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中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31 .解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝131312222++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】321：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q 分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )．A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D. 3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ， ∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ． ∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ．（1）求弧BE 所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（AB）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048= 3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，∴S△OCD=12DC•OD=12×23×2=23，则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=8-233π．【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。
专题11 正多边形和圆(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。
最新正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习(1)
个性化辅导教案学生姓名： 授课教师： 所授科目：学生年级: 上课时间： 2016 年 月 日 时 分至 时 分 共 小时教学标题 正多边形和圆教学重难点知识梳理：1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正n 边形每一个内角的度数为：()2180n n-⨯︒正n 边形的一个中心角的度数为：360n︒正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。
4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）：(1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：1d 2r=（2）圆内接正四边形：2d 2r = （3）圆内接正六边形：3d 2r = 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：（1）圆内接正三角形：3x r = （2）圆内接正四边形：x 2r=（3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
（1）用量角器等分圆周。
（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。
8、定理1：把圆分成n(n ≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。
正多边形和圆及圆的有关计算
正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理：1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。
正n 边形的每个中心角等于n360 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
2、正多边形的有关计算 正n 边形的每个内角都等于nn180)2(- 定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
3、画正多边形(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。
正五边形的近似作法(等分圆心角)4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180R n L π=5、圆扇形，弓形的面积（l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形注意：因为扇形的弧长180R n L π=。
所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形 （3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。
如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
正多边形与圆 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1． 下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题） （第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。
(名师整理)最新中考数学专题复习《正多边形与圆的位置关系》精品教案
中考数学人教版专题复习：正多边形与圆的位置关系一、教学内容正多边形和圆1.正多边形的有关概念.2.正多边形和圆的关系.3.正多边形的有关计算.二、知识要点1.正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n边形等.2.正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n（n≥3）等份.①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.（2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.13.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心.（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.（3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）.（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是360°n.ORB1A1B2A2B3A3Cr4.正n边形的对称性当n为奇数时，正n边形只是轴对称图形；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.5.一些特殊正多边形的计算公式边数n内角A n中心角αn半径R 边长a n边心距r n周长P n面积S n360°120°R3R12R 33R343R2490°90°R2R22R42R 2R26120°60°R R32R6R323R22三、重点难点重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系.【典型例题】例1.如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________.线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.例2.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________.（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________.分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解.（1）依题意得360°n＝24°，∴n＝15.（2）n×45°＝360°，∴n＝8.由内角和公式得（8－2）·180°＝1080°，∴中心角为360°8＝45°.解：（1）15，（2）1080°，45°.例3.如图所示，小明同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上.若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，求该圆的半径.34A BCOD分析：由题意知这个三角形是圆的内接正三角形.解：如图所示，连结OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则正△ABC 的中心角＝360°3＝120°，∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°，∴OD ＝12BO .又BD ＝12BC ＝12×12＝6（cm ），∴OB 2－OD 2＝62，即OB 2－（12OB ）2＝62， ∴OB ＝43cm .评析：把实际问题转化为正三角形的外接圆的问题是解题的关键.例4. 已知圆内接正方形的面积为8，求同圆内接正六边形的面积.分析：解决问题的关键是“同圆”，通过圆的半径可以把正方形的条件转化为正六边形的条件，从而解决问题.解：由正方形的面积为8，可知正方形的边长为22，设该圆半径为R ，正六边形的边长和边心距分别为a 6和r 6. 则2R ＝4，a 6＝R ，r 6＝32·a 6.∴S 6＝6×12a 6·r 6＝6×12×2×32×2＝63.例5. 用折纸的方法，可直接剪出一个正五边形（如图所示）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等份的线折叠，再沿CD 剪5开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于（ ）A . 