运筹学课件第三运章输问题共32页文档
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运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
运筹学3.运输问题
21
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
第三章 运输问题 运筹学 PPT课件
定理： 若变量组 x ,x , i1j1 i2j2 ,xisjs
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
运筹学课件第三章运输问题
b.在用闭回路法调整当前基本可行解时，调整量θ的取值应为θ＝min{xij/( i,j )为闭回路上所有偶数号格点}。这时可能出现有两个（或以上）偶数号格点的xij都相等且都为极小值，只能取其中一个为离基格，其余的仍作为基格，而在作运输量调整时，运输量与θ相等的那些偶数号格点的xij都将调整为0，因此得到的也是一个退化了的基可行解。
1、闭回路法
产地
B1
检验数表
产地
B1
由于 ，故知解不是最优解。
2、对偶变量法（也称位势法）
对产销平衡问题，若用 分别表示前m个约束条件与后n个约束条件的对偶变量，即有对偶变量
这时对偶问题的对偶规划写成
由上一章知道，线性规划问题变量xj的检验数可表示为
由此可写出运输问题某变量xij的检验数如下：
现设我们已得到解到了运输问题的一个基可行解，其基变量是
假定为产销平衡问题，即有
运输表：
产地
运价表：
产地
例：如下图示出了一个运输系统，它包括两个产地、两个销地及一个中转站，各产地产量和各销地销量用相应节点处箭线旁的数字表示，节点连线上的数字表示其间的运输单价，节点旁的数字为该地的转运单价，试确定最优运输方案。
解：
产地
1
用最小元素法得初始运输方案，最经过2次迭代得最优解,总运费300。
则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型如下：
这就是运输问题的数学模型，它包含m×n个变量，(n十m)个约束方程．其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
二、运输问题数学模型的特点
1、运输问题有有限最优解，即必有最优基本可行解
2
该系数矩陈中对应于变量xij的系数向量pij，其分量中除第i个和第m十j个为1以外，其余的都为零．即
1、闭回路法
产地
B1
检验数表
产地
B1
由于 ，故知解不是最优解。
2、对偶变量法（也称位势法）
对产销平衡问题，若用 分别表示前m个约束条件与后n个约束条件的对偶变量，即有对偶变量
这时对偶问题的对偶规划写成
由上一章知道，线性规划问题变量xj的检验数可表示为
由此可写出运输问题某变量xij的检验数如下：
现设我们已得到解到了运输问题的一个基可行解，其基变量是
假定为产销平衡问题，即有
运输表：
产地
运价表：
产地
例：如下图示出了一个运输系统，它包括两个产地、两个销地及一个中转站，各产地产量和各销地销量用相应节点处箭线旁的数字表示，节点连线上的数字表示其间的运输单价，节点旁的数字为该地的转运单价，试确定最优运输方案。
解：
产地
1
用最小元素法得初始运输方案，最经过2次迭代得最优解,总运费300。
则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型如下：
这就是运输问题的数学模型，它包含m×n个变量，(n十m)个约束方程．其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
二、运输问题数学模型的特点
1、运输问题有有限最优解，即必有最优基本可行解
2
该系数矩陈中对应于变量xij的系数向量pij，其分量中除第i个和第m十j个为1以外，其余的都为零．即
管理运筹学讲义第3章运输问题
为水平的，或为垂直的； • ② 闭回路的每一条边（水平的或垂直的）均有 且仅有两个顶点（基变量格）。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
运筹学(第三章)PPT课件
2
（8）
8
8
B2 12
10
（14） 5
14
B3 4
（10）
3
（2）
11
12
B4
产量
11
（6）
16
9
10
6
（8）
22
14
48
-
18
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1
4
1
2
（8）
8
10
8
B2
12
2
10
1 （14） 5
14
B3
4
（10）
3
（2）
11
12
12
B4
产量
11
（6）
16
9
-1
10
6
（8）
22
14
B1 3
4 11
6
4
B2 12
2 3
7
3
B3 3
5
1 5 5
B4
4 2
9
5 4 6
B5
产
(虚销地) 量
2
08
2
05
09
4
22
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 3
4 11
6
4
B2 12
2 3
7
3
B3 3
5
1 5 5
B4
4 2
9
5 4 6
