牛顿谐波平衡法求解Euler杆大挠度屈曲问题

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如何在理论力学中解决梁的挠曲问题？

如何在理论力学中解决梁的挠曲问题？在理论力学中，梁的挠曲问题是一个非常重要的研究领域。

梁在受到外力作用时会发生弯曲变形，这种变形会影响梁的强度、刚度以及稳定性等性能。

因此，准确地解决梁的挠曲问题对于工程设计和实际应用具有重要意义。

要解决梁的挠曲问题，首先我们需要了解一些基本的概念和理论。

梁是一种常见的结构构件，其主要承受横向载荷。

当梁受到载荷作用时，梁内会产生弯矩和剪力。

弯矩是导致梁弯曲的主要因素，而剪力则会对梁的剪切变形产生影响。

在研究梁的挠曲时，我们通常会引入一些假设来简化问题。

例如，我们假设梁的材料是均匀、连续和各向同性的，梁的横截面在弯曲过程中始终保持平面，并且忽略梁的横向剪切变形。

这些假设在大多数实际情况中是合理的，可以帮助我们更方便地分析和解决问题。

解决梁挠曲问题的一个重要方法是利用梁的弯曲方程。

梁的弯曲方程描述了梁的挠度与弯矩之间的关系。

对于等截面梁，常见的弯曲方程有欧拉伯努利梁理论和铁木辛柯梁理论。

欧拉伯努利梁理论假设梁的弯曲变形很小，并且忽略了剪切变形的影响。

在这种理论下，梁的弯曲方程可以表示为：＄EI\frac{d^2y}｛dx^2} ＝ M(x)＄其中，＄E$ 是梁材料的弹性模量，＄I$ 是梁横截面的惯性矩，＄y$ 是梁的挠度，＄x$ 是梁的轴向坐标，＄M(x)＄是梁在＄x$ 处的弯矩。

通过求解这个微分方程，结合梁的边界条件和连续条件，我们可以得到梁的挠度曲线和转角曲线。

然而，欧拉伯努利梁理论在一些情况下并不适用，例如对于短粗梁或者梁的剪切变形不能忽略的情况。

这时就需要用到铁木辛柯梁理论。

铁木辛柯梁理论考虑了剪切变形的影响，其弯曲方程相对更加复杂。

除了利用弯曲方程求解梁的挠曲问题，还可以采用能量法。

能量法的基本思想是利用梁在变形过程中的能量守恒原理来求解。

常见的能量法有单位载荷法和卡氏定理。

单位载荷法是通过在梁上施加一个单位虚拟载荷，然后根据虚拟载荷所做的功等于实际载荷所产生的应变能来求解梁的挠度和转角。

csdn电力系统牛顿拉夫逊法潮流计算matlab

电力系统牛顿拉夫逊法潮流计算在实际应用中具有重要意义。

本文将结合CSND评台上的相关资料，从理论和实践两个角度对该方法进行介绍和分析。

文章首先解释了牛顿拉夫逊法的原理和基本概念，其次介绍了潮流计算在电力系统中的作用和意义。

文章分析了目前牛顿拉夫逊法在潮流计算中的应用情况，并详细探讨了该方法在MATLAB软件中的实现过程。

本文总结了牛顿拉夫逊法在电力系统潮流计算中的优缺点，并对未来的发展趋势进行了展望。

一、牛顿拉夫逊法原理和基本概念1.1 牛顿拉夫逊法的基本原理牛顿拉夫逊法（Newton-Raphson method）是一种用于解决非线性方程组的数值方法。

其基本思想是通过不断迭代，逐步逼近方程组的解。

具体而言，牛顿拉夫逊法首先利用当前点的切线来估计方程组的根，然后通过迭代计算逐步逼近真实的解。

该方法在数学和工程领域中得到了广泛的应用，尤其在电力系统潮流计算中发挥着重要作用。

1.2 牛顿拉夫逊法的基本步骤牛顿拉夫逊法的基本步骤可以总结为以下几点：（1）选择初始点：首先需要选择一个合适的初始点作为迭代的起始点；（2）计算雅可比矩阵：根据当前点的数值，计算出雅可比矩阵，该矩阵用于估计方程组的根；（3）更新迭代点：利用雅可比矩阵和当前点的值，计算出新的迭代点；（4）判断收敛性：判断新的迭代点是否满足收敛条件，如果满足则停止迭代，否则返回第（2）步继续计算。

以上就是牛顿拉夫逊法的基本步骤，通过不断迭代，最终可以得到方程组的解。

二、潮流计算在电力系统中的作用和意义2.1 潮流计算的概念潮流计算是电力系统中一种重要的分析方法，其主要目的是确定系统中各个节点的电压幅值和相角。

通过潮流计算可以得知系统中各元件的功率、电压、电流等信息，为系统的安全稳定运行提供重要数据支撑。

2.2 潮流计算的意义潮流计算在电力系统中具有重要的意义，主要体现在以下几个方面：（1）系统规划：在电力系统的规划设计阶段，潮流计算可以帮助工程师确定系统中各个节点的电压和功率分布，为系统的合理规划提供依据。

关于欧拉动弯曲问题

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引用李继彬在〔2 枝定理
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牛顿拉夫逊介绍(原理、计算方法、程序).

