ab )=－2t 3+92t ．取g (t )=－2t 3+92t ．则g'(t )=－6t 2+92，g"(t )=－12t ．令g'(t )=0，得t=±32，而当t=32时g"(t )<0．∴ 当t=32时，g (t )取得最大值g (32)=－2(32)3+92(32)=332． 若取λ=1，此时得，k=32．令a=0，得m=－36，代入b 、c 的表达式得b=－12，c=318此时得f (x )=x 3－12x +318满足题意．三．在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A 1、A 2、A 3、A 4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A 5、A 6、A 7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？解：设各人上场时间分别为7t 1，7t 2，7t 3，7t 4，13t 5，13t 6，13t 7，(t i 为正整数)．得方程 7(t 1+t 2+t 3+t 4)+13(t 5+t 6+t 7)=90×3．令t 1+t 2+t 3+t 4=x ，t 5+t 6+t 7=y ，得方程7x +13y=270．即求此方程满足4≤x ≤38，3≤y ≤20的整数解．即6y ≡4(mod 7)，3y ≡2(mod 7)，y ≡3(mod 7)∴ y=3，10，17，相应的x=33，20，7．t 5+t 6+t 7=3的解只有1种，t 5+t 6+t 7=10的解有C 29种，t 5+t 6+t 7=17的解有C 216种；t 1+t 2+t 3+t 4=33的解有C 332种，t 1+t 2+t 3+t 4=20的解有C 319种，t 1+t 2+t 3+t 4=7的解有C 36种．∴ 共有1·C 332+ C 29·C 319+ C 216·C 36=42244种．。
2002年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题
2002年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题第一篇：2002年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题高中数学青年教师解题比赛试卷1．若sin(α+π)=（A）313，则cos（133π2-α)的值等于2．若函数y=f（x）的反函数的图象经过点(2,-1)，则此函数可能是(A)y=-12x2（B）-（C）（D）-1x(B)y=()(C)y=2x(D)y=-logx3．双曲线(A)3x9-y=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于(B)3(C)4(D)24．圆台母线与底面成450角，侧面积为32π，则它的轴截面面积是（A）2（B）3（C）2（D）32 5．若{an}是无穷等比数列，且a1＋a2＋a3=（A）438, a2＋a3＋a4=－43，则此数列所有项的和为（B）（C）1（D）6．设函数f(x)=|log，则下列各式中成立的是 ax|（0<a<1）11(B)f()>f(2)>f()43(D)f(>f()>f(2)431(A)f(2)>f(>f()34(C)f()>f(2)>f(347．如图，点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD⊥平面ABCD,PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°9.有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有(A)6种（B）8种（C）12种（D）16种10.设点P在直线x=1上变化，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt∆OPQ，则动点Q的轨迹是(A)两条平行直线（B）一条直线（C）抛物线（D）圆 11．由(3x+2)100展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共有(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项12.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，E，F，G，H，I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是(A)16万元（B）14万元（C）13万元（D）12万元第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线x+y=b与圆x2+y2=2相切，则实数b的值为___________；3772499.docPage 1 of214.已知z1=3+4i,z2=-2-5i,则argz1-iz1+z2；15.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于____________________；16.定义在R上的偶函数f（x）满足：f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：（1）f（x）是周期函数；（2）f（x）的图象关于直线x=1对称；（3）f（x）在[0，1]上是增函数；（4）f（x）在[1，2]上是减函数；（5）f（2）=f（0），其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）θ已知函数f(x)=sin(2x+θ)+23cos2(x+)-32⑴ 求函数f(x)的周期;⑵ 若0≤θ≤π,求θ,使函数f(x)为偶函数.18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x2+3x-a⑴ 解不等式f(x)<x;(x≠a), a为非零常数，⑵ 设x>a时，f(x)的最小值为6,求a的值.19.（本小题满分12分）0如图，三棱锥P-ABC中，∠APB=∠APC=60，PA=3，PB=2，ΔPBC为正三角形（1）求证：平面PBC⊥平面ABC；（2）求棱PA与侧面PBC所成的角；（3）求点B到侧面PAC的距离.20.（本小题满分12分）B C已知点A（-3，0）和B（3，0），动点P到A、B两点的距离差的绝对值为2,(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点C（1，1）能否作直线l，使它与动点P的轨迹交于两点M，N，且点C是线段MN的中点，问这样的直线l是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密.在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案.一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元.例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？22.（本小题满分14分）3已知f(x)=-x+ax在(0,1)是增函数,求实数a的取值范围(1)当a=3时,定义数列{an}满足a1∈(0,1),且2an+1=f(an),求证:对一切正整数n均有an∈(0,1).3772499.docPage 2 of 2第二篇：教师基本功比赛----=2014年广州市高中数学青年教师解题比赛试题2003广州市高中青年教师解题比赛试卷一、选择题：1、下列各式中正确的是（）A、0=φB、φ={0}C、0∈φD、φ⊆{0}2、若sinx>tgx>ctgx，（-A、(-π2,-ππ2）。