108°B . 90°C . 72°D . 60°AB ABOOCD分析：本题考查学生的动手能力和灵活运用所学知识的能力，这里的O 点是所剪正五边形的中心，由题可知∠COD ＝36°，所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半，所以∠OCD ＝90°. 解：B例6. 如图（1）、（2）、（3）、…、（n ），M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON .（1）求图（1）中∠MON 的度数；（2）图（2）中∠MON 的度数是__________，图（3）中∠MON 的度数是__________； （3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.分析：（1）连接OB 、OC ，注意△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝120°. （2）同理，由△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝90°. （3）由（1）（2）知，∠MON ＝∠BOC ，即∠MON ＝∠BOC ＝90°.A BCO M N A B C DOM N BC D E O MN ABOM…(1)(2)(3)(n )A解：（1）方法一：连接OB 、OC ，∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120° 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，6∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA 、OB ，∵正△ABC 内接于⊙O . AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. 又∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN ， 又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. （2）图（2）中，∠MON ＝360°4＝90°，图（3）中，∠MON ＝360°5＝72°. （3）图（n ）中，∠MON ＝360°n .评析：（1）△OBM 与△O CN 是旋转全等三角形. 图（1）中△OCN 绕点O 顺时针旋转120°，与△OBM 重合；图（2）旋转90°，图（3）旋转72°……. （2）注意由特殊到一般的思想，归纳出∠MON ＝360°n .【方法总结】1. 正n 边形的中心角为360°n ，与正n 边形的一个外角相等，与正n 边形的一个内角互补. 求中心角常用以上方法.2. 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系式为R 2＝r 2＋（12a ）2，这是把正n 边形分成了2n 个全等的直角三角形，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题1. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 62.下列命题中正确的是（）A.正多边形都是中心对称图形B.正多边形一个内角的大小与边数成正比C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小D.边数大于3的正多边形对角线都相等3.一个正多边形的中心角是36°，则其一定是（）A.正五边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形4.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.两角互余B.两角互补C.两角互余或互补D.不能确定5.圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）A. 2∶1B. 1∶2C.3∶4D.3∶26.下列命题中：①三边都相等的三角形是正三角形；②四边都相等的四边形是正四边形；③四角都相等的四边形是正四边形；④各边都相等的圆的内接多边形是正多边形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①︵AB＝︵BC＝︵CD＝︵DA；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.则在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正四边形的条件共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个**8. A点是半圆上一个三等分点，B点是︵AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）7M NA. 1B.22C. 2 D.3－1二、填空题1.用一张圆形的纸片剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小为__________cm.2.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正__________边形.3.正十边形至少绕中心旋转__________度，它与原正十边形重合.4.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是__________.5.正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是__________cm.*6.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形的大理石密铺，从里向外共铺了12层（不包括正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形.若正中央正六边形地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是__________.三、解答题1.解答下列各题：89（1）分别求出正十边形、正十二边形的中心角.（2）已知一个正多边形的一个中心角为18°，求它的内角的度数. （3）正六边形的两条平行边间的距离为12cm ，求它的外接圆的半径.2. 如图所示，求中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形ABCDEF 的各个顶点坐标.3. 用一块半径R ＝60cm 的圆形木料，做“八仙桌”（正方形）桌面或“八角桌”（正八边形）桌面，哪个面积大？大多少？（结果保留三个有效数字）**4. 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：A A A BBB CCCD DO OOM M M NNN E图1图2图3…（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM ＝AN ，连接BN 、CM ，发现BN ＝CM ，且∠NOC ＝60°. 请证明：∠NOC ＝60°.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、DM ，那么AN ＝__________，且∠DON ＝__________度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、EM ，那么AN ＝__________，且∠EON ＝__________度.（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________.1011【试题答案】一、选择题1. B2. C3. D4. B5. B6. B7. C8. C （解析：如图所示，作点B 关于直线MN 的对称点B ’，连结OB ’，PB ’，BB ’.M N二、填空题1. 42. 七3. 364. S 6＞S 4＞S 35. 26. 39米三、解答题1. （1）正十边形的中心角为360°10＝36°，正十二边形的中心角是360°12＝30°. （2）中心角为18°的正多边形的边数为36018＝20，正二十边形的内角为（20－2）·180°20＝162°. （3）由题意得r 6＝6（cm ），由于正六边形的边长与半径相等，∴R 2＝（12R ）2＋r 62，∴34R 2＝36，R ＝43（cm ）.2. A （－4，0）、B （－2，－23）、C （2，－23）、D （4，0）、E （2，23）、F （－2，23）3. “八仙桌”的面积为7200平方厘米，“八角桌”的面积为72002平方厘米，所以“八角桌”比“八仙桌”的面积大2980平方厘米.4. （1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，在△ABN 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠A ＝∠ABCAN ＝BM，∴△ABN ≌△BCM . ∴∠ABN ＝∠BCM . 又∵∠ABN ＋∠OBC ＝60°，∴∠BCM＋∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°.（2）在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°.（3）在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°.（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n－2）·180°n.12。
正多边形与圆(八大题型)( 原卷版)
A．1B．2C． D．
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3D．2
正多边形.
