三阶幻方内涵再认识 - 香港数学教育学会 - 新闻区

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三阶幻方教师版

读书破万卷下笔如有神
生[：学生欣赏洛书，并完成点数计数。

] 读书破万卷下笔如有神
读书破万卷下笔如有神
下笔如有神读书破万卷
[]:师教师进行课件演示。

：借助洛书、杨辉幻方等史料，让学生感[生] 十二、介绍大数学家杨辉------激增强民族自豪感，受祖国文化的博大精深，人，中国古代)今杭州(杨辉，字谦光，钱塘发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和大数学家。

由现存文献推知，杨辉担任过;决心．
读书破万卷下笔如有神
的均衡对称美。

十四、读一读
它是世界史称为三阶幻方，“神农幻方”，：学生阅读幻方的历史发展。

生[]上发现的第一个幻方，体现了高度的均衡
读书破万卷下笔如有神。

妙趣横生的三阶幻方

妙趣横生的三阶幻方肖乐农（湖南新化县教师进修学校 417600）相传在4000多年前的夏禹治水的时候，黄河支流洛水（既现在陕西境内的洛河）里浮出一只大乌龟，龟背上刻有一个奇特的图（如图1），后来的人把它叫做“洛书”。

图1 图2现在大家已经知道，这实际上是一个三阶幻方（如图2）。

它的一个被人们津津乐道的有趣性质是：九宫格中的横、竖、对角线上三个数的和都等于15。

然而，这个古老问题的内涵远远不只于此，下面让我们作一点稍为深入的探索吧。

一、制作关于三阶幻方，我国古代有“四二为肩，八六为足，左三右七，戴九履一，五居中央”的记载。

然而，这只是记录了三阶幻方中的数字和排列方法。

它们是怎样得出来的呢？却无史籍可考。

十七世纪，法国数学家巴谢发明了一种三阶幻方的简捷制作方法：首先作一个如图3的图形，再把1到9的数字按斜线方向排出，最后把四方突出的一格中的数，转放到所在的行或列的与它不相邻空格中，就得到了一个三阶幻方（如图4）。

这个幻方与图2所示的幻方是一致的。

图3 图4这种制作方法，读者只要仔细想一想，其道理是不言自明的。

并且，这种制作法可以推广到奇数阶幻方。

二、探奇有人说，三阶幻方是一个“神来之图”。

确是如此！它之神，之奇，远远不只是“横、竖、对角线上三个数的和都等于15”，还有更加神奇的呢！1、被中心数“5”隔开的横、竖、对角的两个数拼合成四个二位数，这四个数的和，正好等于各数数位颠倒后所成的四个数的和。

我们把这样的等式叫做“回文等式”（以下均以图2为例）：91+37+28+64=46+82+73+19（=220）；把这个等式中各加数都平方，等式仍然成立：912+372+282+642=462+822+732+192（=14530）。

2、以“5”为中心的四个三位数构成回文等式：951+357+258+654=456+852+753+159（=2220）；把这个等式中各加数都平方，等式仍然成立：9512+3572+2582+6542=4562+8522+7532+1592（=1526130）。

例谈三阶积幻方

例谈三阶积幻方王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)这是北师大版初中数学教材七年级上册第198页第25题，是一个如何制作三阶积幻方的问题。

什么是三阶积幻方？把9个数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的积都相等，这样的方阵就叫做三阶积幻方。

相等的积叫做幻积。

一、有0的三阶积幻方如果所给9个数中有0，那么这个三阶积幻方的幻积就是0，这样所给9个数中至少有 3个数是0，把其中的3个0放到对角线位置上，其余6个数随意填。

这时的三阶积幻方不唯一。

例1 用－2,0,0,0,3,7,13,23,100这9个数制作一个三阶积幻方。

解：由于所给9个数中有0，制作的三阶积幻方不唯一。

这里仅写出2个三阶积幻方。

（表1）（表2）二、无0的三阶积幻方 1. 所给9个数都是正数。

设1234567890a a a a a a a a a <≤≤≤≤≤≤≤≤，用(1~9)i a i =如何制作一个三阶积幻方呢？例2 用1,2,3,4,6,9,12,18,36制作一个三阶积幻方。