2002年高考数学试题(广东)及答案
广东普通高等学校招生统一考试数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式31--x x ＞０的解集为A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘ＞３｝C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝ 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 Ａ．３π Ｂ．３3π Ｃ．6π Ｄ．９π 3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是 A ．（０，21） Ｂ．（０，21] Ｃ．（21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3πＢ．35π Ｃ．6π Ｄ．611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是 A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）; Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）; Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞2 8．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为A ．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120° 9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减其中，正确的命题是 A ． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的取值范围是 A ．（－∞,０） B ．（－∞,２） C ．［０,２］ D ．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １Ｃ．P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组共有 种可能(用数字作答). 14．双曲线116922=-yx的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为 ．15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ ． 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ． 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０． (Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．(Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２ ，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小? 21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+yx的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线AC 经过线段EF 的中点． 22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案一、选择题 1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题 13.4900 14.516 15.1 16.2n (n -1)三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分 ＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０ 解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１），12111111111111(-)(-)(-)1223(1)12231nS S S n n n n +++=+++=+++⨯⨯++ 111+-=n 9分 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n nn 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面MSA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SBBC即所求二面角的正切值为22 12分20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有 Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分当８)185(85,5==λλλ即时，S 取得最小值，此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分如果λ∈［43,32］，可设433221≤≤λλ ，则由S 的表达式得 Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+=)58)((104421121λλλλ--10分由于058,85322121λλλλ-≥故因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ 时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N.若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０， ∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214kkx x kk+-=+ １０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０， 故直线AN ，CN 的斜率分别为 ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k kkk∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,所以2211111()()()()0,[0,1](1)()()()[()]222222222111111()()()()[()]244444x xx x f x f f f x f f f f f f f f f f =+=⋅≥∈=+=⋅==+=⋅=ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(n n nf n n f f ⋅-+=⋅= 111111 ()[(1)]()()()[()]222222nf f n f f f f n nnnn n =⋅-⋅==⋅⋅⋅=21)21(a f =∴n a nf 21)21(= 12分 ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2 ∴ｆ（２ｎ＋n21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。
