D9_6几何中的应用一
几何画图教案：教你运用勾股定理画出完美的几何图形
的。
几何学是我们日常生活中不可避免的一部分，无论是建筑、制图、设计，还是室内装饰等领域中，几何学都有着不可或缺的作用。
因此，学好几何学对于我们的工作和生活都具有重要的意义。
在学习几何学时，勾股定理是一个十分重要、基础且常用的知识点。
今天，我们就来探讨一下如何利用勾股定理画出完美的几何图形。
一、勾股定理的定义勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
用数学公式来表示就是：a^2 + b^2 = c^2。
其中，c是直角三角形的斜边，a和b是直角三角形的两个直角边。
这一定理在几何学中得到了广泛的应用。
二、利用勾股定理画图1.正方形正方形是一种特殊的长方形，四边相等、对角线相等、对角线互相垂直，因此，可以利用勾股定理画出一个完美的正方形。
如图：图中，AB和AC为正方形的两条直角边，BC为正方形的斜边，且BC = AB × √2。
因此，如果要画一个边长为a的正方形，只需在一条直角边上取点，与这个直角边分别作为另一条直角边和斜边，然后算出斜边的长度，就能够得到完美的正方形。
2.等边三角形等边三角形的三边都相等，因此可以利用勾股定理画出一个完美的等边三角形。
如图：图中，AB为等边三角形的一边，AC为另一边，BC为斜边，且BC = AB × √3。
因此，如果要画一个边长为a的等边三角形，只需在一条边上取点，与这条边分别作为另一条边和斜边，然后算出斜边的长度，就能够得到完美的等边三角形。
3.等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形，因此可以利用勾股定理画出一个完美的等腰三角形。
如图：图中，AB和AC为等腰三角形的两条等边，BC为底边，且BC = 2 × AB × √（1-（1/2）^2）。
因此，如果要画一个等腰三角形，只需在一条等边上取点，与这条等边分别作为底边和另一条等边，然后算出另一条等边的长度，就能够得到完美的等腰三角形。
几何形的投影认识平行投影与垂直投影的概念与应用
几何形的投影认识平行投影与垂直投影的概念与应用几何学是研究形状、大小、相对位置和属性的数学学科。
在几何学中，投影是指将一个三维物体投射到一个二维平面上的过程。
而当我们谈论投影时，平行投影与垂直投影是两个重要的概念。
本文将介绍平行投影与垂直投影的概念、特点和应用。
一、平行投影的概念与应用平行投影是指投影线与投影平面平行的投影方式。
在平行投影中，相对于观察者而言，被投影物体的大小和形状不会发生改变，只是其位置和方向发生了变化。
平行投影可以用于制图、建筑设计、机械工程等领域。
在制图中，我们常常使用平行投影来表达三维物体的形状和尺寸。
通过平行投影，我们可以准确地展示建筑设计、产品设计和机械工程图纸等。
平行投影的特点使得绘制的图纸具有精确性和可视性，方便人们进行测量和操作。
此外，平行投影还被广泛应用于电影制作和游戏开发中。
在这些领域中，平行投影可以创造出逼真的三维场景，使观众或玩家沉浸其中。
通过平行投影技术，我们可以呈现出虚拟的现实世界，提供更加真实和沉浸式的体验。
二、垂直投影的概念与应用垂直投影是指投影线与投影平面垂直的投影方式。
在垂直投影中，被投影物体的大小和形状会发生改变，但其位置和方向保持不变。
垂直投影常用于地图制作、建筑工程等领域。
在地图制作中，垂直投影可以用来表示地形和地貌的高度差异。
通过对地球表面进行垂直投影，我们可以清晰地显示山脉、河流、湖泊等地理要素的位置和相对高度。
垂直投影还可以帮助人们更好地理解地球的地貌特征和地理现象。
此外，在建筑工程中，垂直投影常常用于制作建筑平面图和立面图。
通过垂直投影，我们可以清晰地显示建筑物的外观和尺寸，为建筑设计和施工提供方便。
垂直投影的应用使得建筑师和工程师能够更好地理解和呈现设计方案。
三、平行投影与垂直投影的比较平行投影和垂直投影在投影方式、投影效果和应用领域上存在一些差异。
平行投影适用于需要保持被投影物体形状和大小不变的场景，如制图、建筑设计和机械工程。
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。
常见的几何建模系统包括CAD软件（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）和3D建模软件。
在进行几何建模时，常常需要进行几何拟合，即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。
几何拟合的优化方法有以下几种：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代算法，在曲线拟合中，可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。
牛顿法需要初始猜测值，并迭代求解，直到收敛为止。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法，常被用于曲线、曲面的拟合。
该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差，具有较好的收敛性和稳定性。
