张量分析-第二讲

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02张量分析

1.矢量场的旋度令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi

ai i ai xi
18

显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量给出。由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成

f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i

张量分析第二部分

2.6 张量函数的导数1.张量函数的定义张量函数是指自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数。

例如()B f f =，()ij B f f = (2.6.01)()B a a =，()ijkkB a a = (2.6.02) ()BC C =，()ijk k B C C 11= (2.6.03)分别称作二阶自变量张量B 的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。

一般说来，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的，如果它们对所有的单位正交基是相同的，我们就称它们是各向同性张量函数。

2.张量函数的梯度现在考虑只有一个二阶自变量B 的标量值张量函()B f 数。

B 的增量d B 和f 的微分df 仍然是二阶张量和标量。

这时ij ijdB B fdf ∂∂=(2.6.04) 写成不变性形式，则有B Bd d dfdf :=(2.6.05) 根据商法则可知Bd df也是二阶张量，称之为f 的梯度。

若B 是二阶对称张量，则f 是B 的六个独立分量的函数。

这时在求f 的梯度时，需先在f 里用()ji ijB B+21代替ij B ，求得扩充后的九个偏导数后再按ji ij B B =简化。

例如()()()2211221241B B B f +==B (2.6.06) 于是()1221121221B B B B f =+=∂∂ (2.6.07) 121221B fB B f ∂∂∂∂== (2.6.08) 这一点需要切记，否则如果对()212B f 直接求导，就会导致12212B B f =∂∂的错误结果。

任意二阶张量B 的三个主不变量也是张量函数。

现求它的梯度如下。

由式(1.11.07)—式(1.11.09)知ir ri βδ=1I (2.6.09)js ir rst ijt B B e e 212=I (2.6.10) kt js ir rst ijk B B B e e 613=I (2.6.11)于是mn rn im ri mnrri mn B B B I δδδδ∂∂δ∂∂===11 (2.6.12) ()mnjs ir rst ijt mn B B B e e B I ∂∂∂∂212= (2.6.13) ()()sn jm ir js rn im rj is js ir B B δδδδδδδδ+-=21()[]nm jj mn B B -=δ221()Tmn mn jj B B -=δ (2.6.14)()mnkt js ir rst ijk mn B B B B e e B I ∂∂∂∂613= ()tn km js ir kt js sn jm ir kt js rn im rst ijk B B B B B B B e e δδδδδδ++=61kt js nst mjk B B e e 21=()()()[]kt js js kn ks jn mt jt kn kt jn ms ks jt kt js mn B B δδδδδδδδδδδδδδδ-+---=21()[]mm jj km nk km nt kk nm kt tk kk jj mn B B B B B B B B B B B B -++--=δ21()()()tn T mt T Tmn kk mn kt tk kk jj B B B B B B B B +--=δ21 (2.6.15)把上列三式写成对任何坐标系都适用的不变性形式，则有I B =d dI 1(2.6.16) T I d dI B I B -=12(2.6.17) ()2123T T I I d dI B B I B+-= (2.6.18) 利用式凯莱—哈密顿定理(1.12.09)，我们可将式(2.6.18)写成下列形式：()313I B B-=T d dI (2.6.19)在实际应用中常出现复合函数的情形，这时可以利用链式法则进行运算。

数学张量分析

divT T
divT T Tkiek ei e j j
ij
Tki x j
ek
Tki xi
ek
iTkiek
一般地，divT di，vT当T为对称张量的时候，两者相等
5 旋度
矢量场的旋度：
左旋度：
r
r
curla a
展开后有：
uur
ur
(ekk )(ai ei )
uur
＝ ekijk ai ej
(i j f )ij
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
r 若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
ur ur 原式 (i ei )(a j ej )
ia j ij iai
1a
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
ur
uur
ur
(2a3 3a2 )e1 (3a1 1a3)e2 (1a2 2a1)e3
（ az
-
ay
r ）i （
ax
-
az
r ）j
（
ay
-
ax
r ）k
y z
z x
x y
右旋度：
curla a a j e j ei i
ej

第2章张量分析(6.8)

第2章张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。

如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。

R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。

例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。

例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。

设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。

3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。

基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。

于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。

设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。

② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。

张量分析-第2讲

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张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。旧坐标系新坐标系
10
3. n阶张量设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变换关系:

