【附20套高考模拟试题】2020届广东省梅县高级中学、大埔县虎山中学高考数学模拟试卷含答案

2020届广东省梅县高级中学、大埔县虎山中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α，(0,)2πβ∈，且1tan2tan1tan2αβα+=-，则（）A．2παβ+=B．24παβ-=C．22πβα-=D．22παβ+=2．函数()327xf x x=+-的零点所在区间为（）A．()1,0-B．()0,1C．()1,2D．()2,33．如图，已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P-是椭圆C上一点，O为坐标原点，若1260F PF∠=o，且223PO a=，则椭圆C的离心率是A．22 B．32C．63 D．234．关于函数，下列说法错误的是()A．是奇函数B．在上单调递增C．是的唯一零点D．是周期函数5．甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（）A．12B．13C．14D．166．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）A ．2B ．3C ．4D ．32π7．在ABC ∆中，2BD DC =u u u ru u u r，E 为AD 的中点，则EB =u u u r（ ）A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．5163AB AC +u u ur u u u rC ．2136AB AC -u u u r u u u rD ．5163AB AC -u u u r u u u r8．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。

在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。

在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xπ≈的结论。

若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数) A ．768 B ．144 C ．767 D ．145 9．在 中，角，，的对边分别为，，，若的面积和周长分别为和，，则（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知圆1C ，2C ，3C 是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆1C 上点M 作1C 的切线交圆2C 于A ，B 两点，P 为圆3C 上任一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ） A ．[8,4]-- B ．[0,12]C ．[1,13]D ．[4,16]11．已知函数()()ln ,02,4,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（） A ．98 B ．2516 C ．322- D 132 12．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ）A ．2π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠，N 是BC 边上的中点，4AB AD AC AD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v，||1AB =，sin 2sin BAN C =，则||BC =_______.14．已知样本数据12,,,nx x x L 的均值x =5，则样本数据123+1,3+1,,3+1n x x x L 的均值为______.15．若关于x 的方程()x 23kcos 2x 0-+-=只有一个实数解，则实数k 的值为______． 16．已知函数()2f x x x m=++，若()f x 在区间[]0,1上单调，则实数m 的取值范围为__三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）.写出l 和C 的普通方程；在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.18．（12分）已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+．求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，25852,25a a a S +==求数列{}n a 的通项公式；记14n n n c a a +=⋅，其前项和为n T ，求证：43n T …20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，,1,2AB CD AD AB BC CD ====∥，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE V 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．证明：AE PB ⊥；当四棱锥P ABCE -体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．21．（12分）在四棱锥M ABCD -中，平面MAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AB =，3AM AD ==，32MD =，E 、F 分别为线段BC 、MD 上一点，且1CE =，2DF =.证明：AM BD ⊥；证明：EF P 平面MAB ，并求三棱锥D AEF -的体积.22．（10分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2C 经过椭圆1C 的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆1C 上，且12PF =22PF =求椭圆1C 的方程和点P 的坐标；过点P 的直线1l与圆2C 相交于A 、B 两点，过点P 与1l垂直的直线2l与椭圆1C 相交于另一点C ，求ABC V 的面积的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 2．