数学广角教学例谈--雷子东

16
2
4
4
99
100
1
3
32
6
4
8
0
1
4、用阴影表示出它的
5
6
• 专家评
简洁
高效
实质
• 教师：
雷老师以简简单单的学习材 料上出了丰满的灵动的课， 充分挖掘习题功能，用足 材料，注重学习策略的获 得和数学思想的渗透。获 得特级教师们和与会教研 员教师们的高度赞誉，确 实是一节高效的简约课堂。
• 作为一堂经典老课，我们都在关注，这样一节老课在 新时期怎样演绎出“新元素”。他从四分之一引入， 在一个图形的辨析中明析“平均分”的重要所在，新 课是通过一个整体让学生表示四分之一中展开，在一 个图形与多个图形组成整体的对比中理解单位“1”的 含义，接着雷老师问：除了四分之一，你还想到了什 么分数？请表示出来。在开放的氛围中深化分数的意 义，最后，雷老师很巧妙地把分数回归到数轴上。
3
3
3
8
5
9
2、填空
(1 )
1、如果把 1一20根堆根 小棒平均分成2份，每份是它的 。
(2)
(1)
如果这些小棒平均分成3份，每份是它的
。
( 3)
2、一个人睡眠时间占一生的 1 。 3
把（ ）看作单位“1”，（ 的。
）占（
1
）
3
3、用分数表示直线上各点的数
…… ……
……
0 11
1
3
1
84
2
4
4
1
方法 分析法和综合法 假设法 反证法
符号化思想方法
“什么是数学? 数学就是符号加逻辑。” （英国著名数学家罗素）
符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号 去表述研究的对象。恰当的符号司以清晰、准确、 简化地表达数学思想、概念、方法和逻辑关系等
符号化思想是数学思想方法里最基础思想方法
化归的思想方法
活和进一步发展所必需的重要数学知识以 及基本的数学思想方法”
“学生通过数学学习，形成一定的数学思想 方法，应该是数学课程的一个重要目的”
• 双基：基础知识、基本技能。 • “四基”（修订稿）：基本知识、基本
技能、基本思想、基本活动经验
•数学思想方法的重要地位
数学思想方法 • 有助于加深学生对数学概念、公式、定
封闭方阵中种树等
数字编码： 邮政编码、身份证编码、编学号等
找次品： 5件、9件物品中找次品
鸡兔同笼问题：鸡兔同笼、龟鹤同笼问题等。
抽屉原理： 4支铅笔放入3个文具盒，5本书放入
2个抽屉，怎么放？
数学思想方法
分类思想
符号化思想 有序思考 排列组合
简单推理能力
有序思想 排列
排列组合
集合思想 等量代换思想
数”题目放到教材里来？） • 内容安排体系如何？
一上教材
一下教材
一下教材
二上教材
二下教材
三上教材
三下教材：重叠问题和等量代换
四上教材：烙饼问题
四上教材：沏茶问题
四上教材：等候时间
四上教材：田忌赛马
五上教材：数字编码
பைடு நூலகம்
五下教材教材：找次品
六上教材：鸡兔同笼
六下教材：抽屉原理
“数学广角”属于哪一领域？ A 单独自成一领域 B 实践与综合应用 C 数与代数 D 综合性强，内容涉及每一领域
• 数学主要有三方面的知识：“数量关 系”、“几何关系”、“随机关系” 。
• 数学学习的四方面课程： 实验稿：数与代数、空间与图形、统计与
概率、实践和综合运用。
修订稿：数与代数、图形与几何、统计与 概率、综合与实践。
把单位“1”平均分成若干份，表示这 样
的一份或几份的数可以用分数表示。
把单位“1”平均分成若干份，表示这 样
的一其份中或一几份份的的数数叫可分以数用单分位数。表示。
4
1
8 里面有（ 4 ）个 8
2
1
4 里面有（ 2 ）个 4
1
1
2 里面有（ 1 ）个 2
1、用分数表示图中的空白部分。
1 8
）
3.用分数表示图中的阴影部分。
5
5
2
9
8
5
A
B
0 11
1
3
1
84
2
4
4
1
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2
4
4
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1
4
100
32
8
……
…… ……
0
1
评论
99年
2009
2010
共同点：整合教材，导入比较简洁，注重概念的建 构与拓展，力求所突破与创新，讲求教学实效。
学生观
材料开 放度
以教师为主 封闭为主
“半扶半放” “以学生经验为 主”
化归思想是指我们在求解不易直接或正面找到 解决途径的问题时，转化问题的形式，从侧 面或反面寻找突破口，直到最终把它化为一 个或若干个已能解决的问题