3 牛顿－拉夫逊法概述3.1 牛顿-拉夫逊法基本原理电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。

潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。

即节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷。

各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。

对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。

潮流计算结果可用如电力系统稳态研究，安全估计或最优潮流等对潮流计算的模型和方法有直接影响。

实际电力系统的潮流技术那主要采用牛顿-拉夫逊法。

牛顿--拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。

其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程。

即通常所称的逐次线性化过程。

对于非线性代数方程组： ()0f x = 即 12(,,,)0i n f x x x = (1,2,,)i n = (3-1)在待求量x 的某一个初始估计值(0)x 附近，将上式展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的经线性化的方程组：(0)'(0)(0)()()0f x f x x +∆= (3-2) 上式称之为牛顿法的修正方程式。

由此可以求得第一次迭代的修正量(0)'(0)1(0)[()]()x f x f x -∆=- (3-3) 将(0)x ∆和(0)x 相加，得到变量的第一次改进值(1)x 。

接着就从(1)x 出发，重复上述计算过程。

因此从一定的初值(0)x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为：'()()()()()k k k f x x f x ∆=- (3-4) (1)()()k k k x x x +=+∆ (3-5) 上两式中：'()f x 是函数()f x 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。

牛顿运动定律解题方法总结(学生版)

牛顿运动定律解题方法总结（学生版）1、正交分解法：把矢量（F ，a ）分解在两个互相垂直的坐标轴上的方法。

例1、如图4-45所示，一自动电梯与水平面之间的夹角θ＝30°，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的6/5，试求人与梯面之间的摩擦力是其重力的多少倍？2、整体法和隔离法：主要对连接体问题要用整体法和隔离法。

例2、如图4-47所示，固定在水平地面上的斜面倾角为θ，斜面上放一个带有支架的木块，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，如果木块可以沿斜面加速下滑，则这一过程中，悬挂在支架上的小球悬线和竖直方向的夹角α为多大时小球可以相对于支架静止？3、瞬时分析法：主要求某个力突然变化时物体的加速度时用此法。

例3、质量为m 的箱子C ，顶部悬挂质量为m 的小球B ，小球B 的下方通过一轻弹簧与质量为m 的小球A 相连，箱子C 用轻绳OO ′悬于天花板上处于平衡状态，如图4-49所示，现剪断OO ′，在轻绳被剪断的瞬间，小球A 、B 和箱子C 的加速度分别是多少？B 、C 间绳子的拉力T 为多少？4、程序法：按时间先后顺序对题目给出的物体运动过程（或不同状态）进行分析计算的解题方法叫做程序法。

例4、将质量为m 的物体以初速度v 0从地面竖直向上抛出，设在上升和下降过程中所受的空气阻力大小均为f ，求上升的最大高度和落回地面时的速度大小。

图4-45 图4-47图4-49 v a 图4-505、图象法：利用物理量之间的图象关系求解物理问题的方法。

要注意所给图象的物理意义，即横、纵坐标各代表什么。

例5、甲、乙两物体叠放在光滑水平面上，如图4-52所示，现给乙物体施加一变力F ，力F 与时间的关系如图4-53所示，在运动过程中，甲、乙两物体始终相对静止，则（）A ．在t 时刻，甲、乙间静摩擦力最大；B ．在t 时刻，甲、乙两物体速度最大；C ．在2t 时刻，甲、乙间静摩擦力最大；D ．在2t 时刻，甲、乙两物体位移最大。

一个强非线性振子的牛顿谐波平衡解

+ ( 21) 嘲 △衅面器‰ ．则二阶平方角频率为
相应的二阶近似解析周期解xdt ) 和二阶近似角频率她分别可以表示为．勉( ￡) =罚l ( ‘) +△髫I ( t ) =Aeos( ca 2t ) +B( c os( 3caz t ) - - eos( ca2t ) ) ，
( 22)
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( 13)
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Axl ( r) =B【( Ⅺs( 3f )一cos( r) ]．
( 14)
将方程( 5) 和( 14) 带入方程( 13) 展成三角级数，分别
令c惦( 丁) 和cos( 3r ) 的系数等于零可以得到
( 扣锄 m+1) B+A( 1+}2) △ 球 “ 蜴 ( 1寺 A2) ， ( 15)
够何 =厄磊繇丢． ∽，
表1各阶近似频率和精确频率的误差的比较
Ta b．1 Per cen t age e rr ol s f or co mpa r i so n o f ap pr o xi mat e f r equenci e s 、Ⅳi dl exa ct f r eque ncy
通信作者：胡辉( 1957一)，男，湖南邵阳人，教授，主要从事非线性振动研究．E—l I Mi t ：hui huxt @yahoo．∞吐∞
121
嘲 +A蜴．
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将方程( 10) 和( 11) 带人方程( 3) ，并将修正项Ax。和△蜴作线性化得到
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力学中的平衡力求解方法

