附录A 平面图形的几何性质

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附录1 平面图形的几何性质PPT课件

截面对于一个构件或者结构来说是非常重要的，下面我们列举一下工程当中常见的几种截面：
槽钢工字型
角钢
1
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总体概述
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩都属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。（2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解：取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质（1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a

附录(惯性矩、静矩)

在一组平行的轴中，图形在一组平行的轴中，对其形心轴的惯性矩最小。对其形心轴的惯性矩最小。
O
记住图形对形心轴的惯性矩，记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有平行于此形心轴的各轴的惯性矩。平行于此形心轴的各轴的惯性矩。为形心坐标，注意其正负号。惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。
附录平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺只与横截面的几何形状和尺几何性质寸有关的某些几何量，有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作用，如横截面面积A，着重要作用，如横截面面积，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
材料力学
中南大学土木建筑学院
8
组合图形的静矩和形心有如下公式
S y = ∑ Ai zCi ； S z = ∑ Ai yCi
i =1 i =1
n
n
yC =
∑Ay
i =1 i
n
Ci
A
； zC =
∑Az
i =1
n
i Ci
A
材料力学
中南大学土木建筑学院
9
组合图形的静矩和形心
z Ⅰ
C1(yC1, zC1) C (yC ,zC)
I y + Iz I y − Iz 主惯性轴 Iy = + cos 2α − I yz sin 2α 的意义 1 2 2
对α求导
d Iy1 dα
即
材料力学
=−2
Iy − Iz 2
sin2 −2Iyz cos2 =−2Iy1z1 = 0 α α
主惯性轴就是使得图形的惯性矩取极值时的坐标轴

附录A 平面图形的几何性质

n
同理 I y
I
， Ai
y
i 1
n
I xy
I Ai xy
i 1
§A.2 惯性矩惯性积惯性半径
三、惯性积的性质
y -x x
当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴
A
A
I xy
xyd A
A
y
y
2n
lim
Ai 0
i 1
xi
yi Ai
O
x
n
lim Ai 0 i 1
xi yi Ai
xi
r2 z2
yC 0 Sz 0
z dA
z dz
dA 2 r2 z2 dz
r
y
Sy
zdA
A
r
z2
2r3 r2 z2 dz
o
0
3
zC
Sy A
2r3
r2
3 2
4r
3
§A.1 形心和静矩
三、组合图形的静矩和形心
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等）组成的平面图形
如：
§A.1 形心和静矩
Ix Iy
2
4
I
2 xy
故
I I
x0 y0
Ix
2
Iy
1 2
(Ix
I
y
)2
4
I
2 xy
§A.4 转轴公式主惯性矩
4.主惯性矩的性质
当Ix1取极值时，对应的方位为1
令 dI x1
d
(I x I y )sin 21 2I xy cos 21 0
1
得到
tg21
2I xy Ix I

材料力学(附录))

单位：cm
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
I
y
I
y
i
I
y1
Iy2
I
y1
1
0203 12
0.67104(cm4)
I
y
2
40153 12
1.13104 (cm4 )
x
I y I y1 I y2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
三、惯性半径：
I x ix2 A
I
y
i
2 y
A
ix和iy分别称为图形对于x轴和y轴的惯性半径。
ix
Ix A
,
iy
Iy A
圆截面：
d 4
ix
I x 64
A
d 2
d 4
4
四、组合图形的惯性矩：
y 1
2 C
3
Ix y2dA
A
y2dA
x
Ai
Ix i
Ix Ixi Iy Iyi
y 1
Cx
§I–3 惯性积
y
Ix Ix i Ix1 Ix2
x1
I
x1
20103 12
2010(4526.25) 2
7.2104(cm4)
40 10
20 y
1
C2
ax
y
x1
15
I
x
2
15403 12
1540(26.2520)
2
10.3104 (cm4 )
Ix Ix1 Ix2 (7.2 10.3)104 17.5104 (cm4 )

