二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系

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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系课件

最有价值的知识是关于方法的知识
例1：根本符号的判断
快速答复：
y
抛物线y=ax2+bx+c如下图，
试确定a、b、c、△的符号：
o
x
问题是数学的心脏
快速答复：
1.抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
第一是数学，第二是数学，第三是数学。
快速答复：
抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定a、b、c、△的符号：
3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是__直__线__x_=__- 2_ba_.
4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是_〔___0_,_c_〕.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口____向__上_______________ 开口____向__下_______________ 对称轴为___y__轴对称轴在y轴的_左___侧对称轴在y轴的_右___侧经过原点与y轴交于__正___半轴与y轴交于__负___半轴
由数定形
14
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？
a＞0
x
b
2
4ac＜
0
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？
x
变式：不管x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的值永远是正值的练条一件练是：什不么管？x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的值永远是非负数的条件是什么？

二次函数的图象与系数的关系

二次函数的图象与系数的关系二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与系数的关系如下：1、a 决定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。

2、a 决定抛物线的开口大小：a 越大，则开口越小；a 越小，则开口越大。

3、a 、b 的符号决定抛物线的对称轴：当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧。

4、c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标：当0=c 时，抛物线经过原点；当c ＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴；当c ＜0时，抛物线与y 轴交于负半轴。

5、ac b 42-决定图象与x 轴是否相交：当ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有两个交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴只有一个交点；当ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

应用上述关系，便能简洁明快地根据a 、b 、c 的符号判断抛物线的位置，或者根据抛物线的位置确定a 、b 、c 的符号。

例1（海淀区中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（） A 、a b c ><>000，， B 、a b c <<>000，， C 、a b c <><000，， D 、a b c <>>000，，析解：由抛物线开口向下可知a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，可知a 、b 异号，所以b ＞0，抛物线与y 轴交于正半轴可知c ＞0例2（天津市中考题）图2为二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限析解：由抛物线的开口向上可知a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，可知a 、b 同号，所以b ＞0，抛物线与y 轴交于负半轴可知c ＜0，所以bc ＜0，所以一次函数bc ax y +=不经过第二象限，故选B 。

二次函数y=ax2+bx+c的图象与其系数abc的符号的关系

二次函数y=ax2+bx+c的图象与其系数a、b、c的符号的关系教学设计教学目标知识与技能使学生理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c符号之间的关系；能根据二次函数y=ax2+bx+c的图象确定其系数a、b、c的符号。

过程与方法通过观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，使学生经历二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c符号之间的关系的探索过程，培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力。

情感、态度、价值观渗透数形结合和分类讨论的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

学情分析大部分学生不能熟练的根据二次函数y=ax2+bx+c的图象准确的判断其系数a、b、c的符号。

重点难点重点理解并掌握：①a的符号由抛物线的开口方向确定；②b的符号由对称轴的位置确定；③c 的符号由抛物线与y轴的交点位置确定。

难点①理解并掌握b的符号由对称轴的位置确定；②c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定。

教学过程二次函数y=ax2+bx+c中，a为二次项的系数、b为一次项的系数、c为常数项，且它们均为常数。

1.a的符号：①开口向上a>0 ②开口向下 a<0结论：a的符号由抛物线的开口方向决定。

2. b的符号：抛物线的对称轴为：直线x= －b/2a.①对称轴在y轴左侧 a、b同号；②对称轴在y轴右侧a、b异号；③对称轴是y轴 b=0。

结论：b的符号由对称轴的位置决定。

简记为：“左同右异”。

3.c的符号：抛物线与y轴的交点坐标:（0，c）①当抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上时 C＞0 ;②当抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上时 C＜0 ;③当抛物线与y轴的交点为原点时C=0。

结论：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定。

二次函数的图像与系数的关系(初三数学最全整理)

