数值分析实验题( 华科)汇总

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数值分析课程实验设计——数值线性代数实习题

数值分析课程实验设计——数值线性代数
实习题
1. 实验目的
本实验的主要目的是进一步加深对数值线性代数的理解，熟悉
常见矩阵分解方法，并在此基础上解决实际问题。

2. 实验内容
本次实验将任务分为两个部分，分别是矩阵分解与求解线性方
程组。

2.1 矩阵分解
首先，我们需要熟悉三种常见的矩阵分解：QR分解、LU分解
和奇异值分解。

我们需要通过Python语言实现这三种分解方法，
并利用这些方法解决实际问题。

2.2 求解线性方程组
其次，我们需要学会用矩阵分解的方法来求解线性方程组。

我
们将通过两个例子来进行说明，并利用Python语言实现这些方法。

3. 实验要求
本次实验要求熟悉矩阵分解的基本方法，在此基础上解决实际问题；能够运用多种方法来求解线性方程组，并分析比较它们的优缺点。

4. 实验总结
本次实验通过矩阵分解和求解线性方程组两个部分的学习，巩固了我们对于数值线性代数的知识，并在实际问题的解决中得到了应用。

感谢老师的指导，我们会在今后的学习中持续探索数值分析方面的知识。

数值分析习题集及答案[1]-推荐下载

5. 计算球体积要使相对误差限为 1％,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少?
6. 设Y0 28, 按递推公式
Yn
Yn1
1 100
计算到 Y100 .若取 783 ≈27.982(五位有效数字),试问计算 Y100 将有多大误差?
7. 求方程 x2 56x 1 0 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 783 ≈27.982).
数值分析习题集（适合课程《数值方法 A》和《数值方法 B》）
长沙理工大学
1. 设 x>0,x 的相对误差为 δ,求 ln x 的误差.
2. 设 x 的相对误差为 2％,求 xn 的相对误差.
第一章绪论
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出
它们是几位有效数字:
max
x0 x x3
0,1,, n);
l2 (x)
8. 在 4 x 4 上给出 f (x) ex 的等距节点函数表,若用二次插值求 ex 的近似值,要使截
断误差不超过106 ,问使用函数表的步长 h 应取多少?
9. 若 yn 2n ,求 4 yn 及 4 yn .
10. 如果 f (x) 是 m 次多项式,记 f (x) f (x h) f (x) ,证明 f (x) 的 k 阶差分
5.
设 xk

x0

kh
,k=0,1,2,3,求
6. 设 x j 为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
7.
i) j0
n
x
k j
l
j
(x)

xk
(k
n
(x j x)k l j (x) k 1, 2,, n).

(完整版)华南理工大学数值分析试题-14年下-B

华南理工大学研究生课程考试《数值分析》试卷B(2015 年1 月9 日)师教课任注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请按要求填写在本试卷上；3.课程代码：S0003004;4.考试形式：闭卷；5.考生类别：硕士研究生；6.本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

线一•单项选择题(每小题2分,共10分)51 •设有某数X，则x的具有四位有效数字且绝对误差限是0. 5 10的近似值应是( )°业专院学号学名姓)题答不内线封密{(A) 0.693 (B) 0.6930(C)0.0693(D) 0.069302.选择数值稳定的算法是为了((A)简化计算步骤(C)节省存储空间)。

(B)(D)控制舍入误差的积累减小截断误差nb3.如果对不超过m次的多项式，求积公式& f(x)dx式具有( )次代数精度。

A k f (x k)精确成立,k 0(A) 至少m(B) m(C) 不足m(D)多于m4.为使两点数值求积公式11 f(x)dxf (x°)f(xj具有最高次代数精度，则求积节点应为( )°(A) X°,X1 任意(B) X。

