1989-2013年考研数学三历年真题全打印版
考研数学三真题(1989年)
(D) A 中至少有一行(列)的元素全为 0
(4) 设 A 和 B 均为n n 矩阵,则必有 ( (A) A B A B ) (B) AB BA (D)
(C) AB BA
A B 1 A1 B 1
)
(5) 以 A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件 A 为 ( (A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (C) “甲种产品滞销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”
x
4
五、(本题满分 9 分)
已知函数 0 x 1, x, f (x) 2 x, 1 x 2. 试计算下列各题： (1) S 0 f (x)e xdx; (4 分)
0 2
(2) S1 f (x 2)e xdx; (2 分)
2
4
(3) Sn 2 n
2n2
f (x 2n )e xdx (n 2, 3, ); (1 分) (4) S S n .(2 分)
n0
5
六、(本题满分 6 分)
假设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (x) 0 ,记 F (x) 证明在(a, b) 内, F (x) 0 . 1 x a
x
a
f (t)dt,
七、(本题满分 5 分) 0 1 0 1 1 求矩阵 X . 1 已知 X AX B, 其中 A 1 1 , B 2 0 , 1 0 5 3 1
6
八、(本题满分 6 分)
设1 (1,1,1),2 (1, 2, 3),3 (1,3, t) . (1) 问当t 为何值时,向量组1,2,3 线性无关?(3 分) (2) 问当t 为何值时,向量组1,2,3 线性相关?(1 分) (3) 当向量组1,2,3线性相关时,将3表示为1和2 的线性组合.(2 分)
2013研究生入学考试数三真题及答案(打印版)
1
36+16+4 1 a 7 4a 2 1
如： x o( x)则
2
（C）
（D）
o( x ) o ( x 2 ) 1 x2
（2）函数 f ( x) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答案： （B） 解析： lim
x 1
| x |x 1 的可去间断点的个数为（ x( x 1) ln | x |
）
| x |x 1 e x ln|x| x ln | x | lim lim 1. x 0 x 0 x( x 1) ln | x | x( x 1) ln | x | x( x 1) ln | x |
（8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，
则 P{ X Y 2} (
)
1 12 1 （B） 8 1 （C） 6 1 （D） 2
（A） 答案： （ C） 解析：
P X Y 2 P X 1，Y 1 P X 2，Y 0 P X 3，Y 1 1 1 1 1 1 1 1 P X 1 P Y 1 P X 2 P Y 0 P X 3 P Y 1 4 3 8 3 8 3 6
P 1 P ( 2 X 1 2) (2) ( 2) 2 (2) 1 X2 0 1) 2(1) 1 P 1 P 2 2 7 X 5 7 P3 P 3 1 (1) P2 P3 P 1 P 2 P 3 3 3 3 P 2 P(1
1989【考研数三】真题及解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ .(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562xy y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ 试计算下列各题： (1) 200();x S f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),xa F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数n n ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散). 于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n 个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 ()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求zx∂∂,再求2z x y ∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dRMR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =.又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()xxx S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)x x xe dx x e dx --=+-⎰⎰ 121(2)x x xde x de --=-+-⎰⎰12120101(2)x x x xxe e dx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以2222(2)220(2)()()n xt n nt n nS f x n e dx f t edt ef t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S e S e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分) 【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰y y x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2y y y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有y y y y ye dy yde ye e d y +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。
2013全国考研数三真题及解析.doc
12013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>2（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )3（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
考研真题【【数学三】试题版--1989-2019】数学三考研真题(2000-2017打印版)
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______ 二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00TAX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zxt e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()T g X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，p u试求随机变量U={X−Y} 的概率密度().2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则a =.(4) 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为X 和Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若 而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=.(B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( )(A) 5 (B)13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解 (C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TPα-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布 三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx .六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若 试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____.（2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为________.（3）设a>0，而D 表示全平面，则=_______.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ]λb x a x y +-=2332b =2b ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=4.0-=X Z n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 121)0(f 'xx f x g )()(=),(00y x ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ ] （5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设 2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分） 计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.]1,21[12222=∂∂+∂∂vfu f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222yg x g ∂∂+∂∂.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x ∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组其中 试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分） 设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.)3,0(∈ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a .01≠∑=ni i a n a a a ,,,21 )0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则. (3) 设，则.(4) 二次型的秩为 . (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则_______.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且， ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点.