张量分析-第二讲
第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量 度量的重要性 —— 刻画两点间距离
dr ds
x3
ds2drdr gidxi gjdxj
dr
gij dxidxj
二次微分形式
笛卡尔坐标系中,有
r
r dr x2
ds2dx2dy2dz2
x1
Euclid几何的基础
第1章 张量分析(清华大学 张量分析,你值得拥有)
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念的内涵和外 延(定量)
怎样计算?
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量的基本概念 ➢ 张量的代数运算 ➢ 张量的矢积
z
r :矢径
rxiyjzk
r
u
矢径 r 确定了基矢量:i、 j 、k
k
j i
x
笛卡尔坐标系
y 矢量u 可表示为:
uuxiuyjuzk
矢量及其代数运算
➢矢量的乘法
u
矢量的内积
定义式(实体形式,几何表达):
uvu v cos
vcos
uvvu(可交换性)
计算式(分量形式,代数表达): ucos
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
二阶张量的行列式
det(1 ) g det( 2 ) g det( 3 ) g 2 det( 4 )
通常定义 3 的行列式为张量T的行列式
T
T i T det T det( 3 ) T det T j
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等,所以
T det( ) det( ), det( ) det( 4 ) T 1 T det( ) det( ), det( ) det( 2 ) T 3 TT 2 TT 3 TT 1 TT 4
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
i j i i j j ij
j
以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
j i ij 1 T T T T 2 4 ij i 3 j
3 矩阵是最重要的张量矩阵。 其中,
二阶张量的转置张量
T i j j i i j j ji
1
二阶张量的不变量(代数)
张量分析第二部分
2.6 张量函数的导数
1.张量函数的定义
张量函数是指自变量是张量,而函数值是标量、矢量和张量的函数。例如
()B f f =,()
ij B f f = (2.6.01)
()B a a =,()ij
k
k
B a a = (2.6.02) ()B
C C =,()ij
k k B C C 1
1
= (2.6.03)
分别称作二阶自变量张量B 的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。
一般说来,这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的,如果它们对所有的单位正交基是相同的,我们就称它们是各向同性张量函数。
2.张量函数的梯度
现在考虑只有一个二阶自变量B 的标量值张量函()B f 数。B 的增量d B 和f 的微分df 仍然是二阶张量和标量。这时
ij ij
dB B f
df ∂∂=
(2.6.04) 写成不变性形式,则有
B B
d d df
df :=
(2.6.05) 根据商法则可知
B
d df
也是二阶张量,称之为f 的梯度。 若B 是二阶对称张量,则f 是B 的六个独立分量的函数。这时在求f 的梯度时,需先在f 里用()
ji ij
B B
+2
1代替ij B ,求得扩充
后的九个偏导数后再按ji ij B B =简化。例如
()()()221122
124
1
B B B f +=
=B (2.6.06) 于是
()1221121221
B B B B f =+=∂∂ (2.6.07) 12
1221B f
B B f ∂∂∂∂== (2.6.08) 这一点需要切记,否则如果对()2
12B f 直接求导,就会导致
1221
2B B f =∂∂的错误结果。 任意二阶张量B 的三个主不变量也是张量函数。现求它的梯度如下。
《张量分析本科》课件
弹性力学
张量在描述物体的变形和应力分布方面起到了关键作用,尤其在弹性力学中被广泛应用。
电磁场理论
张量可以描述电磁场的特性和相互作用,为电磁场理论的研究提供了有力工具。
相对论物理
张量是广义相对论的基础,用于描述引力、物体运动和时空的弯曲等复杂现象。
工程学中的张量应用
1
结构力学
张量在工程结构分析中用来描述应力、变形和刚度等重要参数,为结构设计提供依据。
《张量分析本科》PPT课 件
这个课程将介绍张量的定义、基本概念、运算和性质,以及它在物理学、工 程学和经济学等领域的应用。
张量的定义和基本概念
张量是一个多维数组,具有特定的变换规律。它在数学和物理学中扮演着重 要角色,能够描述物体在各个方向上的变化。
张量的运算和性质
张量可以进行加法、乘法等运算,还具有一些特殊的性质,如对称性、反对称性和行列式等。这些运算 和性质是研究和应用张量的基础。
学科交叉
张量分析作为一门综合性学科, 促进了不同学科之间的交流与 合作,推动了学科发展的跨越 性进展。
学习资源推荐
1 书籍和教材推荐
2 网上教程和视频
《张量分析导论》、《张量分析教程》等 是学习和研究张量分析的重要参考资源。
有许多免费的网上教程和视频,可以帮助 初学者快速入门和掌握张量分析的基本概 念和应用。
张量在市场需求、价格和产量之间的关系分 析中,能够提供深入洞察和科学决策支持。
张量分析(Tensor Analysis)
逆变基矢量的变换法则:
