18版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系学案苏教版必修2

2.2.3 圆与圆的位置关系

学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性

.

知识点 两圆位置关系的判定

思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？

思考2 已知两圆C 1：x 2

＋y 2

＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2

＋y 2

＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？

梳理 (1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：

⎭

⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元

一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪

⎧

Δ>0⇒ ，Δ＝0⇒ ，Δ<0⇒ .

类型一 两圆的位置关系

命题角度1 两圆位置关系的判断

例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________.

反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤

(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要).

(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.

(3)求两圆的圆心距d.

(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系.

(5)根据大小关系确定位置关系.

跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线有________条.

命题角度2 已知两圆的位置关系求参数

例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：

(1)外切；(2)相交；(3)外离.

反思与感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤

①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径.

②计算两圆圆心的距离d.

③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.

(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.

跟踪训练2 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为________.

类型二两圆相切的问题

例3 求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程.

反思与感悟 两圆相切有如下性质

(1)设两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则两圆⎩⎪⎨

⎪⎧

内切⇔O 1O 2＝|r 1－r 2|，

外切⇔O 1O 2＝r 1＋r 2.

(2)当两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(当两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).

在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算.

跟踪训练3 求和圆(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程.

类型三 两圆相交的问题

例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2

＋y 2

－4x －6＝0和x 2

＋y 2

－4y －6＝0的交点的圆的方程.

反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2

＋y 2

＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2

＋y 2

＋

D 2x ＋

E 2y ＋

F 2)＝0(λ≠－1)，然后用待定系数法求出λ即可.

跟踪训练4 已知两圆C 1：x 2

＋y 2

－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2

＋y 2

＋2x ＋2y －8＝0. (1)求两圆公共弦的长；

(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程.

1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是________.

2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有________个.

3.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是______________.

4.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________________________________________.

5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝________.

1.判断两圆的位置关系的方法

(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.

(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系确定.

2.当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.

3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.

答案精析

问题导学

知识点

思考1 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．

几何方法判断圆与圆的位置关系

设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则

(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；

(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；

(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；

(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；

(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．

思考2 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．

梳理(1)> ＝＝< (2)C1与C2相交C1与C2外切或内切C1与C2外离或内含

题型探究

例1 相交

跟踪训练1 2

例2 解将两圆方程写成标准方程，则

C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.

∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.

设两圆的圆心距为d，

则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.

(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.

(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.

(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离，此时a＞2或a＜－5.

跟踪训练2 ±3或±5

例3 解圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径为1.

设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，