1,X11亦(C) X。

*333(D)1X g ,X1212密5.在下列求解常微分方程初值问题的数值方法中，(A) Euler 公式(B)(C) 3 阶Runge—Kutta 公式(D)则该求积公( )的局部截断误差为O (h 3 )°梯形公式4 阶Runge—Kutta 公式二. 填空题(每小题3分，共15分)1.为了减少有效数字位数的损失，数值计算时应将 10 311改写为2•设Al|A||______________________________l|x||_________________________________则进行一步后根所在区间为 _______________________________________进行两步后根所在区间为 _________________________________________nA k f(x k)为 Newton-Cotes 公式，则k 1当n 为奇数时其代数精度为 ________________________________________ , 当n 为偶数时其代数精度为 ________________________________________5.设q k (x) k 0为区间［0,1］上带权 x 且首项系数为1的k 次正交多项式序列其中 q °(x) 1,则 q/x) _____________________________ 。

数值分析试卷整合打印版(请叫我活雷锋)

华南理工大学研究生课程考试《数值分析》试卷A2011年1月7日1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请按要求填写在试卷上；课程代码：S0003004 考试形式：闭卷考生类别：硕士研究生本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一．选择、判断、填空题(10小题,每小题2分,共20分):*** 第1--2小题:选择A 、B 、C 、D 四个答案之一,填在括号内,使命题成立*** ．求解线性代数方程组的追赶法适用于求解（）方程组。

A . 上三角 B .下三角 C .三对角D .对称正定求解一阶常微分方程初值问题的经典4阶Runge-Kutta 公式（）。

A. 是隐式公式B. 是单步法C. 是多步法D. 局部截断误差为O (h 4)*** 第3--6小题:判断正误,正确写"√ ",错误写"× "，填在括号内 ***．设近似数x *=2.5368具有5位有效数字,则其相对误差限为0.25×10－4。

（）．矩阵A 的条件数越小，A 的病态程度越严重。

（）．解线性方程组Ax=b 时，J 迭代法和GS 迭代法对任意的x (0)收敛的充要条件是A 严格对角占优。

（）．n 个求积节点的插值型求积公式至少具有n -1次代数精度。

（）*** 第7--10小题: 填空题，将答案填在横线上***．为避免两相近数相减的运算，应将11310-变换为。

．方程组Ax=b ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5.1112A ，则求解此方程组的J 迭代法的迭代矩阵为，而GS 迭代法的迭代矩阵为__。

．设i x i =),,2,1,0(n i =,)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则∑==ni i n ix l x)(。

．若用二分法求方程013=--x x 在 [1，1.5 ] 内的近似根，要求有3位有效数字，则至少应计算中点次。

华中科技大学出版社—数值分析第四版—课后习题及答案

14. 由于 x1 , x 2 , , x n 是 f ( x ) 的 n 个互异的零点，所以 f ( x) a 0 ( x x1 )( x x 2 ) ( x x n )
a 0 ( x xi ) a 0 ( x x j ) ( x xi ),
i 1 i 1 i j n n
4 7 h 3 时，取得最大值 max | l 2 ( x ) |
10 7 7 x 0 x x3 27 . k x , x , , x n 处进行 n 次拉格朗日插值，则有 6. i) 对 f ( x) x , (k 0,1, , n) 在 0 1 x k Pn ( x ) Rn ( x ) l j ( x) x k j
。
14．
1000000000 999999998 x1 1.000000, x2 1.000000 999999999 999999999 方程组的真解为，
x 1.00, x2 1.00 ，而无论用方程一还是方程二代入消元均解得 1 结果十分可靠。 s b sin ca a sin cb ab cos cc a b c tan c c s ab sin c a b c 15．
可得
计
算
( f1 ) ln(1
( f 2 ) ln(1

x x 1
2
) )
1 ( x x 2 1) 60 104 3 103 2 x x 1 ，
2

x x 1
2

x x 1
2

1 1 104 8.33 107 60 2
。
(Y100 ) 100

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

(完整word版)数值分析试题(word文档良心出品)

一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程阿西吧的f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取阿西吧的近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解阿西吧的线性方程组的迭代格式中求阿西吧的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求二次插值多项式及f（2.5）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。

