北师大九年级数学下册第三单元随堂练习2_圆心角和圆周角的关系

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九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论作业新版北师大版

【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形， ∴BD是⊙O的直径， ∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∴⊙O的半径为，∴⊙O的面积为又∵矩形的面积为3×4＝12， ∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
第三章圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________3随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
D
【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO. ∴AE＝AD＝2. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. 在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图③，⊙O的直径为，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF. ∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( ) A．15° B．20° C．25° D．30°

北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义圆心角与圆周角的关系(解析版)

圆心角与圆周角的关系课前测试【题目】课前测试如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【答案】（1）M为BD的中点；（2）．【解析】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4【题目】课前测试如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】等边三角形；CP=BP+AP；当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．总结：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB ≌△ADC 是关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆心角与圆周角的关系是九年级下册第三章的内容，主要讲解了圆周角定理及其三条推论，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，该部分内容学习的重点是掌握同弧所对的圆周角与圆心角的关系，难点是应用圆周角定理解决简单问题。

新北师大版九年级数学下册教师原创同步练习3.4圆周角和圆心角的关系(含答案)

3.4圆周角和圆心角的关系一、选择题1．在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余2．如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( )A．2对 B．3对 C．4对D．5对3．如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．4．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°5．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．15 0° C．135° D．120°6.下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。

A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题7．如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB ＝．8．如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC ＝．9．如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数．10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________11．如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。

12．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在 AB上，则∠C的度数是________-.三、解答题13．如图3－68所示，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．14．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．15．如图3－70所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长．16．如图3－71所示，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，D 是 AC 的中点，DH ⊥AB ，H 是垂足，AC 分别交BD ，DH 于E ，F ，试说明DF ＝EF ．参考答案1．C2．C3．60°[提示：如图3－72所示，作OD ⊥AB ，垂足为D ，则BD＝12AB ∴sin ∠BOD ＝BD OB ∴∠BOD ＝60°，∴∠BOA ＝120°，∴∠BCA ＝12∠BOA ＝60°．故填60°．] 4.分析：因为∠BOD=100°，所以∠C=50°，所以∠A=130°，因为圆内接四边形的对角互补。

2018_2019学年九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系3.4.2圆周角定理的推论同步练习新版北师大版

课时作业(二十三)[第三章 4 第2课时圆周角定理的推论]一、选择题1．如图K－23－1所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD＝50°，则∠DAB的度数是()图K－23－1A．30° B．40°C．50° D．60°2.2017·广东如图K－23－2，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为()图K－23－2A．130° B．100° C．65° D．50°3．下列命题中，正确的有()①90°的圆周角所对的弦是直径；②若圆周角相等，则它们所对的弧也相等；③同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等．A．0个 B．1个C．2个 D．3个4．如图K－23－3，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是()图K－23－3A．44° B．54°C．72° D．53°5．如图K－23－4，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD＝()链接听课例1归纳总结图K－23－4A.12B.34C.45D.356．2018·咸宁如图K－23－5，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()图K－23－5A．6 B．8 C．5 2 D．5 3二、填空题7．2017·南浔区期末如图K－23－6，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠E＋∠F＝70°，则∠A的度数是________．图K－23－68．如图K－23－7，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，若BE＝8且MD＝2，则直径AB为________．图K－23－79．如图K－23－8，⊙O的半径为1，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D，E也在⊙O上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是________．图K－23－8三、解答题10．如图K－23－9，已知在半圆AOB中，AD＝DC，∠CAB＝30°，AC＝2 3，求AD的长．图K－23－911．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.链接听课例2归纳总结12．如图K－23－10，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝66°.(1)求∠B的度数；(2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．图K－23－1013．已知：如图K－23－11所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD＝CD.。

北师大版九年级数学下册：第三章3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿

北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。

这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系，即圆周角等于其所对圆心角的一半。

这是圆的重要性质之一，对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。

但是，对于圆周角和圆心角的关系的理解，可能还需要进一步的引导和解释。

因此，在教学过程中，我将会注重学生的参与和实践，通过举例和练习，让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.过程与方法：学生通过观察、实践和思考，培养观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，提高自信心，培养合作和探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.教学难点：学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和案例教学法。

通过提问和举例，引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT 和动画，来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过提问和回顾，引导学生回顾已知的圆的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.讲解：详细讲解圆周角和圆心角的关系，通过图示和实例，让学生直观地理解这一性质。