相伴度量张量的变换法则:
y i m y k n y i y k g ij g i g m g n g g mn m n x x x x
j
五、张量
在物理量或几何量中,有一些量与参考坐标无关,例如质量、温度、 长度等;另有一些量,它们的分量却与参考坐标的选择有关,例如位移、 速度等。前者称为标量,后者称为矢量。当坐标作容许变换时,矢量的 分量根据相应的 变换法则进行变换。
a1 z1 a2 z 2 a3 z 3 p
式中 ai, p 是常数。这个方程可写成:
ai z i p
i 1
3
应用求和约定,则这个方程可写成如下形式:
ai z p
i
遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自 由指标。
B) 求和约定(续)
注:哑指标只是表示求和。在一项中,同一个指标字母的使用不能超过两次。
所谓张量是一个物理量或几何量,它由在某参考坐标系中—定数目的分量 的集合所规定,当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的阶和结构,这由 它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢 量是一阶张量;应力张量、应变张量是二阶张量;还有三阶、四阶等高 阶张量。 张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律 的方法。采用张量记法表示的方程,在某一坐标系中成立,则在容许变
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析
§2.1矢量空间、基、基矢
1.线性矢量空间
设有n 个矢量,1,2,
,i i n =a ,它们构成一个集合R ,其中每个矢量i a 称为R 的一个
元素。如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素,及i k a (k 为标量)也给定R 内唯一确定的元素,则称R 为线性(矢量)空间。R 中的零元素记为O ,且具有i ⋅=O a O .
2.空间的维数
设i α为m 个标量,若能选取i α,使得
1
0m
i i
i =α=∑a
且i α不合为零,则称此m 个矢量线性相关,否则,称为线性无关。 例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a (如图)是线性无关的,即
11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值,且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ,2a ,3a 是线性相关的,则恒可找到1α,2α,3α(不全为零)使
1122330α+α+α=a a a 如图: 21133''=α+αa a a
集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设R 的维数为n ,则记为
n R ,欧氏空间为3R 。
3.空间的基和基元素
n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。基的每个元素称为基元素,由
于n R 的n 确良基元素是线性无关的。于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。设(1,2,
,)i i n =a 为n R 的任选的基,则有:
1
0n
i i
i ='α≠∑a
,i α'为任意的不全为零的标量
但总可选取00≠α及i α不全等于零,使得
01
0n
张量分析第二章
01
02
n
03
0
01
时的极限 时 x (t , L , t )
1 n
1
lim x (t1 , L , t n ) = x 01 i1 + x 02 i 2 + x 03 i 3 = x 0
t →t 0 M t →t 0
(2.4-3)
矢量函数的极限运算法则: 矢量函数的极限运算法则:
2.3 矢量函数
在矢量代数中所涉及的矢量都是大小和方向保持不变(注 :零矢量的方向为任意的。但在矢量分析中仍将其作为一 特殊的常矢量)的常矢量。一旦矢量的大小或方向(或大 小和方向)随某一参数的不同取值(这里的参数取为实数 )而变化时,这样的矢量称为变矢量。由此引入矢量函数 的概念。 设t是实变参数,x是变矢量。如果t在确定的实数域中的每 一个值,都有确定变矢量x按确定的法则与之对应。则x与 t的对应法则: (2.3-1) x=x(t) 称为矢量函数。或称为x为实数自变量的矢量值函数。 实数自变量的取值域(实数域)称为定义域。与定义域的 每一个取值对应的矢量函数值集合称为矢量函数的值域。
1 1 n 2 1 n 3 1 n
1
1
2
2
x2
x2(t*)
t*
b
0
a
i1
o
x1
i2
张量分析-第2讲
一阶张量的实体记法:
矢量有3个逆变分量和3个协变分量,但只有3个独立。
8
2. 二阶张量 如果物理量T有9个分量,当坐标变换时,有:
T T
i' j' i' m
n m j ' n
则称T为二阶张量。 混变分量: 逆变分量: 协变分量:
T T
j' i' m i'
j ' n n m
i'
i'
j
i' j
j
ij ' (g i ' g j ) 逆变变换系数
类似地以新基表达旧基
g i (g i g j ' )g j ' i j ' g j '
g (g g j ' )g g
i i j' i j' j'
i (g i g )
j' j'
ij ' (g i g j ' )
i j ij i j j j i
15
因为:
ds dr dr dx g i dx g j g ij dx dx
2 i j i
j
可见,两邻点的距离由
g ij
确定.
