新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型同步练习新版北
最新北师大版九下第一章直角三角形的边角关系专题训练
第一章 直角三角形的边角关系综合练习1.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( ) A .259 B .54 C .53 D .2516 3．如图1—125所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为 ( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．224．如图1—126所示，已知AD 为等腰三角形ABC 底边上的高，且tan B ＝43，AC 边上有一点E 满足AE ：EC ＝2：3，那么tan ∠ADE 的值是 ( ) A .89B ．23C . 12D ．135．如图l —127所示，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知AO ＝3，AB ＝1，则点A 1的坐标是 ( ) A ．(33,22) B ．(3,22) C ．(33,22) D ．(13,22) 6．如图1—128所示．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC =22，AB ＝23，设∠BCD ＝a ，则cos a 的值为( )A ． 22B ．2C . 32D ．63 9.在△ABC 中，∠C =90°，AB =15，sinA =31，则BC =( )A .45 B .5 C .51 D .451 10.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC =4，BC =3，则cos ∠BCD =( )A .53 B .43 C .34 D .54 11．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，a ：b ＝1:2，则sinA ＝ . 12．12sin 60°·22cos 45°= . 13．某市东坡中学升国旗时，余露同学站在距旗杆底部12 m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为45°．若她的双眼距地面1.3 m ，则旗杆的高度为 m ．14．已知矩形两邻边的长分别为1和3，则该矩形的两条对角线所夹的锐角的度数是 ．16．在菱形ABCD 中，已知对角线AC =10，BD =6，那么sin2BAD ∠＝ ． 17．2(cos301)1tan 60-+- = ．18．已知B 为锐角，tan (90°－β)＝3，则β＝ .19．在△ABC 中，若∠A 和∠B 均为锐角，且满足等式┃ 2sinA －3┃＋(tanB －1)2=0，则∠C 的度数是 ．20．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠C ＝90°，∠A =60°a ＋b ＝3＋3，则c = ．21.计算：2－1－tan 60°+(5－1)0+|3|；23．如图1—131所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝4，AD ＝BC ，cos ∠ADC =35. (1)求CD 的长；(2)求sin B 的值．24．如图1—132所示的示意图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高．(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)25．如图1—133所示，某船向正东方向航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处，望见灯塔C 在北偏西30°方向，又航行了半小时到达D 处，望见灯塔C 恰好在西北方向，若船速为每小时20海里，求A ，D 两点间的距离．(结果不取近似值)26．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l —136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2，已知d 1＝4 m ，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m ，参考数据：sin 36°≈0.5878，cos 36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)27．在旧城改造中，要拆除一烟囱AB ，如图1—137所示，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形区域为危险区，现在从与B 地水平距离相距(BD ＝21米)21米远的建筑物CD 的顶端C 点测得A 点的仰角为45°，B 点的俯角为30°，现在离B 点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．(3≈1.732，精确到0.01米)参考答案1．A 2．C 3．B 4．C5． A [提示：过点A 1作A 1D ⊥OA 于D ，由已知OA ＝3，AB ＝1，根据特殊三角函数值可得∠BOA ＝30°，由折叠知识得∠A l OB ＝30°，OA 1＝3，则∠A 1OA ＝60°，在Rt △A 1DO 中，OD ＝A 1Ocos 60°＝32，A 1D ＝OA 1 sin 60°＝32，则点A 1(33,22)．故选A ．]6．D 7．c 8．d 9．b 10．B 11. 55 12. 3813．13．3 14．60° 15．30 16. 33434 17.3218.30° 19．75°[提示：根据非负数的性质．因为，┃2sinA －3┃≥0，(tanB －1)2≥0，又┃2sinA －3┃十(tanB －1)2=0，所以2sinA －3＝0，tanB －1＝0，即sinA ＝32，tanB ＝l ，则∠A ＝60°，∠B ＝45°．根据三角形内角和定理，得∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－45°＝75°．]20．23 [提示：在Rt △ABC 中，tanA =a b ，即 a b =tan 60°＝3 故。
【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。
新版北师大初中数学九年级(下册)第一章直角三角形的边角关系练习题【含答案】
北师大版初中数学 九（下） 第一章直角三角形的边角关系 分节练习(带答案)第1节 锐角三角函数1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，tan A ＝125，求AC . ★ 1.1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝54，BC ＝20，求△ABC 的周长和面积. ★ 1.2、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？2、【综合Ⅰ】在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求sin B ，cos B ，tan B . ★2.1【综合Ⅰ】已知∠A 是锐角，cos A ＝53，求sin A 和tan A . 2.2、【综合Ⅰ】在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是中线，BC ＝8，CD ＝5，求sin ∠ACD ，cos ∠ACD 和tan ∠ACD .2.3【综合Ⅰ】如图，点P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（4，3），则sin α和cos α的值分别是（ ）A. 34，35B. 54，53C. 53，54D. 34，432.4、【综合Ⅲ】如右图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝8，BD ＝4，求tan A 的值. ☆第2、3节 30°，45°，60°角的三角函数值 & 三角函数的计算3、【基础题】计算：（1）sin 30°＋cos 45°； （2）2sin 60°＋2cos 60°－tan 45°.3.1、【综合Ⅱ】 化简2)130(tan - ＝ （ ） A. 331- B. 13- C. 133- D. 13-3.2、【综合Ⅱ】 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 2sin 0B A +=（，则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形4、【基础题】用计算器求下列锐角的三角函数值（结果保留4个有效数字）（1）sin 72°； （2）cos 36.43°； （3）tan 38° 24＇25＂.4.1、【基础题】如左下图，河岸AD 、BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，桥AB 长12 m ，在C 处看桥两端A 、B ，夹角∠BCA ＝60°，求B 、C 间的距离（结果精确到1 m ）.4.2、【基础题】如右图，AB ＝20 m ，∠CAB ＝50°，∠DAB ＝56°，求避雷针CD 的长度（结果精确到0.01 m ）5、【基础题】根据下列条件利用计算器求∠A 的度数（用度、分、秒表示）.（1）cos A ＝0.6753； （2）sin A ＝0.4553； （3）tan A ＝87.545.1、【基础题】一梯子斜靠在墙上，已知梯长4 m ，梯子位于地面上的一端离墙2.5 m ，求梯子与地面所成的锐角.第4节 解直角三角形6、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，根据下列条件求出直角三角形的其他元素. ★（1）5＝a ，25＝c ； （2）34＝c ，∠A ＝60°第5节 三角函数的应用7、【综合Ⅱ】如左下图，小李想测量塔CD 的高度，他在A 处仰望塔顶，测得仰角是30°，再往塔的方向前进50 m至B 处，测得仰角是60°，那么该塔有多高？（小李的身高忽略不计，结果精确到1 m ） ★7.1、【综合Ⅱ】如右上图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30º，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得A 点的仰角为60º，则物体AB 的高度为（ ） ★B.10米7.2【综合Ⅱ】（2012年陕西数学中考20题）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65︒方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45︒方向（点A B C 、、在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin 250.4226cos 250.9063tan 250.4663sin 650.9063︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，cos 650.4226tan 65 2.1445︒≈︒≈，）8、【综合Ⅱ】如左下图，大楼AD 高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及大楼与塔之间的距离AC （结果精确到0.01 m ）.8.1【基础题】如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的 高，用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α，在A 处测得D 点的仰角为β. 已知甲、乙两建筑物之间的 距离BC 为m . 请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.2，则AB的长是_________. ☆9、【综合Ⅲ】如左下图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝39.1、【综合Ⅲ】如右上图，在四边形ABCD中，AD＝30 m，DC＝50 m，CB＝20 m，AB＝50 m，∠A＝60°，m）∠C＝60°，求此四边形ABCD的面积（结果精确到0.01 210、【综合Ⅰ】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港. 求（1）A、C两港之间的距离（结果精确到0.1 km）；（2）确定C港在A港的什么方向.10.1、【综合Ⅲ】如图，一艘船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B此时在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离（结果保留根号）.第6节利用三角函数测高11、【综合Ⅱ】如图，∠MCE＝α，∠MDE＝β，AC＝BD＝a，AB＝b，那么物体MN的高度如何表示？九（下） 第一章直角三角形的边角关系 分节练习答案1、【答案】 AC ＝536 1.1、【答案】 周长60，面积150. 1.2、【答案】 相等 2、【答案】 sin B ＝54，cos B ＝53，tan B ＝34. 2.1【答案】 sin A ＝54，tan A ＝34. 2.2、【答案】 sin ∠ACD ＝54，cos ∠ACD ＝53，tan ∠ACD ＝34. 2.3【答案】 选C 2.4、【答案】 tan A ＝22 3、【答案】（1）221＋； （2）0. 3.1、【答案】选A 3.2、【答案】选D 4、【答案】（1）sin 72°≈0.9511； （2）cos 36.43°≈0.8046； （3）tan 38° 24＇25＂≈0.79284.1、【答案】 BC ＝34≈7（m ） 4.2、【答案】 CD ≈5.82 m5、【答案】 （1）∠A ≈47° 31＇21＂； （2）∠A ≈27° 5＇3＂； （3）∠A ≈89° 20＇44＂.5.1【答案】 梯子与地面所成的锐角是51° 19＇4＂6、【答案】 （1）5＝b ，∠A ＝∠B ＝45°； （2）∠B ＝30°，6＝a ，32＝b .7、【答案】 CD ≈43 m 7.1、【答案】 选A 7.2【答案】 207米8、【答案】 用方程来解，设AC ＝x ，则DE ＝x ， 可列方程 tan 60°·x －tan 30°·x ＝30，解得x ＝153≈25.98， BC ＝153×tan 60°＝45.008.1【答案】 CD ＝BC ·tan α＝m ·tan α， AB ＝m ·（tan α－tan β）. 9、【答案】 33＋9.1【答案】四边形ABCD 的面积是1082.53 2m 10、【答案】（1）14.1 km ； （2）北偏东15°方向. 10.1、【答案】11、【答案】 MN ＝a b ＋－αββαtan tan tan tan。
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
第一章 直角三角形的边角关系 解直角三角形及其应用复习(含答案)
解直角三角形及其应用1. 定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2. 直角三角形的边角关系：如图:（3）边角之间的关系：3. 解直角三角形的四种基本类型：如下图：已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。
应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。
（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。
4. 几个常用概念：（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。
（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。
（3）坡度：（坡比）如图:坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。