平面图形的几何性质

——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。

当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。

这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。

研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。

§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。

在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。

定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。

如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。

图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。

设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。

根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。

对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。

2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。

实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。

例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。

对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。

附录Ⅰ 平面图形的几何性质

2
O 20
y
zc
Az
i 1
n
i i
A

2000 150 2800 70 103.3mm 2000 2800
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第二节
一、惯性矩
定义
惯性矩、极惯性矩和惯性积
z z dA
图形面积对某轴的二次矩。
例求图示圆形对于对称轴y、z的惯性矩。
z
解：
Ip
d 4
32
d
O y
I y Iz I p
I y Iz
I y Iz
d4
64
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
三、惯性积
z
定义
图形面积对一对相互垂直的轴的矩。
z
dA
I yz yz d A
例半径为R的半圆图形如图所示，试计算其对 y 轴和 z 轴的静矩及形心的位置。解：
由于半圆图形关于z轴左右对称，因此z轴必通过其形心，即： dz z
O z
b(z)
yc 0
根据静矩的性质得： S z 0
取平行于y轴的狭长矩形，其微面积为
R
y
dA 2b( z)dz
所以，
其中： b( z )
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
I z y2 d A , I y z2 d A
A A
说明：
（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和:
I z I zi ,I y I yi

附录平面图形.ppt

z
y dA
A
z
I yz
yzdA
A
图形对y、z两轴的惯性积
单位：m4
讨论
（1） I yz 可0；0；0；
o
y
（2）若坐标轴y或z中有一根是图形的对称轴，则：
Iyz 0
材料力学
平面图形的几何性质 z
AII AI
AIII AIV
y
yzdA yzdA
AI
AII
yzdA yzdA
AIII
材料力学
平面图形的几何性质
例如: A AI AII AIII
则
I y
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
I yI I yII I yIII m I yi
同理
i 1
z I
II
y
III
m
m
m
m
I z I zi , S y S yi, Sz Szi , I yz I yzi
dz z h
同理
解：（1） Sz 0, S y 0.
c
h
y
（2） I y
z2dA
A
2 h
z 2bdz
h
2
b
b z3 2 1 bh3
3 h 12
2
Iz
y2dA
A
1 hb3 12
iy
I y 3 h, A6
材料力学
iz
Iz 3 b A6
平面图形的几何性质
（3）
I yz
yzdA
1 2 (Iy
Iz ) sin 20
I yz cos20
0

材料力学附录A+平面图形的几何性质

yC
S x A yC 0
S y A xC 0

yC 0
C
A O
xc
xC 0
x
性质1: 图形对形心轴的静矩为零。反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。
例1 试确定下图的形心。
10
解：组合图形，用正负面积法求解。
y
120 C2 C1(0,0) C2(-35,60)
特别指出：
惯
惯
性
性
矩——对某一轴而言
积——对某一对正交轴而言
极惯性矩——对某一点而言
四、惯性半径在力学计算中，有时把惯性矩写成
I x A i x2
即：
I y A i y2
ix
iy
试问即：注意：
Ix A Iy
——图形对 x 轴的惯性半径单位： m
A
A
——图形对 y 轴的惯性半径
⑥求形心主惯性矩
I xC I yC 2 2 I xC0 I xC I yC ( ) I xCyC 2 2 I yC0
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) y 2d d
yC
O
x1
解： ①建立坐标系如图。 ②求形心位置。
xi Ai 0 0 x A A 2 d d y A y i i 2 4 0.177d 2 A 2 d 3d 4
附录A A1 A2 A3 A4 静矩与形心
平面图形的几何性质
惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩和惯性积的平行移轴定理转轴公式主惯性矩
平面图形的几何性质 ——反映平面图形的形状与尺寸的几何量。如：在轴向拉（压）中：

工程力学64 附录平面图形的几何性质

n
i Ci
A
i 1
n i 1 n
i
1200 5 700 45 mm 19.74mm 1200 700
yC
C1
A y
i
Ci
120
A
i 1

1200 60 700 5 mm 39.74mm 1200 700
i
C（19.74，39.74）
10
C2
A
h 2 h 2
3 bh y 2 bdy 12
截面对 y 轴的惯性矩为 I y

A
z 2 dA
b 2 b 2
3 hb z 2 hdz 12
(2) 计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径截面对z 轴和y 轴的惯性半径分别为
y
iz
iy
Iz bh3 12 h A bh 12
Iy hb 12 b A bh 12
3
C
h
z
(3) 计算矩形截面对 y、z 轴的惯性积
b
因为z、y 轴为矩形截面的两根对称轴，故
I zy yzdA 0
A
例3 计算圆形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩及惯性半径,
对圆心C的极惯性矩。
解取平行于 z 轴的微面积dA， dA到z轴的距离为 y
I zy
y
y z