弹塑性力学课件

i,j
任晓丹第二讲：张量分析基础
矩阵的标量函数
aij bij = A : B
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
矩阵
矩阵的向量函数 y1 = f1 (B) y2 = f2 (B) y3 = f3 (B)
线性函数
∑ 1 y1 = ∑i,j aij bij y2 = i,j a2 bij ∑ ij 3 y3 = i,j aij bij
标量
标量 x, y, x1 , y1 , ...... 标量函数 y = f(x), y1 = g(x1 ), ...... 线性标量函数 (线性变换) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 )
线性函数的表示 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = ax
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。张量是适用于多维函数、方程以及微分系统等的表示工具。张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
任晓丹第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =

张量分析课件-2.2 正则与退化的二阶张量

T
1 1
T
T T
T 1
满射性对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性变换T· u=w，必存在唯一的逆变换，使T -1· u=w。
i 1 i 1
I
I
定理三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u，v，w 映射为另一矢量组，满足
T u
T v T w detT u v w
证明（式1.8.25）、(1.8.22)

detT
lmn
u v w detT u v w
l m n

Hale Waihona Puke T uT v T w
ijk
T uT v T w
i l
l
j m m
k n
n
2.2.2 正则与退化
定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量；否则称为退化的二阶张量。若T 是正则的，则T T 也是正则的。正则二阶张量的性质：（1）定理二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的矢量组T· u(i)(i=1，2，3)。等价表述：二阶张量是正则的必要且充分条件是 T· u=0，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且充分条件是存在u≠0 使得T· u=0。（2）正则的二阶张量T 映射的单射性对于任意2 个不等的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：T· u≠T· v。
（3）正则的二阶张量T 映射的满射性定义对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二阶张量T -1，使
T T 1 T 1 T G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆的二阶张量。可证

第二章张量分析

rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k

第二章张量分析

P也可用另外三个变量 x，1' x，2' 来x 表3' 示，即
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；

北航张量分析课件02

②各项中哑标必须成对出现（不能有两个以上相同的哑标符号），符号可任换，各项的展开项数由哑标数决定。
③在指标符号不变的情况下指标式的代数运算规则与常规代数式运算规则相同 (这是由代数运算的交换律、结合律、分配律等代数运算规则所保证的。).
3
指标一致性法则
k x j x j i xi xk x j x j xi xk i
Sij Sij
ij Cijkl kl
1.2 将分量式写为指标式
a11 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 x1 b1 a23 x2 b2 x b a33 3 3
1.3 叉积与轴向量 10
置换符号 ijk
1 ijk 1 0
对于右手系
ijk 的偶排列 123 ,231, 312 正循环排列 ijk 的奇排列 132 ,321, 213 逆循环排列 ijk 的重复排列等价于
1
i, j,k
e j ek ijk ei
由矩阵乘法的行列式性质
ijk e , e , e i j k
eir er eir emr e jr er e jr emr
ek1 ek2 ek3 e em3 en3 eir enr ei e ei em ei en e jr enr e j e e j em e j en ek e ek em ek en
22
1.6利用向量基本特性（见公理化定义）及叉积基本运算特性:
a b b a
证明：
a b a b
a b c a c b c
a b a b a b a b

第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件

• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )

张量分析2

第二章张量代数 §2.1 张量的加法（减法）两个同阶、同变异（结构）的张量可以相加（或相减），张量相加（或相减）是相加（或相减）其同名的分量。

设i jk .A 、i jk .B 是张量，则i jk .i jk .i jk .B A C += (2.1-1)也是张量。

可以证明，i jk .A 、i jk .B 相加（相减）的结果是一个同阶同变异的张量。

今证明如下。

设坐标系由i x 作容许变换为另一新坐标系i x ,则张量i jk .A 、i jk.B 按以下法则变换：)x (A xx x x x x )x (A pqr .k j p r q i ijk .∂∂∂∂∂∂=)x (B xx x x x x )x (B pqr .k j p r q i i jk .∂∂∂∂∂∂=将上两式相加得)]x (B )x (A [xx x x x x )x (B )x (A p qr .p qr .k j p rq i i jk .i jk .+∂∂∂∂∂∂=+上式表明))x (B )x (A (p qr .p qr .+是张量，它与i jk .A 、i jk .B 服从同样的变换法则，因此，它与i jk .A 、i jk .B 是同阶同变异的张量，记为i jk .C ,即p qr .kjp r q iijk.C xx x x x x C ∂∂∂∂∂∂=由此证明，两个同阶、同变异的张量相加（或相减），其结果是一个同阶同变异的新张量（（201-1）式）。