3.练习：给出一些练习题，让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题，巩固所学知识。

4.拓展：给出一些拓展题，让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。

5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角和圆心角的关系的重要性。

北师大版九年级下册数学 3.4：圆周角和圆心角的关系同步习题(含解析)

3.4圆周角和圆心角的关系同步习题一．选择题1．如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝70°，则∠AOD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．半径为2的⊙O中，两条弦AB＝2，AC＝2，∠BAC的度数为（）A．45°或60°B．105°C．15°D．15°或105°3．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3．将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为（）A．2B．2C．4D．54．如图，⊙O的直径AB⊥CD弦，∠1＝2∠2，则tan D＝（）A．B．C．2D．5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，则∠A+∠D＝（）A．120°B．95°C．105°D．150°6．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点P（x，y）（x＞0，y＞0）在单位圆上，则sin∠POA等于（）A．x B．y C．D．7．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（）A．30°B．20°C．40°D．35°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°9．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°10．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P 是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（）A．2B．2C．2D．3二．填空题11．如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两个点，OC∥AG．若∠GAC＝28°，则∠BOC的大小＝度．12．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠BOE＝54°，则∠C＝．13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为．14．如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A落在⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点D、E，则∠DOE的度数为．15．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB ＝60°，则AP的长为．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．（1）求证：CB平分∠ABD；（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．17．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，DB∥OA，BC＝10，AC＝6．（1）求证：BA平分∠DBC；（2）求DB的长．18．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：∵圆周角∠ABC＝70°，CD是⊙O的直径，∴的度数是180°，的度数是2×70°＝140°，∴的度数是180°﹣140°＝40°，∴圆心角∠AOD的度数是40°，故选：C．2．解：分为两种情况：①如图，弦AB和弦AC在直径AE的同旁时，过O作OG⊥AB于G，OF⊥AC于F，∵OG和OF都过圆心O，OG⊥AB，OF⊥AC，AB＝2，AC＝2，∴AG＝AB＝，AF＝AC＝1＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，∴∠FOA＝30°，OG＝＝＝＝AG，∴∠F AO＝60°，∠GAO＝45°，∴∠BAC＝∠F AO﹣∠GAO＝60°﹣45°＝15°；②当弦AC和弦AB在直径AE的两旁时，此时∠BAC＝∠GAO+∠F AO＝60°+45°＝105°；所以∠BAC的度数是15°或105°，故选：D．3．解：过点O作OH⊥BC于H．∵将沿着BC折叠后恰好经过点O，∴OH＝OB，∴∠OBH＝30°，∵OH⊥BC，∴BH＝BC＝，在Rt△OBH中，OH2+BH2＝OB2，∴OB2+＝OB2，∴OB＝（负根已经舍弃），∴AB＝2OB＝2，故选：B．4．解：设CD交AB于H．∵OB＝OC，∴∠2＝∠3，∵AB⊥CD，∴∠1+∠2+∠3＝90°，CH＝HD，∵∠1＝2∠2，∴4∠3＝90°，∴∠3＝22.5°，∴∠1＝45°，∴CH＝OH，设DH＝CH＝a，则a，BH＝a+a，∴tan D＝＝＝1+，故选：D．5．解：∵C、D是上的三等分点，∴，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BOD＝60°，∠A＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠A+∠D＝120°，故选：A．6．解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ＝x、PQ＝y，OP＝1，∴sin∠POA＝＝y，故选：B．7．解：如图，连接BF，OE．∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，∴△OEF≌△OEB（SSS），∴∠OFE＝∠OBE，∵OE＝OB＝0F，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，∵∠ABF＝∠AOF＝20°，∴∠OFB＝∠OBE＝20°，∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，∴4∠EFO+40°＝180°，∴∠OFE＝35°，故选：D．8．解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．9．解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+x，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°故选：C．10．解：如图，连接AD，P A，PD，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴P A＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝2，∵PB+PD＝P A+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故选：A．二．填空题11．解：∵OC∥AG，∠GAC＝28°，∴∠OCA＝∠GAC＝28°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝28°，∵由圆周角定理得：∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠BAC＝56°，故答案为：56．12．解：连接OD，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC，∴∠ODE＝∠C+∠DOC＝2∠C，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝2∠C，∴∠EOB＝∠C+∠E＝3∠C＝54°，∴∠C＝18°，故答案为18°．13．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，CE＝DE＝CD＝3，∴AC＝2CE＝6，故答案为：6．14．解：∵∠BAC＝30°，∴∠EOD＝2∠BAC＝60°，故答案为：60°．15．解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°，∵点P是CD中点，∴CP＝DP＝2，∴AP＝＝＝4，BP＝＝＝4，∴AP＝PB＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC交于点P″，连接BP′，AP″，此时∠AP′B＝∠APB＝60°，∠AP″B＝60°，∴AP′＝＝4，AP″＝＝8，故答案为：4或4或8．三．解答题16．（1）证明：∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴CB平分∠ABD；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：DB＝＝＝2，∵OC∥BD，AO＝BO，∴AF＝DF，∴OF＝BD＝＝，∵直径AB＝8，∴OC＝OB＝4，∴CF＝OC﹣OF＝4﹣．17．解：（1）∵OA∥BD，∴∠ABD＝∠OAB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA＝∠ABD，∴BA平分∠DBC．（2）如图，作AH⊥BC于H，OE⊥BD于E，则BD＝2BE，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴，∵，∴，在Rt△OAH中，，∵OA∥BD，∴∠AOH＝∠EBO，在△AOH和△OBE中，，∴△AOH≌△OBE（AAS），∴，∴．18．（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．∵AB⊥DG，AB是直径，∴＝，DE＝EG，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE．（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，∴∠FBO＝90°﹣2x，∵∠AFO＝45°，∴∠FOB＝45°+x，∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB∴BF＝BO＝OA，∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，∴＝＝，∴AC＝2FR＝2FC，∴tan∠F AR＝tan∠F AC＝，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，则t2+4t2＝4，∵t＞0，∴t＝，∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，则有5m2＝，∵m＞0，∴m＝，∴AC＝2m＝．。