B5
产
(虚销地) 量
08 2
2
05
-1
09
4
22
销地 产地 A1
（8）
14
（8）
8
8
B2 12
10
（14） 5
14
B3 4
（10）
3
（2）
11
12
B4
产量
11
（6）
16
9
10
6
（8）
22
14
48
-
18
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1
4
1
2
（8）
8
10
8
B2
12
2
10
1 （14） 5
14
B3
4
（10）
3
（2）
11
12
12
B4
产量
11
（6）
16
9
-1
10
6
（8）
22
14
B1 3
4 11
6
4
B2 12
2 3
7
3
B3 3
5
1 5 5
B4
4 2
9
5 4 6
B5
产
(虚销地) 量
2
08
2
05
09
4
22
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 3
4 11
6
4
B2 12
2 3
7
3
B3 3
5
1 5 5
B4
4 2
9
5 4 6
B5
产
(虚销地) 量
08 2
2
05
-1
09
4
22
销地 产地 A1
（8）
14
运筹学课件 第三章 运输问题
2、确定初始方案的步骤： （1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
a 第 i 个产地的产量全部运到 i b 满足第 j 个销地需求 j 第 j 个销地
将具体数值填入xij在表中的位置；
运筹学教程
（2）调整产销剩余数量：从ai 和bj 中分别减去xij 的值， 若ai-xij=0，则划去产地Ai 所在的行，即该产地产量已 全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai；若bj-xij =0，则划去销地Bj 所在的列，说明该销地需求已得到 满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj； （3）当作业表中所有的行或列均被划去，说明所有的 产量均已运到各个销地，需求全部满足，xij 的取值构 成初始方案。否则，在作业表剩余的格子中选择下一 个决策变量，返回步骤（2）。
作业3的截止日期：第9周
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是零向量，说明m+n 个行向量线性相关，因此
的秩小于m+n； ？
由 的第二至m+n行和前n列及 x 21 , x 31 , , x m对 A 1 应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
作业2的截止日期：第8周
运筹学教程
作业3:将作业2做成ppt，数量不小于15幅，将形成的文件以附 件形式发到下列邮箱： 1+0501：yunchouxue1_0501@ 1+0502： yunchouxue1_0502@
要求： 1、数学模型用数学公式编辑器写。 2、主题：学号姓名3（052820528刘学菊3） 3、附件文件名称：学号姓名3 （052820528刘学菊3）
运筹学课件：第三章 运输问题[1]
![运筹学课件：第三章 运输问题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2704103ce009581b6ad9eb1f.png)
实例
某公司下属两个工厂，生产同一种产品。产品均可运往三个中心 仓库去销售。已知每个工厂的产量，各仓库的销量及各工厂到每 个仓库的运输单价如下表所示。问如何组织调运可使生产与运输 的总费用最少?
Operation Research
运输问题的数学模型（2）
建立模型
第七讲
Operation Research
运输问题检验数的计算公式
第七讲
求解检验数的关键在于如何确定ui和vj
Operation Research 求解ui和vj
第七讲
Operation Research
表上作业法（8）
第七讲
运输问题解的讨论
有无穷多最优解
空格（非基变量）的检验数全部大于等于0，并且某个空格（非基变量） 的检验数为0。
Operation Research
运输问题的数学模型（4）
建立模型
第七讲
Operation Research
第七讲
运输问题的数学模型（5）
Operation Research
运输问题的特征（1）
产销平衡的运输问题必有可行解也必有最优解 运输问题的约束条件矩阵属于大型稀疏矩阵
第七讲
Operation Research
Operation Research
表上作业法（4）
第七讲
确定初始基可行解——伏格尔（Vogel)法
基本思路：元素差额法，在一行（或一列）中，算出最小元素和 次小元素的差额，如果差额很大，则优先用最小元素所对应的供 应关系供应。
方法：
（1）分别计算各行和各列的最小运费和次小运费差额，并填入表中；
在整个运输系统内部，各类点之间的运输关系为：
Q
某公司下属两个工厂，生产同一种产品。产品均可运往三个中心 仓库去销售。已知每个工厂的产量，各仓库的销量及各工厂到每 个仓库的运输单价如下表所示。问如何组织调运可使生产与运输 的总费用最少?
