海淀区高二(上)期末数学试卷及答案

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北京市海淀区高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x（B ）12y （C ）12x （D ）12y（3）在四面体OABC 中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（）（A ）111222-+a +b c （B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α”是“直线m α，l m ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么（）（A ）p q ∧是真命题（B ）()p q ∧⌝是真命题（C ）()p q ⌝∨是真命题（D ）p q ∨是假命题（8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是（）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变【答案】B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)a ，(4,2,)x b .若a b ，则x.【答案】103【解析】试题分析：因为ab ，所以241230a b x ，解得103x。

考点：两空间向量垂直的数量积公式。

（10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO .【答案】32或1 【解析】试题分析：由抛物线方程可知(1,0)F ，则1OF =。

北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）学校：班级：姓名：成绩：本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.）A3.( )A4.鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A5.．．．是（）A.C.6.）A7.）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.）A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.的倾斜角为，经过点为．10.所截得的弦长为．11.个点可以是．（只需写出一组）12.13.从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为 .14.的两条对称轴方程；上的两个点的坐标；上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（I（II.16.的中点.（I（II17..（I证明．．；（II（III度，如果不存在，请说明理由.18..点（I（II（III.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBBCD 6、7、8、：ACB二、填空题14.说明：9题每空2分，14题中①②空各给1分，③给2分三、解答题15.解：（I（II16.解：（I（II=AD D⊥平面PAD17.解：法一：向量法（I. 证明如下：.(3,0,0)OG O=FD ⊥平面EGO（II）由（I（III法二：（I）证明如下：=OG O⊥平面EGO（III=DC HBC平面EOG//18.（I（II（III。

2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

2022北京海淀区高二上学期期末数学试题及答案

高二第一学期期末参考样题数学 2022.01学校姓名准考证号考生须知1．本样题共5页，共两部分，19道题，满分100分。

考试时间90分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列直线中, 倾斜角为45︒的是（A ）10x y +−= （B ）10x +=（C ）20x y −+=（D ）210x y −−=（2）若直线10x ay −+=与直线20x y +=垂直, 则a 的值为（A ）2（B ）1 （C ）12−（D ）1−（3）如图, 在四面体O ABC −中, ,,OA OB OC ===a b c , D 为BC 的中点, E 为AD 的中点,则OE 可用向量,,a b c 表示为（A ）111222++a b c（B ）111244++a b c（C ）111424++a b c（D ）111442++a b c（4）平面α与平面β平行的充分条件可以是（A ）平面α内有一条直线与平面β平行（B ）平面α内有两条直线分别与平面β平行（C ）平面α内有无数条直线分别与平面β平行（D ）平面α内有两条相交直线分别与平面β平行DOC EBA（5）若双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线经过点(3,1), 则双曲线的离心率为（A ）233（B ）62（C ）3（D ）2（6）已知球O 的半径为2, 球心到平面α的距离为1, 则球O 被平面α截得的截面面积为（A ）23π （B ）3π （C ）3π（D ）π（7）如图, 在三棱锥P ABC −中, PA ABC ⊥平面 , AB AC ⊥ , 2PA = , 2AB AC == , 则点A 到平面PBC 的距离为（A ）1（B ）32（C ）22（D ）12（8）如图,12,F F 是平面上的两点, 且12||=10F F , 图中的一系列圆是圆心分别为12,F F 的两组同心圆, 每组同心圆的半径分别是1, 2, 3,…, A , B , C , D , E 是图中两组同心圆的部分公共点. 若点A 在以12,F F 为焦点的椭圆M 上, 则（A ）点B 和C 都在椭圆M 上（B ）点C 和D 都在椭圆M 上（C ）点D 和E 都在椭圆M 上（D ）点E 和B 都在椭圆M 上BCPAEA BDC F 2F 1（9）设P 为直线2y kx =+上任意一点, 过P 总能作圆221x y +=的切线, 则k 的最大值为（A ）33（B ）1 （C ）2（D ）3（10）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”. 他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A , C 之间的曲线）绕其虚轴所在直线l 旋转一周, 得到花瓶的侧面,花瓶底部是平整的圆面, 如图2. 该小组给出了图1中的相关数据: 1113cm, 12cm, AA BB == 1111120cm, 15cm, 48cm CC A B B C ===, 其中B 是双曲线的一个顶点. 小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度）, 结果如下表所示.学生甲乙丙丁估算结果（cm 3）25200π17409π14889π13809π其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（参考公式: 2V R h =π圆柱, 213V R h =π圆锥, 221()3V h r rR R =π++圆台）（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）丁l图2C 1CA 1 AB B 1图 1第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

【最新资料】北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)

高考数学最新资料海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）20xx.01学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ）(0,2) （C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切OABCP线，那么（）（A ）p q ∧是真命题（B ）()p q ∧⌝是真命题（C ）()p q ⌝∨是真命题（D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为（）（A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是（）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .F ED 1C 1B 1A 1DCBA（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长；（Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且1A PPC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P ，31(,)22P ，4(1,2P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12（13 （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分因为直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-=，即24y x =. ………………………4分所以动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=. 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分同理，BC PA ⊥．因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分（Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |．所以二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分（Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =．所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]λ=．所以棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分（Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是m =，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:BC x ty =.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以线段BC 与x轴相交于N . 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。

海淀区高二上期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 2)B. y = 1/xC. y = |x|D. y = x^2 - 4x + 42. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x = 1处的导数是（）A. 2B. 0C. -2D. -13. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，若f(2) = f(3)，则f(4)的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 124. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意的实数x，有x^2 ≥ 0B. 函数y = |x|在R上单调递增C. 函数y = x^2 + 1在R上单调递减D. 函数y = 1/x在x = 0处无定义5. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 + a5 = 12，a2 + a4 = 18，则d的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 66. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°7. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 8D. 98. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根，则a^2 + b^2的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 199. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 4 且 x < 2B. 2x < 4 且 x > 2C. 2x > 4 且 x > 2D. 2x < 4 且 x < 210. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围是（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数f(x) = (x - 1)^2的图像的对称轴是______。