力学中的平衡力求解方法在力学中，平衡力是指物体在静止或恒定速度下的力平衡状态。

为了解决平衡力的问题，科学家们提出了多种求解方法，包括拉格朗日方程、牛顿-拉普森方程等。

本文将介绍这些平衡力求解方法的基本原理和应用。

一、拉格朗日方程拉格朗日方程是一种非常重要的力学分析工具，通过考虑系统的广义坐标和广义速度，可以建立系统的动力学方程。

对于平衡力的求解，我们可以将物体所受的外力分解为广义势能和广义作用力，然后利用拉格朗日方程进行求解。

广义势能是指与广义坐标有关的能量，广义作用力是指与广义速度有关的力。

以简谐振动为例，设物体的广义坐标为x，广义速度为v，则物体的动能为T=1/2mv^2，广义势能为U=1/2kx^2，其中m为物体质量，k 为弹簧的劲度系数。

根据拉格朗日方程的原理，我们可以得到物体的运动方程为：ma=-kx二、牛顿-拉普森方程牛顿-拉普森方程是牛顿力学中的一种求解方法，通过应用牛顿第二定律和牛顿第三定律，可以推导出物体的平衡力。

对于平衡力的求解，我们可以先分析物体所受的力情况，然后应用牛顿第二定律和牛顿第三定律进行求解。

牛顿第二定律表明力等于质量乘以加速度，牛顿第三定律表明作用力与反作用力大小相等、方向相反。

以静止的物体受到斜面上的重力为例，设物体的质量为m，斜面的倾角为θ，则物体所受的重力可分解为沿斜面方向的分力mg*sinθ和垂直斜面方向的分力mg*cosθ。

根据牛顿第二定律，我们可以得到物体的平衡力为：mg*sinθ=μN其中μ是斜面和物体之间的动摩擦系数，N是斜面对垂直斜面方向的支撑力。

三、其他求解方法除了拉格朗日方程和牛顿-拉普森方程，还有一些其他常用的求解方法，如杆摆问题中的拉氏方程法、刚体平衡问题中的力矩平衡法等。

杆摆问题是指由杆和一个或多个质点构成的物体，在重力作用下进行旋转运动的问题。

在求解杆摆问题时，可以利用拉氏方程法来分析系统的运动。

刚体平衡问题是指刚体在受到一组力矩作用时处于力矩平衡的状态。

ANSYS中有关牛顿—拉普森法和蠕变准则的使用

牛顿－拉普森选项在存在非线性时，ANSYS的自动求解控制将应用自适应下降关闭的完全牛顿－拉普森选项。

但在应用点—点，点—面接触单元的摩擦接触分析中，自适应下降功能是自动打开的（如CONTAC12、CONTAC48、CONTAC49、CONTAC52单元）。

下列接触单元需要自适应下降才能收敛。

命令： NROPTGUI：Main Menu>Solution>Unabridged Menu>Analysis Options仅在非线性分析中使用这个选项。

这个选项指定在求解期间每隔多久修改一次正切刚度矩阵。

如果用户不想采用缺省值，可以指定这些值中的一个：· 程序选择( NROPT ,ANTO)：程序基于用户模型中存在的非线性种类选用这些选项中的一个。

需要时牛顿－拉普森方法将自动激活自适应下降。

· 完全牛顿－拉普森法( NROPT ,FULL)；程序使用完全的牛顿－拉普森方法。

在这种处理方法中，每进行一次平衡迭代，就修改刚度矩阵一次。

如果自适应下降是打开(可选)，只要迭代保持稳定(也就是只要残余项减小，且没有负主对角线出现)，程序将仅使用正切刚度阵。

如果在一次迭代中探测到发散倾向，程序抛弃发散的迭代且重新开始求解，应用正切和正割刚度矩阵的加权组合。

当迭代回到收敛模式时，程序将重新开始使用正切刚度矩阵。

对复杂的非线性问题自适应下降通常将提高程序获得收敛的能力，但它只支持《ANSYS Element Reference》中由单元输入汇总表中的“Special Features”指明的单元(见《ANSYS Element Reference》表4.n.1，其中n为单元编号)。