因此,将张量 G 称为度量张量。
张量分析课件-2.2 正则与退化的二阶张量
2.2 正则与退化的二阶张量
2.2.1 关于映射的几个定理
定理 任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集.
证明 设矢量集u(i)(i=1, 2, …, I )线性相关,则存在不全为零 的实数(i),使得
i ui 0
i 1
I
0 T i ui i T ui
ijk
T uT v T w
i l
源自文库
l
j m m
k n
n
2.2.2 正则与退化
定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量;否 则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的,则T T 也是正则的。 正则二阶张量的性质: (1)定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组 线性无关的矢量组u(i)(i=1,2,3)映射为另一组线性无关的 矢量组T· u(i)(i=1,2,3)。 等价表述: 二阶张量是正则的必要且充分条件是 T· u=0,当且仅当u=0;或者,二阶张量是退化的必要且 充分条件是存在u≠0 使得T· u=0。 (2)正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 个不等 的矢量u≠v,被T 映射以后仍不相等:T· u≠T· v。
T
1 1
T
T T
T 1
满射性 对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性 变换T· u=w,必存在唯一的逆变换,使T -1· u=w。
弹塑性力学课件
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why?
弹塑性力学的三要素:非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是(多维、一般)线性变换。
任晓丹
第二讲:张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What?
任晓丹
第二讲:张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
.
第二讲:张量分析基础
. 弹塑性力学研究生核心课程 任晓丹
同济大学建筑工程系
September 12, 2016
任晓丹
第二讲:张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
本节主要内容
. 1 . 2 . 3
张量概述
张量的运算和性质
张量分析初步
第二章张量分析
若 T a ai gi ,则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai gi ,则
div a grr (ai gi )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
)gk
ak
k ip
gp]
iakgigk ak kipgig p
k p
iakgigk ap pikgigk
(iak ap pik )gi gk iak gi gk
来自百度文库
其中
i ak
ak ;i
iak
ap
p ik
称为矢量ak 的协变导数。
2.10.1协变导数
作业:证明矢量 ak 的协变导数为
iak
ak ;i
第二章 张量分析
cos
r sin
0
除 r 0, 0 , 外, J 0 ,故有逆变换
的具体形式如下:
x1' r x1 2 x2 2 x3 2
x2' tg 1 x1 2 x2 2 x3
x3' tg 1 x2
x1
由此可得坐标曲面: (i) x1' (r常 数C1)为中心在原点的球面(当
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有:
左边 (a1n1 a2n2 a3n3)dS S ainidS S
a ndS a d S
S
S
右边 (1a1 2a2 3a3)dV V
iaidV adV
V
V
a d S adV
S
V
2 Stokes定理
Pdx Qdy Rdz
i, i ' 1,2,3
若 x i是' 的线性函数,则 x i'也是一个斜角坐标,而且坐标变换为:
xi
Ai i'
xi'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数,它是常数。
若 x i不是 x i'的线性函数,则 x i' 称为曲线坐标。
在曲线坐标系 x i中' ,若雅可比(Jacobi)行列式J不为零,即
第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件
Q1 Q Q Q1 G QT Q Q QT G
detQ2 1
J
Q 3
1
几种特殊的二阶张量
• 正交张量只有一个实特征根
3Q 1
实数标准形
对应特征方向,轴向 e3
cos sin 0
Q sin
cos
0
0
0 1
Q cos e1e1 e2e2 sin e2e1 e1e2 e3e3
二阶张量的矩阵正则与退化的二阶张量二阶二阶张量的不变量张量的不变量二阶张量的标准型几种特殊的二阶张量二阶张量的分解正交相似二阶张量ijijijij其中矩阵是最重要的张量矩阵
第2章 二阶张量
2021年3月10日
主要内容
二阶张量的矩阵 正则与退化的二阶张量 二阶张量的不变量 二阶张量的标准型 几种特殊的二阶张量 二阶张量的分解 正交相似二阶张量
3
J
2
0
→
3 2 0
只有一个实根 3 0 对应特征方向,轴向,零向 e3
实数标准形
0 0
0 0
0 0 0
e1e2 e2e1
可证:
e1, e2
e3 0 e1 e2
ω e3
几何意义!
