备战2016年高考高三数学一轮热点难点一网打尽专题16三角函数的图像和性质的磨合解析版Word版含解析

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高三数学一轮复习基础导航 3.3三角函数的图像和性质

高三数学一轮复习基础导航 3.3三角函数的图像和性质【考纲要求】1、能画出的图像，了解三角函数的周期性.2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间（）内的单调性.3、了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.【基础知识】1．三角函数的图象及性质sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质2、周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任意一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数。

非零常数T 叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，,,0kT k z k ∈≠都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期。

3、三角函数图像的变换平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像伸缩变换：①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w1倍得()y f x ω=(01)ω<<②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()y f x ω=(1)ω>③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ϖ倍得()y f x ω=(1)ω>④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ϖ倍得()y f x ω=(01)ω<<4、合一变形sin cos a b αα+)αϕ+，如：)62sin(2)6sin 2cos 6cos 2(sin 2)2cos 212sin 23(22cos 2sin 3παπαπααααα-=-=-=-5、函数sin()y A x h ωϕ=++ （1）其图象的作法有两种：一是描点法（五点法），作出来的,这五个点是满足: 0x ωϕ+=, 2π, π, 32π,2π的五个x 的值，对应y 值分别是0,A ,0,A -,0。

高三数学一轮复习：三角函数的图像与性质(一)(教案)

第一课时三角函数的图像与性质（一）（教案）【复习目标】【知识与技能】１．了角正弦、余弦、正切、余切函数的图像，会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图．２．掌握三角函数的性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．【过程与方法】通过三角函数图像记忆和应用三角函数的有关性质，强化数形结合的思想方法．【情感态度与价值观】体会三角是解决数学问题的一样工具，熟练三角比公式，理解三角函数的意义，为今后的数学其余知识领域的学习创造有利条件，培养研究数学问题的意识与体验.【教学重点、难点】正弦、余弦、正切函数的图像与性质【教学过程】【知识梳理】【基础练习】1．函数xxx y sin 1cos sin 22+=的值域是（C ）A ．),4(+∞-B ．),1[+∞-C ．]21,4(- D ．]21,4[-2．函数sin 1log (cos )2x y x =+([02])x π∈，的定义域是（B ）A ．2{|0}3x x π<<B ．2{|0}32x x x ππ<<≠，且C ．5{|0}6x x π<<D ．5{|0}62x x x ππ<<≠，且3．给出下列命题：（D ）①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称; ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同;③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称; ④x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称;其中正确命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．函数123log cos(2)2y x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的单调减区间是3,,24k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦ 5．函数()sin (0)f x a x b a =+<的最大值为2，最小值为4-，则点(，)a b 是(3,1)--．6．已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=5-．7．若函数()f x的定义域是1[]2，则函数(sin )f x 的定义域是 54[2,2][2,2],3663k k k k k Z ππππππππ-++++∈ 8．已知关于x 的方程222sin cos 2sin 0x x x m -++=有实数解，则实数m 的取值范围是443m -≤≤ ．【典型例题】【例1】求下列函数的定义域（1）y =解：sin cos 0)02244522445|22,44x x x k x k k x k x k x k k Z πππππππππππππ-≥⇒-≥⇒≤-≤+⇒+≤≤+⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭定义域（2）y =解：sin 02222,2sin 33x k x k x k x k x πππππππ>⎧<<+⎧⎪⎪⇒⎨⎨≠+≠+≠⎪⎪⎩⎩ 所求定义域{}222,2,2,33x k x k x k x k k Z πππππππ<<+≠+≠+∈且【例2】求下列函数的单调区间：（1）4sin(2)3y x π=- （2）12log cos y x =(3)sin 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4) )cos (sin sin )(x x x x f -=解：（1）4sin(2)4sin(2)33y x x ππ=-=-- ，∴222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈时，函数为减函数.减区间为：5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈.当3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈时，函数为增函数，故函数增区间为：511[,]()1212k k k z ππππ++∈；（2）12log y u = 为减函数，且cos 0u x =>的增区间为2,2()2k k k Z πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，递减区间为2,2()2k k k Z πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∴函数12log cos y x =的递增区间为2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，递减区间为2,2().2k k k Z πππ⎛⎤-∈⎥⎝⎦(3) 2,2()2232,2()22k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(4) 1()sin (sin cos )242f x x x x x π⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭ 3,()885,()88k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【例3】求下列函数的最小正周期 ⑴ ⎪⎭⎫⎝⎛+=53tan πa x y 解：313T a aππ== ⑵ x x x x y 2cos 32cos 2sin 42sin 222++=解：()5242242y x T ππϕ=++⇒== ⑶x y sin = (思考：x y sin = 有周期吗？) 解：由图像知：x y sin =周期为π，x y sin =无周期 ⑷xx xx y 2sin 2cos 2sin 2cos -+=解：cos 2sin 21tan 2tan 2cos 2sin 21tan 242x x x y x T x x x ππ++⎛⎫===+⇒= ⎪--⎝⎭求函数周期的有以下方法：①直接从三角函数的周期的定义求得； ②由正弦，余弦函数的周期 ωπ2=T 由正切，余切函数的周期 ωπ=T ③由图像观察得到周期.④复合三角函数可化为“三个一”（一角一函数名一次）函数来求【例4】判断下列函数的奇偶性： ⑴ x x x y 2cos cos sin 44+-=解：D R = 44sin cos cos2cos2cos20y x x x x x =-+=-+= ，既奇又偶⑵xx xx y cos sin 1cos sin 1-+++=解：1sin cos 0sin 4x x x π⎛⎫+-≠⇒-≠ ⎪⎝⎭32,244442,22x k x k x k x k πππππππππ-≠--≠-≠≠-定义域不关于原点对称，非奇非偶.【例5】求函数22sin cos 2sin 1y x x x =-+的最小正周期和最大、最小值及取得最大、最小值的对应变量x 的值．解：sin 2(1cos 2)1sin 2cos 2)4y x x x x x π=--+=+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==当y2242x k πππ+=+，∴8x k ππ=+（k ∈Z ），当y取得最小值2242x k πππ+=-+，∴38x k ππ=-+（k ∈Z ）．【例6】求下列函数的值域：（1）x y 3sin 5=；（2）cos cos sin22xy x x =-；（3）22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++；（4）2cos 3sin y x x =-；（5）sin cos sin cos y x x x x =++．解：（1）[]sin31,1u x =∈-[]m i n m a x 125111,536215,,36u y u y x k u y x k k Z ππππ=-=-==-===+∈ 在，当时，当时，（2）|2,2D x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭， cos cos sin sin()2224cos sin 22x x x x y x x π==+=+-，因为,242x k πππ+≠+所以()sin()1,124x π+∈-，(y ∈（3）1cos 23(1cos 2)sin 22sin 2cos 222x x y x x x -+=++=++)24x π=++，∵1sin(2)14x π-≤+≤，∴所求函数的值域是[2+；（4）223131sin 3sin (sin )24y x x x =--=-++，∵1sin 1x -≤≤， ∴所求的函数的值域是[3,3]-；（5）设sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，且)[4t x π=+∈，∴2211(1)122t y t t -=+=+-，故所求函数的值域是1[1,2+-．【例7】已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-+=204sin 2cos 21πx a x a x x f 的最大值为2，求实数a 的值. 解：()()211cos 2sin 12sin sin 2424a af x x a x x a x =+-=-+- ()221sin 2,24a x a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭设sin ,x u =即()221()2,24a g u u a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭[]0,1u ∈()()[]()()[]()()()()[]()max 2max max 1100,0,1,0,26224120,102,,22,3,022*********,0,1,1,22423a aa g u u g u a a a a u g u a a a a a a a a a g u u g u a φ<⇒<==-=⇒=-∈⇒≤≤==-+⇒=-=≤≤⇒∈>⇒>==-=⇒= 在当当在当所以6a =-或103a =【例8】设1sin sin 3x y +=，求2sin cos u x y =-的最大值和最小值．解：∵1sin sin 3x y +=，∴1sin sin 3x y =-，又1sin 1x -≤≤，∴11sin 131sin 1y y ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，∴2sin 13y -≤≤，而221111sin (1sin )(sin )3212u y y y =---=--，∴当1sin 2y =，1sin 6x =-时，min 1112u =-，而当2sin 3y =-，sin 1x =时，max 49u =．【例9】对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ的任何值都有05cos 4sin 2<-+θθk 成立，求k 的取值范围. 解：[]0,cos 0,12πθθ⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎣⎦()22min (1)cos 004,5sin 4cos 112cos 0cos 0,cos 4cos 4cos cos 411cos ,(0,1],,4550,1]44k t t u t t u u k θθθθθθθθθθ=<-+≠><==+=∈=+=⇒<时，原式为：恒成立时，令又在(，【例10】设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2s i n a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ>>-，2263B ππππ-=-=． 2336A ππ5π<+<，所以1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭．由此有3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．说明：要求cos sin A C +的取值范围，联想可否把它化为sin()y A x ωϕ=+的形式．由ABC ∆是锐角三角形得，2A B π+>，从而得出22A B ππ>>-是求cos sin A C +的关键．【备用例题】1．已知函数]434[22cos 2sin 3)(ππ，，∈++--=x b a x a x a x f ，是否存在常数∈b a 、Q ，使得)(x f 的值域为]133[--，？若存在，求出b a 、的值；若不存在，请说明理由.解：函数即b a x a x f +++-=2)62sin(2)(π，∵]434[ππ，∈x ，∴]3532[62πππ，∈+x，∴1sin(2)3x π-≤+≤；若存在满足题设的有理数b a 、，则10当0>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-1322323b a a b a a ，这不可能；20当0<a 时，⎩⎨⎧-=++-=++-3221323b a a b a a ，此时求得11=-=b a ，；即这样的b a 、存在，且11=-=b a ，． 2．在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值【巩固练习】1．已知函数x x x f sin 3cos )(-=，则这一函数的一个递减区间是（C ） A ．)6,65(ππ-B ．)67,6(ππ C ．)32,3(ππ-D ．)35,32(ππ 2．已知函数cos(sin )y x =，则下列结论正确的是（B ） A ．它是奇函数 B ．值域为[cos1,1]C ．它不是周期函数D ．定义域为[1,1]-3．若)0(π，∈x ，则函数|cos 1cos 1|x x y --+=的值域为（C ） A ．]20[，B ．[02]，C ．)20[，D ．)20[，4. 已知向量(1sin )a θ= ，，)b θ=，则a b - 的最大值为．【答案】sin a b θθ-= ＝2sin()23πθ-≤.5．函数2sin cos 3cos2y x x x =-的最小正周期T =π ．6．已知1>a ，则函数x a x y cos 2cos 2-=的最小值是a 21- ． 7．函数2cos 2cos xy x+=-（x ∈R ）的最大值是3 ．8．函数)20(cos 2π≤≤=x x y 的图象和直线2=y 围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积为π4 9．函数()sin()24f x x c π=+-（c 为常数），若()0f x =的根成公差为4的等差数列，则(4)f 的值是0 ．提示：∵周期8=T ，∴当且仅当2=c 时，此时(4)sin 0f π==．10．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求实数a 、b 的值．【答案】25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩．11. 已知ABC ∆中135A B +=，求22sin sin A B +的最大值. 解：∵2222sin sin sin sin (135)A B A A +=+-1cos 21cos(2702)22A A ---=+111cos 2sin 222A A =-+)14A π=-+由350,2,4444A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 24A π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以221sin sin 2A B ⎛+∈ ⎝⎦，即22sin sin A B +的最大值为222+ (当67.5A B ==时)。