· 修正的牛顿－拉普森法( NROPT ,MODI)：使用修正的牛顿－拉普森方法。

在这种方法中，正切刚度矩阵在每一子步中都被修正。

在一个子步的平衡迭代期间矩阵不被改变。

这个选项不适用于大变形分析。

谐波潮流计算

谐波潮流计算
【原创版】
目录
1.谐波潮流计算的定义和背景
2.谐波潮流计算的基本原理
3.谐波潮流计算的方法
4.谐波潮流计算的应用和意义
5.谐波潮流计算的挑战和发展趋势
正文
谐波潮流计算是一种电力系统分析方法，用于计算电力系统中各节点的电压和电流的谐波分量。

随着电力系统的发展，谐波问题逐渐凸显，谐波潮流计算应运而生，成为解决谐波问题的重要手段。

谐波潮流计算的基本原理是基于电力系统的基本方程和谐波分量的
定义。

电力系统的基本方程包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。

谐波分量是指电压和电流的频率是基频的整数倍的分量。

谐波潮流计算就是通过求解这些基本方程，得到电力系统中各节点的电压和电流的谐波分量。

谐波潮流计算的方法主要有以下几种：基于牛顿 - 拉夫逊法、基于快速迪科法、基于扩展欧拉法等。

这些方法各有优缺点，需要根据具体的电力系统特性和计算需求选择合适的方法。

谐波潮流计算在电力系统中具有重要的应用。

首先，它可以用于分析和预测电力系统中的谐波问题，为电力系统的规划和设计提供依据。

其次，它可以用于电力系统的运行和控制，有效地抑制和减少谐波对电力系统的影响。

尽管谐波潮流计算取得了显著的成果，但仍面临着一些挑战和发展趋
势。

首先，随着电力系统的规模和复杂性的增加，计算的难度和计算时间也在增加，需要发展更高效和更精确的计算方法。

其次，电力系统的谐波问题也在不断变化和发展，需要不断改进和完善谐波潮流计算的方法和理论。

总的来说，谐波潮流计算是电力系统分析的重要方法，对于解决电力系统的谐波问题具有重要的意义。

弹性地基上的变弯曲刚度Euler柱的稳定性问题

摘要轴向受压的Euler柱在工程中被广泛应用，但由于其屈曲失稳造成的工程事故往往会带来严重的经济损失和人员伤亡，因此,轴向受压Euler柱稳定性问题的研究具有十分重要的现实意义。

随着材料科学的发展，由非均质材料制成的Euler柱相比于传统材料Euler柱，由于具有更加优越的力学性能而受到越来越多的关注。

但是非均质材料制成的Euler柱的弯曲刚度不一定为常数，这给求解Euler柱的临界屈曲荷载带来了困难。

同时，轴向受压Euler柱的工作环境在现实工程中可能会很复杂，在柱体的横向方向上常常会受到弹性约束的作用，比如路基上的钢轨。

这些问题的出现，使得轴向受压Euler柱稳定性问题的研究愈加复杂。

在体积(自重)和长度恒定的情况下，如何通过合理地设计Euler柱的截面，使其能够充分发挥材料的力学性能，最大限度地提高Euler柱的稳定性能，是一个很有研究价值的问题。

本文首先推导了放置在刚度系数沿轴向变化的弹性地基上的、沿轴向变弯曲刚度的Euler柱的控制微分方程。

然后代入两端固定(C-C)、一端固定一端铰接(C-P)、一端固定一端滑移(C-G)三种边界条件中，可以得到含有无量纲临界屈曲荷载的特征方程。

利用近似方法，对上述三种边界条件下Euler柱的无量纲临界屈曲荷载的特征方程进行了求解。

数值计算结果与文献的结果吻合，证明了该近似方法对本文问题的适用性。

之后，本文给出了部分情况下轴向受压Euler 柱的无量纲临界屈曲荷载值，讨论了弯曲刚度以及弹性地基刚度系数分别以不同的梯度形式变化时，梯度参数变化对无量纲临界屈曲荷载结果的影响。

最后，讨论了C-G边界下均质圆截面Euler柱的截面优化设计的问题，分别给出了无弹性地基和几种恒定弹性地基存在的情况下，能够有效提高Euler柱抗失稳能力的优化设计方案。