二次函数图象与系数的关系二次函数的图象与二次函数的系数a 、b 、c 有内在联系。

由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系(1)a 的符号由决定： ①开口向 ⇔ a 0；①开口向 ⇔ a 0.(2)b 的符号由决定：① 在y 轴的 ⇔b a 、；① 在y 轴的 ⇔b a 、；① 是 ⇔b 0.(3)c 的符号由决定：①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；①点（0，c ）在原点 ⇔c 0；①点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.知识点2 二次函数与一元二次方程的关系[归纳概括]如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02=++c bx ax 的一个根.[归纳概括]函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交点的个数(1)当042>-ac b 时，有交点；(2)当042=-ac b 时，有交点；(3)当042<-ac b 时，没有交点；二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，试确定代数式①a ；②b ；③c ；④b 2-4ac ；⑤2a+b ；⑥a+b+c ；⑦a-b+c ；⑧4a+2b+c 的符号.练习1：根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ；（5）2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽ ；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；练习2：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1．（1）试确定代数式的符号①abc ______0；②3a +c ______0；③（a +c ）2﹣b 2______0； ④b 2-4ac ______0 ⑤a +b +2c _____0（2）证明：a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．练习3.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，证明： a ﹣b ≤m （am +b ）（m 为实数）；例2二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，（1）试确定代数式的符号4a +b 0；（2）9a +c 3b ；（2）证明：8a +7b +2c ＞0；（3）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小（4）若方程a （x +1）（x ﹣5）＝﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，判断﹣1，5，x 1，x 2的大小变式1：利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程23ax bx c ++=-的根为__________；（3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式20ax bx c ++>的解集为；（5）不等式20ax bx c ++<的解集为；（6）若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为，变式2.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x ＝1．下列结论中：①方程ax 2+bx +c ＝3有两个不相等的实数根；②抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；③若点A （m ，n ）在该抛物线上，则am 2+bm +c ≤a +b +c ．其中正确的有变式3.（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴上方的条件是（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是例3.如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），（1）求代数式（a +c ）2﹣b 2的值（2）若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，求这四个根的和（3）求a 的取值范围（4）求b 的取值范围例4.在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax 与二次函数y ＝ax 2+a 的图象可能是（） A ．B ．C ．D ．三、课后作业1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，下列判断中，错误的是（）A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞2时，y随x的增大而减小C．当﹣1＜x＜1时，y＜0D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和32.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣3，0），顶点为P（﹣1，n）．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．b2＞4acC．4a+2b+c＞0D．2a+b＝04.在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．5.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示（1）.判断正误并说明理由：①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b（2）证明：（a+c）2＜b26.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1．其中正确的是7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①﹣2b+c＝0；；②4a+2b+c＜0；③若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；④b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．其中正确的是8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．其中正确的是9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，求证：无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）10.已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个。

二次函数图象的位置与系数之是的关系二次函数图像与系数的关系

二次函数图象的位置与系数之是的关系二次函数图像与系数的关系二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

这个函数的图像是一个抛物线。

二次函数的图像与系数之间存在着密切的关系。

具体地说，系数a、b和c的值可以影响二次函数的图像的位置、形状和方向。

下面将详细介绍二次函数图像与系数的关系。

一、关于a的值：1.当a>0时，二次函数的抛物线开口向上。

这意味着函数的值随着x的增加而增加，图像的顶点是最低点。

当a的绝对值越大时，抛物线的开口越宽，抛物线越平缓。

2.当a<0时，二次函数的抛物线开口向下。

这意味着函数的值在顶点处取得最大值，然后随着x的增加或减少而减小。

当a的绝对值越大时，抛物线的开口越窄，抛物线越陡峭。

二、关于b的值：1.当b>0时，二次函数的抛物线向右平移。

这意味着函数在x轴正方向上平移，距离顶点越远，平移量越大。

2.当b<0时，二次函数的抛物线向左平移。

这意味着函数在x轴负方向上平移，距离顶点越远，平移量越大。

三、关于c的值：1.当c>0时，二次函数的抛物线上移。

这意味着函数的值在y轴正方向上移动，距离为c的绝对值。

2.当c<0时，二次函数的抛物线下移。

这意味着函数的值在y轴负方向上移动，距离为c的绝对值。

综上所述，二次函数的图像与系数之间有以下关系：1.a的值决定了抛物线的开口方向和形状。

2.b的值决定了抛物线在x轴上的平移方向和距离。

3.c的值决定了抛物线在y轴上的平移方向和距离。

举例来说，考虑二次函数f(x)=x^2+2x-31.a=1，表示抛物线的开口向上，且形状较为平缓。

2.b=2，表示抛物线在x轴上向右平移2个单位。

3.c=-3，表示抛物线在y轴上向下平移3个单位。

根据这些系数的值，可以在坐标系上绘制出对应的抛物线图像。

通过改变系数的值，可以进一步观察抛物线图像的变化。

同时，通过分析抛物线的图像，也可以推断出系数的值。

(完整版)二次函数的图象与各项系数之间的关系知识点,推荐文档

总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决
定开口的大小． 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下，当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 2a 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．
二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
二次函数 y ax2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．
⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；
⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．
y ax2 bx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ；
y ax h2 k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax h2 k ；
2. 关于 y 轴对称 y ax2 bx c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ；
⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．
总之，只要 a ，， b c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数图象与各项系数的关系