解法1: 第一步，求幻积。

幻积=所给9=36=216。

第二步，分解幻积。

把幻积分解为所给9个数中某3个数之积，得到8个等式。

216 = 36×1×6 = 36×2×3 = 18×1×12 = 18×2×6 = 18×3×4= 12×2×9 = 12×3×6 = 9×4×6第三步，统计。

统计以上8个等式中每一个数出现的次数。

第四步，填幻方。

首先确定最中间数(统计中出现4次的数)，其次确定四角数(统计中出现3次的数)，最后填出三阶积幻方。

（表4，确定四角数）（表5，三阶积幻方）解法2：根据笔者文[1]论证得到制作三阶积幻方的方法制作。

三阶积幻有妙术，一行中间最小数1a ，二行中央中位数5a ，三行最右二小数2a ，幻积中位立方数(幻积是中位数的立方)，由此推出空格数。

趣谈三阶幻方

趣谈三阶幻方王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)一、什么是三阶幻方把9个自然数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的和都相等,这样的方阵就叫做三阶幻方。

相等的和叫做幻和。

传说古代夏禹治水时，洛水出了个神龟，背上刻有文字，大禹就照此写出了《洪范. 九筹》(治国的九种大法)。

实际上，神龟背上刻的文字，就是三阶幻方，也叫九宫图。

我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”,有诗赞美九宫: 四海三山八洞仙，九龙五子一枝莲。

二七六郎赏月半，周围十五月团圆。

根据数学史家考证，这个三阶幻方最早见于公元前500年左右春秋时期的《大戴礼记》中。

汉朝徐岳把它叫做“九宫算”，后人的注解是：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中。

”宋代数学家杨辉把九宫算叫做“纵横图”。

公元15世纪，住在拜占庭君士坦丁堡的摩索普拉斯把我国的“纵横图”介绍到欧洲，并取名为“幻方”。

古印度有许多少女在胸前佩戴一个三阶幻方，当做“护身符”，认为这样可以“避邪”。

也有人把它贴在门板上，“驱邪避灾”(中世纪的欧洲也有这种习惯)。

金庸大侠还把三阶幻方写进他的的小说《射雕英雄传》中：一天, 黄蓉被裘千仞的铁掌所伤，几乎致命。

郭靖带着她去找“神算子”瑛姑求医。

两人在一片泥沼中七弯八拐，闯过重重机关终于来到了神算子的门前。

只见屋里一白发女子正凝神细算一道题，黄蓉暗点算子数目，报出了得数。

那女子惊诧之余，拿出自己深思多日的一些题目，黄蓉均一一破解。

那女子呆了半晌问道：“你是人吗？”接着白发女子又甩出一招：“将一至九这九个数字排成三行三列，不论纵横斜角，每三数相加都是十五，如何排法？”病黄蓉低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。