关键词：Euler柱；临界屈曲荷载；弹性地基；变弯曲刚度；优化设计AbstractAxial compression Euler column is widely applied in the engineering areas. Most of the engineering accidents caused by its buckling instability often bring serious economic losses and casualties, thus, the research on the stability of the axial compression Euler column is of great practical significance. With the development of material science, the inhomogeneous Euler column has attracted more and more interests than the traditional Euler column owing to its superior mechanical properties. However, the bending stiffness of the inhomogeneous Euler column is not necessarily constant, which makes it difficult to solve its critical buckling load. Meanwhile, the working environment of the Euler columns may be very complicated in practice, expecially, the transverse direction of columns often subjected to the elastic constraints such as the rails on the subgrade. All these problems make it complicate to study the stability of the axial compression Euler column. In the case of the constant volume (weight) and the constant length, it is an important research problem for designing the cross-section of the Euler column so that it not only can fully exert the mechanical properties of the material but also maximize the stability of the Euler columns.In this paper, we first deduces the differential equations of the Euler column placed on an elastic foundation with stiffness coefficient varying along the axial direction, considering its bending stiffness also varying along the axial direction. Then, substituting the three kinds of boundary conditions (clamped- clamped, clamped-pinned, clamped-guided) into the differential equations, we obtain the characteristic equation containing a dimensionless critical buckling load. An approximate method is used in this paper, to solve the dimensionless critical buckling load of the Euler column with considering the three boundary conditions mentioned above. The numerical results are in agreement with the previous results, which proving the applicability of the approximate method to this problem. Then, some cases of the dimensionless critical buckling load for the Euler columns subjected tothe axial compression are given. And the effect of the gradient coefficient variation on the dimensionless critical buckling load is discussed for the case of bending stiffness and the stiffness coefficient of elastic foundation both varying in different forms. Finally, we discuss the optimization design of the Euler column with the homogeneous circular cross-section and under the C-G boundary conditions. The optimized design scheme which can effectively improve the anti-destabilization ability of the Euler column is presented for the cases of no elastic foundation and several constant elastic foundations.Key words: Euler column, critical buckling load, elastic foundation, variable bending stiffness, optimization design目录第一章绪论 (1)1.1 研究背景和意义 (1)1.2 国内外研究现状 (1)1.2.1 国外研究现状 (1)1.2.3 国内研究现状 (3)1.3 本文主要研究内容和创新点 (4)1.3.1 本文主要研究内容 (4)1.3.3 本文主要创新点 (4)第二章三种边界（C-C、C-P、C-G）下弹性地基上变弯曲刚度Euler柱无量纲临界屈曲荷载 (5)2.1 引言 (5)2.2 无量纲临界屈曲荷载控制方程的推导及其求解方法 (5)2.3 弹性地基和弯曲刚度中的参数变化对无量纲临界屈曲荷载结果的影响 .. 92.3.1 弹性地基中的参数变化对无量纲临界屈曲荷载结果的影响 (9)2.3.2 弯曲刚度中的参数变化对无量纲临界屈曲荷载结果的影响 (19)2.4 本章小结 (22)第三章弹性地基上C-G边界Euler柱截面优化设计问题 (24)3.1 引言 (24)3.2 无弹性地基C-G边界圆截面均质Euler柱的截面优化设计 (24)3.3 连续恒定弹性地基上C-G边界圆截面均质Euler柱的截面优化设计 (29)3.4 本章小结 (32)第四章结论和展望 (33)4.1 结论 (33)4.2 展望 (33)参考文献 (35)致谢 (37)个人简历、在学期间的研究成果及发表的学术论文 (38)-I-第一章绪论1.1 研究背景和意义轴向受压柱在实际工程中有着广泛的应用，柱的屈曲失稳是造成结构失效的主要原因之一。

连杆结构上的欧拉-牛顿法迭代动力学算法

连杆结构上的欧拉-⽜顿法迭代动⼒学算法以下每个量都是在各⾃坐标系内观察得到的值，同时⼩括号表⽰取某个⽅向上的分量作为⼀个新的向量。

外推从基座开始，对每个连杆使⽤⽜顿-欧拉⽅差，逐个计算连杆的速度和加速度。

$w_{i+1}=Rw_i+\dot{\theta}_{i+1}(z)$$\dot{w}_{i+1}=R\dot{w}_i+Rw_i \times \dot{\theta_i}(z) + \ddot{\theta}_{i+1}(z)$$\dot{v}_{i+1}=R(\dot{w_i} \times P_{i+1} + w_i \times (w_i \times P_{i+1}) + \dot{v}_i)$$\dot{v}_{C_{i+1}}=\dot{w_{i+1}} \times P_{C_{i+1}} + w_{i+1} \times (w_{i+1} + P_{C_{i+1}}) + \dot{v}_{i+1}$$F_{i+1}=m_{i+1}\dot{v}_{C_{i+1}}$$N_{i+1}=I_{C_{i+1}}\dot{w}_{i+1}+w_{i+1} \times I_{C_{i+1}} w_{i+1}$内推从连杆n开始，利⽤外推过程中得到的惯性⼒，计算各个连杆上的⼒和⼒矩、关节驱动⼒$f_i = Rf_{i+1} + F_i$$n_i = N_i + Rn_{i+1} + P_{C_i} \times F_i + P_{i+1} \times Rf_{i+1}$$\tau_{i} = n_i^{T_i}(z)$初值通常来说，底座是不动的，所以$w_0 = 0$, $\dot{w}_0 = 0$$v_0 = 0$⽽重⼒也是不能忽略的，那就令$\dot{v}_0 = g$即可，等效于机器⼈正在以1g的加速度在做向上加速运动。