（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
（5）方向角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°东西与南北方向线互相垂直。
5. 运用解直角三角形的方法解决实际问题：基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。
（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。
一般有以下几个步骤：（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。
（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。
（3）选择适当关系式解直角三角形。
典型例题例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32°分析：略解：例2. 如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。
九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练
九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练一 、锐角三角函数的定义1.在Rt △ABC 中，∠C=900,直角三角形边角之间的关系： （1）三边关系：_________________(即_______定理)（2）三角关系：_____________________(即_______________定理)____________________（性质：直角三角形两锐角______）（3）边角关系（即tanA ，sinA,cosA 与边的关系）锐角∠A 的正弦： ∠A 的（ ）边 （ ） （ ）sinA= = =（ ）边 （ ） （ ）锐角∠A 的余弦： ∠A 的（ ）边 （ ） （ ）cosA= = =（ ）边 （ ） （ ）锐角∠A 的正切： ∠A 的（ ）边 （ ） （ ）tanA= = =∠A 的（ ）边 （ ） （ ）注：① 锐角A 的______、______、______都是∠A 的三角函数．．．．。
② 三角函数值是一个比值，没有．．．．．．．．．．．．．单位．．．．2.练习：1. 在Rt △ABC 中，∠C=900,AC=3,BC=4,求tanA 、sinA 和cosA 的值。
2. 在Rt △ABC 中，∠C=900, cosA=1312，AC=10, 求AB 、BC 的值。
3. 在Rt △ABC 中，∠C=900, cosA=0.6，BC=8, 求AB 、BC 的值。
4. 在Rt △ABC 中，∠C=900,sinA=43，求tanA 和cosA 的值。
5.如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC=5，BC=8,求tanB 、sinB 和cosB 。
AB C6. 在Rt △ABC 中，∠BCA=900,CD 是AB 边上的中线，BC=6,CD=5, 求sin ∠ACD,cos ∠ACD, tan ∠ACD ；BDA C7：坡度（坡比）与坡角：⑴坡面与水平面的夹角叫做________，⑵坡面的____________与____________的比称为坡度（或______）（用字母．．．．i ．表示）．．． ⑶坡度与坡角有什么关系？⑷正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑、工程技术等.正切经常用来描述山坡的_______、堤坝的_______.例：如图，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m,那么山坡的坡度是：（ ） （ ） i=_______α= =（ ） （ ） 60米二、特殊角的锐角三角函数值 100米1.⑴在Rt △ABC 中，∠C=900, 若∠A=300,设BC=a,则AB=______ AC=________ ⑵在Rt △DEF 中，∠F=900, 若∠D=450,设DF=a,则EF=______ DE=________ B EA C D F 2.利用上图，可求出下列特殊角的锐角三角函数值．3.锐角三角函数的大小比较(1) 正弦、正切的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ，随角度的减小而____ _． (2)余弦的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ，随角度的减小而____ _。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系复习(二份)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系复习(二份)直角三角形的边角关系复习测试题（一）一．选择题（每题3分，共30分）．1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是（）．A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm2．在RtABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（）．A．sinA***-***** B．cosA C．tanA D．tanA *****3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA2，则cosB的值为（）．2A．123 B．C．D．1 2224．在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（A．32 ）．5A．136．在△ABC ）．5．在△ABCA 7．如图，RtAC=4，BC=3，则sin∠ACDA．A4 B．C．D．3455CB(第7题)DB(第8题)C8．如图，为测楼房BC的高，在距离房30米的A处测得楼顶的仰角为，则楼高BC的高为（）．A．30tan 米B．3030米C．30sin 米D．米tan sin本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网9．如图，为了测量河两岸的A、B两点间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C，测得AC=a，ACB ，则AB的长为（）．A.asinB.acosC.atanD.AaBCatan2米（第9题）10．如图，在高为2m，坡角为30 ）．A.2(3 1)mB.4mC.( 2)mD.*****，），则∠AOx=_______度．（第13题）(第14题)13．如图，飞机A在目标B的正上方1 000米处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B、C之间的距离是______________．14．如图，有一斜坡AB长40m，此斜坡的坡角为60°，则坡顶离地面的高度为．（答案可以带根号）15．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资元（精确到1元）．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网16、李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如下图的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为30°，长b=9m，则需覆盖在顶上的塑料薄膜至少需__________m2．（保留根号）20(第15题)米a17、如图，小名同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于水平桌面上，并量出AB=3.5cm．三、计算题（每题5分，共10分）．18．20．（9角∠BCA(第16题) (第17题)1cos60 2sin4519．2 tan60 tan30 221．（9分）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB＝20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．60°CB本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网22．（9分）下表是小亮所填实习报告的部分内容：DF＝1m）.23．（12分）去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km 的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？A60 BC本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网附加题：（10分）如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时2千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？东第一章姓名成绩 .一、填空题（每题3分，共3001、计算：Sin3002、在Rt△ABCα=0.6，则Cosα= . 03 . 04、比较大小: sin40 cos40. 05、化简：sin30 tan60 .sin6006、计算：tan45 +（tan*****）= . 07、若∠A是锐角，cosA=0.5，则Sin(90CA)= .08、在△ABC中，若∠C = 90，sinA= 0.5，AB = 2，则△ABC 的面积为 . 09、一天在升旗时小明发现国旗升至5米高时，在她所站立的地点看国旗的仰角是45，当国旗升至旗杆顶端时国旗的仰角恰为60，小明的身高是1.6米，则旗杆高米.（精确到0.01米）10、某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．如图，一副三角板ABC，DEF如图摆放，使点D与BC的中点重合，DF经过点A，DE交AB与点G．将三角板DEF绕点D顺时针旋转至DE F''处，DE'，DF'分别与AB，AC交于点M，N，则GMAN=（）A．33B．32C．22D．322．关于直角三角形，下列说法正确的是（）A．所有的直角三角形一定相似B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．34B．43C．35D．454．如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（）A．2 B．3 C3D 33 25．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得BD=2DC，连接AC，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（ ）A ．33B ．35C ．13D ．15 6．在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =，2AC =，则tanB 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．55 D ．2557．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则tan A 的值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．438．在正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则sin ∠AOB 的值为（ ）A ．12B ．5C ．25D ．85109．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，则竹竿AD 与AB 的长度之比为（ ）A ．tan tan a βB ．tan tan a βC ．sin sin a βD ．cos cos aβ 10．如图，斜坡AP 的坡比为1∶2.4，在坡顶A 处的同一水平面上有一座高楼BC ，在斜坡底P 处测得该楼顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该楼顶B 的仰角为76°，楼高BC 为18m ，则斜坡AP 长度约为（点P 、A 、B 、C 、Q 在同一个平面内，sin760.97≈，cos760.22≈，tan76 4.5≈）（ ）A ．30mB ．28mC ．26mD ．24m 11．如右图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在格点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．2312．在ABC 中，AB 122=，AC 13=，2cos B ∠=，则BC 边长为（ ） A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或17二、填空题13．正方形ABCD 、正方形FECG 如图放置，点E 在BC 上，点G 在CD 上，且BC ＝3EC ，则tan ∠FAG ＝_____．14．如图，菱形ABCD 的两个顶点,B D 在反比例函数k y x=的图象上，对角线,AC BD 的交点О恰好是坐标原点，已知()2,2A ，120BCD ∠=︒，则k 的值是__________．15．在ABC 中，90C ∠=︒，若5sin 13B =，则cos A =________． 16．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3421,,,l l l l 上．若这四条直线相互平行且相邻直线的间距均为1，若α＝30°，则矩形ABCD 的面积为_________．17．小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A 、B 之间的距离，在垂直AB 的方向BC 上确定点C ，测得BC ＝45m ，∠C ＝40°，从而计算出AB 之间的距离．则AB ＝_______________．（精确到0.1m ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）18．如图，点D 在钝角ABC 的边BC 上，连接AD ，45B ∠=︒，CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，则CAD ∠的余弦值为__________．19．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC 6cm ，则AB 的长为_____．20．如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m ．测得斜坡的斜面坡度为i ＝1：3（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_____．三、解答题21．手机软件Smart Measure （智能测量）是一款非常有创意且实用性很高的数码测距工具．它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积．测量过程非常简单；如图1、图2，打开软件后先将手机摄像头对准物体的底部按测量键，保持相同姿势，再把手机相机镜头对准测量物体的顶端按测量键，最后按下“大树键”即可测量出物体的高度智能软件的运行离不开数学原理．如图3，测量者AB 使用Smart Measure 测量一棵大树CD 的高，软件显示8m AC =，10m AD =，53CAD ∠=︒，请你根据数学知识求出大树CD 的高．（结果可保留根号）（为了计算方便，约定434sin53,cos53,tan53555︒=︒=︒=）． 22．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地—一安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB 的高度，小明在纪念碑前D 处用测角仪测得顶端A 的仰角为60︒，底端B 的俯角为45︒；小明又在同一水平线上的E 处用测角仪测得顶端A 的仰角为30，已知8m DE =，求该纪念碑AB 的高度．