三角函数3
三角函数(3、4)
三角函数1.3三角函数的诱导公式1.三组诱导公式 （1）推导诱导公式二为了使推得的公式具有一般性，假定α为任意角，下面研究角π+α与角α之间的关系。
如图，已知角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），由于角π+α的终边就是角α终边的反向延长线，设π+α的终边与单位圆交于P ′，则P 与P ′关于原点O 对称，所以点P ′的坐标为（-x ，-y ），又因为单位圆的半径r=1，由正弦函数和余弦函数的定义得到：sin α=y ，cos α=x ，tan α=xy，sin （π+α）=-y ，cos （π+α）=-x ，tan （π+α）=xy，所以有sin （π+α）=-sin α，cos （π+α）=-cos α，tan （π+α）=tan α。
（2）推导诱导公式三下面研究任意角α与角-α之间的关系。
如图，在图中的单位圆中，设任意角α的终边与此圆的交点为P （x ，y ），角-α的终边与单位圆相交于点P ′，由于角α与-α是由射线从x 轴的正半轴开始，按相反的方向绕原点做相同大小的旋转而成的，这两个角的终边关于x 轴对称。
因此P ′的坐标为（x ，-y ），由于r=1，我们得到：sin （-α）=-y ，cos （-α）=x ，tan （-α）=-xy，从而有sin （-α）=-sin α，cos （-α）=cos α，tan （-α）=-tan α。
（3）推导诱导公式四由诱导公式二和诱导公式三可得：sin （π-α）=sin[π+（-α）]=-sin （-α）=sin α，cos （π-α）=cos[π+（-α）]=-cos （-α）=-cos α，tan （π-α）=tan[π+（-α）]=tan （-α）=-tan α；即得到sin （π-α）=sin α，cos （π-α）=-cos α，tan （π-α）=-tan α。
（4）说明：①公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：k ²2π+α，-α，2π-α、π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括成一句话：“函数名不变，符号看象限”。
高考数学三角函数3
x
2 2 cos 35 2 sin 35 2
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。 ∴α=10。 β=80。 1 cos(2α-β)=cos60。= 2
（三）单元测试 一、选择题 |tan x| cos x sin x 1）函数y= |cos x| |sin x| tan x 的值域是（A） (A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3| 2）把函数y=sin( 6 -3x)的周期扩大为原来的 2倍，再将所得到函数的图像向右平移 3 ， 则所得图像的函数解析式为（A） 2 3 x 3x （A）y=sin( 3 - 2 ) （B）y=cos 2 - 3 x ) （D）y=sin( -6x) （C）y=sin(7 10 6 2 3）函数y=sin2x的单调递减区间是（B） 3 (A)[kπ- 4 ,kπ+ ],k ∈ Z (B)[k π+ ,kπ+ ],k ∈ Z 4 4 4 Z (C)[kπ,kπ+ ],k∈Z (D)[k π+ ,kπ+π ],k ∈ 2 2
例2 2弧度的圆心角所对弦长为2，则这个 扇形的面积为______。
A O B
1 r sin 1 2 1 1 S1 2 sin1 sin1 sin 2 1
例3 则sin2θ=______。 2 2 2 2 2 （A） 3 （B）- 3 （C）3 （D）- 2 3 ∵sin2θ+cos2θ=1 sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ=1 4 2 2 2sin θcos θ= 9 2 2 8 2 sin2 θ= 9 sin2θ= 3 选A
第3部分 三角函数重要知识点
第3部分 三角函数重要知识点【考题分析】1、考试题型：选择填空1-2个，解答题：17（与数列二选一必考）2、考题分值：17-22分；3、解答题考点：①三角函数的图像和性质，诱导公式、恒等变换的综合； ②解三角形（正余弦定理的应用）4、难度系数：0.7-0.8左右，（120分必须全对，100以上者全对）【主要内容】1、弧度制与角度制的互换公式：180n πα= 2、扇形的弧长公式：180n l R R πα==，面积公式：221122360n S R lR R πα=== 3、三角函数的定义：①正弦函数：sin y r α=；②余弦函数：cos xr α=③正切函数：tan yxα=；其中：r =4、诱导公式：π倍加减名不变，符号只需看象限； 半π加减名要变，符号还是看象限。