问题A
化归
问题A’
解答A
还原
解答A’
化归
化归思想便是解决问题的最基本思想 笛卡尔（法）：化归方法是解决各种问题的
万能方法 • 把一切问题化归为数学问题； • 把一切数学问题化归为代数问题； • 把一切代数问题化归为方程式的求解
• 材料虽简洁，但是其中所蕴含的丰富的数学思想确深 深震撼着我，细节成就精彩，让人听着回味无穷。
……
温州市教育教学研究院 雷子东
课前小调查：你能用不同的方式表示出 1 吗？
4
（画图或用文字描述等方法都可以，至少2种。）
11.表示出下面各图的 （任选1－2个）
1
4
平均分成4份,这样的一份是这个整体的
• 什么是“数学广角”？ • 广角：广角指代摄影的广角镜头。广角
镜头是镜头的一种，视角比一般镜头广 而焦距短，常用于拍摄面积很大的物体。 “数学广角”并不是我们数学上的术语 数学大世界 数学的海洋……拓展学生数 学视野的大舞台
一、“数学广角”内容概述
• 什么是“数学广角”？ • 其他版本教材有没有数学广角？ 浙教 其他版本
因此在人教版实验教材中，“数学广角” 以单元为呈现形式，较为集中地安排了 训练数学思维的教学内容，从而加大渗 透数学思想方法的力度。一般不作为考 试内容。
赋予学生“知识” “技能”
更要赋予学生“思想”“方 法”
•什么是数学思想方法
概念的界定: 表层知识与深层知识
概念、性质、法则、公式等 表层的知识 数学的基础知识和基本技能
一、“数学广角”内容概述
• 什么是“数学广角”？ • 其他版本教材有没有数学广角？ • 编者意图是什么？（为什么把以前“奥
数”题目放到教材里来？）
“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝 试把重要的数学思想方法通过学生可以 理解的简单形式，通过实验、观察、操 作、推理等数学活动进行渗透，激发学 生探索数学问题的兴趣和解决问题的意 识，发展思维能力，让学生在活动中感 悟数学思想方法，促进学生数学素养的 提升。”
半封闭半开 适度开放，以
放
开放为主
侧重点 拓展在应用 在操作中建 在操作中建构 分数意义 构分数意义 完善分数意义
教师把 好 控难易
尚可
难(生成太多、 不同学生就不 一样)
温州还是著名的数学家之乡 数学家的摇篮
关键数字： 200 10 温州籍数学家十院士 姜立夫 苏步青 谷超豪
……
温籍科学家谷超豪获最高科技奖 市委市政府发 去贺信 谷超豪对家乡人民的祝贺表示感谢
44
7世纪中期 公元12世纪 (印度) (阿拉伯人)
下面各图的涂色部分能直接用分数表示 吗？
1
1
1
4
4
4
你能表示下面各图的 1 吗？
4
1 平均分成4份,每份是这个整体的 4
……
请你概括地说一说 1 所表示的意义
4
除了11 ，你还想到哪些分数？
4
温馨提示： （1）写一写（多写几个分数） （2）涂一涂（选择其中1或2个分数涂一涂） （3）说一说（同桌互相说一说这个分数的意义）
运筹对策论 优化思想 化归思想 对应思想 化繁为简 建模思想
编码 符号化思想
优化思想 推理能力
化归思想 假设法 抽屉原理
模型思想
•当前“数学广角”教学存在主要问题？
• 教师本体知识缺失。 • 教学目标定位不准。 • 学生主体地位不突出 • 教学方法比较单一 • 评价、测评研究跟不上 • ……
。
( 3)
3.猜粉笔的支数(奖纪念邮票 )
1 8
15厘米
140厘米
• 专家评 很现代 很强大 很大气 • 教师： 新意 厚实 深透
• 学生 太有意思了 难忘
…… • 家长 “神经兮兮，深深吸引”
……
2009年省新课程备课会
温州市教育教学研究院 雷子东
3000多年前 2000多年前
(古埃及)
(中国)
理、定律的理解 • 是提高学生数学能力和思维品质的重要
手段 • 是数学教育中实现从传授知识到培养学
生分析问题、解决问题能力的重要途径 • 更是小学数学教学进行素质教育的真正
内涵之所在。
在数学教育中我们应该十分重视 数学思想方法的渗透！
•小学数学常用的思想方法
符号化思想、化归思想、对应思想 数形结 合 函数思想、集合思想、极限思想、分 类讨论思想、模型思想 分类讨论思想 运筹思想 极限思想 ……
基础、躯壳
深层的知识
数学思想
对数学理论与内容的本质认 识、解决数学问题的基本观 点和根本想法
数学方法
人们运用这些数学思想解决 问题过程中形成的一些程序、 手段
精髓、灵魂
•什么是数学思想方法