整体绕轴旋转90度,扩大
e2 e1
倍
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q:对应着标架的刚性旋转
08张量讲义2
第二章 笛卡儿张量代数
笛卡儿张量(简称卡氏张量)是建立在笛卡儿直角坐标系(包括右手系与左手系)上的张量。不同的坐标系对应于初始坐标系的某种变换。笛卡儿直角坐标系涉及的变换有平移、旋转和反射。前两者属正常变换,后者为反常变换。三种变换均为正交变换(见1.6.2节),如前所述,若张量式中含有矢径,正交变换只包括旋转和反射变换。
卡氏张量是最基本、最简单,同时也是最常用的张量。它是迈向一般张量的一个台阶,但又可自成一体系。实际上,不少应用问题可能只需用到卡氏张量。因此,本书把卡氏张量作为相对独立的单元来讨论。卡氏张量涉及的内容包括基本概念、张量代数和张量分析,本章讨论前两部分。
本书假定读者仅有高等数学、线性代数知识,未学流体力学、弹性力学或材料力学(统称为连续介质力学)。所以,从本章起,将通过实例系统地介绍一些连续介质力学的基本概念、公式或定律,帮助读者理解抽象的张量概念。
2.1不变量的充要条件
我们知道,向量是坐标变换的不变量,可以表示为
a e e a i i j j a a '''=== (2.1)
由此可导出向量的坐标变换式(见1.6.3节)
j ji i a βa '= (2.2a )
i ji j a a '=β(2.2b )
反之,若数组i a 满足(2.2)式,则
()()a e e e e e a j j ji i jk k ji jk i k ik i k i i a βa βββa δa a '''======
即向量是不变量。这表明向量是不变量与数组满足坐标变换式(2.2)是等价的。因此,(2.2)式亦可作为向量的定义。
张量分析2
第二章 张量代数 §2.1 张量的加法(减法)
两个同阶、同变异(结构)的张量可以相加(或相减),张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。
设i jk .A 、i jk .B 是张量,则
i jk .i jk .i jk .B A C += (2.1-1)
也是张量。可以证明,i jk .A 、i jk .B 相加(相减)的结果是一个同阶同变异的张量。
今证明如下。设坐标系由i x 作容许变换为另一新坐标系i x ,则张量i jk .A 、i jk
.B 按以下法则变换:
)x (A x
x x x x x )x (A p
qr .k j p r q i i
jk .∂∂∂∂∂∂=
)x (B x
x x x x x )x (B p
qr .k j p r q i i jk .∂∂∂∂∂∂=
将上两式相加得
)]x (B )x (A [x
x x x x x )x (B )x (A p qr .p qr .k j p r
q i i jk .i jk .+∂∂∂∂∂∂=+
上式表明))x (B )x (A (p qr .p qr .+是张量,它与i jk .A 、i jk .B 服从同样的变换法则,因此,它与i jk .A 、i jk .B 是同阶同变异的张量,记为i jk .C ,即
p qr .k
j
p r q i
i
jk
.C x
x x x x x C ∂∂∂∂∂∂=
由此证明,两个同阶、同变异的张量相加(或相减),其结果是一个同阶同变异的新张量((201-1)式)。
§2.2 对称张量、反对称张量
一、对称张量
一般来说,ji ij C C ≠。但在以前和以后的讨论中都可看到,对于许多张量来说,滿足如下的关系式:
弹塑性力学课件
∑
i
ai xi = a · x
第二讲:张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量的向量函数 y1 = f1 (x1 , x2 , x3 ) y2 = f2 (x1 , x2 , x3 ) y3 = f3 (x1 , x2 , x3 ) 线性函数 y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
任晓丹 第二讲:张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
张量的并乘(张量积)
n 阶张量 P(n) 与 m 阶张量 Q(m) 并乘可得 m + n 阶张量 R(n+m) ,表示为 R(n+m) = P(n) ⊗ Q(m) 采用指标表示可写为 Ri1 ······in j1 ······jm = Pi1 ······in Qj1 ······jm 例如: v1 u1 u = u2 , v = v2 v3 u3 u1 v1 u1 v2 u1 v3 ⇒ u ⊗ v = ui vj = u2 v1 u2 v2 u2 v3 u3 v1 u3 v2 u3 v3
任晓丹
第二讲:张量分析基础
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σ
张量
• 1.8 张量矢积
置换符号
eijk e
ijk
1 若i, j , k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 1 若i, j , k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2 0 若有两个或三个指标相 等