C 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．D 9．A 10．C 11．C 12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．14．16 15．-1 16．(][),20,-∞-+∞U .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）l 的方程为2100x y +-=，22194x y +=；（2）d 98(,)55M . 【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=将l 极坐标方程化为直角坐标方程，根据平方关系消参数得C 的普通方程；（2）根据点到直线距离公式以及三角函数配角公式确定最小值取法，求得M 点坐标以及距离最小值. 【详解】（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=.（2）在C 上取点()3cos ,2sin M ϕϕ，则d =()05cos 10ϕϕ=--. 其中003545cos sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98,55M ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：cos {(sin x a y b θθθ==为参数）， 圆参数方程：cos {(sin x r y r θθθ==为参数），直线参数方程：00cos {(sin x x t t y y t θθ=+=+为参数）18．（1）n a n =,2n b n =.（2）n T =2(1)nn +.【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则n a n =，利用前n 项和与通项公式的关系可得{}n b 的通项公式为2n b n =.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21n n T n =+.试题解析：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()111111111222334121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 19． (1) 21n a n =- (2)见证明 【解析】 【分析】（1）先根据已知求出112a d =⎧⎨=⎩，即得数列{}n a 的通项公式；（2）先利用裂项相消求出12121n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再证明43n T …. 【详解】（1）设公差为d ，则由25852,25a a a S +==得，()1123545252a d d da ⎧+=⎪⎨⨯⨯+=⎪⎩解得112a d =⎧⎨=⎩. 所以21n a n =-. （2）144112(21)(21)2121n n n c a a n n n n +⎛⎫===⋅- ⎪⋅+--+⎝⎭1111112121335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭易知n T 随着n 的增大而增大，所以1142133n T T ⎛⎫≥=-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．()I 证明见解析；()II 155. 【解析】 【分析】()I 通过等腰梯形中的长度和平行关系可证得BD AE ⊥，可知翻折后OP AE ⊥，OB AE ⊥，从而可得AE ⊥平面POB ，进而证得结论；()II 求解出三棱锥P ABC -体积后，利用C P A ABC P B V V --=求出结果.【详解】()I 证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O//,AB CE AB CE =Q ∴四边形ABCE 为平行四边形AE BC AD DE ∴=== ADE ∴∆为等边三角形∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥ BD AE ∴⊥翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I AE ∴⊥平面POBPB ⊂Q 平面POB AE PB ∴⊥()II 当四棱锥P ABCE -的体积最大时平面PAE ⊥平面ABCE又Q 平面PAE I 平面ABCE AE =，PO ⊂平面PAE ,PO AE ⊥OP ∴⊥平面ABCE32OP OB ==Q 62PB ∴= 1AP AB ==Q 31112cos 24PAB +-∴∠==15sin PAB ∴∠= 115sin 2PAB S PA AB PAB ∴=⋅∠=V 又11331338P ABC ABC V OP S -=⋅=⨯⨯=V Q 设点C 到平面PAB 的距离为d33158158C PABPABV d S -∴===V【点睛】本题考查立体几何中线线垂直的证明、点到平面距离的求解.在立体几何问题中，证明线线垂直通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直性质得到结论；求解点到平面距离的解题方法是利用体积桥的方式建立方程.21．（1）见解析； （2）1. 【解析】 【分析】（1）推导出AM ⊥AD ，从而AM ⊥平面ABCD ，由此能证明AM ⊥BD ；（2）推导出CE ＝ND ，BC ∥AD ，EN ∥AB ，FN ∥AM ，从而平面ENF ∥平面MAB ，进而EF ∥平面MAB ，由V D ﹣AEF ＝V F ﹣ADE ，能求出三棱锥D ﹣AEF 的体积． 【详解】（1）∵AM ＝AD ＝3，MD ＝3，∴AM 2+AD 2＝MD 2，∴AM ⊥AD ，∵平面MAD ⊥平面ABCD ，平面MAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴AM ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥BD ． （2）在棱AD 上取一点N ，使得ND ＝1，∵CE ＝1，∴CE ＝ND ，又BC ∥AD ， ∴EC ND ，又AB ∥CD ，∴EN ∥AB ， ∵＝，∴FN ∥AM ，∵FN∩EN ＝N ，∴平面ENF ∥平面MAB ，又EF ⊂平面ENF ， ∴EF ∥平面MAB ，∵AM ⊥平面ABCD ，且FD ＝MD ，AM ＝3， ∴F 到平面ABCD 的距离d ＝， ∴V D ﹣AEF ＝V F ﹣ADE ＝＝1．