江苏省徐州市2021年高一下学期期中数学试卷B卷

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2020-2021学年江苏省徐州一中高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省徐州一中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知i 是虚数单位，则(3−2i)(−2−i)+8i 4=( )A. 4+iB. −16+iC. iD. −i2. 在△ABC 中，BC =15，AC =10，A =60°，则cosB =( )A. −√63B. √63C. −2√23D. 2√233. 下列命题正确的是( )A. 空间不同三点确定一个平面B. 三条两两相交的直线在同一平面内C. 垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直D. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行4. 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm ，O′C′=C′D′=2cm ，则原图形的面积为( )A. 12cm 2B. 24cm 2C. 12√2cm 2D. 24√2cm 25. 如图，平面内有三个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λ+μ的值为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 126. 在空间四边形ABCD 中，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为30°，则EF 与AB 所成角的大小为( )A. 15°B. 75°C. 15°或75°D. 以上都不正确7. 已知sin(π6−θ)=13，则cos(2π3+2θ)=( )A. 79B. −79C. 7−4√618 D. 4√6−7188. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过点C 1，E ，F 的截面的周长为( )A. √5+32√2 B. √5+√2 C. √5+√22+1 D. √2+√5+32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知点A，m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是()A. 若A∈m，m⊂α，则A∈αB. 若m//n，n⊂α，则m//αC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β10.已知z为复数，且z−1z+1为纯虚数，则()A. |z|=1B. z的实部为0时，|z−1z+1|=2C. |z−2i|的最大值为3D. |z2−z+1|∈[0,3)11.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则()A. C1，M，O三点共线B. 直线AD1与BD的夹角为60°C. 直线AC与平面C1BD所成的角为45°D. 二面角B−A1C−C1的大小为120°12.在△ABC中，B=2π3，角B的平分线BD交AC于点D，且BD=3，则下列说法正确的是()A. 若BC=6，则△ABC的面积为9√3B. 若C=π4，AD=9√2+3√62C. 若BC=3BD，则ADAC=2D. AB+BC的最小值为4√3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知两点A(4,1)，B(7,−3)，则与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是______．14.已知tanθ=13，则3cos2θ+sin2θ的值为______．15.函数y=4sinxsin(x+π6))的最大值为______．16. 已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知复数z =(√3+i)(cos π3+isin π3)sin π3+icosπ3=a +bi ，其中i 为虚数单位，a ，b ∈R ．(1)求a ，b 的值；(2)若复数z ，z −，iz 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．18. 在平行四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3． (1)若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3，求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面PCD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：(1)直线MN//平面PAD ； (2)直线CD ⊥平面PAD ．20.如图，半圆O的直径为2cm，A为直径延长线上的−点，OA=2cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α．(1)当α=π3时，求四边形OACB的周长；(2)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？最大值为多少？21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,−1)，n⃗=(sin A2,cos(B+C))，且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=32．(1)求角A的大小；(2)若a=2√3，求b2+3c2的最大值及取得最大值时sin2B的值．22.如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，AE为底面直径．已知AE=4，PO=√2．(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角E−PC−B的余弦值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：(3−2i)(−2−i)+8i4=−6−3i+4i+2i2+8=i．故选：C．根据复数的四则运算进行化简即可直接求解．本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：在△ABC中，BC=15，AC=10，A=60°，B<60°，则sinB=AC⋅sinABC =10×√3215=√33，可得cosB=√1−sin2B=√63．故选：B．利用正弦定理直接求解正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．本题考查正弦定理以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A：空间中不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B：三条两两相交但是不经过同一点的直线在同一个平面内，故B错误；对于C：垂直于平面内任意一条直线的直线与该平面垂直，故C错误；对于D：过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故D正确；故选：D．直接利用平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：在直观图中，设O′y′与B′C′交于点P′，则C′P′=2cm ，P′B′=4cm ，O′P′=2√2cm ，在原图形中，OA =6cm ，CP =2cm ，OP =2O′P′=4√2cm ，因为BC//OA ，BC =OA =6cm ，所以原图形OABC 是平行四边形，如图所示，其面积为S =OA ⋅OP =24√2cm 2．故选：D ．根据题意画出原平面图形，结合图形即可判断该图形的形状，然后再求解面积即可．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图所示：，过点C 作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形， ∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°， ∴∠BOC =90°，∴∠OCD =90°，在Rt △OCD 中，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |tan30°=3√3×√33=3，|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=μ|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴6=λ，3=μ， ∴λ+μ=9，故选：C ．过点C 作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，由题意可知∠OCD =90°，在Rt △OCD 中，利用边角关系可求出CD ，OD 的长，又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出结果．本题主要考查了向量的三角形法则和平面向量基本定理，是中档题．6.【答案】C【解析】解：取AC的中点G，连接GE与GF，则AB与CD(异面直线)所成角为30°，∵EG//AB，FG//CD，∴∠EGF=30°或∠EGF=150°，而AB=CD，则GE=GF，∴∠GFE=75°或∠GFE=15°．∴EF与AB所成的角是75°或15°．故选：C．取AC的中点G，连接GE与GF，则AB与CD(异面直线)所成角为30°，从而∠GEF=30°或∠GEF=150°，由此能求出EF与AB所成的角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7.【答案】B【解析】解：∵sin(π6−θ)=13，则cos(2π3+2θ)=−cos(π3−2θ)=−1+2sin2(π6−θ)=−1+2×19=−79，故选：B．由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由EF//平面BCC1B1，知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A的交线为BF，∵正方体的棱长为1，∴截面周长为：EF+FB+BC1+C1E=√22+√52+√2+√52=√5+32√2故选：A．利用线面平行的判定和性质做两面交线，由此能求出结果．本题考是截面图形的周长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是中档题．9.【答案】AC【解析】解：若A∈m，m⊂α，则A∈α，故A正确；若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故B错误；若m⊥α，则m垂直于α内两条相交直线a与b，又m//n，由异面直线所成角的概念，可得n垂直a也垂直b，则n⊥α，故C正确；若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β或α与β相交，故D错误．故选：AC．由直线在平面内的定义判断A；由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断B；直接证明C正确；由两平面平行的判定判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10.【答案】ACD【解析】解：设z=x+yi(x,y∈R)，则z−1z+1=x−1+yix+1+yi=(x−1+yi)(x+1−yi)(x+1+yi)(x+1−yi)=x2+y2−1+2yi(x+1)2+y2，∵z−1z+1为纯虚数，∴x2+y2=1且y≠0．∴|z|=1，故A正确；z的实部为0时，x=0，则y=±1，z−1z+1=±i，则|z−1z+1|=1，故B错误；由x2+y2=1且y≠0，可得z的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆去掉点(−1,0)，(1,0)，如图，|z−2i|的最大值为3，故C正确；|z2−z+1|=|z(z−1+z−)|=|z||z−1+z−|=|z−1+z−|=|2x−1|，∵−1<x<1，∴−3<2x−1<1，则|2x−1|∈[0,3)，即|z2−z+1|∈[0,3)，故D正确．故选：ACD．，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且设z=x+yi(x,y∈R)，代入z−1z+1|判断B；虚部不为0可得x2+y2=1且y≠0，判断A正确；由x=0求得y值，再求|z−1z+1由复数模的几何意义数形结合判断C；由|z2−z+1|=|z(z−1+z−)|=|z||z−1+z−|= |z−1+z−|=|2x−1|，结合x的范围求解|z2−z+1|的范围判断D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：如图，连接A1C1，AC，可知平面A1C1CA∩平面BDC1=OC1，∴A1C与平面BDC1的交点必在OC1上，即C1，M，O三点共线，选项A正确；显然AD1//BC1，故直线AD1与直线BD的夹角即为直线BC1与直线BD的夹角∠C1BD，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知△C1BD为正三角形，则∠C1BD=60°，选项B正确；∵A1C在平面ABCD的射影为AC，AC⊥BD，∴A1C⊥BD，同理BC1⊥A1C，又BD∩BC1=B，且BC1⊂平面BDC1，BD⊂平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1，∴∠COM即为AC与平面BDC1所成角，又∠COM=∠CAA1，故tan∠COM=√2≠1,∠COM≠45°，选项C错误；∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面BACD，∴AA1⊥BD，∵BD⊥AC，AA1∩AC=A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊥平面BDC1，故A 1C⊥OM，连接BM，则∠BMC1即为二面角B−A1C−C1的大小，又AC=2√2，则OC=√2,OC1=√6,OM=√63,BO=√2，∴BM=2√63,cos∠BMO=OMBM=12，则∠BMO=60°，于是∠BMC1=120°，选项D正确．