北师大版九年级下册数学3.4.2圆周角与圆心角的关系(教案)

（3）实际问题的数学建模：将现实生活中的问题抽象为圆的相关问题，运用所学知识进行解决。
举例：如给出一个圆形花园，要求计算某段弧的长度或某块区域的面积。学生需要将实际问题抽象为数学模型，运用圆的相关知识解决问题。
（4）几何语言的准确表达：在解答几何问题时，学生需学会使用准确的几何语言描述问题和解答过程。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了圆周角与圆心角的关系，我发现学生们对这个定理的理解和应用还存在一些困难。首先，圆周角定理的应用是学生们的一个弱点，他们在实际操作中往往难以把握如何将理论应用到具体的几何问题中。我意识到，我需要提供更多的例题和练习，让学生们通过不断的实践来加深理解。
此外，我也注意到，在小组讨论环节，有些学生并不是很积极，可能是因为他们对这个话题还不够自信。我应该在以后的课程中，更加注重鼓励学生发表自己的观点，哪怕这些观点并不完全正确，也要让他们感受到讨论的乐趣和成就感。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。，我们了解了圆周角与圆心角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
还有一个值得注意的问题是，学生们在将几何语言应用到解答过程中时，表达还不够准确。这可能是因为他们对几何术语的记忆不够牢固，或者是对如何使用这些术语描述几何关系还不够清晰。我计划在接下来的课程中，专门安排一些时间来强化这一点，例如通过填空题或简答题的形式来训练学生们的几何语言表达能力。
（2）圆心角、弧、弦的关系：掌握在同圆或等圆中，这三者之间的相等关系及其推论。
举例：通过具体图形，展示当圆心角相等时，所对的弧和弦也相等；反之，当弧和弦相等时，所对的圆心角也相等。

北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角的关系同步习题(含解析)