高考数学考试重难点知识总结

高考数学考试重难点知识总结高考数学考前必背知识点一、三角函数题三角题一般在解答题的前两道题的位置上,主要考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角形等有关内容.三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交汇,是高考中考查的热点.二、数列题数列题重点考查等差数列、等比数列、递推数列的综合应用,常与不等式、函数、导数等知识综合交汇,既考查分类、转化、化归、归纳、递推等数学思想方法,又考查综合运用知识进行运算、推理论证及解决问题的能力.近几年这类试题的位置有所前移,难度明显降低.三、立体几何题常以柱体、锥体、组合体为载体全方位地考查立体几何中的重要内容,如线线、线面与面面的位置关系,线面角、二面角问题,距离问题等,既有计算又有证明,一题多问,递进排列,此类试题既可用传统方法解答,又可用空间向量法处理,有的题是两法兼用,可谓珠联璧合,相得益彰.究竟选用哪种方法,要由自己的长处和图形特点来确定.便于建立空间直角坐标系的,往往选用向量法,反之,选用传统方法.另外,“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点,三视图的巧妙参与也是立体几何命题的新手法,要注意把握.四、概率问题概率题一般在解答题的前三道题的位置上,主要考查数据处理能力、应用意识、必然与或然思想,因此近几年概率题常以概率与统计的交汇形式呈现,并用实际生活中的背景来“包装”.概率重点考查离散型随机变量的分布列与期望、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验与二项分布等;统计重点考查抽样方法(特别是分层抽样)、样本的频率分布、样本的特征数、茎叶图、线性回归、列联表等,穿插考查合情推理能力和优化决策能力.同时,关注几何概型与定积分的交汇考查,此类试题在近几年的高考中难度有所提升,考生应有心理准备.五、圆锥曲线问题解析几何题一般在解答题的后三道题的位置上,有时是“把关题”或“压轴题”,说明了解析几何题依然是重头戏,在新课标高考中依然占有较突出的地位.考查重点:第一,解析几何自身模块的小交汇,是指以圆、圆锥曲线为载体呈现的,将两种或两种以上的知识结合起来综合考查.如不同曲线(含直线)之间的结合,直线是各类曲线和相关试题最常用的“调味品”,显示了直线与方程的各知识点的基础性和应用性.第二,圆锥曲线与不同模块知识的大交汇,以解析几何与函数、向量、代数知识的结合最为常见.有关解析几何的最值、定值、定点问题应给予重视.一般来说,解析几何题计算量大且有一定的技巧性(要求品出“几何味”来),需要“精打细算”,对考生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测.六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题导数题考查的重点是用导数研究函数性质或解决与函数有关的问题.往往将函数、不等式、方程、导数等有机地综合,构成一道超大型综合题,体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题指导思想.鉴于该类试题的难度大,有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道,标准答案提供的解法往往如同“神来之笔”,确实想不到,加之“搏杀”到此时的考生的精力和考试时间基本耗尽,建议考生一定要当机立断,视时间和自身实力,先看第(1)问可否拿下,再确定放弃、分段得分或强攻.近几年该类试题与解析几何题轮流“坐庄”,经常充当“把关题”或“压轴题”的重要角色.高考数学必考知识点大全第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