5、三角函数基本关系：①平方关系：22sin cos 1αα+=； ②商数关系：sin tan cos ααα=； 6、和差公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（伞科科伞，符号不反） ②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= （科科伞伞，符号相反） ③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=（上同下相反）7、二倍角公式：①sin 22sin cos ααα=② 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- ③22tan tan 21tan ααα=- 8、降幂公式：①.sin 2sin cos 2ααα=②.21cos 2sin 2αα-=③.21cos 2cos 2αα+=9、辅助角公式：sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=10、平移变换：sin()y wx ϕ=+ sin y wx =11、伸缩变换：sin()y wx ϕ=+ sin()y x ϕ=+12、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== (1)边变角：①2sin a R A =;②2sin b R B =;③2sin c R C =；(2)角变边：①sin 2a A R =;②sin 2b B R =;③sin 2c C R=； (3)边角互换，尽量正弦； 13、三角函数的图像和性质14、余弦定理：①222cos 2cos 2b c a A a b c bc A bc +-=⇔=+- ②222222cos 2cos 2a c b B b a c ac B ac+-=⇔=+- ③222222cos 2cos 2a b c C c a b ab C ab+-=⇔=+- 15、三角形面积：①111222a b c S ah bh ch ===； ②111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===;16、正余弦定理在解三角形中的应用(1).角多用正弦，变多用余弦：(2).①SSS →余弦定理；②SAS →余弦定理;③ASA →正弦定理；④AAS →正弦定理 ; ⑤SSA →正、余弦定理均可；注意有两组解； ⑥AAA →无穷多解；(3).在∆ABC 中，大角对大边，大边对大角：A B a b >⇔>；sin sin A B A B >⇔>【重要题型】 题型1：基本关系应用 例1、若3sin cos 0,αα+=求21cos 2sin cos ααα+的值。
三角函数所有的公式
三角函数公式汇总常见角三角函数值：sin 0o =0 cos 0o =1 tan 0o =0 cot 0o 不存在 sin 30o =21 cos 30o =23 tan 30o =33cot 30o =3 sin 60o =23 cos 60o =21 tan 60o =3 cot 60o =33 sin 45o =22cos 45o =22tan 45o =1cot 45o =1 sin 90o =1 cos 90o =0 tan 90o 不存在cot 90o =0 任意角三角函数：sin(2k ℼ+α)= sin αcos(2k ℼ+α)= cos αtan(2k ℼ+α)= tan αsin(ℼ+α)= - sin αcos(ℼ+α)= - cos αtan (ℼ+α)= tan αsin(ℼ-α)=sin αcos(ℼ-α)= - cos αtan (ℼ-α)= - tan αsin(2ℼ-α)= - sin αcos(2ℼ-α)=cos αtan (2ℼ-α)= - tan αSin （2π-α）=cos α cos （2π-α）=sin αSin （2π+α）=cos α cos （2π+α）=-sin αSin （23π-α）= - cos α cos （23π-α）= - sin α Sin （23π+α）= - cos α cos （23π+α）=sin α 两角和差三角函数：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A- B)=sinAcosB- cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB- sinAsinBcos(A- B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=B tan A tan B tan A tan -+1 tan(A- B)=Btan A tan B tan A tan +-1 cot(A+B)=Bcot A cot B cot A cot +-1 cot(A-B)=Bcot -A cot B cot A cot 1+ 三角函数半角公式： sin(2A )=2A cos -1 cos(2A )=2A cos 1+ tan(2A )=Acos A cos 1+-1=A sin A cos -1=A cos A sin +1 cot(2A )=A cos Acos 1-+1三角函数平方公式：sin 2α+cos 2α=11+tan 2α=sec 2α1+cot 2α=csc 2αsin 2α=221αcos - cos 2α=αtan 211+=221αcos + tan 2α=αtan tan 212- 三角函数2倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1 