10-5 幂级数
第十章 级数
第十章 级数基 本 课 题 ：第十章级数 第一节 常数项级数 目 的 要 求 ：掌握常数项级数的概念，：掌握级数的性质 重 点 ：级数的性质难 点 ：级数收敛的必要条件 教 学 方 法 ：讲授法 教 学 手 段 ： 常规教 参 ：同济大学高等数学 教学环节及组织 新课引入：为什么无限循环小数是有理数，可以表示成两个整数相除呢？用等比数列求和公式可以求出其和。
讲授新课：级数的概念：给定一个无穷数列123,,,,,,n u u u u 则称表达式123nu u u u +++++ 为（常数项）无穷级数 级数收敛：如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S→∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，此时极限S 叫做此级数的和，并记为123n S u u u u =+++++ ；如果{}n S 没有极限，则称级数1nn u ∞=∑发散．级数的基本性质：1、级数1nn ku∞=∑与级数1nn u∞=∑有相同的敛散性．2、1nn u ∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于S 、T ，那么级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为S T ±3、在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变该级数的敛散性．4、（级数收敛的必要条件） 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。
例题讲解：例1等比级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑（又称为几何级数）的敛散性例2 讨论调和级数11n n ∞=∑的敛散性例3 判定级数12(1)3n nn ∞=+-∑是否收敛？若收敛，求其和小结：本堂课介绍级数的概念,会用级数收敛的必要条件去判定级数发散课堂交流：1 提问级数的收敛与数列的收敛有什么区别？ 2 课堂练习习题10-1：1，2课外作业及思考题：习题10-1 3 4 题基 本 课 题 ：第二节 常数项级数审敛法 目 的 要 求 ：掌握正项级数审敛法，：理解交错级数审敛法,了解条件收敛和绝对收敛。
(整理)数一：考研数学知识点归纳
【海文考研数学】：考研数学知识点归纳2007年真题数学一考点归纳题号考点数对应科目对应的考点11高等数学等价无穷小21高等数学渐近线32高等数学定积分的几何意义；奇偶函数的变限积分的奇偶性42高等数学极限存在性；函数在某点的可导性54高等数学拉格朗日定理的应用；导函数的单调性；数列的敛散性；级数的敛散性62高等数学第二型曲线积分；利用原函数计算曲线积分的值71线性代数向量组线性相关性的判别83线性代数矩阵相似；矩阵合同；矩阵相似与合同的关系92概率论与数理统计事件的独立性；独立重复试验102概率论与数理统计二维正态分布的条件概率密度；二维正态分布的概率密度112高等数学分部积分法及换元法计算定积分121高等数学复合函数的偏导数131高等数学二阶常系数线性非齐次微分方程的通解141高等数学第一型曲面积分152矩阵的秩；矩阵幂的运算线性代数161概率论与数理统计几何型概率17二元函数的最值1高等数学高等数学181第二型曲面积分的计算2高等数学连续函数的介值定理；罗尔定理19202高等数学幂级数的和函数；验证幂级数满足微分方程的关系212线性代数线性方程组求解；两个线性方程组的公共解222线性代数矩阵的特征值和特征向量；实对称矩阵特征值和特征向量的性质233概率论与数理统计二维随机变量相关事件的概率；随机变量函数的分布；卷积公式244概率论与数理统计样本均值；样本方差；估计量的无偏性；卡方分布及其性质总考点数：45个。
其中高等数学 23个。
线性代数 10个。
概率论与数理统计 12个。
2008年2008年真题数学一考点归纳题号考点数11 21 31对应科目高等数学高等数学高等数学对应的考点变上限求导定理梯度的计算常系数线性齐次微分方程与特征方程与特征根及通解之间的对应关系45678910111213141516171819202122232高等数学复合函数的单调性；复合函数的极限存在性1线性代数可逆的定义4线性代数二次型的标准方程；惯性指数；对称矩阵的特征值；曲面方程1概率论与数理统计两个相互独立的随机变量函数的分布函数2概率论与数理统计随机变量的数学期望；相关系数1高等数学分离变量方程的解3高等数学隐函数求导；导数的几何意义；切线方程2高等数学阿贝尔定理；幂级数的收敛半径；收敛区间及收敛域2高等数学用高斯公式计算第二型曲面积分；三重积分的计算1线性代数矩阵特征值的计算3概率论与数理统计泊松分布；随机变量的数学期望；方差3高等数学极限的求法；等价无穷小变换；洛必达法则2高等数学格林公式；平面第二型曲线积分的计算2高等数学拉格朗日乘数法；最大（小）值4高等数学导数的定义；积分中值定理；周期函数的定义；函数的周期性1高等数学无穷级数的和2线性代数矩阵的秩；转置矩阵3线性代数行列式的计算；克莱姆法则；线性非齐次方程组的求解4概率论与数理统计均匀分布；随机变量的独立性；条件概率；随机变量函数的概率密度4概率论与数理统计样本均值；样本方差；估计量的无偏性；卡方分布及其性质总考点数：50个。
10-5幂级数在近似计算中的应用
x
令 x = 1,
1 1 得 e ≈ 1+ 1+ +⋯+ , 2! n!
余和: 余和
1 1 1 1 rn ≈ + +⋯ = (1 + + ⋯) ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 1)! n+ 2 1 1 1 1 (1 + ≤ + + ⋯) = ( n + 1)! n + 1 ( n + 1) 2 n ⋅ n!
练习题答案
1.0986； 一 、 1 、 1.0986 ； 二 、 0.487.
∞
2、 2 、 0.9994.
π
nπ x n 三 、 e x cos x = ∑ 2 2 cos ⋅ 4 n! n= 0
( −∞ ,+∞ ) .