A
zydA 0
3、惯性半径
常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方
的乘积，即
I z iz2 A,
或改写成
2 I y iy A,
2 I P iP A
iz
Iz , A
iy

平面图形的性质与应用

平面图形的性质与应用在数学中，平面图形是指由点和线构成的二维几何图形。

它们具有独特的性质，广泛应用于几何学、工程学、建筑学等领域。

本文将探讨平面图形的一些主要性质，并介绍它们在实际生活中的应用。

一、点、线和平面在平面图形中，点是最基本的要素。

它没有大小和形状，只具有位置信息。

线由两个点确定，可以看作是一条无限延伸的路径。

而平面由无数个点和线组成，是一个无限大的二维空间。

二、多边形的性质多边形是由线段相连而成的封闭图形。

它有许多重要的性质，如：边数、顶点数、内角和外角等。

1. 边数和顶点数一个多边形的边数等于它的顶点数，代表了多边形的复杂程度。

例如，三角形有三个边和三个顶点，矩形有四个边和四个顶点。

2. 内角和外角内角是多边形内部的角度，而外角则是多边形内部一条边的延长线与相邻边之间的角度。

对于一个n边形（n≥3），它的内角和外角满足以下关系：内角和= (n-2) × 180°，外角和= 360°。

这些性质有助于我们计算多边形内部和外部的角度。

三、常见平面图形的性质与应用除了多边形，还有许多其他常见的平面图形，它们也具有自己独特的性质和应用。

1. 圆形圆形是由一条固定半径的弧线围成的平面图形。

它有以下重要性质：半径、直径、周长和面积。

- 半径是由圆心到圆上任意一点的线段，它决定了圆的大小。

- 直径是通过圆心并且两端均在圆上的线段，等于两倍的半径。

- 周长是圆的边界长度，等于2πr（r为半径）。

- 面积是圆内部的空间大小，等于πr²。

圆形的应用非常广泛，如在建筑设计中，圆形的柱子可以提供更好的支撑力；在工程中，圆形的轮胎可以减少摩擦力。

2. 正方形正方形是一种具有四个相等边的矩形，它具有许多特点性质，并广泛应用于实际生活中。

- 边长和周长：正方形的四条边长度相等，周长等于4a（a为边长）。

- 面积：正方形的面积等于a²。

- 对角线：正方形的对角线相等，长度为√2a。

材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩

C O
10 150yC x1
x
由于对称知： xC=0
材料力学附录I 平面图形的几何性质
§I-2 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
Iz
y 2 d A,
A
Iy
z2dA
A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即
Iy A iy2
或
iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
材料力学附录I 平面图形的几何性质
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
1.5d
(2d )3
3d 2 (0.177 d )2
d 4
[
d 2
(0.5d
0.177 d )2 ]
0.685 d 4
A
dA
zdy
h1
y2 b2
dy
dz
z
yC C y
O b
A
y
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
材料力学附录I 平面图形的几何性质
z
h yC C z O y dy
b
Sz
y
ydA
A
b 0
yh1
y2 b2
dy
b2h 4
yC
Sz A
3b 8
z
dz
z
yC C y
y
O b
Sy
4bh2 15
材料力学附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式主惯性轴

附录Ⅰ 平面图形的几何性质

2

b
0
bh z b z d z 24
2
由惯性积的平 b h b h b h bh b h I zCyC I zy A 行移轴公式 24 3 3 2 72 3 3
2 2
2 2
第四节
转轴公式
y1
y dA
平面图形对过同一点两对坐标轴的惯性矩和惯性积之间的关系。
Iz I y 1 2 2 I z0 ( I z I y ) 4 I zy 2 2 Iz Iy 1 I y0 ( I z I y ) 2 4 I zy 2 2 2
过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。图形对于对称轴的惯性积等于零，而形心又必然在对称轴上，所以图形的对称轴就是形心主惯性轴。如果这里讨论的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面。纵向对称面就是形心主惯性平面。
Ai
n
式中，Ai、yiC、ziC分别表示各个简单图形的面积和形心坐标，n为简单图形个数例Ⅰ-1 试求图示三角形对z轴和y轴的静矩，并确定图形形心C的位置。
解: 取平行于z轴的狭长条作为微面积dA，则
b d A b( y ) d y ( h y ) d y h
y dy h y yC o zC z b dz b(y) h(y) z
(2)计算组合图形对形心轴的惯性矩和惯性积。 (3)确定组合图形的形心主惯性轴和计算形心主惯性矩。
例Ⅰ-7 试确定图示Z形截面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。解 (1)确定图形形心位置。因图形是反对称的，故形心在对称中心O点。 (2)求对形心轴z、y的惯性矩和惯性积。为此，将图形分割为三个矩形，则整个图形对z、y轴的惯性矩和惯性积为