所谓数学思想，是指人们对数学理论与内 容的本质认识，是数学活动中解决问题 的基本观点和根本想法，它直接支配着 数学的实践活动，是数学中的智慧和灵 魂。
1 4
……
请你概括地说一说 1 所表示的意义
4
2.除了114
，你还想到哪些分数？ （任选1－2个）
温馨提示：（选一选 写一写 分一分 涂一涂 ）
分数单位
68.35由6个（ 十 ）、8个（ 一 ）、 3个（ 0.1 ）和5个（0.01）个组成。
3 8
由（
3 ）个
1 8
组成
3 8
的分数单位是（
小学数学“数学广角”教学思 考
温州市教育教学研究院 雷子东
lzd@ QQ：37705981 博客：
1999-2010年三次上《分数意义》 公开课的
心路历程
1999年上的《分数意义》 市首届小学数学优质课评比一等奖
1
2
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分
数1
4
3
4
12
33
……
……
很快说出下列分数的分数单位
375 55
b
8 88 96
a
111 11
1
888 96
a
1.表示下面各点对应的分数
01 2 3 41 5 5 5 55 5
2、填空
(1 )
如果把 1一20根堆根 小棒平均分成2份，每份是它的 。
(2 )
(1)
如果这些小棒平均分成3份，每份是它的
“数形结合”思想方法
“数与形，本是相偎依，焉能分作两边飞。 数无形时少直觉，形少数时难入微。数形 结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘， 几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”
——华罗庚
一、“数学广角”内容概述
• 什么是“数学广角”？ • 其他版本教材有没有数学广角？ • 编者意图是什么？（为什么把以前“奥
年级
一上 一下 二上
二下 三上
三下
四上
四下
五上
五下 六上
六下
课题与例题
分类：对给定物品按一定标准进行分类 找规律： 探索图案和数字的排列规律
简单的排列组合： 1，2能组成几个两位数？ 简单的逻辑推理： 猜一猜他们拿的是什么书？
找规律： 铺地砖花纹的规律 等差数列的探究规律
简单的组合： 有几种不同的穿法？踢几场球？ 简单的排列： 3个数字能摆成几个三位数？ 重叠问题： 参加语文、数学小组的共几人？ 等量代换： 几个苹果与1个西瓜一样重？ 运筹问题： 烙饼、沏茶、码头卸货等问题 对策问题： 田忌赛马 植树问题： 两端都种，两端都不种，
所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的 途径、程序、手段，它具有过程性、层 次性和可操作性等特点
•数学思想方法的重要地位
美国《中小学数学课程与评估标准》中，把“学 会数学的思想方法”列为五大数学素养之一
俄罗斯的中小学数学教育大纲中，则把“学生形 成关于数学思想方法及其对认识世界之作用的 概念”列为数学教育的三大基本任务之一。
温州是著名的数学家之乡 数学家的摇篮
1
在解放初期，国内大学里的数学系主任
4
3 “华人菲尔兹奖”美誉的晨兴数学奖。 第四届 七位中有三位温州人
7
3
温州中学张潇、叶立早、方伟 军3位同学在首届“丘成桐中学 数学奖”角逐中夺得了惟一金 奖
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2010年起，每年评30名小学数 学家
我们任重而道远！
调查：
一、“数学广角”概述
二、“数学广角”教学 思考（例谈）
一、“数学广角”内容概述
• 什么是“数学广角”？ • 其他版本教材有没有数学广角？ • 编者意图是什么？（为什么把以前“奥
数”题目放到教材里来？） • 内容安排体系如何？ • 教学目标如何把握？ • 有没有一般教学模式？……
一、“数学广角”内容概述
日本数学史家米山国藏所指出的：“不管他们 （指学生）从事什么业务工作，唯有深深地铭 刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、 研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地 地发生作用，使他们受益终生。”
数学思想方法的重要地位
我国：
1992《大纲》：明确数学思想方法是数学 知识的组成部分
2001《课标》 （实验稿）： “学生通过学习，能够获得适应未来社会生