闻听此言，那女子面如死灰。

正是在这段有名的“九宫阵”里，金庸先生将黄蓉的聪敏机智刻画得淋漓尽致。

二、数学教材中的三阶幻方人教版和北师大版小学数学教材及人教版初中数学教材有三阶幻方的内容，这是对数学文化的传承与发扬。

浅析三阶魔方中的数学因素

浅析三阶魔方中的数学因素三阶魔方，是一种广受欢迎的智力玩具，它以其独特的魅力吸引了全球的玩家。

然而，在这个看似简单的玩具背后，却隐藏着许多深奥的数学原理。

本文将尝试解析三阶魔方中的数学因素，以帮助我们更好地理解这个有趣的玩具。

三阶魔方本身就是一种空间几何的体现。

在还原过程中，玩家需要理解并运用空间几何的概念，如角度、旋转、对称等。

通过对魔方的还原，玩家可以在实践中学习和理解空间几何的知识。

群论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有某种结构的集合和在这些集合上定义的运算。

在魔方还原过程中，我们实际上是在运用群论的知识。

魔方的状态空间可以被视为一个群，而每次转动则可以看作是这个群上的一个运算。

通过这种运算，我们可以将魔方从一种状态转化为另一种状态，直到达到目标状态。

在还原三阶魔方的过程中，我们还需要运用算法优化的思想。

算法优化可以帮助我们找到最有效的方法来解决问题，这在魔方还原中同样适用。

我们需要找到最优的步骤序列，以尽可能少地转动魔方，使其从混乱状态恢复到目标状态。

在这个过程中，我们需要不断尝试和优化，以找到最佳的解决方案。

在高级的魔方比赛中，玩家需要通过观察和分析魔方的状态来判断下一步的行动。

这其中就涉及到了概率统计的知识。

比如，玩家需要根据观察到的状态来估算每个可能的动作的成功率，然后选择成功率最高的动作。

通过这种方式，玩家可以在比赛中占据优势。

三阶魔方中确实包含了许多数学因素。

通过学习和理解这些数学原理，我们可以更好地理解和掌握三阶魔方的还原技巧。

这也让我们看到了数学在解决实际问题中的重要性和应用价值。

初中“魔方与数学”选修课程的设置与实施研究随着教育的不断发展，越来越多的教育工作者开始学生的综合素质和创新能力的培养。

在这个背景下，初中阶段的选修课程逐渐受到重视。

本研究旨在探讨初中“魔方与数学”选修课程的设置与实施，以期为提高学生的综合素质和创新能力提供新的思路和方法。

魔方作为一种益智玩具，早已风靡全球。

三阶幻方的公式的推导过程

三阶幻方的公式的推导过程嘿，说起三阶幻方，那可是个挺有趣的数学玩意儿。

咱先瞅瞅啥是三阶幻方。

简单说，就是一个 3×3 的方格，里面填上数字，让每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。

那这神奇的相等的和是咋来的呢？咱们来一步步推导推导。

假设这个三阶幻方里的数字分别是a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33 。

因为每行的和都相等，咱就设这个相等的和是 S 。

所以就有：a11 + a12 + a13 = S （1）a21 + a22 + a23 = S （2）a31 + a32 + a33 = S （3）同样，每列的和也相等，那就是：a11 + a21 + a31 = S （4）a12 + a22 + a32 = S （5）a13 + a23 + a33 = S （6）还有两条对角线：a11 + a22 + a33 = S （7）a13 + a22 + a31 = S （8）把这 8 个式子加起来，就是：3(a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 + a31 + a32 + a33) = 8S可一个三阶幻方里所有数字的和是：a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 + a31 + a32 + a33 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45所以 3×45 = 8S ，那 S 就等于 15 。

知道了和是 15 ，咱们再看看中间那个数。

就说我有一次教学生三阶幻方的时候，有个特别机灵的小家伙就问我：“老师，这中间的数是不是有啥特别的呀？”嘿，还真被他问着了！咱们把前面那 8 个式子两两相减，就能发现中间那个数 a22 出现的次数特别多。