2 (cos + i sin ) x 4 4
提示: ( 提示 : e x cos x = Re e (1+ i ) x = Re e
一、近似计算
∵ A = a1 + a2 + ⋯ + an + ⋯, ∴ A ≈ a1 + a2 + ⋯ + an ,
误差 rn = an+1 + an+ 2 + ⋯.
两类问题: 两类问题: 1.给定项数 求近似值并估计精度 给定项数,求近似值并估计精度 给定项数 求近似值并估计精度; 2.给出精度 确定项数 给出精度,确定项数 给出精度 确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数 关健: 通过估计余项 确定精度或项数 确定精度或项数.
高数第十单元无穷级数
第十单元 无穷级数10－1 常数项级数的概念与审敛法［教学基本要求］高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p -级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理；4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．微积分 1。
理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p -级数的敛散性结果,掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理;4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．[知识要点]一、常数项级数的敛散性判别法及其说明除开因lim n n u →∞≠0，而判定n n u ∞=1∑发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.)，(2)limn≤，其且其和S u1几何级数(等比级数)n n aq ∞=1∑：当|q |<1时级数收敛；当|q |≥1时级数发散。
p -级数p n n ∞=11∑：当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散。
级数ln pn n n∞=21∑,当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散. 二、正项级数判敛的一般程序：nu∞=1∑ ρ=1 n u n n u ∞=1∑发散 n n u ∞=1∑发散,n n u ∞=1∑收敛三、任意项级数的判敛程序：收敛 n n u ∞=1∑条件收敛nn u∞=1∑发散nn u∞=1∑绝对收敛nn u∞=1∑发散［错误诊断］例1 判别下列级数的敛散性：(1）n ∞=1 （2）()nn n ∞=14+-12∑． （1）［错解］因为n =0，故该级数收敛．［错误分析］ lim n n u →∞=0是级数n n u ∞=1∑收敛的必要条件，不是充分条件．因此不能用一般项的极限为零判别级数收敛，但如果lim n n u →∞≠0,级数n n u ∞=1∑一定发散.[正确解法］因n n ==1,由n n ∞=11∑发散，知该级数发散． (2）[错解］因为()()()lim lim lim[()]n n n n n nn n n n nu u +1+1+1+1→∞→∞→∞4+-14+-14+-1==2224+-1不存在,所以该级数发散． ［错误分析]正项级数的比值判别法只是正项级数收敛的充分条件，不是必要条件．也就是说，正项级数n n u ∞=1∑收敛，并不一定有limn n nu u ρ+1→∞=<1．［正确解法］因为该级数是正项级数，且当n ≥1时，()n n n n u 4+-15=≤22．由于等比级数nn ∞=152∑收敛，由比较判别法知所给级数收敛．例２ 若n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑皆收敛，且对于一切自然数n 有n n n u c v ≤≤，证明n n c ∞=1∑也收敛．[错误证明］由于n n c v ≤，且n n v ∞=1∑收敛，故由比较判别法可知n n c ∞=1∑收敛．［错误分析]上述证明的依据是级数的比较判别法，但是这个判别法只适用于正项级数．而题中并没有指明n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑为正项级数，因此上述证明方法不正确．［正确证法]由于n n n u c v ≤≤，因此n n n n c u v u 0≤-≤-，即()n n n c u ∞=1-∑与()n n n v u ∞=1-∑皆为正项级数．由于n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，因此()n n n v u ∞=1-∑收敛．由正项级数的比较判别法可知()n n n c u ∞=1-∑收敛．又()n n n n c u c u =+-，由级数的性质可知n n c ∞=1∑收敛．[典型例题补充］例1 选择题 下列命题中正确的是（ ）．A ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，则()n n n u v ∞=1+∑可能发散．B ． 若nn u∞=1∑收敛,n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．C ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都发散,则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．D ． 若()nn n uv ∞=1+∑收敛，则n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑必定收敛．解 正确答案是B ．由级数的性质知命题A 错误．由反正法知命题B 正确．事实上，假设()n n n u v ∞=1+∑收敛，由n n u ∞=1∑收敛及()n n n n v u v u =+-知，n n v ∞=1∑也收敛，这与已知矛盾．故()n n n u v ∞=1+∑必定发散．若设n n n u ∞∞=1=1=1∑∑发散,()n n n v ∞∞=1=1=-1∑∑也发散，但是()()n n n n u v ∞∞=1=1+=1-1=0∑∑收敛．可知命题C 与D 都不正确．说明 若n n u ∞=1∑收敛，n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1±∑必定发散可以作为判定级数()n n n u v ∞=1±∑发散的充分条件使用．例1表明有限项相加的性质不能随意使用到无穷多项相加之中． 例2 判别下列级数的敛散性：（1）()n nn n n ∞=131+∑；(2） (cos )n n ∞=111-∑;（3)nn n n ∞=1⎛⎫⎪2+1⎝⎭∑;（4) !()n n n a n a n ∞=1>0∑． 解 （1）因为lim lim()n n n n u e n→∞→∞13=3=≠011+，所以n n u ∞=1∑发散． (2)分析：由于lim(cos )n n →∞11-=0，而cos sin n u n n211=1-=2>02 注意：sin ()lim lim lim ()sinn n n n nu n u n n n222+1→∞→∞→∞212⎡⎤112+1⎛⎫===1 ⎪⎢⎥12+12⎝⎭⎣⎦22 可知所给级数不能利用比值判别法判定．解法1 注意 cossin n u n n211=1-=2>02 由于当x >0时，sin x x <,可知sin n n 11<22，sin n n 2211<24 正项级数n n ∞2=114∑为收敛级数，由比较判别法可知(cos )n n ∞=111-∑收敛．解法2 由于当x →0时,sin x ～x ．可知当n →∞时sin n u n 21=22～n v n21=2则 sin lim lim n n n nu n u n 2+1→∞→∞2122==112,由于n n ∞2=11∑收敛，可知(cos )n n ∞=111-∑收敛． （3）因为n n 1==<12，所以nn n n ∞=1⎛⎫ ⎪2+1⎝⎭∑收敛． （4)分析：题中的a 没有限制其值，因此应该对a 加以讨论．解 因为()!!lim limlim ()n n n n n n n n n nu a n a n a au e n n n +1+1+1→∞→∞→∞+1===+11⎛⎫1+ ⎪⎝⎭故当a e >时,原级数发散;当a e <时，原级数收敛;当a e =时，不能用比值判别法判定所给级数的收敛性．