4. RANSAC算法：RANSAC（RANdom SAmple Consensus）
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法，主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。
RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型，并剔除异常点。
以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法，根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。
数学奇妙之旅探索几何的奥秘
数学奇妙之旅探索几何的奥秘数学奇妙之旅：探索几何的奥秘数学是一门精密而美妙的学科，在其中我们能够探索到无尽的奥秘和众多的数学定律。
其中，几何学作为数学的一个重要分支，奠定了我们对空间、形状、大小和相对位置等概念的理解。
本文将带领您踏上一场关于几何的奇妙之旅，展示其中蕴含的数学之美。
一、基础概念：点、线、面几何学的基础概念是点、线、面。
点是几何中的最基本单位，它没有大小和形状，只有位置。
而线则由无数个点组成，是一维的，没有宽度和厚度。
当我们将无数个线连接在一起，就得到了面，它是二维的，有长、宽和面积。
二、图形的分类与性质在几何学中，图形的分类是非常重要的。
根据边的数量和形状，我们可以将图形分为不同的类型。
常见的图形包括三角形、矩形、正方形、圆形等。
每种图形都有其特定的性质和定律。
三、角度与三角形角度是几何学中一个重要的概念，它用来描述两条射线之间的夹角。
角度的单位有度和弧度两种，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
三角形是由三条边和三个角组成的图形，是几何学研究的重要对象。
四、平行与垂直平行和垂直是几何学中常见的关系。
当两条直线在同一个平面上永远不相交时，我们称它们是平行线。
而垂直线是指两条直线之间的夹角为90度的关系，它们在空间中相互垂直。
五、多面体与立体几何多面体是由多个面组成的立体图形。
常见的多面体有长方体、正方体、棱柱和棱锥等。
立体几何研究了这些多面体的性质和关系，为我们理解三维空间提供了重要的工具。
六、圆的性质与应用圆是几何学中一个非常重要的图形，它具有许多独特的性质。
例如，圆的周长与直径之间有一个恒定的比值，称为圆周率π。
圆的应用也非常广泛，如在建筑设计、机械制造和地理测量等领域都有重要的应用。
七、相似与全等相似和全等是几何学中两个重要的概念。
当两个图形的形状和比例相同，但大小不同时，我们称它们是相似的。
而当两个图形的形状、大小和相对位置完全相同时，我们称它们是全等的。
八、三角函数与解析几何三角函数是几何学中一个重要的工具，它能将角度与三角形的边长和角度之间建立起关系。
几何中的计数问题公式
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
数学几何形的放缩与相似性
数学几何形的放缩与相似性在数学中，几何形的放缩与相似性是一个重要的概念。
本文将详细介绍放缩和相似性的概念，以及它们在几何学中的应用。
一、放缩的概念放缩是指通过改变几何形的尺寸来形成一个与原来几何形相似的新图形。
放缩可以使几何形变大或变小，但保持其形状和比例不变。
放缩的关键在于改变几何形的尺寸，而不改变其内部结构。
放缩的数学表达方式是使用一个比例因子来描述尺寸的变化。
比例因子是一个实数，用于将原始几何形的尺寸乘以该因子来得到新图形的尺寸。
如果比例因子大于1，那么新图形将比原图形放大；如果比例因子小于1，那么新图形将比原图形缩小。
放缩可以应用于平面几何和立体几何。
在平面几何中，放缩可以应用于各种形状，如矩形、三角形和圆形等。
在立体几何中，放缩同样可以应用于各种形状，如长方体、正方体和圆柱体等。
二、相似性的概念相似性是指两个几何形在形状上相似的特性。
当两个几何形相似时，它们的内部结构和角度比例都相同，只是尺寸不同。
相似性是放缩的一种特殊情况，当比例因子为1时，即保持尺寸不变，两个几何形完全相似。
相似性的数学表达方式是使用符号"∼"来表示。
当两个几何形相似时，可以使用该符号将它们连接起来，如ΔABC ∼ ΔDEF。
这表示三角形ABC与三角形DEF相似。
相似性的特性包括比例因子、对应边长比例和对应角度相等等。
当两个几何形相似时，它们对应边长的比例相等，并且对应角度也相等。
三、几何形的放缩与相似性的应用几何形的放缩与相似性在现实生活中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1.地图缩放：当我们查看一幅地图时，地图上的各个地区的尺寸不同，但它们的相对位置和形状是相似的。
地图的缩放就是通过放缩的方法来实现的，使得不同地区的尺寸比例得以保持。
2.建筑设计：在建筑设计中，放缩和相似性可以帮助建筑师制定建筑物的尺寸和比例。
通过将建筑物进行放大或缩小，可以更好地展示设计构思，并在实际施工中保持其结构稳定性。
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究1. 引言1.1 背景介绍初中数学动态几何问题是数学教学中的一个重要内容，涉及到学生在空间和时间上的思维能力和几何图形变化的认识。