教师竞赛考试试题题库
2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07.doc题库2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷.doc2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷.doc2002年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答.doc2002年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题.doc2003年广州市初中数学青年教师解题比赛试题.doc2003年广州市初中数学青年教师解题竞赛试卷.doc2003年广州市高中数学青年教师解题比赛试题.doc2003年盐城市教育局公开选拔副科级后备干部面试试题.doc2003年盐城市教育局公开选拔正科级后备干部面试试题.doc2003年盐城市教育局公开选拔科级干部笔试试卷.doc2003年黄梅一中教师法律知识竞赛试题.doc2003广州初中数学青年教师解题竞赛试卷.doc2004年广州市黄埔区初中数学教师解题比赛试题.doc2004年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题.doc2004年连云港市第二届教师专业技能大赛.doc2005年全国小学生英语竞赛(NECPS)五年级组口语试题(教师用卷).doc2005年全国小学生英语竞赛(NECPS)六年级组口语试题(教师用卷).doc2005年全国小学生英语竞赛(NECPS)四年级组口语试题(教师用卷).doc2005年全国青少年普法教育竞赛试题.doc2005年全国青少年普法教育竞赛题.doc2005年广州市青年教师初中数学解题比赛.doc2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案.doc2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷.doc2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷答案.doc2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷.doc2005年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题.doc2005年景宁县初中语文教师基本功比赛语文知识考核试题.doc2005年连云港市小学语文教师专业技能比赛试卷.doc2005年长兴县物理新教师实验操作比赛试题.doc2006年从化市小学数学教师命题竞赛参赛试题.doc2006年从化市小学数学教师命题竞赛参赛试题封面.doc2006年全国中小学英语教师教学技能大赛初赛试题（初中组）参考答案.doc 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第三届全国数控技能大赛教师组数控铣实操试题.pdfXX县2008年竞聘小学校长面试试题.docxx市小学语文教师素质赛理论试题.doc_中国人寿保险杯_教师安全知识竞赛题.doc_增强共青团员意识主题教育活动_网上竞赛题.doc_珍视明_杯江苏省中小学生健康教育知识竞赛试题库.doc_社会主义荣辱观_系列教育活动知识竞赛参考题.doc“中国人寿保险杯”教师安全知识竞赛题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛必答题——A组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛必答题——D组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛必答题——Ｂ组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛必答题——Ｃ组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛必答题——Ｅ组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛必答题——Ｆ组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛选答题——健康知识类试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛选答题——历史知识类试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛选答题——文学知识类试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛选答题——环保知识类试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛风险题（一）——A组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛风险题（一）——B组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛风险题（一）——C组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛风险题（一）——D组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛风险题（一）——E组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛风险题（一）——F组试题.doc“春光杯”教师读书知识竞赛风险题（二）.doc“服务本科教学争创文明机关”知识竞赛题附参考答案.doc“珍视明”杯江苏省中小学生健康教育知识竞赛试题库.doc“绿色—环保”知识竞赛试题（A）.doc“绿色—环保”知识竞赛试题（B）.doc“翔宇杯”扬州市首届中学化学教师命题大赛试卷（高中）.doc『小学数学』青年教师素质大赛测试能力题.doc万安县2008年小学数学教师专业素质竞赛试卷.doc万州区2006年初中语文教师教学基本功比赛考试试卷附参考答案.doc 