（3 1.7≈，结果精确到0.1m ）23．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC 是可伸缩的（10m 20m AC ），且起重臂AC 可绕点A 在一定范围内转动，张角为()90150CAE CAE ∠∠︒︒，转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3.5m ．（1）当起重臂AC 长度为12m ，张角CAE ∠为120︒时，求云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF ；（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m ，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：3 1.732≈）24．如图，实践小组为了测量塔AB 的高度，先从与塔底中心B 在同一水平面上的点D 出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE 行走10米至坡顶E 处，再从E 处沿水平方向继续前行若干米后至点F 处，在F 点测得塔顶A 的仰角为63°，塔底C 的俯角为45°，B 与C 的水平距离为4米（图中A B C D E F 、、、、、在同一平面内，E F 、和D C B 、、分别在同一水平线上），根据测量数据，求塔AB 的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin 630.89,cos630.45,tan 63 1.96︒≈︒≈︒≈）25．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB 上方150米的点C 处悬停，此时测得桥两端,A B 两点的俯角分别为65°和45°，求桥AB 的长度．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈；结果精确到0.1米）26．先化简，再求值：21111a a a ⎛⎫ ⎪⎝--+⎭÷，其中245260a sin tan =︒+︒．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意可知D 是BC 的中点，∠BAC=90°，根据题意可以推出∠AGD=∠CAD ，设△DEF 绕点D 顺时针旋转了α，可以证明△GDM ∽△AND ，继而得到GM GD AN AD =，即可得出答案； 【详解】∵ D 是BC 的中点，∠BAC=90°，∴ BD=CD=AD ，∵ ∠B=30°，∴∠BAD=30°，∵∠C=60°，∴∠CAD=60°，∵∠EDF=90°，∴∠AGD=60°，∴∠AGD=∠CAD ，设△DEF 绕点D 顺时针旋转了α，∴∠GDM=∠AND=α，∴△GDM ∽△AND ， ∴GM GD AN AD= ， 在Rt △GAD 中，tan ∠GAD=3tan 303GD AD =︒= ， ∴GM GD AN AD =3；故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、直角三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键；2．D解析：D【分析】根据题目条件，利用举反例的方法判断即可.【详解】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，∴选项A 错误；若斜边长为4，∴选项B 错误；已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，缺少解直角三角形需要的边元素，∴选项C 错误；∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，根据勾股定理可以确定第三边的量比，∴直角三角形的三边之比一定确定，故选D.【点睛】本题考查了命题的真伪，以数学基本概念，基本性质，基本法则为基础，通过举反例的方法判断是解题的关键.3．C解析：C【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值．【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，∴5AC =， 则3sin sin 5BC AC αβ===． 故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．4．D解析：D【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利用三角函数解直角三角形即可【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF=1BD2=3，则边长AB为3，连AC交BD于E，则AC⊥BD，由左视图得AE=CE=x，在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=32，33，即33故选择：D.【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．5．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值． 【详解】 解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ，∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =． 故选：D ．【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．6．B解析：B【分析】先利用勾股定理求出BC ，再根据正切公式计算即可．【详解】在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =2AC =，∴221AB AC -=，∴tanB=2AC BC=， 故选：B ． ．【点睛】此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键．7．D解析：D【分析】 由勾股定理算出AC 的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答．【详解】解：由勾股定理可得：2222543AC AB BC =-=-=，∴tanA=43BC AC =， 故选D ．【点睛】 本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．8．C解析：C【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O 组成的直角三角形，利用勾股定理求出OA ，再根据锐角的正弦值等于对边比斜边求解．【详解】如图：AE ⊥OB ，在Rt △AOE 中，AE=4，OE=2，∴2225OA AE OE +=∴sin ∠AOB=2525AE OA == 故选：C ．【点睛】此题考查求网格中角的三角函数值，熟记角的三角函数值的计算公式，并正确确定角所在的直角三角形是解题的关键．9．C解析：C【分析】先在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，求出AB ＝sin AC a 、AD ＝sin AC β，再求长度之比即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∵sin ∠ABC ＝AC AB ，即sinα＝AC AB ， ∴AB ＝sin AC a， 在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝AC AD ，即sinβ＝AC AD ， ∴AD ＝sin AC β， ∴AD AB ＝sin sin ACAC βα＝sin sin a β， 故选：C ．【点睛】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，借助中间参数AC ，利用正弦函数的定义求解是解答的关键．10．C解析：C【分析】先延长BC 交PD 于点D ，在Rt △ABC 中，tan76°=BC AC，BC=18求出AC ，根据BC ⊥AC ，AC ∥PD ，得出BE ⊥PD ，四边形AHEC 是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD ，过点A 作AH ⊥PD ，根据斜坡AP 的坡度为1：2.4，得出512AH HP =，设AH=5k ，则PH=12k ，AP=13k ，由PD=BD ，列方程求出k 的值即可．【详解】解：延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．∴四边形AHDC 是矩形，CD=AH ，AC=DH ．∵∠BPD=45°，∴PD=BD ． 在Rt △ABC 中，tan76°=BC AC，BC=18米， ∴AC=4（米）．过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1：2.4， ∴512AH HP =，设AH=5k ，则PH=12k ， 由勾股定理，得AP=13k ．由PH+HD=BC+CD 得：12k+4=5k+18，解得：k=2，∴AP=13k=26（米）．故选：C ．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．11．A解析：A【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，222234=+=+AC AD CD ＝5．4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12．D解析：D【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得B ∠的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD 和CD 的长后即可求得线段BC 的长．【详解】解：∵2cos B 2∠=， ∴B 45∠=，当ABC 为钝角三角形时，如图1，∵AB 122=，B 45∠=，∴AD BD 12==，∵AC 13=，∴由勾股定理得CD 5=，∴BC BD CD 1257=-=-=；当ABC 为锐角三角形时，如图2， BC BD CD 12517=+=+=，故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答．二、填空题13．【分析】根据题意可以设EC=a 然后即可得到ADDG 和AG 的长然后作FH ⊥AG 利用锐角三角函数和勾股定理可以得到AH 和FH 的长从而可以得到tan ∠FAG 的值【详解】解：作FH ⊥AG 于点H ∵正方形FEC 解析：15【分析】根据题意，可以设EC=a ，然后即可得到AD 、DG 和AG 的长，然后作FH ⊥AG ，利用锐角三角函数和勾股定理可以得到AH 和FH 的长，从而可以得到tan ∠FAG 的值．【详解】解：作FH ⊥AG 于点H ，∵正方形FECG ，设EC ＝FG=a ，则BC ＝AD ＝CD ＝3a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D ＝90°，DG ＝BE ＝2a ，∴AG，∴sin ∠DAG∵AD ∥GF ，∴∠HGF ＝∠DAG ，∴sin ∠HGF ＝13， ∵sin ∠HGF ＝HF GF ，∴HF a解得HF ＝13a ，∴HG ＝13a ，∴AH ＝AG ﹣HG﹣13＝13a ，∴tan ∠FAH ＝FH AH＝213131013a a ＝15， 即tan ∠FAG ＝15， 故答案为：15．【点睛】本题考查正方形的性质、锐角三角形函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】由点求得进而求得根据点在直线上可以求得点的坐标从而可以求得的值【详解】解：四边形是菱形是等边三角形点∴直线的解析式为直线的解析式为点在直线上点的坐标为点在反比例函数的图象上解得故答案为：【点 解析：12-【分析】由点()2,2A ，求得22OA =26OB =B 在直线:BD y x =-上，可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．【详解】 解：四边形ABCD 是菱形，BA BC ∴=，AC BD ⊥，120BCD ∠=︒，60ABC ∴∠=︒，ABC 是等边三角形，点()2,2A ，∴22OA =a 2262tan t n 303OA OA BO ABO ∴====∠︒ 直线AC 的解析式为y x =，∴直线BD 的解析式为y x =-，2OB =B 在直线BD 上，∴点B 的坐标为(-， 点B 在反比例函数k y x=的图象上，∴=解得，12k =-，故答案为：12-．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．15．【分析】根据三角函数的性质一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值可求【详解】解：∴故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的性质解题关键是正确理解三角函数的意义得出一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值解析：513【分析】根据三角函数的性质一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值可求．【详解】解：90C ∠=︒，5sin 13B =， ∴513=AC AB ， 5cos 13AC A AB ==, 故答案为：513． 【点睛】 本题考查了三角函数的性质，解题关键是正确理解三角函数的意义，得出一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值．16．【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直与l2交于点E 与l3交于点F 得AB=2进而求得矩形的面积；【详解】解：如图过B 作于E 点交于F 点∵∴∠又∵相邻直线的间距均为1∴BF=EF=1则∴又∵矩形ABCD 中【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直，与l 2交于点E ，与l 3交于点F ．得AB=2，3BC =．进而求得矩形的面积；【详解】解：如图，过B 作2BE l ⊥于E 点，交2l 于F 点∵34//l l∴∠=30BAF α∠=︒又∵相邻直线的间距均为1，∴BF=EF=1 则1sin 2BF AB α== ∴2212AB BF ==⨯=又∵矩形ABCD 中，∠90ABC =° 而∠+90ABF α∠=︒∴30EBC α∠=∠=︒，且BE=2 ∴3cos BE EBC BC ∠== ∴3432233BC BE =÷== 则S 矩形ABCD=AB×BC=4832333= 83 【点睛】 本题考查了矩形的性质、直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算等知识，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．17．8m 【分析】根据题意可知在直角三角形ABC 中利用根据已知条件代入从而可以求得AB 的长【详解】由题意知：则为直角三角形在中∵BC ＝45m ∴∴m 故答案为：378m 【点睛】本题考查解直角三角形的应用解题的解析：8m ．【分析】根据题意可知AB BC ⊥，在直角三角形ABC 中，利用tan AB C BC=，根据已知条件代入，从而可以求得AB 的长．【详解】由题意知：AB BC ⊥，则ABC 为直角三角形，在Rt ABC 中，tan AB C BC ∠=， ∵BC ＝45m ，40C ∠=︒，∴·tan 40450.84AB BC =︒≈⨯，∴37.8AB =m ，故答案为：37.8m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 18．