高三数学一轮复习讲义三角函数图像与性质

课题：三角函数的图像与性质知识点一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值求解三角函数：sin ()y A x x ωϕ=+性质常用结论与技巧； (1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(2)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，注意y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(3)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u ＝ωx ＋φ的范围，然后结合函数y ＝sin u 或y ＝cos u 的性质可得函数的最值(值域)．【典型例题】【例1】函数cos()3y x π=-的单调增区间是（）A ．42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【例2】函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例3】函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（）A ．6πB ．125πC ．32πD ．32π-【例4】函数2()cos cos f x x x x =+（[0,]x π∈）的单调递减区间为（）A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 【例5】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A. 1-B.C.D. 0 【例6】已知函数2()sin 2+sin 22cos 1.33=+-+-∈f x x x x x R ππ（）（），（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【举一反三】1．余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（）A ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（）A.)2sin(π+=x y B.)2cos(π+=x y C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y4．已知函数2()3cos sin f x x x x =-，则()f x 的最小正周期为；单调减区间为．5．若函数()()13cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（）A.1B.2 3 31 6．已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【课堂巩固】1．已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称2．设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0ω>，||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增 3．函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.4．函数x x y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（） A ．12π=x B ．12π-=x C. 6π=x D ．6π-=x5．函数的最小正周期是__________ .6．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是． 7．已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【课后练习】正确率：________1．当函数（）取得最大值时，（）A. B. C. D.2．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=-⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（） A ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．3,3⎡-⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-5．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π- 6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=（） A ．35- B ．35C ．45-D ．457．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（） A. π12x =B.π12x =-C.π6x =D.π6x =-9．已知函数2()cos cos f x x x x =+，x R ∈．（1）求4()3f π；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调减区间．。

高考数学一轮复习讲义三角函数图像与性质学生

课题：三角函数图像与性质知识点：1．正弦、余弦、正切函数的图像 2．正弦、余弦、正切函数的性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ 单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．【注2】1．三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法（1）利用sin x 和cos x 的值域直接求；（2）把所给的三角函数式变换成y ＝A sin （ωx ＋φ）的形式求值域；（3）把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；（4）利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．【注3】1．求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ （其中A ≠0，0ω>）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ （0ω>）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与sin y x = （x R ∈），cos y x = （x R ∈）的单调区间对应的不等式方向相同（反）． 2．如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内．3．求函数sin()y A x ωϕ=+ （或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+）的单调区间的步骤：（1）将ω化为正．（2）将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解．4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【注4】先化成sin)y A x B ωϕ=++（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．【注5】1．一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数．2．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：（1）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；（2）若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；（3）若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈．【注6】1．求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=．利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=．要特别注意两个公式不要弄混；（3）图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；（4）绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定．如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变． 2．使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值．3．对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．典型例题例1下列函数中最小正周期为π的是（） A ．sin y x =B ．sin y x =C ．tan2x y = D ．cos 4y x =例2函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（） A ．4π B ．2π C ． π D ．π2例3已知直线π6x =是函数()πsin ω0ω86f x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭（）图象的一条对称轴，则f （x ）的最小正周期为（） A ．π4B ．π2C ．πD ．2π例4已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 是（） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数例5函数()π26f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（） A ．π3x =-B ．π12x =C ．π4x =D ．π3x =例6已知函数π()3(2)6f x sin x =+，则下列说法正确的是（）A ．图象关于点π(0)6，对称 B ．图象关于点π(0)3，对称 C ．图象关于直线π6x =对称 D ．图象关于直线π3x =对称例7函数()ππ448f x tan x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．()534422k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，B ．()354422k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C ．()538822k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， D ．()358822k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，例8设函数()sin 2f x x =，x ∈R ，若[)0,θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，则θ的值为（） A ．12π或1112πB ．6π或56π C ．4π或34π D ．3π或23π例9函数()πcos 3f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递减区间为（）A ．π4π|π,π,33x k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．π4π2π,2π33k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．π2π2π,2π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦例10下列坐标所表示的点不是函数tan()26x y π=-的图象的对称中心的是（） A ．03π⎛⎫⎪⎝⎭， B ．503π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．203π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．403π⎛⎫ ⎪⎝⎭，例11函数()π223f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（） A ．5π11π66⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．π5π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．5π11π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．π5π66⎡⎤⎢⎥⎣⎦，例12函数()sin ,[,0]3f x x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 例13函数()πtan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为（） A ．π012⎛⎫⎪⎝⎭， B ．7π012⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．5π012⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．π012⎛⎫- ⎪⎝⎭，例14函数 ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的图象的对称轴方程可以为（）A ．12x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．6x π=例15若π2x =是函数()ω(ω0)f x cos x =≠图象的对称轴，则()f x 的最小正周期的最大值是（） A ．πB ．2πC ．π2D ．π4例16函数()π3f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．π5π2π2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ B ．π5πππ66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ C ．5π11π2π2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ D ．5π11πππ66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈ 例17已知()sin(2),,22f x x ππϕϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，且6f x π⎛-⎫ ⎪⎝⎭为偶函数，则φ=________．例18已知函数()π2ω3f x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（ω0>）的最小正周期为π．（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的单调递减区间．例19已知函数()π226f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈．（1）若()0f x =0x 的值；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）当π5π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的最大值和最小值．举一反三1．函数()π3cos 26f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭的一条对称轴是（） A ．π6x =-B ．π12x =C ．π4x =D ．π3x =2．下列直线中，函数()π76f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴是（） A ．π3x =B ．2π3x =C ．π6x =D ．π2x =3．已知函数()()π2ω10ω56f x sin x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭的图像经过点8π315⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()f x 的最小正周期为（）A ．3π2B ．4π5C ．8π5D ．5π44．函数π()(2φ)|φ|2f x sin x ⎛⎫=+<⎪⎝⎭在区间ππ126⎛⎤- ⎥⎝⎦，上单调且()f x ≤，则φ的范围是（） A ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．ππ36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．π04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5．已知函数()()πωω06f x sin x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在4π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在4π2π3⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则ω=（） A ．12B ．1C ．43D ．326．已知函数()()πωω03f x sin x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是（） A ．703⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，3]D ．(]03，7．如果函数y=3cos （2x+φ）的图象关于点4π(0)3，对称，那么|φ|的最小值为（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．下列区间中，函数π()2()6f x sin x =-单调递减的是（）A ．π(0)2，B ．π(π)2，C ．3π(π)2，D ．3π(2π)2， 9．函数()ππ33364f x sin x ⎛⎫=--⎪⎝⎭的最小正周期为．10．已知函数()()π2ωω06f x sin x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间ππ33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为．11．已知函数()π23f x cos x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在()0m ，上的值域为112⎛⎤⎥⎝⎦，，则m 的取值范围是． 12．已知函数()π323f x sin x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈．（1）求()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）求()f x 在区间ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域．13．已知函数 1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ．（1）求y ＝ f （x ）的单调减区间；（2）当 63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求f （x ）的最大值和最小值．课后练习1．函数()()πωω02f x sin x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π05⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的最大值为（） A ．6B ．5C ．4D ．12．函数()π4f x tan x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为（） A ．()ππππ22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， B ．()()πππk k k Z +∈，C ．()3ππππ44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， D ．()π3πππ44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 3．下列区间中，函数 ()15sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 单调递减的区间是（）A ．2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．522ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：B4．（多选）已知函数()ωf x sin x =（ω0>）在ππ66⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调，则ω的可能值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数(φ)(0φπ)y sin x =+<<为偶函数，则φ=（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．5π66．下列关于函数()π246f x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，说法正确的是（）A ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 B ．关于直线π24x =-对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于点π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 7．如果函数()(2φ)f x sin x =+的图像关于点2π03⎛⎫-⎪⎝⎭，对称，则|φ|的最小值是（） A ．π6B ．π3 C ．5π6D ．4π38．函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是___________．9．已知函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[]0,π内的值域为⎡-⎣，则ω的取值范围为___________． 10．已知函数()()πωω04f x sin x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π2π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则ω的取值范围为． 11．若函数()()πωω04f x tan x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω的值为． 12．已知函数π()(ωφ)ω0|φ|2f x sin x ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的最小正周期是π，且()f x 的图象过点π112⎛⎫⎪⎝⎭，，则()f x 的图象的对称中心坐标为．13．函数()π2φ0φ2y sin x ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭图象的一条对称轴是π12x =，则φ的值是．14．已知函数()π26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间ππ42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．。