顶点
二次函数图像的顶点代表了函数的最值点，它是函数的转折点。
对称轴
对称轴是通过顶点的直线。它将二次函数图像分为两个对称的部分。
二次函数的零点及其性质
零点
二次函数的零点是函数的根，即函数与 x 轴相交的点。
根的个数
二次函数可能有零个、一个或两个不同的根，这取决于判别式的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判别式
判别式 b^2 - 4ac 决定了二次函数的根的性质和图象与 x 轴的交点。
1
a 值对二次函数的图象的影响
a 值决定了二次函数的开口方向。正值使函数开口向上，负值使函数开口向下。
2
b 值对二次函数的图象的影响
b 值影响二次函数的位置。它确定了函数的对称轴位置。
3
c 值对二次函数的图象的影响
c 值决定了二次函数的纵向平移。正值使函数向上平移，负值使函数向下平移。
二次函数的顶点与对称轴
二次函数图象与各项系数的关系
在这个演讲中，我们将探讨二次函数图象与各项系数之间的关系。通过深入研究这个主题，我们将揭示出一些有趣且不太为人所知的内容。
二次函数的定义与一般式
通过一般式 y = ax^2 + bx + c，我们定义了二次函数。这个函数是一种二次方程，其中 a、b、c 是系数。
二次函数的图象与各项系数的关系

二次函数图象与系数的关系最全总结

二次函数图象与系数的关系最全总结二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一，它的图象是一条抛物线，其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。

所以，二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点，今天，小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。

1. a决定抛物线的开口方向及大小具体内容：•a>0，抛物线开口向上•a<0，抛物线开口向下•|a|越大，抛物线的开口越小•|a|越小，抛物线的开口越大我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变，只是位置发生改变，那么只要两个二次函数的a相同，那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数.图象：抛物线开口向上，a>0，抛物线开口向下，a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|.图象示例：2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置对称轴的位置具体内容：•b=0时，对称轴为y轴•b/a>0，对称轴在y轴左侧（即a、b同号，则对称轴在y轴左侧，简记为“左同”）•b/a<0，对称轴在y轴右侧（即a、b异号，则对称轴在y轴右侧，简记为“右异”）上述当b≠0时，a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”图象：对称轴在y轴，则b=0,对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”判断a、b同号，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断a、b异号.图象示例：3. c决定抛物线与y轴交点的位置具体内容：•c=0，抛物线过原点•c>0，抛物线与y轴交于正半轴•c<0，抛物线与y轴交于负半轴可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容图象示例：4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数具体内容：•b2-4ac=0时，与x轴有唯一交点（即顶点）•b2-4ac>0时，与x轴有两个交点（即开口向上时顶点在x轴下方，开口向下顶点在x轴上方）•b2-4ac<0时，与x轴没有交点（即开口向上时顶点在x轴上方，开口向下顶点在x轴下方）图象示例：5. 特例•当x=1时，y=a+b+c•当x=-1时，y=a-b+c•当x=2时，y=4a+2b+c•当x=-2时，y=4a-2b+c•若a+b+c<0，即当x=1时，y<0•若a-b+c>0，即当x=-1时，y>0•当对称轴为直线x=1时，则2a+b=0•当对称轴为直线x=-1时，则2a-b=0从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息，做此类问题一定要注意数形结合.例题讲解例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号，则b>0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，所以<0，则点M（b，）符合第四想象点的坐标特征（+，-），故选D.例2若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A.a＞0B.a＞- 4/9C.a＞9/4D.a＜9/4且a≠0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，即32-4a×1>0，解得a＜9/4，根据二次函数定义可知a≠0.故选D.▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a 中正确个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】•a+b+c是当x=1时y的值，根据图象可知当x=1时，图象上对应的点在x轴下方，则y=a+b+c<0，故①正确；•a-b+c是当x=-1时y的值，根据图象可知当x=-1时，图象上对应的点在x 轴上方，则y=a-b+c>0，故②正确；•根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴左侧，可得a、b同号，故b<0，根据图象与y轴交于正半轴可得c>0，所以abc>0，故③正确；•由图象得抛物线的对称轴为直线•x=-b/2a=-1，则b=2a，故④正确；故本题选A.。