tan2α=αtan αtan 212- tan tan2α1=2αcos αsin +1=αsin αcos -1 3倍角三角函数公式： sin3α=3sin α-4sin 3α =4sin αsin(60o +α)sin(60o -α) sos3α=4cos 3α-3cos α =4cos αcos(60o -α)cos(60o +α) tan3α=tan αtan(60o -α)tan(60o +α) 三角函数万能公式：sin α=2αtan 212αtan+2 cos α=2αtan 212αtan +-21 tan α=2αtan 212αtan -2三角函数和差化积公式： sinA+sinB=2sin 2B A +cos 2B A - sinA- sinB=2sin 2B A -cos 2B A + cosA+cosB=2cos 2B A +cos 2B A - cosA- cosB= -2sin 2B A +sin 2B A - tanA+tanB=Bcos A cos )B A sin(+ tanA - tanB=Bcos A cos )B A sin(- cotA+cotB=Bsin A sin )B A sin(+ cotA - cotB=Bsin A sin )B A sin(- tanA - cotB= - B sin A cos )B A cos(+三角函数积化和差公式： sinAsinB= -21[cos(A+B)-cos(A-B)] cosAcosB=21[cos(A+B)+cos(A-B)] sinAcosB=21[sin(A+B)+sin(A-B)] cosAsinB=21[sin(A+B)-sin(A-B)] 辅助角公式：asin α+bcos α=b 2a 2 sin(α+ѱ) (公式中tan ѱ=a b ) 正弦定理：A sin a =B sin b =C sin c =2R （R 为△ABC 外接圆半径）余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosAb 2=a 2+c 2-2ac ·cosBc 2=a 2+b 2-2ab ·cosC整理不易，请勿盗版。
3 三角函数的计算
∠A≈38°51′57″
∠A≈51°18′11″
∠B≈80°27′2″
∠A≈78°19′58″
∠B≈41°23′58″
2.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ ）A．32° B．58° C．68° D．以上结论都不对
典例精析
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m）
在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BC=ABsin∠α=200sin16°
你知道sin16°是多少吗？
(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
课件全新制作
第一章 直角三角形的边角关系
3 三角函数的计算
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α
30°
45°
60°
sin α
cos α
tan α
三角函数
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m）
3 三角函数的计算
当堂小练
1.为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧 修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器 求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( A ) A. 2ndF sin 0 ·2 5 ＝ B. Sin 2ndF 0 ·2 5 ＝ C. sin 0 ·2 5 ＝ D. 2ndF cos 0 ·2 5 ＝
新课讲解
练一练
3 利用计算器求sin 30°时，依次按键
sin30°′″＝，则计算器上显示的结果是( A )
A．0.．1
新课讲解
知识点2 已知锐角的三角函数值，用计算器求锐角
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高 的天桥两端修建 了 40 m长的斜道（如图).这条斜道的 倾斜角是多少？
当堂小练
2.已知sin α＝ 1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以
2
“度、分、秒”为单位，最后按键( D )
A．AC/ON
B. SHIFT
C．MODE
D. °′ ″
拓展与延伸
用计算器求sin 35°29′的值(结果精确到0.001)． D 解： sin 35°29′≈0.580.
2．具体操作步骤是：先按SHIFT 键，再按sin ，cos ， tan 键之一，再依次输入三角函数值，最后按＝键， 则屏幕上就会显示出结果．
新课讲解
典例分析
例 3. 根据下列条件求锐角 A 的度数： （1） sin A=0.921 6； （2） cos A=0.680 7； （3） tan A=0.189 0.