Operation Research
运输问题的数学模型（2）
建立模型
第七讲
Operation Research
运输问题检验数的计算公式
第七讲
求解检验数的关键在于如何确定ui和vj
Operation Research 求解ui和vj
第七讲
Operation Research
表上作业法（8）
第七讲
运输问题解的讨论
有无穷多最优解
空格（非基变量）的检验数全部大于等于0，并且某个空格（非基变量） 的检验数为0。
Operation Research
运输问题的数学模型（4）
建立模型
第七讲
Operation Research
第七讲
运输问题的数学模型（5）
Operation Research
运输问题的特征（1）
产销平衡的运输问题必有可行解也必有最优解 运输问题的约束条件矩阵属于大型稀疏矩阵
第七讲
Operation Research
Operation Research
表上作业法（4）
第七讲
确定初始基可行解——伏格尔（Vogel)法
基本思路：元素差额法，在一行（或一列）中，算出最小元素和 次小元素的差额，如果差额很大，则优先用最小元素所对应的供 应关系供应。
方法：
（1）分别计算各行和各列的最小运费和次小运费差额，并填入表中；
在整个运输系统内部，各类点之间的运输关系为：
Q
运筹学第三章运输问题课件
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ 16 14 19 M
Ⅰ’’ 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
12
A B C D
2015年6月10日星期三
第二步见表3-6，3-7
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
cij xij
i 1 j 1
2015年6月10日星期三
5
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
m n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
0
0
5
-18
2015年6月10日星期三
20
3.表中还有负检验数。说明未得最优解，利用闭回路调 整法，见表3-21
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ’’
A B C D 销量(万吨)
(-10) 30 10 10 (+10)
50 20 30 (-10) 0 (+10) 70 30 10 10
30
20
' cij cij,
' cij 0,
当 i=1,…，m，j=1,…，n时 当 i=1,„，m，j=n+1时
将其分别代入，得到
' ' min z ' cij xij cij xij ci' , n 1 i 1 j 1 m n i 1 j 1 i 1 m n 1 m n m
运筹08(第三章运输问题)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
3
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
3
0
A2 A3
销量
3
1 7
4 9
1 3
0 0 20
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
12
2012-8-18
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。 （或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
2012-8-18
13
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价 产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量 （吨） 7 4
A1 A2
A3
销量（吨）
2012-8-18
7
3
4
6
10
5
5
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
3
0
A2 A3
销量
3
1 7
4 9
1 3
0 0 20
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
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2012-8-18
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。 （或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
2012-8-18
13
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价 产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量 （吨） 7 4
A1 A2
A3
销量（吨）
2012-8-18
7
3
4
6
10
5
5
苏州大学运筹学课件第三章运输问题-第三章运输问题
3 约束条件
运输问题的约束条件包括供应量、需求量和运输容量的限制。输问题，优
对偶单纯形法
2
化运输方案。
利用对偶问题的方法，求解原问题的最 优解。
最小费用流问题
定义
最小费用流问题是一种网络流问题，旨在找到具有最小总费用的最大流。
无环最小费用流算法
通过寻找环路并调整流量以最小化费用，不断迭代找到最优解。
费用流平衡算法
确保网络中的流量平衡，以满足所有约束和需求。
超额流问题
1
定义
超额流问题是一种网络流问题，旨在找到最大总流量的流，不考虑费用。
2
算法
通过寻找增广路径，并调整流量以满足约束条件，迭代求解最大流问题。
运输问题的应用
生产调度
通过优化物流方案，提高生产线 的效率和产量。
供应链管理
优化供应链中的物流流程，降低 成本并提高响应速度。
市场营销
通过合理规划物流，快速将产品 送达市场，提高销售和客户满意 度。
小结
本章我们学习了运输问题的概述，包括单纯形法、最小费用流问题和超额流问题的解决方法，以及运输问题在 生产调度、供应链管理和市场营销中的应用。掌握这些知识可以帮助我们优化物流方案，提高效率和客户满意 度。
苏州大学运筹学课件第三 章运输问题ppt-第三章运 输问题
在本章中，我们将学习运输问题的概述和解决方法，包括单纯形法、最小费 用流问题、超额流问题以及运输问题的应用。让我们开始吧！
运输问题概述
1 定义