◆2等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n为偶数时，正n边形为中心对称图形.
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
中考数学一轮复习几何部分专题3：正多边形和圆(教师用,附答案)
中考数学一轮复习几何部分专题3：正多边形和圆必考知识点：1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。
必考例题：【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径3R 与6R 的平方比即可。
解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径为6R ，由题意得：AB R 333=，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3；∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。
【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。
分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，lR R n S 213602=π＝扇形，由条件n ＝1500，π20=l 看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。
解：设扇形的半径为R ，则180Rn l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020Rππ＝，24=R ∴ππ24024202121=⨯⨯=lR S ＝扇形。
【例3】如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝600，求阴影部分的周长。
分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA 、PB 和⋂AB 的长，连结OA 、OB ，根据切线长定理得PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠，∠APO ＝∠BPO ＝300，在Rt △PAO 中可求出PA 的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB ＝1200，因此可求出⋂AB 的长，从而能求出阴影部分的周长。
中考数学复习指导：《正多边形与圆》知识点归纳
正多边形与圆【学习目标】知道正多边形的有关概念，了解正多边形的对称性以及正多边形与圆的关系，能够将正多边形问题转变为解直角三角形问题，会用量角器画正多边形，能够利用直尺和圆规画一些特殊的正多边形．【课前热身】1．正十二边形每个内角的度数为_______．2．如图所示，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝_______．3．如图，在分别以正六边形ABCDEF的顶点为圆心、4cm为半径的六个圆中，若相邻两圆外切，则该正六边形的边长是_______cm．4．给出下列说法：①正多边形的各条边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的多边形是正多边形；④各边相等的圆的内接多边形是正多边形；⑤既是轴对称又是中心对称的多边形是正多边形．其中正确说法的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45．如图，若过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为( ) A．30°B．36°C．38°D．45°6．如图，已知⊙O和⊙O上的一点A．用直尺和圆规作出⊙O的内接正方形ABCD和内接正八边形AEBFCGDH．【课堂互动】知识点1 正多边形的概念例1若一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_______．例2一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )A．正六边形B．正八边形C正十边形D．正十二边形跟踪训练1．正八边形的一个内角是_______°．2．下列正多边形的中心角等于内角的是( )A．正六边形B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形3．正六边形的边心距与边长之比为( )A．3：3 B．3：2 C．1：2 D．2：2知识点2 正多边形的性质例1 如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，AD与BE分别交于点M，N．下列说法错误的是( )A．四边形BCDN是菱形B．四边形CDNM是等腰梯形C．△AEM与△CBN相似D．△AEN与△ABM全等例2 用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1．用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为_______．例3 如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．跟踪训练1．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_______．2．若正六边形的边心距为3，则它的周长是( )A．6 B．12 C．63 D．1233．半径为R的圆的内接正三角形的面积是( )A．32R2B．πR2C．332R2D．334R2知识点3 阅读理解题例数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图，在正三角形ABC中，M是边BC(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN＝60°，求证：AM＝MN．(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将该证明过程补充完整．证明：在AB上截取EA＝MC，连接EM，得△AEM．∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN ，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．又∵CN平分∠ACP，∴∠4＝12∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°．①又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM，∴△BEM为等边三角形，∴∠6＝60°．∴∠5＝180°－∠6＝120°，②由①②得∠MCN＝∠5．在△AEM和△MCN中，∵_______，_______，_______，∴△AEM≌△MCN(ASA)．∴AM＝MN．(2)如图所示，若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1＝90°时，结论A1M1＝M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）(3)若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A n B n C n D n…X n”，请你猜想：当∠A n M n N n＝_______°时，结论A n M n＝M n N n仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）跟踪训练已知图1，图2，图3，…，图n，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE－－的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON．(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是_______，图3中∠MON的度数是_______；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数的关系．（直接写出答案）参考答案课前热身1.150°2.30°3.84.B5.B6．图略．课堂互动知识点1例1 5例2 C跟踪训练1.135 2．C3．B知识点2例1C例2 6例3 2 (2)3：4跟踪训练2．B 3．D知识点3例(1)∠5＝∠MCN AE＝MC ∠2＝∠1(2)结论成立(3)2180 nn-⨯跟踪训练(1)120°(2)90°72°(3)360 n︒。
