2015年高考理科数学模拟试题(二)(含答案)

２０１５年高考数学（理科）模拟试题（二）㊀㊀一㊁选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知集合Ａ＝｛０，１，２｝，则集合Ｂ＝｛ｘ－ｙ｜ｘɪＡ，ｙɪＡ｝中元素的个数是（㊀㊀）．Ａ．１㊀㊀㊀Ｂ．３㊀㊀㊀Ｃ．５㊀㊀㊀Ｄ．９２．已知ｉ是虚数单位，若（２－ｉ）㊃ｚ＝ｉ３，则ｚ＝（㊀）．Ａ．１５－２５ｉ㊀㊀㊀㊀Ｂ．－２５＋１５ｉ㊀㊀Ｃ．－２５－１５ｉ㊀㊀Ｄ．１５＋２５ｉ３．命题 对任意ｘɪＲ，都有ｘ２ȡ０ 的否定为（㊀）．Ａ．对任意ｘɪＲ，都有ｘ２＜０Ｂ．不存在ｘɪＲ，都有ｘ２＜０Ｃ．存在ｘ０ɪＲ，使得ｘ２０ȡ０Ｄ．存在ｘ０ɪＲ，使得ｘ２０＜０４．某班有男生３６人，女生１８人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为９的样本，则抽取的女生人数为（㊀㊀）．Ａ．６㊀㊀㊀Ｂ．４㊀㊀㊀Ｃ．３㊀㊀㊀Ｄ．２５．下列函数中是奇函数且周期是π的是（㊀）．Ａ．ｙ＝２ｃｏｓ（２ｘ＋π２）㊀㊀㊀Ｂ．ｙ＝２ｃｏｓ（ｘ＋π２）Ｃ．ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π２）㊀㊀㊀Ｄ．ｙ＝２ｓｉｎ（ｘ＋π２）６．如图所示，在下列四个几何体中，其三视图中有且仅有两个相同的是（㊀㊀）．Ａ．②③④㊀㊀Ｂ．①②③㊀㊀Ｃ．①③④㊀㊀Ｄ．①②④７．从１，３，５，７，９这５个奇数中选取３个数字，从２，４，６，８这４个偶数中选取２个数字，再将这５个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列，这样的五位数的个数是（㊀㊀）．Ａ．１８０㊀㊀㊀Ｂ．３６０㊀㊀㊀Ｃ．４８０㊀㊀㊀Ｄ．７２０８．某算法的程序框图如图所示，则输出Ｓ的值是（㊀㊀）．Ａ．６㊀㊀Ｂ．２４Ｃ．１２０㊀㊀Ｄ．８４０㊀㊀９．已知点Ｐ在抛物线ｘ２＝４ｙ上，且点Ｐ到ｘ轴的距离与点Ｐ到此抛物线的焦点的距离之比为１ʒ３，则点Ｐ到ｘ轴的距离是（㊀）．Ａ．１４㊀㊀Ｂ．１２㊀㊀Ｃ．１㊀㊀Ｄ．２１０．设偶函数ｆ（ｘ）（ｘɪＲ）满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），且当ｘɪ［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ｘ２．又函数ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓ（πｘ），则函数ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）在区间［－１２，３２］上的零点个数为（㊀㊀）．Ａ．５㊀㊀㊀Ｂ．６㊀㊀㊀Ｃ．７㊀㊀㊀Ｄ．８二㊁填空题：本大题共５小题，每小题５分，共２５分．１１．二项式２ｘ３－１２ｘ２æèçöø÷５的展开式的常数项是㊀㊀㊀㊀．１２．在平面直角坐标系中，若点Ａ（１，１），Ｂ（２，４），Ｃ（－１，３），则｜ＡＢң－ＡＣң｜＝㊀㊀㊀㊀．１３．设函数ｆ（ｘ）＝２１－ｘ，ｘɤ１，１－ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）ɤ２时ｘ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１４．已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线与圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋２＝０有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１５．设满足条件ｘ２＋ｙ２ɤ１的点（ｘ，ｙ）构成的平面区域的面积为Ｓ１，满足条件［ｘ］２＋［ｙ］２ɤ１的点（ｘ，ｙ）构成的平面区域的面积为Ｓ２（其中［ｘ］㊁［ｙ］分别表示不大于ｘ㊁ｙ的最大整数，例如［－０．３］＝－１，［１．２］＝１），给出下列结论：①点（Ｓ１，Ｓ２）在直线ｙ＝ｘ左上方的区域内；②点（Ｓ１，Ｓ２）在直线ｘ＋ｙ＝７左下方的区域内；③Ｓ１＜Ｓ２；④Ｓ１＞Ｓ２．其中所有正确结论的序号是㊀㊀㊀㊀．三㊁解答题：本大题共６小题，共７５分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１６．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋ｃｏｓ（２ｘ－π３）．（Ⅰ）求ｆ（ｘ）的最大值及取得最大值时ｘ的值；（Ⅱ）在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ｆ（Ｃ）＝１，ｃ＝２３，ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ，求әＡＢＣ的面积．１７．（本小题满分１２分）在数列｛ａｎ｝中，前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）２．