万州区2006年初中语文教师教学基本功比赛考试试卷.doc东西湖区小学科学教师“科学探究”比赛试题（笔试部分）.doc东风小学教师文明创建知识竞赛试题(答案).doc东风小学教师文明创建知识竞赛试题.doc中学体育教师教学基本功比赛理论考试试题及答案.doc中学体育教师教学基本功比赛理论考试试题（带答案）.doc中小学信息技术教师教学基本功竞赛操作技能试题.doc中小学教师法律法规知识竞赛参考试题.doc中小学教师竞聘教育理论教育法规复习材料.doc中小学班主任综合素质大赛试题.doc中小学青年体育教师教学技能大赛理论考试试卷.doc中小学音乐教师音乐欣赏能力竞赛试卷复赛.doc中山市第二届初中数学教师解题比赛试卷.doc中心小学教师基本功大赛笔试试卷.doc临猗县小学教师技能竞赛板书设计试(卷).doc临猗县小学教师技能竞赛钢笔字试题(卷).doc丽水市科学教师学科知识竞赛参考答案.doc九十六年度国中技艺教育动力机械学程竞赛实作试题.doc交通与车辆工程学院青年教师讲课比赛评分标准.doc今日教育杯小学生新课程作文大赛题目.doc仙游县小学生防灾减灾安全教育知识竞赛指导提纲.doc体育教师基本功比赛理论测试题·附参考答案·.doc体育教师基本功竞赛试题.doc体育教师教学技能大赛理论考试试卷（三）.doc体育新课标知识竞赛试题·附参考答案·.doc体育新课标知识竞赛试题集及答案.doc体育知识竞赛题库（附答案）.doc余姚市第一届小学数学教师解题基本功比赛试卷.doc余姚市第二届初中数学教师解题基本功比赛试卷.doc余姚市首届小学数学教师解题基本功比赛答案.doc佛山市南海区2008初中地理教师基本功比赛试题.doc保持共产党员先进性教育活动知识竞赛300题.doc保持共产党员先进性教育活动知识竞赛试卷.doc保持共产党员先进性教育活动知识竞赛试题.doc保持共产党员先进性教育知识竞赛300题.doc保持共产党员先进性教育知识竞赛判断题答案.doc保持共产党员先进性教育知识竞赛题.doc信息技术学科五年以下教龄教师基本功竞赛题（一）.doc信息技术学科五年以下教龄教师基本功竞赛题（三）.doc信息技术学科五年以下教龄教师基本功竞赛题（二）.doc信息技术教师logo语言编程比赛试题.doc储运与建筑工程学院教师讲课比赛评分标准.doc全国中小学音乐教师基本功比赛音乐欣赏试卷.doc全国家庭助廉教育知识竞赛答案.doc全国家庭助廉教育知识竞赛试题.doc全国家庭助廉教育知识竞赛试题答案.doc全国小学语文教师基本功大赛模拟试题.doc全国小学语文教师基本功大赛模拟试题x.doc全国小学语文教师基本功大赛模拟试题语文基础知识部分.doc 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广州市第二届中青年中学化学教师素质大赛综合能力测试...doc广州市第二届中青年中学化学教师素质大赛综合能力测试试卷.doc广州市第二届青年物理教师解题比赛试题.doc广州市青年物理教师解题比赛试题.doc广州市高中青年教师解题比赛试卷.doc广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题.doc廊坊市家庭助廉教育知识竞赛试题.doc延边州中小学教师法律知识竞赛题附参考答案.doc开放教育基础知识竞赛试题.doc开放教育知识竞赛复习题.doc慈溪市小学体育教师基本功操练模拟试题二.doc慈溪市小学体育教师基本功竞赛模拟试卷一.doc房山区直属校协作组小学信息技术学科教师技能大赛试卷.doc扬州市维扬区历史教师基本功大赛测试题附参考答案.doc扬州市维扬区历史教师基本功大赛测试题.doc抚顺市初中数学科教师基本功竞赛选拔试题.doc抚顺市初中数学科教师基本功竞赛选拔试题答案.doc推广普通话知识竞赛题一.doc推广普通话知识竞赛题三.doc推广普通话知识竞赛题二.doc教师基本功大赛理论考试试卷及答案（三）.doc教师技能竞赛电工样题.doc教师技能竞赛钳工样题及备料单.doc教师现代教育技术技能大赛试题01.doc教师现代教育技术技能大赛试题02.doc教师现代教育技术技能大赛试题03.doc教师现代教育技术技能大赛试题04.doc教师知识竞赛题库.doc教师竞聘招考面试题库(一).doc教师竞聘招考面试题集·网络版·.doc教师竞聘演讲稿.doc教师素质大赛理论知识初赛试题（信息技术）.doc教师职业道德知识竞赛题.doc教师解题竞赛模拟试卷.doc教师解题能力竞赛题(数学).doc教师解题能力竞赛题（数学）.doc教师赛课成功的策略·全·.doc教育学知识竞赛题.doc教育法律法规知识竞赛参考试题及答案.doc教育知识竞赛题库.doc教育系安全活动月安全知识竞赛测试题.doc教育部87年度高中数学竞赛决赛试题.doc教育部国际数理学科奥林匹亚竞赛指导委员会设置要点.doc数学学科第二届教师解题比赛试题.doc数学教师奥数练习试题.doc数学教师教学基本功比赛试卷（07、4、25）.doc数学教师解题竞赛赛前互助练习方案.doc新华区教育局机关会员劳动合同法知识竞赛试题.doc新林一幼举行幼儿园教育指导纲要知识竞赛.doc新浦区小学语文教师专业技能比赛模拟试题答案.doc新课标考试—小学教学大赛数学案例评析试卷.doc新课标考试—小学教学大赛语文案例评析试卷.doc新课标考试—小学教学大赛语文案例评析试卷一.doc新课标考试—小学教学大赛语文案例评析试卷二.doc日照职业技术学院国防教育知识竞赛题库.doc晋中市环保系统家庭助廉教育知识考试竞赛复习题.doc晋江市教师法律知识竞赛决赛复习题.doc某县小学数学青年教师素质大赛试题.doc某某县小学数学青年教师素质大赛试题.doc某某县小学数学青年教师素质大赛试题能力测试题.doc校长竞聘面试精选答辩题集及参考答案.doc桃园县95年度科学教育-金头脑科学基本能力竞赛试题.doc桐乡电大党支部先进性教育教育活动知识问答竞赛试卷.doc桐乡电大创建文明单位2007年度教师文明礼仪知识竞赛卷.doc桐庐县怡合小学健康教育知识竞赛试题.doc楚州区高中数学青年教师解题能力大赛试题.doc武义县美术教师基本功比赛理论常识测试试卷附参考答案.doc武义县美术教师基本功比赛网页设计试题.doc武圣宫中学教师课改知识竞赛题.doc武进区初中数学教师解题竞赛试题附参考答案.doc武进区初中数学教师解题竞赛试题.doc武钢中小学教育处2004年网络作文及网络创意绘图竞赛题(小学).doc武钢中小学教育处2004年网络作文及网络创意绘图竞赛题...doc汇川区教育系统_安全科普知识_竞赛题.doc江苏省_一品梅_杯先进性教育活动知识竞赛试题(刊于新...doc江苏省“一品梅”杯先进性教育活动知识竞赛试题.doc江苏省中小学信息技术教师教学基本功竞赛操作技能试题.doc江苏省盱眙中学2007届高三教师一题多解、一题多变创作比赛（含详细解答）.rar 江苏省青年自然教师教学能手比赛选手比赛理论考试试卷.doc江苏省首届小学青年自然教师教学能手比赛实验操作试题.doc江苏省首届青年自然教师教学能手比赛计算机操作要求.doc江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题.doc江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题全国通用.doc江西省高中数学青年教师业务能力竞赛(解题)试题.doc江西省高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题.doc。
2002广州市高中数学青教师解题比赛试卷参考答案