11正多边形和圆—知识讲解答案版
正多边形和圆—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。
考点16 正多边行与圆(解析版)
2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点16正多边行与圆【知识点梳理】正多边形的相关概念正多边行的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形正多边形和圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心为这个正多边形的中心。
正多边形的半径正多边形的外接圆的半径为这个正多边形的半径。
正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离为这个正多边形的边心距。
中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角为这个正多边形的中心角。
正多边形的性质1.正多边形只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在①O上任取一点A，连接AO并延长交①O于点B，BO为半径作圆孤分别交①O于C，D两点，DO并延长分交①O 于点E，F；①顺次连接BC，F A，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是．A．①AOE的内心与外心都是点G B．①FGA＝①FOAC．点G是线段EF的三等分点D．EF【答案】D【分析】证明①AOE是等边三角形，EF①OA，AD①OE，可判断A；．证明①AGF=①AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF，可判断D．【详解】解：如图，在正六边形AEDBCF中，①AOF=①AOE=①EOD=60°，①OF=OA=OE=OD，①①AOF，①AOE，①EOD都是等边三角形，①AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，①四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，①AD①OE，EF①OA，①①AOE的内心与外心都是点G，故A正确，①①EAF=120°，①EAD=30°，①①F AD=90°，①①AFE=30°，①①AGF=①AOF=60°，故B正确，①①GAE=①GEA=30°，①GA=GE，①FG=2AG，①FG=2GE，①点G是线段EF的三等分点，故C正确，①AF=AE，①F AE=120°，①EF，故D错误，故答案为：D．【点睛】考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．2．阅读图中的材料，解答下面的问题：已知O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计O的面积，则O 的面积约是（ ）A ．3B ．3.1C ．3.14D ．π【答案】A 【分析】根据圆的面积公式得O 的面积S ，先求得得圆的内接正十二边形的面积S ①ABO ，最后可求解本题【详解】 如图，构造ABO ，1OA OB ==，作BC AO ⊥于点C ．①3603012AOB ︒∠==︒，①1122BC OB ==， ①111112224ABO S OA BC =⋅=⨯⨯=△， ①正十二边形的面积为11234⨯=， 故选A ．【点睛】考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为（ ）A ．2B ．12CD ．12【答案】B【分析】当正六边形EFGHIJ 的边长最大时，要使AE 最小，六边形对角线EH 与正方形对角线AC 重合就可解决问题．【详解】解：如图所示，当EH AB =时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当EH 与正方形对角线AC 重合时，AE 最小；正方形ABCD 的边长为1；AC ∴=1EH ∴=，AE ∴=，则AE 的最小值为AE =． 故选：B ．【点睛】考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE 最小．4．如图，O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点，则AOC ∠的度数是（ ）A ．144︒B ．130︒C ．129︒D ．108︒【答案】A【分析】根据切线的性质，可得①OAE ＝90°，①OCD ＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．【详解】解： ①A E 、CD 切①O 于点A 、C ，①①OAE ＝90°，①OCD ＝90°， ①正五边形ABCDE 的每个内角的度数为：()521801085-⨯︒=︒ ，①①AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A．【点睛】考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．5．如图，点A，B，C在O上，若BC，AB，AC分别是O内接正三角形．正方形，正n边形的一边，则n=（）A．9B．10C．12D．15【答案】C【分析】分别连接OB、OA、OC，根据正多边形的中心角=360n︒，可分别求得①BOC、①AOB的度数，从而可得①AOC的度数，再根据正多边形的中心角=360n︒，可求得边数n．【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示①BC 是O 内接正三角形的一边 ①①BOC =3601203︒=︒ 同理，可得：①AOB =90°①①AOC =①BOC −①AOB =30°①AC 是O 正n 边形的一边 ①36030n︒=︒ ①n =12故选：C ．【点睛】考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=360n︒，掌握这一知识是解决本题的关键．6．如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为O 的八等分点，AD 与BH 的交点为I ．若O 则HI 的长等于（ ）A ．B 2+C ．2D 【答案】B【分析】如图，连接AB 、OH ，作OM AD ⊥于M ，ON BH ⊥于N ，在IH 上截取一点K ，使得ON NK =，连接OK ．