在教学实践中，往往存在着一些难点和问题，如学生对动态几何问题的理解不深，解题方法不够灵活等。
深入研究动态几何问题的教学难点及措施，对于提高学生的数学学习效果具有重要的意义。
背景介绍是这一研究的起点，主要介绍了动态几何问题在初中数学教学中的地位和作用。
通过对动态几何问题的特点和特性进行分析，我们可以更好地把握教学中的重点和难点，从而为教师们提供更好的指导和支持。
了解动态几何问题的教学困难和挑战，有助于我们找到更有效的教学方法和策略，提高学生的数学学习兴趣和能力。
本文将围绕着初中数学动态几何问题的教学难点及措施展开研究，旨在为教师们在教学实践中提供一些启示和借鉴。
1.2 研究意义数统计等。
【研究意义】动态几何在初中数学教学中起着重要的作用，能够帮助学生更好地理解几何概念，并培养他们的空间想象能力和逻辑推理能力。
动态几何问题的教学难点也是不可避免的，如何有效地解决这些难点，提高教学效果，是本文研究的重点。
通过对初中数学动态几何问题的教学特点、难点分析和教学措施建议的研究，可以为教师提供更好的教学指导，帮助学生更好地掌握动态几何知识。
本文还将通过案例分析和评估方法的探讨，进一步完善教学策略，提高教学效果。
通过对初中数学动态几何问题的深入研究，不仅可以促进教学改革和教学方法的创新，还可以为学生的数学学习提供更有效的帮助，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
【2000字】2. 正文2.1 初中数学动态几何问题的特点1. 动态性：动态几何问题是指在平面内或立体空间内，一些几何对象在运动中的性质和规律。
这种问题要求学生能够通过观察几何图形在运动过程中的变化，把握图形的运动规律，从而解决问题。
2. 几何性：动态几何问题强调几何图形的性质和变化，要求学生善于观察、分析和推理，从几何图形的角度解决问题，培养学生的几何思维能力。
高等数学课件 同济大学版 D9习题课
y2 (3) z f ( x , ) : x
2y 2z 2y 2 f2 ( x x y x
y2 2 f 22 ) x
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P73 题12 设 提示: 由 z uv , 得 z u v v u x x x
求
①
z
②
z u v v u y y y
练习题：
1. 在曲面 平面 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 则法线方程为
提示: 设所求点为
y0
利用 得
x0
1
法线垂直于平面 点在曲面上
y0 x0 1 1 3 1 z0 x0 y0
x0 3 , y0 1 , z0 3
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du y e x ( x z) f 3 f1 f 2 1 答案: dx x sin( x z )
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三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题
例5. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离. 则 解：设 为抛物面 z x 2 y 2 的距离为 问题归结为 目标函数: ( x y 2 z 2) 2 (min)
约束条件: x 2 y 2 z 0 作拉氏函数
u u
u v x yx y
由 x e cos v, y e sin v , 得
d x eu cos v d u eu sin v d v d y eu sin v d u eu cos v d v
如何快速解决小学数学中的几何相等问题
如何快速解决小学数学中的几何相等问题几何相等问题在小学数学中占据重要的地位。
解决这类问题需要一定的技巧和方法，使学生能够在较短的时间内得出准确的结果。
本文将介绍几种快速解决小学数学中的几何相等问题的方法。
方法一：运用图形对称性质图形的对称性质是解决几何相等问题的常用方法之一。
在考虑问题时，我们可以先观察图形是否具有对称性。
如果图形具有对称性，那么我们可以根据对称性质推断出图形中各个部分的关系，从而解决几何相等问题。
方法二：利用已知条件进行推理在解决几何相等问题时，我们通常会给出一些已知条件。
这些已知条件可以帮助我们进行推理，从而得出相等关系。
例如，已知一个直角三角形的两个边长相等，我们可以根据勾股定理得出这个三角形的其他边长和角度，并判断其与其他图形是否相等。
方法三：使用等腰三角形的性质等腰三角形是解决几何相等问题的重要工具。
在解决问题时，我们可以通过判断图形中是否存在等腰三角形，从而得出相等的结论。
例如，如果一个多边形有两条边相等且夹角相等，那么我们可以推断出这个多边形是一个等腰三角形。
方法四：运用比例关系解决问题比例关系在几何相等问题中也扮演着重要的角色。
通过观察图形中各个部分的长度或者面积的比例关系，我们可以得出相等的结论。
例如，如果一个平行四边形的对角线等分了两条平行边，那么我们可以推断出这个平行四边形是一个矩形。