运输问题是一种优化问题，旨在找到最佳的物流方案，以满足所有需求和约束条件。
2 目标函数
我们的目标是最小化总运输成本或最大化总运输利润。
运输问题的约束条件包括供应量、需求量和运输容量的限制。输问题，优
对偶单纯形法
2
化运输方案。
利用对偶问题的方法，求解原问题的最 优解。
最小费用流问题
定义
最小费用流问题是一种网络流问题，旨在找到具有最小总费用的最大流。
无环最小费用流算法
通过寻找环路并调整流量以最小化费用，不断迭代找到最优解。
费用流平衡算法
确保网络中的流量平衡，以满足所有约束和需求。
超额流问题
1
定义
超额流问题是一种网络流问题，旨在找到最大总流量的流，不考虑费用。
2
算法
通过寻找增广路径，并调整流量以满足约束条件，迭代求解最大流问题。
运输问题的应用
生产调度
通过优化物流方案，提高生产线 的效率和产量。
供应链管理
优化供应链中的物流流程，降低 成本并提高响应速度。
市场营销
通过合理规划物流，快速将产品 送达市场，提高销售和客户满意 度。
小结
本章我们学习了运输问题的概述，包括单纯形法、最小费用流问题和超额流问题的解决方法，以及运输问题在 生产调度、供应链管理和市场营销中的应用。掌握这些知识可以帮助我们优化物流方案，提高效率和客户满意 度。
苏州大学运筹学课件第三 章运输问题ppt-第三章运 输问题
在本章中，我们将学习运输问题的概述和解决方法，包括单纯形法、最小费 用流问题、超额流问题以及运输问题的应用。让我们开始吧！
运输问题概述
1 定义
运输问题是一种优化问题，旨在找到最佳的物流方案，以满足所有需求和约束条件。
2 目标函数
我们的目标是最小化总运输成本或最大化总运输利润。
运筹学课件 3-运输问题
2020/4/6
运输• 规例3划.1 某问公题司从的两个数产学地A模1、型A2将物品运往三个销 地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问： 应如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
• 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。即 P对ij产=(销0,平…衡,的1,运0,输…问,0题,1，,0由,…于,有0)以T=下ei+关em系+j 式存在：
n
bj
j 1
m
i 1
n
xij
j 1
n
m
xij
j1 i1
m
ai
i 1
2020/4/6
第1节 运输问题的数学模型
n
bj
表上作业法 方法一：闭回路法 闭回路的概念 为了求某个空格(非基变量)的检验数，先要找出它在 运输表上的闭回路，这个闭回路的顶点，除这个空格外， 其它均为填有数字的格(基变量格)，它是由水平线段和竖 直线段依次联接这些顶点构成的一封闭多边形。每个空格 都唯一存在这样的一条闭回路。
2020/4/6
表上作业法 • 例下表中闭回路的变量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31}共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连 接起来，组成一条封闭的回路。
2020/4/6
运输规划问题的数学模型
2020/4/6
• 解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 • 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
运输• 规例3划.1 某问公题司从的两个数产学地A模1、型A2将物品运往三个销 地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问： 应如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
• 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。即 P对ij产=(销0,平…衡,的1,运0,输…问,0题,1，,0由,…于,有0)以T=下ei+关em系+j 式存在：
n
bj
j 1
m
i 1
n
xij
j 1
n
m
xij
j1 i1
m
ai
i 1
2020/4/6
第1节 运输问题的数学模型
n
bj
表上作业法 方法一：闭回路法 闭回路的概念 为了求某个空格(非基变量)的检验数，先要找出它在 运输表上的闭回路，这个闭回路的顶点，除这个空格外， 其它均为填有数字的格(基变量格)，它是由水平线段和竖 直线段依次联接这些顶点构成的一封闭多边形。每个空格 都唯一存在这样的一条闭回路。
2020/4/6
表上作业法 • 例下表中闭回路的变量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31}共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连 接起来，组成一条封闭的回路。
2020/4/6
运输规划问题的数学模型
2020/4/6
• 解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 • 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
运筹学课件 第三章 运输问题----数学模型及其解法
例3.2.1
销地 1 运费 产地 1 2 3 销量 bj 产量 2 3 4
ai
20 11 3 6 5 5 9 10 2 10 18 7 4 1 15 3 3 12 12
4
例3.2.1 西北角法
销地 运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3Байду номын сангаас
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
©管理与人文学院
1999，4
忻展红
第三章 运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。 假舆马者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而绝江河。君子生非 异也，善假于物也。 荀子《劝学》
3.1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销 地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单 位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