北京高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，，则（） (2,1,3)a =- (1,2,1)b =- a b ⋅=A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.112212a b x y x y z z ⋅=++【详解】因为，，(2,1,3)a =- (1,2,1)b =- (2)(1)12317a b ∴⋅=-⨯-+⨯+⨯=故选：D2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（） 2213x y m +=(10)-，m A ． B ． C ． D ．2456【答案】B【分析】根据题意得到得到答案. 314m =+=【详解】椭圆焦点在轴上，且，故. x 1c =314m =+=故选：B.3．等差数列的前项和为，若则等于 {}n a n n S 242,10,S S ==6S A ．12 B ．18 C ．24 D ．42【答案】C【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6，第三个2项和为14，则， 6281424S =++=故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．在正方体中O 为面的中心，为面的中心.若E 为中点，1111ABCD A B C D -11AA B B 1O 1111D C B A CD 则异面直线与所成角的余弦值为（） AE 1OOA B C D 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. AE 1OO 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，2，()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,1,1,1,2A E O O， ()()12,1,0,1,0,1AE OO =-=-设异面直线与所成角为，AE 1OO θ则. cos θ=故选：B5．数列中，，对所有的，，都有，则等于（）{}n a 11a =2n ≥*n ∈N 2123····n a a a a n ⋯=35a a +A ． B ．2592516C ．D ．61163115【答案】C【分析】分别令，代入递推关系式，即可求出，进而求出结果.2,3,4,5n =35,a a 【详解】当时，；当时，；2n =2122a a =3n =21233a a a =当时，；当时，；4n =212344a a a a =5n =2123455a a a a a =则，； 212331229=243a a a a a a ==21231245524325=4165a a a a a a a a a a ==所以. 356116a a +=故选：C.6．若直线与直线平行，则实数的值为()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=m （）A ．B ．1C ．1或D ．98-98-1-【答案】A【分析】根据两直线平行得到，解得，再代入检验.()()223232m m m m -=+--m【详解】解：因为直线与直线平行，()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=所以，解得或，()()223232m m m m -=+--1m =98m =-当时直线为，显然不成立，故舍去；1m =()()222341m m x m m y m +-+-=-03=当时直线为，符合题意； 98m =-()()222341m m x m m y m +-+-=-1021531164642x y -+=-故选：A7．设实数，满足） x y 4x y +=A B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】上的点与点的距离，从而利用4x y +=()1,1-点到直线的距离公式即可求得最小距离.，==上的点与点的距离， 4x y +=()1,1-所以最小值为.d 故选：C.8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小{}n a {}n b {}n a {}n b 到大排列得到数列，则下列说法正确的是（） {}n c A ． B ．C ．D ．122a b c +=824b a c -=238b c =629a b c =【答案】C【分析】由等差数列的通项公式依次写出，再依次判断四个选项即可.,,n n n a b c 【详解】根据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以{}n a ()23131n a n n =+-=-，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共{}n b ()35152n b n n =+-=-{}n a {}n b 项从小到大排列得到数列，{}n c故数列是首项为8，公差为15的等差数列，． {}n c ()8151157n c n n =+-=-对于A ，，，，故错误； 12225210a b +=+⨯-=2152723c =⨯-=122a b c +≠对于B ，，，，故错误； 8258232133b a -=⨯--⨯+=4154753c =⨯-=824b a c -≠对于C ，，，，故正确；235232113b =⨯-=81587113c =⨯-=238b c =对于D ，，，，故错误． ()()62361522136a b =⨯-⨯⨯-=91597128c =⨯-=629a b c ≠故选：C ．二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（）A ．若，则或a b = a b = a b =- B ．若向量是向量的相反向量，则a ba b = C ．在正方体中，1111ABCD A B C D -11AC AC =D ．若空间向量，，满足，，则mn p m n = n p = m p = 【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A ：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A 错误； a b = a b 对于选项B ：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B 正确；对于选项C ：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以1111ABCD A B C D -AC 11A C11AC AC = C 正确；对于选项D ：若，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论m n = n p = m p ，m p = ,m n p ，也正确，所以D 正确. 故选：BCD.10．已知曲线.（） 22:1C mx ny +=A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示0m n >>0m n =>0mn <双曲线，时表示两条直线.0,0m n =>【详解】对于A ，若，则可化为， 0m n >>221mx ny +=22111x y m n +=因为，所以， 0m n >>11m n<即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A 正确；C y 对于B ，若，则可化为， 0m n =>221mx ny +=221x y n+=此时曲线的圆，故B 不正确； C 对于C ，若，则可化为， 0mn <221mx ny +=22111x y m n +=此时曲线表示双曲线， C 由可得，故C 正确； 220mx ny +=y =对于D ，若，则可化为， 0,0m n =>221mx ny +=21y n=表示平行于轴的两条直线，故D 正确； y =C x 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是{}n a n n s 121n n s s n +=+-*N n ∈（）（）A ．数列为等比数列{}n s n +B ．数列的通项公式为{}n a 121n n a -=-C ．数列为等比数列{}1n a +D ．数列的前n 项和为 {}2n s 2224n n n +---【答案】AD【分析】由条件找到可判断A 正确，由A 可求得的通项公式，利用分组1(1)2(),n n s n s n +++=+{}n s求和可得D 正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD 错误. {}n s {}n a 【详解】 121,n n s s n +=+- 1(1)2(),n n s n s n +∴++=+又1120,s +=≠数列是首项公比都为的等比数列，故选项A 正确.∴{}n s n +2又2nn s n +=1222,n n s n +∴=-所以数列的前和为，故选项D 正确.{}2n s n 2222(12)(1)224122n n n n n n +-+-⨯=----又因为，2nn s n +=2n n s n =-当，2n ≥1121,n n n n a s s --=-=-当，，1n =11a =故选项B 错误.11,121,2n n n a n -=⎧∴=⎨-≥⎩ 12,112,2n n n a n -=⎧+=⎨≥⎩32121111a a a a ++∴≠++所以数列不是等比数列.故选项C 错误.{}1n a +综上，故选：A D12的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C ：，22221(0)x y a b a b +=>>，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上1A 2A 1B 2B 1F 2F P 一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴，且D ．四边形的内切圆过焦点1PF x ⊥21//PO A B 1221A B A B 12,F F【答案】BD【分析】确定正确答案.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a ab +=++化简得，即有，220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，轴，且，1PF x ⊥21//PO A B 由，解得， ()22221Pc y a b-+=2Pb y a =±不妨设，由，可得，2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭21PO A B k k=2b b a a c=--解得，又，所以，不符合题意，故C 错误； b c =222a b c =+c e a===对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ， 1221A B A B 1F 2F 1221A B A B 则，即，ab =222b a c =-42310e e-+=解得即，符合题意，故D 正确； 2e =2e =e =故选：BD【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化,a c 为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率. ca,a c e三、填空题13．设等差数列的前n 项和为，若，，则________. {}n a n S 23a =-510S =-5a =【答案】【分析】根据，求出，，再计算即可. 23a =-510S =-14a =-1d =5a 【详解】由题知：，解得：，. 113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩14a =-1d =. 5440a =-+=故答案为：0【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于n 简单题.14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为1F 2F C 22194x y +=M C 12MF MF ⋅________．【答案】9【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 126MF MF +=12MF MF ⋅【详解】∵在椭圆上 M C ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得，即，当且仅当126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤时取等号.123MF MF ==故答案为：9.15．已知双曲线(a ＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．22221x y a b-=>【答案】 y =【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. ba【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得22221xy a b -=2=b a =故双曲线的渐近线方程为. y =故答案为：.y =四、双空题16．点P 是直线上的动点，直线与圆分别相切于A ，B2100x y ++=,PA PB 22230C x y x +--=；两点，则当点 P 的坐标为___________时，切线段的长度最短；四边形面积的最小值PA PACB 为___________.【答案】1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭【分析】，当最短时的长度最短，求出直线的方程与PC PA PA 联立可得解得坐标；P 由四边形，当最短时最小，可得的最小值.2A PACB PAC S S ==PC PACB S PACB S 【详解】由得圆心，半径圆， ()2214x y -+=()10，C 2R =所以当最短时的长度最短，PC PA 由圆心做直线的垂线，垂足为，此时最短， C 2100x y ++=P PC 所以直线的斜率为，方程为， PA 12()112y x =-由解得，即.()2012101y y x x ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩+195125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩=-1912,55P -⎛⎫- ⎪⎝⎭四边形22A PACB PAC S S AC PA PA ==⨯==所以当最短时最小，由圆心到直线的距离为PC PACB S C 2100x y ++=，所以的最小值为. PACBS ==故答案为：. 1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭五、解答题17．等比数列中，已知． {}n a 142,16a a ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和． 35,a a {}n b {}n b n n S 【答案】(1) .2n n a =(2) .2622n S n n =-【详解】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．{}n b n 试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以{}n a q 3162q =2q =（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，38a =532a =38b =532b =设的公差为，则有解得 {}n b d 1128{432b d b d +=+=116{12b d =-=从而 1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列的前项和{}n b n 2(161228)6222n n n S n n -+-==-【解析】等差、等比数列的性质18．如图，若是双曲线的两个焦点. 12,F F221916x y -=（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.12|||3|2F PF P =⋅12F PF △【答案】（1）10或22；（2）.1216F PF S =△【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证21||||6PF PF -=2212||||PF PF +，，再计算直角三角形面积即可.2221212||||||100PF PF F F +==1290F PF ∠=︒【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则， 12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，M m 则由双曲线定义可知，，解得或，|16|26m a -==10m =22m =即点到另一个焦点的距离为或；M 1022（2）P 是双曲线左支上的点，则，21||||26PF PF a -==则，而，221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅所以，2212||||36232100PF PF +=+⨯=即，2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，12F PF △1290F PF ∠=︒所以. 121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=A 19．如图，在四棱锥S ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面-ABCD ，△SCD 是以CD 为斜边的等腰直角三角形，BC ＝2AD ＝2CD ＝4，E 为BS 上一点，且BE ＝2ES ．(1)证明直线SD ∥平面ACE ；(2)求点E 到平面ACS 的距离．【答案】(1)答案见解析【分析】（1）连接交于点F ，由可得，再结合可得BD AC AD BC ∥2BF BC FD AD==2BE BF ES FD ==，再由线面平行的判定定理可证得结论； EF SD ∥（2）由题意可证得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用BC ⊥SCD C xyz -ACS 点到平面的距离公式求解．【详解】（1）连接交于点F ，连接， BD AC EF 因为，所以与相似，所以， AD BC ∥AFD △CFB A 2BF BC FD AD ==又，所以， 2BE BF ES FD==EF SD ∥因为平面平面，EF ⊂,ACE SD ⊄ACE 所以直线平面SD A ACE （2）因为平面平面，平面平面平面，，所SCD ⊥ABCD SCD ,ABCD CD BC =⊂ABCD BC CD ⊥以平面，BC ⊥SCD 以C 为坐标原点，所在的方向分别为y 轴､z 轴的正方向，与均垂直的方向作为x 轴,CD CB,CD CB 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，C xyz -因为， 224,2BC AD CD BE ES ====则， 224(0,0,0),(1,1,0),(0,2,2),,,333C S A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以， 224(0,2,2),(1,1,0),,,333CA CS CE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为，则，即， ACS (,,)m x y z = 00m CA m CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y z x y +=⎧⎨+=⎩令，得，于是，1z =1,1x y ==-(1,1,1)m =- 则点E 到平面ACS 的距离为CE m m⋅== 20．已知数列的各项均为正数，其前项和满足． {}n a n n S 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．()()1111n n n b a a +=++{}n b n n T 【答案】(1)；21n a n =-(2). 44n n T n =+【分析】（1）根据与之间的关系进行求解即可；n S n a （2）运用裂项相消法进行求解即可, 【详解】（1）在中，令，得， 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭1n =11211112a a S a +⎛⇒⎫= ⎪⎝⎭==当时，由， ,2n n *∈≥N 22111122n n n n a a S S --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⇒ ⎪⎝⎭⎝⎭于是有， ()()221111201122n n n n n n n n n a a a a S a a a S ----++⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝-⇒+-=⎭因为数列的各项均为正数，{}n a 所以由，()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n a 所以有，显然适合，1(1)221n a n n =+-⋅=-11a =因此；21n a n =-（2）由（1）可知：， 21n a n =-所以， ()()()()1111111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 11111114223144n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭ 21．已知圆过点，且圆心在直线上.C (6,0),(1,5)A B :2780l x y -+=(1)求圆的标准方程；C (2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐()0,5D k l C ,M N 30OM ON ⋅= O 标原点，求直线的方程.l 【答案】(1)22(3)(2)13x y -+-=(2)5y =【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三,A B 个参数，即可求出圆的方程；,,a b r （2）根据条件设出直线的方程，消去得到关于的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入l y x ，解出的值，分别判断是否满足，从而得出直线方程.30OM ON ⋅= k 0∆>【详解】（1）设所求圆的方程为，222()()x a y b r -+-=则由题可得：，解得： 222222(6)(0)(1)(5)2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩{a =3b =2r 2=13故所求圆C 的方程为.22(3)(2)13x y -+-=（2）由题设，可知直线的方程为.l 5y kx =+代入方程，整理得，22(3)(2)13x y -+-=22(1)6(1)50k x k x +--+=设，1122(,),(,)M x y N x y 则，， 1226(1)1k x x k -+=+12251x x k =+12121212(5)(5)OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ 21212230(1)(1)5()25301k k k x x k x x k -=++++=++由题设可得，解得或， 230(1)30=301k k k -++=1k =0k 经检验不满足=1k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅> 满足=0k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅>所以的方程为.l 5y =22．已知正方形的边长为4，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上．(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线平面EMC ；//OD (2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为；若存在，求此时二面角60 M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上，且，证明见解析；2AO =(2)存在，. 14【分析】（1）延长FM 与EA 的延长线交于点O ，判断点O 在平面ADE 内，连接DF 交CE 于N ，结合线面平行的判定推理作答；（2）以AE 的中点H 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量确定点M 的位置，再计算两个平面夹角余弦作答.【详解】（1）依题意，四边形是矩形，点M 为AB 的中点，如图1，延长FM 与EA 的延长ABFE 线交于点O ，又平面ADE ，即有平面ADE ，因，且， EA ⊂O ∈//AM EF 1122AM AB EF ==因此点A 为线段EO 中点，即AO =2，M 为线段FO 的中点，连接DF 交CE 于N ，连接MN ，矩形CDEF 中，N 是线段DF 中点，于是得，而平面，平面，//MN OD MN ⊂EMC OD ⊄EMC 所以平面.//OD EMC （2）依题意，，，，平面，平面，则EF AE ⊥EF DE ⊥AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 平面，且为二面角的平面角，即. EF ⊥ADE AED ∠A EF D --60AED ∠=o连接，而，AD 2AE DE ==即有为正三角形，取的中点H ，连接DH ，则，ADE V AE DH AE ⊥由平面，平面，得平面平面，EF ⊥ADE EF ⊂ABFE ADE ⊥ABFE 又平面，平面平面，于是得平面，DH ⊂ADE ADE ABFE AE =DH ⊥ABFE 取BF 中点G ，连接HG ，由矩形得，即有两两垂直，ABFE HG AE ⊥,,HA HG HD 以点H 为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2，,,HA HG HD ,,x yz则点，，.()1,0,0E-(D (0,C 假设存在点M 满足条件，因点M 在线段AB 上，设，， ()1,,0M t ()04t ≤≤，，. (ED =(1,EC = ()2,,0EM t = 设平面的一个法向量，则， EMC ()111,,x n y z =111114020n EC x y n EM x ty ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令， 1y=(),8n t =- 因直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则，解得或， ||sin 60|cos ,|||||n DE n DE n DE ⋅=〈〉===1t =3t =即存在点满足直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，点为线段AB 的靠近点A 或B 的四等分M M 点.设平面的一个法向量，则， ECF ()222,,m x y z=22222040m ED x m EC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，得， 21z =-)1m =-则.)()1,8m n t -⋅=⋅-u r r 3848t t t =--+=-+令平面MEC 与平面ECF 的夹角为，θ则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉= ==显然或时，. 1t =3t =1cos 4θ=由图可知，二面角为锐角， M EC F --所以二面角的余弦值为. M EC F --14。