2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分） 解：由△ABC 的内角关系2602CA B C B A C A B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π， 又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知： 曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴）（II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在，设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅⇒16而16Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分） 解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ；3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CEAB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值）所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++=()()y x y x -+++=3322400 1301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角. ①② ⇒（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛21331131712f n n f f f .⇒<<<-01又21x x 条件①。
2002年全国高中数学联赛试题+解析(含加试题)
二○○二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x -3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 21log , u= x 2-2x -3，故选A2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2解：B 3、 函数f(x)=221xx x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A4、 直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2π)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。
S=11OBP OAP S S ∆∆+=ααcos 4321sin 3421⨯⨯+⨯⨯=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6∴626)(max 1-=∆AB P S ∵626-<3∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使xy OA B P 1得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C解：不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
2007年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题答案2007-4-15
2007年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 第14题的第一个空2分，第二个空3分．11．n n c c c 21 12．1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1314．43π，三、解答题：15．()f x =⋅a b ＝1＋2sin (cos sin )x x x - ……2分 ＝212sin 2sin cos x x x -+＝cos 2sin 2x x + ……4分24x π⎛⎫+⎪⎝⎭……6分 （Ⅰ）当2242x k πππ+=-，即3,8x k k ππ=-∈Z 时，函数)(x f y =取最小值， 函数)(x f y =的最小值是2-． ……9分（Ⅱ）当222242k x k πππππ-≤+≤+，即388k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 时，函数)(x f y =单调递增，故函数)(x f y =的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． ……12分16．（Ⅰ）由不等式2922n n n ≤-+，得5n ≤5n ≥ ……3分由于{}1,2,,12n ∈，所以n =1，2，3，7，8，9，10，11，12．即共有9张卡片正面数字不大于反面数字， 故所求的概率为93124=．答：正面数字不大于反面数字的概率为34． ……6分 （Ⅱ）设取出的是第m 号卡片和n 号卡片（m n ≠），则有22922922m m n n -+=-+． ……8分 即229()n m n m -=-，由m n ≠，得9m n +=． ……10分 故符合条件的取法为1，8；2，7；3，6；4，5． 故所求的概率为2124233C =． 答：反面数字相同的概率为233． ……12分17．解法1：（Ⅰ）如图，连AQ ，由于P A ⊥平面ABCD ，则由PQ ⊥QD ，必有AQ DQ ⊥． ……2分设BQ t =，则CQ a t =-， 在Rt ABQ ∆中，有AQ =． 在Rt CDQ ∆中，有DQ =……4分在Rt ADQ ∆中，有222AQ DQ AD +=．即()22244t a t a ++-+=，即240t at -+=．∴44a t t=+≥． 故a 的取值范围为[)4,+∞． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t =，4a =时，边BC 上存在唯一点Q （Q 为BC 边的中点），使PQ ⊥QD ． ……8分 过Q 作QM ∥CD 交AD 于M ，则QM ⊥AD ．∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QM ．∴QM ⊥平面P AD ． 过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ ，则QN ⊥PD ．∴∠MNQ 是二面角A －PD －Q 的平面角． ……10分在等腰直角三角形PAD 中，可求得MN =2MQ=，进而NQ ……12分∴cos MN MNQ NQ ∠===． 故二面角A －PD －Q 的余弦值为3． ……14分解法2：（Ⅰ）以AD AB AP 、、为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则 B （0，2，0），C （a ，2，0），D （a ，0，0）， P （0，0，4）， ……2分设Q （t ，2，0）（0t >），则 PQ ＝（t ，2，－4）， ＝（t －a ，2，0）． ……4分 ∵PQ ⊥QD ，∴()4PQ DQ t t a =-+＝0．即240t at -+=． ∴44a t t=+≥． 故a 的取值范围为[)4,+∞． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t =，4a =时，边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD ．此时Q （2，2，0），D （4，0，0）． ……8分设(),,x y z =n 是平面PQD 的法向量，由00DP DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得440220x z x y -+=⎧⎨-+=⎩．取1z =，则()1,1,1=n 是平面PQD 的一个法向量． ……10分而()0,2,0AB =是平面PAD 的一个法向量， ……12分 由3cos ,3AD AD AD <>==⋅n n n．