(B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ ]5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x 2f u v∂=∂∂⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x 212(1)f x dx -=⎰213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=X λ=>}{DX X P X ),(21σμN Y ),(22σμN 1,,21n X X X 2,,21n Y Y Y X Y 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f a x f x =∞→)(lim ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g(9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ ](10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ ](11) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得> f (a ). (B) 至少存在一点，使得> f (b ). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0.[ D ](12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, . (C) 当时, . (D) 当时, . [ ](13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.∑∞=-+1212)(n n n u u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n u ∑∞=+11000n n u 1lim 1>+∞→nn n u u ∑∞=1n n u ∑∞=+1)(n n n v u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n v )(x f '0)(,0)(<'>'b f a f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈0)(0='x f ),(0b a x ∈)(0x f n A B )0(||≠=a a A a B =||)0(||≠=a a A a B -=||0||≠A 0||=B 0||=A 0||=B n A ,0*≠A 4321,,,ξξξξb Ax =0=Ax(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足,若, 则等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分) 求.(16) (本题满分8分) 求，其中D 是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足 ，x ∈ [a , b )，.证明：.X )1,0(N )1,0(∈ααu αu X P α=>}{αx X P =<}|{|x 2αu 21αu-21αu -αu -1)cos sin 1(lim 2220xxx x -→⎰⎰++Dd y y x σ)(22422=+y x 1)1(22=++y x ⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(⎰⎰=babadt t g dt t f )()(⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性(> 0)； (II) 推导(其中R 为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设, , , , 试讨论当为何值时,(Ⅰ) 不能由线性表示;(Ⅱ) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.d E d E )1(d E Q dPdR-=d E )(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x T α)0,2,1(1=T ααα)3,2,1(2-+=T b αb α)2,2,1(3+---=T β)3,3,1(-=b a ,β321,,αααβ321,,αααβ321,,ααα设阶矩阵. (Ⅰ) 求的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设，为两个随机事件,且, , , 令 求(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布; (Ⅱ) 与的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布.n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A A P AP P 1-A B 41)(=A P 31)|(=AB P 21)|(=B A P ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y ),(Y X X Y XY ρ22Y X Z +=设随机变量的分布函数为其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,(Ⅰ) 当时, 求未知参数的矩估计量; (Ⅱ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量; (Ⅲ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量.X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(1,0>>βαn X X X ,,,21 X 1=αβ1=αβ2=βα2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= . （2） 微分方程满足初始条件的特解为______. （3）设二元函数，则________.（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设,,,其中，则(A) . （B ）.(C) . (D) . [ ]12sinlim 2+∞→x xx x 0=+'y y x 2)1(=y )1ln()1(y x xe z y x +++=+=)0,1(dz)1,1,1,2(),,1,2(a a ),1,2,3(a )1,2,3,4(1≠a X ,,2,1 }2{=Y P }0{=X }1{=+Y X a x x x x f -+-=1292)(23σd y x I D ⎰⎰+=221cos σd y x I D⎰⎰+=)cos(222σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(}1),{(22≤+=y x y x D 123I I I >>321I I I >>312I I I >>213I I I >>（9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是(A) 收敛，发散 . （B ） 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. [ ]（10）设,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，是极小值. （B ） f(0)是极小值，是极大值.（C ） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A= 满足，其中是A 的伴随矩阵，为A 的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为(A). (B) 3. (C) . (D) . [ ]（13）设是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（14） 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是(A) (B) (C)(D) [ ] ,,2,1,0 =>n a n ∑∞=1n n a ∑∞=--11)1(n n n a ∑∞=-112n n a ∑∞=12n n a ∑∞=12n n a ∑∞=-112n n a )(1212∑∞=-+n n n a a )(1212∑∞=--n n n a a x x x x f cos sin )(+=)2(πf )2(πf )2(πf )2(πf )(x f ')(x f )(x f ')(x f )(x f '33)(⨯ij a T A A =**A T A 131211,,a a a 11a 3331321,λλ21,αα1α)(21αα+A 01=λ02=λ01≠λ02≠λ),(2σμN 2,σμ)(20cm x =)(1cm s =μ)).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-)).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-)).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分） 求（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且，求（17）（本题满分9分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分9分） 求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a ,有).111(lim 0xe x x x --+-→)()(),(y x yf x y f y xg +=.222222yg y x g x ∂∂-∂∂σd y x D⎰⎰-+122}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ∑∞=-+12)1121(n n x n 0)(≥'x f 0)(≥'x g ]1,0[∈⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ）和（ii ） 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为矩阵.(I) 计算，其中； （II ）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度； （II ） 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD Tn m ⨯DP P T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE o C A EP 1C A C B T 1--.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=)(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z考研资料( III )（23）（本题满分13分）设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I ） 的方差； （II ）与的协方差（III ）若是的无偏估计量，求常数c.