【分析】作AH ⊥BC 于H 设AC ═CD=5k 则BC=7k 设AH=BH=x 在Rt △ACH 中利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值）然后表示ADDH 利用余弦的定义即可求得【详解析：1010【分析】作AH ⊥BC 于H ，设AC ═CD=5k ，则BC=7k ，设AH=BH=x ，在Rt △ACH 中，利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示，求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值），然后表示AD ，DH ，利用余弦的定义即可求得．【详解】解：如图作AH ⊥BC 于H ，∵CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，设AC ═CD=5k ，BC=7k ，∵∠B=45°，∠AHB=90°，∴AH=BH ，设AH=BH=x ，在Rt △ACH 中，∵AH 2+HC 2=AC 2，∴x 2+（7k-x ）2=（5k ）2，解得x=3k 或4k ，当x=4k 时，即AH=4k ，HC=7k-4k=3k ，AH>HC ，此时根据大边对大角，∠HAC<∠HCA ，又∠HAC+∠HCA=90°，∴∠HAC<45°，∴∠BAC<90°，与△ABC 为钝角三角形矛盾，故x=4k 舍去，当x=3k 时，∴BH=AH=3k ，HC=7k-3k=4k ，DH=k ， ∴2210AD AH DH k =+=,∴10cos cos 1010DH CAD ADH AD k ∠=∠===． 故答案为：10． 【点睛】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定定理，勾股定理，一元二次方程的应用等．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，注意作辅助线时尽量不要破坏已给的角． 19．【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB 根据∠B ＝45°得CD ＝BD 根据勾股定理和BC ＝得出BD 再根据∠A ＝30°得出AD 进而分析计算得出AB 即可【详解】解；过点C 作CD ⊥AB 交AB 于D ∵∠B ＝45°∴C解析：33+【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB ，根据∠B ＝45°，得CD ＝BD ，根据勾股定理和BC ＝6得出BD ，再根据∠A ＝30°，得出AD ，进而分析计算得出AB 即可．【详解】解；过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于D ．∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD ，∵BC 6，∴BD 3∵∠A ＝30°，∴tan30°＝CD AD， ∴AD ＝30CD tan ︒333＝3，∴AB＝AD+BD＝33+．故答案为：33+．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．20．4米【分析】首先根据斜面坡度为i＝1：求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离【详解】由题意水平距离为6米铅垂高度2米∴斜坡上相邻两树间的坡面距解析：43米．【分析】首先根据斜面坡度为i＝1：3求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度，再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离．【详解】由题意水平距离为6米，铅垂高度23米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离＝()226+23=36+12=48=43（m），故答案为：43米．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则．三、解答题21．217m【分析】过点D作DH AC⊥于H，首先利用三角函数求出AH，DH的长度，进而求出CH的长度，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过点D作DH AC⊥于H．在Rt ADH中，在Rt ADH中，cosAH CADAD ∠=，sin DH CAD AD∠=， ∴3cos53106(m)5AH AD =⋅︒≈⨯=， 4sin53108(m)5DH AD =⋅︒≈⨯=． ∵8m AC =， ∴2(m)CH AC AH =-=．∴CD ===． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，构造出直角三角形是解题的关键．22．8m【分析】设CD=x m ，解Rt △ACD 与Rt △DCB ，用含x 的代数式表示出AC 、CB ，然后根据△ACE 是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x 的值，进而可得AB ．【详解】解：设CD=x m ，∵∠ADC=60°，∠CDB=45°，∴，CB=x•tan45°=x （m ），∵∠AED=30°，DE=8m ，∴， ∴，解得x=4（m ），∴（m ）．答：该纪念碑AB 的高度约为10.8m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（1）9.5m ；（2）可以有效救援．【分析】（1）过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，过点A 作AG ⊥CF ，垂足为G ，解直角三角形ACG 即可；（2）当起重臂最长，张角最大时，计算远臂点距离地面的最大高度，比较判断即可．【详解】（1）如图1，过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，过点A 作AG ⊥CF ，垂足为G ，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=30°，∵AC=12，∴CG=ACsin30°=12×1=6，2∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；（2）如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=60°，∵AC=20，∴CG=ACsin60°=20×3≈17.32，2∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；∴能有效救援．【点睛】本题考查了生活实际问题中的解直角三角形，熟练把生活问题转化数学解直角三角形模型问题是解题的关键．24．5米【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ，过点C 作CH FG ⊥于点H ，过点E 作EP DB ⊥于点P ，可得PE CH BG ==，4GH BC ==，由坡度和勾股定理可求出8CH BG PE ===，再由CFH ∆是等腰直角三角形，可得到8FH CH ==，即12FG FH GH =+=，最后通过三角函数求出结果．【详解】过点F 作FG AB ⊥于点G ，过点C 作CH FG ⊥于点H ，过点E 作EP DB ⊥于点P ， 由题意得：,4PE CH BG GH BC ====，∵斜坡DE 的坡度为1：0.75， ∴140.753PE PD ==，设3PD x =，则4PE x =， 在Rt PDE ∆中，()()2234510DE x x x =+==∴2x =，∴8CH BG PE ===，∵45CFH ︒∠=，∴CFH ∆是等腰直角三角形，∴8FH CH ==，∴12FG FH GH =+=，在Rt AFG ∆中，tan AG AFG FG∠=，∴tan 6312 1.9623.52AG FG ︒=⨯≈⨯=， ∴23.52831.5AB AG BG =+=+=（米）即塔AB 的高度约为31.5米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用问题，解题的关键是熟练掌握仰角俯角和坡度的有关内容．25．1米【分析】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据在C 处测得桥两端A ，B 两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=65°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角的三角函数求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，由题意得65MCA A ∠=∠=︒，45NCB B ∠=∠=︒，150CD =（米），在Rt ACD ∆中，015070.1tan 65 2.14CD AD ==≈（米）， 在Rt BCD ∆中，45CBD ∠=︒， ∴150BD CD ==（米）∴70.1150220.1AB AD BD =+=+=（米）答：桥AB 的长度约为220.1米．【点睛】本题考查了三角函数的运算，构造直角三角形，利用解直角三角形求边是解题的关键． 26．11a -3 【分析】直接将括号里面的进行通分运算进而利用分式的加减法则进行运算，再结合分式的除法法则进行计算即可，然后根据特殊的三角函数值求出a 的值带入计算即可；【详解】原式()()11111aa a a a +-=÷+-+ ()()111a a a a a+=⨯+- 11a =-45+2tan6012a =︒︒+=+，原式； 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊的三角函数值，正确掌握分式的混合运算和三角函数是解题的关键；。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题(二)解直角三角形中的数学思想作业课件新版北师大版
解：设每层楼高为 x 米，由题意得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(米)，∴DC′＝(5x ＋1)米，EC′＝(4x＋1)米．
在 Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝ DC′ ＝ 3(5x＋1)米，在 Rt△EC′B′中，
两地直达高铁，求A地到C地之间的高铁线路的长．
(结果保留整数，参考数据：sin67°≈12，cos67°≈ 5 ，tan67°≈12， 3≈1.73)
13
13
5
解：过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，由题意得∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×12＝480(km)， 13
BD＝AB·cos67°≈520× 5 ＝200(km)．∵∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝200 3(km)．∴
8．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，
已知A，B两船相距100( 3 ＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向 上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)求AC和AD的长；(结果保留根号)
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途
(2)由(1)可知，DF＝ 3AF＝ 3×100( 3－1)≈127(海里)．∵127>100，∴巡逻船 A 沿 直线 AC 去营救船 C，在去营救的途中没有触暗礁危险．
三、转化思想
9．(2018·娄底)如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装
置中注入一定量的水，水面高度为6 cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，
(完整)新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小结复习练习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ ABC 中，/ C=90考点二、一些特殊角的三角函数值 三角函数 30 °45 °60 °sin aCOS atan a考点三、各锐角三角函数之间的关系(1) 互余关系： sinA=cos(90 ° — A)， cosA=si n(90 °—A)； (2) 平方关系： 2 2 sin A cos A 1 ； (3)倒数关系： tanA ?tan(90 ° — A)=1(4)商的关系： 丄 Asin A tanA=— cos A考点四、锐角三角函数的增减性 当角度在0° ~90。
之间变化时，(1)正弦值随着角度的增大而 _______ ；⑵ 余弦值随着角度的增大而 ________ ； (3)正切值随着角度的增大而 _____________ ；考点五、解直角三角形 1、 解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角， 由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、 解直角三角形的理论依据在Rt △ ABC 中，/ C=90，/ A ，Z B ，Z C 所对的边分别为a ，b ，c(1)三边之间的关系： _________ (勾股定理);(2)锐角之间的关系： ____________________正弦： sinA余弦： cos A正切：tan AA 的对边斜边A 的邻边斜边__A 的对边 A 的邻边的对边ZE 的邻边N 直的邻边 MB 的对边（3） 边角之间的关系：正弦 sinA= _________ ，余弦 cosA= _____ 正切tanA= ___________________________________ 考点六、解直角三角形应用1、 将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、 仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：〔1〕sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中概念的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 〔2〕sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,适应省去“∠〞号；〔3〕sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. 〔4〕sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 〔5〕角相等,那么其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,那么这两个锐角相等. 一、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 〔1〕互为余角的函数之间的关系0º 30 º45 º 60 º 90 ºsin α 021 22 23 1假设∠A 为锐角，那么 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=〔2〕同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
2019春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小专题(二)与解直角三角形有关的问题课件(新版)北
解得 x=2 或 x=-2( 舍 ),
则 PE=CQ=8,BQ=6,
∴DP=DE+PE=11,
在 Rt△ADP 中,∵AP=t���a���n������������ = tan1410°≈13.1, ∴AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1.