2 1 2
0/6
2 0 1
ui
分配表{x ij }
5 3 3 4+ 3 x 32 7 8 3 12 12
分配表{x ij }
5 10 15
OBJ=101
运费表{ z ij / w ij }
3 / 20 6 / 11
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
4
7 7
2 1 1
1 1 0
5 3 3 3 3 7 7 5 12 12
销地 1 运费 产地 1 2 3 销量 bj 产量 2 3 4
ai
20 11 3 6 5 5 9 10 2 10 18 7 4 1 15 3 3 12 12
4
例3.2.1 西北角法
销地 运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3Байду номын сангаас
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
©管理与人文学院
1999，4
忻展红
第三章 运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。 假舆马者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而绝江河。君子生非 异也，善假于物也。 荀子《劝学》
3.1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销 地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单 位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
2 1 2
0/6
2 0 1
ui
分配表{x ij }
5 3 3 4+ 3 x 32 7 8 3 12 12
分配表{x ij }
5 10 15
OBJ=101
运费表{ z ij / w ij }
3 / 20 6 / 11
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
4
7 7
2 1 1
1 1 0
5 3 3 3 3 7 7 5 12 12
运筹学课件ch3运输问题
地（记作B1，B2，…，Bn），其需要量分别为b1,b2，…，
bn；且产销平衡，即
m
n
。 ai bj
i1
j 1
从第i个产地到j 个销地的单位运价为cij ，
问：在满足各地需要的前提下，求总运输费用最小的调运方
案。 即Ai——Bj 的运量xij 使
mn
min z
cij xij
2019/11/11
运筹学课件
初始基础可行解—最小元素法（1）
1 6 1
8 2
5 3
22
2019/11/11
2
3
4
7
5
3
4
2
7
12
9
10
6
13
12
13
0
运筹学课件
14 27 15 19
最小元素法（2）
1 6 1
8 2
5 3
22
2019/11/11
2
3
4
7
5
3
14 1
13
4
2
7
27 15
12
9
10
1
1
2019/11/11
n
xij ai
i 1,......m
j1
m
xij bj j 1,......n
i1
xij
0
运筹学课件
将约束方程式展开可得
x11
x1n x21
x2n
x11
x21
xm1 xm1
2019/11/11
运筹学课件
bn；且产销平衡，即
m
n
。 ai bj
i1
j 1
从第i个产地到j 个销地的单位运价为cij ，
问：在满足各地需要的前提下，求总运输费用最小的调运方
案。 即Ai——Bj 的运量xij 使
mn
min z
cij xij
2019/11/11
运筹学课件
初始基础可行解—最小元素法（1）
1 6 1
8 2
5 3
22
2019/11/11
2
3
4
7
5
3
4
2
7
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6
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0
运筹学课件
14 27 15 19
最小元素法（2）
1 6 1
8 2
5 3
22
2019/11/11
2
3
4
7
5
3
14 1
13
4
2
7
27 15
12
9
10
1
1
2019/11/11
n
xij ai
i 1,......m
j1
m
xij bj j 1,......n
i1
xij
0
运筹学课件
将约束方程式展开可得
x11
x1n x21
x2n
x11
x21
xm1 xm1
2019/11/11
运筹学课件
第03章 运输问题 《运筹学》PPT课件
到的方案是不是最优方案。检
解
查的方法与单纯形方法中的原
的
理相同，即计算检验数。由于
最
目标要求极小，因此，当所有
优
的检验数都大于或等于零时该 调运方案就是最优方案；否则
性
就不是最优，需要进行调整。
检
下面介绍两种求检验数的方法：
验
闭回路法和对偶变量法。
1.闭回路法
闭回路：从空格出发，遇到数
字格可以旋转90度，最后回到空
4.解的改进——闭回路调整法
解
改进的方法是在运输表中找出这个空 格对应的闭回路Lij，在满足所有约束条件
的
的前提下，使xij尽量增大并相应调整此闭 回路上其他顶点的运输量，以得到另一个
最
更好的基可行解。
优 性 检 验
表 3-11
销地 产地
A1 A2 A3
B1
B2
B3
4 12 （+2）10 4
8 2 10 （-2） 2 3
表3-2
销地
产地
B1
B2
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
4
12
4
11 16
2
10
3
9 10
8
5
11
6 22
8
14
12
14
48
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
该问题的数学模型：
mn
minz =
cij xij 4x11 12x12 4x13 11x14 2x21
i=1 j=1
B1 B2 B3 B4 量 ui
A1 A2 A3 销量
4
12 10 4
11 6
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运筹学课件第三运章输问题
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
x11 , x12 ,, x1n ; x21 , x22 , x2n ,,,,, xm1 , xm2 , xmn
1 1 1
a1
111
a2
Evaluation only.