方法五：使用相似三角形进行判断相似三角形也是解决几何相等问题的常用工具之一。
在解决问题时，我们可以通过观察图形中的三角形是否相似，从而得出相等的结论。
例如，如果一个长方形与一个等腰直角三角形的长边相等，那么我们可以推断出这个长方形的另外两条边相等。
以上是几种快速解决小学数学中几何相等问题的方法。
在实际解题中，我们可以根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解。
通过熟练掌握这些方法，学生可以快速准确地解决几何相等问题，并提高数学解题的效率和能力。
总结：解决小学数学中的几何相等问题需要掌握一些基本的方法和技巧。
几何证明题辅助线的技巧和方法
几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。
它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。
1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。
这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。
2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。
通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。
这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。
3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。
通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。
4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。
内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。
5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。
通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。
总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。
初中数学几何公式大全
初中数学几何公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角)31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 （1）比例的基本性质如果a：b=c:d，那么ad=bc如果ad=bc,那么a：b=c：d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b）／b=(c±d）／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0),那么（a+c+…+m）／(b+d+…+n）=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中几何图形知识点整理
初中几何图形知识点整理一、线与角1、直线直线没有端点，可以向两端无限延伸，是不可度量的。
2、射线射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，也是不可度量的。
3、线段线段有两个端点，不可以延伸，是可以度量的。
4、角的定义从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
5、角的度量角的度量单位是度，用符号“°”表示。
把半圆平均分成 180 等份，每一份所对的角的大小是 1 度，记作 1°。
6、角的分类（1）锐角：小于 90 度的角。
（2）直角：等于 90 度的角。
（3）钝角：大于 90 度小于 180 度的角。
（4）平角：等于 180 度的角。
（5）周角：等于 360 度的角。
7、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，与两条边张开的大小有关。
（2）两条直线相交，相对的角相等。
二、三角形1、三角形的定义由三条线段围成的图形叫做三角形。
2、三角形的特性三角形具有稳定性。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形。
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
（2）按边分：等腰三角形：有两条边相等的三角形。
等边三角形：三条边都相等的三角形。
4、三角形的内角和三角形的内角和是 180 度。
5、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三、四边形1、平行四边形（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（2）特性：平行四边形具有不稳定性。