故选：ABD．连接A1C1，AC，可知A1C与平面BDC1的交点必在OC1上，由此判断选项A；直线AD1与直线BD的夹角即为直线BC1与直线BD的夹角，由此容易判断选项B；分析可知∠COM 即为AC与平面BDC1所成角，计算可得tan∠COM=√2≠1,∠COM≠45°，由此可判断选项C；∠BMC1即为二面角B−A1C−C1的大小，计算可得∠BMC1=120°，由此判断选项D．本题考查立体几何的综合运用，涉及了三点共线问题，异面直线所成角，线面角以及二面角等问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：因为BD为B的平分线，B=2π3，所以∠ABD=∠CBD=π3，对于A：若BC=6，在△BCD中，由余弦定理得：CD2=BD2+BC2−2BD⋅BC⋅cosπ3= 9+36−18=27，∴CD2+BD2=BC2，∴BD⊥AC，∴△ABC为等腰三角形，∴AB=BC=6，∴S△ABC=12×AB×BC×sin2π3=12×6×6×√32=9√3，故A正确；对于B：若∠C=π4，在△ABD中，∠A=π12，∠ABD=π3，由正弦定理得ADsinπ3=BDsinπ12，∴AD=DB⋅sin π3sinπ12=9√2+3√62，故B正确；对于C：若BC=3BD，可得BC=9，在△BCD中，由余弦定理得：CD2=BD2+BC2−2BD⋅BC⋅cosπ3=9+81−2×3×9×12=63，∴CD=3√7，由正弦定理得DBsinC =CDsinπ3，∴sinC=√2114，∴sinA=sin(C+2π3)=√217，在△ABC中，由正弦定理得BCsinA =ACsin2π3，∴AC=BC⋅sin 2π3sinA =9√72，∴AD=3√72，∴ADAC =13，故C错误；对于D：设∠A=θ，则∠C=π3−θ，∠BDC=π3+θ，因为BDsinC =BCsin∠BDC，所以BD=BD×sin∠BDCsinC=3×sin(π3+θ)sin(π3−θ)，∠ADB=π−π3−θ=2π3−θ，故AB=sin∠ADBsin∠A ⋅BD=3×sin(2π3−θ)sinθ，所以AB+BC=3×√32cosθ+12sinθsinθ+312cosθ+√32sinθ√32cosθ−12sinθ，令t=1tanθ，所以AB+BC=3√32t+32+3×√3t√3−t≥8√3．故AB+BC有最小值8√3时，为，故D错误．故选：AB．由已知结合正弦定理，和差角公式及同角基本关系进行变形，分别检验各选项即可判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，换元法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】(35,−45)【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7−4,−3−1)=(3,−4)， ∴与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+(−4)2×(3,−4)=(35,−45). 故答案为：(35,−45).求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |即可．本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据单位向量的定义进行解答，是基础题．14.【答案】3【解析】解：因为tanθ=13，所以3cos2θ+sin2θ=3(cos 2θ−sin 2θ)+2sinθcosθ =3cos 2θ−3sin 2θ+2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=3−3tan 2θ+2tanθtan 2θ+1=3−3×19+2×1319+1=3，故答案为：3．由tanθ=13，利用二倍角公式化简3cos2θ+sin2θ，再用弦化切公式计算即可．本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了二倍角与弦化切的应用问题，是基础题．15.【答案】2+√3【解析】解：函数y =4sinxsin(x +π6)=4sinx(√32sinx +12cosx)=2√3sin 2x +sin2x =2sin(2x −π3)+√3．当2x −π3=2kπ+π2(k ∈Z)时，函数的最大值为2+√3．故答案为：2+√3．首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出函数的最大值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题，16.【答案】3√3【解析】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长√2，α截此正方体所得截面最大值为：6×√34×(√2)2=3√3．故答案为：3√3．利用正方体的棱与棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由z =(√3+i)(cos π3+isin π3)sin π3+icos π3=(√3+i)(12+√32i)√32+12i =a +bi ，得√32+32i +12i −√32=(√32+12i)(a +bi)=(√32a −12b)+(12a +√32b)i ，即{√32a −12b =012a+√32b =2，解得a =1，b =√3；(2)由(1)得，z =1+√3i ，z −=1−√3i ，iz =i(1+√3i)=−√3+i ， ∴A(1,√3)，B(1,−√3)，C(−√3,1)，如图，则|AB|=2√3，C 到AB 的距离为√3+1，则S △ABC =12×2√3×(√3+1)=3+√3．【解析】(1)把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a 与b 的值；(2)分别求出A ，B ，C 的坐标，再求出|AB|及C 到AB 的距离，代入三角形面积公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=2√3，① ∵向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos π3=2×12×|b ⃗ |=|b ⃗ |，则①式化为√|b ⃗ |2+2|b ⃗ |+4=2√3，即|b ⃗ |2+2|b ⃗ |−8=0，解得|b ⃗ |=2(|b ⃗ |>0)，即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >，即6=2×2√3×cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >，解得cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√32，又<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[0,π]，∴<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π6．即向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π6．【解析】(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，由已知可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，两边取模再平方，即可得到关于|b⃗ |的方程，求解得答案； (2)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，展开单项式乘多项式，再由数量积运算求解向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：(1)根据题意，取PD 的中点G ，连接NG 、AG ，G是PD的中点，N是PC的中点，则NG//DC且NG=12DC，则四边形MNGA是平行四边形，则有MN//AG，又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，则有直线MN//平面PAD；(2)PA⊥平面PCD，则PA⊥CD，又由底面ABCD是矩形，则CD⊥AD，而PA∩AD=A，故直线CD⊥平面PAD．【解析】(1)根据题意，取PD的中点G，连接NG、AG，由中位线定理可得NG//DC且NG=12DC，分析可得四边形MNGA是平行四边形，则有MN//AG，由线面平行的判定定理可得证明；(2)由线面垂直的性质可得PA⊥CD，又由底面ABCD是矩形，则CD⊥AD，由线面垂直的判定定理可得证明．本题考查线面平行、线面垂直的证明，注意线面平行、线面垂直的判定定理，属于基础题．20.【答案】解：(1)在△OAB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcosα=1+4−2×1×2cosπ3=3，即AB=√3，于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=2+1+2√3=3+2√3；(2)在△OAB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcosα=1+4−2×1×2×cosα=5−4cosα，所以AB=√5−4cosα，0<α<π，于是四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC=12OA⋅OBsinα+√34AB2=sinα+√34(5−4cosα)=sinα−√3cosα+5√34=2sin(α−π3)+5√34，当α−π3=π2，即α=5π6时，四边形OACB的面积取得最大值2+5√34．【解析】(1)结合已知利用余弦定理可求AB，即可得到所求四边形的周长；(2)先由余弦定理求AB，再由三角形的面积公式和等边三角形的面积公式，结合辅助角公式和正弦函数的最值，可得所求结论．本题考查余弦定理、面积公式及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)由m⃗⃗⃗ =(2,−1)，n⃗=(sin A2,cos(B+C))，且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=32，得2sin A2−cos(B+C)=32，即2sin A2+cosA=32，∴2sin A2+1−2sin2A2−32=0，整理得(2sin A2−1)2=0，得2sin A2=1，sin A2=12，又A2∈(0,π2)，∴A2=π6，即A=π3；(2)∵A=π3，∴B+C=2π3，则C=2π3−B．又a=2√3，∴2√3sinπ3=2√3√32=4=bsinB=csin(2π3−B)，得b=4sinB，c=4sin(2π3−B)，∴b2+3c2=16sin2B+48sin2(2π3−B)=4(3√3sin2B+cos2B+8)=8√7sin(2B+φ)+32，其中sinφ=12√7，cosφ=3√32√7．∴当sin(2B+φ)=1时，b2+3c2取最大值为8√7+32，此时2B+φ=π2+2kπ，即cos2B=cos(π2+2kπ−φ)=sinφ=12√7，由cos2B=1−2sin2B=12√7，得sin2B=12−14√7．【解析】(1)由已知结合数量积的坐标运算可得sin A2=12，再由A的范围求得角A；(2)由正弦定理把b、c用含有角B的三角函数表示，再由辅助角公式化积，然后利用三角函数求最值．本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)证明：设△ABC的边长为a，则asin60∘=4，解得a=2√3，在Rt△POB中，PB=√OP2+OB2=√2+4=√6，同理，PA=PC=√6，由于PA2+PB2=AB2，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PB，PA⊥PC，又PB ∩PC =P ，且PB ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴PA ⊥平面PBC ；(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,√2),E(0,2,0),C(−√3,1,0),B(√3,1,0)，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,−√2),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−√2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√2)，设平面PCE 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x +y −√2z =02y −√2z =0，取y =1，则z =√2,x =−√33，故m ⃗⃗⃗ =(−√33,1,√2)，设平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3a +b −√2c =0√3a +b −√2c =0，取a =0，则b =2,c =√2，故n ⃗ =(0,2,√2)， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√5=2√55，即二面角E −PC −B 的余弦值为2√55．【解析】(1)利用正弦定理易得△ABC 的边长，再利用勾股定理可得PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，由此即可得证；(2)建立空间直角坐标系，求出平面PCE 及平面PCB 的法向量，利用向量夹角公式即可得解．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，涉及了正弦定理，勾股定理以及数量积公式的运用，考查推理能力及运算求解能力，属于中档题．。