任意角的三角函数(3)
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）
7、已知0
4
, 则下列各式中正确的是（ B. cos cot sin D. cos sin cot
）
A. sin cos cot C. cot sin cos
8、设上第四象限的角，则 sin 和 tan 的 大小关系是（ A. sin tan C. sin tan ） B. sin tan D.不确定
）
（2）终边不同的角的同名三角函数值不等； （3）若 sin 0，则是第一、二象限的角； （4）若是第二象限角，且P（x，y）是其 终边上一点，则 cos A.1 B.2 C.3 D.4 x x y
2 2
；
3、若三角形的两内角、 满足 sin cos 0， 则此三角形的形状是（ C.直角三角形 D.不能确定 ） A.锐角三角形 B.钝角三角形
§4.3 任意角的三角函数 （三）
1、若角600 的终边上有一点（ 4，a），
则a的值为（ A.4 3
） D. 3
B. 4 3 C. 4 3
） 3 D. 2
2、 sin 600 的值是（ 1 A. 2 1 3 B. C. 2 2
下列命题中，正确的命题的个数是（ （ 1 ）终边相同的角的同名三角函数值相同；
1 11、已知 cos ，则满足条件的角的集合为 ？ 2
； /
zth73awb
睛似含着沧海月嘉颜有泪、那样清微而迷蒙的光。宝音当时脸上就热起来。“哦，”他代她回答，“看来不是你画的。”非常遗憾，“谁画的 这椒图？”宝音连什么叫椒图都听不懂。她把图纸掩住。闺阁的丹青不便叫外人议论。“蝶老板！”九龄玉铺老板殷勤招呼，“您要的碾好 了。”“呵，龙子椒图。”苏明远完美的侧面忽然插到嘉颜和那美人之间，说话间的气息都能吹动她脸颊的绒毛。距离就有这么近。可是他没 有看她，脸微微偏着，半对着画纸、半对着先前那美人。那美人儿“蝶老板”，宝音想，该便是名伶蝶宵华了，脸对着她这边，却不是看她， 而是看苏明远。她在他们的眉目之内、视线之外。“性好闭，不叫别人进自己巢穴的龙子呢！”苏明远还在叹息，“碗是敞开的，蹲着这个做 什么？”“正为天生已经没有盖子遮了，只好求神仙来遮蔽则个。”宝音福上心头，脱口道。两人便一起定睛看她，似才认识她，都是如此绝 色的男子，一个英武，一个妍媚。宝音至今想起，脸上仍发烫，遮掩着，说了表 病笃，她作主了那药方的事，算换了大夫了，是不是要再去回 一声老太太？嘉颜骇道：“老太太你是知道的，这几日本来就乏了。表 么，时不时就病重些轻些的，都是回了老太太的话，怕老太太累得身体 也不爽利了，岂不伤表 的孝心？等闲些，或者等表 病轻些，跟老太太说一声，也就是了。今晚却罢了罢！”也只有如此，宝音静了静，想表 远道投亲，小小年纪重病缠身，再加上为人木讷不讨喜，病重些、轻些，也不过是一个人躺在偏僻旧房间里，实实的可怜见，竟不如一个得宠 丫头。夜实在深了，她与嘉颜又把一些重要事项核了遍，料明天没什么差错了，去大太太面前交差。府里上下事务，名义上是交给大房媳妇掌 管，老太太不肯放权，说派丫头帮她，实际上还把大小事务抓在手里，大太太怎敢跟老太太过不去，凡嘉颜宝音报了的事项，只要别太离了谱 儿，无不允的，却又要端架子，横看竖问、哼唧了半天才允，临走忽问宝音：“后来乐韵找过你没有？”宝音一怔：“乐韵没有找过我们。” 又问，“敢是表 用药的事？婢子斗胆作主，着药房先煎备了。若凶险，须换大夫诊脉，还照从前的六 的例，太太看可好？”六 快病死时，生 死交关，什么年轻年老的大夫，都叫来诊了，隔是一定要隔着帘、腕上也必须隔着布，诊是叫人诊了，最后也没救回来，但总要尽个意思。从 前有姨娘病危时，也是如此这般的。宝音料大太太反对不得。大太太倒没说不好，却也没说好，只叫丫头：“取那果子来给两位姑娘吃着顽 儿。”给她们两包果子作人情，便送出来了。宝音出来气道：“谁贪她果子吃？早些放我们睡去是真的！都跟她似的？请完安就能回房歪着她 的去！我们可见
高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2
2.三角函数在各个象限的符号
3.三角函数的定义域 三角函数 sin α,cos α
tan α,sec α
cot α,csc α
定义域 R
{α|α≠kπ＋π2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}
要点一 三角函数定义的应用 例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上,求 10 sin α＋co3s α 的值.