⼀般⽽⾔，写成向量是\ (\dot{v}_0=g(y)\)。

牛顿-拉夫逊法潮流计算程序与讲解

（四）小阻抗支路
（五）R/X值过大
• 线路电阻大于电抗，导致一些网络电抗远大于电阻的潮流算法失效 • 在PQ分解法中，为了将不断变化的H、L矩阵用常数矩阵来代替，认为互导纳中 |Gij|<|Bij|,因此当线路电阻大于电抗时，可能会造成不收敛。
结束
谢谢
牛顿-拉夫逊法潮流计算程序与讲解

组员：刘澍邢越薛伦孙韬备
线路参数文件
节点功率文件
• 程序设计部分
• 主要讲N_L法
计算潮流
潮流不收敛的原因
• • • • 初值偏离终值过大系统有功不平衡系统无功不平衡小阻抗支路的存在
（一）初值偏离终值过大
• 实际系统中，受稳定性要求的限制，各个节点间的相位差不能很大，故各节点的相位初值一般给定为0； • 正常运行情况下，各母线的电压都在额定电压附近，因此电压有效值得初值都给定为1
(二)系统有功不平衡
• • • • plot (yg,kkkk,'.') axis([0,10,-2,2]) xlabel('注入功率') ylabel('收敛性')
(二)系统有功不平衡
（三）系统无功不平衡
• wugong=0; • for m=1:200 • wugong=wugong+1; • wg(m)=wugong; • for t=1:mn • if b(t,2)==1 • b(t,4)=wugong; • break • end • …… • …… • end
（一）初值偏离终值过大
• • • • • • • • • • canchu=0; for m=1:200 canshu=canshu+0.02;%参数从0增大 cs(m)=canshu; for i=1:4 if b(i,2)==1%改变PQ节点给定的电压初值 b(i,5)=canshu; end end ……

牛顿拉夫逊法潮流计算

摘要本文，首先简单介绍了基于在MALAB中行潮流计算的原理、意义，然后用具体的实例，简单介绍了如何利用MALAB去进行电力系统中的潮流计算。

众所周知，电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各线的电压、各元件中流过的功率、系统的功率损耗等等。

在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。

此外，在进行电力系统静态及暂态稳定计算时，要利用潮流计算的结果作为其计算的基础；一些故障分析以及优化计算也需要有相应的潮流计算作配合；潮流计算往往成为上述计算程序的一个重要组成部分。

以上这些，主要是在系统规划设计及运行方式安排中的应用，属于离线计算范畴。

牛顿－拉夫逊法在电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。

本文介绍了电力系统潮流计算机辅助分析的基本知识及潮流计算牛顿－拉夫逊法，最后介绍了利用MTALAB程序运行的结果。

关键词：电力系统潮流计算，牛顿－拉夫逊法，MATLABABSTRACTThis article first introduces the flow calculation based on the principle of MALAB Bank of China, meaning, and then use specific examples,a brief introduction, how to use MALAB to the flow calculation in power systems.As we all know, is the study of power flow calculation of power system steady-state operation of a calculation, which according to the given operating conditions and system wiring the entire power system to determine the operational status of each part: the bus voltage flowing through the components power, system power loss and so on. In power system planning power system design and operation mode of the current study, are required to quantitatively calculated using the trend analysis and comparison of the program or run mode power supply reasonable, reliability and economy. In addition, during the power system static and transient stability calculation, the results of calculation to take advantage of the trend as its basis of calculation; number of fault analysis and optimization also requires a corresponding flow calculation for cooperation; power flow calculation program often become the an important part. These, mainly in the way of system design and operation arrangements in the application areas are off-line calculation.Newton - Raphson power flow calculation in power system is one commonly used method, it is good convergence of the iteration number of small, introduce the trend of computer-aided power system analysis of the basic knowledge and power flow Newton - Raphson method, introduced by the last matlab run results.Keywords：power system flow calculation, Newton – Raphson method, matlab目录1 绪论 (1)1.1 课题背景 (1)1.2 电力系统潮流计算的意义 (2)1.3 电力系统潮流计算的发展 (2)1.4 潮流计算的发展趋势 (4)2 潮流计算的数学模型 (5)2.1 电力线路的数学模型及其应用 (5)2.2 等值双绕组变压器模型及其应用 (6)2.3 电力网络的数学模型 (8)2.4 节点导纳矩阵 (9)2.4.1 节点导纳矩阵的形成 (9)2.4.2 节点导纳矩阵的修改 (10)2.5 潮流计算节点的类型 (11)2.6 节点功率方程 (12)7 潮流计算的约束条件 (13)2·3 牛顿－拉夫逊法潮流计算基本原理 (14)3.1 牛顿-拉夫逊法的基本原理 (14)3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算的修正方程 (17)3.3 潮流计算的基本特点 (20)3.4 节点功率方程 (21)4牛顿－拉夫逊法分解潮流程序 (22)41 牛顿－拉夫逊法分解潮流程序原理总框图 (22)·4.2 形成节点导纳矩阵程序框图及代码 (23)4.21 形成节点导纳矩阵程序框图 (23)。