江苏省徐州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题

江苏省徐州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（） A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆柱、一个圆台D ．一个圆柱、两个圆锥2．在ABC 中，3a =，4b =，3sin 5A =，则sin B =（）．A ．15B ．45C D ．13．()sin20cos 10cos20sin10︒-︒+︒︒=（）．A ．12B ．12-C ．D 4．欧拉恒等式：10i e π+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：cos sin ()i e i R θθθθ=+∈令θπ=得到的．根据欧拉公式，23i e π在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 的形状为（）． A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形6．已知tan 2A =，则22sin 2cos 1cos 2A A A+=+（）． A ．32B ．52C ．72D ．927．已知向量,a b →→满足|a →|=2，b →=(1，1)，2a b →→⋅=-，则cos<,a a b →→→+ >=（）A ．12B ．12-C D ．8．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0二、多选题 9．已知复数i12iz =-，则以下说法正确的是（）． A ．复数z 的虚部为15B ．z 的共轭复数2i 55z =-C ．z =D ．在复平面内与z 对应的点在第三象限10．下列各式中值为12的是（）． A ．2sin 75cos 75︒︒B ．25π12sin12- C ．sin 45cos15cos 45sin15︒︒-︒︒D ．tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒11．下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有（）． A ．()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c B ．a b a b -≤+ C ．a b a b ⋅≤⋅D ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅12．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则下列说法正确的是（）A ．3C π=B ．,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．a b +∈三、填空题13．已知点P ⎝⎭是角α的终边与单位圆的交点，则cos 2=α______．14．已知1z =，则1z -的最大值是______．15．如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅AE BF ⋅的值是________．16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高500BC m =，则山高MN =________m ．四、解答题17．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ＝b ＝6，cos A ＝﹣13．（1）求c ；（2）求cos2B 的值． 18．已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位. （1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值. 19．已知向量,,a b c 在同一平面上，且(2,1)a =-. （1）若//a c ，且25c =，求向量c 的坐标﹔ （2）若()3,2b =，且ka b -与2a b +垂直，求k 的值.20．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合；（2）若,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.21．在①()()b a c b a c ac +--+=：②cos()sin()A B A B +=-；③tansin 2A BC +=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =___________，___________？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足1233OC OA OB =+.（1）求AC CB的值；（2）已知()1,cos A x ，()1cos ,cos B x x +.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()223f x OA OC m AB ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，若()f x 最小值记为()g m ，求()g m 表达式，并求()g m 的最大值.参考答案1．D 【分析】根据题意，画出旋转后的几何体，观察图形，可得结果. 【详解】从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图所示．故选：D. 2．B 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】由题知，3a =，4b =，3sin 5A =，在ABC 中，由正弦定理得，sin sin a bA B=，所以34sin 45sin 35b A B a⨯===. 故选：B. 3．A 【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；【详解】解：()sin20cos 10cos20sin10︒-︒+︒︒ sin 20cos10cos 20sin10=︒︒+︒︒()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒=故选：A 4．B 【分析】根据欧拉公式及复数的几何意义计算可得；【详解】解：因为23221cossin 332i ei πππ=+=-，所以23i eπ在复平面内所对应的点的坐标为12⎛- ⎝⎭位于第二象限，故选：B 5．B 【分析】先利用正弦定理，再利用和角的正弦公式化简，即得解. 【详解】由题得2sin cos sin cos sin B C C B A +=, 所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A =, 因为0,sin 0A A π<<∴>, 所以sin 1,A = 因为0,2A A ππ<<∴=.所以ABC 是直角三角形. 故选：B 6．D 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对22sin 2cos 1cos 2A AA++化简变形，然后代值计算即可【详解】解：因为tan 2A =，所以2222sin 2cos 4sin cos cos 1192tan 41cos 22cos 222A A A A A A A A ++==+=+=+，故选：D 7．C 【分析】先求出()2a a b →→→⋅+=，|+a b →→. 【详解】2()4(2)2a a b a a b →→→→→→⋅+=+⋅=+-=，|+a b →→所以cos<,a a b →→→+>=()2||||a ab a a b →→→→→→⋅+==+. 故选：C 8．C 【详解】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．9．AC【分析】先化简复数z得，21i55z=-+，选项A利用复数的虚部的概念判定，选项B利用共轭复数的概念判定，选项C利用复数模的计算公式判定，选项D利用复数对应的点的坐标判定. 【详解】由题知，复数()()()i12ii21i 12i12i12i55 z+===-+ --+.复数21i55z=-+的虚部为15，故选项A正确；复数21i55z=-+的共轭复数为21i55z=--，故选项B错误；复数21i55z=-+的模z=C正确；复数21i55z=-+对应的点21,55⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选项D错误；故选：AC.10．AC【分析】选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.【详解】因为()12sin75cos75sin2752︒︒=⨯︒=，故选项A正确；因为25π512sin cos 21212π⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，故选项B 错误；因为()1sin 45cos15cos 45sin15sin 45152︒︒-︒︒=︒-︒=，故选项C 正确；因为()tan 20tan 251tan 20251tan 20tan 25︒+︒=︒+︒=-︒︒，整理得，tan 20tan 25tan 20tan 251︒+︒+︒︒=，故选项D 错误；故选：AC. 11．ABC 【分析】由数量积的运算律，向量模的几何意义，数量积的定义判断各选项．【详解】A 是向量数量积中乘法与加法的分配律，A 正确；B ．设OA a =，OB b =，则a b BA -=，,,O A B 三点不共线时，OA OB AB +>，所以a b a b -<+，,OA OB 反向时，OA OB AB +=，a b a b -=+，,OA OB 同向时，AB OA OB OA OB =-<+，a b a b -<+，所以a b a b -≤+成立，B 正确； C ．cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，C 正确；当a 与c 不共线时，一般()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅也是不共线的向量，不可能相等．D 错．故选：ABC ． 12．ABD 【分析】首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出3C π=，然后利用2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求出其范围即可. 【详解】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,)22a b c c C ab π+-==∈，所以3C π=.由正弦定理得2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以a b +∈故选：ABD 【点睛】本题考查的是正余弦定理和三角恒等变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 13．35【分析】利用任意角的三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，然后利用二倍角公式化简cos 2α后代值计算即可【详解】解：因为点P ⎝⎭是角α的终边与单位圆的交点，所以sin αα==所以22cos 2cos sin =-ααα22143555⎛=-=-=- ⎝⎭⎝⎭，故答案为：3514．3 【分析】由复数模的几何意义求解．【详解】1z =，则z 对应的点Z 在以原点为圆心，1为半径的圆上，1z -的最大值就是求圆上的点Z 到点(1,P 的距离的最大值，因为2PO =，所以最大值为213+=．故答案为：3．15【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解1DF =，21CF =，再利用运算律转化求AE BF ⋅即可. 【详解】∵AF AD DF =+，0AB AD ⋅=，∴()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==， ∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BE BC CF AB BC AB CFBE BC BE CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅， ∵)0,0,1AB BC BE CF AB CF AB CF cos π⋅=⋅=⋅=⋅=,122BE BC BE BC ⋅=⋅=⨯= ,)21222AE BF AB CF BE BC ∴⋅=⋅+⋅=-+=-16．750. 【分析】利用直角三角形求出AC ，由正弦定理求AM ，再利用直角三角形求出MN 的值．【详解】在Rt ABC ∆中，CAB 45,BC 500m ︒∠==，所以AC =，在AMC ∆中，MAC 75,MCA 60︒︒∠=∠=，从而AMC 45︒∠=，由正弦定理得：sin 45sin 60AC AM︒︒=，所以AM ==，在Rt MNA ∆中，AM MAN 60=∠=，由sin 60MNAM ︒=，得MN 750m ==．【点睛】本题以测量山高的实际问题为背景，考查正弦定理在解决实际问题中的应用，求解时要注意结合立体几何图形找到角之间的关系． 17．（1）c ＝2；（2）﹣13．【分析】（1）由余弦定理即可求得c 的值；（2）先由同角三角函数的平方关系求得sin A 的值，再由正弦定理求出sin B 的值，最后根据cos2B ＝1﹣2sin 2B ，得解．【详解】解：（1）由余弦定理知，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即48＝36+c 2﹣2×6×c ×（﹣13），整理得，c 2+4c ﹣12＝0，解得c ＝2或﹣6（舍负），故c ＝2．（2）∵cos A ＝﹣13，且A ∈(0，π），∴sin A ，由正弦定理知，sin sin a b A B=6sin B =，∴sin B ∴cos2B ＝1﹣2sin 2B ＝﹣13．18．（1）|z |2z i =+；（2）4m =-，5n =．【分析】（1）利用复数的运算法则求出2z i =-，由此能求出||z 和z ．（2）由复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，得到2(2)(2)0i m i n -+-+=，整理得()32(4)0m n m i ++-+=，由此能求出实数m ，n ．【详解】解：（1）复数55(12)1112(12)(12)i z i i i i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2）复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩，解得4m =-，5n =．【点睛】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．（1）(105,5c =-或(105,c =-；（2）223k =-. 【分析】（1）由条件设(2),c a λλλ-==25=，求出λ，即可得出答案.(2)由条件可得()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=，则()()20ka b a b -⋅+=，由此可得答案. 【详解】（1）//a c ，设(2),c a λλλ-==25c =25 25=.λ∴=，λ∴=±(105,5c =-或(105,c =-.（2）()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=()()2ka b a b -⊥+，()()20ka b a b ∴-⋅+=，即423()20)(5k k -+--=即322,k -=则223k =-20．（1）,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 22f x x x x =+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-+，即,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力. 21．答案见解析【分析】若选①和②：①化简由余弦定理可求得3B π=，则②利用和差角公式化简可得4A π=，进而由正弦定理可求得b 的值；若选①和③：①化简由余弦定理可求得3B π=，③利用三角形内角和及切化弦可化简为cos2sin 2sin cos 22sin 2CC C C C ==，进而求得2C π=，在在Rt ABC 中，tan 3b a π=即可求得结果. 若选②和③：②利用和差角公式化简可得4A π=或34B π=.③利用三角形内角和及切化弦可化简为cos2sin 2sin cos 22sin 2CC C C C ==，进而求得2C π=，则ABC 为等腰直角三角形，所以b a ==【详解】选择条件①和②.因为()()b a c b a c ac +--+=，所以222a c b ac +-=，由余弦定理，得2221cos 22a c b B ac +-==.因为0B π<<，所以3B π=.因为cos()sin()A B A B +=-，所以cos sin 33A A ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos sin sin sin cos cos sin 3333A A A A ππππ-=-，所以sin cos A A =. 因为0A π<<，所以4A π=.在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=sin sin 43b π=.所以3sin4b ππ==选择条件①和③.因为()()b a c b a c ac +--+=，所以222a c b ac +-=. 由余弦定理，得2221cos 22a c b B ac +-==.因为0B π<<，所以3B π=.因为tan sin 2A B C +=，且sincos22tan tan 22cos sin22CCA B C C C πππ-+-===-，所以cos2sin 2sin cos 22sin 2CC C C C ==. 因为0C π<<，所以cos 02C ≠，所以21sin 22C =.因为0C π<<，所以sin 02C >，所以sin 2C 2C π=.所以在Rt ABC中，tan3b a π==选择条件②和③.因为cos()sin()A B A B +=-，所以cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=-，所以(sin cos )(sin cos )0A A B B -+=. 所以sin cos A A =或sin cos B B =-. 因为0A π<<，0B π<<，所以4A π=或34B π=. 又因为tan sin 2A B C +=，且sincos22tan tan 22cos sin22CCA B C C C πππ-+-===-，所以cos2sin 2sin cos 22sin 2CC C C C ==. 因为0C π<<，所以cos02C ≠，所以21sin 22C =.因为0C π<<，所以sin 02C >，所以sin 2C 2C π=.在ABC 中，A B C π++=，所以4A π=，2C π=，4B π=.所以ABC为等腰直角三角形，所以b a ==【点睛】思路点晴：（1）先选择哪个条件，（2）再根据正余弦定理化简求值.22．（1）2；（2）21,0()1,0122,1m g m m m m m <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，()g m 的最大值为1．【分析】（1）根据,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+，变形为2AC CB =求解；（2）易得函数()22(cos )1f x x m m =-+-，然后令cos t x =，利用二次函数求解.【详解】（1）由题意可得,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+，可得2()3OC OA OB OA -=-，所以22()33AC AB AC CB ==+，即1233AC CB =，即2AC CB =，则2||AC CB =，所以||2||AC CB =；（2）由题意可得，(1,cos )OA x =，(1cos ,cos )OB x x =+， 1221cos ,cos 333OC OA OB x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，(cos ,0)AB OB OA x =-=，所以2()2||3f x OA OC m AB ⎫⎛=⋅-+ ⎪⎝⎭，2221cos cos 2cos 33x x m x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，22(cos )1x m m =-+-，令cos t x =，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[0,1]t ∈，令22()()1,[0,1]h t t m m t =-+-∈，当0m <时，()h t 在[0,1]递增， ()h t 的最小值为(0)1h =，即()1g m =；当01m ≤≤时，()h t 的最小值为2()1h m m =-，即2()1g m m =-；当1m 时，()h t 在[0,1]递减，()h t 的最小值为(1)22h m =-，即()22g m m =-．综上可得，21,0()1,0122,1m g m m m m m <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，g m的最大值为1．可得()。