§2.2 对称张量、反对称张量一、对称张量一般来说，ji ij C C ≠。

但在以前和以后的讨论中都可看到，对于许多张量来说，滿足如下的关系式：jiijC C = (2.2-1)这样的张量，称为二阶对称张量。

同样，ij C 也是二阶对称张量，若它们滿足以下的关系式：ji ij C C = (2.2-2)例如，基本度量张量mk g 和相伴度量张量mk g 都是对称张量，见（1.5-4）式和（1.6-3a ）式对称张量的对称性质在坐标变换时是不变的。

【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章二阶张量

第2章二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。

2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。

弹塑性力学课件

任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. Albert Einstein
可以证明坐标转换矩阵具有正交性：βik βjk = βki βkj = δij 。
任晓丹第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
坐标变换
将向量看作 1 阶张量
u∗ j = ui βij
2 阶张量 T 的坐标分量满足 T∗ ij = βik βjl Tkl n 阶张量 R 满足下述坐标转换方程 R∗ i1 ······in = βi1 j1 · · · · · · βin jn Rj1 ······jn 而上述方程，在很多教科书中当作 n 阶张量的定义。
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。张量是适用于多维函数、方程以及微分系统等的表示工具。张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
任晓丹第二讲：张量分析基础
张量概述张量的运算和性质张量分析初步
张量的并乘（张量积）

【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章2 矢量函数共46页PPT资料

o
解：v ()vc o si1 vs ini2 (0 .5 c o s 0 .2 5 c o s 2)i1
(0 .5 s in 0 .2 5 s inc o s)i2 ; 0 /2 0 :v 0 .2 5 m / s ; 1 5 :v 0 .2 5 9 m / s
3 0 :v 0 .2 8 3 m / s ; 4 5 :v 0 .3 2 3 m / s
，b]区间的不同取值x (t)位置矢量平面描绘一条曲线。
对矢量函数： x x (t1 ,t2 ) x 1 (t1 ,t2 )i1 x 2 (t1 ,t2 )i2
t2
x2
当t = b 时： 2 2
x x (t1 ,b 2 ) x 1 (t1 ,b 2 )i1 x 2 (t1 ,b 2 )i2
a2
更一般地有：对矢量函数 x(t)的终点所描绘的曲线称为矢
端曲线或称为 x(t)的图形。而（2.3-1）式称为矢量方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例12：
x2
已知小球在四分之一圆弧轨道中运动。圆弧
轨道半径R=50cm，小球运动速度的大小 v φ
0.51cos(m。/s)试求小球速度矢量方程；并在图
4
中画出小球速度的矢端曲线。
程。参数方程在 {o；i1，i2，i3} 中描绘的曲线称为矢端曲线（面）。
具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）：
设x = x (t) , b≤t≤a。在平面坐标系{o；i1，i2}中，矢量x
随t的变化，且： xx1(t)i1x2(t)i2
x2
x完全由x1(t), x2(t)的变化确定。
t*
xx(t1, ,tn)
（2.3-3）
x x 1 ( t 1 ,, t n ) i 1 x 2 ( t 1 ,, t n ) i 2 x 3 ( t 1 ,, t n ) i 3 x i ( t 1 ,, t n ) i i

张量分析第二讲精品PPT课件

i1,2,3
爱因斯坦求和约定
Sa 1x1a2x2anxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定 Saixi ajxj
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2
维
求和指
标与所用的字母无
关
指标重
复只能一次
指标范
围
33
Aij xi y j
i1 j1
双重求和
Aij xi yj A11x1y1A12x1y2 A13x1y3
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同
置换符号与克罗尼克尔记号
1 若i, j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2 eijkeijk1 若i, j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2
0 若有两个或三个等指
j i
1 0
当i j 当i j
ijaj i1a1i2a2i3a3ai imAmj i1A1j i2A2j i3A3j Aij
i
i
1 1
2 2
3 3
3
k
i
j
k
j i
j
i
i
j
i i
j j
3
j
i
k j
l k
l i
• 2. 张量相关的概念
P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2 P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2
gi gijgj
g i
gijg j
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More