３６（Ⅰ）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（Ⅱ）设ｂｎ＝ａｎ２ｎ，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，求Ｔｎ的取值范围．１８．（本小题满分１２分）某中学举行了一次 环保知识竞赛 ．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为１００分）作为样本（样本容量为ｎ）进行统计．按照［５０，６０），［６０，７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在［５０，６０），［９０，１００］的数据）．（Ⅰ）求样本容量ｎ和频率分布直方图中ｘ㊁ｙ的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是８０分以上（含８０分）的同学中随机抽取３名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的３名同学得分在［８０，９０）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．１９．（本小题满分１２分）直三棱柱ＡＢＣ Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ＝ＢＢ１＝１２ＢＣ，øＡＢＣ＝９０ʎ，Ｎ㊁Ｆ分别为Ａ１Ｃ１㊁Ｂ１Ｃ１的中点．（Ⅰ）求证：ＣＦʅ平面ＮＦＢ；（Ⅱ）求二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值．２０．（本小题满分１３分）已知点Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），动点Ｇ满足ＧＦ１＋ＧＦ２＝２２．（Ⅰ）求动点Ｇ的轨迹Ω的方程；（Ⅱ）已知过点Ｆ２且与ｘ轴不垂直的直线ｌ交（Ⅰ）中的轨迹Ω于Ｐ㊁Ｑ两点．在线段ＯＦ２上是否存在点Ｍ（ｍ，０），使得以ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数ｍ的取值范围；若不存在，请说明理由．２１．（本小题满分１４分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｋｅｘ－ｘ２（其中ｋɪＲ，ｅ是自然对数的底数）．（Ⅰ）若ｋ＜０，试判断函数ｆ（ｘ）在区间（０，＋ɕ）上的单调性；（Ⅱ）若ｋ＝２，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，试比较ｆ（ｘ）与２的大小；（Ⅲ）若函数ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２），求ｋ的取值范围，并证明０＜ｆ（ｘ１）＜１．参考答案一㊁ＣＡＤＣＡ㊀㊀㊀ＡＤＣＢＢ二㊁１１．－５㊀１２．１０㊀１３．［０，＋ɕ）㊀１４．（１，２］㊀１５．①③三㊁解答题１６．解（Ⅰ）由已知，得ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋ｃｏｓ（２ｘ－π３）＝３２ｓｉｎ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ＋３２ｓｉｎ２ｘ＝３ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６）．当２ｘ＋π６＝２ｋπ＋π２，即ｘ＝ｋπ＋π６（ｋɪＺ）时，函数ｆ（ｘ）取得最大值２．（Ⅱ）由ｆ（Ｃ）＝２ｓｉｎ（２Ｃ＋π６）＝１得ｓｉｎ（２Ｃ＋π６）＝１２，因为π６＜２Ｃ＋π６＜２π＋π６，所以２Ｃ＋π６＝５π６，解得Ｃ＝π３．因为ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ，根据正弦定理，得ａ＝２ｂ，由余弦定理，有ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ，（２３）２＝４ｂ２＋ｂ２－２ˑ２ｂ２ｃｏｓπ３＝３ｂ２，解得ｂ＝２，ａ＝４，故әＡＢＣ的面积ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ˑ４ˑ２ˑｓｉｎπ３＝２３．１７．解（Ⅰ）当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝１；当ｎȡ２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ｎ（ｎ＋１）２－（ｎ－１）ｎ２＝ｎ，经验证，ａ１＝１满足上式，故数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ｎ．（Ⅱ）由题意，易得Ｔｎ＝１２＋２２２＋３２３＋ ＋ｎ２ｎ，则１２Ｔｎ＝１２２＋２２３＋３２４＋ ＋ｎ２ｎ＋１，两式相减，得Ｔｎ－１２Ｔｎ＝１２＋１２２＋１２３＋ ＋１２ｎ－ｎ２ｎ＋１＝１－１２ｎ－ｎ２ｎ＋１，所以Ｔｎ＝２－ｎ＋２２ｎ．