（3）面积：平行四边形的面积＝底×高2、长方形（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。
（2）特性：长方形的对边相等，四个角都是直角。
3、正方形（1）定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
（2）特性：正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
4、梯形（1）定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
第6章立体几何(学生版)--培优辅导讲义
第6章立体几何第一节多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1、球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则132A O R '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A．2B．1C．12+【强化训练】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．π2B．π4C．π6D．π162、球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3【强化训练】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.3、球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+.例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为_______.【强化训练】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,33SE a CE a ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=解得：66,.412R a r ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为() A.3263+ B.2+263 C.4+263 D.43263+2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心重合.设1AA a =，则32R a =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).例5在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱3SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是________.【强化训练】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．43πC．3πD．123π2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥P－ABC 中，PA＝PB=PC=3,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．π B.3πC.π4D.34π【强化训练】已知正三棱锥ABC P -,点P,A,B,C 都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.2.4球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利,OA OS OB OC ===用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SC R =.例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125例8三棱锥A BCD -中，2,AB CD ====5AC AD BD BC ==则三棱锥A BCD -的外接球的半径是_______.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（）A.(2－1)R B .(6－2)R C.14R D.13R 四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）3B．10cm 2cm D．30cm 五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A.5πB.12πC.20πD.8π【强化训练】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.163π B.193π C.1912π D.43π第二节立体几何中折叠问题立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开。
立体几何几个角的取值范围
立体几何几个角的取值范围