}.2121{≤≤X Y P )2(,,,21>n X X X n 2σX .,,2,1,n i X X Y i i =-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y ).,(1n Y Y Cov 21)(n Y Y c +2σ2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . [ ] （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 [ ] （9）若级数收敛，则级数()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 2x =()()e f x f x '=()21f =()2____.f '''=()f u ()102f '=()224z f x y =-()1,2d _____.z=2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭E B 2BA B E =+=B X Y 与[]0,3{}{}max ,1P X Y ≤=X ()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞X 2S 2____.ES =()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ∆x 0x d y y ∆与()f x 0x 0x ∆>0d y y <<∆0d y y <∆<d 0y y ∆<<d 0y y <∆<()f x 0x =()22lim1h f h h →=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且1n n a ∞=∑(A) 收敛 . （B ）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ） [ ]（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则.(D) 若，则. [ ] （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关.(B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关.(D) 若线性无关，则线性无关. [ ]（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有1n n a ∞=∑1(1)n n n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞+=+∑()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C []12()()C y x y x -[]112()()()y x C y x y x +-[]12()()C y x y x +[]112()()()y x C y x y x ++(,)(,)f x y x y ϕ与(,)0y x y ϕ'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ϕ=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,s αααn A m n ⨯12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A αααA A B B 1-C 110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1C P AP -=1C PAP -=T C P AP =T C PAP =X 211(,)N μσY 222(,)N μσ{}{}1211P X P Y μμ-<>-<(A) (B)(C) (D) [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设,求 (Ⅰ) ； (Ⅱ) .（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分） 证明：当时，.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ) 求的方程；(Ⅱ) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 12σσ<12σσ>12μμ<12μμ>()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+()()lim ,y g x f x y →+∞=()0lim x g x +→d Dx y D ,1,0y x y x ===0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++xOy L ()1,0M ()(),0P x y x ≠OP ax >0a L L y ax =83a求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (Ⅰ)求的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得；（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵.()()1211121n n n x n n -+∞=--∑()s x ()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+a 1234,,,αααα1234,,,ααααA ()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-0Ax =A Q ΛT Q AQ =ΛA 632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭E设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数. (Ⅰ)求的概率密度； (Ⅱ)；(Ⅲ).（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计； （Ⅱ）求的最大似然估计X ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他()2,,Y X F x y =(,)X Y Y ()Y f y Cov(,)X Y 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭X (),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,θ()01θ<<12n ,...,X X X X N 12,...,n x x x θθ2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一． 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当等价的无穷小量是（ ）.（2）设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ）.（4） 设函数连续，则二次积分等于（ ）（5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ） 10 20 30 40 （6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ） (B) （C ） (D)0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()(0)_________n y =(,)f u v (,),y x z f x y =z zy x y∂∂-=∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y ==01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 12设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分） 设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x=2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=21()34f x x x =--1x -1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α(,)X Y（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.（Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θ（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）跳跃间断点. 可去间断点.无穷间断点.振荡间断点.（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ）曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）已知（A ），都存在 （B ）不存在，存在 （C ）不存在，不存在 （D ），都不存在 （4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ） （A ） （B）（C ） （D ） （5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ）.... ()f x [1,1]-0x =0()()xf t dtg x x=⎰()A ()B ()C ()D ()y f x =()f x [0,]a 0()at af x dx ⎰()A ABCD ()B ABCD ()C ACD ()D ACD (,)f x y =(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f 'f 22(,)uvD f u v =uv D Fu∂=∂2()vf u 2()v f u u ()vf u ()vf u uA E 30A =()A E A -E A +()B E A -E A +()C E A -E A +()D E A -E A +1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）....（8）随机变量，且相关系数，则（ ）. . ..二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 .（10）设，则.（11）设，则.（12）微分方程满足条件的解.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则. （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限. (16) （本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.