首先证明22.5H KOH ∠=∠=︒，推出OK KN =，在Rt ONH △中，22()4a a +=+求出a 即可解决问题；【详解】解：如图，连接AB 、OH ，作OM AD ⊥于M ，ON BH ⊥于N ，在IH 上截取一点K ，使得ON NK =，连接OK ．点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为O 的八等分点，45A B ∠，22.5H ∠=︒，90AIB ∴∠=︒，90MIN OMI ONI ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形OMIN 是矩形，AD BH =，AD BH ∴=，OM ON ∴=，∴四边形OMIN 是正方形，设OM a =，ON NK =，45OKN ∴∠=︒，OKN H KOH ∠=∠+∠，22.5H KOH ∴∠=∠=︒，OK KN ∴==，在Rt ONH △中，22()4a a +=+1a ，（负根舍去）(22IH a ∴==．故选：B ．【点睛】考查正多边形与圆、解直角三角形、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，六边形ABCDEF 是正六边形，点P 是边AF 的中点，PC ，PD 分别与BE 交于点M ，N ，则:PBM PCD S S △△的值为（ ）．A ．12B ．23C ．14D ．38【答案】D【分析】设正六边形的边长为a ，MN 是①PCD 的中位线，求出①PBM 和①PCD 的面积即可．【详解】解：设正六边形的边长为a ，连接AC 交BE 于H 点，如下图所示：正六边形六边均相等，且每个内角为120°，①①ABC 为30°，30°，120°等腰三角形，①BE ①AC ，且32232aAC AH a ，且13,22a BH a AH ， ①AF∥CD ，P 为AF 上一点， ①21133222PCD ACD S S CD AC a a a ， MN 为①PCD 的中位线，①1122MN CD a ， 由正六边形的对称性可知：12222BE BH CD a a a ， ①13()2(2)224BM EN BE MN a a a ， ①2113333224216PBM a S BM AH a a ， ①3323:1683PBM PCD S S ，故选：D ．【点睛】考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．8．如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化【答案】B【分析】 连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，根据矩形的性质求出5AFM S =△，再求出正六边形面积即可．【详解】解：连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，①多边形ABCDEF 是正六边形，①AB =BC ，①B =①BAF = 120°，①①BAC =30°，①①F AC =90°，同理，①DCA =①FDC =①DF A =90°，①四边形ACDF 是矩形，1+=102AFO CDO AFDC S S S =△△矩形，154AFM AFDC S S ==△矩形， =6=30AFM ABCDEF S S △正六边形，故选：B ．【点睛】考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．9．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为r 的O 六等分，依次得到,,,,,A B C D E F 六个分点；①分别以点,A D 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点G ；①连结OG ．则OG 的长是（ ）A ．12r ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．12r ⎛+ ⎝⎭ C D【答案】C【分析】如图（见解析），先根据六等分点可得AD 是O 的直径，30CAD ∠=︒，再根据圆周角定理、勾股定理可得AC =，从而可得AG DG AC ===，然后根据等腰三角形的三线合一可得1,2OA AD r OG AD ==⊥，最后在Rt AOG 中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，连接,,,,AD AC CD AG DG ，,,,,,A B C D E F 是O 的六等分点，AD ∴是O 的直径，30CAD ∠=︒，由圆周角定理得：90ACD ∠=︒，在Rt ACD △中，1,2CD AD r AC ====，分别以点,A D 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点G ，AG DG AC ∴===， 又点O 是AD 的中点，1,2OA AD r OG AD ∴==⊥（等腰三角形的三线合一），在Rt AOG 中，OG ==，故选：C ． 【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 10．如图所示，ABC 为O 的内接三角形，2,30AB C =∠=︒，则O 的内接正方形的面积（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【分析】 先连接BO ，并延长交①O 于点D ，再连接AD ，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得①ADB=30°，而BD 是直径，那么易知①ADB 是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求BD ，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．【详解】解：连接BO ，并延长交①O 于点D ，再连接AD ，如图，①①ACB=30°，①①BDA=30°，①BD 是直径，①①BAD=90°，在Rt①ADB 中，BD=2AB=4，①①O 的半径是2，①①O 的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，①正方形的边长=①S 正方形=8=．故选：C ．【点睛】考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．11．如图，AB ，AC 分别为O 的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C 【分析】连接OB ，OC ，OA ，根据圆内接正三角形，正方形可求出AOB ∠，AOC ∠的度数，进而可求BOC∠的度数，利用360BOC n︒∠=，即可求得答案． 【详解】如图：连接OB ，OC ，OA ，ABE △为圆内接正三角形3601203AOB ︒∴∠==︒ 四边形ACDF 为圆内接正方形360904AOC ︒∴∠==︒ 1209030BOC AOB AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒若以BC 为边的圆内接正n 边形，则有36030BOC n︒∠==︒ 12n ∴=故选：C ． 【点睛】考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于360n︒（n 为正多边形的边数）是解题关键． 12．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，点P 为DE 上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC ，PD ，DG PC ⊥，垂足为G ，则PDG ∠等于（ ）A ．72°B ．54°C ．36°D ．