二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数a、b、c的关系

抛对物称线轴与在xy轴左有侧两个交点 a, b同号b2-4ac>0
抛对物称线轴与是x轴y轴有1个交点
b=0 b2-4ac=0
对抛称物轴线在与yx轴右无侧交点
a, b异号 b2-4ac<0
例题学习
已知，y=ax2+bx+c的图象如下，试判断a,b,c,b2-4ac的符号。
解： ∵开口向上
∴a>0
抛物线与y轴交于负半轴
∴c<0
y
．·
-1
1x
∵ 对称轴在y轴右侧，
∴ ab>0,而a>0
∴b<0 由图象可知抛物线与x轴有两个交点
∴b2-4ac>0
1.根据图象判断a、b、c及b2－4ac的符号
a_＞___0 b__＜__0 c__＜___0 b2－4ac__＞___0
a__＜__0 b_＝___0
抛物线开口向下
a>0 a<0
2. b的符号
由于二次函数的对称轴是x= －b/2a;a、b共
同决定对称轴的位置.
交点在y轴左侧
ab＞0 交点在y轴右侧
ab＜0
a、b 同号
a、b 异号
左同右异
3.c的符号
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c)
交点在y轴正半轴
C＞0 交点在y轴负半轴
抛物线过原点
抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的位置决定。它们具有等价的关系。
（1(）3 )ac的的符符号号由由抛抛物线的与开y轴口的确交定点。确定。
交点在开y口轴向正上半轴上
a>0 c>0
交开点口是向原下点交点在y轴负半轴上

二次函数图像与系数的联系_二次函数图像与系数的关系

二次函数图像与系数的联系_二次函数图像与系数的关系二次函数是一个具有以下形式的多项式函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是系数。

二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置取决于这些系数。

1.系数a的影响：系数a决定了抛物线的开合方向。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

a的绝对值越大，抛物线越窄。

2.系数b的影响：系数b对抛物线的对称轴产生影响。

对称轴是与抛物线对称的直线，其方程为x=-b/2a。

如果b大于0，则对称轴向左移；如果b小于0，则对称轴向右移。

3.系数c的影响：系数c决定了抛物线与y轴的交点，即抛物线的y截距。

当c大于0时，抛物线上升；当c小于0时，抛物线下降。

4.零点和顶点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。

使用配方法可以求得零点的公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

这些零点是抛物线与x轴的交点。

二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的横坐标为-x轴的中点，即x=-b/2a。

顶点的纵坐标为f(-b/2a)。

5.平移和拉伸：对二次函数进行平移时，只需要调整常数项c和x轴的平移量。

当c 增加时，抛物线上升；当c减小时，抛物线下降。

将抛物线沿x轴平移h 个单位，则将所有x的值都减去h。

二次函数的图像可以通过拉伸来改变。

将a乘以常数k大于1，则抛物线的开口变窄，变为k倍；将a乘以常数k小于1，则抛物线的开口变宽，变为1/k倍。

6.对称性：二次函数具有对称性，即抛物线关于其顶点对称。

如果(x,y)是抛物线上的一个点，那么(-x,y)也是抛物线上的一个点。

二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数符号a,b,c的关系

x 例1图二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与系数符号a,b,c 的关系姓名__________ 班级___________ 一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；开口向下,则a ＜0．（2）b 和a 共同决定对称轴的位置.(由对称轴公式x=判断符号．)a,b 同号时,对称轴在y 轴左侧;a,b 异号时,对称轴在y 轴右侧;简称左同右异（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；交点在y 轴负半轴, 则c ＜0．交点在原点, c=0.（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二．例题例1: (黄冈市)已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）(A)abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0(C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜0练习：1、（甘肃兰州）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2: c bx ++的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1,0)(3,0),对0=；②0abc <；③240a b c -+<；④80a c +>；其中正确的结论有（）．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个练:(2013烟台)11．（3分）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A 、①②B ②③C 、①②④D 、②③④例3:（德阳市2013年）已知二次函数y=ax2＋bx＋c ( 0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0; ②b＜a＋c; ③4a＋2b+c>0④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿＿课后作业1.（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b①③④（填上正确结论的序号）．3.abc ＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④4.（2010•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜09.已知：如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=-1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB=OC ，则下列结论正确的个数是（）①b=2a ②a-b+c ＞-1 ③0＜b 2-4ac ＜4 ④ac+1=b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（-1，2），且与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1，0＜x 2＜1，下列结论：①abc ＞0；②4a-2b+c ＜0；③2a-b ＞0；④b 2+8a ＞4ac ，正确的结论是①②④ （2006•武汉）已知抛物线y=ax +bx+c （a ＞0）的对称轴为直线x=-1x 轴的一个交点0），且，下列结论：①9a-3b+c ＞0；②b ＜a ；③3a+c ．其中正确结论的．2 D ．3B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 9题图11题图。