（1）求 （2）记，求. ,X Y X ()F x {}max ,Z X Y =()A ()2F x ()B ()()F x F y ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()~0,1X N ()~1,4Y N 1XY ρ=()A {}211P Y X =--=()B {}211P Y X =-=()C {}211P Y X =-+=()D {}211P Y X =+=21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩(,)-∞+∞c =341()1x x f x x x ++=+2()______f x dx =⎰22{(,)1}D x y x y =+≤2()Dx y dxdy -=⎰⎰ 0xy y '+=(1)1y =y = A 14_____A E --=X {}2P X EX == 201sin limlnx xx x→(,)z z x y =()22x y z x y z ϕ+-=++ϕ1ϕ'≠-dz ()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭u x ∂∂(17) （本题满分11分）计算其中.(18) （本题满分10分）设是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证; （2）为何值，方程组有唯一解; （3）为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求. （22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤()f x t ()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰()()()202x t t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰0.05r =2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A AX B =()1,,Tn X x x =()1,0,,0B =()1n A n a =+a a A 12,a a A 1,1-3a 323Aa a a =+123,,a a a ()123,,P a a a =1P AP -X Y X {}()11,0,13P X i i ===-Y ()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它Z X Y =+（1）求；（2）求的概率密度． （23） （本题满分11分）是总体为的简单随机样本.记，，. （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭Z 12,,,n X X X 2(,)N μσ11ni i X X n ==∑2211()1n ii S X X n ==--∑221T X S n=-T 2μ0,1μσ==DT（1）函数的可去间断点的个数为(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B ），. (C)，. （D ），. （3）使不等式成立的的范围是 (A).(B). (C).(D).（4）设函数在区间上的图形为则函数的图形为(A)(B)3()sin x x f x xπ-=0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-1a =16b =-1a =16b =1a =-16b =-1a =-16b =1sin ln xtdt x t>⎰x (0,1)(1,)2π(,)2ππ(,)π+∞()y f x =[]1,3-()()0xF x f t dt =⎰(C)(D)（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 (A). (B). (C).(D). （6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A).(B).(C).(D).（7）设事件与事件B 互不相容，则(A). (B).(C).(D).（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为 ,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+T Q AQ 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ()0P AB =()()()P AB P A P B =()1()P A P B =-()1P A B ⋃=X Y X (0,1)N Y 1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） .（10）设，则. （11）幂级数的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设,，若矩阵相似于，则 .(14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数的极值. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分 . （17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. cos 0x x →=()y x z x e =+(1,0)zx ∂=∂21(1)n n nn e x n ∞=--∑()Q Q P =P 0.2p ξ=(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭k =1X 2X n X (,)B n p X 2S 2T X S =-ET =()22(,)2ln f x y x y y y =++ln(1dx +⎰(0)x >()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥()f x [],a b (),a b (),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-()f x 0x =()0,,(0)σσ>'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=。
1989考研数学三【解析版】【无水印】
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数n n ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散). 于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n 个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 ()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求zx∂∂,再求2z x y ∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dRMR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =.又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()xxx S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)x x xe dx x e dx --=+-⎰⎰ 121(2)x x xde x de --=-+-⎰⎰12120101(2)x xxxxe edx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以2222(2)220(2)()()n xt n nt n nS f x n e dx f t edt ef t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S e S e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分) 【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰y y x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2y y y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有y y y y ye dy yde ye e d y +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。
1989考研数三真题及解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A)()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( ) (A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562xy y y e-'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩试计算下列各题：(1) 200();xS f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),xa F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数nn ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散).于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠.(4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C). (3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求z x ∂∂,再求2zx y∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故 2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e-'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dR MR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =. 又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()x x x S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)xx xe dx x e dx --=+-⎰⎰121(2)xx xdex de --=-+-⎰⎰1212011(2)x x x xxe e dx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰,故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以 2222(2)220(2)()()n x t n n t n nS f x n e dx f t e dt e f t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S eS e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分)【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰.又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为 ()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰yy x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2yy y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰xy xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有yyyy ye dy ydeyee dy +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。