高三数学一轮复习教案第五节三角函数的图像和性质一

第5课三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=__________． 2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4.下列函数图像：其中是函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的简图的序号是__①__．x① ②③ ④6π {2,}3x x k k Z ππ=±∈ 48sin(4π+π-=x y第3题5. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到．分析：化为sin()A x ωϕ+形式．解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x ．列表，取点，描图：故函数)(x f y =在区间]2,2[-上的图象是：（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把si n (2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到s i n (2)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y x π=+-的图像．解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再π6把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y x π=+-的图像．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示．（1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ；（3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．分析：识别图像，抓住关键点．解：（1）由图知，A =22(62)16πω=⨯+=，8πω∴=，即sin()8y x πϕ=+．将2x =，y =sin()4πϕ+=4πϕ=，即1()sin()84f x x ππ=+．（2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''，得8,2.x xy y '+⎧=⎪⎨⎪'=⎩解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代入1()sin()84f xx ππ''=+中，得2()sin()84f x x ππ=-．（3）y =ω，代入最高点或最低点求ϕ．例3.右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转到一周，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h ．（1）求h 与θ间关系的函数解析式；（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．分析：理解题意，建立函数关系式．解：（1）由已知作图，过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线角ON 于M 点，当2πθ>时，2BOM πθ∠=-，0.8 4.8sin() 5.62h OA BM πθ∴=++=-+，经验证当02πθ≤≤，上述关系也成立．综上， 4.8sin() 5.62h πθ=-+．（2）因为点A 在圆O 上逆时针运动的速度是30π，所以t 秒转过的弧度数为30t π． 4.8sin() 5.6302h t ππ∴=-+，[0,)t ∈+∞．点评：本题关键是理解题意，抽象出具体的三角函数模型，再运用所学三角知识解决，回答实际问题．【反馈演练】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______．2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移________个单位长度． 3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =ω=__2____；ϕ=__________． 4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________．5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 3π3π5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 第5题第9题其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π．则ω=_________．7．要得到cos 2y x =的图像，只要把sin(2)3y x π=-的图像向____左___平移_________个单位即可．8．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________． 9．如图，函数2sin()y x πφ=+，x R ∈，(其中02πφ≤≤)的图象与y 轴交于点（0，1）．设P 是图象上的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，则PM 与PN 的夹角余弦值为_________． 10．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω= 由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ）11．已知函数f (x )=A 2sin ()x ωϕ+(A >0，ω>0，0<ϕ<2π)，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（1）求ϕ；（2）计算f (1)+f (2)+…+f (2 008).解：（１）由题意得2A =，()1cos(22)f x x ωϕ∴=-+，又24T πω==，∴4πω=，代入点（1，2），得ϕ=4π；第10题12 512π 13k << 1517（２）由（1）得：()sin12f x x π=+，(1)(2)(3)(4)4f f f f +++=(1)(2)(2008)2008f f f ∴+++=．12．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=，因为02θπ≤≤，所以6θπ=．又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=，因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，0y = 所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤，从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=．即023x π=或034x π=．第12题。

高考数学复习讲义：三角函数的图象与性质

2
突破点二三角函数的性质
3
课时跟踪检测
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突破点一三角函数的定义域和值域
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抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
三角
余弦函数 y＝
正弦函数 y＝sin x
正切函数 y＝tan x
函数
cos x
图象
定义 R
域
{ x| x∈R ，且 x
R
≠
kπ＋π2
，k∈Z
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三角函数值域
正弦函数 y＝sin x
()
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二、填空题
1．y＝ 2sin x－ 2的定义域为________________________．
解析：要使函数式有意义，需2sin
x－
2≥0，即sin
x≥
2 ，借 2
助正弦函数的图象(图略)，可得 π4 ＋2kπ≤x≤34π ＋2kπ，k∈Z，所
以该函数的定义域是π4＋2kπ，34π＋2kπ(k∈Z)．
换元法 asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
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[集训冲关]
1.[考法一]函数y＝log2(sin x)的定义域为________．
解析：根据题意知sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos x－34＝－cos2x＋ 3cos x
＋14＝－cos x－ 232＋1，因为 x∈0，π2，所以 cos x∈[0,1]，
因此当 cos x＝ 23时，f(x)max＝1.
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(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，即sin xcos x＝1－2 t2，且－1≤t≤ 2. ∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1]