但注意到数列nn ⎧⎫1⎪⎪⎛⎫1+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调增加且有上界，由于n n u u +1≥，又lim n n nu u +1→∞=1,由极限的性质可知当n 充分大时,必有n n u u +1>>0，因此lim n n u →∞≠0．故!n n n a n n ∞=1∑发散．例3 讨论级数ln ()pn np n∞=3>1∑的敛散性． 分析:通项中有ln n 因子,可考虑用积分判别法．解 令ln ()p x f x x =，当x ≥3时()f x ≥0，又ln ()()p p xf x p x +11-'=<0>1，故()f x 在[,)3+∞是正的单调递减函数，且ln ()p nf n n=，ln ()ln pp px x x f x dx dx xdx p p xx +∞1-1-+∞+∞+∞33331==-⋅1-1-⎰⎰⎰ln ()p ppp 1-1-233=-3<+∞1-1- 故由积分判别法知级数收敛．例4 设()ln nn n u n +1=-1，试判定n n u ∞=1∑与n n u ∞2=1∑的收敛性，并指出是绝对收敛，还是条件收敛？分析:n n u ∞=1∑是交错级数，n n u ∞2=1∑是正项级数．由于||ln ln()n n u n n+11==1+，注意到x →0时，ln()x x1+等价．解 因为ln()()n nn 111+→∞，所以lim ln ()n n n →∞111+=1，由于n n∞=11∑为发散的调和级数，因此lnn n n∞=1+1∑为发散级数． 因为ln()ln()n n 111+>1++1，且lim ln()lim n n n n →∞→∞111+==0，则由莱布尼兹定理知()ln n n n n ∞=1+1-1∑收敛．从而知其条件收敛．因ln ()nu n 221=1+，且lim ln ()lim()n n n n nn 2222→∞→∞11111+==1 由于级数n n ∞2=11∑为收敛级数，故由极限形式的比较判别法可知n n u ∞2=1∑收敛．［课堂练习］一、填空题１．若正项级数n n u ∞=1∑收敛，则n ∞=1是 级数．２．已知lim ()n n nu k →∞=≠0，则n n u ∞=1∑是 级数．３．已知lim n n a a b →∞=>>0，则nn n b a ∞=1⎛⎫⎪⎝⎭∑是 级数．４．级数(ln )nnn ∞=153∑的和为 ． ５．级数()()()n n n n n n 3∞=1-2+52-12+12+3∑是 级数．二、选择题1．下列命题中正确的是（ ）．A ．若n n u ∞=1∑收敛，则必有lim n n u →∞=0； Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则必有lim n n u →∞≠0;Ｃ．若lim n n u →∞=0,则n n u ∞=1∑必定收敛； Ｄ．若lim n n u →∞=0，则n n u ∞=1∑必定发散．2．下列命题中正确的是（ ）．A ．若||n n u ∞=1∑收敛，则n n u ∞=1∑必条件收敛；Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则||n n u ∞=1∑必定发散;Ｃ．若||n n u ∞=1∑发散，则n n u ∞=1∑必定发散； Ｄ．若n n u ∞=1∑收敛,则||n n u ∞=1∑必定收敛．3．若级数n n u ∞=1∑收敛于S ，则级数()n n n u u ∞+1=1+∑( ）．A ．收敛于S 2； Ｂ．收敛于S u 12+； Ｃ．收敛于S u 12-； Ｄ．发散．4．若级数nn a ∞2=1∑和nn b ∞2=1∑都收敛,则级数n n n a b ∞=1∑（ ）A ．一定条件收敛；Ｂ．一定绝对收敛；Ｃ．一定发散；Ｄ．可能收敛可能发散． ５．设a为常数，则sin ()n na n ∞2=1-∑为（ ）． A ．绝对收敛； Ｂ．条件收敛； Ｃ．发散；Ｄ．收敛性与a 有关．三、判别下列级数的敛散性1．n n 1∞3=11⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； 2．nn n 1∞=11⎛⎫⎪⎝⎭∑； 3．n ∞=1．四、判别下列级数的敛散性,若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 1．ln()()nn n n ∞=11+-11+∑； 2． ()(cos )n n n α∞=1-11-∑ （α>0为常数）．答案 一、1．收敛;2．发散;3．收敛；４．ln 33-5；5．发散．二、1．A ； 2．B ； ３．C; ４．B; ５．C三、１．发散,p 级数;→1； ３．收敛． 四、1．条件收敛； 2．绝对收敛．10－2 幂级数［教学基本要求］高等数学 1。
十个常用的幂级数展开公式
十个常用的幂级数展开公式幂级数展开是一种将一个函数表达为无穷级数之和的方法。
在数学和物理学中，幂级数展开是非常重要的工具，可以用来解决许多问题。
下面是十个常用的幂级数展开公式：1.自然对数函数的幂级数展开：ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...2.指数函数的幂级数展开：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...3.正弦函数的幂级数展开：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...4.余弦函数的幂级数展开：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...5.正切函数的幂级数展开：tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...6.双曲正弦函数的幂级数展开：sinh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + ...7.双曲余弦函数的幂级数展开：cosh(x) = 1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + ...8.自然对数函数的反函数的幂级数展开：e^x-1=x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...9.平方根函数的幂级数展开：sqrt(1 + x) = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - ...10. 三角函数的复合幂级数展开（例如sin(2x)）：sin(mx) = mx - (mx)^3/3! + (mx)^5/5! - (mx)^7/7! + ...这些幂级数展开公式是数学和物理学等学科中常用的工具，可以用于近似计算、解析表达式等方面。
通过将函数用幂级数展开，我们可以将复杂的函数转化为无穷级数的形式，从而方便进行计算和分析。
第十讲频谱的线性搬移
频谱搬移有两种类型： 线性搬移：振幅调制及其解调、混频，线性
搬移的示意图如图5-1(a)所示。
线性搬移
0
f
0
fc
f
图5-1(a) 线性频谱搬移示意图
非线性搬移：频率调制及其解调、相位调制 及其解调。非线性搬移的示意图如图5-1(b)所示。
非线性搬移
0
f
0
fc
f
图5-1(b) 非线性频谱搬移示意图 图5-1 频谱搬移示意图
iD
I DSS
(1
UG
Us cosst )2 UP
I DSS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U
2 P
[UG
UP )2
2Us (UG
UP ) cosst
U
2 s
2
cos 2st]
可见, 输出电流中除了直流和ωs这两个输入信号频率 分量之外, 还产生了一个新的频率分量——2ωs。
例 5.2 已知晶体管基极输入电压为uB=UQ+u1+u2, 其中
当元器件正向偏置，且激励信号较小时，一般采用 指数函数分析法；
当元器件反向偏置，且激励信号较大，涉及器件的 导通、截至转化时，一般可采用开关函数法来进行分析；
当器件正偏，又有两个信号作用，并其中一个信号的 振幅大于另一个信号的振幅时，可用线性时变法来进行 分析。
下面分别介绍非线性电路的几种分析方法。
第五章 频谱的线性搬移电路
§5.1 非线性电路的分析方法 §5.2 二极管电路 §5.3 差分电路 §5.4 其他频谱线性搬移电路
