2013版高中全程复习方略配套课件：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版·数学理)

p q， 但 q p.
∴ p 是q 的必要不充分条件，故选B.
【反思·感悟】判断充分、必要条件时应注意的问题 (1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出
A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推
出B，且B不能推出A; (2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的错误 不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明； (3)要注意转化：若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分 不必要条件；若p是q的充要条件，那么p是q的充要条件.
(2)选B.由(1-x)(x+1)＞0,得-1＜x＜1，即条件p:-1＜x＜1，
则 p : x 1 或x≥1.
1 x 0 由 1 x 2 0 ， 得-1＜x≤1. 2 1 x 1 x ＞0
即条件q:-1＜x≤1，则q : x 1或x＞1.
m=2,
故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
答案：(1)必要不充分
(2)充分不必要
(3) 充分不必要
四种命题及其关系 【方法点睛】
1.判断四种命题关系的一般思路
首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与
结论之间的关系.
2.命题等价性的应用 当一个命题直接判断真假不容易进行时，可以转而判断其逆否 命题的真假.
【规范解答】(1)由 M∩P={x|5＜x≤8}，得-3≤a≤5，因此 M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}； (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分
但不必要条件，就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值，如取
a=0，此时必有M∩P={x|5＜x≤8}；反之，M∩P={x|5＜x≤8}
题. (2)“-1＜x＜1”的否定是“x≥1或x≤-1”，“x2≤1”的否 定是“x2＞1”，故已知命题的逆否命题是“若x≥1或x≤-1， 则 x 2＞ 1 ”.
(3)“a＞0”的否定是“a≤0”，“a2＞0”的否定是“a2≤0”，
故已知命题的否命题是“对实数a，若a≤0，则a2≤0”.
答案：(1)①真 ②假
【即时应用】 (1)设a≠0，则“x∈{a,-a}”是“|x|=a”的______条件. (2)“ m＜ ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的______
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条件.
(3)若集合A={1,m2},B={2,4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的 ______条件.
【解析】(1)当a＜0时，x∈{a,-a} 但|x|=a⇒x∈{a,-a},
B，则p是q的充分不必
A，则p是q的必要不充
③若A⊆B且B⊆A，即A=B，则p是q的充要条件.
【例2】(1)(2011·天津高考)设集合A={x∈R|x-2>0}, B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x -2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C” 的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
|x|=a,
故“x∈{a,-a}”是“|x|=a”的必要不充分条件.
(2)Δ=1-4m，当 m＜1 时，Δ＞0，方程x2+x+m=0有实数解；若
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方程x2+x+m=0有实数解，
则Δ=1-4m≥0， m , “m＜ ”是“一元二次方程x2+x+m=0有
实数解”的充分不必要条件.
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(3)m=2⇒A∩B={4}，但A∩B={4}
足充分性. (2)解答时应思a,b是向量，命题“若a=-b,则|a|=|b|” 的逆命题是( )
(A)若a=-b,则 | a || b |
(B)若a=-b,则 | a || b |
(C)若 | a || b |, 则a=-b
(D)若 | a || b |, 则a=-b
【解析】“sin45°=1”能判断真假，是命题且为假命题，故 (1)正确. “x2+2x-1”与“x2+2x-3＞0”不能判断真假，不是命题，故 (2)、(4)错. “3是12的约数吗”不是陈述句，不是命题，故(3)错. 答案：(1)√ (2)〓 (3)〓 (4)〓
2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系：
(C)充分必要条件
(B)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a=1时，N={1}，可推出“N⊆M”.
当“N⊆M”时，有a2=1或a2=2,得到a=〒1或 a 2， 不能推出a=1.所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.
原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.
【规范解答】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置， 故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”. (2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题， 故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”. (3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为
【解析】选D.原命题的条件是a=-b,作为逆命题的结论，原命 题的结论是| a || b |, 作为逆命题的条件，即得逆命题“若 | a || b |, 则a=-b”，故选D.
2.(2011·湖南高考)设集合M={1,2}，N={a2}，则“a=1”是 “N⊆M”的( )
(A)充分不必要条件
③真
④真
(2)若x≥1或x≤-1，则x2＞1 (3)对实数a，若a≤0，则a2≤0
3.充分条件、必要条件与充要条件 前提：条件为p，结论为q. 充分 条件，q是p的_____ 必要 条件. 定义：(1)若p⇒q，称p是q的_____ 充要 条件，q也是p的_____ 充要 条件. (2)若p⇔q，称p是q的_____ (3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
原命题 若p,则q
互逆
逆命题 若q,则p
互 否
互 否
否命题 若﹁p,则﹁q
逆否命题 若﹁q,则﹁p
互逆
(2)四种命题的真假关系： 真假性 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的_______. 没有关系 ②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性_________.
【即时应用】
(1)判断下列命题是真命题还是假命题(填“真”或“假”). ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题 ③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题 ④“若 x－ 3 是有理数，则x是无理数”的逆否命题 ( ( ( ( ) ) ) )
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
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三年26考
1.理解命题的概念.
高考指数:★★★★★
2.了解“若p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命
题，会分析四种命题的相互关系． 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．
1.充分、必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的重
点和热点.
充分条件、必要条件的应用 【方法点睛】充分条件、必要条件的应用 解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化 为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不 等式求解.
【例3】已知集合M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|(x-a)·(x-8)
≤0}.
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的充要条 件； (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分 但不必要条件. 【解题指南】(1)利用集合M和M∩P，通过分析求得a的范围. (2)借助(1)的结论，根据充分但不必要条件所满足的关系，确 定a的值.
【提醒】要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为
原命题，也就相应有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否
命题”.
【例1】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的
平方是正数”的逆命题是______.
(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题
是______.
充分条件与必要条件的判断 【方法点睛】充分、必要条件的判断方法
(1)命题判断法
通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件.
(2)集合判断法
建立命题p,q相应的集合：p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成 立}，那么从集合的观点看，
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A 要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B 分条件；
2.以选择题和填空题为主，由于知识载体丰富，因此题目有一 定的综合性，属于中、低档题.
1.命题
(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的
陈述句 _________. 陈述句 (2)特点：能判断真假、________. (3)分类：真命题、假命题.
【即时应用】 判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”) (1)“sin45°=1”是假命题 (2)“x2+2x-1”是命题 (3)“3是12的约数吗”是假命题 (4)“x2+2x-3＞0”是真命题 ( ( ( ( ) ) ) )
(2)(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)＞0，条件
q : lg( 1 x 1 x 2 ) 有意义，则﹁p是﹁q的(
)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解题指南】(1)求出集合C及A∪B，根据两集合的关系判断. (2)化简条件p、q，求出﹁p与﹁q后根据集合间的关系判断. 【规范解答】(1)选C.集合C的解集是{x|x<0或x>2}, ∵A∪B={x|x<0或x>2},∴A∪B=C，故选C.
(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象 不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中， 真命题的个数是______.