高三数学一轮复习讲义：三角函数的图像与性质

三角函数的图象与性质基础梳理 1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质函数性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__ x ＝k π＋π2(k ∈Z )__ _；对称中心： _ (k π，0)(k ∈Z )__ _对称轴：x ＝k π(k ∈Z )___；对称中心：_(k π＋π2，0) (k ∈Z )__对称中心：_⎝⎛⎭⎫k π2，0 (k ∈Z ) __ 周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )___；单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z ) __单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____；单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )______单调增区间_(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 热身练习:1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π＋π4，k ∈Z 3．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【解析】令2x ＋π3＝k π＋π2，则x ＝k π2＋π12(k ∈Z )∴当k ＝0时，x ＝π12，选D.4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0)B .⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，0解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 答案 B5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是( )A.(0，π)B.⎝⎛⎭⎫－π2，0C.⎝⎛⎭⎫3π2，2π D .⎝⎛⎭⎫－π，－π2 6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对任意x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )【解析】当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z∵f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ∴sin φ<0 ∴φ＝2k π－5π6由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π 得x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，选C.7.函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4x ∈R 的最小正周期为___4π_____． 8..y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为___5_____，此时x ＝_____34π＋2k π，k ∈Z _________. 9．函数y ＝(sin x －a )2＋1，当sin x ＝1时，y 取最大值；当sin x ＝a 时，y 取最小值，则实数－1≤a ≤0.10．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是 .【解析】∵f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，又π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )取最大值32.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝lgsin(cos x )； (2)y ＝sin x －cos x .解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )>0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0<OM ≤1， ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为 {x |－π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z}.(2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z .变式训练1 (1)求函数y lg(2sin 1)tan 1cos()28x x π-+--=+的定义域；解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0－tan x －1≥0cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π8≠0⇒⎩⎨⎧sin x >12，tan x ≤－1，x 2＋π8≠k π＋π2.图①如图①利用单位圆得：⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k π＋π2<x ≤k π＋3π4，x ≠2k π＋3π4(k ∈Z ).∴函数的定义域为{x |2k π＋π2<x <2k π＋3π4，k ∈Z }.(2)求函数y 122log tan x x =++的定义域.要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2 (k ∈Z ).利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x |0<x <π2或π≤x ≤4}.题型二、三角函数的五点法作图及图象变换例2已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)用五点法作出f (x )在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？【解析】(1)y ＝f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)2x ＋π60 π2 π 3π2 2π x－π122π12 5π12 8π12 11π12 y 02－2∴函数y ＝f (x )在[－π12，11π12]上的图象如图所示．【点评】“五点法作图”应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．题型三三角函数图象与解析式的相互转化例3函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．【解析】(1)由图可知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3 ∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos 3x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)∵x ∈[－π6，π3] ∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.【点评】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②K 的确定：根据图象的最高点和最低点，即K ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.例4若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，求a 的取值范围，并求此时x 1＋x 2的值．【解析】∵3sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π6)，x ∈[0,2π]，作出y ＝2sin(x ＋π6)在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a ＜2或－2＜a ＜1时，直线y ＝a 与y ＝2sin(x ＋π6)有两个交点，故a 的取值范围为a ∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a ＜2时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝π.∴x 1＋x 2＝2π3.当－2＜a ＜1时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝3π，∴x 1＋x 2＝8π3.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征．例4已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的解析式，并求满足g (x )≥2且x ∈[0，π]的实数x 的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2，由x 轴上相邻两个交点间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2ππ＝2.又点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6，又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.综上可得f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)将f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π12个单位，得到f 1(x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]，即f 1(x )＝2sin2x 的图象，然后将f 1(x )＝2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin(2·2x )，即g (x )＝2sin4x .由⎩⎨⎧0≤x ≤πg x ＝2sin4x ≥2得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤πsin4x ≥22.则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π2k π＋π4≤4x ≤2k π＋3π4k ∈Z 即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤πk π2＋π16≤x ≤k π2＋3π16k ∈Z .故π16≤x ≤3π16 或 9π16≤x ≤11π16. 题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．【解析】(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0 得cos(π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，ω＝3 ∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．设函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )，则g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]＝sin(3x ＋3m ＋π4)g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )即m ＝k π3＋π12(k ∈Z ) ∴最小正实数m ＝π12.题型五三角函数的单调性与周期性例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝-sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .最小正周期T ＝2π2＝π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反). (2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定. 变式训练2 (1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值； (2)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. ①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值. 解: y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π631314sin 44sin 422x x x x =+++ sin 4342sin(4)3x x x π==+ (1)周期为T=π2 242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )； 3242,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ) y max ＝2； y min ＝－2 (2) f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1314cos (cos )12x x x =+-223cos 2cos 1x x x =+-2cos 22sin(26)x x x π=+=+x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4,22[,]663x πππ+∈- 最大值为2；最小值为－1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2已知向量m u r ＝(3sin2x －1，cos x )， n r ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m n ⋅u r r，x ∈R.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间．【解析】(1)f (x )＝m ·n ＝3sin2x －1＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)∴对称轴方程为：2x ＋π6＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤k π＋π6∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．【点评】对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)：①若求y ＝f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，求出x ；若求y ＝f (x )的对称中心的横坐标，只零令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求出x ；②若求y ＝f (x )的单调增区间，只需令2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2，求出x ；若求y ＝f (x )的单调减区间，只需令2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2，求出x .题型七三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A . π6B.π4C.π3D.π2(1)π6f (x )＝2sin π()3x +， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ()3x πϕ++图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π6.(2)A3cos 4(2)3πϕ⨯+＝3cos 2π(2π)3ϕ++＝3cos 2()0,3πϕ+=∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选探究提高若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可.变式训练3 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sinx ＋cos x 的最大值是 ( )A.223B.233C.43D.263由题意得f (0)＝f 10()3π，∴a ＝－32－a2.∴a ＝－33, g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin 2()3x π+， ∴g (x )max ＝233.(2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.(1)B (2)π由题设，有π()4f ω＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b .又()08f π'=，所以a ω(cos sin )88πωπω-＝0，从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0<ω<5，所以ω＝2，于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin (2)4x π+故f(x)的最小正周期是π.题型八三角函数的值域与最值的求法及应用例3(1)求函数y ＝2sin x cos 2x1＋sin x的值域；(2)求函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最值；(3)若函数f (x )＝1cos 24sin()2x x π++－a sin x 2·cos(π－x2)的最大值为2，试确定常数a 的值．【解析】22sin (1sin )11sin x x x-+（）y=＝2sin x (1－sin x )＝2sin x －2sin 2x ＝－2(sin x －12)2＋12.∵1＋sin x ≠0，∴－1＜sin x ≤1.∴－4＜y ≤12.故函数y ＝2sin x cos 2x 1＋sin x的值域为(－4，12]．