解 由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k,－3k)(k≠0),则
x＝k,y＝－3k,r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝ －130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意
到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点 的 任 意 一 点 坐 标 (a,b), 则 对 应 角 的 正 弦 值 为 sin α ＝
b ,cos α＝ a2＋b2
a ,tan
a2＋b2
α＝ba.
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
答 锐角A的正弦,余弦,正切依次为：
sin A＝ac,cos A＝bc,tan A＝ab.
[预习导引]
1.三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP＝r
y
x
y
(r≠0).定义：sin α＝ r ,cos α＝r ,tan α＝ x ,
高考100题三角函数：3 三角函数求值题型举例
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.一、用三角函数定义求值例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝()。
A.－45 B.－35 C.35D.45【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55.点评:用定义法求三角函数值的两种情况:①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.二、用诱导公式求值例3.【2016高考四川文科】sin 750.【解析】由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=.例4.已知α∈),2(ππ，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.【解析】因为α∈),2(ππ，sin α＝55，所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－12.所以tan(π－α)＝－tan α＝12.点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。
诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.三、用同角三角函数间的关系求值例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若tan 13θ=，则cos 2θ=（）A.45-B.1-C.15D.45【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51(3θθθθθθθ---====+++．例6.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos ()A.35-B.95-C.5 D.5【解析】法一:因为3cos sin =+αα,所以31)cos (sin 2=+αα,所以32cos sin 2-=αα,即322sin -=α.。
三角函数知识点归纳(3)[1]
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三角函数知识点归纳(3)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角函数知识点归纳(3)(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为三角函数知识点归纳(3)(word版可编辑修改)的全部内容。
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角（1）角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°（k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ，y ),它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A 。
第12讲 三角函数(3)
- 1 -第12讲 三角函数之图象与性质要点梳理1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x 在［0，2π］上的图象形状时,起关键作用的五 个点是 、 、 、 、 . 2、三角函数的图像与性质知识点例析： 例1、基础知识训练1.函数y=1-2sin xcos x 的最小正周期为（ ）ππππ4.D 2.C .B 21.A2.设点P 是函数f(x)=sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心,若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是4π则f(x)的最小正周期是（ ） 4.D 2.C .B 2.A ππππ3.函数y=sin )32(π+x 的图象（ ）A.关于点)0,3(π对称 B.关于直线4π=x 对称 C.关于点)0,4(π对称 D.关于直线3π=x 对称4.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin )2(π-x (x ∈R)，下面结论错误的是（ ）A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数例2、求下列函数的定义域1.)sin(cos lg x y = 2、x x y cos sin -=例3、判断下列函数的奇偶性 1.R x x y ∈+=),2343sin(π 2.R x xx x x x f ∈++--=,cos sin 1cos sin 1)(- 2 -例4、求下列函数的单调区间 1、)4sin(π+=x y 2、x y 2cos lg =3、)23sin(x y -=π4、)42sin(log 21π+=x y5、xy cos lg )21(=例5、求下列函数的最值 1、4sin 5cos 22-+=x x y2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,3,1cos 4cos 33ππx x x y3.设,31sin sin =+y x 求y x M 2cos sin -=的最大值和最小值。
三角函数公式(最全)
正弦定理变形可得：
五、其他公式
2、余弦定理
对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC， 有：
3、降幂公式
sin²α=[1-cos(2α)]/2 cos²α=[1+cos(2α)]/2 tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
4、三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2* 4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表 示双阶乘）
1
一、定义公式
三角函数公式
锐角三角函数 任意角三角函数
正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc）
1、倒数关系
二、函数关系
高中数学-任意三角函数3
课 题：1.2.1 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 2.比值r y 叫做α的正弦 记作： ry =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： rx =αcos 比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan 比值y x 叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r 叫做α的正割 记作： xr =αsec 比值y r 叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。