调制、解调、混频等电路都属于频谱搬移电路。 调制为频谱搬移过程：将某种消息信号寄载于载波上， 从而便于传输。改变高频载波的一个参数(如振幅、频率、相 位)就可实现这种调制。 解调为频谱搬移过程：从已调信号中取出所需的消息信 号。 混频为频谱搬移过程：将某一频率(或频段的信号变换到 另一频率或频段)。
化工热力学答案_冯新_宣爱国_课后总习题答案详解
第二章习题解答一、问答题：2-1为什么要研究流体的pVT 关系？【参考答案】：流体p-V-T 关系是化工热力学的基石，是化工过程开发和设计、安全操作和科学研究必不可少的基础数据。
（1）流体的PVT 关系可以直接用于设计。
（2）利用可测的热力学性质（T ，P ，V 等）计算不可测的热力学性质（H ，S ，G ，等）。
只要有了p-V-T 关系加上理想气体的idp C ，可以解决化工热力学的大多数问题。
2-2在p -V 图上指出超临界萃取技术所处的区域，以及该区域的特征；同时指出其它重要的点、线、面以及它们的特征。
【参考答案】：1）超临界流体区的特征是：T >T c 、p >p c 。
2）临界点C 的数学特征：3）饱和液相线是不同压力下产生第一个气泡的那个点的连线；4）饱和汽相线是不同压力下产生第一个液滴点（或露点）那个点的连线。
5）过冷液体区的特征：给定压力下液体的温度低于该压力下的泡点温度。
6）过热蒸气区的特征：给定压力下蒸气的温度高于该压力下的露点温度。
7）汽液共存区：在此区域温度压力保持不变，只有体积在变化。
2-3 要满足什么条件，气体才能液化？【参考答案】：气体只有在低于T c 条件下才能被液化。
2-4 不同气体在相同温度压力下，偏离理想气体的程度是否相同？你认为哪些是决定偏离理想气体程度的最本质因素？【参考答案】：不同。
真实气体偏离理想气体程度不仅与T 、p 有关，而且与每个气体的临界特性有关，即最本质的因素是对比温度、对比压力以及偏心因子r T ，r P 和ω。
2-5 偏心因子的概念是什么？为什么要提出这个概念？它可以直接测量吗？()()()()点在点在C V PC V PT T 0022==∂∂∂∂【参考答案】：偏心因子ω为两个分子间的相互作用力偏离分子中心之间的作用力的程度。
其物理意义为：一般流体与球形非极性简单流体（氩，氪、氙）在形状和极性方面的偏心度。
为了提高计算复杂分子压缩因子的准确度。
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，． 如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散． （2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数． （3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）． 五、幂级数 （一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理 如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法 （1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质 性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式 （1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑． 解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ． 解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ． 解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ． 解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ． 解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑． 解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑． 解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ． 解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑， 故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域． 令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。
复变函数14套题目和答案
复变函数14套题目和答案《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛，则与都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m 阶零点，则z0是1/的m阶极点.()7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()9.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1.__________.（为自然数）2._________.3.函数的周期为___________.4.设，则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若，则______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1.若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cosz与sinz在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()8.若数列收敛，则与都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设，则2.设，则________.3._________.（为自然数）4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设，则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.(20分).1.cosz与sinz的周期均为.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛，则与都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在上解析,且,则.（）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.()10.若是的可去奇点，则.()二.填空题.(20分)1.设，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若，则__________.4.___________.5._________.（为自然数）6.幂级数的收敛半径为__________.7.设，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设，则.9.若是的极点，则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：，其中是.4.求在|z|1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。
常见函数的幂级数展开
常见函数的幂级数展开1. 指数函数 (Exponential Function)定义指数函数是指以常数e为底数的幂函数，通常表示为e^x。
其中e是一个常数，约等于2.71828。
用途指数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
它的幂级数展开形式可以用于近似计算指数函数的值，特别是当指数函数无法直接计算时。
工作方式指数函数的幂级数展开中，每一项的系数都是x的幂次与常数e的幂次之比。