(2)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝12(t 2－1)＋t ＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝2＋12.(3)f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a2sin x＝14＋a 24sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝1a)由已知得14＋a 24＝2，解得a ＝±15.【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型，可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C . (3)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型，可换元转化．(5)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d )型，可用分离常数法或由|sin x |≤1(或|cos x |≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决．例4已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的一个零点．(1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．【解析】(1)由π4是y ＝f (x )的零点得 f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0，求解a ＝－2，则f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，则－22≤sin(2x －π4)≤1，因此－2≤2sin(2x －π4)－1≤2－1，故当x ＝0时，f (x )取最小值－2，当x ＝3π8时，f (x )取最大值2－1.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2(π2－x )满足f (－π3)＝f (0)，求函数f (x )在[π4，11π24]上的最大值和最小值．【解析】f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x由f (－π3)＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.∴f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)当x ∈[π4，π3]时，2x －π6∈[π3，π2]，f (x )为增函数．当x ∈[π3，11π24]时，2x －π6∈[π2，3π4]，f (x )为减函数．∴f (x )在[π4，11π24]上的最大值为f (π3)＝2 又∵f (π4)＝3，f (11π24)＝ 2∴f (x )在[π4，11π24]上的最小值为f (11π24)＝ 2.题型九分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：已知函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a 和b 的值.(2)若 a ＞0，设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．点评 ①求出2x ＋π6的范围，求出sin(2x ＋π6)的值域.②系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两类讨论.③根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解. 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2【解析】f (x )＝sin2xf (x )在(π4，π2)上是递减的，A 错； f (x )的最小正周期为π，C 错；f (x )的最大值为1，D 错；选B.2．若α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】α、β∈(－π2，π2)，tan x 在此区间上单调递增．当α＜β时，tan α＜tan β；当tan α＜tan β时，α＜β.故选C.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )A ．关于点(π12，0)对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(5π12，0)对称D ．关于直线x ＝π12对称【解析】由已知得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin(2x ＋π3＋φ)(|φ|<π2)且为奇函数∴φ＝－π3，f (x )＝sin(2x －π3)∴图象关于直线x ＝5π12对称，选B.4．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点(π4，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A ．[π4，3π4]B ．[3π4，7π4]C ．[π2，3π2]D ．[3π4，3π2]【解析】设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点(π4，0)对称的点为(π2－x ，－y )，由题意知该点必在f (x )的图象上．∴－y ＝sin(π2－x )，即g (x )＝－sin(π2－x )＝－cos x ，由已知得sin x ≤－cos x ⇒sin x ＋cos x＝2sin(x ＋π4)≤0又x ∈[0,2π] ∴3π4≤x ≤7π4.5．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)，g (x )＝3cos(ωx ＋φ)，若对任意x ∈R ，都有f (π3＋x )＝f (π3－x )，则g (π3)＝____. 【解析】由f (π3＋x )＝f (π3－x )，知y ＝f (x )关于直线x ＝π3对称，∴sin(ω·π3＋φ)＝±1.∴g (π3)＝3cos(ω·π3＋φ)＝31－sin 2ω·π3＋φ＝0.6．设函数f (x )＝2sin(πx 2＋π5)，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为____.【解析】由“f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立”，可得f (x 1)、f (x 2)分别是f (x )的最小值、最大值．∴|x 2－x 1|的最小值为函数f (x )的半周期，又T ＝2ππ2＝4.∴|x 2－x 1|min ＝2.7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．【解析】(1)f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2sin(x －π4)∴y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π.(2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π4∈[π4，5π4] ∴sin(2x ＋π4)∈[－22，1]，∴函数F (x )的值域为[0,1＋2]．8．设函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1，将函数f (x )的图象向左平移α个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若0＜α＜π2，且g (x )是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)g (x )＝f (x ＋α)＝2sin[2(x ＋α)＋π4]＝2sin(2x ＋2α＋π4)，g (x )是偶函数，则g (0)＝±2＝2sin(2α＋π4)，∴2α＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .α＝k π2＋π8(k ∈Z )，∵ 0＜α＜π2，∴α＝π8.三角函数的图象与性质练习二1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可以为 ( )A.x ＝5π12B.x ＝π3C.x ＝π6D .x ＝π12解析令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝π12.本题也可用代入验证法来解．答案 D 2.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.(－π，0)B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，03.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4B.－3π4C.π4D.π2二、填空题 4.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____(2k ,2k ]3πππ+(k ∈Z )_________.5.已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3___________. 4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43. 答案 436.关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称.其中正确命题的序号是___________.②③解析函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝ 4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0，因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．答案 ②③三、解答题7.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间. 解 (1)－3π4(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .8.(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域.解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值域为(0,2]. (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1].三角函数的图象与性质练习三一、选择题1.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，f (x )＝sin x ，则 f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为 ( ) A.－12B.12C.－32D.322.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B .32C.2D.3 3.函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____23_______.5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝____43_______.解析因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43.答案 436.给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形. 其中正确的序号为___________. 三、解答题7.若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax ·cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列. (1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标. 7.解 (1)f (x )＝12(1－cos 2ax )－12sin 2ax＝－12(sin 2ax ＋cos 2ax )＋12＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π4＋12. ∵y ＝f (x )的图象与y ＝m 相切， ∴m 为f (x )的最大值或最小值，即m ＝1＋22或m ＝1－22.(2)∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2.T ＝2π|2a |＝π2，a >0，∴a ＝2，即f (x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π4＝0，则4x 0＋π4＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π16 (k ∈Z ). 由0≤k π4－π16≤π2(k ∈Z )得k ＝1或2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫316π，12，⎝⎛⎭⎫716π，12. 三角函数的图象与性质练习四一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．A ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数．答案 C2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 答案 C3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )． A.23 B.32C ．2D ．3 解析由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.故最小正周期为2π. 答案 A5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C 、D ，∵函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，∴排除B. 答案 A【点评】本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．答案 D二、填空题 7.y =－|sin （x +4π）|的单调增区间为___［k π+π4，k π+3π4］（k ∈Z ）_____. 8.要得到⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移_8π__单位. 9.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为____. 10函数f(x)02x π≤≤) 的值域是_____[-1,0]___ __.11.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14312、给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是．13．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx ＝cos ωx sin ωx ＝12sin 2ωx ，∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1. 答案 114．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是______．解析由2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得：x ＝k π2－π8，k ∈Z ，故交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 15．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．解析 (回顾检验法)据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 π6三、解答题16．已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x . (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α.∵sin 2α＝13＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α＞0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 17．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18、设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+．（1）求()f x 的最小正周期．（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．解：（Ⅰ）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--3cos 424x x ππ- sin()43x ππ- 故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--)43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 32g π==解法二：因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于 x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值由（Ⅰ）知()f xsin()43x ππ-当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 6g π==. 19、设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合． (3)求函数的单调区间； (4)函数图象沿向量平移得到x y 2sin 2=的图象,求向量。