③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：r y =αsin R yr =αcsc {}Z k k ∈≠,|παα r x =αcos R x r =αsec ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα yx =αcot {}Z k k ∈≠,|παα 4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin ”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.二、讲解新课：1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0第二象限：0,0.><y x∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正 2. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和-330°都30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30°sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成 ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+kααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+kααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、讲解范例：例1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π 解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan )235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan <π. 例2 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′ (2)49cos π （3）)611tan(π-. 解:(1)sin1480°10′＝sin （40°10′＋4×360°）＝S in40°10′＝0.6451(2) 224cos )24cos(49cos ==+=ππππ (3).336tan )26tan()611tan(==-=-ππππ 例3求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°)=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135° =21212323⨯+⨯-1=0 例4求函数xx x xy tan tan cos cos +=的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 当x 是第Ⅱ象限角时,0,0><y x |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2 当x 是第Ⅲ象限角时, 0,0<<y x |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0 当x 是第Ⅳ象限角时, 0,0<>y x |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号. 解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.(2)∵,2523ππ<<∴5是第四象限的角 ∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0. 2. .x 取什么值时,x x x tan cos sin +有意义? 分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R ，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠)Z (20tan k k x x ππ解得: ⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠∈≠)Z (2)Z (k k x k k x πππ 即:)Z (2∈≠k k x π 所以,当⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠∈)Z (2k k x x x π时，x x x tan cos sin +有意义. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<05．已知θ是第三象限角且02cos <ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈ ∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos<ϑ 则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 6．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？ 解： 由1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π )(Z k ∈ ∴k π<θ<k π+2π ∴θ为第一或第三象限角五、回顾小结本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.六、课后作业：1. 确定下列三角函数值符号：(1)tan(55612)'-︒,(2)16cos 5π,(3)17cot()8π- 解:（1）tan(55612)tan(36019612)tan(19612)0'''-︒=-︒-︒=-︒<（2）1644coscos(4)cos()0555ππππ=-=-< （3）17cot()cot(2)cot()0888ππππ-=--=-< 2.化简ααααα222222sin 1cos 1cos sin cot tan -+--a . 解法一：(定义法)设点P (x ,y )是角α终边上的一点，且|OP |=r,则将sin α=ry ,cos α=r x ,tan α=x y ,cot α=yx 代入得： 原式=222222)()()()()()(y r x r rx r y y x x y -+-- 22222222244)()()(y x x y r x y y x r x y 2-+--= α222cos 22==x r 解法二：(化弦法)原式=αααααααααα22222222cos sin cos sin cos sin )sin cos ()cos sin (-+-- ααααααααα222222222cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin =-++= 解法三：(换元法)设cos 2α=a ,则sin 2α=1-a ,tan 2α=aa -1,代入得原式)1(21)21)(1()1(111)1(1122a a a a a a a a a a a a a a a a --+----=--+----- α2cos 22)1(21)1(1==--+-=a a a a a a 评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略）八、课后记：对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.已知sin 3α+cos 3α=1,求下列各式的值：(1)sin α+cos α；(2)sin 4α+cos 4α分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sin α+cos α的方程，然后求解.