嘿，朋友们！咱们今天来聊聊立体几何里几个角的取值范围。
先来说说线线角。
想象一下，两条直线就像两个调皮的小伙伴，它
们之间形成的夹角，范围是在 0 度到 90 度之间哟！这就好比两个人面
对面站着，要么平行互不干扰，要么就会有一定的“小摩擦”，但这“摩擦”最大也就到 90 度啦，再大就翻了个面啦！
再看看线面角。
一条直线和一个平面，它们的夹角就像是一只小鸟
想要飞进一个房间，能飞进去的角度可是有讲究的。
线面角的取值范
围是 0 度到 90 度。
是不是很神奇？这就好像小鸟飞进房间，要么平行
地滑过去，要么最大也就垂直冲进去。
接下来是面面角。
两个平面相交，形成的面面角，范围是 0 度到
180 度。
这就好像是两扇门打开的角度，从完全重合到完全相反，啥角度都有可能。
咱们在做题的时候，可一定要把这些取值范围牢记在心。
不然就像
在黑夜里走路没有手电筒，容易迷路呀！比如说，要是把线线角当成
能超过 90 度，那这题不就做错啦？就好像跑步跑错了方向，越努力离
终点越远。
还有啊，遇到具体的题目，咱们得灵活运用这些知识。
比如说给你
一个三棱锥，让你求其中两个面的夹角，那你就得先搞清楚是哪个角，然后再判断取值范围。
总之，立体几何里几个角的取值范围可是非常重要的，就像盖房子的基石，基石不稳，房子能牢固吗？大家一定要好好掌握，这样在解题的时候才能游刃有余，所向披靡！。
人教版高二数学解析几何的实际应用
人教版高二数学解析几何的实际应用解析几何是高中数学中的一个重要分支，通过几何图形的解析表示和计算，研究几何图形的性质和变换。
在实际应用中，解析几何被广泛运用于各个领域，如建筑设计、计算机图形学、物理学等。
本文将以人教版高二数学解析几何的实际应用为题，介绍解析几何在实际问题中的具体运用和相关应用。
1. 建筑设计中的解析几何应用解析几何在建筑设计中有着重要的应用价值。
例如，在设计建筑物的过程中，需要考虑到建筑物的形状、结构和外观。
解析几何可以通过几何图形的表示和计算，帮助工程师和设计师计算建筑物的各个部分的尺寸和角度，并保证建筑物的结构稳定和美观。
此外，在建筑物的地基设计和施工中，解析几何还可以帮助工程师计算地基的形状和深度，确保建筑物的稳定和安全。
2. 计算机图形学中的解析几何应用解析几何在计算机图形学中扮演着重要的角色。
计算机图形学是一门研究计算机生成、处理和显示图像的学科，广泛应用于计算机游戏、动画制作、虚拟现实等领域。
在计算机图形学中，解析几何可以通过数学模型和算法，帮助计算机生成和处理几何图形，实现图像的绘制、变换和渲染。
例如，在三维空间中，解析几何可以帮助计算机计算物体的位置、大小和旋转角度，实现逼真的三维图像显示。
3. 物理学中的解析几何应用解析几何在物理学中也有着广泛应用。
物理学研究物质和能量的运动和相互作用，解析几何可以通过数学模型和算法，帮助物理学家描述和计算物理过程中的几何特征。
例如，在力学中，解析几何可以通过向量和坐标系的计算，帮助物理学家研究物体的运动轨迹、速度和加速度。
在电磁学中，解析几何可以通过表示电场和磁场的数学方程，帮助物理学家计算和分析电磁现象，如电磁波的传播和电磁感应的原理。
总结：人教版高二数学解析几何的实际应用涉及建筑设计、计算机图形学和物理学等多个领域。
在这些领域中，解析几何都发挥着重要的作用，通过几何图形的解析表示和计算，帮助解决实际问题并推动相应领域的发展。
分形理论与分形几何在自然科学中的应用
分形理论与分形几何在自然科学中的应用自然界是一个充满着奇妙和神秘的地方。
在大自然中，我们可以发现许多美丽而又复杂的形状，如树枝、云朵、山脉等等。
这些看似无规律的形态背后，隐藏着一个重要的理论——分形理论与分形几何。
分形理论由波兰数学家曼德博特尔（Benoit Mandelbrot）于20世纪70年代提出。
他发现了自然界中的许多现象都具有自相似的特点。
自相似是指一个物体的一部分与整体的形状相似，这种相似性在不同的尺度上都能得到体现。
分形理论的核心思想就是研究这种自相似性，并通过数学模型来描述和解释这些现象。
分形几何是分形理论的一个重要分支，它通过数学方法来研究自然界中的分形结构。
分形几何的研究对象包括分形曲线、分形图形和分形维度等。
分形曲线是指具有无限细节和复杂性的曲线，如科赫曲线和希尔伯特曲线。
分形图形是指具有自相似性的图形，如分形树、分形花朵等。
分形维度是对分形结构复杂性的度量，它可以用来描述一个物体的空间尺度和形态特征。
分形理论与分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
首先，它们在地质学中发挥着重要的作用。
地球上的山脉、河流、岩石等都具有分形结构。
通过分形理论和分形几何的研究，我们可以更好地理解地壳运动、地质构造和地球演化等自然现象。
例如，分形理论可以用来解释地震的发生和传播规律，通过分析地震波的分形特征，可以预测地震的强度和发生概率，为地震灾害的防治提供依据。
其次，分形理论和分形几何在生物学中也有着重要的应用。
生物界中存在着许多分形结构，如树枝、血管、叶片等。
通过分形理论的研究，我们可以更好地理解生物体的生长、发育和进化过程。
例如，分形几何可以用来解释植物根系的分形形态，通过分析根系的分形维度，可以揭示出根系的生物力学特性和水分吸收能力，为农业生产和植物育种提供指导。