答:此时 AB 的长为 5.1 米.
类型 3 方向角问题 5.( 恩施州中考 )如图所示,为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直 线距离,小明在 A 处测得 C 在北偏东 30°方向上,然后向正东方向前 进 100 米至 B 处,测得此时 C 在北偏西 15°方向上,求旗台与图书馆 之间的距离.( 结果精确到 1 米,参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73 )
答:这架无人机的长度 AB 为 5 米.
4.( 重庆中考 )如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔 船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC
的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,求此时AB的长.( 参考数据:sin
40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84 )
在 Rt△CEB 中,
∵∠C=45°,BE=50 3米, ∴CE=BE=50 3≈50×1.73=86.5 米. ∴AC=AE+CE=50+86.5=136.5≈137 米.
答:旗台与图书馆之间的距离约为 137 米.
6.( 河南中考 )如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡航,某 一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船 C,此时,B 船在 A 船的正南方向 5 海里处,A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方 向,B 船测得渔船 C 在其南偏东 53°方向,已知 A 船的航速为 30 海里 /小时,B 船的航速为 25 海里/小时,问 C 船至少要等待多长时间才能 得到救援?( 参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43 , 2≈1.41 )
难点详解北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专项训练试题(含答案及详细解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，为测量小明家所住楼房AB 的楼高，小明从楼底A 出发先沿水平方向向左行走到达点C ，再沿坡度1:2.4i =的斜坡行走104米到达点D ，在D 处小明测得楼底点A 处的俯角为14︒，楼顶最高处B 的仰角为22︒，AB 所在的直线垂直于地面，点A 、B 、C 、D 在同一平面内，则AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）A ．104B ．106C ．108D ．1102、在科学小实验中，一个边长为30cm 正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示．初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P 重合，点P 的高度PF ＝40cm ，离斜坡底端的水平距离EF ＝80cm ．正方形下滑后，点B 的对应点B '与初始状态的顶点A 的高度相同，则正方形下滑的距离（即AA '的长度）是（ ）cmA ．40B ．60C ．305D ．4053、如图所示，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为m （m ），那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（ ）A ．m cos α（m ）B ．co m s α（m ） C ．m sin α（m ） D ．sin m α（m ） 4、在Rt△ABC 中，∠C =90°，sin A =45，则cos A 的值等于( )A ．35B ．45C ．34D 5、在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠BAC 的位置如图所示，则sin∠BAC 的值为（ ）A ．12BCD 6、在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么cos B 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．45 D ．357、等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的正切值为（ ）A ．512B ．513C ．125D ．12138、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）A ．30°B ．CD ．129、某山坡坡面的坡度i =100米，小刚上升了（ ）A ．B ．50米C ． D10、在ABC 中, 30AB BAC ∠==. 下列线段BC 的长度不能使ABC 的形状和大小都确定的是（ ）A ．2B ．4CD ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果斜坡的坡度为1∶3，斜坡高为4米，则此斜坡的长为___________米2、如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC ，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯 BC 的坡度3i =，则扶梯BC 的长度为_________米．3、如图，等边ABC 的边长为2，点O 是ABC 的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段,AB BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②四边形ODBE 的面积始终ODE BDE S S =；④BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．4、如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则tan C =________．5、如图所示为4×4的网格，每个小正方形的边长均为1，则四边形AECF 的面积为________；tan∠FAE =_______三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）计算：2sin60tan60︒+︒（2）解方程：()2190x --=2、02sin 302011︒．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，两线相交于点E，连接DE．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若BD ACE=∠=DE的长．4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．5、在ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，1sin3B=，AD=1，求BC的长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据题意作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，由坡度的定义求出DF 的长，得AE 的长，再解直角三角形求出DE 、BE 的长，即可解决问题．【详解】解：如图，作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，∵斜坡CD 的坡度为i =1：2.4，CD =104米，∴DF =AE =40（米），CF =96（米），∵14EDA ︒∠=, ∴40tan tan140.25AE EDA DE DE︒∠===≈， ∴160DE =（米），∵22EDB ︒∠=, ∴tan tan 220.4160BE BE EDB DE ︒∠===≈， ∴64BE =（米），∴4064104AB AE BD =+=+=（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键．2、B【分析】根据题意可得：A 与B '高度相同，连接AB '，可得AB EF '∥，利用平行线的性质可得：B AA PEF ''∠=∠，根据正切函数的性质计算即可得．【详解】解：根据题意可得：A 与B '高度相同，如图所示，连接AB '，∴AB EF '∥，∴B AA PEF ''∠=∠， ∴1tan tan 2PF B AA PEF EF ''∠=∠==， ∴301tan 2A B B AA AA AA ''''∠===''， ∴60AA '=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．3、B【分析】 直接利用锐角三角函数关系得出m cos AB α=，进而得出答案． 【详解】 由题意可得：m cos ABα=， 则AB =co m s α． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．4、A【分析】由三角函数的定义可知sinA =a c，可设a =4，c =5，由勾股定理可求得b =3，再利用余弦的定义代入计算即可．【详解】解：∵sinA =a c， ∴可设a =4，c =5，由勾股定理可求得b =3，∴cosA =35b c =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．5、D【分析】先求出△ABC 的面积，以及利用勾股定理求出AC =AB =BD =进而求解即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥AC 于D ，由题意得：11=42=4=22ABC S AC BD ⨯⨯⋅△，AC =AB∴BD =∴sin =BD BAC AB ∠ 故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造直角三角形．6、D【分析】根据题意画出图形，求出AB 的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=，∴cos B＝BCAB＝35．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．7、C【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案．【详解】如图，ABC是等腰三角形，过点A作AD BC⊥，BC=10cm，AB=AC，可得：(3610)213(cm)AC=-÷=，∵AD是底边BC上的高，∴5cm CD BD ==，∴12(cm)AD ∴12tan 5AD C CD ∠==， 即底角的正切值为125． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．8、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离OB 的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：100OA =，50AB =，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可得：OB ==∴坡度为：1:AB OB = 故选：B ．【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．9、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x米．根据勾股定理可得：)222100x+=．x=．解得50即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．10、A【分析】画出图形，过点B作BD⊥AC于点D，则可求得BD BC的长度与BD比较即可作出判断．【详解】如图（1），过点B作BD⊥AC于点D则1sin 302BD AB =︒=⨯故当BC D 与点C 重合时，△ABC 的形状和大小唯一确定，即C 选项不符合题意； 当BC =2时，如图（2），则BC 1=BC 2=2，此时△ABC 1与△ABC 2的形状和大小不相同，即选项A 符合题意；当BC =ABC 是等腰三角形，如图（3），此时△ABC 的形状与大小确定，故选项D 不符合题意；当BC =4时，如图（4），△ABC 是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B 不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数及三角形形状的确定，关键是作BD ⊥AC ，把BC 与BD 进行比较．二、填空题1、【分析】根据坡度比求出斜坡水平距离，最后利用勾股定理求出斜坡长即可．【详解】解：根据坡度的定义可知，斜坡高：斜坡水平距离=1：3．斜坡高为4米∴斜坡水平距离为12米．故答案为：【点睛】本题主要是考察了坡度的定义以及勾股定理求边长，熟练掌握坡度定义，求解斜坡水平距离是解决此类问题的关键．2、7【分析】如图所示，过点C作地面的垂线，垂直为D，由题意得：:3CD BD=，据此利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作地面的垂线，垂直为D，由题意得：:3CD BD=，∴BD==∴7BC==，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了勾股定理和坡度，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3、①③④【分析】如图：连接OB 、OC ，利用等边三角形的性质得∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°，再证明∠BOD =∠COE ，可证△BOD ≌△COE ，即BD =CE 、OD =OE ，则可对①进行判断；利用 △△=BOD COE S S 得到四边形ODBE 的面积13ABC S ==OH ⊥DE ，则DH =EH ，计算出S △DOE 2,=利用S △DOE 随OE的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE 的周长=BC +DE =4+DE OE ，根据垂线段最短，当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，计算出此时OE 的长则可对④进行判断．