2022-2023学年江苏省徐州市高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，则i 2033＝（） A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣12．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)．若p →∥q →，则角C 的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π23．复数z 满足z （1+i ）＝|1−√3i |，则复数z ＝（） A ．√2（cos π4+i sin π4）B ．√2（cos3π4+i sin3π4）C ．√2（cos π4−i sin π4）D ．√2（cos7π4−i sin7π4）4．定义：|a →×b →|=|a →||b →|sinθ，其中θ为向量a →，b →的夹角，若|a →|=2，|b →|=5，(a →+b →)⋅a →=−2，则|a →×b →|=（） A ．6B ．﹣6C ．﹣8D ．85．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC 中，BC AC=√5−12．根据这些信息，可求得cos144°的值为（）A ．1−√54B ．−√5−12C ．−√5+14D ．−3+√586．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则β＝（） A ．π4B ．π8C ．π3D ．π67．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →+PB →+PC →=0→；乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)；丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|；丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →．如果只有一个等式不成立，则该等式为（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知锐角三角形△ABC 的内角A ．B 、C 的对边的长分别为a 、b ，c ，且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（） A ．(1，√3]B ．(√32，√3] C ．(√32，32) D ．(12，√32)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9．已知复数z =12+√32i ，则下列结论正确的是（） A ．zz =1 B ．复数z 的虚部为√32i C ．z 2=zD ．若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值为210．下列等式成立的有（） A ．sin75°cos75°=12B ．1+tan15°1−tan15°=√3C ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1D ．1tanθ−1tan2θ=1sin2θ11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．AO →=14AB →+12AC →B ．|OA →+OB →+OC →|=√32C ．BD →⋅CE →=−1D ．ED →在BC →上的投影向量为712BC →12．在△ABC 中角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．则下列结论中正确的是（） A ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2BB ．若b 2+c 2﹣a 2＞0，则△ABC 是锐角三角形 C ．若a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是等腰三角形D ．若C ＝60°，c ＝2，则△ABC 面积的最大值为√3 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，则|a →+2b →|＝． 14．已知tan(α+π4)=−3，则tan α＝，sin(2α+π4)= ．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 m ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C ，则a 2+b 2c 2= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 1＝m +i ，z 2＝1﹣i ，m ∈R ．（1）当m ＝1时，求z 1⋅z 2的值；（2）若z 1﹣2z 2是纯虚数，求m 的值；（3）若z 1z 2在复平面上对应的点在第二象限，求m 的取值范围．18．（12分）已知向量a →、b →、c →在同一平面上，且a →=（3，2），b →=（﹣2，1）．（1）若k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值；（2）若c →=a →+x b →（其中x ∈R ），当|c →|取最小值时，求向量c →与b →的夹角大小． 19．（12分）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)．（1）求cos x 的值；（2）求sin(2x +π3)的值．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinB sinC=c+b a−b．（1）若a =2√3，b ＝2，求角B ；（2）设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为√3，求AD 长的最大值．21．（12分）已知函数为f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量p →=（a ，b ）为f （x ）的特征向量，f （x ）为p →的特征函数．（1）若g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)，求g （x ）的特征向量；（2）设向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）．记函数h （x ）＝p （x ）q（x）．（i）求h（x）的单调增区间；（ii）若方程ℎ(x)=23在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）．22．（12分）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心D处，C点为一居民小区，CD距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段AC为一边向圆外作等边三角形ABC，使改造之后的公园成四边形ABCD，并将△BCD区域建成免费开放的植物园，如图所示．（1）若DA⊥DC时，点B与出入口D的距离为多少米？（2）A设计在什么位置时，免费开放的植物园区域△BCD面积最大？并求此最大面积．2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，则i 2033＝（） A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：i 2033＝（i 4）508•i ＝i ．故选：A ．2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)．若p →∥q →，则角C 的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π2解：∵p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)，p →∥q →， ∴（c +a ）（c ﹣a ）＝b （b +a ），即c 2﹣a 2＝b 2+ab ， ∴c 2＝a 2+b 2+ab ，∴由余弦定理可得，﹣2cos C ＝1，解得cos C =−12， ∵C ∈（0，π），∴C =2π3．故选：C ．3．复数z 满足z （1+i ）＝|1−√3i |，则复数z ＝（） A ．√2（cos π4+i sin π4）B ．√2（cos3π4+i sin3π4）C ．√2（cos π4−i sin π4）D ．√2（cos 7π4−i sin7π4）解：z （1+i ）＝|1−√3i |=√12+(−√3)2=2，则z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，即z =√2(cos π4−isin π4)．故选：C ．4．定义：|a →×b →|=|a →||b →|sinθ，其中θ为向量a →，b →的夹角，若|a →|=2，|b →|=5，(a →+b →)⋅a →=−2，则|a →×b →|=（） A ．6B ．﹣6C ．﹣8D ．8解：因为(a →+b →)⋅a →=−2，所以a →2+a →⋅b →=−2，即|a →|2+|a →||b →|cosθ=−2，所以22+2×5×cos θ＝﹣2，所以cosθ=−35，因为0≤θ≤π，所以sinθ=45，所以|a →×b →|=|a →||b →|sinθ=2×5×45=8．故选：D ．5．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC 中，BC AC=√5−12．根据这些信息，可求得cos144°的值为（）A ．1−√54B ．−√5−12C ．−√5+14D ．−3+√58解：由图形知，∠A ＝36°，且12∠A ＝18°， sin18°=12×BC AC =12×√5−12=√5−14； ∴cos36°＝1﹣2sin 218＝1﹣2×（√5−14）2=1+√54； ∴cos144°＝cos （180°﹣36°）＝﹣cos36°=−1+√54．故选：C ．6．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则β＝（）A ．π4B ．π8C ．π3D ．π6解：∵α，β均为锐角，sin(β−α)=−√1010，cosα=√55， ∴cos(β−α)=3√1010，sinα=2√55，∴sin β＝sin[（β﹣α）+α]＝sin （β﹣α）cos α+cos （β﹣α）sin α=−√1010×√55+3√1010×2√55=√5010=√22，且β为锐角， ∴β=π4．故选：A ．7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →+PB →+PC →=0→；乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)；丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|；丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →．如果只有一个等式不成立，则该等式为（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解：对于甲：PA →+PB →+PC →=0→，设M 是BC 的中点，则PB →+PC →=2PM →，所以PA →=−2PM →，故P 点是PM 的靠近M 的三等分点，即该三角形的重心；对于乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)，移项整理得BA →⋅(PA →−PC →)=0，即BA →⋅CA →=0，故AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形；对于丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|，则P 为△ABC 的外心；对于丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →．则PA →•PB →−PB →•PC →=PB →•（PA →−PC →）=PB →•CA →=0，所以PB ⊥CA ，同理可得P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心，如果只有一个等式不成立，则该等式为乙．故选：B ．8．已知锐角三角形△ABC 的内角A ．B 、C 的对边的长分别为a 、b ，c ，且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（） A ．(1，√3]B ．(√32，√3]C ．(√32，32) D ．(12，√32)解：因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠0，故sin A =12，因为A 为锐角，故A =π6，由题意可得，{0＜B ＜12π0＜5π6−B ＜12π，解可得，13π＜B ＜12π，则cos B +sin C ＝cos B +sin （5π6−B ）＝cos B +12cos B +√32sinB =√32sinB +32cosB =√3sin （B +13π）∈(√32，32)．故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9．已知复数z =12+√32i ，则下列结论正确的是（） A ．zz =1 B ．复数z 的虚部为√32i C ．z 2=zD ．若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值为2解：因为z =12+√32i ，所以z =12−√32i ，所以zz =(12+√32i)(12−√32i)=14+34=1，故A 正确；复数z 的虚部为√32，故B 错误；z 2=(12+√32i)2=14−34+√32i =−12+√32i ，所以z 2≠z ，故C 错误；若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则点（a ，b ）的轨迹是以(12，√32)为圆心，半径为1的圆，所以|z 1|的最大值为√(12)2+(√32)2+1=2，故D 正确．故选：AD ．10．下列等式成立的有（） A ．sin75°cos75°=12B ．1+tan15°1−tan15°=√3C ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1D ．1tanθ−1tan2θ=1sin2θ解：对于A ，sin75°cos75°=12sin150°=14，故A 项错误；对于B ，1+tan15°1−tan15°=tan45°+tan15°1−tan45°tan15°=tan60°=√3，故B 项正确；对于C ，因为tan45°=tan(20°+25°)=tan20°+tan25°1−tan20°tan25°=1，所以tan20°+tan25°＝1﹣tan20°tan25°，所以tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1，故C 项正确；对于D ，1tanθ−1tan2θ=cosθsinθ−cos2θsin2θ=cosθsinθ−cos2θ2sinθcosθ=2cos 2θ−cos2θ2sinθcosθ=2×1+cos2θ2−cos2θ2sinθcosθ=12sinθcosθ=1sin2θ，故D 项正确．故选：BCD ．11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．AO →=14AB →+12AC →B ．