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质

第四讲三角函数的图象与性质知识梳理·双基自测知识梳理知识点一周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 .非零常数T叫做这个函数的周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数性质y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域{x|x∈R} {x|x∈R} {x|x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，⎦⎥⎤π2＋2kπ，k∈Z上递增；在⎣⎢⎡π2＋2kπ，⎦⎥⎤3π2＋2kπ，k∈Z上递减在 [(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上递增；在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上递减在⎝⎛－π2＋kπ，⎭⎪⎫π2＋kπ，k∈Z上递增重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 (0,0) 、 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 、 (π，0) 、 ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 、 (2π，0) .函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是 (0,1) 、 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 、 (π，－1) 、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 、 (2π，1) .2．函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，如y ＝cos x 的对称轴为x ＝kπ(k∈Z)，而不是x ＝2kπ(k∈Z)．3．对于y ＝tan x 不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k ∈Z)内为增函数．双基自测题组一走出误区1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一象限是增函数．( × )(2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (3)y ＝sin |x|是周期为π的函数．( × ) (4)y ＝cos x ，x ∈(0,4π)不是周期函数．( × )(5)由sin ⎝ ⎛π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x(x ∈R)的一个周期．( × )(6)已知y ＝ksin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1( × ) 题组二走进教材2．(必修4P 45T3改编)函数y ＝tan 2x 的定义域是( D )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ＋π4，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠kπ2＋π8，k ∈ZC ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ＋π8，k ∈ZD ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ2＋π4，k ∈Z[解析] 由2x≠kπ＋π2，k ∈Z ，得x≠kπ2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠kπ2＋π4，k ∈Z .3．(必修4P 40T4改编)下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( B ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π及⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数[解析] 函数y ＝4sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增．故选B.4．(必修4P 38T3改编)函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为 5 ，此时x ＝ 3π4＋2kπ(k∈Z) .[解析] 函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2kπ，k ∈Z ，即x ＝3π4＋2k π(k∈Z)．题组三走向高考5．(2020·天津，8,5分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f(x)的最大值；③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( B ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③[解析] 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期T ＝2π1＝2π，①正确；易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12<1，②错误；把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到的是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，③正确．综上，①③正确，②错误．故选B. 6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增的是( A )A ．f(x)＝|cos 2x|B ．f(x)＝|sin 2x|C ．f(x)＝cos |x|D ．f(x)＝sin |x|[解析] A 中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f(x)单调递增，故A 正确；B 中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f(x)单调递减，故B 不正确；C 中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f(x)＝sin|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x≥0，－sin x ，x<0，由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D 不正确，故选A.考点突破·互动探究考点一三角函数的定义域、值域——自主练透例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k ∈Z) C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋5π6(k ∈Z) (2)函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域为 [1,4] .(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x|≤π4的最大值与最小值分别为 54，1－22 .[解析] (1)由2sin x －1≥0，得sin x≥12，所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k ∈Z)．故选B.(2)因为π6≤x≤π2，所以0≤2x －π3≤2π3，所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4. 所以函数的值域为[1,4]． (3)令t ＝sin x ，因为|x|≤π4，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. 所以y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，所以当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22.名师点拨三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝asin ωx＋bcos ωx＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； ②形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值). 考点二三角函数的单调性——师生共研例2 (1)求下列函数的单调区间：①y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间；②y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调区间；③y ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递减区间．(2)(2021·洛阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2][解析] (1)①∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴由2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k ∈Z)．即所求单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z)．②y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，解得4k π－43π<x<4k π＋83π(k ∈Z)．∴函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4kπ－43π，4kπ＋83π(k ∈Z)．③画图知单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π4，kπ＋π4(k ∈Z)． (2)由π2<x<π得π2ω＋π4<ωx＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A.[答案] (1)①⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z) ②⎝⎛⎭⎪⎫4kπ－43π，4kπ＋83π(k ∈Z)③⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π4，kπ＋π4(k ∈Z)(2)A名师点拨三角函数单调性问题的解题策略(1)求三角函数单调区间的两种方法：①代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y ＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y ＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．〔变式训练1〕(1)(多选题)(2020·山东泰安第二次段考)函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的一个单调递增区间是( AD )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 (2)(2018· 课标全国Ⅱ，10)若f(x)＝cos x －sin x 在[0，a]上是减函数，则实数a 的最大值是( C ) A.π4B ．π2C ．3π4D ．π[解析] (1)f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2kπ－π≤2x－π6≤2kπ，k ∈Z ，解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k ∈Z.所以函数f(x)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－5π12，kπ＋π12，k ∈Z.令k ＝0,1，可得选项AD 正确，故选A 、D.(2)本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋π4≤π，解得0<a≤3π4.故a 的最大值是3π4，故选C.考点三三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究角度1 周期性例3 求下列函数的周期：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3；(2)y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12； (3)y ＝|tan x|；(4)y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin xcos x －2cos 2x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3，∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3的周期为3π.(2)画图知y ＝|cos x|的周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期的一半，即T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x|的图象．如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x|的图象与y ＝tan x 的周期相同. (4)y ＝－2sin 2x·cosπ4－2cos 2x·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] (1)3π (2)π2 (3)π (4)π角度2 奇偶性例4 已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( B )A ．0B ．π6C ．π4D ．π3[解析] 因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋θ是偶函数，所以π3＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋kπ(k∈Z)，又因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故θ＝π6. 角度3 对称性例5 (多选题)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( AD )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称[解析] 由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数f(x)的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x ＝π12＋kπ2(k ∈Z)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝kπ(k∈Z)，解得x ＝－π6＋kπ2(k ∈Z)．故选A 、D.名师点拨(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ)或y ＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解．(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝Asin(ωx＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k ∈Z)，若y ＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)．(3)求函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题． ①∵y ＝sin x 的对称中心是(kπ，0)，(k ∈Z)，∴y ＝Asin(ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x ＝kπ－φω，故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－φω，0(k ∈Z)．②∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，∴ωx＋φ＝kπ＋π2解出x ＝kπ＋π2－φω，即x ＝kπ＋π2－φω为函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程．③函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x 0)的值进行判断．(4)注意y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k ∈Z)．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f(x)＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( C ) A.π4B ．π2C ．πD ．2π(2)(角度2)(多选题)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( BD ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 (3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是－π6.[解析] (1)本题考查三角函数的周期．解法一：f(x)的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ＋π2，k ∈Z .f(x)＝sin xcos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x·cos x＝12sin 2x ，∴f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.解法二：f(x ＋π)＝tan x ＋π1＋tan 2x ＋π＝tan x1＋tan 2x ＝f(x)，∴π是f(x)的周期．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π21＋tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x ＝－1tan x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－tan x 1＋tan 2x ≠f(x)， ∴π2不是f(x)的周期， ∴π4也不是f(x)的周期．故选C. (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，不符合题意．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是T ＝π的奇函数，符合题意，同理C 不是奇函数，D 为y ＝2sin 2x ，故选B 、D.(3)由题意可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，所以2π3＋φ＝π2＋kπ，φ＝－π6＋kπ(k∈Z)，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6.故填－π6.名师讲坛·素养提升三角函数的值域与最值例6 (1)函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，13 .(2)函数f(x)＝2sin xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)的值域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋32 . (3)函数y ＝1＋sin x 3＋cos x 的值域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 .(4)若x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x －sin xcos x 的最小值是( A ) A ．－12＋ 2B ．12＋ 2 C ．1D ． 2[解析] (1)解法一：y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，13.解法二：由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y≤13，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，13.(2)f(x)＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3sin 2x ＋sin xcos x ＝31－cos 2x 2＋sin 2x2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋32.(3)解法一：由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －ycos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y 2其中sin φ＝－y 1＋y2，cos φ＝11＋y2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y －11＋y 2≤1，解得0≤y≤34. 解法二：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P(－cos x ，－sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cos x ，－sin x)在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t≤k CB ，设过点C(3,1)的直线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k|k 2＋1≤1，解得0≤k≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.(4)由条件知0<x≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又0<x≤π3，∴π4<x ＋π4≤7π12，得1<t≤2；又t 2＝1＋2sin xcos x ，得sin xcos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，则－12＋2≤y<1，所以函数的最小值为－12＋ 2.故选A.名师点拨求三角函数值域或最值的方法(1)y ＝asin x ＋b(或y ＝acos x ＋b)的值域为[－|a|＋b ，|a|＋b]．(2)y ＝asin 2x ＋bcos x ＋c 可转化为关于cos x 的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可． (3)y ＝asin 2x ＋bsin xcos x ＋c·cos 2x ――→利用二倍角公式降幂整理y ＝Asin 2x ＋Bcos 2x ――→辅助角公式y ＝A 2＋B 2sin(2x ＋φ)，再利用sin(2x ＋φ)的有界性求解，注意2x ＋φ的取值范围．(4)y ＝asin x ＋b csin x ＋d (或y ＝acos x ＋b ccos x ＋d )可反解出sin x ＝f(y)(或cos x ＝f(y))由正、余弦函数的有界性(|f(y)|≤1)求解；y ＝asin x ＋bccos x ＋d可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x ＋φ)＝yd －b a 2＋yc2利用三角函数的有界性求解．(5)y ＝f(sin x±cos x，sin x·cos x)常用换元法，令t ＝sin x±cos x＝2sin(x±π4)，则cos xsinx ＝t 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫或1－t 22，可化为关于t 的二次函数在某区间上的值域或最值．〔变式训练3〕(1)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是 1 .(2)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝12＋sin x ＋cos x 的最大值是( D )A.22－1 B ．－22－1 C ．1－22D ．1＋22(3)(2021·云南调研)函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域是 ⎣⎢⎦⎥2 . [解析] (1)依题意，f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f(x)max ＝1. (2)y ＝12＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∵2－2≤2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＋2，∴y≤12－2＝1＋22，故选D.(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin xcos x ， sin xcos x ＝1－t22，且－2≤t≤2，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1，当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.。

高考数学一轮复习重点三角函数的图像与性质

第3讲三角函数的图像与性质一、选择题1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图像知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.答案 A2．(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B3．(2016·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4．(2016·铜川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图像可知，函数f (x )的图像不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图像易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确．答案 C5．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A. 答案 A 二、填空题6．(2017·郑州调研)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 解析因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 答案 5π67．(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π68．(2016·承德模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图像可知，π3ω＝π2，解得ω＝32. 答案 32 三、解答题9．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2 x ＋cos 2 x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.10．(2017·昆明调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4 ＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)法一在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(2－x )－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.法二区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.11．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B12．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6， f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6.又∵－π2＜5π6－4＜4－7π6＜π6＜π2. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A13．若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．解析因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35. 答案 ±3514．(2017·安康调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a >0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