电力系统牛顿拉夫逊法频率

电力系统牛顿拉夫逊法频率电力系统中的牛顿拉夫逊法是一种常用的频率分析方法，用于研究电力系统在不同频率下的稳定性和响应特性。

该方法基于牛顿第二定律和拉夫逊法则，结合电力系统的动态方程，可以求解系统的频率响应和稳定性。

在电力系统中，频率是指电压和电流信号中的周期性变化。

电力系统中的频率通常为50Hz或60Hz，代表每秒钟电压和电流信号的周期数。

频率的稳定性对于电力系统的正常运行至关重要，因为频率的偏离会导致电力设备的失效和电网的不稳定。

牛顿拉夫逊法是一种通过求解系统的微分方程来研究系统动态行为的方法。

在电力系统中，牛顿拉夫逊法可以用于求解系统的振荡频率和振荡模态。

通过分析系统的振荡频率和振荡模态，可以评估系统的稳定性和抗干扰能力。

牛顿拉夫逊法的基本思想是将电力系统的动态方程转化为一组一阶微分方程组，然后通过数值求解方法求解这组微分方程。

这组微分方程描述了电力系统中各个节点的电压和相角随时间的变化规律。

通过求解这组微分方程，可以得到系统在不同频率下的响应特性。

在应用牛顿拉夫逊法进行频率分析时，首先需要建立电力系统的动态模型。

这个模型包括系统的节点、传输线、发电机、负荷以及其他与系统运行相关的参数。

根据这个模型，可以得到系统的微分方程组。

然后，需要选择适当的求解方法来求解微分方程组。

常用的求解方法包括欧拉法、龙格-库塔法和改进的欧拉法等。

这些方法可以通过迭代计算的方式得到系统在不同时刻的电压和相角值。

在求解微分方程组之后，可以通过对系统的电压和相角进行频谱分析来得到系统的频率响应。

频谱分析是一种将信号分解成不同频率分量的方法，通过计算每个频率分量的幅值和相位，可以得到系统在不同频率下的响应特性。

通过牛顿拉夫逊法进行频率分析可以帮助电力系统工程师评估系统的稳定性和可靠性。

通过分析系统的振荡频率和振荡模态，可以发现系统中存在的潜在问题，并采取相应的措施来提高系统的稳定性。

牛顿拉夫逊法是一种常用的电力系统频率分析方法，通过求解系统的微分方程组，可以得到系统在不同频率下的响应特性。

电力系统稳态分析-牛顿拉夫逊法

0 引言潮流是配电网络分析的基础,用于电网调度、运行分析、操作模拟和设计规划,同时也是电压优化和网络接线变化所要参考的内容。

潮流计算通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行情况呈现给工作人员，从而便于研究系统在给定条件下的稳态运行特点.随着市场经济的发展，经济利益是企业十分看重的，而线损却是现阶段阻碍企业提高效益的一大因素。

及时、准确的潮流计算结果，可以给出配电网的潮流分布、理论线损及其在网络中的分布,从而为配电网的安全经济运行提供参考。

从数学的角度来看，牛顿—拉夫逊法能有效进行非线性代数方程组的计算且具有二次收敛的特点，具有收敛快、精度高的特点，在输电网中得到广泛应用。

随着现代计算机技术的发展，利用编程和相关软件，可以更好、更快地实现配电网功能，本文就是结合牛顿-拉夫逊法的基本原理，利用C++程序进行潮流计算，计算结果表明该方法具有良好的收敛性、可靠性及正确性。

1 牛顿-拉夫逊法基本介绍1.1 潮流方程对于N个节点的电力网络(地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知,则网络方程可表示为：YV I（1-1)=式中，Y为N＊N阶节点导纳矩阵；V为N*1维节点电压列向量；I为N*1维节点注入电流列向量。

如果不计网络元件的非线性，也不考虑移相变压器,则Y 为对称矩阵。

电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系：ˆˆ=EI S (1-2）式中，S为节点的注入复功率，是N*1维列矢量；ˆS为S的共轭；ˆˆi diag ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E V 是由节点电压的共轭组成的N*N 阶对角线矩阵。