3.4圆周角和圆心角的关系一．选择题1．如图，A、B、C为⊙O上三点，∠BOC＝120°，∠2＝2∠1，则∠1的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．120°2．一弦将圆周分成两弧之比是3：5，则此弦所对的圆周角为（）A．67.5°或112.5°B．68°或112°C．67°或113°D．75°或105°3．如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若∠K＝20°，∠PMQ＝40°，则∠MQP等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°4．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（）A．α＝βB．α+2β＝90°C．2α+β＝90°D．α+β＝45°5．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC＝DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C＝18°，则∠EAB的度数为（）A．18°B．21°C．27°D．36°6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°7．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BD＝1，则sin∠ABD的值是（）A．2B．C．D．38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结OA、OC．若∠AOC＝120°，则∠B的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°9．已知如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC ＝45°，给出以下结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是弧BD的中点，过点C作AD 的垂线EF交直线AD于点E，若⊙O的半径为2.5，AC长为4，则CE的长度为（）A．3B．C．D．二．填空题11．已知扇形AOB的圆心角为150°，半径OA为2，则A到OB的距离为，若点C 是扇形AOB弧AB上一点．则∠C的度数为．12．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝62°，∠E ＝24°，则∠F＝．13．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD．垂足为点E，连接AC．若CD＝2，∠A＝30°，则BD的长为．14．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，∠ADC＝25°，则∠CBO的度数为．15．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为⊙O上一点，且满足∠AFC＝22.5°，AB＝8，则CD的长为．三．解答题16．已知，如图AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，（1）若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数；（2）若∠ADC＝α，求∠AOC+∠BOD．17．如图，⊙O中直径AB⊥弦CD于E，点F是的中点，CF交AB于I，连接BD、AC、AD．（1）求证：BI＝BD；（2）若OI＝1，OE＝2，求⊙O的半径．18．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC 上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．参考答案一．选择题1．解：∵∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°，∵∠2＝2∠1，∴3∠1＝60°，∴∠1＝20°，故选：A．2．解：如图，弦AB分⊙O的圆周为3：5，∴∠AOB＝×360°＝135°，∴∠ACB＝∠AOB＝67.5°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝112.5°，∴这条弦所对的圆周角为：67.5°或112.5°．故选：A．3．解：连接PO、QO．根据圆周角定理，得∠POQ＝2∠PMQ＝80°，又OP＝OQ，则∠OPQ＝∠OQP＝50°，则∠POM＝∠K+∠OPK＝70°，所以∠PQM＝∠POM＝35°．故选：B．4．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDO＝α，∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，又∵D为中点，AB为⊙O直径，∴OD⊥AC，∴∠EAO+∠EOA＝90°，即2α+β＝90°．故选：C．5．解：如图，连接OE，∵DC＝DO，∴∠DOC＝∠C＝18°，∴∠ODE＝∠DOC+∠C＝36°，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE＝36°，∴∠EOB＝∠C+∠OED＝18°+36°＝54°，∴∠EAB＝∠EOB＝27°，故选：C．6．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．7．解：∵弦CD⊥AB，AB过O，∴AB平分CD，∴BC＝BD，∴∠ABC＝∠ABD，∵BD＝1，∴BC＝1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝3，∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝，故选：C．8．解：∵∠AOC＝120°，∴∠D＝AOC＝60°，∴∠B＝180°﹣∠D＝120°，故选：D．9．解：①∵∠A＝45°，AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠EBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，此选项正确；②连接AD，∵AB＝AC，AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD，此选项正确；③∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，由①知∠EBC＝22.5°，∠C＝67.5°，∴BE＝tan67.5°•CE，∴BE≠2CE，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∴AE≠2CE，此选项错误；④∵∠ABE＝45°，∠BAD＝22.5°，∴劣弧AE＝2劣弧BD，∵劣弧BD＝劣弧DE，∴劣弧AE＝2劣弧DE，此选项正确．正确的有①②④，故选：B．10．解：连接BC，∵点C是弧BD的中点，∴∠EAC＝∠CAB，又∵AB为直径，AE⊥EF，∴∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△EAC∽△CAB，∴，∴＝．故选：C．二．填空题11．解：作AH⊥OB于H，作弧ACB所对的圆周角∠ADB，如图，∵∠AOB＝150°，∴∠AOH＝30°，∴AH＝OA＝1，即点A到OB的距离为1；∵∠D＝∠AOB＝×150°＝75°，而∠C+∠D＝180°，∴∠C＝180°﹣75°＝105°．故答案为1，105°．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCF＝∠A＝62°，∵∠CBF是△ABE的一个外角，∴∠CBF＝∠A+∠E＝62°+24°＝86°，∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣62°﹣86°＝32°，故答案为32°．13．解：如图所示，则∠BDC＝∠A＝30°，∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝，∠BED＝90°，∴BD＝2BE，设BE＝x，则BD＝2x，由勾股定理得：BD2＝BE2+ED2，，x＝1，∴BD＝2，故答案为：2．14．解：∵半径OA⊥弦BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC＝50°，∴∠CBO＝90°﹣50°＝40°．故答案为40°．15．解：∵∠AOC＝2∠AFC＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为4三．解答题16．解：（1）∵AB⊥CD，∴∠BAD+∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣20°＝70°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×70°＝140°；（2）∵∠BAD+∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣α，∴∠BOD＝2∠BAD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α；∵∠AOC＝2∠ADC＝2α，∴∠AOC+∠BOD＝2α+180°﹣2α＝180°．17．（1）证明：如图，连接DI，∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∠BAD＝∠BDC，∵点F是的中点，∴∠ACF＝∠DCF，∴I是△ADC的内心，∴∠ADI＝∠CDI，∵∠BID＝∠BAD+∠ADI，∠BDI＝∠BDC+∠CDI，∴∠BID＝∠BDI，∴BI＝BD；（2）连接OD，设⊙O的半径为r，∵OI＝1，OE＝2，∴BE＝r﹣2，BD＝BE＝r+2，由勾股定理得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，r2﹣6r﹣1＝0，r1＝3+，r2＝3﹣（舍），答：⊙O的半径是3+．18．解：（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°．（2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴＝，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．。