eated w ith Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile5.2.0
（换基迭代）
运输问题求解思路图
运筹学教程
一、 初始方案的确定
1、作业表（产销平衡表）
初始方案就是Ev初al始ua基tio本n o可nl行y.解。 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
将运C输op问yr题igh的t 2有00关4-信20息11表A和spo决se策P变ty 量Lt—d. —调 运量结合在一起构成“作业表”（产销平衡 表）。
x
m1
,
x
m2
,
x
mn
eated with Aspose.Slid1 es1 for .N1 ET 3.5 Client Profile5.2.0
m行
Copyright
2004-2011
Aspose
Pty
Ltd.
1
1
1
1
1
1
n行 1
1
1
1
1
1
每1将 第，该k一行0矩，列元阵素…只分全,有块0为,1两，1,0特，个,…点其元0是余)素T：元，为前素其1m全，行为中其构0两(成k余=个m1元，个元素…m素×，均1nm分为阶）别0矩；；阵处后，n于列行而第向构且i量成第行mPk和个i个j 第矩n=阶(阵m0单,只+…位j有行，阵。0，
A 的秩小于m+Env；alu？ation only.
eate由d wit的Ah 第As二po至se.mSl+idne行s f和or前.NnE列T及3.5 Cxl2i1e,nxt31P,ro,fxilm对e1 5.2.0
应的列C交op叉yr处igh元t 2素00构4-成20m11+nA-s1p阶os方e P阵tyDL非td.奇 异； ？
Profile
5.2.0
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
A
1
1
1
am
1 1
1 1
1
b1
1
b2
1
1
1 bn
运筹学教程
证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是零向量，说明m+n 个行向量线性相关，因此
i 1 xij
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1, m;
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产销平衡条件
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二、运输问题数学模型的特点
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
系数矩阵A，形式如下：
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x11nE; xv21a, lxu22a,tioxn2n
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同理，运到Bj的物资总量应该等于Bj 的销量bj，所以xij还应满足：
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下表是两个产地、三个销地的运输问题作业表。
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总运费Co为py：right 2004-201m1 Aspnose Pty Ltd.
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运输问题的数学模型
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2.运输问题的基变量总数是m + n -1 写出增广矩阵
x11 , x12 ,, x1n ; x21 , x22 , x2n ,,,,, xm1 , xm2 , xmn
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ห้องสมุดไป่ตู้
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可以证明：m+n个约束方程中的任意m+n-1个 都是线性无关的。
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第二节表上作业法求解运输问题
表上作业法的基本思想是:先设法给出一个初 始方案,然后根据确定的判别准则对初始方案 进行检查、调整Ev、al改uat进io，n o直nly至. 求出最优方案， eated如w图ith所CAo示sppy。orisgeh.Stl2id0e0s4f-o2r01.N1EATsp3o.5seCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0 表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致， 但是具体作法更加简捷。
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确定初始方案 (初始
判定是否 最 优？
是 结束
基本可行解)
否
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6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
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（换基迭代）
运输问题求解思路图
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一、 初始方案的确定
1、作业表（产销平衡表）
初始方案就是Ev初al始ua基tio本n o可nl行y.解。 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
将运C输op问yr题igh的t 2有00关4-信20息11表A和spo决se策P变ty 量Lt—d. —调 运量结合在一起构成“作业表”（产销平衡 表）。
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每1将 第，该k一行0矩，列元阵素…只分全,有块0为,1两，1,0特，个,…点其元0是余)素T：元，为前素其1m全，行为中其构0两(成k余=个m1元，个元素…m素×，均1nm分为阶）别0矩；；阵处后，n于列行而第向构且i量成第行mPk和个i个j 第矩n=阶(阵m0单,只+…位j有行，阵。0，
A 的秩小于m+Env；alu？ation only.
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应的列C交op叉yr处igh元t 2素00构4-成20m11+nA-s1p阶os方e P阵tyDL非td.奇 异； ？
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2.运输问题的基变量总数是m + n -1 写出增广矩阵
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可以证明：m+n个约束方程中的任意m+n-1个 都是线性无关的。
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第二节表上作业法求解运输问题
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