比如说（1） - （4），就能得到 a12 - a21 + a13 - a31 = 0 ，也就是 a12 + a13 = a21 + a31 。

三年级上册数学教案-8.1 三阶幻方｜冀教版

三年级上册数学教案-8.1 三阶幻方一、教学目标1.认识三阶幻方的概念和特点。

2.学会解决三阶幻方问题。

3.培养学生的逻辑思维能力，增强学生的数学兴趣。

二、教学重点和难点1.教学重点：让学生掌握三阶幻方的特点和解决问题的方法。

2.教学难点：引导学生在找规律中探究解题方法。

三、教学方法1.归纳法2.分组讨论法3.合作学习法四、教学过程1. 导入新知识教师打开PPT，通过简单的幻灯片介绍幻方的概念和分类，引发学生对于幻方的兴趣。

2. 学习三阶幻方的构成1.教师通过数学板书，引导学生借助数表的方式，探究三阶幻方的构成方法。

2.让学生观察如下幻方：8 1 63 5 74 9 2通过分析幻方中每个数的位置规律，引导学生探究三阶幻方构成法则。

3. 求解三阶幻方问题1.安排合作尝试，讨论如何解决三阶幻方问题。

2.引导学生找出三阶幻方的基本特征，如每行、每列和对角线上的数字和相等，可以使用暴力方法解决问题。

3.引导学生思考和总结三阶幻方问题的解决方法和技巧。

4. 拓展练习针对学生水平和课堂表现情况，设置以下拓展练习：1.求解其他形式、更复杂的幻方。

2.求解四阶幻方问题。

五、教学小结1.通过本堂课，学生了解和掌握了三阶幻方的特点和构成方法。

2.通过小组合作学习和分享讨论，学生获取了解决问题的经验和技巧。

3.考虑到不同学生的差异性，因此可以在课后针对性做出评价和指导。

六、教学反思本次课使用了多种教学方法，通过幻灯片导入，PPT演示和实践体验结合的方式，共同推动着本堂课的推进。

学生在听讲的同时通过数学板书和分组讨论得到了充分的体验，收获也非常丰富。

在教学过程中，我发现有些学生对幻方的理解还存在一定程度的误解，这在学生们分组讨论时也被暴露出来了。

本人也找到了一些教学上的薄弱点，对于其中需要强化的环节我会进一步加强实践来提升我的教学技能。

总的来说，这节课的表现非常充分，帮助学生更好地掌握三阶幻方内容，提升学生的数学学习兴趣。

有趣的数学游戏-三阶幻方

?
19 13
2倍角格=不相邻的两个边格之和？=（13+19）÷2=16
三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13）幻和=一条直线上的三个数字之和所有数字之和=3×幻和所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和则：？=（13+19）÷2
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三阶幻方
风
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编
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第一课基础部分
幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。
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原先每条边的和为：30+10+10=50 新的填法每条边的和为：50+15=65 总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置则有：30+10+30=70 70-65=5 所以，四个10各减5，合计正好减了20.
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用数学文化滋养理性精神——《走进幻方》教学

文|戚洪祥———《走进幻方》教学与常规知识相比，数学文化因其特有的趣味性、故事性而被学生所喜爱。

为了落实《数学课程标准（2011年版）》提出的“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中”这一要求，现行的各版本教材通过原题植入、方法融入、史料嵌入等方式，从多个角度将数学文化引入数学教育教学活动。

由“河图”“洛书”演变而来的“三阶幻方”因其神秘的“幻和”，常常在中低年级教学整数加法时出现，用以激发学生的学习兴趣。

恰巧2020年盐城市中考将“三阶幻方”编入考题，以此为生活背景，设计了一节五年级数学文化活动课。

【教学过程】一、挑战考题，激发学生学习兴趣师：同学们知道中考吗？中考虽然离咱们小学生很遥远，但中考数学卷上却有我们小学生会做的题。

这是一道2020年盐城市中考题，请你试试看。

PPT出示题目：把1~9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”。

它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”。

图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则涂阴影的小方格内应该填（）。

图1图2A.1B.3C.6D.无法确定生：我选A。

我是根据图1，看到涂阴影的小方格对应的是1个圆圈，所以我认为它应该填1。

（教师借助PPT将两个图重叠在一起，出示图3。

师生一起读图，2对应着2个点……而阴影部分对应着1个点，所以应该填1）图3生：我也选A，但我的方法与他不同。

我是根据“任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等”这个信息来算的，根据斜线上的8、5、2可以算出和是15，最右边一列已经有了2和7，所以右下角那一格为6。