通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开如下所示：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … + x^n/n! + …其中n!表示n的阶乘（n的所有正整数乘积），定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。
然而，幂级数展开通常在x的绝对值较小的范围内有效，当x的绝对值较大时，需要使用其他方法来计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码：import mathdef exponential_series(x, n):result = 0for i in range(n):result += x**i / math.factorial(i)return resultx = 2.0n = 10print(exponential_series(x, n))上述代码计算了指数函数e^2的近似值，使用了前10项的幂级数展开。
2. 正弦函数 (Sine Function)定义正弦函数是一个周期函数，常用于描述周期性的波动现象。
它的幂级数展开可以用于近似计算正弦函数的值。
用途正弦函数在物理、工程等领域中广泛应用，例如描述振动、波动、电磁波等现象。
通过正弦函数的幂级数展开，可以计算正弦函数在给定角度处的近似值。
工作方式正弦函数的幂级数展开中，每一项的系数都与角度的幂次相关。
中科大-组合数学复习知识点
中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。
若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。
若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。
定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。
解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。
10-5 幂级数
从而级数 an x n绝对收敛.
当 | x |
1
n 0
时, 级数 | an x n | 发散,
n 0
n 1
并且从某个n开始 | an1 x
从而级数 an x 发散.
n n 0
|| an x |, | an x | 0
n n
收敛半径 R
1
;
( 2) 如果 0,
有 a n1 x
n1
x 0,
an x n
0 ( n ),
级数 | an x n | 收敛,
n 0
从而级数 an x n绝对收敛. 收敛半径 R ;
n 0
( 3) 如果 ,
x 0,
级数 an x n必发散.
n 0
(否则由定理1知将有点x 0使 | an x | 收敛 )
如果级数
an x n 0
n
在 x x0 ( x0 0) 处收敛,则
它在满足不等式 x x0 的一切 x 处绝对收敛;
如果级数
n a x n 在 x x0处发散,则它在满足 n 0
不等式 x x 0 的一切 x 处发散.
证：
(1)
a x
n 0
n
n 0
收敛,
lim an x0 0,
收敛区间为 1,1 ; 收敛域为－1， 1 。
x 2 n 1 例 3 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2 解： x x3 x5 级数为 2 3 缺少偶次幂的项 2 2 2 应用达朗贝尔判别法 2 n 1 x n 1 un1 ( x ) 1 2 2 lim x , lim 2 n1 n u ( x ) n x 2 n 2n 1 2 当 x 1, 即 x 2时, 级数收敛, 2
【国家自然科学基金】_幂级数法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
科研热词 非正则奇性 表面积 粘弹性 形式解 形式borel变换 归一化幂级数法 幂级数 动力稳定性 三轴椭球 mathematica gevrey类
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
科研热词 幂级数法 影响因素 弹性地基梁 双排桩 内力分析 非齐次微分方程 非均质地基 遮帘效应 逼近 迭代 荷载传递法 群桩 水平荷载 桩基础 桩基承台梁 桥梁桩基 杆系有限元 显示解 插值 形式幂级数 幂级数解 常系数 地基系数 参数化 剪切刚度系数 内力计算 winkler地基模型 n阶
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 推荐指数 詹逖生 1 解析解 1 解析开拓 1 空间分数阶扩散方程 1 法都猜想 1 斯泽古定理 1 riesz分数阶导数 1 riemann-liouville分数阶导数 1
推荐指数 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2013年 科研热词 切口 渐近展开 奇性指数 压电材料 非线性电路 达芬方程 裂纹 等效小参量法 正交各向异性 时间尺度微分方程 时间尺度函数法 振动频率 强非线性 应力奇性指数 广义平面应变 小除数问题 复合材料 反平面 交叉调制与振荡器 推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
高等数学上、下册考试试卷及答案6套[1]
![高等数学上、下册考试试卷及答案6套[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/adf96c235901020207409c3e.png)
高等数学上册试卷A 卷一 填空题（每题2分，共10分） 1． 2()d f x dx ⎰= ；２. 设f (x )=e -x ，则(ln )f x dx x'⎰= ； ３．比较积分的大小：11_________(1)x e dx x dx +⎰⎰；４.函数1()2(0)x F x dtx ⎛=> ⎝⎰的单调减少区间为 ；５. 级数()(0)nn n a x b b ∞=->∑，当x =0时收敛，当x =2b 时发散，则该级数的收敛半径是 ；二、求不定积分（每小题4分，共16分）1.； 2．sin x xdx ⎰；３．；4. 已知sin xx是f (x )的一个原函数，求()xf x dx '⎰. 三、求定积分（每小题4分，共12分）１．520cos sin 2x xdx π⎰； ２．121(x dx -⎰；３．设1,当0时1()1,当0时1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)f x dx -⎰四、应用题（每小题5分，共15分）1．计算由曲线y =x ２，x =y ２所围图形的面积；２.由y =x 3、x =2、y =0所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积.3. 有一矩形截面面积为20米2，深为5米的水池，盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去，则要作多少功?（水的比重1000g 牛顿/米3 ）五、求下列极限（每题5分，共10分）1．222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；2. 设函数f (x )在(0，+∞)内可微，且f (x )满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰，求f (x )。
六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）1. 21sin32n n n n π∞=∑； 2. 2111n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； 3.()1ln 1nn nn∞=-∑； 七、求解下列各题（每题5分，共10分）1. 求幂级数111n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数；2． 将函数21()32f x x x =++展开成（x +4）的幂级数。
第十三章第二节幂级数
四、将函数展开成幂级数
五、初等函数的幂级数展开方法
六、幂级数简单应用
贵州航天职业技术学院 周学来
2019/10/27
第5页
第十三章 级数
§13.2 幂级数
一、函数项级数:
1、函数项级数： un(x) xI(a,b) n1
2、函数项级数的收敛域E
使 级 数un(x)收 敛 的 点 x称 为 级 数 的 n1
的收 . 敛域 [ 解 ] 问: 这个幂级数有什麽特点 ？
缺项!