64°【答案】B【分析】 根据正五边形ABCDE 内接于O ，可得COD ∠，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得CPD ∠，再根据三角形内角和定理即可得PDG ∠．【详解】解：①正五边形ABCDE 内接于O ， ①360725COD ︒∠==︒ ①CPD ∠与COD ∠所对的弧相同 ①1362CPD COD ∠=∠=︒ ①PDG ∠=180903654︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出CD 所对的圆心角．二、填空题13．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a ．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图①两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或①）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a 的代数式表示）【答案】图①【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图①由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可，(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；【详解】（1）①一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为2a①小三角形的高=①21=6=622S S a ⨯⨯=正六边形小三角形 ， 图①由10个正六边形构成2210S =⨯= ，图①由10个正六边形和4个正三角形构成22210+4=104S S S =⨯+=正六边形小三角形①22＜①图①更节省空间故答案为：①（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB①AB，由（1）可知，OB=3⨯=在Rt①AOB中，AB=a，OB=OA=【点睛】考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图．14．如图，四边形ABCD为O的内接正四边形，AEF为O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为_________．【答案】12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算①O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到①AOD=90°，①AOF=120°，则①DOF=30°，然后计算36030︒︒即可得到n的值．【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，①AD，AF分别为①O的内接正四边形与内接正三角形的一边，①①AOD=3604︒=90°，①AOF=3603︒=120°，①①DOF=①AOF-①AOD=30°，①n=36030︒︒=12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．【点睛】考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．AB ，连接AD，则AD的长为______15．如图，正六边形ABCDEF中，1【答案】2【分析】如图，连接AC，根据正六边形的性质可得①ABC=①BCD=120°，①ADC=60°，AB=BC=CD，根据等腰三角形的性质可得①BCA=30°，即可求出①ACD=90°，可得①CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得答案．【详解】如图，连接AC，①六边形ABCDEF是正六边形，①①ABC=①BCD=120°，①ADC=60°，AB=BC=CD，①①BCA=①BAC=30°，①①ACD=①BCD-①BCA=90°，①①CAD=30°，①AB=CD=1，①AD=2CD=2，故答案为：2【点睛】考查正多边形与圆、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．16．如图，A ，B ，C ，D 为一个正多边形的相邻四个顶点，点O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线．【答案】7【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理得到236AOB ADB ∠=∠=︒，即可得出该图形是正几边形，即可得出从一个顶点出发对角线的数量． 【详解】解：连接OA 、OB ，点A 、B 、C 、D 在以O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上， 根据圆周角定理，236AOB ADB ∠=∠=︒，3601036n ︒∴==︒，即该多边形为正十边形， ∴从一个定点出发，除去自身与相邻的两个点，共可作103=7-条对角线，故答案为：7．【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理；知道正多边形与圆的位置特点解决本题的关键． 三、解答题17．（阅读理解）如图1，BOC ∠为等边ABC 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度(0120)αα︒<<︒，BOC ∠的两边与三角形的边,BC AC 分别交于点,M N ．设等边ABC 的面积为S ，通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 3OMCOCNOMCOBMOBCOMCN S SSSSS=+=+==四边形． （类比探究）如图2，BOC ∠为正方形ABCD 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N ．若正方形ABCD 的面积为S ，请用含S 的式子表示四边形OMCN 的面积（写出具体探究过程）．（拓展应用）如图3，BOC ∠为正六边形ABCDEF 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度(060)αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正六边形的边,BC CD 分别交于点,M N ．若四边形OMCN 请直接写出正六边形ABCDEF 的面积．【答案】【类比探究】四边形OMCN 的面积=1S 4．【拓展应用】【分析】类比探究：通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 4OMCOCNOMCOBMOBCABCD OMCN S SSSSS=+=+==正方形四边形． 拓展应用：通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 6OMCOCNOMCOBMOBCOMCN ABCDEF S SSSSS=+=+==四边形六边形． 【详解】解：类比探究：如图2，①BOC ∠为正方形ABCD 的中心角， ①OB =OC ，①OBM =①OCN =45°，①BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N①①BOM =①CON ， ①①BOM ①①CON ， ①1S 4OMCOCNOMCOBMOBCABCD OMCN S SSSSS=+=+==正方形四边形．