4、欧拉预报--校正公式求解初值问题取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.三、证明题（20分每题 10分）1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。

参考答案：一、填空题1、局部平方收敛2、< 13、 44、5、三阶均差为06、n7、b-a8、9、 1 10、二阶方法二、计算题1、2、3、≈1.25992 (精确到,即保留小数点后5位)4、y(0.2)≈0.01903三、证明题1、证明：当=1时，公式左边：公式右边：左边==右边当=x时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：故具有三次代数精度A卷一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共9×3＝27分）1、要使11的近似值的相对误差不超过0.1%，应取______________有效数字。

(完整)数值分析试题库与答案解析,推荐文档

模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。

(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档

9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。解：
1
4
x1
1 5

(2020年7月整理)数值分析试题集.doc

数值分析试题集（试卷一）一（10分）已知3409.1*1=x ，0125.1*2=x 都是由四舍五入产生的近似值，判断*2*1x x +及*2*1x x -有几位有效数字。

二（10三（15分）设],[)(4b a C x f ∈，H （x ）是满足下列条件的三次多项式)()()(,)()(,)()(,)()(b c a c f c H c f c H b f b H a f a H <<'='===求)()(x H x f -，并证明之。

四（15分）计算dx x⎰+10312，210-=ε。

五（15分）在[0，2]上取2,1,0210===x x x ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。

六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。

七（10分）对模型0,<⋅='λλy y ，讨论改进的尢拉法的稳定性。

八（15分）求方程017423=--+x x x 在-1.2附近的近似值，310-=ε。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（4*2分）1 ∞=0})({k k x φ是区间[0，1]上的权函数为2)(x x =ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x φ，则=⋅⎰10)(dx x x φ-------------------，=)(1x φ------------------。

2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4112A ，则=∞A -----------， =)(A ρ-----------------。

3 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=4121a A ，当a 满足条件----------------时，A 可作LU 分解。

数值分析报告试的题目及问题详解

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩L得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---%[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩%()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=%2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3. 解()331f x x x =--，()130f =-<，()210f =>()233f x x '=-，()12f x x''=，()2240f =>，故取2x =作初始值迭代公式为()()3111112113133n n n n n n n n f x x x x x x f x x ---------=-=-'-()312121()31n n x x --+-或， 1,2,...n =02x =，()312231 1.88889321x ⨯+==⨯-，()3222 1.888891 1.879453 1.888891x ⨯+==⨯-210.009440.0001x x -=>()3322 1.879451 1.879393 1.879451x ⨯+==⨯-，320.000060.0001x x -=<方程的根 1.87939x *≈4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案4 解梯形公式()()()2bab af x dx f a f b -≈⎡+⎤⎣⎦⎰应用梯形公式得101111[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰辛卜生公式为()()()[4()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++⎰应用辛卜生公式得()()1011010[04()1]162dx f f f x -+≈+++⎰1111[4]16101112=+⨯++++2536=得分评卷人四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得1011123112()02()3A A A h h A A h A A h ---⎧⎪++=⎪--=⎨⎪⎪+=⎩得1113A A h -==，043hA =。

数值分析练习题附答案

目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1）写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式）（2）讨论这两种迭代法的收敛性（3）取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。

数值分析考试卷及详细答案解答汇总

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？（D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

数值分析实验题(华科)汇总

数值剖析实验作业专业：姓名：学号：实验 2.1 多项式插值的振荡现象[问题提出 ]：考虑在一个固定的区间上用插值迫近一个函数，明显Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关怀插值多项的次数增添时，Ln(x) 能否也更为凑近迫近的函数，Runge 给出的例子是极有名并富裕启迪性的，设区间[-1,1] 上函数f (x)11 25 x2[实验内容 ]：考虑区间 [-1 ， 1]的一个等距离区分，分点为x i 1 2i, i 0,1,2,..., n n则拉格朗日插值多项式为n 1L n ( x) i 0 1 25x2 li (x)i此中， l i (x) ，i=0,1,2,,n 是 n 次 Lagrange 插值函数。