利用达朗贝尔判别法
n l im u u n n 1 ((x x ))n l im 2 2 n n 1 x x 22 n n 1 1n l im 2 x22x2
当2x21时,即x 1时,级数收敛 2
第十三章 级数
第9页
2019/10/27
§13.2 幂级数
怎样求幂级数的收敛半径?
设 有 幂 anxn, 级 记 u n 数 anxn
n 0
考 察 lim u n1(x)lim an1xn1lim an1x
n u n(x) n anxn
a n n
[法2] 注意到 nxn1的通项系数是等差数， 列
n1
也可用代数方法求解：
S( x) 1 2x 3x2 nxn1
xS(x) x 2x2 3x3 nxn
(1 x)S(x) 1 x xn 1
1 x
即
n1
nxn1
级数
n(1)n1可以看成是幂 n级xn数 1
n1 3
n1
在x1处的值 3
第十三章 级数
10-6泰勒级数
f (n) ( x) n!an (n 1)n3 2an1( x x0 )
令 x x0 , f (0) (x0 ) f (x0 ) ， 即得
an
＝x 1 x3 1 x 5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
cos
x
sin
x
m=0
(1)m
x2m1
(2m
1)!
(1)m
m0
x2m 。
2m!
例3：将 f (x) arctan x 展开成 x 的幂级数。
由函数项级数收敛定义即可完成证明。
注： f (n) (x) M ,
xX , n0,
lim
n
Rn
(
x)
0
。
3，初等函数的泰勒展开式
求初等函数的泰勒展开式通常有两个方法。
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f (n) (0) sin n , 2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 2
sin x (1)m
x2m1
m=0
(2m 1)!
x (,) x (,)
1 1 1 x 13 x2 135 x3 (1)n (2n 1)!! xn
复变函数第10讲x49284
z z0
cn (z z0 )n cn n c1 c2 2 cn n .(4)
n1
n1
对变数级数(4)为幂级数, 设其收敛半径为R', 则当 R'时，级数收敛; R'时，级数发散.
将
1 代回得 1
1
令
r,则级数(4)
n 0,1,2,.
证明：设z为 | z z0 | R任意一点.
1
cn 2 i
k
f
( )
z n1 0
d
z0
取k : z0 r R.
D
k
2
首先
f
(z)
1
2
i
k
f
( )
z
d ,
(2)
z z0 q 1,
z0
D
z0 z k
n0
负幂项部分：
cn (z z0 )n c1(z z0 )1 cn (z z0 )n .(3)
n1
16
级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R ， 则当
z - z0<R时，级数收敛; 当z - z0>R时，级数发散.
对于级数(3), 若令 1 , 则
注意到
1 z
z0
1 (z z0 )
1 z0
1
1 z z0
,
z0
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
高数试题及答案
高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
第十章 无穷级数5-6
同理,在(| x2|, | x1| )上有一分界点S, 使得(S, 0) 的点为收敛点, (, S )上点为发散点, 且 r =S .
•• •
•
| x2| r | x1|
0
•••
| x1 | r | x2|
n1
anxn n!
anx0nn1!(xx0)n
M
1 n!
x x0
n
由比值法易得
n1
M
1 n!
x x0
n
收敛
x(, )
故由比较审敛法知 a n x n n1 n!
在
(,)内绝对收敛,
故收敛半径 R注意收敛半径为1，并不意味着` lim an1 1 n an
1. 幂级数的收敛半径
根据柯西判别法确定其收敛半径
收敛区间.
解： lim an1
n an
ln im 2(nn1)
1 2
故 r 1 2
n1
(1)n1
xn 2n n
在端点x = 2,
1
n 1 n 发散.
x = 2,
(1) n1 n1 n
收敛.
收敛区间为(2, 2]
注：用根值判别法也可得到 r = 2.
例6. 给定幂级数
x n , 求收敛域
例如
11xn11xn n0 n! n0 n!
n0
2 xn n!
R 11 , R 21 ,R '
(2) 除法所所得收敛半径不定.