2013年考研数三真题及答案解析(完整版)
2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是 （A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ，{}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．则{}==+2Y X P （ ） （A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ．【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ． 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2． 【详解】()=X Xe E 2dx ex edx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ．【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T T TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2．证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T Tr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏∏n i i ix n i i nni xi e x e x L 11312132)(θθθθθ，取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ，解得的极大似然估计量为．。
1989考研数三真题及解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ .(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx=⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩试计算下列各题： (1) 200();xS f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),x aF x f t dt x a =-⎰证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它. 试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1, 所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数n n ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散).于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=-所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π==(5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx '==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C). (3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 ()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xu x u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuu u u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求z x ∂∂,再求2zx y∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故 2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562x y y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+. 设所给非齐次方程的特解为*()x y x Ae -=,代入方程562x y y y e -'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()x m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如 *()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dRMR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =.又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()x x x S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)xx xe dx x e dx --=+-⎰⎰121(2)xx xdex de --=-+-⎰⎰1212011(2)x x x xxe e dx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)2120(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 222210212()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以 2222(2)220(2)()()n x t n n t n n S f x n e dx f t e dt e f t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S eS e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e Se e e e e--====--+-.六、(本题满分6分) 【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxaa f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有12212211203402121E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+, 故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰yy x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2y y y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰xy xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有00y y yyye dy yde ye e dy +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰ 00yy ye e--+∞+∞=--, 由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。
2013考研数学三真题完整版
2013硕士研究生入学考试数学三真题1. 当x →0时，用“o （x ）”表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 A. x ·o （x 2）=o(x 3) B.o(x )·o(x 2)=o(x 3) C.o(x 2)+o(x 2)= o(x 2) D.o(x )+ o(x 2)= o(x 2) 2. 函数f (x )=1(1)ln xxx x x-+的可去间断点的个数为 A.0B.1C.2D.33. 设D k 是圆域D ={(x ,y )|x 2+y 2≤1}位于第k 象限的部分，记I k =()kD y x dxdy -⎰⎰（k =1,2,3,4），则A.I 1>0,B. I 2>0,C. I 3>0, B. I 4>0 4. 设｛a n ｝为正项数列，下列选项正确的是A. 若a n > a n+1, 则11(1)n n n a ∞-=-∑收敛B. 若11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，则a n >a n+1C. 若1n n a ∞=∑收敛，则存在常数p >1，使lim n →∞n p a n 存在D. 若存在常数p >1，使lim n →∞n pa n 存在,则1n n a ∞=∑收敛5. 设A,B,C 均为n 阶短阵，若AB=C,且B 可逆，则 A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6. 矩阵1111a ab a a⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ） A. a =0,b =2 B. a =0,b 为任意常数C. a =2,b =0D. a =2,b 为任意常数7. 设x 1, x 2, x 3是随机变量，且x 1~N (0,1),x 2~N (0,22),x 3~N (5,32),P j =P {-2≤x j ≤2}(j =1,2,3),则A.P 1>P 2>P 3 B.P 2>P 1>P 3 C.P 3>P 1>P 2 D.P 1>P 3>P 2 8. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为 X 0 1 2 3A.112B.18C.16D.129. 设曲线y=f(x )与y=x 2-x 在点（1，0）处有公共切线，则lim n →∞nf 2nn ⎛⎫⎪+⎝⎭= . 10. 设函数z=z(x,y)由方程（z+y ）x=xy 确定，则(1,2)z x∂∂= .11.21ln (1)x dx x +∞+⎰= .12. 微分方程104y y y '''-+=的通解为y= .13. 设A =(a ij )是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若a ij + A ij =0(i ，j=1,2,3)，则｜A ｜= .14. 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），则E (2X Xe ) = . 三、解答题15.当0x →时，1cos ,cos 2,cos 3x x x -与n ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
1989-2013年考研数学三历年真题全打印版
（D） (−1)n n!