拓展应用：如图3，①BOC ∠为正六边形ABCD EF 的中心角， ①OB =OC ，①OBM =①OCN =60°，①BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N①①BOM =①CON ， ①①BOM ①①CON ， ①1S 6OMCOCNOMCOBMOBCOMCN ABCDEF S SSSSS=+=+==四边形六边形．①四边形OMCN①正六边形ABCDEF 的面积为【点睛】考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．18．如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形．（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分BAF ∠．（2）设O 的面积为1S ，六边形ABCDEF 的面积为2S ，求12S S 的值．【答案】（1）见解析；（2）9【分析】（1）连接AE ，AD ，AC ，根据等弧所对的圆周角相等即可证明；（2）过点O 作OG ①DE 于G ，连接OE ，设圆O 的半径为r ，求出OG ，用①OED 的面积乘以6得到2S ，再求出1S ，即可计算12S S 的值．【详解】解：（1）连接AE ，AD ，AC ，①六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形， ①EF =ED =CD =BC ，①①F AE =①EAD =①DAC =①CAB ，即过顶点A 的三条对角线四等分BAF ∠；（2）过点O 作OG ①DE 于G ，连接OE ， 设圆O 的半径为r ， ①EF =BC =ED =r ，AD =2r ， 在正六边形ABCDEF 中，①OED =①ODE =60°， ①①EOG =30°， ①EG =12r ， ①OG， ①正六边形ABCDEF 的面积=162r r⨯⨯=22，圆O 的面积=2r π，①12S S2=9．【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．19．如图，已知O ，点A 在圆上，请以A 为一顶点作圆内接正方形ABCD ．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】先作直径AC ，再过O 点作AC 的垂线交①O 于B 、D ，则四边形ABCD 为正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD 为所作．【点睛】考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．正方形ABCD的四个顶点都在①O上，E是①O上的一点．（1）如图①，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：①ADF①①ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-．请说明理由；（3）如图①，若点E在AB上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=【分析】∠=∠，结合DF=BE，即可完成（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得ABE ADE证明；DAF BAE；结合①BAD=90°，得①EAF=90°，从而得到①EAF是等腰（2）由（1）结论得AF=AE，∠=∠直角三角形，即；最后结合DE -DF=EF ，从而得到答案；（3）连接BD ，将①CBE 绕点C 顺时针旋转90°至①CDH ；结合题意，得①CBE+①CDE=180°，从而得到E ，D ，H 三点共线；根据BC=CD ，得BC CD =，从而推导得①BEC=①DEC=45°，即①CEH 是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）如图，1ADE ∠=∠，2ABE ∠=∠，3DAF ∠=∠，4BAE ∠=∠在正方形ABCD 中，AB=AD 在①ADF 和①ABE 中12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADF①①ABE （SAS ）；（2）由（1）结论得：①ADF①①ABE ①AF=AE ，①3=①4正方形ABCD 中，①BAD=90° ①①BAF+①3=90° ①①BAF+①4=90° ①①EAF=90°①①EAF 是等腰直角三角形①EF2=AE2+AF2①EF2=2AE2即DE-①DE-；（3）连接BD，将①CBE绕点C顺时针旋转90°至①CDH①四边形BCDE内接于圆①①CBE+①CDE=180°①E，D，H三点共线在正方形ABCD中，①BAD=90°①①BED=①BAD=90°①BC=CD①BC CD①①BEC=①DEC=45°①①CEH是等腰直角三角形在Rt①BCD中，由勾股定理得在Rt①BDE中，由勾股定理得：7=在Rt①CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2①（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2①64=2CE2【点睛】考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解．。
(2021年整理)正多边形和圆练习题及答案
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正多边形和圆练习一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比（ ) A 。
扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D 。
没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ）A.3∶2∶1 B 。
4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶33.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴。
4。
中心角是45°的正多边形的边数是__________。
5。
已知△ABC 的周长为20，△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D ，AD=4,那么BC=__________。
二、课中强化(10分钟训练)1。
若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2。
同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ) A 。
26 B 。
43 C 。
36 D 。
343。
周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( ） A.S 3>S 4〉S 6 B.S 6>S 4〉S 3 C.S 6〉S 3〉S 4 D.S 4>S 6〉S 34.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3—1)。
（1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1）题的作图中,如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1三、课后巩固（30分钟训练）1。
精选初三上册数学知识点复习：正多边形和圆
精选初三上册数学知识点复习：正多边形和
圆
重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系.