附录平面图形几何性质

yC Ai yi
i 1 n
60
O
20
z
ⅡyCCFra bibliotek60A
i 1
n
Ⅰ
20
i
A1 y1 A2 y2 20 60 50 60 20 10 A1 A2 20 60 60 20
30
y
2 惯性矩(Moment of inertia)和惯性积 (Product of inertia)
I p 2 dA Wp I p max
A
I z y 2 dA Wz I z ymax
A
这些与构件横截面的形状、尺寸有关的几何量统称为平向图形的几何性质。
0.2 研究的意义
空心( =0.9)
扭转实心
F
3.2
截面设计
F
(a)矩形钢板弯曲
(b)槽形钢板弯曲
1 静矩和形心
(Statical Moment and Centroid)
1 定义：y· dA和z· dA分别称为该微面积对z轴和y轴
的静矩

A
z dA S y
y
y dA A
S y zdA A S z ydA A
O
z
z
y
S y zdA A S ydA z A
Iz1

cos 2 y 2 dA 2sin cos yzdA sin 2 z 2 dA
A A A
I z cos2 I y sin2 I yz sin 2
I z1 Iz I y 2 Iz I y 2 cos 2 I yz sin 2

附_平面图形的几何性质

y
材料力学
FI-2 惯性矩
五、平行轴定理
截面对任一坐标轴的惯性矩等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
z
O
y
b
z
C
z0
a
y0
dA
I y I y0 b 2 A
z0
A
I z I z0 a 2 A
y
y0
材料力学
FI-3 惯性积
yzdA：微面积dA对一对 z 正交轴y，z的惯性积
b
Iz
z h
A
y dA
2
h 2 h 2
y 2bdy
dy
y
C
b 3 y 3 h
2
h 2
1 3 bh 12
2
y
1 3 I y z dA hb A 12
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
2. 圆形截面
d
已知
1 d 4 I dA A 32
A
极惯性矩和惯性矩之间的关系 2 I dA ( z 2 y 2 )dA

A
A
y
z 2 dA y 2 dA
A A
I y Iz
截面对任意点的极惯性矩等于此截面对于过该点任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和。
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
1. 矩形截面
dA
O
y z
A
平面图形对一对正交轴y， z的惯性积：
I yz = yzdA
A
y
量纲为长度的四次方。 Iyz可能为正，为负或为零。