张量分析02

I.2 符号ij δ与rst e符号ij δ称为“Kronecker delta ”，它的定义是：⎩⎨⎧=01ij δ时当时当j i j i ≠= ()n ,,2,1j ,i = (I.14)定义表明它对指标i 和j 是对称的，即ji ij δδ= (I.15)ij δ的分量集合对应于单位矩阵。

例如，在三维空间中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001333231232221131211δδδδδδδδδ (I.16) 利用ij δ可以把线元长度平方的公式(I.6)改写成j i ij dx dx dsδ=2(I.17)这里ij δ起了换标的作用，即：如果ij δ符号的两个指标中，有一个和同项中其他因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij δ的另一个指标，而ij δ自动消失。

这样：i i jj ji ij dx dx dxdx dxdx ds===δ2类似地有ik jk ij a a =δ；jk ik ij a a =δki kj ij a a =δ；kj ki ij a a =δ (I.18)以及ik jkij δδδ=；il kl jk ij δδδδ= (I.19)所以，ij δ也称为换标符号。

符号rst e 的定义是：⎪⎩⎪⎨⎧-=011rste 个以上指标值相同时中有当为逆序排列时当为正序排列时当2t ,s ,r t ,s ,r t ,s ,r (I.20a) 或)r t )(t s )(s r (21e rst ---=()3,2,1t ,s ,r = (I.20b)其中，正序排列是指（l , 2 . 3 ）及其轮流换位得到的（2 . 3 , l ）和（3 , 1 , 2 ），逆序排列是指（3 , 2 ,l ）及其轮流换位得到的（2 , l , 3 ）和（l , 3 , 2 ）。

rst e 称为排列符号或置换符号。

它共有27 个元素，其中只有3个元素为1，3个元素为－1 ，其余的元素都是0。

08张量讲义2

08张量讲义2第二章笛卡儿张量代数笛卡尔张量是基于笛卡尔直角坐标系（包括右手坐标系和左手坐标系）的张量。

不同的坐标系对应于初始坐标系的一些变换。

笛卡尔坐标系包括平移、旋转和反射。

前两种为正态变换，后一种为异常变换。

这三种变换是正交变换（见第1.6.2节）。

如前所述，如果张量公式包含向量直径，则正交变换仅包括旋转和反射变换。

卡氏张量是最基本、最简单，同时也是最常用的张量。

它是迈向一般张量的一个台阶，但又可自成一体系。

实际上，不少应用问题可能只需用到卡氏张量。

因此，本书把卡氏张量作为相对独立的单元来讨论。

卡氏张量涉及的内容包括基本概念、张量代数和张量分析，本章讨论前两部分。

本书假设读者只掌握高等数学和线性代数知识，没有学习流体力学、弹性力学或材料力学（统称为连续介质力学）。

因此，从本章开始，我们将通过实例系统地介绍连续介质力学的一些基本概念、公式或定律，帮助读者理解张量的抽象概念。

2.1不变量的充要条件我们知道向量是坐标变换的不变量，可以表示为a?aiei?a?je?j?a?（2.1）由此可导出矢量的坐标变换公式（见第1.6.3节）a?j?βjiai（2.2a）人工智能？？贾？j（2.2b）反之，若数组ai满足（2.2）式，则A.A.杰伊？Jβ-jiai？？βjkek？？βjiβjkaiek？伊卡耶克？艾伊？A.即向量是不变量。

这表明向量是不变量与数组满足坐标变换式（2.2）是等价的。

因此，（2.2）式亦可作为向量的定义。

另一方面，在1.5节中，我们通过并积得到感应矢量。

诱导向量集构成诱导向量空间。

根据向量代数理论，任何线性空间的元素都可以表示为基向量的线性组合，线性组合的系数是向量的分量。

其基础并非独一无二。

同一个向量在不同的基下有不同的分量。

基的变化会引起分量的变化，但不同基对应的向量不变，仍然是相同的向量。

基础的变化实质上就是坐标系的变化。

因此，诱导向量仍然是坐标变换的不变量ek?e（2.3）a?aijeiej?ak与（2.1）式不同的是，分量有两个指标，基为并矢基，这种不变量称为二阶不变量，即二阶张量。

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