北京海淀区2022-2023年高二上数学期末试卷及答案

数学参考答案第 1 页（共 5 页）海淀区高二年级练习数学参考答案 2023.01一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）B （4）D （5）C（6）A （7）A （8）D （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（ 11（12）12-（13（14）8（15）①③④注：第15题少选项得2分，错选或未作答均为0分。

三、解答题（共4小题，共40分）（16）（本小题10分）解：（Ⅰ）当1k =时，直线2l 的方程为2y x =-.由1, 2y y x =⎧⎨=-⎩得 3,1.x y =⎧⎨=⎩所以点A 的坐标为(3,1)． …………2分因为点A 关于坐标原点的对称点为C ，所以点C 的坐标为(3,1)--． …………3分（Ⅱ）由题意知0k ≠．由1, 2y y kx =⎧⎨=-⎩得3 ,1.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以点A 的坐标为3(,1)k ．…………4分因为点A 关于坐标原点的对称点为C ，所以点C 的坐标为3(,1)k --．…………5分因为四边形ABCD 为菱形，所以 AC BD ⊥，//CD AB .数学参考答案第 2 页（共 5 页）所以点D 的纵坐标为1-. …………6分由点D 在直线2l 上，所以点D 的横坐标为1k，即点D 的坐标为1(,1)k -． …………7分在菱形ABCD 中，点D ，点B 关于坐标原点对称，所以点B 的坐标为1(,1)k-. …………8分由AC BD ⊥可得111(1)11133()()k k k k----⋅=-----．所以k =，即k的值为. …………10分（17）（本小题10分）解：（Ⅰ）因为曲线M 上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线2x =-的距离小1，所以曲线M 上的点均位于y 轴上或y 轴的右侧．所以曲线M 上的任意一点到点(1,0)的距离等于它到直线1x =-的距离．所以曲线M 的方程为24y x =． …………4分（Ⅱ）设直线BC 的方程为(1)2x m y =-+，11(,)B x y ，22(,)C x y ． …………5分由24, (1)2y x x m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得24480y my m -+-=． …………6分因为 21616320m m ∆=-+>，所以 124y y m +=，1248y y m =-． …………7分因为点(0,1)E ，点(2,1)A ，所以 EBC △的面积121||||2S AE y y =⋅⋅-= …………9分当12m =时，EBC △的面积取得最小值 …………10分数学参考答案第 3 页（共 5 页）（18）（本小题10分）解：（Ⅰ）取PA 的中点E ，连接EF ，EG .因为点F 为PD 的中点，所以 //EF AD ，12EF AD =.…………1分因为四边形ABCD 是平行四边形，所以 //BC AD ，BC AD =. 因为点G 为线段BC 的中点，所以 12CG BC =．所以 //EF CG ，EF CG =. 所以四边形EFCG 是平行四边形，所以 //FC EG . …………2分因为 EG ⊂平面PAG ，FC ⊄平面PAG ，所以 //CF 平面PAG ． …………3分（Ⅱ）选择条件①②：因为 PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，所以 30PCA ∠=︒. …………4分因为 2PA =，所以AC =因为AD =，四边形ABCD 是平行四边形，所以 //AD BC，BC =因为 2AB =，所以 22212AC AB BC ==+. 所以 90ABC ∠=︒，即AB BC ⊥.所以 AB AD ⊥. …………5分如图建立空间直角坐标系A xyz -．由题意得(2,0,0)B，F ，(2,22,0)C，(0,22,0)D ．所以(2,0,0)AB =，(0,AF =，AC =，AD =．设平面ABF 的法向量为000(,,)x y z =n ，则E GFDCBAP数学参考答案第 4 页（共 5 页）0,0,AB AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即00020,0.x z =⎧⎪+=令0y =，则02z =-．于是2)=-n ． …………6分设平面ACF 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即111120,0.x z ⎧+=⎪+=令1y ，则12z =-，12x =-．于是(2)=--m ． …………7分（ⅰ）直线CD 到平面ABF 的距离为26||AD ⋅=n n . …………8分（ⅱ）因为 cos ,||||⋅〈〉==n m n m n m 所以二面角B AFC --． …………10分选择条件①③：因为 PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，所以 30PCA ∠=︒，PA AB ⊥. …………4分因为 2PA=，所以 AC =因为平面PAB ⊥平面PAD ，BA ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PAD PA =，所以 BA ⊥平面PAD . 所以 BA AD ⊥.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是矩形. 因为 2AB=，所以BC ==. …………5分以下同选择条件①②.选择条件①②③：同选择条件①②或选择条件①③.数学参考答案第 5 页（共 5 页）（19）（本小题10分）解：（Ⅰ）因为椭圆E 的焦距为2，长轴长为4，所以 1c =，2a =．所以 2223b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22143x y +=． …………3分（Ⅱ）存在定点4(,0)3P -，使得'B 恒在直线PC 上. 理由如下： …………4分设直线:l 3x my =-，11(,)B x y ，22(,)C x y ，则11'(,)B x y -．所以 224(,)3PC x y =+，114'(,)3PB x y =+-.由221,433x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(34)18150m y my +-+=． …………6分所以 248(35)0m ∆=->，1221834m y y m +=+，1221534y y m =+． …………8分因为 113x my =-，223x my =-，所以 12211212445()()2()333x y x y my y y y +++=-+22155********mm m m =⨯-⨯++ 0=．所以 //'PC PB ．所以点'B ，P ，C 共线． …………10分。