[实验要求 ]：（ 1）选择不停增大的分点数量 n=2 ，3，画出原函数 f(x) 及插值多项式函数 Ln(x) 在 [-1， 1]上的图像，比较并剖析实验结果。

（ 2）选择其余的函数，比如定义在区间[-5， 5]上的函数，h( x)x, g( x) arctan x 1 x4重复上述的实验看其结果怎样。

解：以下的f(x) 、h(x) 、 g(x) 的为插值点用“* ”表示，朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。

经过三个函数的拉格朗日拟合能够看到，跟着插值点的增添，产生Rung 现象。

（1） f(x)多项式求值的振荡现象n=2 多项式求值的振荡现象n=31 10.9 f(x)0.9f(x) lagrange(x) lagrange(x)0.8 0.80.7 0.70.6 0.6 y 0.5 y 0.50.4 0.40.3 0.30.2 0.20.1 0.10.40.60.81 00.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4 -0.200.2 -1-0.8 -0.6-0.4-0.200.2 x x1 多项式求值的振荡现象n=41.2多项式求值的振荡现象n=5f(x) f(x)0.8 lagrange(x)1lagrange(x)0.6 0.80.4 0.6 y y0.2 0.40 0.2-0.2 0-0.4-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x1.2 多项式求值的振荡现象n=61多项式求值的振荡现象n=7f(x)0.9f(x)1lagrange(x) lagrange(x)0.80.80.70.60.6y y 0.50.40.40.2 0.30.20.1-0.2-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x1 多项式求值的振荡现象n=81多项式求值的振荡现象n=90.8 f(x) f(x) lagrange(x)0.8lagrange(x)0.60.40.60.20.4 y 0 y -0.20.2-0.4 0 -0.6-0.8-0.2-1-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.4-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x1.6 多项式求值的振荡现象n=101多项式求值的振荡现象n=111.4 f(x)0.9f(x) lagrange(x) lagrange(x)1.2 0.81 0.70.8 0.6 y 0.6 y 0.50.4 0.40.2 0.30 0.2-0.2 0.1-0.4-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x(2) h(x)0.6 多项式求值的振荡现象n=20.6多项式求值的振荡现象n=3h(x) h(x)0.4 lagrange(x)0.4lagrange(x)0.2 0.20 0 y y -0.2 -0.2-0.4 -0.4 -0.6 -0.6-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x0.6 多项式求值的振荡现象n=40.8多项式求值的振荡现象n=5h(x) h(x)0.4 lagrange(x) 0.6 lagrange(x)0.20.40.2y y 0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6 -0.6-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x0.6 多项式求值的振荡现象n=61.5多项式求值的振荡现象n=7h(x) h(x)0.4 lagrange(x) lagrange(x)10.20.5y y 0 -0.2-0.4-0.5 -0.6-1-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x0.6 多项式求值的振荡现象n=83多项式求值的振荡现象n=9h(x) h(x)0.4 lagrange(x) lagrange(x)20.21 0y y 0 -0.2-0.4-1 -0.6-2-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x1 50.8 h(x)4h(x) lagrange(x) lagrange(x)0.6 3 0.4 2 0.2 1 y0 y 0 -0.2 -1 -0.4 -2 -0.6 -3 -0.8 -4-12345 -52345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101x x(3) g(x)多项式求值的振荡现象n=2 多项式求值的振荡现象n=31.5 2g(x) g(x) 1lagrange(x) 1.5 lagrange(x)10.50.5y0 y0-0.5-0.5-1-1-1.5-1.52345 -22345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101 x x1.5 多项式求值的振荡现象n=41.5多项式求值的振荡现象n=5g(x) g(x)lagrange(x) lagrange(x)1 10.5 0.5 y 0 y 0 -0.5 -0.5 -1 -1-1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x1.5 多项式求值的振荡现象n=62多项式求值的振荡现象n=7g(x) g(x)1lagrange(x) 1.5 lagrange(x)10.50.5y 0 y 0-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -2-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x2 1.5g(x) g(x)1.5 lagrange(x)1lagrange(x) 10.50.5y0 y0-0.5-0.5-1-1.5-1-22345 -1.52345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101x x多项式求值的振荡现象n=10 多项式求值的振荡现象n=11 1.5 2.5g(x)2 g(x)lagrange(x) lagrange(x) 11.50.510.5y0 y0-0.5-0.5-1-1-1.5-2-1.52345 -2.52345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101 x x实验 3.1 最小二乘法拟合编制以函数 { x k} n k 0为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。