∴二面角A －PD －Q 的余弦值为 ……14分18．当()3(2)f x x x a '=-． ……2分令()0f x '=，得0x =，或2x a =． 且1(0)2f =， 31(2)42f a a =-+． ……6分 （Ⅰ）当0a >时，20a >．当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：……8分∴ 当0a >时，在0x =处，函数()f x 有极大值1(0)2f =；在2x a =处，函数()f x 有极小值31(2)42f a a =-+． ……10分 （Ⅱ）要使函数()0f x =有三个不同的零点， 必须31(2)402f a a =-+<． ……12分 解得12a >． ∴当1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数()y f x =有三个不同的零点． ……14分19．（Ⅰ）设点（0x ，0y ）是轨迹1C 上的动点，∴00,.y x x y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……2分∴0x 0y =2y ，200x x y=．∵点（x ，y ）在椭圆C: 12222=+by a x （)0>>b a 的第一象限上运动，则0x >0，0y >0． ∴1200020=+byx x a y ．故所求的轨迹1C 方程是122=+b xyx a y （0x >，0y >）． ……6分 （Ⅱ）由轨迹1C 方程是122=+b xy x a y （x >0，y >0），得22222x a b x b a y +=（x >0）．∴ 222222222()a b x a b f x b a x b a x x ==++≤222ab =． 所以，当且仅当x a xb 22=，即a b x =时，()f x 有最大值． ……10分如果在开区间⎛ ⎝⎭内()y f x =有最大值，只有b a<． ……12分 此时，222221133b ac a a-<⇒<，1e <<．∴椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎝⎭． ……14分20．（Ⅰ）1=n 时，21111102a a a s a +==⇒=或11a =． 由于{}n a 是正项数列，所以11a =．当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a s s ---++=-=-，整理，得()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-．由于{}n a 是正项数列，∴11n n a a --=．∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列． 从而n a n =，当1n =时也满足．∴n a n =（*n ∈N ）． ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知112nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于),0(+∞上的凹函数1+=n x y ，有()1n y n x '=+．根据定理，得1112112(1)n n n x x n x x x ++-<+-． ……6分 整理，得()112121n n x n x nx x ++-<⎡⎤⎣⎦．令12111,122(1)x x n n =+=++，得21(1)1n x nx +-=． ……8分 ∴112n n x x +<，即()11111221n nn n +⎡⎤⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦． ∴1+<n n b b ． ……10分（Ⅲ）∵111111C ...222r r rrnn n n r n n nn r --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2111111111C 1...2 2.222222nrnnnr n n r b n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+≤++++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑……12分 又由（Ⅱ），得12132n n b b b b ->>>>=． （或2111311C .2222nrn r n n r b n n =⎛⎫⎛⎫=+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑）∴322n b ≤<． ……14分。
2002年全国高中数学联赛试题及解答.doc
2002年全国高中数学联赛试题及解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（）．Ａ．｛2｝Ｂ．｛－1｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ≤2｝Ｄ．2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（）．Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈ＺＢ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈ＺＣ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈ＺＤ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（）．Ａ．／3 Ｂ．3／2 Ｃ．3 Ｄ．64．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（）．Ａ．无实根Ｂ．有两个相等实根Ｃ．有两个同号相异实根Ｄ．有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（）．Ａ．／170 Ｂ．／85 Ｃ．120 Ｄ．1306．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（）．Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0二、填空题〖ＨＴＫ〗（本题满分54分，每小题9分）7．ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ2000°）＝_______．8．设ａｎ是（3－）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则＝_______． 9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是，则∠ＡＢＦ＝______． 11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______．12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝；（2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；（3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是______．