由（1—1)和（1—2），可得：ˆˆ=S EYV上式就是潮流方程的复数形式，是N 维的非线性复数代数方程组。

将其展开，有:ˆi i iij j j iP jQ V Y V ∈-=∑ j=1,2，…。

,N (1—3）式中， j i ∈表示所有和i 相连的节点j ，包括j i =。

谐波平衡法

• 非线性项及其导数在时域中利用时频混合格式（alternating frequency-time domain，AFT）的方法求解。快速傅里叶变换（FFT）用于时域到频域的转换。即：
• 导数矩阵可以被一列一列地得到。
谐波平衡法
• 可得到一个非线性代数方程：
• 该谐波平衡方法仅适用于周期问题。
谐波平衡法
• 对于周期振动的系统，其响应x(t)可用傅里叶级数表示： (1)
• 变量上的波浪号“~”代表是是频域变量。 • 引入规范化时间变量：
(2) • 用矩阵形式表达式(1)，并取到N次谐波（共有Nh=2N+1次谐波项），有数为的向量，包含了量，布局与相对应。 • 设非线性动力学方程为：和中的分
(4)
• 将(3)代入(4)，并应用如下伽辽金映射：
谐波平衡法
• 可得到一个非线性代数方程：
• L代表方程的线性部分，
谐波平衡法
• 可得到一个非线性代数方程：
•
代表激励和非线性项，
• 该非线性方程的求解可用拟牛顿法（Newton-like method）
谐波平衡法
• 可得到一个非线性代数方程：

牛顿法最优潮流

j=1,2……N
ij
令 Vi ei jfi 展开得 P i jQi (ei jf i )
(G
ji
jBij )(e j jf j )
ji
Pi jQi ei jfi ai jbi , ai (Gij e j Bij f j ) bi (Gij f j Bij e j )
ji
Qi Q sp Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij )i 1, 2,........n r
ji
为了清晰的表达潮流方程中的未知量请看下表。平衡节点为第N节点、剩余N-1=n个节点中，含有r个PQ节点， n-r个PV节点。
节点 PQ
ji
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij )i 1, 2,........N
ji
Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij )i 1, 2,........N
ji
上式即为电力系统的潮流方程
数学描述
潮流计算
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
潮流方程的描述对于N个节点的电力网络若元件参数已知则网络方程表示为
YU I E*I S *
其中Y为n*n阶节点导纳矩阵， U为N*1阶，I*为N*1阶节点注入电流列向量但是电力网络中给定的往往是S而不是电流，所以线性方程就变成
E *YU S *
* P i jQi Vi YijV j ji
ji ji
Pi P sp ei ai f i bi , Qi Q sp f i ai ei bi H ii N ii M ii Lii Pi Pi ai Gii ei Bii f i , H ij Gij ei Bij f i ei e j Pi Pi bi Bii ei Gii f i , N ij Bij ei Gij f i , fi f j Qi Qi bi Bii ei Gii f i , M ij N ij ei e j

牛顿拉夫逊法实验报告及程序

实验报告实验课程：电力系统分析学生姓名：学号：专业班级：电力系统班2010年 6 月 14 日南昌大学实验报告学生姓名：*** 学号：专业班级：电力系统班实验类型：□验证■综合□设计□创新实验日期：2010.5.31-6.14 实验成绩：一、实验项目名称：电力系统潮流计算实验二、实验目的：本实验通过对电力系统潮流计算的计算机程序的编制与调试，获得对复杂电力系统进行潮流计算的计算机程序，使系统潮流计算能够由计算机自行完成，即根据已知的电力网的数学模型（节点导纳矩阵）及各节点参数，由计算程序运行完成该电力系统的潮流计算。

通过实验教学加深学生对复杂电力系统潮流计算计算方法的理解，学会运用电力系统的数学模型，掌握潮流计算的过程及其特点，熟悉各种常用应用软件，熟悉硬件设备的使用方法，加强编制调试计算机程序的能力，提高工程计算的能力，学习如何将理论知识和实际工程问题结合起来。

三、实验基本原理：（一）潮流计算的基本概念电力系统的潮流方程的一般形式是式（1-1）将上述方程的实部和虚部分开，对每一节点可的两个实数方程，但是变量仍有4个，即P、Q、V、δ。

我们必须给定其中的2个，而留下的两个作为待求变量，方程组才可以求解。

根据电力系统的实际运行条件，按给定变量的不同，一般将节点分为以下三种类型。

根据给定的控制变量和状态变量的不同分类如下1.P、Q节点（负荷节点），给定Pi、Qi求Vi、Si，所求数量最多；2.负荷节点，变电站节点（联络节点、浮游节点），给定PGi 、QGi的发电机节点，给定QGi的无功电源节点；3.PV节点（调节节点、电压控制节点），给定Pi 、Qi求Qn、Sn，所求数量少，可以无有功储备的发电机节点和可调节的无功电源节点；4.平衡节点（松弛节点、参考节点（基准相角）、S节点、VS节点、缓冲节点），给定V i，δi=0，求Pn、Qn(Vs、δs、Ps、Qs)。

将平衡系统的有功平衡节点和各节点电压相角的参考接地节点可以合二为一，对于有较大调节裕量的发电机节点或出现最多的发电机节点可以改善收敛。