高中数学高三三角函数的图象和性质【教案】

高三一轮（理） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

【重点难点】1。

教学重点：函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质; 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】了解理解掌握函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质√［考纲传真] 1。

能画出y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象，了解函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

真题再现学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析.让学生明确考试要求，做到有的放矢2.【2014上海】函数的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。

(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，解析 (1)选项A中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.（2016高考新课标1）已知函数为的零点,为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ )数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质y＝sin x y＝cos x y＝tan xR R x≠kπ＋错误!,k ［－1，1][－1,1]R增区间：错误!，减区间:错误!增区间：[2kπ－π，2kπ］，减区间：[2kπ,2kπ＋π]，递增区间kπ－错误!，kπ＋∈Z奇函数偶函数奇函数（kπ,0）,k ∈Z 错误!,k∈Zkπ2，0，k∈Z在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时和解题效率.学必求其心得，业必贵于专精。

高考数学一轮总复习课件：三角函数的图象与性质

正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
定义域
R
值域
_[_－__1_，__1_]
R [_－__1_，__1_]
_(_k_π_－__π2_，__k_π__＋__π2_) __R___
周期性
__T_＝__2_π___
__T_＝__2_π___
_T__＝__π___
思考题1 (1)【多选题】下列函数中最小正周期为π
的函数有(ABC )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|cosx|
C．y＝cos2x＋π6
D．y＝tan2x－π4
(2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0，1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是____1_992_π __， __＋ __∞ ____．
【解析】 (1)f(x)＝cos3x(－sinx)＝－sinxcos3x， ∵f(－x)＝－sin(－x)cos(－3x)＝sinxcos3x＝－f(x)(x∈R)． ∴f(x)是奇函数． (2)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x) ＝sin|x|是偶函数． (3)∵f(x)＝2sin2xcos3(x∈R)． ∴f(－x)＝2sin(－2x)cos3＝－2sin2xcos3＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．【答案】 (1)奇函数 (2)偶函数 (3)奇函数
(1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)形式的函数的单调性，应利用复合函数单调性研究．
(3)注意各性质应从图象上去认识，充分利用数形结合解决问题．

高考数学考点解读+命题热点突破专题08三角函数的图像与性质理

三角函数的图像与性质【考向解读】1.三角函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是2016年高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.【命题热点突破一】三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式例1、【2016高考新课标2理数】若，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【变式探究】当x ＝π4时，函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( ) A ．奇函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B ．偶函数且图像关于点(π，0)对称C ．奇函数且图像关于直线x ＝π2对称 D ．偶函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称【答案】C【解析】当x ＝π4时，函数f （x ）＝Asin （x ＋φ）（A>0）取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k∈Z ，所以f （x ）＝Asin （x －3π4）（A>0），所以y ＝f （3π4－x ）＝Asin （3π4－x －3π4）＝－Asin x ，所以函数y ＝f （34π－x ）为奇函数，且其图像关于直线x ＝π2对称. 【命题热点突破二】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与解析式例2、设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x∈R . (1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的取值集合； (2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．【感悟提升】三角函数最值的求法：(1)形如y ＝asin x ＋bcos x ＋k 的函数可转化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k(A>0，ω>0)的形式，利用有界性处理；(2)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如y ＝cos x ＋a sin x ＋b的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动个单位长度（B ）向右平行移动个单位长度（C ）向左平行移动个单位长度（D ）向右平行移动个单位长度。

2016年高考高三数学一轮热点难点一网打尽专题16三角函数的图像和性质的“磨合”解析版含解析

【备战2016年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第16讲三角函数的图像和性质的“磨合”考纲要求:1．能画出y ＝sin x ， y ＝cos x ， y ＝tan x 的图象,了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等）,理解正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性．3。

了解函数y ＝A sin （ωx ＋φ)的物理意义;能画出y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响．4。

了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

基础知识回顾：1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是（0，0）、)1,2(π、（π，0）、)1,23(-π、（2π，0）。

2．三角函数的图像和性质性质定义域错误!R｛x ｜x ≠k π＋错误!(k ∈Z ）}图像值域［－1，1] ［－1,1] R对称性对称轴:x ＝k π＋错误!（k ∈Z ）；对称中心：（k π，0)（k ∈Z )对称轴:x ＝k π(k ∈Z )；对称中心:))(0,2(Z k k ∈+ππZ k k ∈)0,2(π周期2π2ππ3．函数y＝A sin（ωx＋φ）的有关单调性增区间)](22,22[Z k k k ∈+-ππππ；减区间)](232,22[Z k k k ∈++ππππ增区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ减区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ增区间))(2,2(Z k k k ∈+-ππππ奇偶性奇函数偶函数奇函数_概念y ＝A sin(ωx＋φ)(A〉0,ω〉0），x∈［0,＋∞）表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝ωπ2f＝T1＝πω2ϕω+xϕ4．函数y＝sin x的图像经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图像的步骤如下应用举例：类型一、由图定式【例1】函数f(x)＝A sin（ωx＋φ）(A，ω，φ是常数，A＞0,ω＞0)的部分图像如图所示，下列结论:①最小正周期为π；②将f(x）的图像向左平移错误!个单位，所得到的函数是偶函数；③f （0）＝1; ④)1314()1112(ππf f <；⑤)35()(x f x f --=π.其中正确的是（）A ．①②③B 。

2016届高考数学文一轮复习(人教版)讲义4.3三角函数的图象与性质

§4.3 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ )(3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( × ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(2014·陕西)函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 3．(2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.4．函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．答案 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.题型一求三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为_________________________________________．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．(2)(2013·天津)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 答案 (1){x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z } (2)B解析 (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 题型二三角函数的单调性、周期性例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．(2014·北京)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( ) A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．答案 (1)C (2)②④解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图象及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性、周期性典例：(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12] D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期．解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案 (1)A (2)C (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．失误与防范1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数答案 C解析 f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |，所以周期为π，对f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |，所以为偶函数，故选C.2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析由f (π8)＝－2得 f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ) ＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1. 因为|φ|<π，所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 当k ＝1时，－3π8≤x ≤π8，故选C. 3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 答案 D解析根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.4．(2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件． 5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[0,1]B ．[12，1]C ．[－1,2]D ．[0,2]答案 A解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z ) 解析由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 7．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2.8.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案 3解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 9．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8＋1. (1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sinπx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4 ＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)方法一在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3] ＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3cos π3＝32. 方法二区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24答案 A解析函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，且|φ|<π2.代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12. 12．已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则n m等于( ) A.332B. 3 C ．－233D.33答案 C 解析由x ＝π3是函数f (x )图象的对称轴易得 f (0)＝f (2π3)， ∴－n ＝2m sin 2π3－n cos 2π3， ∴－n ＝3m ＋n 2， ∴3m ＝－32n ， ∴n m ＝－233. 13．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是_______________. 答案 (k π2－π8，0)(k ∈Z ) 解析由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是(k π2－π8，0)(k ∈Z )． 14．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos(2x ＋π3)的一个对称中心为(－5π12，0)； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为[－1，22]； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________．答案 ①②解析对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f (－512π)＝0，因此(－512π，0)为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为[－1，22]，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝12<sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②.15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。