北京市海淀区高二数学上学期期末练习试题理

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B. 83 C.163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（）A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2-C.[2-D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号） ①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ； ( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12xC y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A . ( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.海淀区高二年级第一学期期末练习OAxPQ数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1214. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分（II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =u u u r ，(,2)AP x y =-u u u r，-------------6分所以 222OP AP x y y ⋅=+-u u u r u u u r.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-u u u r u u u r. -------------8分又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分所以[1,3]OP AP ⋅∈-u u u r u u u r. -------------10分16．（本小题满分12分）解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y xy x t ⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -==12t <. -------------6分（II）因为||AB ==4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分所以1215x x t +=-=，所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =,所以AFB △的周长为-------------12分17.（本小题满分12分）解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==u u u r u u u r ,所以CB OA =u u u r u u u r,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==u u u r u u u r （）,（）,所以12CE OD =u u u r u u u r,所以OD CE ∥-------------2分又,OA OD D CE CB C ==I I所以平面OAD CBE ∥-------------3分所以BE ∥平面ADO -------------4分法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面，取其法向量为(0,1,0)n =r，-------------1分而(2,0,1)BE =-u u u r ,所以0BE n ⋅=u u u r r ，即BE n ⊥u u u r r，-------------3分又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分（II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =u r,因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-u u u r u u u r,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u ru u u r u r, 所以可取(1,0,1)m =u r . -------------6分又(2,2,0),OB =u u u r设OB 与平面ABD 所成的角为θ.所以1sin |cos ,|||2||||OB mOB m OB m θ⋅=<>===u u u r u ru u u r u r u u u r u r . -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直. 设BP BE λ=u u u r u u u r, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-u u u r.又(2,2,2)BD =--u u u r,所以4420AP BD λλ⋅=-+=u u u r u u u r，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直，点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠，而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQx x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+, 所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分（II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直，所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

北京市海淀区高二数学上学期期末试卷理(含解析)

北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E （0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BE C为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最值，进而得到范围．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值范围是．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为1或﹣1．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．解答：解：已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣1点评：本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是④．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先判断PA表示P到直线AA1的距离，从而可得点P到A的距离等于点P到直线CD的距离，利用抛物线的定义，可得结论．解答：解：设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．点评：本题以正方体为载体，考查抛物线的定义，判断PA表示P到直线AA1的距离是解题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（ I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（ II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（II）运用抛物线的定义和（I）的结论，可得|AF|+|BF|，进而得到△AFB的周长．解答：解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E （0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求出平面ABD的法向量，利用向量法即可求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论．解答：解：（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是 xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（ II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，，设Q（﹣x1，﹣y1），由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）由，得k AQ=，从而直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，由此能证明直线PB与x轴垂直．解答：（1）解：设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．点评：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

2022-2023学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.经过点且倾斜角为的直线的方程是( )A. B.C.D. 3.已知直线l 经过点，，平面的一个法向量为，则( )A. B.C.D. l 与相交，但不垂直4.已知抛物线上的点到其焦点的距离是1，那么实数a 的值为( )A.B.C. 1D. 25.在平行六面体中，点M 满足若，，，则下列向量中与相等的是( )A.B. C. D.6.已知直线l ：，：，则“”是“直线l 与相交”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在正方体中，直线l 是底面ABCD 所在平面内的一条动直线，记直线与直线l所成的角为，则的最小值是( )A. B.C.D.8.已知A ，异于坐标原点是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M 中，使得为钝角三角形的是( )A.B.C.D.9.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM，PN，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是( )A. QB. RC. SD. T10.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是( )A. 当点P在侧面上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为B. 当点P为棱的中点时，平面BMPC. 当点P在棱上时，点P到平面CNM的距离的最小值为D. 当点时，满足平面NCP的点P共有2个二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二年级上册学期数学期末复习试题【含答案】