39.二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与各项系数之间的关系

4. Δ>0⇔与x轴有两个交点； Δ=0⇔与x轴有一个交点，即顶点在x轴上； Δ<0⇔与x轴没有交点；
5.当x＝1时，y的值为a＋b＋c；当x＝－1时，y的值为a－b＋c．
6.当对称轴x＝1时，x＝ b ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；
2a
当对称轴x＝－1时，x＝
b 2a
＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．
因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝
b 2a
与1的大小，若对称轴
在直线x＝1的左边，则-
b 2a
< 1 ，再根据a的符号即可得出结果；
判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与－1的大小.
典例解析

确定二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c及相关代数式的值或符号
例.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；
知识梳理
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c的关系
1.a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下；
2.a、b同号对称轴在y轴的左侧（左同）； a、b异号对称轴在y轴的右侧（右异）；
b＝0对称轴为y轴； 3.c>0⇔与y轴正半轴相交；
c＝0⇔经过原点； c<0⇔与y轴负半轴相交；
总结归纳
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c的关系
考点
确定二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c及相关代数式的值或符号
再见
②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D)
A．1
B．2

7.二次函数y=ax2+bx+c的系数与图象的关系

o
x
快速回答：快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定、b、c、△的如图所示，抛物线如图所示试确定a、、、符号：符号： y
o
x
练一练：练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点已知：二次函数的图象如图所示，已知的图象如图所示 b M（（，a）在（ D ）） c A、第一象限、 y B、第二象限、 C、第三象限、 D、第四象限、 o x
y = 3 x + 4 x + 1 y = −2 x + x + 3
2
2
2
抛 2. 物线y = 2x + bx + c的顶点坐标为(- 1,2),则b = ______，c = ______ . ______，
例2：指出抛物线: y = −x + 5x − 4 指出抛物线: 的开口方向，求出它的对称轴、的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐轴的交点坐标、标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐轴的交点坐标轴的交点坐并画出草图。标。并画出草图。
3、把抛物线、向
2 2 +2 y=2(x-3) -4 y=-2(x+1)
平移
个单位，个单位， y=2x
2 2 2 可得到抛物线y=2(x+1) -1 y=-2x
说出下列函数的开口方向、说出下列函数的开口方向、对称顶点坐标：轴、顶点坐标： 1 5 2 3 (1) y = ( x + ) + 3 3 3
x=- b 2a b 2a 4ac-b2 ： 4a b 2a 4ac-b2 ： 4a

初中数学二次函数的图像与x轴的交点与系数的关系如何确定

初中数学二次函数的图像与x轴的交点与系数的关系如何确定
二次函数的图像与x轴的交点可以通过系数来确定。

在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c 中，我们可以使用求根公式或配方法来求解二次方程ax^2 + bx + c = 0的解，这些解就是二次函数与x轴交点的横坐标。

1. 求根公式：
对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解它的解。

求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

根据求根公式，我们可以求得二次方程的两个解x1和x2。

这两个解就是二次函数与x轴交点的横坐标。

2. 配方法：
如果二次方程不容易使用求根公式求解，我们可以尝试使用配方法来将二次方程化简为完全平方的形式。

通过配方法，我们可以将二次方程转化为一个平方的差或和的形式，从而更容易求解。

通过配方法，我们可以将二次方程ax^2 + bx + c = 0变为a(x + p)^2 + q = 0的形式，其中p和q是常数。

然后，我们可以通过移项、开方等操作求解得到x的值，这些值就是二次函数与x轴交点的横坐标。

总结起来，二次函数的系数a、b和c决定了二次函数与x轴交点的横坐标。

具体来说：
-系数a的值决定了二次函数图像的开口方向。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

-系数b的值影响了二次函数图像的水平平移和与x轴交点的横坐标。

-系数c的值影响了二次函数图像与y轴的交点（常数项）。

希望以上解释对你理解二次函数图像与x轴的交点与系数的关系有所帮助。