∫ ∫ π
2
（3）设函数 f (t) 连续，则二次积分 2 dθ
f (r 2 )rdr =（
0
2 cosθ
）
∫ ∫ 2
4−x2
（A） dx
x2 + y2 f (x2 + y2 )dy
0
2 x− x2
∫ ∫ 2
（B） dx
4−x2 f (x2 + y2 )dy
0
2 x− x2
∫ ∫ （C）
{ } 则 Pj = P − 2 ≤ X j ≤ 2 ( j = 1,2,3), 则（ ）
A. P1 > P2 > P3
B. P2 > P1 > P3 C. P3 > P1 > P2 D. P1 > P3 > P2
(8)设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为：
X0123
P
B、 o(x) ⋅ o(x2 ) = o(x3)
C、 o(x2 ) + o(x2 ) = o(x2 )
D、 o(x) + o(x2 ) = o(x2 )
x x −1
（2）设函数 f (x) =
的可去间断点个数为( )
x(x +1) ln x
A.0
B.1
C.2
D.3
{ } （3）设 Dk 是 圆 域 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 1 位 于 第 K 象 限 的 部 分 , 记
1
1
1
1
2488
X
-1
0
1
P
1
1
1
3
3
考研数学三真题(2013年)
2013年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>（C ）1n n a ∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim P n n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1n n a ∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ） （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2= （7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X , {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== （ ）（A ）112 （B ）18 （C ）16 （D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
则逆矩阵 ( A
2I )1
012
1
2 0
0 1
二、选择题 (本题满分 15 分，每小题 3 分)
(1) 当 x 0 时，曲线 y x sin 1 x
(A) 有且仅有水平渐近线；
(B) 有且仅有铅直渐近线.
(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线； (D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线.
(2) 已知曲面 z 4 x2 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x 2 y z 1 0 ，则点 P 的
1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准 数 学（试卷一）
一、填空题 (本题满分 15 分，每小题 3 分)
(1) 以知 f (3)=2,则 lim f (3 h) f (3) -1
h0
2h
1
(2) 设 f (x) 是连续函数，且 f (x) x 2 f (t)dt ，则 f (x) x 1 . 0
0
0
0
即 f (x) f (x) sin x ，
„„2 分
这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件为 y |x0 f (0) 0, y |x0 f (0) 1.„„3 分
其对应齐次方程的通解为 y C1 sin x C2 cos x .
„„4 分
设非齐次方程的特解 y* x(asin x bcos x),可得 a 0,b 1 ；于是 y* x cos x . „„5 分
„„2 分
„„5 分 „„6 分
五、(本题满分 7 分)
x
设 f (x) sin x (x t) f (t)dt ,其中 f 为连续函数，求 f (x) . 0
x
x
数学三考研真题(1989-1999年)
假设函数 f ( x) 在 [ a,b] 上连续 , 在 (a,b) 内可导 , 且 f ( x)
证明在 (a,b) 内, F (x)
F ( x) 0.