(2)幂级数在收敛区间中的内闭一致性
定理4：设幂级数 an x n 的收敛半径为 R>0,则
幂次叠加运算公式
幂次叠加运算公式先简单介绍一下幂次叠加运算的基本公式：幂次，也叫偶数。
由于幂数本身是一个实数，所以只要注意以下两点就能很好地使用幂次叠加运算公式：其中 i代表的是“i”中某个数位（一元）上的个数（即 n个位数）。
该数位数有 n种: N种不同的位数（如：等比数位数); n个等比数位数（位数);数位数和位数等等而 n次幂（k次幂）是一种非常大数位数（n个）的运算法则。
这就是所谓“幂”它的本意！其具体含义是：当 n个数位小数由幂级数的个数位开始递增的(n)次之和叫做幂次运算。
由于是线性的平方（等位函数）所以：那么如果每一位数 a是10+1= b?在实际应用中用到比较少了（例如:1=(x+2) y+1)这就是幂次叠加运算公式。
其基本公式如下：例如: A有两个分数组成一个2×2=3的复数组(n)(等比数位数）。
其中 n指的是总数位数最大的那一个数值: a=3+ b (x)* c=2 x x+3 x x+2+3 x x=10......0* x+1/3平方^ n这个数位数是一个函数（用多项式表示).它还有几个其他形式: a= X/B等等其他形式！所以幂次就是我们日常生活中所说的“十数位”运算方法了！我们就可以利用这一公式计算出某一个问题中求解所需要的单位数位号: A x* Y=(a i+ b)(2- n)+2 y+ c}并且最后得到结果: c=3 k元。
如果不考虑 n 次幂指数就是一大堆数字之和除以 n再除以 c。
在数学领域中这又是一个非常重要的法则！一、幂的基本运算过程根据幂系数的不同可以将运算过程分为两部分：第一部分是幂级数的运算，即当 n个数位上的小数在其(n+1)-2-1-2-1、2-2-1后就开始递减到0了。
这就意味着我们要用到“幂”这个算式将这个过程简化为两部分：除法。
首先对于一个整数来说除以2会得到3以内（即两个半和几个数字相加得总和为1)等于4再减去1等于4这个算式叫幂级除法！由于是一个幂级数所以对分乘法就用到(2-1+2-1+2-1-2…+2)这种乘法叫做幂次叠加（除法）是它的核心！所以当要除以 N时我们要先用幂级幂减去次序把除法变为次幂运算！最后得到结果：如图所示：将其(2-4+2-2)×2-2+3-1=8 (也可称为幂数乘法）这样我们就得到了这个等式！也称幂级法！即用加法法则或乘法法则所得出的结果减去它所对应得到的结果，与乘法相对应！将乘法和除法相结合可得出一些有意义的结果！我们一起来看一下这个简单过程吧！首先把第一部分所列的乘法运算去掉然后剩下两种运算过程：减除（也叫减除）和除法运算结果!#程序#2#<计算机#(1+2+3)在计算结果时因为所减除的都是整数都等于3所以称为幂次叠加运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n= 0
∑ an ( x − x0 ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + ⋯ + an ( x − x0 ) + ⋯
n 2 n
∞
幂级数系数. 叫做关于 叫做关于 x − x0 的幂级数其中 a n 为 幂级数系数
x0 = 0的情形： an x − − − −关于x的幂级数。 ∑
级数 ∑ a n x n (绝对 ) 收敛 . 收敛半径 R = +∞ ;
( 3) 如果 k = +∞ , 则对 ∀x ≠ 0 ,
lim
级数
an+1 x n+1 an x
∞
n
n→ ∞
an+1 = lim ⋅ | x |= ∞ , n→ ∞ a n
证毕. 证毕
发散， a n x n 发散，收敛半径 R = 0. ∑
如何求幂级数的收敛半径? 问题 如何求幂级数的收敛半径
定理2，3 如果幂级数 定理2
设
an xn 的所有系数an ≠ 0, ∑
n=0
∞
an+1 lim =k n→ ∞ a n
∞ n= 0
(或 lim n a n = k )
n→ ∞
则幂级数
an x n 的收敛半径为 ∑
1/k , k ≠ 0 R = + ∞ , k = 0 0 , k = +∞
n
∞
∞
=a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0)x + (a0 b2 + a1 b1+a2 b0)x2 + · · · + (a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0)xn + · · ·
n =0
n =0
x−2 x−2 x−2 x−2 例 求∑ ∑0 和 ∑ 2 ， 3 ＋∑ 2 3 n= n=0 n=0 n=0 的 收 敛 半 径 和 收 敛 域 ,和 函 数 和 1 n ∞ x−2 3 n = 3, 解 对于∑ ， R1 = lim 1 n→ ∞ 3 n=0 3 n+1 (－ 5) ∴| x - 2 |< 3, 收 敛 区 间 为 ： 1，
若 p >1,
收敛域为 [−1, 1] ； −
若 0 < p ≤ 1 , 收敛域为 [−1, 1) ； −
若 p≤0,
收敛域为 (−1, 1) . −
例 解
xn ∑ n! n= 0
1 lim n→ ∞ ( n + 1) !
∞
∞
1 1 = lim = 0， n ! n→ ∞ n + 1
∴ R = +∞ , 即收敛域为 ( −∞ ,+∞ ) .