(1)解法一：∵(sin α+cos α)3=sin 3α+3sin 2αcos α+3sin αcos 2α+cos 3α=(sin 3α+cos 3α)+3(1-cos 2α)cos α+3(1-sin 2α)sin α=1+3cos α-3cos 3α+3sin α-3sin 3α=1+3(sin α+cos α)-3(sin 3α+cos 3α)=3(sin α+cos α)-2.∴(sin α+cos α)3-3(sin α+cos α)+2=0.令sin α+cos α=t ,则t 3-3t +2=0⇒(t -1)2(t +2)=0.∴t =1或t =-2即sin α+cos α=1或sin α+cos α=-2(舍去).解法二：∵sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α-sin αcos α+cos2α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α).∴(sin α+cos α)(1-sin αcos α)=1.注意到sin αcos α可用sin α+cos α表示，并令sin α+cos α=t ,则sin αcos α=212-t ,故上式化为t (1-212-t )=1⇒t 3-3t +2=0.(下同解法一). (2)解：∵sin α+cos α=1，∴(sin α+cos α)2=1⇒sin αcos α=0.故sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2-2sin 2αcos 2α=1-2sin 2αcos 2α=1.评注：对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.。
高考高分考生数学笔记-3-三角函数
高考高分考生数学笔记-3-三角函数-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考高分考生数学笔记（3）-----------------三角函数基本概念：1、 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
2，函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
（若未告知，则要讨论）3，三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。
4、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos=±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 15、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan2α=αα212tg tg -。
8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43- 9、半角公式是：sin2α=2cos 1α-± cos 2α=2cos 1α+±tan2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。
三角函数-三角函数公式表
常见三角函数在平面直角坐标系x O y中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。
在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sine sinθ=y/r角α的对边比斜边余弦函数Cosine cosθ=x/r角α的邻边比斜边正切函数Tangent tanθ=y/x角α的对边比邻边余切函数Cotangent cotθ=x/y角α的邻边比对边正割函数Secant secθ=r/x角α的斜边比邻边余割函数Cosecant cscθ=r/y角α的斜边比对边注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
非常见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：函数名与常见函数转化关系正矢函数versin θ=1-cos θ余矢函数covers θ=1-sin θ半正矢函数havers θ=(1-cos θ)/2半余矢函数hacovers θ=(1-sin θ)/2外正割函数exsec θ=sec θ-1外余割函数excsc θ=csc θ-1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，三角函数单位圆的方程是：x^2+y^2=1图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于 cos θ和 sin θ。
图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。
高中数学典型例题解析三角函数3
第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）3.1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：rad π2360=；rad 1745.01801≈=π；130.57180≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度()不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=2||2121r lr S α=＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrx r y x x y r x r y ======ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数.三角函数定义域 x y sin =R x y cos = Rx y tan = ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππx y cot ={}Z k k x x ∈≠,πx y sec =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππx y csc ={}Z k k x x ∈≠,π7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限. （2）与α角终边相同的角的集合表示.{}Z k k ∈+⋅=,360αββ，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法 “0～90间的角”指900<≤θ；“第一象限角”可表示为{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360θθ；“小于90的角”可表示为{}90<θθ. 3．在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0. 5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅=β的同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1sin ,1cos ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系.6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？ 三、经典例题导讲[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos < A ．1 B.2 C.3 D.4错解：C A < ∴ C A sin sin <，C A tan tan <故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解：法1C A < 在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A .