1x f (t)dt ,
x aa
0, 记
七、 ( 本题满分 5 分 )
2
已知 X AX B, 其中 A
01 11 10
0 1 ,B 1
11 2 0 ,求矩阵 X . 53
x, 0 x 1, f (x)
2 x, 1 x 2.
试计算下列各题：
(1) S0
2 f ( x)e xdx; (4 分 )
0
(2)
(3) Sn
2n 2
f (x
2n)e xdx( n
2,3,
); (1 分) (4)
2n
S1
4
f (x
2)e xdx; (2 分)
2
S
Sn .(2 分)
n0
六、 ( 本题满分 6 分 )
x1 x2 x3 0, 只有零解 , 则 应满足的条件是 __ _ .
x1 x2 x3 0
(4) 设随机变量 X 的分布函数为
0,
x 0,
F x Asinx, 0 x , 则 2
1,
x,
2
A =__________, P X 6
(5) 设随机变量 X 的数学期望 E ( X ) (Chebyshev) 不等式 , 有 P{ X
x
P P ( x) 10e 2 ,
且最大需求量为 6, 其中 x 表示需求量 , P 表示价格 .
(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数 .(2 分) (2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格 .(4 分 ) (3) 画出收益函数的图形 .(3 分 )
考研数三1989
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ . (2)幂级数0n n ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ .(4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232x xf x ,=+-则当0x →时 ( ) (A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A)()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰ (C) ()()d f x dx f x dx=⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2z x y∂∂∂. (3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为 2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数 ,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩试计算下列各题：(1) 200();x S f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分) (3) 222(2)(2,3,);n xn n S f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),x aF x f t dt x a =-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===.(1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分)(2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为 (),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它. 试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分) 设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.。
考研数学三1989真题
考研数学三1989真题考研数学三对于许多考生来说，是一场充满挑战和机遇的考试。
1989 年的真题更是具有一定的历史价值和研究意义。
这一年的数学三真题，整体涵盖了多个重要的数学知识点和题型。
从高等数学部分来看，函数、极限、连续等基础概念的考察十分深入。
例如，有一道关于函数极限存在性的题目，需要考生熟练掌握极限的定义和计算方法，通过巧妙地运用极限的运算法则和变形技巧来求解。
线性代数方面，矩阵、行列式、向量等内容均有涉及。
其中，一道关于矩阵乘法和求逆矩阵的题目，要求考生对矩阵运算的规则有清晰的理解和准确的运用。
而且，对于向量的线性相关性和线性表示的考察也颇为常见，这就需要考生具备较强的逻辑推理和抽象思维能力。
概率论与数理统计部分，随机事件、概率、随机变量及其分布等知识点均在真题中有所体现。
像求某一随机变量的概率分布这样的题目，不仅考查了对基本概念的掌握，还考验了考生运用概率公式和定理进行计算的能力。
在解答这些真题时，考生需要具备扎实的基础知识和良好的解题习惯。
首先，对于每个概念和定理都要理解透彻，不能一知半解。
例如，在高等数学中，导数和微分的概念就容易被混淆，如果没有真正理解其本质，在解题时就很容易出错。
其次，要多做练习，提高解题速度和准确性。
1989 年的真题中，有些题目计算量较大，如果平时没有足够的练习，在考试时就可能因为时间不够而无法完成。
另外，注重解题思路和方法的总结也非常重要。
每做完一道题目，都要思考一下还有没有其他的解法，哪种解法更加简便高效。
这样在遇到类似的题目时，就能迅速找到解题的突破口。
同时，在复习备考过程中，要善于分析自己的错误。
对于做错的题目，要认真找出错误的原因，是因为知识点掌握不牢，还是解题方法不当，或者是粗心大意。
只有不断总结经验教训，才能不断提高自己的解题能力。
总的来说，1989 年的考研数学三真题为我们提供了一个很好的复习和研究的样本。
通过对这些真题的深入分析和练习，考生可以更好地了解考试的难度和命题规律，从而有针对性地进行复习备考，提高自己的数学水平和应试能力，为实现自己的考研梦想打下坚实的基础。