三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分60分，每小题20分）13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋…＋ｎ，ｎ∈Ｎ，求ｆ（ｎ）＝的最大值．14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2在区间［ａ，ｂ］上的最小值为2ａ，最大值为2ｂ，求［ａ，ｂ］．15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时，对Ｃ1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与Ｃ1内接的平行四边形？并证明你的结论．参考答案或提示一、1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．Ｂ；6．Ｂ．提示：1．易得Ａ＝｛2｝，Ｂ＝｛－1，2｝，则Ａ∩＝．2．由2ｋπ＋π／2＜α＜2ｋπ＋π，得2ｋπ／3＋π/6＜α＜2ｋπ／3＋π／3（ｋ∈Ｚ）．又由ｓｉｎ＞ｃｏｓ，得2ｋπ＋π／4＜＜2ｋπ＋5π／4（ｋ∈Ｚ）．∴α∈（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，ｋπ＋π）（ｋ∈Ｚ）．3．不妨设Ｂ点在ｘ轴上方，则ＡＢ：ｙ＝／3ｘ＋／3，代入ｘ2－ｙ2＝1，得Ｂ（2，）．同理可得Ｃ（2，－）．故Ｓ△ＡＢＣ＝3．4．由2ｂ＝ｐ＋ｃ，2ｃ＝ｑ＋ｂ，得ｂ＝2ｐ＋ｑ3，ｃ＝ｐ＋2ｐ3．于是从而Δ＝4ａ2－4ｂｃ＜0，方程无实根．5．整点（ｘ0，ｙ0）到直线5ｘ－3ｙ＋12＝0的距离为ｄ＝｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜／5．因25ｘ0－15ｙ0是5的倍数，所以｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜≥2，当ｘ0＝－1、ｙ0＝－1时等号成立．故／85即为所求．6．由ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ知，ω，ω2，ω3，…，ω10（＝1）是1的10个十次方根，则（ｘ－ω）（ｘ－ω2）（ｘ－ω3）…（ｘ－ω10）＝ｘ10－1．①又ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个五次方根，则（ｘ－ω2）（ｘ－ω4）（ｘ－ω6）（ｘ－ω8）（ｘ－ω10）＝ｘ5－1．②①÷②后，再两边同除以ｘ－ω5（＝ｘ＋1），得（ｘ－ω）（ｘ－ω3）（ｘ－ω7）（ｘ－ω9）＝ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1．二、7．－π／9；8．18；9．1／3；10．90°；11．ａ3；12．28．提示：7．原式＝ａｒｃｓｉｎ［ｓｉｎ（－π／9）］＝－π／9．8．∵ａｎ＝Ｃｎ2·3ｎ－2，∴3ｎ／ａｎ＝…＝18（）．∴原式＝18＝ (18)9．公比，由等比定理，得10．由ｃ／ａ＝，得ｃ2＋ａｃ－ａ2＝0．又｜ＡＢ｜2＝ａ2＋ｂ2，｜ＢＦ｜2＝ａ2，故｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2＝…＝3ａ2－ｃ2．而｜ＡＦ｜2＝（ａ＋ｃ）2＝…＝3ａ2－ｃ2＝｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2，故∠ＡＢＦ＝90°．11．易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半径ｒ，则ｒ＝，故球的体积为Ｖ＝…＝．12．按中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成＝6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成＝16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成＝6个数．故符合要求的四位数共有6＋16＋6＝24（个）．三、13．，当且仅当ｎ＝64／ｎ，即ｎ＝8时，上式等号成立，故ｆ（ｎ）ｍａｘ＝1／50． 14．分三种情况讨论：（1）当0≤ａ＜ｂ时，ｆ（ａ）＝2ｂ，ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［1，3］．（2）当ａ＜0＜ｂ时，ｆ（0）＝2ｂ，ｆ（ａ）＝2ａ或ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［－2－，13／4］．（3）当ａ＜ｂ≤0时，ｆ（ａ）＝2ａ，ｆ（ｂ）＝2ｂ．无解．综上，［ａ，ｂ］＝［1，3］或［－2－，13／4］．15．所求条件为1／ａ2＋1／ｂ2＝1．证明如下：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．假设结论成立，则对点（ａ，0），有（ａ，0）为顶点的棱形与Ｃ1内接，与Ｃ0外切．（ａ，0）的相对顶点为（－ａ，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在ｙ轴上，为（0，ｂ）和（0，－ｂ）．菱形一条边的方程为ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＝1，即ｂｘ＋ａｙ＝ａｂ．由于菱形与Ｃ0外切，故必有，整理得1／ａ2＋1／ｂ2＝1．必要性得证．充分性：设1／ａ2＋1／ｂ2＝1，P是Ｃ1上任意一点，过P、O作C1的弦PＲ，再过O作与ＰＲ垂直的弦ＱＳ，则PQRS为与Ｃ1内接的菱形．设｜ＯＰ｜＝ｒ1，｜ＯＱ｜＝ｒ2，则点P的坐标为（ｒ1ｃｏｓθ，ｒ1ｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｒ2ｃｏｓ（θ＋），ｒ2ｓｉｎ（θ＋）），代入椭圆方程，得又在Ｒｔ△ＰＯＱ中，设点O到PQ的距离为ｈ，则同理，点Ｏ到ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ的距离也为1，故菱形PQRS与Ｃ0外切．充分性得证．说明：今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供．。
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2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷
第I 卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式
2c o s 2s i n 2s i n s i n φθφθφθ-+=+ ()l c c S +'=2
1
台侧 其中c '、c 分别表示
2
sin
2
cos
2sin sin φ
θφ
θφθ-+=- 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长
2c o s 2c o s 2c o s c o s φθφθφθ-+=+ 台体的体积公式：()
h S S S S V +'+'=3
1
台体
2
sin
2
sin
2cos cos φ
θφ
θφθ-+-=- 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.
（1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．