此外，分形理论和分形几何还在气象学、物理学、经济学等领域中得到了广泛的应用。
在气象学中，分形理论可以用来研究天气系统的自相似性和混沌性质，从而提高天气预报的准确性。
利用几何变形活动培养学生的空间思维
利用几何变形活动培养学生的空间思维几何变形是指通过改变图形的形状、大小、位置等方式来进行几何问题的解决和思考的活动。
在教育教学中，通过利用几何变形的活动可以培养学生的空间思维能力，提高他们的几何观察能力，以及解决问题的能力。
本文将探讨如何利用几何变形活动来培养学生的空间思维。
一、几何变形活动的重要性几何变形活动在学生的数学学习过程中起到了重要的作用。
它可以帮助学生建立起一种直观的空间观念，加深对几何图形的理解。
通过几何变形，学生可以自由地改变图形的形状、大小和位置，从而更好地观察和理解图形之间的关系。
同时，几何变形活动还可以锻炼学生的观察力、想象力和解决问题的能力。
二、几何变形活动的实施方式1. 图形拼接图形拼接是一种常见的几何变形活动，在这个活动中，学生可以通过将已知的几何图形进行组合，构建出新的图形。
这个过程涉及到对几何图形的形状、大小、位置等进行变形，从而培养学生的空间思维。
例如，教师可以给学生一些图形积木，让他们尽可能多地进行组合，从而锻炼学生的空间认知能力。
2. 图形变换图形变换是指通过平移、旋转和镜像等方式改变图形的显示位置和方向。
这个活动可以激发学生对图形变换的好奇心与探索欲望，帮助学生更好地理解图形变换的规律。
例如，学生可以利用纸片或平面板搭建几何图形，通过调整板子的位置和角度，观察图形的变化，从而培养学生的空间感知能力。
3. 图形推理图形推理是指通过观察图形的特征和关系，进行推理和判断的活动。
通过图形推理，学生可以锻炼空间思维、逻辑思维和问题解决能力。
例如，教师可以给学生一些变形的图形，要求他们找到规律并进行分类，从而培养学生的归纳推理能力。
三、几何变形活动对学生的益处1. 培养空间思维几何变形活动可以帮助学生建立起更加直观和立体的空间思维，加深对形状和图形特征的认识。
通过不断改变图形的形状、大小、位置等，学生能够更加灵活地处理几何问题，提高他们的空间思维能力。
2. 提高观察能力几何变形活动要求学生从不同的角度观察和分析图形，注重细节的观察，从而培养学生的观察能力。
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x x0 Fx ( M ) y y0 Fy ( M ) z z0 Fz ( M ) 0
(自己验证)
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也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
2 2 2 x y z 6 , x y z 0 在点 例5. 求曲线
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令
T 1, ( x0 ) , ( x0 )
1 (F , G) 1, J ( z , x)
M
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1 (F , G) , J ( x , y) M
或
(F , G) T ( y, z )
M
(F , G) , ( z , x)
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
得 t 0 , 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
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二、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 给定光滑曲线 ：f (t ) ( (t ), (t ), (t )) 在 则当 ， ， 不同时为 0 时，
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2 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 x t , y t , z t 例4. 求曲线
方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点 ? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , )
的向量方程 r f (t ), t [ , ] 此方程确定映射 f : [ , ] R 3 ,称此映射为一元向量
值函数. 即 是 r 的终点M 对 上的动点M , 显然 r OM， 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念.
t4 t4 t4 t4
2 2 π i j k ( f ( π 4) ) 2 2 4
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例2. 设空间曲线 的向量方程为 r f (t ) (t 2 1, 4t 3, 2t 2 6t )
求曲线 上对应于 解: 的点处的单位切向量.