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22． (Ⅰ)椭圆1C 的方程为22142x y +=， 点P 的坐标为(2,0).(Ⅱ)23.【解析】分析：（I ）由题意计算可得2a =， 2b c == 则椭圆1C 的方程为22142x y +=， 结合几何性质可得点P 的坐标为()2,0.（II ）由题意可知直线l 2的斜率存在，设l 2的方程为()2y k x =-，与椭圆方程联立可得()2222218840k x k x k +-+-=， 由弦长公式可得2224112kPC k +=+-=； 结合几何关系和勾股定理可得221221k AB k -=+， 则面积函数211422ABC k S AB PC ∆-==， 换元求解函数的值域可得△ABC 的面积的取值范围是23⎛ ⎝⎦．详解：（I ）设()1,0F c -，()2,0F c ，可知圆2C 经过椭圆焦点和上下顶点，得b c =，由题意知1224a PF PF =+=，得2a =，由222b c a +=，得b c ==所以椭圆1C 的方程为22142x y +=，点P 的坐标为()2,0.（II ）由过点P 的直线l 2与椭圆1C 相交于两点，知直线l 2的斜率存在， 设l 2的方程为()2y k x =-，由题意可知0k ≠， 联立椭圆方程，得()2222218840k x k x k +-+-=，设()22,C x y ，则22284221k x k -⋅=+，得2224221k x k -=+，所以22221PC k =-=+；由直线l 1与l 2垂直，可设l 1的方程为()12y x k=--，即20x ky +-=圆心()0,0到l1的距离d =，又圆的半径r =所以()2222222142211k AB r d k k -⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，AB =由d r <<21k >，12ABCS AB PC ∆== 222121k k ⋅=++，设t =0t >，232332ABC S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =即2k =±“＝”，所以△ABC 的面积的取值范围是⎛ ⎝⎦．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}1=0,0.1.2.31x A xB x ⎧+⎫≤=⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A.{}-10.1， B ．{}01， C ．{}-10，D ．{}0 2.已知复数21-2)2i z i=+（，则复数z 的模为（ ）A ．5B ．5C ．310D ．5A ．0.85B ．0.65C ．0.35D ．0.154.已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11,3;a Sn S ==，则4a （ ） A ．2 B ．2 C.4 D ．15.已知4cos 45a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2a =（ ) A ．7-25 B ．725 C.1-5 D ．156.非零向量,a b r r满足;()0a b a a b -=•-=r r r r r ,则a b -r r 与b r 夹角的大小为（ ）A ．135°B ．120° C.60° D ．45° 7.下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．83 C. 93 D ．1038.已知实数,a b 满足01,01a b ≤≤≤≤,则函数()321f x x ax bx =-++存在极值的概率为（ ）A．1 9B．13C.25D．899.执行下面的程序框图，若输入,S a的值分别为1,2,输出的n值为4,则m的取值范围为（）A．37m<≤ B．715m<≤ C.1531m<≤ D．3163m<≤10.已知点12F F分别是双曲线2222:1(0x yC aa b-=>，b>0),的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上122F F OP=,12PF F∆的面积为4,且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为（）A．22122x y-= B．22144x y-= C.2284x y- D．22124x y-=11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱AD中点，过点1B，且与平面1A BE平行的正方体的截面面积为（）A．5 B．2526 D．612.已知函数()2(1)43,0e xf x xx xx⎧+⎪=≤⎨+->⎪⎩，函数()y f x a=-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x则1234x x x x++的取值范围为（）A．[)4,5 B．(]4,5 C.[)4+∞， D．(],4-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过抛物线2:4C x y=的焦点F的直线与抛物线C交于.A B两点，若弦.A B中点到x轴的距离为5,则AB= ．14.设,x y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则z x y=-的最小值为．15..已知数列{}n a 满足1121,2n n n aa a a +==+.记2nnCn a =，则数列{}Cn 的前n 项和12...C C Cn +++= ．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()11,f x f x +=-在[)1,+∞上为增函数;若1,12x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()()1f ax f x <-成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知(2,),(cos ,3(sin cos )),01a sin x sin x cos x b x x x ωωωωωωω=+=-<<r r函数()f x a b =•r r ,直线56x π=是函数()f x 图像的一条对称轴。