数值分析实验题集锦

实验一题目：多项式最小二乘法1.数学原理：对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为∑==mj j j x a x y 0)()(ϕ特别的，取)(x j ϕ为多项式j j x x =)(ϕ (j=0, 1,…，m )则根据最小二乘法原理，可以构造泛函∑∑==-=n i mj i j j i m x a f a a a H 110))((),,,(ϕ令0=∂∂ka H(k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二乘解∑=≈mj j j x a x f 0)()(ϕ2.程序设计：本实验采用Matlab 的M 文件编写。

其中多项式函数j j x =ϕ写成function 的方式，如下function y=fai(x,j) y=1;for i=1:jy=x.*y;end写成如上形式即可，下面给出主程序。

多项式最小二乘法源程序clear%%%给定测量数据点(s,f)s=[3 4 5 6 7 8 9];f=[2.01 2.98 3.50 5.02 5.47 6.02 7.05];%%%计算给定的数据点的数目n=length(f);%%%给定需要拟合的数据的最高次多项式的次数m=10;%%%程序主体for k=0:m;g=zeros(1,m+1);for j=0:m;t=0;for i=1:n;%计算内积(fai(si),fai(si))t=t+fai(s(i),j)*fai(s(i),k);endg(j+1)=t;endA(k+1,:)=g;%法方程的系数矩阵t=0;for i=1:n;%计算内积(f(si),fai(si))t=t+f(i)*fai(s(i),k);endb(k+1,1)=t;enda=A\b%求出多项式系数x=[s(1):0.01:s(n)]';y=0; for i=0:m;y=y+a(i+1)*fai(x,i); endplot(x,y)%作出拟合成的多项式的曲线 grid on hold onplot(s,f,'rx') %在上图中标记给定的点3.结果分析和讨论：例用最小二乘法处理下面的实验数据.并作出)(x f 的近似分布图。

数值分析(研究生)试卷

华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分）　1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。

2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。

=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。

4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。

)O(h1p+5. 设是的二重根。

*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。

6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。

数值分析(解答)1

华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：___________________________ 课程类别考核形式学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ 学号__________________姓名__________________任课教师___________________一、填空题（每空2分，共20分） 1、计算2000110021100111000++++= y ，给出了两种运算顺序，（A ）从左到右相加，（B ）从右到左相加，应选择运算顺序（ B ）可使计算结果接近于真值。

2、由1+n 个插值条件是否可唯一确定一个次数不超过n 的插值多项式？（不一定） 3、在[-1，1]区间上，令)()(1i ni n x x x -∏==ω，则点i x 应取为（ n 次chebyshev 多项式的零点），可使|)(|max 11x n x ω≤≤-达到极小。

4、设{}∞=0)(k k x q 是区间[0，1]上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=10)(dx x xq k ⎪⎩⎪⎨⎧≠=0,00,21•k ••k •，=)(2x q 103562+-x x 。

5、Newton-cotes 求积公式的精确程度是否一定能随着其代数精度的提高而提高？（不一定）6、用显式Euler 法解初值问题0)0(,10y •y y •y =-='，为保证绝对稳定性，步长h 应在范围（0，0.2）内选取。

7、设A 是一个正交矩阵，则)(2A cond =（ 1 ）。

8、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11001a •a ••a ••a •A ，当∈a )21,21(•••-时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角数值分析 2007.5.28矩阵，当其对角线元素)3,2,1(••••••i l ii =满足条件0>ii l 时，这种分解是唯一的。