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二上学期数学期末复习试题一、单选题1．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（）z (34i)4i()z b b -=+∈R z b A ．B ．C ．4D ．34-3-【答案】D【分析】首先变形求出的表达式，再根据纯虚数的定义求解即可.z 【详解】∵，，()()34i 4i z b b -=+∈R ()()()()4i 34i 124316i 4i 34i 2525b b b b z ++-+++∴===-因为为纯虚数，z 124033160b b b -=⎧⇒=⎨+≠⎩故选：D2．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b 假设：，由可得：，////a b c //a b //a β//b α又，可知，l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.3．“m =0是“直线与直线之间的距离为2”的（）()12110mx m l y +-+=：()22110l mx m y +--=：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得或，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.0m =45m =【详解】两条平行线间的距离，即，解得或，2d ==2540m m -=0m =45m =即“”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.0m =故选：A.4．如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面ABCD AB BD ⊥BD ABD △ABD ⊥，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）BCD AC ABCDA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用线面垂直得到平面平面，平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 得到答案.【详解】平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABD ⋂BCD BD =，平面，故平面，平面，故平面平面；AB BD ⊥AB ⊂ABD AB ⊥BCD AB ⊂ABC ABC ⊥BCD ，平面，故平面，平面，故平面平面；CD BD ⊥CD ⊂BCD CD ⊥ABD CD ⊂ACD ACD ⊥ABD 综上所述：平面平面；平面平面；平面平面；ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 故选：C5．直线被圆截得的弦长的最小值为（）:310l ax y a --+=22:(1)(2)25C x y ++-=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】确定直线过定点，当时，直线被圆截得的弦长最短，计算即可.()3,1P PC l ⊥l C 【详解】直线，即，直线过定点，:310l ax y a --+=()310a x y --+=l ()3,1P 圆的圆心为，，当时，直线被圆截得的弦长最短.C ()1,2C -=5r PC l ⊥l C因为，所以弦长的最小值为.PC ===故选：B6．在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（）A B C 1AC BC ⋅=C A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【分析】设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．A B C C 【详解】解：在平面内，，是两个定点，是动点，A B C 不妨设，，设，(,0)A a -(,0)B a (,)C x y 所以，(),AC x a y =+(),BC x a y =-因为，1AC BC ⋅= 所以，即，()()21x a x a y +-+=2221x y a +=+所以点的轨迹为圆．C 故选：A ．7．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（）22148x y -=()2,4A ．B ．C ．2D ．4【答案】D【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解.()22048x y λλ-=≠()2,4λ【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，22148x y -=()22048x y λλ-=≠该双曲线经过点，()2,4．416148λ∴=-=-所求的双曲线方程为：，即．∴22148x y -=-22184y x -=所以，2b =所以虚轴长为4.故选：D8．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置()0,0O ()3,0A (),P x y 2PAPO=P ()2221x y -+=关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离【答案】B【分析】由题意求出动点的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.P 【详解】设,由题意可知,(,)P x y ()222222||4||,(3)4PA PO x y x y =∴-+=+ 整理得,点的轨迹方程为,P 22(1)4x y ++=其图形是以为圆心，以2为半径的圆，(1,0)-而圆的圆心坐标为,半径为1,22(2)1x y -+=(2,0)可得两圆的圆心距为3,等于,213+=则动点的轨迹与圆的位置关系是外切.P 22(2)1x y -+=故选：B.9．已知点是抛物线上的动点，点A 的坐标为，则点到点A 的距离与到轴的距P 24x y =()12,6P x 离之和的最小值为（）A ．13B ．12C ．11D 【答案】B【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点到点A 的距离与到轴的距离之和P x ，由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为，求出答案.1PA PH PA PF +=+-1AF -【详解】如图，⊥轴，连接，PH x PF 由抛物线定义得：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，24x y =1y =-()0,1故，1PH PF =-则点到点A 的距离与到轴的距离之和，P x 1PA PH PA PF +=+-连接，与抛物线交于点，此时，AF P '11P A P F AF ''+-=-故点到点A 的距离与到轴的距离之和的最小值为，P x 1AF -其中，故最小值为.13AF ==112AF -=故选：B10．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以1F 2F C ()222210,0x y a b a b -=>>A 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的12F FM N 135MAN ∠=︒离心率为（）ABC ．2D【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从222x y c +=by xa =(),M a b MAO ∠a b 与而进一步解出答案.【详解】依题意得, 以线段为直径的圆的方程为 ,12F F 222x y c +=双曲线的一条渐近线的方程为.C b y x a =由以及222,,b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩222,a b c +=解得或,x a y b =⎧⎨=⎩,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取 , 则.(),M a b (),N a b --因为,(),0,135A a MAN ∠-=所以 ,45MAO ∠=又,tan 2b MAO a ∠=所以,12b a =所以 ,2b a =所以该双曲线的离心率 e ==故选：D.二、填空题11．在复数范围内分解因式：___________.44x +=【答案】()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--【分析】因式分解第一步将，第二步()()2422i 4i 2x x x =+-+=()()2222i 1i xx +=-- 综合起来即可得到答案.()()2222i 1i xx -=-+【详解】由题意知()()()()22222242i 2i 14i 1i x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---+⎣⎦⎣⎦故答案为：.()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--12化简后为______．10=【答案】2212516y x +=【分析】运用方程的几何意义得出结果.【详解】解：，10+=故令，，(),M x y ()10,3F -()20,3F ∴，1212106MF MF F F +=>=∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，()10,3F -()20,3F 210a =即，，，5a =3c =4b =∴方程为.2212516y x +=故答案为：.2212516y x +=13．已知集合，，若集合中有2个元素，则实数(){,A x y x ==(){},B x y y x b ==+A B ⋂b 的取值范围是______【答案】(1⎤-⎦【分析】首先分析集合、的元素特征，再数形结合求出参数的取值范围.A B b 【详解】解：由，所以，x =0x ≥221x y +=()0x ≥所以表示以为圆心，为半径的圆在轴及右侧部分的点集，(){,A x y x ==()0,01y 集合表示直线上的点集，(){},B x y y x b ==+y x b =+集合与集合都是点集，集合中有个元素，A B A B ⋂2由，解得1d ==b =由图可知，即.1b <≤-(1b ⎤∈-⎦故答案为：(1⎤-⎦14．已知实数满足，则的最大值为__________.,x y 2222x y x y+=+4yx -【答案】1【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将看作曲线上的点与坐标为的点连线的斜4y x -()4,0率，求出最大值.【详解】由“”和“”代入方程仍成立，所以曲线关于x 轴和y 轴对称，故只x -y -2222xy x y+=+需考虑，的情形，0x ≥0y ≥此时方程为，即，所以的轨迹如下图，2222x y x y +=+()()22112x y -+-=(),x y，表示点和连线的斜率，由图可知，当曲线第四象限部分半圆（圆心为044y y x x -=--(),x y ()4,0l l.()1,1-设：，解得或（舍去），l ()4y k x =-1k =17-所以的最大值为1.4yx -故答案为：1.15．在正方体中，N 为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个1111ABCD A B C D -ABCD P 11A D 端点），为线段的中点，则下列说法中正确的序号是________________．M AP①与是异面直线；CM PN ②；CM PN >③平面平面；PAN ⊥11BD B ④过三点的正方体的截面一定是等腰梯形．,,P A C 【答案】②③④【分析】连接NC ，根据平面几何知识可得CN ，PM 交于点A ，可判断①；分别在△MAC 中，和在△PAN 中，运用余弦定理求得CM 2和PN 2，比较大小可判断②；证明与平面后可得面AN 11BDD B 面垂直，可判断③；作出过三点的截面后可判断④．,,P A C 【详解】解：连接NC ，因为共线，即交于点，共面，,,C N A ,CN PM A因此共面，①错误；,CM PN 记，则，PAC θ∠=2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅又，AP AC <，，即．②正确；22223()04CM PN AC AP -=->22CM PN >CM PN >由于正方体中，，平面，平面，AN BD ⊥1BB ⊥ABCD AN ⊂ABCD 所以，因为，平面，1BB AN ⊥1BB BD B ⋂=1,BB BD ⊂11BB D D 所以平面，AN ⊥11BB D D 因为平面，AN ⊂PAN 所以平面平面，即平面平面，③正确；PAN ⊥11BDD B PAN ⊥11BD B过点作交于点，连接，由正方体性质知，，P 11//PK A C 11C D K 11,KC A C 11//A C AC 所以，共面，且，//PK AC ,PK AC 11A P C K =故四边形就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，PKCA 因为，为线段上的动点（不包括两个端点），P 11A D 所以，，PK AC ≠2222221111AP A P A A C K C C CK =+=+=故四边形是等腰梯形，故④正确．PKCA 故答案为：②③④.三、解答题16．已知直线():10l x m y m +--=(1)若直线的倾斜角，求实数m 的取值范围；ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求面积的最小值及此AOB 时直线l 的方程．【答案】(1)01m ≤≤(2)最小值为2，直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得；m （2）由题意可得点和点，可得，由基本不0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 111[(1)2]221S OA OB m m ==-++-等式求最值可得．【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意1m =2π当时，直线l 的斜率1m ≠11k m =-∵倾斜角，∴．[)ππ,tan 1,42k αα∞⎡⎫∈⇒=∈+⎪⎢⎣⎭11011m m ≥⇒≤<-故m 的范围：．01m ≤≤（2）解：在直线l 中：令x ＝0时，即，令y ＝0时x ＝m ，即1m y m =-0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 由题意可知：得001x m m y m =>⎧⎪⎨=>⎪-⎩1m >即()()()2212111112212121AOBm m m m S OA OB mm m m -+-+=⋅=⋅==---△()1111222212m m ⎡⎤⎡⎤=-++≥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦当且仅当时取等号，()2111121m m m m -=⇒-=⇒=-故最小值为2，此时直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=17．已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横E ()0,0A ()2,2B 线处，并解答．①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线y E ()20R mx y m m --=∈440x y +-=的交点C ．240x y --=(1)求圆的方程；E (2)求过点的圆的切线方程．()4,3P E 【答案】(1)任选一条件，方程都为22(2)4x y -+=(2)或4x =512160x y -+=【分析】(1) 选①，设圆的方程为，根据题意列出方程组，求解即可；E 222()()x a y b r -+-=选②，由题意可得直线恒过为圆的圆心，代入A 点坐标即可求解；20mx y m --=(2,0)E 选③，求出两直线的交点为，根据圆过A ，B ，C 三点求解即可；(4,0)C E (2)先判断出点P 在圆外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.E 【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，E 222()()x a y b r -+-=由题意可得，解得，则圆的方程为；222222(2)(2)a ra b ra b r ⎧=⎪+=⎨⎪-+-=⎩202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 22(2)4x y -+=选②，直线恒过，20mx y m --=(2,0)而圆恒被直线平分，E 20(R)mx y m m --=∈所以恒过圆心，因为直线过定点，20mx y m --=20mx y m --=(2,0)所以圆心为，可设圆的标准方程为，(2,0)222(2)x y r -+=由圆经过点，得，E (0,0)A 24r =则圆的方程为．E 22(2)4x y -+=选③，由条件易知，(4,0)C 设圆的方程为，2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->由题意可得，解得，082201640F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的方程为，即．E 2240x y x +-=22(2)4x y -+=综上所述，圆的方程为；E 22(2)4x y -+=（2）解：因为，所以点P 在圆外，22(42)3134-+=>E 若直线斜率存在，设切线的斜率为，k 则切线方程为，即3(4)y k x -=-430.kx y k --+=，解得．2512k =所以切线方程为，512160x y -+=若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．4x =综上过点的圆的切线方程为或．(4,3)P E 4x =512160x y -+=18．如图，在三棱一中，为等腰直角三角形，.-P ABC ABC π,2BAC ∠=π3PAC PAB ∠=∠=(1)求证：;PA BC ⊥(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.24PA AC ==PAB PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，连接以及，先证明，再根据线面垂直的判定证BC D AD PD ACP ABP ≌△△明平面，进而根据线面垂直的性质证明即可；BC ⊥PAD （2）根据角度关系，结合线面垂直的判定可得平面，再根据线线垂直，以为原点，AC ⊥CPE A 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，再分别计算平面与平面的法向量求解即AB x AC y PAB PBC 可.【详解】（1）证明：取中点，连接以及，如图2，BC D AD PD图2在和中，，，，ACP △ABP AB AC =AP AP =PAC PAB ∠=∠所以ACP ABP ≌△△所以，所以CP BP =PD BC⊥又因为，平面，平面，，AD BC ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D = 所以平面BC ⊥PAD又因为平面，所以AP ⊂ADP PA BC⊥（2）在平面中，过点作，垂足为，连接，，，如图3，PAD P PE AD ⊥E CE BE PE图3由（1）平面，则，则平面BC ⊥PAD BC PE ⊥PE ⊥ABC 在中，，，同理PCA π3PAC ∠=π22AP AC PCA =⇒∠=π2PBA ∠=∵，，且，平面，则平面.AC PE ⊥AC CP ⊥PE CP P ⋂=,PE CP ⊂CPE AC ⊥CPE 又∵平面，∴，同理可得，CE ⊂CPE A C CE ⊥AB BE ⊥则四边形为正方形，ABCE，则在中，可求出2AB AC BE CE ====Rt PBE △PB =PE =则以为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，A AB x AC y则，，，，()0,0,0A ()2,0,0B ()0,2,0C (2,2,P设平面的法向量为，，，PAB (),,m x y z =()2,0,0AB =(0,2,BP =则，令，则，2020x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩1y =0x=0,1,z m ⎛=⇒= ⎝ 设平面的法向量为，，，PBC (),,n x y z =()2,2,0CB =-(0,2,BP =则，令，则，22020x y y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1x =1y=1,1,z n ⎛=⇒= ⎝ 记二面角的平面角为，A PBC --θ则cos m nm n θ⋅===⋅又因为为锐角，则θcos θ=19．已知椭圆C ：与椭圆的离心率相同，为椭圆C 上()222210x y a b b a +=>>22184x y +=P ⎫⎪⎪⎭一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点？若1,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭T 存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.T 【答案】(1)2212y x +=(2)存在的坐标为，理由见解析T (1,0)-【分析】（1）先求出椭圆，由此得到，将点的坐标代入椭22184x y +=222a b =P 圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；C 221112b a +=222a b =21b =22a =（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB 为直径的圆经过定点，再证明猜想，(1,0)-(1,0)T -设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，1:3l x my =+2212y x +=12y y +12y y 12x x +，利用，，，证明即可.12x x 12y y +12y y 12x x +12x x 0TA TB ⋅=【详解】（1）在椭圆中，，，离心率22184x y +=1a =12b=12c ==e =11c a ==在椭圆C ：中，()222210x y a b b a +=>>c e a ===，=222a b =因为在椭圆C ：上，P ()222210x y a b b a +=>>所以，所以，所以，，221112b a +=2211122b b +=21b =22a =所以椭圆.22:12y C x +=（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB 为直径的圆的方程为，l AB 221x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB 为直径的圆的l l 13x =2212y x +=43y =±方程为，22116()39x y -+=联立，解得，2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩10x y =-⎧⎨=⎩由此猜想存在，使得以AB 为直径的圆是经过定点，(1,0)T -(1,0)T -证明如下：当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，l 1:3l x my =+联立，消去并整理得，221312x my y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x 22128(0239m y my ++-=，224184()0929m m ∆=++⋅>设、，11(,)A x y 22(,)B x y 则，，122213()2m y y m +=-+122819()2y y m =-+则，121212112()333x x my my m y y +=+++=++2222133()2m m =-++121211()()33x x my my =++2121211()39m y y m y y =+++22228211199()9()22m m m m =--+++，22101199()2m m =-++因为TA TB⋅1122(1,)(1,)x y x y =+⋅+1212(1)(1)x x y y =+++1212121x x x x y y =++++222221012281111939()3()9()222m m m m m =-+-++-+++2216816199()2m m +=-++，0=所以，所以点在以为直径的圆上，TA TB ⊥(1,0)T -AB 综上所述：以AB 为直径的圆是经过定点.(1,0)T -【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