由于Ｔｎ＋１－Ｔｎ＝ｎ＋１２ｎ＋１＞０，则Ｔｎ单调递增，故ＴｎȡＴ１＝１２，又Ｔｎ＝２－ｎ＋２２２＜２，故Ｔｎ的取值范围是［１２，２）．１８．解（Ⅰ）由题意可知，样本容量ｎ＝８０．０１６ˑ１０＝５０，ｙ＝２５０ˑ１０＝０．００４，ｘ＝０．１－０．００４－０．０１０－０．０１６－０．０４＝０．０３０．（Ⅱ）由题意可知，分数在［８０，９０）有５人，分数在［９０，１００］有２人，共７人．抽取的３名同学中得分在［８０，９０）的学生个数ξ的可能取值为１，２，３，则Ｐ（ξ＝１）＝Ｃ１５Ｃ２２Ｃ３７＝５３５＝１７，Ｐ（ξ＝２）＝Ｃ２５Ｃ１２Ｃ３７＝２０３５＝４７，Ｐ（ξ＝３）＝Ｃ３５Ｃ３７＝１０３５＝２７，所以ξ的分布列如下：ξ１２３ｐ１７４７２７㊀㊀故ξ的数学期望为Ｅξ＝１ˑ１７＋２ˑ４７＋３ˑ２７＝１５７．１９．解㊀解法一：（Ⅰ）直三棱柱ＡＢＣ Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｂ１ＢʅＡＢ，ＢＣʅＡＢ，４６Ｂ１ＢɘＢＣ＝Ｂ，所以ＡＢʅ平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ．又Ｎ㊁Ｆ分别为Ａ１Ｃ１㊁Ｂ１Ｃ１的中点，所以ＡＢʊＡ１Ｂ１ʊＮＦ，ＮＦʅ平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ．又因ＦＣ⊂平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ，所以ＮＦʅＦＣ．取ＢＣ中点Ｇ，有ＢＧ＝ＧＦ＝ＧＣ，所以ＢＦʅＦＣ，又ＮＦɘＦＢ＝Ｆ，所以ＣＦʅ平面ＮＦＢ．（Ⅱ）由题意，平面ＡＢＣʅ平面ＡＣＣ１Ａ１，平面ＡＢＣɘ平面ＡＣＣ１Ａ１＝ＡＣ．过点Ｂ作ＢＨʅＡＣ于Ｈ，则ＢＨʅ平面ＡＣＣ１Ａ１，所以ＢＨʅＮＣ．过Ｈ作ＨＥʅＮＣ于Ｅ，连结ＢＥ，所以ＮＣʅ平面ＢＥＨ，ＮＣʅＢＥ，则øＢＥＨ是二面角Ｂ ＮＣ Ａ的平面角．在ＲｔәＡＢＣ中，ＢＨˑＡＣ＝ＡＢˑＢＣ．不妨设ＡＢ＝ａ，则ＢＨ＝ＡＢˑＢＣＡＣ＝２５５ａ．因为ＢＦ＝ＣＦ，所以在әＢＮＣ中，ＮＣ＝ＢＮ＝３２ａ，ＢＥˑＣＮ＝ＢＣˑＮＧ．又因为在ＲｔәＢＮＧ中，ＮＧ＝５２ａ，所以ＢＥ＝ＢＣˑＮＧＣＮ＝２５３ａ，故在ＲｔәＢＥＨ中，ｓｉｎøＢＥＨ＝ＢＨＢＥ＝３５，则ｃｏｓøＢＥＨ＝ＢＨＢＥ＝４５，二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值为４５．解法二：（Ⅰ）以Ｂ１为坐标原点，Ｂ１Ｂ，Ｂ１Ｃ１，Ｂ１Ａ１所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴，建立空间直角坐标系．不妨设ＡＢ＝ａ，则Ｂ１（０，０，０），Ｂ（ａ，０，０），Ｆ（０，ａ，０），Ａ１（０，０，ａ），Ｃ１（０，２ａ，０），Ｎ（０，ａ，ａ２），Ｃ（ａ，２ａ，０），则ＢＦң＝（－ａ，ａ，０），ＦＮң＝（０，０，ａ２），ＣＦң＝（－ａ，－ａ，０），ＣＦң㊃ＢＦң＝ａ２－ａ２＝０，ＣＦң㊃ＦＮң＝０ˑ（－ａ）＋０ˑ（－ａ）＋０ˑａ２＝０，所以ＣＦʅＢＦ，ＣＦʅＦＮ，又ＢＦɘＦＮ＝Ｆ，所以ＣＦʅ平面ＮＦＢ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ＣＣ１ң＝（－ａ，０，０），Ａ１Ｃ１ң＝（０，２ａ，－ａ），ＢＣң＝（０，２ａ，０），ＢＮң＝（－ａ，ａ，ａ２），设平面ＡＣＣ１Ａ１的一个法向量为ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），则有ｎ１㊃ＣＣ１ң＝０与ｎ１㊃Ａ１Ｃ１ң＝０，即－ａｘ１＝０与２ａｙ１－ａｚ１＝０，取ｙ１＝１，ｚ１＝２，则ｎ１＝（０，１，２）．设平面ＢＮＣ的一个法向量为ｎ２＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则有ｎ２㊃ＢＣң＝０与ｎ２㊃ＢＮң＝０，即２ａｙ２＝０与－ａｘ２＋ａｙ２＋ａ２ｚ２＝０，取ｘ２＝１，ｚ２＝２，则ｎ２＝（１，０，２）．设二面角Ｂ ＮＣ Ａ的大小为θ，则由ｎ２㊃ｎ２＝ｎ１㊃ｎ２ｃｏｓθ得二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值为４５．２０．解（Ⅰ）由ＧＦ１＋ＧＦ２＝２２，且Ｆ１Ｆ２＜２２知，动点Ｇ的轨迹是以Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）为焦点的椭圆，设椭圆的标准方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），ｃ＝ａ２＋ｂ２，由题知，ｃ＝１，ａ＝２，则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝２－１＝１，故动点Ｇ的轨迹Ω的方程是ｘ２２＋ｙ２＝１．