（A ）π- （B ）π （C ）2
π
-
（D ）
2
π
2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．
（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-
（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，则点P 的极坐标为（ ）．
（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛4323π， （B ）⎪⎭⎫ ⎝
⎛-4523π， （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛453π
，
（D ）⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-433π， （4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ） （A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A （5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1
（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为
区（县级市） 学校 考生号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题
奇函数的（ ）．
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作
⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）
． （A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上
（C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内 （8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超
过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．
（
A ） （
B ）
（C ） （D ）
（9）以椭圆
114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116
92
2=-y x 的渐近线相 切的圆的方程为（ ）．
（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x
（10）已知()n
x 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项
的系数是（ ）．
（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180
（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直
径的圆与直线l 的位置关系（ ）．
（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定
（12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x f y 1-=，则()x f y =是（ ）．
（A ）奇函数 （B ）偶函数 （ C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在
1
C 1
B 1
A A
B C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横
线上．
（13）函数)2
3(sin π
π≤
≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为
．
（15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，
E 、
F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线 AF 、CE 所成角的余弦值为 ．
（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名
的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）. （17）（本小题满分10分）
已知复数2
cos 2cos 2
C
i A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角 满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围.
18）（本小题满分12分）
已知曲线C 上的任一点M ()y x ,（其中0≥x ）,到点()02，
A 的距离减去它到 y 轴的距离的差是2，过点A 的一条直线与曲线C 交于P 、Q 两点，通过点P 和坐标原点的直线交直线02=+x 于N .
（I ）求曲线C 的方程；
（II ）求证：N Q 平行于x 轴.
（19）（本小题满分12分） 是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n ⋅…n n n P a 2=.
A
B
C
D
E
F
） 学校 考生号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题
（20）（本小题满分12分）
如图，△ABC 是一个遮阳棚，点A 、B 是地面上 南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点 O 表示）光线OCD 与地面成锐角θ. （I ）遮阳棚与地面成多少度的二面角时， 才能使遮影△ABD 面积最大？
（II ）当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD 的最 大面积.
（21）（本小题满分14分）
甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：
千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.
（22）（本小题满分14分）
定义在()11，
-上的函数()x f 满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈
x 时，有()0>x f .
证明：（I ）函数()x f 在()11，
-上的图象关于原点对称； （II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数；
（III ）⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++⎪⎭
⎫
⎝⎛+
⎪⎭
⎫
⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈
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密 封 线 内 不 要 答 题。