=6
故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 2 2 1 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为( , , ) 3 3 3
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例3. 一人在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺 求 旋式上升, 其位置向量为 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
( F , G) ( y, z )
M
则
2 y 2z 1 1
2 ( y z)
M
M
6 ;
x
切向量 切线方程
T ( 6, 0 , 6 )
y
x z 2 0 即 y20
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z
结束
法平面方程
即
6 ( x 1) 0 ( y 2) 6 ( z 1) 0 xz 0
速度向量：v(t ) f (t )
加速度向量： a v(t ) f (t ) 例1. 设 f (t ) (cos t ) i (sin t ) j t k , 求 lim f (t ). π
t4
f (t ) (lim cos t ) i (lim sin t ) j lim tk 解：lim π π π π
T
M
点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 f (t ) ( (t ), (t ), (t ))
利用 点向式可建立曲线的切线方程
点法式可建立曲线的法平面方程
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1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
M
(F , G) , ( x , y)
M
则在点 M ( x0 , y0 , z0 )有
切线方程
x x0 (F , G) ( y, z )
(F , G) ( y, z )
M
y y0
(F , G) ( z , x)
M
z z0 (F , G) ( x , y )
导数：f (t ) ( f1(t ), f 2(t ), f3(t ))
t t0
f (t0 ) lim
t t0
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f (t0 t ) f (t0 ) Δt
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向量值函数的导数运算法则: (P92) 设 u, v 是可导向量值函数, C 是常向量, c 是任一常数, (t ) 是可导函数, 则
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
目录
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
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M
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法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
为0, 则 在点M 的切向量为
f (t0 ) ( (t0 ), (t0 ), (t0 ))
因此曲线 在点 M 处的 x x0 y y0 z z0 切线方程 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 法平面方程
M
f (t0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
设 f (t ) ( f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t )), t D, 则
极限：lim f (t ) (lim f1 (t ), lim f 2 (t ), lim f3 (t ))
t t0 t t0 t t0 t t0
连续：lim f (t ) f (t0 )
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定义: 给定数集 D R , 称映射f : D R n 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 定义域 r f (t ), t D
因变量 自变量
向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 进行讨论. 严格定义见P91
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0 , 1)
切线方程
即 法平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
即
xz 0
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作业
P100 2，4，6，7
第七节
目录
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设 f (t0 ) 0 , 则
r
O
Δr N
Δr Δt
y
x
f (t0 ) 表示终端曲线在t0处的
切向量, 其指向与t 的增长方 向一致.
切线的生成
点击图中任意点动画开始或暂停
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向量值函数导数的物理意义:
设 r f (t ) 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有
解法2 方程组两边对 x 求导, 得
x 1 dy 解得 y dx 1
z 1 z 1
y x 1 1 x y z x dz , y z yz y z dx 1 1
2 2 2
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
y z d dy z6 x T 1, , (1, 0 , 1) z0 x M dx M x dy
d
(7 )
dt
u (t ) (t )u (t )
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向量值函数导数的几何意义:
在 R3中, 设 r f (t ), t D 的终端曲线为 , z M OM f (t0 ), ON f (t0 Δ t )
f (t0 )
Δ r f (t0 Δ t ) f (t0 ) Δr lim f (t0 ) t t0 Δ t
d C O (1) d t d [c u (t )] c u(t ) (2) d t
d [u (t ) v(t )] u(t ) v(t ) (3) d t d [ (t )u (t )] (t )u (t ) (t )u(t ) (4) d t d [u (t ) v(t )] u(t ) v(t ) u (t ) v(t ) (5) d t d [u (t ) v(t )] u(t ) v(t ) u (t ) v(t ) (6) d t
第六节 多元函数微分学的几何应用一
一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面