（Ⅱ）假设在线段ＯＦ２上存在Ｍ（ｍ，０）（０＜ｍ＜１），使得以ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形，直线ｌ与ｘ轴不垂直，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）（ｋʂ０），由ｘ２＋２ｙ２＝２，ｙ＝ｋ（ｘ－１），{可得（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２ｋ２－２＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２１＋２ｋ２，ｘ１ｘ２＝２ｋ２－２１＋２ｋ２，ＭＰң＝（ｘ１－ｍ，ｙ１），ＭＱң＝（ｘ２－ｍ，ｙ２），ＰＱң＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１），其中ｘ２－ｘ１ʂ０．由于ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形，所以（ＭＰң＋ＭＱң）ʅＰＱң，则有（ＭＰң＋ＭＱң）㊃ＰＱң＝０，从而有（ｘ２＋ｘ１－２ｍ，ｙ２＋ｙ１）㊃（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）＝０，所以（ｘ２＋ｘ１－２ｍ）（ｘ２－ｘ１）＋（ｙ２＋ｙ１）（ｙ２－ｙ１）＝０，又因ｙ＝ｋ（ｘ－１），则有ｙ２－ｙ１＝ｋ（ｘ２－ｘ１），ｙ２＋ｙ１＝ｋ（ｘ１＋ｘ２－２），故上述式子可以变形为（ｘ１＋ｘ２－２ｍ）＋ｋ２（ｘ１＋ｘ２－２）＝０，将ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２１＋２ｋ２代入上式，可以得到（４ｋ２１＋２ｋ２－２ｍ）＋ｋ２（４ｋ２１＋２ｋ２－２）＝０，即２ｋ２－（２＋４ｋ２）ｍ＝０，所以ｍ＝ｋ２１＋２ｋ２（ｋʂ０），可知０＜ｍ＜１２，故实数ｍ的取值范围是（０，１２）．２１．解㊀（Ⅰ）由ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ可知，当ｋ＜０时，由于ｘɪ（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ＜０，故函数ｆ（ｘ）在区间（０，＋ɕ）上是单调递减函数．（Ⅱ）当ｋ＝２时，ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ，令ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ，ｈᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２，由于ｘɪ（０，＋ɕ），故ｈᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２＞０，于是ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ在区间（０，＋ɕ）上为增函数，所以ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ＞ｈ（０）＝２＞０，即ｆᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ＞０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，从而ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２在区间（０，＋ɕ）上为增函数，故ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２＞ｆ（０）＝２．（Ⅲ）函数ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ１，ｘ２，则ｘ１，ｘ２是ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ＝０的两个根，即方程ｋ＝２ｘｅｘ有两个根，设φ（ｘ）＝２ｘｅｘ，则φᶄ（ｘ）＝２－２ｘｅｘ，当ｘ＜０时，φᶄ（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增且φ（ｘ）＜０；当０＜ｘ＜１时，φᶄ（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增且φ（ｘ）＞０；当ｘ＞１时，φᶄ（ｘ）＜０，函数φ（ｘ）单调递减且φ（ｘ）＞０．要使方程ｋ＝２ｘｅｘ有两个根，只需０＜ｋ＜φ（１）＝２ｅ，故实数ｋ的取值范围是（０，２ｅ）．又由上可知函数ｆ（ｘ）的两个极值点ｘ１，ｘ２满足０＜ｘ１＜１＜ｘ２，由ｆᶄ（ｘ１）＝ｋｅｘ１－２ｘ１＝０，得ｋ＝２ｘ１ｅｘ１，所以ｆ（ｘ１）＝ｋｅｘ１－ｘ２１＝２ｘ１ｅｘ１ｅｘ１－ｘ２１＝ｘ１（２－ｘ１）＝－ｘ２１＋２ｘ１＝－（ｘ１－１）２＋１，由于ｘ１ɪ（０，１），故０＜－（ｘ１－１）２＋１＜１，所以０＜ｆ（ｘ１）＜１．５６。