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵等边ABC∴∠ABC =∠ACB =60°,∵点O 是△ABC 的中心，∴OB =OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°∵∠BOC =120°，即∠BOE +∠COE =120°，而∠DOE =120°，即∠BOE +∠BOD =120°，∴∠BOD =∠COE ,在△BOD 和△COE 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOD ≌△COE ,∴BD =CE ，OD =OE ，所以①正确；∴△△=BOD COE S S∴四边形ODBE 的面积=211233OBC ABCS S ==⨯=，故②正确； 如图：作OH ⊥DE ，则DH =EH ，∵∠DOE =120°,∴∠ODE=_OEH =30°,12OH OE ∴=，HE,==,DE ∴=211,22ODE S OE ∴=⋅= 即S △DOE 随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，;ODE BDES S ∴≠所以③错误； ∵BD =CE ,∴△BDE 的周长=BD +BE+DE =CE +BE +DE =BC +DE =2+DE当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时 OE =∴△BDE 周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键4、13【分析】延长CB 至格点D ，连接AD ，再利用勾股定理逆定理，可得ACD △是直角三角形，即可求解．【详解】解：如图，延长CB 至格点D ，连接AD ，由勾股定理得，2222420AC =+=，222112AD =+=，2223318CD =+=，∴222AD CD AC +=， ACD ∴是直角三角形，13AD tanC DC ∴==． 故答案为：13【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理逆定理，做出适当的辅助线得到ACD △是直角三角形是解题的关键．5、4，724 【分析】（1）利用分割的思想得ABE ADF ABCD AECF S S S S =--正方形四边形，即可求出；（2）连接EF ，过点F 作FG AE ⊥，垂足为点G ，利用勾股定理求出AG 即可求出．【详解】解：（1）14434242ABE ADFABCD AECF S S S S =--=⨯-⨯⨯⨯=正方形四边形． （2）连接EF ，过点F 作FG AE ⊥，垂足为点G ．1411 3.52AEF ECFAECF S S S ∴=-=-⨯⨯=四边形．5AE AF =，12AEF S AE GF =⋅，275AEF S GF AE ⋅∴==．245AG ∴==． 775tan 24245GF FAE AG ∴∠===． 故答案为：4，724． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是利用分割的思想进行求解．三、解答题1、（1）（2）14x =，22x =-【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）运用直接开平方法即可得出答案．【详解】解：（1）2sin60tan60︒+︒2==（2）()2190x --=()219x -=()13x -=±∴14x =，22x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值，灵活运用解方程的方法是解答本题的关键．2、【分析】先去掉绝对值，再计算三角函数值和零指数幂，然后化简算术平方根后可以得解．【详解】解：原式=1212⨯+-=11+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的计算和算术平方根的化简和计算是解题关键．3、（1）见解析；（2）DE =5．【分析】（1）先证明四边形AECD 是平行四边形，再根据CD ⊥AB 于D ，即可证明；（2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE ，再根据sin ACE ∠=sin BCD ∠=AE CD ==Rt ACE △中即可得出．【详解】证明：（1）CE∥AB，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∴四边形AECD是矩形；（2）四边形AECD是矩形，∴∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE，∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACE，∠=sin ACE∴∠=，sin BCD⊥，CD AB∴∠=︒，90CDBBD=4BC CD∴==10,∴==AE CD在Rt ACE△中，90,sin AEC ACE ∠=︒∠=，5AE AC ∴==，5DE AC ∴==．【点睛】本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长．4、（1）PA DC =，理由见解析；（2）CD =，理由见解析【分析】（1）根据已知条件证明ABP CBD △≌△即得到PA DC =；（2）过点A 作AE BC ⊥于E ，过点P 作PF BD ⊥，进而可得BC AB BD BP=DBC PBA ∠=∠进而证明CBD ABP ∽△△，根据相似三角形的性质列出比例式即可求得CD =【详解】（1）PA DC =，理由如下，∵,60AB AC BAC =∠=︒，∴ABC 是等边三角形，60ABC ∠=︒，∵线段PB 绕点P 逆时针旋转60︒后得到线段PD ，∴PBD △是等边三角形，,60PB PD BPD =∠=︒，∴ABP ABD CBD ABD ∠+∠=∠+∠，∴ABP CBD ∠=∠，∴()ABP CBD SAS ≌，∴AP CD =；（2）CD =．理由如下，如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，过点P 作PF BD ⊥，∵,120AB AC BAC =∠=︒，∴30ABC ∠=︒，12BE BC =cos BE ABC AE ∴∠==∴BC AB∵,120PB PD BPD =∠=︒，∴30PBD ∠=︒，12BF BD =cos BF PBD PB ∴∠==∴BD BP= ∴BC BD AB BP =，即BC AB BD PB=， ∵PBA PBD ABD ∠=∠+∠，DBC ABC ABD ∠∠+∠=，∴DBC PBA ∠=∠，∴CBD ABP ∽△△，∴CD BD AP BP==∴CD =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．5、1【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB =∠ADC =90°，再解Rt△ADC ，得出DC =1；解Rt△ADB ，得出AB =3，根据勾股定理求出BD =，然后根据BC =BD +DC 即可求解．【详解】 解：∵tan AD C DC =，即1tan 451DC ︒==， ∴DC =1 ∵1sin 3AD B AB ==，即113AB =， ∴AB =3在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，∴BD =∴BC =BD +DC =1．【点睛】本题考查了三角函数正切和正弦的应用，做题的关键是求出BD 和DC 的长．。
北师大版九年级下册数学 第1章 直角三角形的边角关系 专项训练(word版含解析)
第1章 直角三角形的边角关系 专项训练一、选择题：本题共20小题.1.如图,在平面直角坐标系内有一点(3,4)P ,连接OP ,则OP 与x 轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )A.34B.43C.35D.452.在ABC △中,A ∠,B ∠都是锐角,且1sin 2A =,cos B =,则ABC △的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定3.如图,某停车场入口的栏杆AB ,从水平位置绕点O 旋转到A B '的位置,已知AO 的长为4米.若栏杆的旋转角AOA α'∠=,则栏杆A 端升高的高度为( )A.4sin α米B.4sin α米C.4cos α米D.4cos α米4.如图,ABC △的顶点在正方形网格的格点上,则tan A 的值为( )A.12 C.2 D.5.如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,AC AB ⊥, AD CD =,4cos 5DCA ∠=,10BC =,则AB 的长是( )A.3B.6C.8D.96.如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200 m 的P ,Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置,T 在P 的正北方向,且T 在Q 的北偏西70°方向,则河宽（PT 的长）可以表示为( )A.200tan70︒ mB.200tan70︒ mC.200sin70︒ mD.200sin 70︒m7.一人乘雪橇沿坡比为的斜坡笔直滑下,滑下的距离s （m ）与时间t （s ）之间的关系为282s t t =+,若滑到坡底的时间为5 s,则此人下降的高度为( )A.mB.45 mC.mD.90m8.公元3世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形的面积是25,则2(sin cos )θθ-=( )A.15 D.959.如图,在ABC △中,90ACB ∠=︒,点D 在AB 的延长线上,连接CD ,若2AB BD =,2tan 3BCD ∠=,则AC BC的值为( )A.1B.2C.12D.3210.如图,一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC OB ⊥,点A ,B ,C ,D ,O 在同一平面内）,已知AB a =,AD b =,BCO x ∠=.则点A 到OC 的距离等于( )A.sin sin a x b x +B.cos cos a x b x +C.sin cos a x b x +D.cos sin a x b x + 11.已知α∠为锐角,且1sin 2α=,则α∠=( ) A.30° B.45° C.60° D.90°12.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线AC 与BC 相互垂直(A ,D ,B 在同一条直线上),设CAB α∠=,则拉线BC 的长度为( )A.sin h αB.cos h αC.tan h αD.cos h α⋅13.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan15︒时,如图,在Rt ACB △中,90C ∠=︒,30ABC ∠=︒,延长CB 使BD AB =,连接AD ,得15D ∠=︒,所以tan152AC CD ====︒类比这种方法,计算tan22.5︒的值为( )1 1 D.1214.如图,ABC △的顶点是正方形网格的格点,则cos ABC ∠的值为( )A.3B.2C.43D.315.如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点A 处,底端落在水平地面的点B 处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,已知3sin cos 5αβ==,则梯子顶端上升了( )A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米16.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图（2）所示的四边形OABC .若1AB BC ==,AOB α∠=,则2OC 的值为( )A.211sin α+B.2sin 1α+C.211cos α+D.2cos 1α+17.如图,Rt ABC △中,90BAC ∠=︒,1cos 4B =,点D 是边BC 的中点,以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ,使ADE B ∠=∠,连接CE ,则CE AD的值为( )A.32 D.218.如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND .甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°,测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m,测得山坡DF 的坡度1:1.25i =.若58ND DE =,点C ,B ,E ,F 在同一水平线上,则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：2 1.41≈,3 1.73≈）( )A.9.0 mB.12.8 mC.13.1 mD.22.7 m19.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,CE 是斜边AB 上的中线,过点E 作EF AB ⊥交AC 于点F .若4BC =,AEF △的面积为5,则sin CEF ∠的值为( )A.35 C.45 20.如图,AB 是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B 出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C ,再经过一段坡度（或坡比）为1:0.75i =、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ,B ,C ,D ,E ）均在同一平面内）.在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°,则建筑物AB 的高度约为（参考数据sin240.41︒≈,cos240.91︒≈,tan240.45︒=）( )A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米二、填空题：本题共10小题.21.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,90C ∠=︒,2a =,1b =,则cos A =__________,tan B =___________.22.某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB 的长为___________.23.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt ABC △是“好玩三角形”,且90A ∠=︒,则tan ABC ∠=___________.24.