这时最下面一行有了8和6，那么中间一个数就应该是1。

师：感谢这两位同学，一道中考题，我们五年级的同学却能用两种不同的方法解决，真是非常厉害，老师为你们点赞。

你能继续将这个九宫格填完吗？（学生独立思考后回答，教师呈现完整的“九宫格”）师：这个九宫格图其实我们并不陌生。

神奇的幻方230

探索
（3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的哪些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有没有 “成对”的数？这是一般规律吗？
典故
研究
尝试探索
4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 3 4 1 5 9
6 7 2
6 1 8 7 5 3 2 9 4
2 7 6 9 5 1 4 3 8
典故
研究
尝试探索
法国数学家梅齐利亚克创造了一种构造奇数阶幻方的方法-----阶梯法
3 2 1 4 7 5 8 6 9 1 4 2
3 6 5 8 7 9
典故
研究
尝试探索
（1）你能发现哪些相等的关典故系？横行、竖行、斜对角的三个数之和分别是多少？研究（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段会构尝试成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？
三阶幻方，具有一个十分“漂亮” 据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现的性质：每一横行、每一竖列和对角线出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古上的三个数的和都相等.不信，我们来人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻验证一下 . 底制服 .后人称之为 "洛书"，即现在的三阶幻方.
一般地，一个n行n列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为 n阶幻方.
4 3 8 9 5 1 2 7 6
2 9 4 7 5 3 6 1 8
6 7 2 1 5 9 8 3 4
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试将2、3、4、5、6、7、这9个数可以由原来9个 8、9、10填入到3×3的方格研究数怎么变过来？中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。尝试 5 10 3 4 6 8 9 2 7

三阶幻方2

三阶幻方在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。

如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例1 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。

同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。

如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。

1.3小学必学奥数幻方综合

1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

幻方调研报告

幻方调研报告幻方调研报告一、引言幻方是一种古老的数学游戏，被广泛认为是中国古代数学文化的瑰宝之一。

它不仅令人着迷，还有助于培养逻辑思维和数学能力。

本调研报告旨在深入了解幻方的起源、特点以及应用领域，并通过调查数据分析说明幻方在现代社会中的重要性。

二、幻方的起源与特点1. 起源：幻方最早可以追溯到中国古代的数学经典文献《周髀算经》，其中就提到了3阶幻方。

2. 定义：幻方是指将一系列不同的整数放在一个方阵内，使得每一行、每一列和每一条对角线上的数之和都相等。

3. 特点：a. 幻方的阶数：幻方的阶数指的是方阵的边长，如3阶幻方是3×3的方阵。

b. 数组分布规律：幻方中的数按照一定的规律放置，其中最为典型的是奇数阶幻方的构造方法。

c. 对称性：幻方具有对称性，即将幻方对角线翻转后仍然是幻方。

d. 唯一性：除去对称性相同的幻方，任意幻方都是唯一的。

三、幻方的应用领域1. 数学教育：幻方作为一种有趣的数学游戏，被广泛运用于数学教育中。

通过解幻方问题，学生可以培养逻辑思维和解决问题的能力。

2. 加密通信：幻方被应用于加密通信中，作为一种密码算法。

通过选择特定的幻方矩阵以及密钥，可以实现对信息的加密和解密。

3. 物理学：幻方被应用于量子力学中的魔幻四方数问题。

研究人员发现，在魔幻四方数问题中的解可用于描述粒子的量子态。

四、调查数据分析通过对100名受访者的调查，我们得到以下结果：1. 80%的受访者知道什么是幻方，并且其中有50%能够正确解答3阶幻方问题。

2. 90%的受访者认为幻方对于培养逻辑思维和数学能力很有帮助。

3. 70%的受访者听说过幻方被应用于加密通信之中，但只有30%的受访者知道如何使用幻方进行加密通信。

4. 50%的受访者对幻方在物理学中的应用领域不了解。

五、结论与建议1. 幻方作为中国古代数学的重要成就之一，具有较高的知名度。

2. 幻方在数学教育中的应用价值广泛，可以进一步强化在学校教育中的地位，鼓励学生参与幻方解题。

数学三阶、四阶幻方问题解法

例：补全幻方，使每行、列对角线的和相等。

（）10（）（）（）124 8 （）（）11（）（）（）7 （）18（）以中心对称的两个数的和为中心数的两倍（因为幻和=中心数×3）为条件。

所以：（1）【】【10】【】【4】【8】【12】【】【6】【7】然后：可知幻和=24，把剩下的数字再补充完就可以。

【9】【10】【5】【4】【8】【12】【11】【6】【7】（2）同理先把能推理出来的数字算出来。

【】【4】【13】【】【11】【】【9】【18】【】幻和=33【17】【4】【12】【6】【11】【16】【10】【18】【5】以中心对称的两个数的和为中心数的两倍（因为幻和=中心数×3）为条件。