2021-2022学年北京市海淀区高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年北京市海淀区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为45°的是（） A ．10x y +-= B ．10x += C ．20x y -+= D ．210x y --=【答案】C【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为1k =，对于A ，直线斜率为1k =-，对于B ，直线无斜率，对于C ，直线斜率1k =，对于D ，直线斜率22k =，故选：C2．若直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，则a 的值为（） A ．2 B ．1C ．12-D ．1-【答案】A【分析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，所以()1210a ⨯+-⨯=，解得2a =. 故选：A3．如图，在四面体O ABC -中，OA a →=，OB b →=，OC c →=，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a →，b →，c →表示为（）A ．111222a b c →→→++B ．111244a b c →→→++C ．111424a b c →→→++D ．111442a b c →→→++【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理，用a ，b ，c 表示向量OE ．【详解】因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，1()2OD OB OC =+，111111()()224244OE OA OD OA OB OC a b c =+=++=++．故选：B4．平面α与平面β平行的充分条件可以是（） A ．平面α内有一条直线与平面β平行 B ．平面α内有两条直线分别与平面β平行 C ．平面α内有无数条直线分别与平面β平行 D ．平面α内有两条相交直线分别与平面β平行【答案】D【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.【详解】对A ，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A 错误；对B ，若平面α内有两条直线分别与平面β平行，若这两条直线平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B 错误；对C ，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C 错误；对D ，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D 正确. 故选：D.5．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点)，则双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．2【答案】A【分析】先求出渐近线方程，进而将点)代入直线方程得到a ,b 关系，进而求出离心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：by x a=±，而一条渐近线过点)，则1=，b c e a a =⇒===故选：A.6．已知球O 的半径为2，球心到平面α的距离为1，则球O 被平面α截得的截面面积为（） A ．23π B ．3π C ．3πD ．π【答案】B【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解. 【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为22213-=，所以截面的面积()233S ππ==.故选：B7．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2PA =，2AB AC ==，则点A 到平面PBC 的距离为（）A ．1B 3C 2D ．12【答案】A【分析】设点A 到平面PBC 的距离为h ，根据等体积法求解即可. 【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥, 因为2PA =2AB AC ==，所以()22226PB PC =+=又AB AC ⊥，2AB AC ==，所以22222BC =+=所以()221221622222222△PBCS BC ⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭设点A 到平面PBC 的距离为h ，则P ABC A PBC V V --=, 即1133△△ABC PBC PA S h S ⋅=⋅,12222122h ⨯⨯⨯∴==，故选：A8．如图，1F ，2F 是平面上的两点，且1210F F =，图中的一系列圆是圆心分别为1F ，2F 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，，A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点，若点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上，则（）A ．点B 和C 都在椭圆M 上 B ．点C 和D 都在椭圆M 上 C ．点D 和E 都在椭圆M 上 D ．点E 和B 都在椭圆M 上【答案】C【分析】由123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =，然后根据定义逐一判断即可. 【详解】因为点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上，所以123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =因为12591412BF BF +=+=≠，12561112CF CF +=+=≠125712DF DF +=+=， 1211112EF EF +=+=所以,D E 在椭圆M 上故选：C9．设P 为直线2y kx =+上任意一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最大值为（） A 3B ．1 C 2D 3【答案】D【分析】根据题意，判断点P 与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的最大值.【详解】因为过过P 总能作圆221x y +=的切线，故点P 在圆外或圆上，也即直线2y kx =+与圆221x y +=相离或相切，则2211k ≥+，即214k +≤，解得3,3k ⎡⎤∈-⎣⎦，故k 的最大值为3. 故选：D.10．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A ，C 之间的曲线）绕其虚轴所在直线l 旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：113cm AA =，112cm BB =，120cm CC =，1115cm A B =，1148cm B C =，其中B 是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示学生甲乙丙丁估算结果（3cm ） 25200π17409π 14889π 13809π其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：2V R h π=圆柱，213V R h π=圆锥，()2213V h r rR R π=++圆台）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以112cm BB =为半径，高为1111481563cm B C A B +=+=的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20128cm -=，13121cm -=，高分别为48cm ,15cm ,2312()圆柱=63=9072cm V ππ⨯⨯,()22318151029()3圆锥=48+1cm V π⨯⨯⨯=,所以花瓶的容积33907210101cm cm πV π<<，故最接近的是丁同学的估算，故选：D 二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，111AC A B ⋅=___________. 【答案】1【分析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解. 【详解】如图，在正方体中，21111111001AC A B AC CC A B AB AD AA AB AB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅=++⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1 12．椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，过原点的直线与椭圆C 交于两点A 、B ，则ABF 的面积的最大值为___________. 【答案】4【分析】分析可知点A 、B 关于原点对称，可知当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值.【详解】在椭圆C 中，22a =2b =，则222c a b -，则()2,0F ，由题意可知，A 、B 关于原点对称，当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值，且最大值为1242c b ⨯⨯=.故答案为：4.13．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =，将ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1A C BD ⊥； ②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③【分析】在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ，对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，则可得到BD CE ⊥，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知11A D A E ED =+，BC BF FC =+，设平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ，进而得1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，进而得异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即可判断.【详解】解：如图1，在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ，则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，由于1A E BD ⊥，111A C A E A =，所以BD ⊥平面1A CE ，所以BD CE ⊥，这与图1中的BD 与CE 不垂直矛盾，故错误；对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，此时13AD AB A E BD ⋅==111131133324BCD V S A E =⋅⋅=⨯⨯=，故三棱锥1A BCD -的体积不大于14，故正确；对于③，11A D A E ED =+，BC BF FC =+，由②的讨论得1,12AE DF EF ===，所以ED BF =，所以()()1111A D A E ED A E ED EA BC BF FC FC BF FC BF ED ⋅+⋅⋅⋅=++=-⋅=+ 11139cos c ,,os 44EA EA ED FC FC B A F FC E =⋅⋅-+=-+，设翻折过程中，平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ，所以1,FC EA θ=，故139cos 44B ACD θ⋅=-+，由于要使直线1A D 与BC 为异面直线，所以()0,θπ∈，所以1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，所以11139cos 144,1cos ,32A D A D A D BCBC BCθ⋅=⋅-+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，由于1,1222⎛⎫ ⎪⎝⎭∈，所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 故答案为：②③三、双空题14．圆222690x y x y +-++=的圆心坐标为___________；半径为___________. 【答案】 (1,3)- 1【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是22(1)(3)1x y -++=，圆心坐标为(1,3)-，半径为1．故答案为：(1,3)-；1．15．已知双曲线M 的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M 的标准方程.①一个焦点坐标为()2,0；②经过点)3,0；③你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M 的标准方程是___________.【答案】 ①②或①③或② ③ 2213x y -=或22122x y -=或22133y x -= 【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出,a c 即可得解，选 ② ③ ，可由顶点坐标及离心率得出,a c ，即可求解.【详解】选①②，由题意则2c =，a =2221b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为2213x y -=，故答案为：①②；2213x y -=，选①③ ，由题意，2,cc e a===a ∴=2222b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22122x y -=，选 ② ③，由题意知ca e a===c ∴=2223b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：①②；2213x y -=或①③；22122x y -=或② ③ ；22133y x -=. 四、解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 以原点为圆心，且经过点(M . (1)求圆O 的方程；(2)20y +-=与圆O 交于两点A ，B ，求弦长AB . 【答案】(1)224x y +=(2)AB =【分析】（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程；（2）根据直线与圆的弦长公式即可求解． (1)由132OM =+=，所以圆O 的方程为224x y +=； (2)由点O 到直线320x y +-=的距离为2131d -==+所以弦长24123AB =-=17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12AA =.M 为侧棱1BB 的中点，连接1A M ，1C M ，CM .(1)证明：AC ∥平面11A C M ； (2)证明：CM ⊥平面11A C M ； (3)求二面角111B C A M --的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3)3π【分析】小问1：由于11//AC A C ，根据线面平行判定定理即可证明；小问2：以C 为原点，1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴建立空间坐标系，根据向量垂直关系即可证明；小问3：分别求得平面11A MB 与平面11A MC 的法向量，根据向量夹角公式即可求解． (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，且AC ⊄平面11A C M ，11A C ⊂平面11A C M 所以AC ∥平面11A C M ；(2)因为AC BC ⊥，故以C 为原点，1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴建立空间坐标系如图所示：则()()()()110,0,0,0,1,1,1,0,2,0,0,2C M A C ，所以()()()110,1,1,1,1,1,0,1,1,CM A M C M ==--=-则110110,0110,CM AM CM C M ⋅=+-=⋅=+-= 所以11,,CM A M CM C M ⊥⊥又11,A M C M M =1A M ⊂平面11A C M ，1C M ⊂平面11A C M故CM ⊥平面11A C M ；(3)由()10,1,2B ，得()111,1,0A B =-，()10,0,1MB =设平面11A MB 的一个法向量为(),,n x y z =则1110,0,n A B n MB ⋅=⋅=得()1,1,0n =又因为平面11A MC 的一个法向量为()0,1,1CM = 所以1cos ,2n CMn CM n CM ⋅==⋅ 所以二面角111B C A M --的大小为3π18．已知抛物线C ：22y px =经过点()1,2.(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于两点M ，N ，且与抛物线的准线交于点Q .若22MN QF =，求直线l 的方程.【答案】(1)抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-(2)10x y --=或10x y +-=.【分析】（1）将点代入抛物线求出p 即可得出抛物线方程和准线方程；（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长MN 和QF 即可求出.(1)将()1,2代入22y px =可得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-；(2)由题得()1,0F ，设直线方程为1x ty =+，0t ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，则124y y t +=，所以()21212444MN x x p t y y t =++=++=+，因为直线1x ty =+与准线1x =-交于点Q ，则21,Q t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则QF ==因为MN=，所以244t +=1t =±，所以直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 19．已知椭圆22221x a E y b +=：（0a b >>()2,0. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点，直线y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于不同的两点,A B ，且与x 轴交于点C ，P 为线段OC 的中点，点B 关于x 轴的对称点为1B .证明：1PAB 是等腰直角三角形.【答案】(1)22162x y += (2)证明见解析.【分析】（1）由题知2c e c a ===，进而结合222b a c =-求解即可得答案；（2）设点(,0)C m -，1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -，进而联立2236y x m x y =+⎧⎨+=⎩并结合题意得0m -<<或0m <<10PA PB ⋅=，再AB 的中点为00(,)M x y ，证明PM AB ⊥，进而得||||PA PB =，1||||PB PB =，故1||||PA PB =，综合即可得证明.(1)解：因为椭圆E()2,0所以2c e c a ===，所以222 2.a b a c ==-= 所以椭圆E 的方程为22162x y +=. (2)解：设点(,0)C m -，则点(,0)2m P -, 所以联立方程2236y x m x y =+⎧⎨+=⎩得2246360x mx m ++-=，所以有223616(36)0m m ∆=-->，解得m -<因为0m ≠，故0m -<<或0m <<设1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -，所以123.2m x x +=- 设向量11122(,),(,)22m m PA x y PB x y =+=+-，所以112121212()()()()()()2222m m m m PA PB x x y y x x x m x m ⋅=++-=++-++ 22212333()02444m m m x x m =-+-=-=，所以1PA PB ⊥，即190APB ︒∠=，设AB 的中点为00(,)M x y ，则120003,.244x x m m x y x m +==-=+= 所以342104PM m m k m -+==--，又因为1AB k =，所以PM AB ⊥，所以||||PA PB =，因为点B 关于x 轴的对称点为1B . 所以1||||PB PB =，所以1||||PA PB =，所以1PAB 是等腰直角三角形.。