|OA →+OB →+OC →|=√32C ．BD →⋅CE →=−1D ．ED →在BC →上的投影向量为712BC →解：已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，对于A 项，因为BD 与CE 交于点O ，则BO →，BD →共线，CO →，CE →共线，设CO →=λCE →，CE →=CA →+AE →=12AB →−AC →，则BO →=CO →−CB →=λCE →+BC →=−λAC →+12λAB →+AC →−AB →=(12λ−1)AB →+(1−λ)AC →，又BD →=AD →−AB →=−AB →+23AC →，因为BO →，BD →共线，设BO →=μBD →，即(12λ−1)AB →+(1−λ)AC →=−μAB →+2μ3AC →，因为AB →，AC →不共线，由平面向量基本定理可得：{12λ−1=−μ1−λ=2μ3，解得{λ=12μ=34，所以CO →=12×(−AC →+12AB →)=14AB →−12AC →，所以AO →=AC →+CO →=14AB →+12AC →，故A 项正确；对于B 项，由A 可知CO →=14AB →−12AC →，AO →=14AB →+12AC →，BO →=−34AB →+12AC →，所以AO →+BO →+CO →=−14AB →+12AC →，由向量的模的运算可得：|OA →+OB →+OC →|=|AO →+BO →+CO →|=√(−14AB →+12AC →)2=√116AB →2+14AC →2−2×14AB →⋅12AC →=√32，故B 项正确；对于C 项，由A 知BD →⋅CE →=(−AB →+23AC →)⋅(12AB →−AC →)=−12AB →2−23AC →+43AB →⋅AC →=−2−83+83=−2，故C 项错误；对于D 项，因为ED →=AD →−AE →=−12AB →+23AC →，BC →=−AB →+AC →，所以ED →⋅BC →=(−12AB →+23AC →)⋅(−AB →+AC →)=12AB →2+23AC →2−73AB →⋅AC →=2+83−73=73，又|BC →|=2，所以ED →在BC →上的投影向量为ED →⋅BC →|BC →|⋅BC →|BC →|=712BC →，故D 项正确．故选：ABD ．12．在△ABC 中角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．则下列结论中正确的是（） A ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2BB ．若b 2+c 2﹣a 2＞0，则△ABC 是锐角三角形 C ．若a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是等腰三角形D ．若C ＝60°，c ＝2，则△ABC 面积的最大值为√3 解：对于选项A ，已知a ＞b ，则sin A ＞sin B ，则cos2A ﹣cos2B ＝（1﹣2sin 2A ）﹣（1﹣2sin 2B ）＝2（sin 2B ﹣sin 2A ）＜0，即cos2A ＜cos2B ，即选项A 正确；对于选项B ，已知b 2+c 2﹣a 2＞0，则cosA =b 2+c 2−a 22bc＞0，即A 为锐角，则△ABC 不一定是锐角三角形，即选项B 错误；对于选项C ，已知若a 2tan B ＝b 2tan A ，则sin 2A ×sinB cosB =sin 2B ×sinAcosA，即sin A cos A ﹣cos B sin B ＝0，即sin2A ﹣sin2B ＝0，又2cos （A +B ）sin （A ﹣B ）＝0，﹣π＜A ﹣B ＜π或A +B =π2，则A ＝B 或C =π2，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，即选项C 错误；对于选项D ，已知C ＝60°，c ＝2，则c 2=a 2+b 2−2ab ×12，即a 2+b 2＝4+ab ≥2ab ，即ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，即S △ABC =12absinC ≤√34×4=√3，则△ABC 面积的最大值为√3，即选项D 正确．故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，则|a →+2b →|＝ √7 ．解：两个单位向量a →，b →的夹角为60°， ∴a →•b →=1×1×cos60°=12，∴(a →+2b →)2=a →2+4a →•b →+4b →2＝1+4×12+4×1＝7， ∴|a →+2b →|=√7．故答案为：√7．14．已知tan(α+π4)=−3，则tan α＝ 2 ，sin(2α+π4)= √210．解：由tan(α+π4)=−3，得tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−3⇒tanα=2，sin(2α+π4)=√22(sin2α+cos2α)=√22⋅2sinαcosα+cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=√22⋅2tanα+1−tan 2α1+tan 2α=√210．故答案为：2，√210． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 35√5 m ．解：如图所示：△BCD 中，CD ＝35m ，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝∠ACB +∠DCA ＝120°+15°＝135°，所以∠CBD ＝30°，由正弦定理得BD sin135°=35sin30°，解得BD ＝35√2（m ），△ACD 中，CD ＝35m ，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝135°+15°＝150°，所以∠CAD ＝15°，所以AD ＝CD ＝35（m ），△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ＝352+（35√2）2﹣2×35×35√2×cos135° ＝352×5，所以AB ＝35√5（m ），即A 、B 两点间的距离为35√5m ．故答案为：35√5．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C ，则a 2+b 2c 2= 9 ．解：tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C 可化为：sinA cosA ⋅sinBcosB=4×(sinA cosA+sinB cosB)×sinC cosC=4×(sinAcosB+cosAsinB cosAcosB )×sinCcosC=4×sin(A+B)cosAcosB ×sinC cosC =4sin 2CcosAcosBcosC ，故原式化为sin A sin B =4sin 2CcosC，由正余弦定理得：ab =4c 2a 2+b 2−c 22ab，化简得a 2+b 2c 2=9．故答案为：9．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 1＝m +i ，z 2＝1﹣i ，m ∈R ．（1）当m ＝1时，求z 1⋅z 2的值；（2）若z 1﹣2z 2是纯虚数，求m 的值；（3）若z 1z 2在复平面上对应的点在第二象限，求m 的取值范围．解：（1）当m ＝1时，z 1⋅z 2=（1﹣i ）（1﹣i ）＝1﹣2i +i 2＝﹣2i ；（2）由题意z 1﹣2z 2＝（m ﹣2）+3i 为纯虚数，则m ﹣2＝0，得m ＝2；（3）z 1z 2=m+i 1−i=(m+i)(1+i)(1−i)(1+i)=m+mi+i+i 22=m−12+m+12i ，z 1z 2在复平面上对应点的坐标为(m−12，m+12)，由题意得{m−12＜0m+12＞0，解得﹣1＜m ＜1．故m 的范围是（﹣1，1）．18．（12分）已知向量a →、b →、c →在同一平面上，且a →=（3，2），b →=（﹣2，1）．（1）若k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值；（2）若c →=a →+x b →（其中x ∈R ），当|c →|取最小值时，求向量c →与b →的夹角大小．解：（1）∵a →=（3，2），b →=（﹣2，1）， ∴k a →−b →=（3k +2，2k ﹣1），a →+2b →=(−1，4)， ∵k a →−b →与a →+2b →垂直，∴（k a →−b →）•（a →+2b →）＝﹣（3k +2）+4（2k ﹣1）＝5k ﹣6＝0，解得k =65．（2）∵c →=a →+x b →（其中x ∈R ），a →=（3，2），b →=（﹣2，1）， ∴c →=(3−2x ，2+x)，∴|c →|=√5x 2−8x +13=√5(x −45)2+495， ∴当x =45时，|c →|取得最小值7√55，此时c →=(75，145)， ∵b →=（﹣2，1），∴b →⋅c →=−2×75+1×145=0，即b →⋅c →=0，故向量c →与b →的夹角大小为π2．19．（12分）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)．（1）求cos x 的值；（2）求sin(2x +π3)的值．解：（1）∵cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)，故x −π4为锐角，∴sin （x −π4）=√1−cos 2(x −π4)=7√210，∴cos x ＝cos[π4+（x −π4）]＝cos π4cos （x −π4）﹣sin π4sin （x −π4）=√22×√210−7√210•√22=−35．（2）由（1）可得，sin x =√1−cos 2x =45，tan x =sinx cosx =−43，∴sin2x =2sinxcosx sin 2x+cos 2x =2tanx tan 2x+1=−2425，cos2x =cos 2x−sin 2x sin 2x+cos 2x=1−tan 2x tan 2x+1=−725，故 sin(2x +π3)=sin2x cos π3+cos2x sin π3=−2425×12+（−725）×√32=−24+7√350．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinB sinC=c+b a−b．（1）若a =2√3，b ＝2，求角B ；（2）设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为√3，求AD 长的最大值．解：（1）∵sinA+sinB sinC=c+b a−b ，∴正弦定理可得：a+b c=c+ba−b⇒a 2−b 2=bc +c 2，∴b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12，又A ∈（0，π），∴A =2π3， ∵a =2√3，b ＝2，∴在△ABC 中，由正弦定理得：a sinA=b sinB⇔√3√32=2sinB⇒sinB =12，∵b ＜a ⇔B ＜A ，∴B =π6；（2）∵S △ABC =12bcsin∠BAC =√34bc =√3⇒bc =4， AD 是∠BAC =2π3的角平分线，而S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ， ∴12×AB ×AD ×sinπ3+12×AC ×AD ×sinπ3=12×AB ×AC ×2π3，即（b +c ）AD ＝bc ，∴AD =bc b+c， ∵b ＞0，c ＞0，b +c ≥2√bc ，且bc ＝4， ∴AD =bc b+c ≤2bc=1，当且仅当b ＝c ＝2取等， ∴AD 最大值为1．21．（12分）已知函数为f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量p →=（a ，b ）为f （x ）的特征向量，f （x ）为p →的特征函数．（1）若g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)，求g （x ）的特征向量；（2）设向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）．记函数h （x ）＝p （x ）q（x ）．（i ）求h （x ）的单调增区间；（ii ）若方程ℎ(x)=23在（0，π）上的解为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）．解：（1）∵g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)=12sin x +√32cos x +√32cos x +12sin x ＝sin x +√3cos x ， ∴g （x ）的特征向量为p →=（1，√3）；（2）∵向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）， ∴p （x ）=√3sin x ﹣cos x ，q （x ）＝sin x +√3cos x ，∴h （x ）＝p （x ）q （x ）=√3sin 2x +2sin x cos x −√3cos 2x ＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3），（i ）令−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，k ∈Z ，则−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z ， ∴h （x ）的单调增区间为[−π12+k π，5π12+k π]，k ∈Z ；（ii ）ℎ(x)=23⇔2sin （2x −π3）=23，∴sin （2x −π3）=13， ∵（0，π），∴2x −π3∈（−π3，5π3），∴2x 1−π3+2x 2−π3=π，∴x 1+x 2=5π6，x 1=5π6−x 2， ∴cos （x 1﹣x 2）＝cos （5π6−2x 2）＝sin （2x 2−π3）=13．22．（12分）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心D 处，C 点为一居民小区，CD 距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点A ，并以线段AC 为一边向圆外作等边三角形ABC ，使改造之后的公园成四边形ABCD ，并将△BCD 区域建成免费开放的植物园，如图所示．（1）若DA ⊥DC 时，点B 与出入口D 的距离为多少米？（2）A 设计在什么位置时，免费开放的植物园区域△BCD 面积最大？并求此最大面积．解：（1）设∠DAC ＝θ，∵DA ⊥DC ，∴sinθ=25cosθ=15，在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcos(θ+π3)=1002+(100√5)2−2⋅100⋅(100√5)⋅(12cosθ−√32sinθ)=10000(5+2√3)，∴BD=100√5+2√3米．（2）设∠ADC＝α，∠ACD＝β，AC＝BC＝x，在△ACD中，x2＝1002+2002﹣2×100×200cosα＝50000﹣40000cosα①，cosβ=40000+x2−10000400x=30000+x2400x②，在△ACD中，由正弦定理得100sinβ=xsinα③，将①②③代入下式可得S△BCD=12BC⋅CDsin(β+π3)=50xsinβ+50√3xcosβ=10000√3+10000sin(α−π3)，∴当∠ADC=56π时，S max=10000(√3+1)m2．。