例：用9以内的数补全三阶幻方，使每行、列对角线的和相等。

三阶幻方对角线和是15，即1+5+9。

每行三个数字的和都必须是1-9平均数的三倍，即5*3例：用16以内的数补全四阶幻方，使每行、列对角线的和相等。

解法1：以十六字依次作四行排列,先以四角对换,一换十六,四换十三,后以内四角对换,六换十一,七换十,这般横直上下斜角相加,皆是三十四.简单的说，四阶幻方的和是1+2+15+16四阶幻方所用数字为1-16每行四个数字的和必须是1-16平均数的四倍解法2(对称交换法)1.求幻和(1 2 …… 16)÷4＝342.⑴将1～16按自然顺序排成四行四列;⑵因为每条对角线上四个数之和恰为幻和,保持不动.⑶将一四行交换、二三行交换，但是对角线上八个数不动。

⑷将一四列交换、二三列交换，但是对角线上八个数不动。

（1）1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16（2）1 14 15 49 6 7 125 10 11 813 2 3 16（3）1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16解法3.(田格图阵法)1.将1～16平均分为4组,每组4个数的和均为幻和34.(多种分法)如:1 12 7 14=2 11 8 13=3 10 5 16=4 9 6 15=34.2.分别填入4个田字格,两行之和分别为13与21.3.将4个田格合并,再适当转动各田格,得到满足要求的幻方.解法4：（推理法）常用，虽然速度不是很快。

数学活动课知识教案[1]

数学活动课知识—三阶幻方一、教学目标：1.知道三阶幻方正中的数与四角的数之间的关系；2. 知道三阶幻方正中的数与幻和之间的关系；3.利用三阶幻方的结构特点，会填幻方。

二、重点：幻方正中数的特点（与其他数的关系）三、难点：利用解方程的方法，已知幻方中的两个数求某个未知数。

四、教学过程（一）找规律1.把1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填在下图正方形的九个空中，使每个横行、竖行、对角的三个数相加的和都得15。

2.像这种有三行三列组成的而且和相等的图形叫做三阶幻方，这里的每个横行、竖行、对角的三个数相加的和叫做幻和。

3.出示不同学生的不同填法，进行比较,找出共同点。

（1）学生小组讨论（2）指名小组汇报（3）小结：①正中间的数是这九个数中的中位数；②左上角的数比正中间的数多几右下角的数就比正中间的数少几；③正中间的数是对角连个数相加和的一半。

（二）猜想在学习数学的时候，先通过合理的猜想，然后加以验证，是常用的数学思维方法。

这里的1、2、3……可以说是数，如果说是表示顺序的数，即第一、第二……，也就是四个角落里的数分别是第二、第四、第六、第八哥数，那么用其他的数来填三阶幻方也可以很简单。

（三）验证1.把6、11、16、21、26、31、36、41、47分别填在三阶幻方中。

2.把6、7、8、12、13、14、18、19、20分别填在三阶幻方中。

你是按什么填的？每个横行、竖行、对角的三个数相加的和相等吗？幻和分别是多少？小结：上面的猜想是正确的。

3.追问：求正中间的数可以怎样算？有几种方法？（1）幻方÷3（2）相对两个数相加÷2（四）应用说说先填哪个空，再动手做。

练习1.巩固题（填幻方）（1）把6、7、8、12、13、14、18、19、20填入幻方中。

（2）把12、13、14、16、23、34、112、512、712填入幻方中。

（2）把幻方填完整2.提高题（求幻方中x的值）。