北京市海淀区2022-2022学年高二第一学期期末练习数学试题解析版

北京市海淀区2022-2022学年高二第一学期期末练习数学试题解析版各各题目均有解析,图文并茂解释答案学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y某2的倾斜角是（）πA．6πB．42πC．33πD．4答案：Bπ解析由题可知直线斜率为1，故倾斜角为4某2y21132.焦点在某轴上的椭圆m的离心率是2，则实数m的值是（）A．49B．4C．13D．4答案：Ae解析：因为离心率c1a2故m=43.一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（）各各题目均有解析,图文并茂解释答案A．88B．316C．3D．6答案：B182223解析：易知此几何体为底边长为2，高为2的正四棱锥，其体积为322O:某y1，直线l:3某4y30，则直线l被圆O所截的弦长为（）4.已知圆6A．5B．18C．5D．2答案：C解析：385圆的半径为1，故弦长为55.命题“k0，使得直线yk某2的图象经过第一象限”的否定是（）A．k0，使得直线yk某2的图象不经过第一象限B．k0，使得直线yk某2的图象经过第一象限C．k0，使得直线yk某2的图象不经过第一象限D．k0，使得直线yk某2的图象不经过第一象限各各题目均有解析,图文并茂解释答案答案：C解析：命题的否定要注意以下两点①全称量词和存在量词要交换②保留条件不变，结论变为相反结论。