北师大九年级数学下册练习：3.4 圆周角和圆心角的关系

3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1基础题知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是(C)A B C D知识点2 圆周角定理2.(·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝35°，则∠AOB 的度数是(B)A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是(A)A .25°B .30°C .40°D .50°4.(·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(B)A .45°B .50°C .55°D .60°5.(·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC＝35°.知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A)A .∠2B .∠3C .∠4D .∠58.(·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B 的大小是(B)A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝65°.10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.证明：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠ADB＝∠BDC.∴DB 平分∠ADC.易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°.中档题12.(·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D)A .64°B .58°C .32°D .26°13.(·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于(B)A .12.5°B .15°C .20°D .22.5°14.(·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D)A .45°B .60°C .75°D .85°15.(·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为42.16.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥A B ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若OC ＝3，OA ＝6，求tan∠DEB 的值.解：(1)连接OB.∵OD⊥AB，∴AD ︵＝BD ︵.∴∠BOD＝∠AOD＝52°.∴∠DEB＝12∠BOD＝26°. (2)∵OD⊥AB，OC ＝3，OA ＝6，∴OC＝12OA ，即∠OAC＝30°. ∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝12∠AOC＝30°. ∴tan∠DEB＝33. 17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC 的度数.解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°， ∠BAC＝12∠BOC＝50°. 综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC ，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1 圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2 圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F ，使EF ＝AE ，连接FB ，FC.(1)求证：四边形ABFC 是菱形；(2)若AD ＝7，BE ＝2，求半圆和菱形ABFC 的面积.解：(1)证明：∵AB 为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC ，∴CE＝BE ，又∵EF＝AE ，∴四边形ABFC 是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC 是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x.∵AB 为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋x)2－72＝42－x 2.∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S 半圆＝12×π×42＝8π. ∴BD＝15.∴S 菱形ABFC ＝815.综合题17.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE 的长.解：(1)证明：∵四边形ABED 为⊙O 的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DE BA ＝CE CA， ∵AB 为⊙O 的直径，⊙O 的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB ＝4 3.在Rt△AEC 中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.∴DE BA ＝CE CA ＝12，即DE ＝2 3.。