江苏省徐州市高一下学期期中数学试卷

江苏省徐州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·汉中期中) 给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列{an}满足an+1＞an（n∈N*），则该函数的图象是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·泰安月考) 设＝{1，2，3，4，5};，若＝{2}，，，则下列结论正确的是（）A . 且B . 且C . 且D . 且3. （2分） (2015高一下·广安期中) 在数列{an}中，a1=1，an+1= ，则a4等于（）A .B .C .D .4. （2分）在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于（）A . 15B . 12C . 9D . 65. （2分） (2017高一下·芜湖期末) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= ，b= ，∠A= ，则∠B=（）A .B . 或C . 或D .6. （2分） (2017高三上·济宁期末) 在等差数列{an}中，a3+a6=a4+5，且a2不大于1，则a8的取值范围是（）A . [9，+∞）B . （﹣∞，9]C . （9，+∞）D . （﹣∞，9）7. （2分）在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知则B的大小为（）A .B .C . 或D . 或8. （2分）已知等比数列的前n项和为,则下列一定成立的是（）A . 若则B . 若,则C . 若,则D . 若.则9. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 等比数列{an}的前n项和为Sn ，已知S3=a2+10a1 ， a5=9，则a1=（）A .B . -C .D . -10. （2分）已知{an}为等差数列，a2+a6=10，则a4等于（）A . 4B . 5C . 6D . 711. （2分）设等差数列的前n项和为，已知，则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .12. （2分）已知等比数列的前n项和为，且，，则=（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=________14. （1分） (2016高一下·枣强期中) 不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．15. （1分）行列式的最大值为________16. （1分） (2016高二上·黑龙江开学考) 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1+a3+a11=6，则S9=________．三、解答题： (共6题；共50分)17. （10分） (2016高二上·郑州期中) “城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100 米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y （x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？18. （10分）(2017·菏泽模拟) 在数列{an}中，a1=1， = + （n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1+a （n∈N*），求数列{2nbn}的前n项和Sn．19. （10分） (2017高三上·成都开学考) 已知f（x）= • ，其中 =（2cosx，﹣ sin2x）， =（cosx，1），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a= ，且向量 =（3，sinB）与 =（2，sinC）共线，求边长b和c的值．20. （5分）某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？21. （10分） (2016高一下·岳阳期中) 已知f（x）= sin2x+2+2cos2x．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．22. （5分）已知函数r（x）=lnx，函数h（x）= ．（Ⅰ）试求f（x）的单调区间．（Ⅱ）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：（Ⅲ）设数列{an}是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为Sn ，求证：当a=1时，Sn﹣2＜f（n）﹣．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

江苏省2021年高一下学期期中数学试卷B卷(精编)

x语文
人数
y数学
A
B
C
A
7
20
5
B
9
18
6
C
a
4
b
（Ⅰ）求抽取的学生人数；
（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；
（Ⅲ）已知a≥10，b≥8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率．
20. （5分）(2020高一上·芜湖期末)北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，求的值.
14. （1分）(2019高一下·上海期中)角终边上有点，且，则 ________
15. （1分）(2019高一下·揭阳期中)若，则 ________．
16. （1分）(2018高一下·合肥期末)如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
（公式：）
（1）求出关于的线性回归方程，若4月6日星夜温差，请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数；
（2）若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据，求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， (共12题；共24分)
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2019·湖北模拟)已知，则（）
A .
B .
C .
D .