31 32 33
A xi y j zk
ijk
代表27项 的和式
自由指标
A11 x 1 A12 x 2 A13 x 3 b1 A21 x 1 A22 x 2 A23 x 3 b2 A31 x 1 A32 x 2 A33 x 3 b3
筒写为
Aij x bi
j
j ——哑指标 i——自由指标,在每一项中只出现一次,一个公式 中必须相同
x ,x ,x
1 2
3
用指标记法 表示为
x,
i
i 1,2,3
爱因斯坦求和约定
S a1x 1 a2 x 2 an x n
S ai x i a j x
i 1 j 1
约定
n来自百度文库
n
j
求和指
标与所用 的字母无 关
S ai x a j x
i
j
指标重
复只能一 次
'
k m'
s' j
g s'
k m'
gm
'
m'
n' l
g n'
u' i
u' i
T
s' j ij s' j
n' l
S g u' g s' g
m'
l k
g n'
k m'
U
n' l
ijl k
gu' g s' g
g n'
U
u ' s ' n ' m '
T (i , j , k ,...l ) T (i, j , k ,...l )
' ' ' '
i' i
j' j
k' k
l' l
i, j , k ,..l 1,2,...n
m个
m次线性齐 次变换
n维空间m阶张量
张量的阶——自由指标的数目
分量表示法 Tij
用拉丁字母表示3维,希腊字母表2
维
指标范
围
A xi y j
ij
3
3
双重求和
i 1 j 1
ij
A xi y j A x1 y1 A x1 y2 A x1 y3
11 12 13
A 21 x2 y1 A 22 x2 y2 A 23 x2 y3 A x3 y1 A x3 y2 A x3 y3
置换张量与
等式
可以证明
gi g
j
ijl g l mnl im
n j
gl
mnl (g m g i )(g n g j )g l
mnl (g i g m )(g j g n )g l
j
mnl g m g n g l : g i g
i
j
ab a1b1g 1 g 1 a1b2g 1 g 2 a1b3g 1 g 3 a2b1g 2 g 1 a2b2g 2 g 2 a2b3g 2 g 31 a3b1g 3 g 1 a3b2g 3 g 2 a3b3g 3 g 3
• 3 张量的解析定义及表示
在坐标系变换时,满足如下变换关系的量称为张量
主讲:黄生洪
中国科学技术大学近代力学系
小结
1 张量相关的一些简化表示方法
指标记法和爱因斯坦求和约定 关于置换符号与克罗尼克尔记号
2 张量相关的概念
协变、逆变基矢量、协变/逆变分量 并矢,基并矢
3 张量的解析定义及表示
1. 张量相关的一些简化表示方法
指标记法和爱因斯坦求和约定
例如, 三维空间任意一点P在任意坐标系
并矢表示法 Tij g g
i
T ij
j ij
T ij T gi g j
Ti j T gi g
i j j
Ti g i g j
j
1.7 张量的代数运算
• 相等
• 相加
同阶张量才可相加
• 数乘
• 并乘
l TS T ij g i g j S k g k gl l T ij S k iu g u '
U
k m'
u' i
s' j
n' l
ijl k
• 缩并
k l S T Tij g g g g kl i j l k Tij kl j gig
i' k '
k Tij g g kj i
Sik g i g k
S T
k j
i k
j j j
3
j j i
j i
i i
i
k j
l k
l i
• 2. 张量相关的概念
P g ( P g1 P g 2 ) g P
1 1 2 1 2 1 2 2
1 2
P g ( P g1 P g 2 ) g P P g1 ( P 1g P 2 g ) g1 P 1
1 2
P g2 (P 1g P 2g ) g 2 P 2
1 2
g g gj
i
ij
g i g ij g
j
j
g g g
ij i
g ij g i g j
并矢,基并矢
a ai g , b b j g
i i j
j
ab ai g b j g ai b j g g
i' j' k ' j ' i' u
j' s
'
m k'
T
n j'
us mn
降价张量
m k snTus mn i' u i' u
T
m k'
un mn
i' u
m k S u m
'
• 点积
• 转置
• 对称化与反对称化
• 商法则
用于判定某些量的张量性!
置换符号与克罗尼克尔记号
eijk e ijk
1 若i, j , k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 1 若i, j , k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2 0 若有两个或三个指标相 等
1 i 0
t
(e1 )
(n )
t
(e1 )
n1 t
(e2 )
n2 t
(e3 )
n3
t 11e1 12e2 13e3 (e2 ) t 21e1 22e2 23e3 n n1e1 n2e2 n3e3 (e3 ) t 31e1 32e2 33e3
j
当i j 当i j
1 i 1 2 i 2 3 i 3
i a j a a a ai
j
Amj A A2 j A3 j Aij
m i 1 i 1j 2 i 3 i
3
i
i
1 1
2 2
3 3
i