3.3.2圆周角和圆心角的关系(2)·数学北师大版九下-课课练

第２课时㊀圆周角和圆心角的关系(２)㊀１．掌握圆周角定理的两个推论在计算㊁证明中的应用．㊀２．能灵活运用推论解决相关问题．㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.１．若圆心角øA O B 的度数为１００ʎ,点C 为圆上一点,则øA C B ＝㊀㊀㊀㊀．２．直径所对的圆周角是㊀㊀㊀㊀角．３．在同圆或等圆中,㊀㊀㊀㊀或㊀㊀㊀㊀所对的圆周角相等．㊀重难疑点,一网打尽.４．如图,A B 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,则øA C B 的度数为(㊀㊀)．A．３０ʎB ．４５ʎC ．６０ʎD．９０ʎ(第４题)㊀㊀㊀㊀(第５题)５．如图,在☉O 中,A B 是☉O 直径,øB A C ＝４０ʎ,则øA D C 的度数是(㊀㊀)．A．４０ʎB ．５０ʎC ．６０ʎD．８０ʎ６．如图,C D ʅA B 于点E ,若øB ＝６０ʎ,则øA ＝㊀㊀㊀㊀．(第６题)㊀㊀㊀(第７题)㊀㊀㊀(第８题)７．在如图所示的半圆中,A D 是直径,且A D ＝３,A C ＝２,则s i n B 的值是㊀㊀㊀㊀．８．如图,点E (０,４),O (０,０),C (５,０)在☉A 上,B E 是☉A 上的一条弦．则t a n øO B E ＝㊀㊀㊀㊀．９．在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,以A C 为直径的☉O 交斜边A B 于点D ,若A C ＝４c m ,B C ＝３c m ,则A D ＝㊀㊀㊀㊀c m ,点O 到A B 的距离为㊀㊀㊀㊀c m ．㊀㊀１０．在☉O 中,直径A B ʅC D 于点E ,连接C O 并延长交A D 于点F ,且C F ʅA D ．求øD 的度数．(第１０题)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.１１．如图,四个边长为１的小正方形拼成一个大正方形,A ㊁B ㊁O 是小正方形顶点,☉O 的半径为１,点P 在☉O 上,且位于右上方的小正方形内,则øA P B 等于(㊀㊀)．A．３０ʎB ．４５ʎC ．６０ʎD．９０ʎ(第１１题)㊀㊀㊀㊀(第１２题)１２．如图,在☉O 中,直径A B ʅ弦C D 于点M ,AM ＝１８,B M ＝８,则C D 的长为㊀㊀㊀㊀．１３．如图,在☉O 中,A B 是直径,C D 是弦,A B ʅC D ．(１)点P 是C A D 上一点(不与点C ㊁D 重合),求证:øC P D ＝øC O B ;(２)当点P ᶄ在劣弧C D 上(不与点C ㊁D 重合)时,øC P ᶄD 与øC O B 有什么数量关系?请证明你的结论．(第１３题)㊀㊀１４．如图,已知A B 是☉O 的直径,点C 是☉O 上一点,连接A C ,过点C 作直线C D ʅA B 于点D (A D ＜D B ),点E 是D B 上任意一点(点D ㊁B 除外),直线C E 交☉O 于点F ,连接A F 与直线C D 交于点G ．(１)求证:A C ２＝A G A F ;(２)若点E 是A D (点A 除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由．(第１４题)㊀瞧,中考曾经这么考!１５．(２０１２浙江嘉兴)如图,A B 是☉O 的直径,C ㊁D 是圆上的两点(不与A ㊁B 重合),已知B C ＝２,t a n øA D C ＝５４,则A B ＝㊀㊀㊀㊀．(第１５题)㊀㊀㊀㊀(第１６题)１６．(２０１２山东泰安)如图,在半径为５的☉O 中,弦A B ＝６,点C 是优弧A B ︵上一点(不与点A ㊁B 重合),则c o s C 的值为㊀㊀㊀．第２课时㊀圆周角和圆心角的关系(２)１．５０ʎ或１３０ʎ㊀２．直㊀３．同弧㊀等弧㊀４．D５．B㊀６．３０ʎ㊀７．２３㊀８．４５㊀９．１６５㊀６５１０．连接B D．ȵ㊀A B是☉O的直径,ʑ㊀B DʅA D．又㊀C FʅA D,ʑ㊀B DʊC F．ʑ㊀øB D C＝øC．又㊀øB D C＝１２øB O C,ʑ㊀øC＝１２øB O C．ȵ㊀A BʅC D,ʑ㊀øC＝３０ʎ．ʑ㊀øA D C＝６０ʎ．１１．B㊀１２．２４１３．(１)连接O D,ȵ㊀A B是直径,A BʅC D,ʑ㊀B C︵＝B D︵．ʑ㊀øC O B＝øD O B＝１２øC O D．又㊀øC P D＝１２øC O D,ʑ㊀øC P D＝øC O B．(２)øC PᶄD与øC O B的数量关系是:øC PᶄD＋øC O B＝１８０ʎ．ȵ㊀øC P D＋øC PᶄD＝１８０ʎ,øC O B＝øC P D,ʑ㊀øC PᶄD＋øC O B＝１８０ʎ．１４．(１)连接C B,ȵ㊀A B是直径,C DʅA B,ʑ㊀øA C B＝øA D C＝９０ʎ．ʑ㊀R tәC A DʐR tәB A C．ʑ㊀øA C D＝øA B C．ȵ㊀øA B C＝øA F C,ʑ㊀øA C D＝øA F C．ʑ㊀әA C GʐәA C F．ʑ㊀A C A G＝A F A C．ʑ㊀A C２＝A G A F．(２)当点E是A D(点A除外)上任意一点,上述结论仍成立．①当点E与点D重合时,点F与点G重合,有A G＝A F,因为C DʅA B,所以A C＝A F,A C＝A F．所以A C２＝A G A F．②当点E与点D不重合时(不含点A)时,证明类似①．１５．４１２㊀１６．４５。