江苏省2021年高一下学期数学期中考试试卷B卷(精编)

江苏省 2021 年高一下学期数学期中考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·中山月考) 已知扇形的周长是是（），面积是，则扇形的圆心角的弧度数A.8B.C . 8或 D.22. （2 分） (2019 高二上·宜昌月考) 已知向量，.若，则（）A. B. C. D.2 3. （2 分） (2019 高二下·牡丹江期末) 角的终边上一点，则（）A.B.C. 或第1页共8页D.或4. （2 分） (2019 高一上·长沙月考) 已知的三个顶点、、及平面内一点，若，则点与的位置关系是（）A . 在边上B . 在边上或其延长线上C. 在外部D. 在内部5. （2 分）函数 A . 最小正周期为的偶函数 B . 最小正周期为的奇函数是（）C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为的奇函数6.（2 分）(2019 高一下·宁波期中) 在 A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等腰三角形或直角三角形中，若，则的形状为（）7. （2 分） (2018 高一下·四川月考) 若A.或1，则B.第2页共8页的值为（）C.1D.8. （2 分） (2019 高三上·深圳月考) 若仅存在一个实数线对称，则 ω 的取值范围是（），使得曲线 C：关于直A.B.C.D.9. （2 分）已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心（三条中线的交点），AB 边的中点为 D．动点 P 满足，则点 P 一定为△ABC 的（）A . 线段 CD 的中点B . 线段 CD 靠近 C 的四等分点C . 重心D . 线段 CD 靠近 C 的三等分点10. （2 分） (2020 高二下·乌拉特前旗月考) 把函数函数图象的一条对称轴为（）A.的图象向左平移个单位后，所得B.C.D.第3页共8页11. （2 分） (2017 高一下·乌兰察布期末) 函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜分图象如图所示，则函数 f（x）的解析式为（））的部A.B. C.D. 12. （2 分） (2017 高一下·西安期中) 函数 A. B . [﹣π，0] C. D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)在下列哪个区间为增函数（）13. （1 分） (2019 高一上·仁寿期中) 函数的定义域为________．14. （1 分） (2020 高一下·宁波期中) 已知 tan =3，则________．15. （1 分） (2019 高一下·玉溪月考) 已知于________.，满足，，则等第4页共8页16. （1 分） (2019 高三上·宁波期末) 将函数的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图像，则增，则实数的取值范围是________________；若函数在区间上单调递三、解答题 (共 4 题；共 35 分)17. （5 分） (2020 高一下·东阳期中) 在 .中，内角所对的边分别是，已知（1）求的值；（2）若，的面积为 9，求的值.18. （10 分） (2019 高一上·昌吉月考) 已知平面向量。

江苏省2021年高一下学期期中数学试卷B卷

江苏省2021年高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若数列中，则其前n项和取最大值时，n=（）A . 3B . 6C . 7D . 6或72. （2分） (2019高一下·包头期中) 已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A . [-1，2]B . [-1， ]C . [- ，1]D . [-1，- ]3. （2分）在中，，则边a的长为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·虎林期中) 已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）B . 36C . 40D . 425. （2分）(2017高二下·河北期末) 已知为的导函数，若，且，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·桃江期中) △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，A=60°，b= ，则B=（）A . 45°B . 30°C . 60°D . 135°7. （2分）(2018高一下·泸州期末) 等比数列的各项均为正数，且，则A . 12B . 8D .8. （2分） (2020高一下·响水期中) 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，若，则的值为（）A . 3B . 1C . 2D .9. （2分）若右边的程序框图输出的S是126，则条件①可为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·安康月考) 已知满足不等式组，则的最大值为（）A . 2B . -2D . -1二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高一下·安徽期中) 在等差数列中，已知，，，则________．12. （1分） (2017高一上·珠海期末) f（x）= ，则f（x）的解集是________．13. （1分） (2020高一下·扬州期末) 如图，三棱锥中，平面平面，，若，则该三棱锥的体积的最大值为________.14. （1分）(2017·兰州模拟) 已知数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有=1成立，则S2017=________．15. （1分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2016高二上·集宁期中) 在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9（1）求{an}的通项公式；（2）这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值．17. （10分） (2019高二上·寿光月考) 已知等差数列的前n项和为，且，．数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．18. （10分） (2016高二上·桃江期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a﹣c= b，sinB= sinC．（1）求cosA的值；（2）求cos（A+ ）的值．19. （10分） (2019高一上·河南月考) 已知函数在区间上有最大值3和最小值-1.（1）求实数的值；（2）设，若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.20. （5分） (2019高一下·哈尔滨月考) 如图所示，某海岛上一观察哨上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得船在海岛北偏西的处，时分轮船到达位于海岛正西方且距海岛的港口，如果轮船始终匀速直线前进，求船速多少．四、附加题 (共3题；共30分)21. （5分） (2016高二上·西湖期中) 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元．工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨．问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值．22. （15分）(2014·上海理) 已知数列{an}满足an≤an+1≤3an ，n∈N* ， a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an ，若Sn≤Sn+1≤3Sn ，n∈N* ，求q的取值范围．（3）若a1 ， a2 ，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1 ， a2 ，…ak的公差．23. （10分）(2018·陕西模拟) 已知是数列的前项和，且满足 .（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、四、附加题 (共3题；共30分)21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。

江苏省2021版高一下学期期中数学试卷 B卷

江苏省2021版高一下学期期中数学试卷 B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·厦门模拟) 闰月年指农历里有闰月的年份，比如2020年是闰月年，4月23日至5月22日为农历四月，5月23日至6月20日为农历闰四月.农历置闰月是为了农历年的平均长度接近回归年：农历年中的朔望月的平均长度为29.5306日，日，回归年的总长度为365.2422日，两者相差10.875日.因此，每19年相差206.625日，约等于7个朔望月.这样每19年就有7个闰月年.以下是1640年至1694年间所有的闰月年：1640164216451648165116531656165916611664166716701672167516781680 1 6831686168916911694则从2020年至2049年，这30年间闰月年的个数为（）A . 10B . 11C . 12D . 132. （2分） (2020高一下·徐州期末) 下列叙述正确的是（）A . 频率是稳定的，概率是随机的B . 互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C . 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D . 若事件A发生的概率为P(A)，则3. （2分） (2020高一下·苏州期末) 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A . 中位数＞平均数＞众数B . 平均数＞众数＞中位数C . 众数＞平均数＞中位数D . 众数＞中位数＞平均数5. （2分）用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为（）A . －845B . 220C . 34D . －576. （2分） (2016高一下·湖南期中) 学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度﹣1381217饮料瓶数3405272122根据上表可得回归方程 = x+ 中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A . 141D . 2417. （2分） (2016高二上·枣阳期中) 如图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样调查后画出的频率分布直方图，其中第二组月收入在[1.5，2）千元的频数为300，则此次抽样的样本容量为（）A . 1000B . 2000C . 3000D . 40008. （2分）(2018·中山模拟) 执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A . 4B . 59. （2分）执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（）A . 2B . 3C . 9D . 2710. （2分） (2019高一上·乌拉特前旗月考) 若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143满足g(f(x))＝1的x值是（）．A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2017高二上·孝感期末) 设样本数据x1 ， x2 ，…，x20的均值和方差分别为1和8，若yi=2xi+3（i=1，2，…，20），则y1 ， y2 ，…，y20的均值和方差分别是（）A . 5，32B . 5，19C . 1，32D . 4，3512. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·佳木斯期末) 四进制的数化为10进制是________．14. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．15. （1分） (2019高三上·浙江月考) 1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是________.16. （1分）采取系统抽样的方法从1000名学生中抽出20名学生，将这1000名学生随机编号000～999号并分组：第一组000～049号，第二组050～099号，…，第二十组950～999号，若在第三组中抽得号码为122的学生，则在第十八组中抽得号码为：________的学生．三、解答题： (共6题；共40分)17. （10分） (2018高一下·佛山期中) 已知在中，三边长，，依次成等差数列．（1）若，求的值（2）若且，求的面积．18. （5分）如图茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和标准差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．19. （5分） (2018高二上·铜仁期中) 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：20. （5分） (2016高二下·海南期中) 甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜内任意时刻到达，甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．21. （10分）盒中有3个白球，2个红球，从中任取2个球．求：（1）取到的两球都是红球的概率．（2）取到一个白球，一个红球的概率．22. （5分） (2017高一下·桃江期末) 设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共40分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、。

江苏省2021年高一下学期期中数学试卷B卷

江苏省2021年高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·临沂期中) 已知等差数列{an}中，a5+a7= sinxdx，则a4+2a6+a8的值为（）A . 8B . 6C . 4D . 22. （2分） (2020高二上·湖南期中) 在△ABC中，，则（）A . 或B . 或C . 或D . 或3. （2分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于（）A . （2，4）B . （3，5）C . （﹣3，﹣5）D . （﹣2，﹣4）4. （2分） (2015高二上·东莞期末) 在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A . 等腰直角三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等腰或直角三角形5. （2分） (2016高一下·东莞期中) 已知 =（1，﹣2）， =（1，λ），且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A . （，2）∪（2，+∞）B . （，+∞）C . （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）D . （﹣∞，）6. （2分）(2019·乌鲁木齐模拟) 公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·荔湾期末) 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A . （1，2）B . （2，+∞）C . [3，+∞）D . （3，+∞）8. （2分） (2019高一上·北碚月考) 若向量，则在方向上的投影是（）A . 1B . -1C .D .9. （2分） (2016高二上·厦门期中) 在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A . 12B .C . 28D .10. （2分） (2016高二上·福州期中) 等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn ，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 611. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．若4a2=b2+c2+2bc，sin2A=sinB•sinC，则△ABC的形状的形状为（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形12. （2分） (2019高一下·扶余期末) 在中，角的对边分别是，若，则（）A . 5B .C . 4D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）等比数列{an}中，已知a1=1，公比q=2，则a2和a8的等比中项为 ________．14. （1分）(2017·龙岩模拟) 已知数列{an}满足：a1=﹣2，a2=1，且an+1=﹣（an+an+2），则{an}的前n项和Sn=________．15. （1分） (2016高一下·湖北期中) 如图，在△ABC中，已知∠BAC= ，| |=2，| |=3，点D 为边BC上一点，满足 +2 =3 ，点E是AD上一点，满足 =2 ，则| |=________．16. （1分）(2017·朝阳模拟) 若平面向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣1），且⊥ ，则sin2θ的值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高一下·桂林期中) 已知向量， .（1）若，求的值；（2）记，求的单调递增区间.18. （10分） (2019高三上·江西月考) 已知数列有，是它的前项和，且．（1）求证：数列为等差数列.（2）求的前项和 .19. （10分） (2019高一下·雅安期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .（1）求角A的大小；（2）若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a.20. （5分） (2018高二上·惠来期中) 已知数列的前项和为，且数列中，，点在直线上.（Ⅰ）求数列 , 的通项和；（Ⅱ）设，求数列的前n项和，21. （10分）(2019·浙江) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=4.a4=S3 ，数列{bn}满足：对每个n∈N* ， Sn+bn ， Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列（1）求数列{an}，{bn}的通项公式（2）记Cn= ，n∈N* ，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*22. （10分）(2020·普陀模拟) 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.。