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥,垂足为点D ,如果3BC =,4AC =,那么cos BCD ∠=__________.25.如图,在正方形ABCD 中,E 是边AD 的中点.将ABE 沿直线BE 翻折,点A 落在点F 处,连接DF ,那么EDF ∠的正切值是____________.26.如图,在四边形ABCD 中,90B ∠=︒,2AB =,8CD =,AC CD ⊥.若1sin 3ACB ∠=,则tan D =______________.27.如图,在ABC 中,6AB AC ==,2sin 3B =,则ABC 的面积=___________.28.如图,ABC △的顶点B ,C 的坐标分别是(1,0),,且90ABC ∠=︒,30A ∠=︒,则顶点A 的坐标是____________________.29.如图,运载火箭从地面L 处垂直向上发射,当火箭到达A 点时,从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40 km,仰角是30°,n 秒后,火箭到达B 点,此时在R 处测得仰角是45°,则火箭在这n 秒中上升的高度是____________km.30.如图,在矩形ABCD 中,BD 是对角线,AE BD ⊥,垂足为E ,连接CE .若30ADB ∠=︒,则tan DEC ∠的值为______________.三、解答题：本题共4小题.31.如图,90ACB ∠=︒,13AB =,12AC =,BCM BAC ∠=∠,求sin BAC ∠的值和点B 到直线MC 的距离.32.如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一儿童在C 处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来.已知3m CM =,5m CO =,3m DO =,70AOD ∠=︒,汽车从A 处前行多少米,才能发现C 处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan370.75︒≈；sin700.94︒≈,cos700.34︒≈,tan70 2.75︒≈）33.小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B ,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D ,并在点D 处安装了测倾器DC ,测得古树的顶端A 的仰角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G ,使5m DG =,并在点G 处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG 方向移动,当移动到点F 时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像,此时,测得2m FG =,小明眼睛与地面的距离 1.6m EF =,测倾器的高0.5m CD =.已知点F ,G ,D ,B 在同一水平直线上,且EF ,CD ,AB 均垂直于FB ,求这棵古树的高AB （小平面镜的大小忽略不计）.34.如图,在直角梯形ABCD 中,//AB DC ,90DAB ∠=︒,8AB =,5CD =,BC =（1）求梯形ABCD 的面积；（2）连接BD ,求DBC ∠的正切值.答案解析1.答案：D解析：解：作PM x ⊥轴于点M ,(3,4)P ,4PM ∴=,3OM =,由勾股定理得：5OP =,4sin 5PM OP α∴==, 故选：D2.答案：B解析：ABC △中,A ∠,B ∠都是锐角,1sin 2A =,cosB =, 30A B ∴∠=∠=︒.1801803030120C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故选B.3.答案：B解析：如图,过点A '作A C AB '⊥于点C .由题意知4A O AO '==米.sin A C A O α'=',4sin A C α'∴=米.故选B. 4.答案：A解析：如图,点D 为格点,连接BD ,设网格中每个小正方形的边长为1,则2223318CD =+=,2224220BC =+=,222112BD =+=,222CD BD BC +=,BD AC ∴⊥.又BD =,AD =,1tan 2BD A AD ∴==.故选A.5.答案：B解析：//AD BC ,DAC ACB ∴∠=∠.AD CD =,DAC DCA ∴∠=∠.ACB DCA ∴∠=∠.4cos cos 5ACB DCA ∴∠=∠=,即4105AC AC BC ==,8AC ∴=,6AB ∴=. 6.答案：B解析：在Rt PQT△中,90QPT ∠=︒,907020PQT ∠=︒-︒=︒,70PTQ ∴∠=︒.tan PQ PTQ PT ∠=,200tan 70tan 70PQ PT ∴==︒︒m,即河宽200tan70︒ m.故选B. 7.答案：B解析：设斜坡的坡角为α.当5t =时,2852590s =⨯+⨯=.斜坡的坡比为,tan α∴=.30α∴=︒. ∴此人下降的高度为19045m 2⨯=,故选B.8.答案：A解析：大正方形的面积是125,小正方形的面积是25,∴大正方形的边长为小正方形的边长为5.5θθ∴-=,cos sin θθ∴-,21(sin cos )5θθ∴-=.故选A. 9.答案：B解析：过点D 作DM BC ⊥,交CB 的延长线于点M ,如图所示.90ACB DMB ∠=∠=︒,ABC DBM ∠=∠,ABC DBM ∴△△.BD BM DM AB BC AC∴==. 2AB BD =,12BD BM DM AB BC AC ∴===. 在Rt CDM △中,2tan 3DM MCD CM ∠==, 设2DM k =,则3CM k =. 又12BM DM BC AC==, 2BC k ∴=,4AC k =.422AC k BC k∴==. 10.答案：D解析：过点A 分别作AE OC ⊥于点E ,作AF OB ⊥于点F .设AE 与BC 的交点为G .四边形ABCD 是矩形,90ABC ∴∠=︒,ABC AEC ∠=∠,AGB CGE ∠=∠,BCO EAB x ∴∠=∠=,FBA x ∴∠=,AB a =,AD b =,cos sin FO FB BO a x b x ∴=+=⋅+⋅,故选D.11.答案：A解析：1sin ,302a α=∴∠=︒,故选A. 12.答案：B解析：因为CD AB ⊥,AC BC ⊥,所以90CAB ACD ∠+∠=︒,90ACD BCD ∠+∠=︒,所以CAB BCD a ∠=∠=.在Rt BCD △中,cos BCD ∠cos h BC α==,故 cos h BC α=.故选B. 13.答案：B 解析：如图,在Rt ACB △中,90C ∠=︒,45ABC ∠=︒,延长CB 使BD AB =,连接AD ,得22.5D ∠=︒,设1AC BC ==,则AB BD =tan 22.51AC CD ∴==︒. 14.答案：B 解析：如图,过点A 作AD BC ⊥于点D .在Rt ABD △中,90ADB ∠=︒,3AD BD ==,AB ∴==cos2BD ABC AB ∴∠===. 15.答案：C解析：如图,由题意可知10AB DE ==米.在Rt ABC △中,3sin 1065AC AB α=⨯=⨯=（米）.在Rt DEC △中,3cos 1065DC DE β=⨯=⨯=（米）,8EC ∴===（米）,862AE EC AC ∴=-=-=（米）,即梯子顶端上升了2米.16.答案：A解析：在Rt AOB △中,1AB =,AOB α∠=,sin AB OB α=,1sin sin AB OB αα∴==.在Rt COB △中,由勾股定理,得222OB BC OC +=,即22211sin OC α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,2211sin OC α∴=+,故选A. 17.答案：D解析：设DE 交AC 于点T ,过点E 作EH CD ⊥于点H ,如图所示.在Rt ABC △中,点D 是边BC 的中点,AD DB DC ∴==.B DAB ∴∠=∠.B ADE ∠=∠,DAB ADE ∴∠=.//AB DE ∴.90DTC BAC ∴∠=∠=︒.//DT AB ,BD DC =,AT TC ∴=.EA EC ED ∴==.EDC ECD ∴∠=∠.EH CD ⊥,CH DH ∴=.//DE AB ,EDC B ∴∠=∠.ECD B ∴∠=∠.1cos cos 4ECH B ∴∠==. 14CH EC ∴=. 22EC EC EC AD CD CH∴===. 18.答案：C解析：由题意可知,60MCB ∠=︒,30m CB =.在Rt CBM中,tan MB MCB CB ∠=,tan 30tan 6030MB CB MCB ︒∴=⋅∠=⨯==.由题意可知,11.25DE EF =,50m EF =,40m DE ∴=.又58ND DE =,25m ND ∴=,254065(m)NE ND DE ∴=+=+=,656530 1.7313.1(m)NE MB ∴-=-≈-⨯=.因此,两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差约为13.1m.19.答案：A解析：如图,连接BF .CE 是斜边AB 上的中线,EF AB ⊥,EF ∴是AB 的垂直平分线.AF BF ∴=,5AFE BFE S S ==△△.FBA A ∴∠=∠,1102AFB S AF BC ==⋅△.4BC =,5AF BF ∴==.在Rt BCF △中,4BC =,5BF =,3CF ∴=. 由题易得12CE AE BE AB ===,A FBA ACE ∴∠=∠=∠.又90BCA BEF ︒∠==∠,90902CBF BFC A ︒︒∴∠=-∠=-∠,90902CEF BEC A ︒-∠=︒∠=-∠.CEF FBC ∴∠=∠.3sin sin 5CF CEF FBC BF ∴∠=∠==.20.答案：A解析：如图,作BM ED ⊥交直线ED 于点M ,作CN DM ⊥于点N .在Rt CDN △中,140.753CN DN ==,设4CN k =,则3DN k =. 10CD =,222(3)(4)10k k ∴+=,解得2k =（负值舍去）.8CN ∴=,6DN =.因为四边形BMNC 是矩形,8BM CN ∴==,20MN BC ==,66EM MN DN DE ∴=++=.在Rt AEM △中,8tan 2466AM AB EM +︒==,21.7AB ∴≈.故选A.21.12解析：由勾股定理得c 所以cosb Ac ===1tan 2b B a ==. 22.答案：95cos αm 解析：如图,过A 点作AD BC ⊥于点D .整个图形是轴对称图形,30.32 3.6BC ∴=+⨯=（m ）,1 1.82BD BC ∴==m. 1.89cos cos 5cos BD AB ααα∴===（m ）.23.解析：①如图,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,CE 是ABC △的中线,设2AB EC a ==,则AE EB a ==,AC ∴=,tan AC ABC AB ∴∠==②如图,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,BE 是ABC △的中线,设2EB AC a ==,则AE EC a ==,AB ∴=,tan AC ABC AB ∴∠==.. 24.答案：45 解析：90ACB ∠=︒,90A B ∠+∠=︒.CD AB ⊥,90BCD B ∴∠+∠=︒.BCD A ∴∠=∠.3BC =,4AC =,根据勾股定理,得5AB =.4cos cos 5AC BCD A AB ∴∠===. 25.答案：2解析：由翻折可得AE FE =,12AEB FEB AEF ∠=∠=∠.正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,1122AE DE AD AB ∴===.DE FE ∴=.EDF EFD ∴∠=∠.又AEF ∠是DEF 的外角,AEF EDF EFD ∴∠=∠+∠.12EDF AEF ∴∠=∠.AEB EDF ∴∠=∠.tan tan 2AB EDF AEB AE∴∠=∠==. 26.答案：34解析：90B ∠=,1sin 3ACB ∠=,13AB AC ∴=,2AB =,6AC ∴=,AC CD ⊥,90ACD ∴∠=,63tan 84AC ADC CD ∴∠===. 27.答案：解析：如图,过点A 作AD BC ⊥于D .在Rt ABD 中,sin AD B AB =,即236AD =,解得4AD =.BD ∴===.AB AC =,2BC BD ∴==.ABC ∴的面积11422BC AD =⋅=⨯=28.答案：解析：过点A 作AG x ⊥轴,垂足为点G ,如图所示.B ,C 的坐标分别是(1,0),,OC ∴=1OB =.2BC ∴==.90ABC =︒∠,30BAC ∠=︒,tan30BC AB ∴==︒90ABG CBO ∠︒∠+=,90BCO CBO ∠+∠=︒,ABG BCO ∴∠=∠.sin sin ABG BCO ∴∠=∠,cos cos ABG BCO ∠=∠. 12AG OB AB BC ∴==,BG OC AB BC==. AG ∴=3BG =.134OG OB BG ∴=+=+=.∴顶点A 的坐标是.29.答案：20)解析：在Rt ALR△中,30ARL ∠=︒,40AR =km,1202AL AR ∴==km,cos3040LR AR ⋅==︒=km ）.在Rt BLR △中,45BRL ∠=︒,BL LR ∴==20)AB BL AL ∴=-=km.30. 解析：本题考查矩形的性质、三角函数的定义.过点C 作CF BD ⊥,垂足为F .由题意可得,,,,ABE CDF BE DF AE CF ≅∴==设.BE x ADB =∠=30,30,2,3,BAE AB x AE CF x BD ∴∠=∴===︒︒=.4,,2x DF x EF x =∴=.tan CF DEC EF ∴∠==3322x x =.31.答案：点B 到直线MC 的距离为2513 解析：13AB =,12AC =,90ACB ∠=︒,5BC ∴==.5sin 13BC BAC AB ∴∠==. 过点B 作BD MC ⊥于点D .BCM BAC ∠=∠,sin sin BCM BAC ∴∠=∠.5sin 13BD BCM BC ∴∠==,即5513BD =. 2513BD ∴=, 即点B 到直线MC 的距离为2513. 32.答案：汽车从A 处前行6 m 才能发现C 处的儿童.解析：在Rt COM △中,4(m)OM ==. BOD COM ∠=∠,tan tan BOD COM ∴∠=∠, 34BD CM OD OM ∴==, 2.25m BD ∴=. 在Rt AOD △中,tan 3tan703 2.758.25(m)AD OD AOD =⨯∠=⨯≈⨯=︒, 8.25 2.256(m)AB AD BD ∴=-=-=.答：汽车从A 处前行6 m 才能发现C 处的儿童.33.答案：这棵古树的高AB 为18 m 解析：如图,过点C 作CH AB ⊥于点H , 则CH BD =,0.5m BH CD ==.在Rt ACH △中,45ACH ∠=︒,AH CH BD ∴==.0.5AB AH BH BD ∴=+=+.EF FB ⊥,AB FB ⊥,90EFG ABG ∴∠=∠=︒.由题意知EGF AGB ∠=∠,EFG ABG ∴△△.EF FG AB BG ∴=,即 1.620.55BD BD=++, 解得17.5m BD =.17.50.518(m)AB ∴=+=.答：这棵古树的高AB 为18 m.34.答案：（1）39（2）1tan 2DBC ∠= 解析：（1）如图,过点C 作CE AB ⊥于点E . //AB DC ,90DAB ∠=︒,90D ∴∠=︒.90A D AEC ∴∠=∠=∠=︒.∴四边形ADCE 是矩形.AD CE ∴=,5AE CD ==.853BE AB AE ∴=-=-=. 3BC =,6AD CE ∴===. ∴梯形ABCD 的面积为1(58)6392⨯+⨯=.（2）如图,过点C 作CH BD ⊥于点H . //CD AB ,CDB ABD ∴∠=∠,又90CHD A ∠=∠=︒,CDH DBA ∴△△.CH CD AD BD∴=.10BD AB ===, 5610CH ∴=, 解得3CH =.6BH ∴==. 31tan 62CH DBC BH ∴∠===.。