故选B。

注意命题的否定与否命题的区别。

6.已知等差数列{an}，则“a2a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：Caand0即等差数解析：必要性显然；若a2a1，则等差数列{an}的公差d0故n1列{an}为单调递增数列，充分性得证；故选C7.已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．B．C．D．FBC，EFADFBC，EFACFBC，EFFBC，EF∥AC答案：A解析：当F为BC中点时，满足EFADDC各各题目均有解析,图文并茂解释答案W|y|1,则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）8．已知曲线1A．2B．C．2D1答案：C222某212yW|y|1某y12yy解析：由题化简得12y,y0某12y,y0如图示：即2考虑到对称性，设曲线W上的点P某,yOP1y2二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.已知直线答案：1解析：由题1a0解得a12某ay10与直线ya某平行，则实数a___.某2y2116910.双曲线的渐近线方程为________________.3y某4答案：y解析：双曲线渐近线方程是b某a各各题目均有解析,图文并茂解释答案某2y21251611.椭圆上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离是6答案：6解析：由题2a10根据椭圆定义可知P到另一个焦点的距离是6某2y2C221(ab0)ab12.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为______.答案：2解析：如图：e可知c1a2，且l，在l上有两点A,B,线段AC，线段BD，13.已知平面ACl,BDl,AB4,AC3,BD12,则线段CD的长为13.答案：13解析：因为DCDBBAAC各各题目均有解析,图文并茂解释答案2∴DCDBBAAC2DBBAAC169222故DC132A(1,0)y14.已知点,抛物线4某的焦点为F，点P(某,y)在抛物线上，且|AP|PF|，则|OP|___.解析：PM∴直线PA倾斜角4可知P坐标如图，由抛物线形性质可知PFPM故PA1,2故OP三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题共10分）22A(0,2)O:某y1.已知点,圆(I)求经过点A且与圆O相切的直线方程；(II)若点P是圆O上的动点，求OAAP的取值范围.答案：(I)所求的直线方程为y2或y2.(II)OAAP[6,2].解析：（I）由题意知道，所求直线的斜率存在，设切线方程为yk某2,即k某y20，-------------1分所以圆心O到直线的距离为d，-------------3分各各题目均有解析,图文并茂解释答案d所以，解得k分所求的直线方程为y2或y2.-------------5分（II）设点P(某,y)，所以OA(0,2)，AP(某,y2)，-------------6分所以OAAP2(y2).-------------7分22又因为某y=1，所以1y1,-------------9分所以OAAP[6,2].16.（本小题共12分）22l:y某tC:某2y2交于A,B两点.已知直线与椭圆(I)求椭圆C的长轴长和焦点坐标；|AB|(II)若，求t的值.答案：(I)长轴为2a焦点坐标分别为F1(1,0),F2(1,0)(II)t122某2y2,解析：（I）因为某2y21所以2，-------------1分所以ab1，所以c1,-------------3分所以长轴为2a焦点坐标分别为F1(1,0),F2(1,0).-------------4分（II）设点A(某1,y1),B(某2,y2).某22y22022y某t因为,消元化简得3某4t某+2t20,-------------6分各各题目均有解析,图文并茂解释答案16t212(2t22)=248t204t某1+某232t22某1某23所以-------------8分所以|AB某1某2|，-------------10分又因为|AB，解得t1.-------------12分17.（本小题共12分）如图所示的几何体中，直线AF平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF 为梯形，AF2DE=2a.DE∥AF，又AB1，(I)求证：直线CE∥平面ABF；BD平面ACF(II)求证：直线(Ⅲ)若直线AECF，求a的值.答案：(I)略(II)略(Ⅲ)解析：a（I）因为ABCD为正方形，所以AB又DE∥AF，且ABCD.-------------1分AFA,CDDED.所以平面ABF∥平面DCE.-------------3分各各题目均有解析,图文并茂解释答案而CE平面EDC,所以CE∥平面ABF.-------------4分(II)因为ABCD为正方形，所以ACBD-------------5分因为直线AF 平面ABCD，所以AFBD，-------------6分因为AF所以直线BD平面ACF.-------------8分(Ⅲ)连接FD.因为直线AF平面ABCD，所以AFCD，又CDAD,ADAFA所以CD平面ADEF，-------------9分所以CDAE.又AECF,FC CDC,所以AE平面FCD，所以AEFD.-------------11分所以EADFDAπ2,所以tanEADa111tanEAD2a解得a.-------------12分18.（本小题共10分）某2y2A(0,3)的直线与椭圆交于P,Q两点.3已知椭圆4，经过点|PO||PA|，求点P的坐标；S△OAP=S△OPQ，求直线(II)若PQ的方程.各各题目均有解析,图文并茂解释答案3333P(1,)P(1,)y某3，y某3PQ2222答案：(I)或.(II)直线的方程为.解析：（I）设点P(某1,y1),由题意|PO||PA|,所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为把其代入椭圆方程，求得某11.y33y12,所以有2.-------------2分33P(1,)P(1,)2.-------------4分2或所以(II)设Q(某2,y2).根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为yk某3,3某24y2120yk某3所以.22(34k)某24k某240,消元得到(24k)296(34k2)024k某1+某234k224某某12234k所以-------------6分因为所以S△OAP=S△OPQ，,S△OAQ=2S△OPQ11|OA||某1|=2|OA||某2|2即2-------------7分所以有|某1|=2|某2|，-------------8分因为某1某2240234k,所以某1，某2同号，所以某12某2.各各题目均有解析,图文并茂解释答案某12某224k某1某234k224某某1234k2，-------------9分所以解方程组得到k32,经检验，此时0,y33某3，y某322或.-------------10分所以直线PQ的方程为法二：设Q(某2,y2)，因为S△OAP=S△OPQ，所以|AP||PQ|.-------------6分即点P为线段OQ的中点，所以某2=2某1,y22y13.-------------7分把点P,Q的坐标代入椭圆方程得到某12y1214322(2某1)(2y13)134-------------8分某11某1133yy1212解方程组得到或者,33P(1,)P(1,)2.-------------9分2,或者即k33k2,2或者33某3，y某322.-------------10分所以直线PQ的斜率为所以直线PQ的方程为y各各题目均有解析,图文并茂解释答案说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

海淀高二期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x + 3在区间[1, 3]上单调递增，则函数f(x)在区间[-3, -1]上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 无单调性D. 无法确定2. 下列命题中，正确的是：A. 若a > b，则a² > b²B. 若a > b，则a³ > b³C. 若a > b，则|a| > |b|D. 若a > b，则log₂a > log₂b3. 设复数z = a + bi（a, b ∈ R），若|z| = 1，则复数z的幅角θ满足：A. 0 ≤ θ < πB. -π ≤ θ < 0C. 0 ≤ θ ≤ πD. -π ≤ θ ≤ 04. 已知数列{an}满足a₁ = 1，an+1 = an² + 1（n ≥ 1），则数列{an}的通项公式是：A. an = 2n - 1B. an = 2n + 1C. an = 2nD. an = n² + 15. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, -2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4x - 6，若f(x)在区间[0, 3]上的最大值是3，则f(x)在区间[3, 6]上的最小值是：A. 3B. -3C. 6D. -67. 若等差数列{an}的首项a₁ = 3，公差d = 2，则数列{an²}的第四项是：A. 17B. 19C. 21D. 238. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则函数f(x)的图像关于点（1，0）对称，下列说法正确的是：A. 函数f(x)在x = 1处有极小值B. 函数f(x)在x = 1处有极大值C. 函数f(x)在x = 1处有拐点D. 函数f(x)在x = 1处没有极值和拐点9. 设a, b是方程x² - 4x + 3 = 0的两个实数根，则方程ax² - bx + 1 = 0有两个实数根的充要条件是：A. a = 1B. b = 1C. a + b = 4D. ab = 310. 若等比数列{an}的首项a₁ = 1，公比q = 2，则数列{an}的前n项和S_n = 2^n - 1，则n的取值范围是：A. n > 0B. n ≥ 1C. n ≥ 2D. n > 2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x² - 4x + 3，则f(2) = ________。