江苏省2021版高一下学期数学期中考试试卷B卷(新版)

江苏省2021版高一下学期数学期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一下·柳江期末) （）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二上·新疆期中) 若的三角，则A、B、C分别所对边 =（）A .B .C .D .3. （2分）在平行四边形中，为一条对角线，，则（）A .B .C .D .4. （2分）已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和100，那么a6•a15最大值是（）A . 25B . 50C . 100D . 不存在5. （2分）定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·四川月考) 已知，则为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·苍南月考) △ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A ＝30°；③c＝6，b＝3 ，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是（）A . ①②B . ①④C . ①②③D . ③④8. （2分） (2019高二下·汕头期中) 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·郑州期末) 在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若• ≥ • ，则λ的取值范围是（）A . [ ，1]B . [ ，1]C . [ ， ]D . [ ， ]10. （2分） (2019高一上·河南月考) 已知正方体的表面积为24，点M是线段上靠近A的四等分点，平面平面，记，则（）A .B .C .D .二、双空题 (共3题；共4分)11. （1分） (2016高一下·溧水期中) 设平面向量 =（﹣1，2）， =（2，b），若，则等于________．12. （2分）已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n ，则数列{an}的通项公式为________13. （1分） (2017高一上·吉林期末) 已知＜α＜π，0＜β＜，tanα=﹣，cos（β﹣α）= ，则sinβ的值为________．三、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2019高二上·开福月考) 已知函数的部分图象如图所示，则 ________.15. （1分） (2020高一下·天津期末) 在中，，，，，则 ________；设，且，则的值为________.16. （1分）若数列的前5项为6，66，666，6666，66666，…，写出它的一个通项公式是________．四、解答题 (共4题；共35分)17. （10分） (2020高一下·应城期中) 已知，且 .（1）求的值；（2）若，，求的值.18. （10分） (2017高一下·武汉期中) 设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值．19. （5分） (2019高一下·丽水月考) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角B的大小；（2）若，，求的面积．20. （10分） (2019高一下·丽水期中) 已知正数数列的前项和为，且满足；在数列中，（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为 . 若对任意，存在实数，使恒成立，求的最小值；（3）记数列的前项和为，证明： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、双空题 (共3题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共4题；共35分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。

江苏省2021-2022学年高一下学期期中数学试卷B卷

江苏省 2021-2022 学年高一下学期期中数学试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、填空题 (共 14 题；共 15 分)1. （2 分） (2020 高一上·东丽期末) 函数的定义域是________，最小正周期是________．2. （1 分）已知 lgcosx=﹣ ，则 cos2x=________3. （1 分） (2020·贵州模拟) 设为第二象限角，若，则________.4. （1 分） (2019 高一下·中山月考) 将函数图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，再将所得函数的图象向右平移个单位，所得函数的图象的解析式为________.5. （1 分） (2020 高二下·商丘期末) 已知是等差数列，是等比数列，且，. 则数列的前 n 项和为________.6. （1 分）已知 cosα=﹣ ，且 α∈（，π），则 tan（ ﹣α）=________．7. （1 分） (2018 高一下·北京期中) 北京 101 中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在 A 处，图书馆在 B 处，为测量 A，B 两地之间的距离，某同学选定了与 A，B 不共线的 C 处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C， AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B. 其中一定能唯一确定 A，B 两地之间的距离的所有方案的序号是________.8. （1 分） (2020 高一下·哈尔滨期末) 已知数列的前 n 项和为，点在的图像上，，数列通项为________.第 1 页共 15 页9. （1 分） (2018 高三上·张家口期末) 已知，，若，，且的三个内角，，所对的边分别为，，则 ________．10. （1 分） (2017·三明模拟) 已知，则值为 ________．11. （1 分） (2018 高三上·长春期中) 在中，内角的对边分别是，则最小角的正弦值等于________.，若12. （1 分） (2018 高二下·双鸭山月考) 已知点 ________。

2021年高一下学期期中检测数学试题含答案

注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 等差数列的通项公式是，则此数列的公差为▲ .2. = ▲ .3. 等比数列中，则此数列的公比是▲.4. 在△ABC中，已知，则等于▲.5. 若数列是等比数列，且则= ▲.6. 已知为等差数列的前项和，若，则的值为▲.7. 在△ABC中，已知，则△ABC的面积等于▲.8. 已知，则= ▲.9. 某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有▲个座位.10. △ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则角C＝▲.11. 已知是各项都为正数的等比数列，是其前项和，若,则▲.12. 已知，则= ▲.13. 下列说法：①设都是锐角，则必有②在中，若, 则为锐角三角形．③在中，若, 则；则其中正确命题的序号是▲.14. 已知数列满足，，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得= ▲.二、解答题：（本大题共6题计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．16．（本题满分14分）已知数列是首项为1的等差数列，数列是等比数列，设，且数列的前三项分别为3,6,11（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前10项和；17．（本题满分15分）已知71tan ,21)tan(),,0(,-==-∈ββαπβα且（1）计算、的值（2）求的值．18．（本题满分15分）为了测量河对岸两点A,B 之间的距离，在河岸的这一边取相距的C,D 两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，设A ，B ，C ，D 在同一个平面内，试求A,B 两点之间的距离A B DC19.(本题满分16分) 若已知数列是首项为，公差为6的等差数列；数列的前n 项和为.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列是等比数列. 试证明：对于任意的，均存在正整数，使得，并求数列的前n 项和.20．(本题满分16分) 已知数列，满足⑴若数列是等差数列，求证是等比数列； ⑵若数列的前项和为①设对于任意的正整数，恒有)1211()1211)(1211)(1211(1321-+-+-+-+>n n b b b b a λ 成立，试求实数的取值范围.②若数列满足，问数列中是否存在不同的三项成等比数列？如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.宝应中学高一数学期中参考答案与评分标准一、填空题（每题5分，共70分）1.-1；2.；3.-2；4. ；5. 3；6. 81；7. ； 8. ； 9. 820； 10. ； 11. 1612.； 13.①； 14.二、解答题：（本大题共6题,计90分）15.解：（1）∵，从而．……………………2分又, ∴ …………………………4分∴, ∴ ………………………………7分（2）∵为锐角，，∴． ……………………………………8分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分==． ……………14分注：其他解法，请相应给分。

江苏省2021-2022学年高一下学期期中数学试卷B卷(精编)

江苏省2021-2022学年高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知sinα=-且α在第三象限，则tan（π+α）等于（）A .B . -C .D . -2. （2分）已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n (m、n∈R)，则等于（）A .B . 3C .D .3. （2分） (2020高一下·扬州期末) 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（）A . 等腰直角三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形4. （2分） (2020高三上·河津月考) 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列判断正确的是（）A . 函数的最小正周期为B . 函数图象关于直线对称C . 函数在区间上单调递减D . 函数图象关于点对称5. （2分）(2018·栖霞模拟) 已知向量，，且，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）在中,，则一定是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形7. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 已知角θ的终边过点（2，3），则tan（+θ）等于（）A . ﹣B .C . ﹣5D . 58. （2分） (2017高一上·宜昌期末) 已知向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣2），若∥ ，则代数式的值是（）A .B .C . 5D .9. （2分） (2020高三上·湖北月考) 若，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高三上·晋江期中) 角α的终边过函数y=loga（x﹣3）+2的定点P，则sin2α+cos2α=（）A .B .C . 4D . 511. （2分） (2019高三上·德州期中) 已知，为单位向量，设与的夹角为，则与- 的夹角为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·南充模拟) 在中，角 , , 所对的边分别为，且，，若，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·湖北期末) 在中，，，对应边分别为a，b，c，且，，，则的边 ________.14. （1分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=________15. （1分）(2018·孝义模拟) 已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是________．16. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 已知，且与的夹角，则________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）圆的切线与椭圆相交于、两点，证明：为钝角．18. （10分）已知函数f（x）=2sin（2ωx+ ）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．19. （10分） (2020高二上·娄底开学考) 已知（1）求的解析式及其最小正周期；（2）求的单调增区间．20. （10分） (2015高三上·辽宁期中) 已知f（x）= sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f（C）=0，若 =（1，sinA）与 =（2，sinB）共线，求a，b的值．21. （10分） (2020高一下·大庆期中) 已知在中，角的对边分别为 ,且.（1）求b的值；（2）若 ,求的取值范围.22. （5分） (2015高一下·忻州期中) 已知向量 =（2cos2x，sinx）， =（1，2cosx）．（Ⅰ）若⊥ 且0＜x＜π，试求x的值；（Ⅱ）设f（x）= • ，试求f（x）的对称轴方程和对称中心．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。