n n= n= 0 ∞
幂 级 数 的 收 敛 域 ： 一 点 x 0或 以 x 0 为 中 心 的 区 间 。
引理 (阿贝尔定理) 阿贝尔定理)
(1) 如果级数 处收敛, a n x n 在 x = x1 ( x1 ≠ 0) 处收敛 , ∑
n= 0 ∞
处绝对收敛; 则它在满足不等式 | x |<| x1 | 的一切 x 处绝对收敛;
例 解
x 的收敛域. 求幂级数∑ n 的收敛域 n=1 2
x x3 x5 ∵ 级数为 + 2 + 3 + ⋯ 2 2 2
∞
2n−1
缺少偶次幂的项
直接应用比值法， 直接应用比值法，
n +1 un+1 ( x ) 1 2 2 lim = x , = lim 2 n−1 n→ ∞ u ( x ) n→ ∞ x 2 n 2n 1 2 当 x < 1 , 即 | x | < 2 时, 级数收敛； 级数收敛； 2
对于∑ n=0 ∴| x - 2 |<
∞
1 x−2 2 n = 2, ， R 2 = lim 1 n→ ∞ 2 2 n+1 2, 收 敛 区 间 为 ： ，) (0 4
n
n 当x = 0时， （－1）, x = 4时∑ 1均发散 ∑ n＝0 n＝0
∞
∞
(0 ∴ 收敛域为： ，4)
(2) 如果级数
∑a
n= 0
∞
n
处发散, x 在 x = x2 处发散 ,则它在满足
n
处发散. 不等式 | x |>| x2 | 的一切 x 处发散 .
O
x1
n ∴ lim a n x1 = 0, 证明 (1) ∵ ∑ a n x1 收敛 , n→ ∞
n n=0
∞
∃ M, 使得 a n x1 ≤ M
n= 0 ∞
∑a
n=0
∞
n
x 收敛 ,
n
( 2 ) 设当 x = x 2时级数发散 ,
使级数收敛, 假如有一点 x0 适合 | x0 | > | x2 | 使级数收敛,
结论, 由(1)结论 则级数当 x = x2 时应收敛 , 结论 这与所设矛盾. 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域
−R
∞ 1 发散； 当 x > 时 , ∑ an x n 发散； k n= 0 1 故 k ≠ 0 时, R = ； k
( 2) 如果 k = 0, 则对 ∀x ≠ 0 ,
lim an+1 x n+1 an x n
∞ n= 0
n→ ∞
an+1 = lim ⋅| x | = 0<1, n→ ∞ a n
an+1 lim =k n→∞ a n
∞x=−1 时，级数成为 ∑ (− )，级数发散． 当 ．因此，收敛区间 n n =1 为(−1, 1]．
求幂级数的收敛半径和收敛域. 求幂级数的收敛半径和收敛域. 例 解
x ∑n n= 0
∞
n
an n+1 R = lim = lim = 1， n→ ∞ a n→ ∞ n n +1
x
2 n +1
1 2 当 x < 1 , 即 | x | < 2 时, 级数收敛； 级数收敛； 2
x ∑ 2n n=1
∞
2n−1
1 2 当 x > 1 , 即 | x | > 2 时, 级数发散； 级数发散； 2 ∞ 1 当 x = ± 2 时, 级数为 ± ∑ , 级数发散 级数发散, 2 n =1
1 1 即 x − < 收敛, x ∈ (0,1) 收敛, 2 2 ∞ 1 , 发散 当 x = 0 时, 级数为 ∑ n=1 n ∞ ( −1) n 当 x = 1 时, 级数为 ∑ , 收敛 n n =1
故收敛域为 (0,1].
例
∞
求∑
∞
(2 x + 1)
n
n
n
的收敛域
2n ( x + n 1 n ) 2
称为幂级数的收敛半径 收敛半径. 此时正数 R 称为幂级数的收敛半径 （－R （－ ，R）称为幂级数的收敛区间 ）称为幂级数的收敛区间 收敛区域＝收敛区间＋ 收敛区域＝收敛区间＋收敛的区间端点 规定
(1) 幂级数只在 x = 0 处收敛 处收敛:
R=0
(2) 幂级数对一切 x 都收敛: R = +∞ , 收敛域 ( −∞ ,+∞ ) . 都收敛:
∞
( −1)n 当 x = − 1 时, 级 数 为 ∑ 收敛， n n =1
1 当 x = 0时 , 级 数 为 ∑ 发 散 ； n =1 n
∞
因此,收敛域为 [-1 , 0 ) 因此 收敛域为
注意： 注意：收敛半径公式不适用于缺项的幂级数
例 求∑
∞
1 2
n
x
2n
解：注意这个幂级数奇次幂系数a2n−1 = 0不能直接用收敛半径公式
n =0
n =0
∞
∞
则在(−R, R)与(−R′, R′)中较小的区间内有 加法： 减法： 乘法： anxn+ ∑ bnxn = ∑ ( an+ bn)xn， ∑
n =0
∞
∞
∞
∞
n =0
∞
n =0
∞
anx − ∑ bnx = ∑ ( an− bn)xn， ∑
n n n =0 n =0 n =0
( ∑ anx )·( ∑ bnxn)
an 简单地讲, 简单地讲,就是 R = lim . n→∞ a n+1
证明
对 级数 ∑ an x n 应用 比 值法 ，
n= 0
∞
lim
a n +1 x
n +1
n→ ∞
an x n
a n+1 x = k | x|, = lim n→ ∞ a n
(1) 如果 k ≠ 0
∞ 1 绝对收敛； 当 x < 时 , ∑ an x n 绝对收敛； k n= 0
可直接使用比值法求收敛域(一般幂级数的收敛半径、 可直接使用比值法求收敛域 一般幂级数的收敛半径、收敛域 一般幂级数的收敛半径 均可用此方法). 均可用此方法
n→ ∞
n=0
x2 x4 x6 x 2n ⋯ = 1+ + 2 + 3 + + n + ⋯的收敛域 2 2 2 2
lim
x 2n+ 2 2n+1
n
( n = 0,1,2, ⋯)
n
n
x x x n a n x = a n x1 ⋅ n = a n x1 ⋅ ≤M x1 x1 x1
n n
n
x ∵ x < x1 , ∴ 等比级数 ∑ M 收敛 , x1 n= 0