平面图形的性质及相关定理

平面图形的性质及相关定理平面图形是几何学中的重要概念，大致可以分为线段、直线、角和面。

每种图形都有其独特的性质及相关定理，本文将针对这些内容展开论述。

1. 线段线段是由两个端点构成的有限部分直线。

线段的性质包括长度、方向和位置等方面。

其中最基本的定理是线段的长度可以通过两个端点的坐标计算得出，即欧几里得距离公式。

此外，线段的方向可以用斜率来描述。

若两线段的斜率相同，则它们平行；若两线段互为负倒数，则它们垂直。

2. 直线直线是没有端点的最长线段，也是平面几何中最基本的图形之一。

直线的性质主要有长度无穷大、方向唯一和位置平行等特点。

对于平行直线，我们可以利用同位角、内错角等相关定理进行证明。

同时，两直线交角的大小与它们的斜率有密切关系，通过求解斜率方程可得到直线之间的关系。

3. 角角是由两条射线共享一个端点所形成的图形。

角的性质包括大小、内外角和相互关系几个方面。

其中最重要的定理是角的度量可以通过弧度或角度计算。

弧度是一个非常重要的新单位，它的定义是角所对应的圆弧长度与圆的半径之比。

此外，角的内外角关系也是值得研究的，例如内错角之和等于180度。

4. 面面是由三条边围成的平面图形。

面的性质包括面积、形状和位置等方面。

最常见的面包括三角形、矩形和圆形。

对于三角形而言，海伦公式可以帮助我们计算其面积，它要求已知三边长度。

另外，矩形具有特殊的性质，如相邻边互相垂直且对角线相等。

而圆是一种特殊的面，它具有无限多个对称轴、周长和面积计算公式等。

总结：平面图形的性质及相关定理是数学研究的重要内容。

通过对线段、直线、角和面的研究，我们可以深入了解它们各自的特点及内在关系。

这些性质及定理的应用广泛，涉及到数学、物理、工程等领域。

在实际生活中，我们也能发现许多与平面图形相关的现象，比如日常用品的设计、城市规划等。

因此，深入掌握平面图形的性质及相关定理对于我们的学习和实践具有重要意义。

附录1：平面图形的几何性质new

（2）求各简单截面对形心轴的惯性矩：
（3）求整个截面的惯性矩：
§ I - 4 转轴公式主惯性轴主惯性矩
一、惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
y
x x1
dA y y1
x1 x
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形
则 dA=b dy
C
x
同理
注：对于高度微h平行四边形，对形心 x的主惯性矩同样成立。
b y (a)
C
x
b (b)
§ I - 3 平行移轴公式
一、平行移轴定理：
y
yC
以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图
x
dA
a
C
xC
rb y
x
同理:
注意: C点必须为形心
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
2.形心主轴和形心主惯性矩：主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴过形心, 且与该轴垂直.
y
四、惯性半径
图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径:
x dA
y
r
x
例I-2 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。
解： y
由于圆截面有极对称性，

平面图形的性质与判定

平面图形的性质与判定导语：平面图形是几何学中的重要概念，它们具有不同的性质和特点。

本文将探讨平面图形的性质与判定，包括图形的对称性、角度、边长、面积等方面。

通过深入研究这些性质，我们可以更好地理解和应用平面图形。

一、对称性对称性是平面图形的一个重要性质，它可以分为轴对称和中心对称两种。

轴对称是指图形可以通过一条直线进行折叠，两边完全重合。

而中心对称是指图形可以通过一个点进行旋转，旋转180度后与原图形完全一致。

对称性的判定对于解题和构图都有重要意义。

例如，正方形就具有轴对称性。

当我们将正方形沿着中心线折叠时，两边完全重合。

而圆形则具有中心对称性，因为它可以通过旋转180度后与原图形完全一致。

二、角度角度是平面图形的重要性质之一，它可以分为直角、锐角和钝角。

直角是指两条线段相互垂直，形成90度的角。

锐角是指两条线段夹角小于90度，而钝角则是指两条线段夹角大于90度。

通过角度的判定，我们可以确定图形的性质和特点。

例如，在三角形中，如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。

如果三个角都是锐角，则这个三角形是锐角三角形。

而如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。

三、边长边长是平面图形的另一个重要性质，它可以帮助我们判断图形的大小和形状。

例如，在矩形中，如果四条边的长度相等，则这个矩形是正方形。

而如果四条边的长度不相等，则这个矩形是长方形。

另外，边长还可以用来计算图形的周长。

周长是指图形的边界长度，可以通过将所有边长相加来计算。

例如，在正方形中，如果一条边的长度是a，则它的周长是4a。

四、面积面积是平面图形的一个重要性质，它可以帮助我们计算图形所占的空间大小。

面积的计算方法因图形而异。

例如，在矩形中，面积可以通过将长和宽相乘来计算。

在三角形中，面积可以通过将底边长度与高相乘再除以2来计算。

面积的计算不仅可以帮助我们理解图形的大小，还可以应用于各种实际问题中。

例如，在建筑设计中，我们需要计算各种房间的面积，以确定材料的使用量。

附录A 平面图形的几何性质

附录1 平面图形的几何性质PPT课件

附录(惯性矩、静矩)

附录A 平面图形的几何性质

材料力学(附录))

平面图形的几何性质

附录Ⅰ 平面图形的几何性质

附录平面图形.ppt

材料力学 附录A+平面图形的几何性质

工程力学64 附录 平面图形的几何性质

平面图形的性质与应用

材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩

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附录平面图形几何性质

附_平面图形的几何性质

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工程力学64 附录平面图形的几何性质