难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系.
正多边形的中心：所有对称轴的交点;
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
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精选初三上册数学知识点复习：正多边形和圆
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学习是一个循序渐进的过程，也是一个不断积累不断创新的过程。
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正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
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正多边形与圆总结复习
1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2．正多边形与圆的有关定理把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。
注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形。
3. 正多边形的其它性质正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
4. 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
6. 圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ B ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ A ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）418．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（ C ）A ．12B ．6C ．12D ．610. 下列命题中正确的是（）A．各边长度相等的多边形是正多边形B．各内角相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形11. 一个正多边形绕着它的中心旋转36度后，才与原多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形12. 圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化13. 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.14. 正n边形的中心角的度数是_______.。
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外接圆的圆心。
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为 r，边心距为 d)
（1）圆内接正三角形： d 1 r
（2）圆内接正四边形： d
2 r
（3）圆内接正六边形： d
3 r
2
2
2
6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长 x 的关系：
（1）圆内接正三角形： x 3r （2）圆内接正四边形： பைடு நூலகம் 2r
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理 2： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
经典例题
例 1、已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积。
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形
每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
n 2180
正 n 边形每一个内角的度数为：
n 360
正 n 边形的一个中心角的度数为：
n
正多边形的中心角与外角的大小相等。
例 3（中考）： 如图，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大 圆片的半 径最小应为多少？
-3-
课堂练习： 选择题 1．一个正多边形的一个内角为 120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图所示，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a 的值应是( )
学生姓名： 学生年级:
个性化辅导教案
授课教师：
所授科目：
上课时间： 2016 年 月 日 时 分至
时 分 共 小时
教学标题
正多边形和圆
教学重难点
知识梳理：
1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把
-1-
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形。
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①
依次连结圆的 n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的 n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切
线相交成的多边形是正多边。．
-4-
巩固练习
姓名
所授科目年级
授课老师 米晓菲
1 .正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为( )
3 A. 6
3 B. 4
23 C. 3
3 D. 3
1 2.已知正多边形的边心距与边长的比为 2 ，则此正多边形为( )
完成时间
A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正十二边形
3.已知正六边形的半径为 3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中 心角为 36 度,那么这个正多边形的一个内角等于____ _______度.
5.如图，两相交圆的公共弦 AB 为 2 3 ，在⊙O1 中为内接正三角形的一边，在⊙O2 中为内接正六边形的一
分析：要求正六边形的周长，只要求 AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径
挂上钩，很自然应连接 OA，过 O 点作 OM⊥AB 垂于 M，在 Rt△AOM中便可求得 AM，又应用垂径定理可求得 AB
的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。
E
D
O
F
C
A MB
-2-
例 2：已知⊙O 和⊙O 上的一点 A(如图). (1)作⊙O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH； (2)在(1)题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 180°。
4、圆内接正 n 边形的性质（n≥3，且为自然数）：
(1) 当 n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当 n 为偶数时，圆内接正 n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即
A．18° B．36° C．72° D．144° 6．正六边形的周长为 12，则同半径的正三角形的面积为________，同半径的正方形的周长为________． 7. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 . 8．如图所示，正△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，求△ABC 的边长 a，周长 P，边心距 r，面积 S．
A． cm B． cm C． cm D．1 cm
第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图
3．如图所示，两个正六边形的边长均为 1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上， 则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( ) A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图 4 所示，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，则∠ADB 的度数是（ ）． A．60° B．45° C．30° D．22．5° 5．若半径为 5cm 的一段弧长等于半径为 2cm 的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
（3）圆内接正六边形：x=r
7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为 R 的正 n 边形，只要把半径为 R 的圆 n 等分，然后顺次连接各点即可。 （1）用量角器等分圆周。 （2）用尺规等分圆（适用于特殊的正 n 边形）。
8、定理 1：把圆分成 n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形；
边，求这两圆的面积之比.
6.某正多边形的每个内角比其外角大 100°，求这个正多边形的边数. 思路分析：由正多 边形的内角与外角公式可求.
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