[例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 错解：∵βα,角的终边关于y 轴对称，∴22πβα=++πk 2，（)z k ∈错因：把关于y 轴对称片认为关于y 轴的正半轴对称. 正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴)(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ[例3] 已知542cos ,532sin-==θθ，试确定θ的象限. 错解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，即.,222z k k k ∈+<<ππθπ从而.,244z k k k ∈+<<ππθπ故θ是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.错因：导出2θ是第二象限角是正确的，由0542cos ,0532sin <-=>=θθ即可确定， 而题中542cos ,532sin -==θθ不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2θ的大小，即可进一步缩小2θ所在区间.正解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，又由43sin 22532sinπθ=<=知z k k k ∈+<<+,22432ππθππ z k k k ∈+<<+,24234ππθππ，故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=∴=-=3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα错因：在求得r 的过程中误认为a >0正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα 若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解； （2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论. [例5] （1）已知α为第三象限角，则2α是第 象限角，α2是第 象限角； （2）若4-=α，则α是第 象限角. 解：（1）α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππ Z k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时，2α为第二象限角当k 为奇数时，2α为第四象限角而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上.（2）因为ππ-<-<-423，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2α为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.[例6]一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm ，则扇形的弧长cm r l )220(-=扇形的面积25)5()220(212+--=⋅-=r r r S 所以当cm r 5=时，即2,10===rl cm l α时2max 25cm S =.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.[例7]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
三角函数三次方公式
三角函数三次方公式
三角函数三次方公式是指将正弦、余弦、正切三角函数的三次方表达式展开后得到的公式。
这些公式在数学和物理学中有着广泛的应用。
1. 正弦三次方公式
sin^3x = (3sinx - sin3x)/4
其中sin3x = 3sinx - 4sin^3x
2. 余弦三次方公式
cos^3x = (cos3x + 3cosx)/4
其中cos3x = 4cos^3x - 3cosx
3. 正切三次方公式
tan^3x = (3tanx - tan3x)/4
其中tan3x = (3tanx - tan^3x)/(1-3tan^2x)
这些公式可以用来简化三角函数的计算，特别是在求解三角函数的积分和导数时非常有用。
同时，它们也是许多数学和物理学问题的解决关键，例如在计算机图形学中，三角函数三次方公式可以用来计算光线的反射和折射角度等问题。
28.1 锐角三角函数(3)--特殊角的三角函数值
新知探索:
B
A的 对 边 1 sin30°= 斜边 2
1
C
2
30.0
A
A的 邻 边 3 cos30°= 斜边 2
A的 对 边 3 tan30°= A的 邻 边 3
3
B
A的 对 边 3 sin60°= 斜边 2
600
1
C
2
°
A
A的 邻 边 1 cos60°= 斜边 2
(1)3tan α
2cos α 1 (2) 1 2
3
(3) 3tan2 4 tan 3 0
练习2：
在Rt△ABC中，C 90，且sinA cosB 3 . 则 tan A ?
3 例4、如图，在△ ABC中，A 30， tan B , 2 AC 2 3 .求AB的长。
45°
2 2
2 2
60°
3 2
1 2
1
3
仔细观察表格，你有什么发现？ 当 0°＜α＜90°时, α 的正弦值随着角度的增大而增大， α 的余弦值随着角度的增大而减少， α 的正切值随着角度的增大而增大。 且0 ＜sinα＜ 1, 0 ＜cosα＜ 1
例1.计算:
(1)cos260°+sin260 °
2、三角函数的性质： 当 0° ＜α＜ 90°时
1、P69习题28.1第3题
在Rt△ABC中，∠C=90°，
A
C
锐角A的正弦、余弦、正切都 叫做∠A的锐角三角函数。
2、互余两角的三角函数性质 在Rt△ABC中，当∠C=90°， 则有sinA= cosB ,cosA= sinB
,tanA.tanB= 1
.
一副三角尺有几个不同的锐角？ 你能求出这几个锐角的正弦值、余弦值和 正切值吗？
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三角函数3
8、（莱州市2015届高三一模）已知函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=
-+>的周期为2π.
（I ）求()f x 的解析式；
（II ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是,3a b c a b c =+=、、且，()12
f A =，求ABC ∆的面积.
9、（日照市2015届高三一模）已知函数())
22sin cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+>>的最大值为2，且最小正周期为π.
（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程；
（II ）若()4,sin 436f παα⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭求的值.
10、（山东省实验中学2015届高三一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别是a ，b ，c ，
且满足(2b-c)cosA-acosC=0.
（I ）求角A 的大小：
（Ⅱ）若，△ABC的面积，试判断△ABC的形状，并说明理由．
11、（泰安市2015届高三二模）已知a，b，c是△ABC对边，且a+b=csinA+ccosA，为BC的中点，且AD=2，求△ABC最大值．
12、已知a b c ，，为ABC △的内角A B C ，，的对边，满足
A C
B A
C B cos cos cos 2sin sin sin --=+，函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间上单调递减.
（Ⅰ）证明：a c b 2=+； （Ⅱ）若A f cos )9
(=π
，证明ABC △为等边三角形．
13、已知向量
，且，其中A 、
B 、
C 分别为的三边所对的角.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且，求边的长.。