北师大版数学九年级下册第一章 《直角三角形的边角关系》 ：三角函数应用训练(含答案)
《直角三角形的边角关系》：三角函数应用训练1．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．2．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）3．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）4．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）5．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF ＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）6．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）7．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）8．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）9．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）10．如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53≈1.3，≈1.7）11．如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°，向前行走25m到达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3°，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）12．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）13．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．14．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．15．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．（1）求E，A两地之间的距离；（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）16．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）17．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）18．如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．19．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）20．小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．21．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE ＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）22．如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．23．襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A 出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE 的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．24．天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）25．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B 的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．参考答案1．解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，作EM⊥AC于M，则AM＝DE＝500，∴BM＝100，在Rt△CEM中，tan53°＝＝＝，∴CM＝800，∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）答：隧道BC长为700米．2．解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝32m，∴AD＝CD＝16m，BD＝AB•cos30°＝16m，∴BC＝CD+BD＝（16+16）m，则BH＝BC•sin30°＝（8+8）m．3．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝5，∴CG＝DG＝5，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝5，∴EP＝，∴DF＝GP＝5+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EA B＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝10+5，∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米．4．解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，∴＝，∴x＝24+8≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．5．解：设CB部分的高度为xm．∵∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BC＝BD＝xm．在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，∴CE＝2BC＝2x（m）．∵CE＝CF＝CD+DF，∴2x＝x+2，解得：x＝2+．∴BC＝2+≈3.4（m）．答：CB部分的高度约为3.4m．6．解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．7．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．8．解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．9．解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．10．解：（1）作AM⊥CD于M，则四边形ABCM为矩形，∴CM＝AB＝16，AM＝BC，在Rt△ACM中，tan∠CAM＝，则AM＝＝＝16（m），答：AB与CD之间的距离16m；（2）在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，则DM＝AM•tan∠DAM≈16×1.7×1.3＝35.36，∴DC＝DM+CM＝35.36+16≈51（m），答：建筑物CD的高度约为51m．11．解：设PQ＝MN＝xm，在Rt△APQ中，tan A＝，则AQ＝≈＝4x，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝，则BN＝≈＝x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．12．解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m13．解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC，∴CB＝CA＝20，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，sin∠ACD＝，∴sin60°＝，∴AD＝20×sin60°＝20×＝10＞10，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．15．解：（1）如图，作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，∵点C是AB的中点，CH∥BD，∴AH＝HD＝（x+15）千米，在Rt△ACH中，tan37°＝，∴＝，∴x＝45，∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），∴AB＝2AC＝150（千米），∵150÷＝90千米/小时，∵90＜100，∴校车没有超速．16．解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，∴山高AB为546.4米17．解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．18．解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣C F＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．19．解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由题意，易知∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝即＝，解之，得BD＝17.5，∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．∴这棵古树的高AB为18m．20．解：（1）过F作FH⊥DE于H，∴∠FHC＝∠FHD＝90°，∵∠FDC＝30°，DF＝30，∴FH＝DF＝15，DH＝DF＝15，∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝15，∴，∵CE：CD＝1：3，∴DE＝CD＝20+20，∵AB＝BC＝DE，∴AC＝（40+40）cm；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，∵∠ACG＝45°，∴AG ＝AC ＝20+20，答：拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离为（20+20）cm ．21．解：设OE ＝OB ＝2x ，∴OD ＝DE +OE ＝190+2x ，∵∠ADE ＝30°，∴OC ＝OD ＝95+x ，∴BC ＝OC ﹣OB ＝95+x ﹣2x ＝95﹣x ，∵tan ∠BAD ＝，∴2.14＝， 解得：x ≈9.4，∴OB ＝2x ＝19．22．解：（1）过D 作DE ⊥AB 于E ，在Rt △AED 中，AD ＝20，∠DAE ＝45°，∴DE ＝20×sin45°＝20，在Rt △BED 中，BD ＝20，∴sin ∠ABD ＝＝＝； （2）过D 作DF ⊥BC 于F ，在Rt △BED 中，DE ＝20，BD ＝20，∴BE ＝＝40， ∵四边形BFDE 是矩形，∴DF ＝EB ＝40，BF ＝DE ＝20，∴CF ＝BC ﹣BF ＝30，在Rt△CDF中，CD＝＝50，∴小岛C，D之间的距离为50nmile．23．解：在Rt△ABC中，tan A＝，则BC＝AC•tan A≈121×0.75＝90.75，由题意得，CD＝AC﹣AD＝97.5，在Rt△ECD中，∠EDC＝45°，∴EC＝CD＝97.5，∴BE＝EC﹣BC＝6.75≈6.8（m），答：塔冠BE的高度约为6.8m．24．解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．25．解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：P A＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，∴PC＝P A＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，∴BC＝PC＝60海里，PB＝PC＝60海里；答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；（2）∵P A＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），∵3＞2，∴救助船B先到达．。
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新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型同步练习新版北师大版(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)图2－ZT－9详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ＝1.2米， ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4，解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴四边形AFED 是矩形， ∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。